范文一:数列求和公式方法总结
数列求和公式方法总结
数列求和是历年高考的必考内容,重点要熟练掌握等差数列、等比数列的求和公式,其中错位相减法和裂项相消法也是考查的重点。下面为大家发分享了数列求和公式方法,希望对大家有帮助~
一、分组转化求和法
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列构成,则求这个数列的前n项和Sn时可以用分组求和法求解。一般步骤是:拆裂通项――重新分组――求和合并。
例1求Sn=1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)的和
解由和式可知,式中第n项为an=n(3n+1)=3n2+n
?Sn=1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)
=(3×12+1)+(3×22+2)+(3×32+3)+…+(3n2+n)
=3(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…+n)
=3×16n(n+1)(2n+1)+n(n+1)2
=n(n+1)2
二、奇偶分析求和法
求一个数列的前n项和Sn,如果需要对n进行奇偶性讨论或将奇数项、偶数项分组求和再求解,这种方法称为奇偶分析法。
例2:求和:Sn=-1+3-5+7-9+11-…+(-1)n(2n-1)
分析:观察数列的通项公式an=(-1)n(2n-1)可知Sn与数列项数n的奇偶性有关,故利用奇偶分析法及分组求和法求解,
也可以在奇偶分析法的基础上利用并项求和法求的结果。
解:当n为偶数时,
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+(-1)n(2n-1)
=-(1+5+9+…+2n-3)+(3+7+11+…+2n-1)
=-n2(1+2n-3)2+n2(3+2n-1)2
=-n2-n2+n2+n2=n
当n为奇数时,
Sn=-1+3-5+7-9+11-…+(-1)n(2n-1)
=-(1+5+9+…+2n-3)+(3+7+11+…+2n-1)
=-n+12(1+2n-1)2+n-12(3+2n-3)2
=-n2+n2+n2-n2=-n
综上所述,Sn=(-1)nn
三、并项求和法
一个数列an的前n项和Sn中,某些项合在一起就具有特殊的性质,因此可以几项结合求和,再求Sn,称之为并项求和法。形如an=(-1)nf(n)的类型,就可以采用相邻两项合并求解。如例3中可用并项求和法求解。
例3:求S=-12+22-32+42-…-992+1002
解S=(-12+22)+(-32+42)+…+(-992+1002)
=(1+2)+(3+4)+…+(99+100)=5050
四、基本公式法
如果一个数列是符合以下某种形式,如等差、等比数列或通
项为自然数的平方、立方的,那么可以直接利用以下数列求和的公式求和。
常用公式有
(1)等差数列求和公式:Sn=na1+n(n-1)2d=n(a1+an)2
(2)等比数列求和公式:Sn=na1a1(1-qn)1-q=a1-anq1-q
(q=1)(q?1)
(3)1+2+3+…+n=n(n+1)2
(4)1+3+5+…+2n-1=n2
(5)2+4+6+…+2n=n(n+1)
(6)12+22+32+…+n2=16n(n+1)(2n+1)
(7)13+23+33+…+n3=14n2(n+1)2
例1:已知等比数列an的通项公式是an=12n-1,设Sn是数列an的前n项和,求Sn。
解:?an=12n-1?a1=1,q=12
?Sn=1+12+14+…+12n-1=1(1-12n)1-12=2-12n-1
五、裂项相消法
如果一个数列an的通项公式能拆分成两项差的形式,并且相加过程中可以互相抵消至只剩下有限项时,这时只需求有限项的和,把这种求数列前n项和Sn的方法叫做裂项相消法。
裂项相消法中常用的拆项转化公式有:
(1)1n(n+1)=1n-1n+1,1n(n+k)=1k(1n-1n+k)
(2)1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
(3)1n(n+1)(n+2)=12[1n(n+1)-1(n+1)(n+2)]
(4)1n+n+1=n+1-n,1n+n+k=1k(n+k-n),
其中n?N,k?R且k?0
例5:求数列1,11+2,11+2+3,…,11+2+3+…+n,…的前n和Sn。
解由题知,an=11+2+3+…+n=2n(n+1)=2(1n-1n+1)
?Sn=1+11+2+11+2+3+…+11+2+3+…+n
=2(1-12)+2(12-13)+2(13-14)+…+2(1n-1n+1)
=2(1-12+12-13+13-14+…+1n-1n+1)
=2(1-1n+1)=2nn+1
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范文二:数列求和方法总结
数列求和的基本方法和技巧 二、错位相减
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础。 在高考和各种数学竞赛中都这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列占有重要的地位。 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式? b}的前n项和,其中{ a }、{ b }分别是等差数列和等比数列。 {annnn
外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来234n例:求数列a,2a,3a,4a,…,na, …(a为常数)的前n项和。 谈谈数列求和的基本方法和技巧。 解:若a=0, 则S=0 n一、公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 若a=1,
()(1)naann,,1n(n,1)n1、 差数列求和公式: Snad,,,则S=1+2+3+…+n= n1n222
(,1)naq若a?0且a?1 ,1,2、等比数列求和公式: n,(1,)aaqaq,S,1n1n,(q,1)234n,则S=a+2a+3a+4a+…+ na n1,1,qq,
nn234n+11123、 4、 ?aS= a+2 a+3 a+…+na nS,k,n(n,1)S,k,n(n,1)(2n,1),,nn26,1,1kk23nn+1?(1-a) S=a+ a+ a+…+a- na nn1324、 S,k,[n(n,1)]n,1,n2a,a,1kn,1= ,na1,a,123nn,1n,1x,x,x,,,,,x,,,,logx,例 :已知,求的前n项和. a,ana3log3 ?S= ,(a,1)n22(1,a)1,a
11,logloglog2x,,x,,,x,解:由 333log32当a=0时,此式也成立。 2
?S= 23nn 由等比数列求和公式得 S,x,x,x,,,,,x nn,1n,1a,ana ,(a,1)n1112x(1,x)(1,), , ,1, (1,a)1,ann2221,x 11,2n(n,1)(a,1) 解析:如果计算过程中出现了这些关于n的多项式的求和形式,可以直接利用公式。 2
1
nn解析:数列是由数列与对应项的积构成的,此类型的才适应错位相减,有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几,,na,,a,,n
(课本中的的等比数列前n项和公式就是用这种方法推导出来的),但要注意应按以上三种个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可。
n=-1+3-5+7-…+(-1)(2n-1) 例:Sn情况进行讨论,最后再综合成两种情况。 解法:按n为奇偶数进行分组,连续两项为一组。
当n为奇数时: 三、倒序相加
S=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+(-2n+1) n这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),n,1 =2×+(-2n+1) 2再把它与原数列相加,就可以得到n个。 (a,a)1n
=-n 012nn[5] 求证: 例C,3C,5C,,,,,(2n,1)C,(n,1)2nnnn当n为偶数时:
S=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+…+[(-2n+3)+(2n+1)] n012n证明: 设………………………….. S,C,3C,5C,,,,,(2n,1)Cnnnnnn =2× 2?
=n 把?式右边倒转过来得 -n (n为奇数) ?S n=nn,110 S,(2n,1)C,(2n,1)C,,,,,3C,Cnnnnn n (n为偶数) (反序) 五、裂项法求和
mn,m 又由可得 C,Cnn这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项(通
01n,1n项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的通项分解(裂项)如: S,(2n,1)C,(2n,1)C,,,,,3C,C……….. ? nnnnnsin1,tan(n,1),tann01n,1nn ?+?得 (反(1) (2) a,f(n,1),f(n)2S,(2n,2)(C,C,,,,,C,C),2(n,1),2cosncos(n,1)nnnnnn
序相加)2111(2)111(3) (4)n a,,,1()a,,,,nnnn(n,1)nn,1(2n,1)(2n,1)22n,12n,1 ? S,(n,1),2 n
1111(5) a,,[,]解析:此类型关键是抓住数列中与首末两端等距离的两项之和相等这一特点来进行倒nn(n,1)(n,2)2n(n,1)(n,1)(n,2)序相加的。 n,212(n,1),n1111(6) a,,,,,,,S,1,则nnnnn,1nnn(n,1)n(n,1)22n,2(n,1)2(n,1)2四、分组求和
2
…… 1111例:求数列,,,…,,…的前n项和S a,1,a,3,a,2,a,,1,a,,3,a,,2n(n,2)1,32,43,56k,16k,26k,36k,46k,56k,6
1111解:?=) (,n(n,2)2nn,2? a,a,a,a,a,a,06k,16k,26k,36k,46k,56k,61111111111,, S= == 311n(1,),(,),,,,,(,)(1,,,),,,,2324nn,222n,1n,242n,22n,4,, (找特殊性质项)
? S, (合并求和) a,a,a,,,,,a2002解析:要先观察通项类型,在裂项求和,而且要注意剩下首尾两项,还是剩下象上例1232002
, 中的四项,后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。 (a,a,a,,,,a),(a,a,,,,a),,,,,(a,a,,,,,a)123678126k,16k,26k,6
,,,,,(a,a,,,,,a),a,a,a,a1993199419981999200020012002六、合并求和
, a,a,a,a1999200020012002针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列
, a,a,a,a的和时,可将这些项放在一起先求和,然后再求S. 6k,16k,26k,36k,4n
,5 例: 数列{a}:,求S. a,1,a,3,a,2,a,a,an2002123n,2n,1n
七、拆项求和 解:设S, a,a,a,,,,,a20021232002
先研究通项,通项可以分解成几个等差或等比数列的和或差的形式,再代入公式求和。
例:求数5,55,555,…,55…5 的前n项和S 由可得 a,1,a,3,a,2,a,a,an123n,2n,1nn 5n解: 因为55…5= (10,1)a,,1,a,,3,a,,2,9456n
所以 S=5+55+555+…+55 a,1,a,3,a,2,a,,1,a,,3,a,,2,n789101112
n
1111= 另外:S1,2,3,,,,,nnnn5,,510(10,1) = = 2482n2,,(10,1),(10,1),,,,,(10,1),n,,9910,1,,1111,,,,,,,可以拆成:S=(1+2+3+…+n)+() nn505502482n = ,10,n,81981
解析:根据通项的特点,通项可以拆成两项或三项的常见数列,然后再分别求和。
3
范文三:数列求和方法总结
数列求和方法总结 一(等差、等比数列求和问题总结
1.直接套用公式
()(1)naann,,1n1.等差数列求和公式: Snad,,,1n22
(,1)naq,1,n,(1,)aaqaq2.等比数列求和公式: ,S,1n1n,(,1)q,1,1,qq,
,123n例1 已知,求的前n项和. logx,x,x,x,,,,,x,,,,3log32
11,解:由 logloglog2x,,x,,,x,333log322
11(1,)nnx(1,x)123n22由等比数列求和公式得: = ,,1, S,x,x,x,,,,,xnn11,x21,2
S*n例2.设S,1+2+3+…+n,n?N,求的最大值. f(n),n(n,32)Sn,1
11解:由等差数列求和公式得 , S,n(n,1)S,(n,1)(n,2)nn22
11Sn1n ? ,,, f(n),,2864(n,32)Sn,34n,64502n,1(n,),50n,34,nn
18n,()? 当 ,即n,8时,. fn,max508
2. “整体值”的运用
aS例3. 是等差数列,前10项的和为100,前100项的和为10,求前110项的和( ,,n110
解析:运用等差数列的性质:
mnpq,,,若,则( aaaa,,,mnpq
90()aa,11100?, SSaaa,,,,,,,,901001011121002
? ( aa,,,211100
110()aa,11100因此,( S,,,1101102
点评:在运用公式求和时,已知可以求,但往往在不易求得这些值时,利用“整体值”ada,,S1nn
求和十分有效,这种“整体值”的运用在后面的等比数列求和时也常用(
1
,在等差数列中,若mnpqmnpq,,,,(),,,N,则,特别地,( aaaa,,,aaaa,,,,mnpq121nn,3.奇数项和与偶数项和
SS,,132120,a例4. 在等差数列中,共有项,,求n( (21)n,,,奇偶n
Sn,11321n,奇解法一:由性质得,所以(解得n,10( ,,Sn120n偶
解法二:因为,又,所以(解得n,10( Sna,,(21)aSS,,,1212(21)132120n,,,n,1211nn,,奇偶
点评:等差数列奇数项和与偶数项和的性质中,中间项对推导和记忆性质十分重要(
a应用知识点:(1)项数为偶数2n的等差数列中,与为中间两项,,aSnaa,,()a,,nn,1nnn,1n
Sa奇n,( ,SSnd,,偶奇San,1偶
Sn奇a21n,(2)项数为的等差数列中,为中间项,,( ,SSa,,a,,nn奇偶nSn,1偶4.连续几个项和 n
aS例5 是等差数列,前10项的和为100,前100项的和为10,求前110项的和( ,,n110
a解析:是等差数列,易知也成等差数列,这个数列的首项( SSSSS,,,,,A,100,,n10201030201
D,,22又因为,求得这个数列的公差( AAA,,,,101210
所以, A,,,,,,10010(22)12011
所以,即( AAAA,,,,,,110S,,110121011110
点评:恰当地使用等差数列的性质往往事半功倍,出奇制胜(当然这道题除了例1、例3介绍的两种方法,还可以运用方程的思想,列出方程组,进而求解,同学们不妨一试(
a应用知识点:若为等差数列,则也是等差数列( SSSSS,,,,,,nnnnnn232
5.两个数列前项和之比 n
Sa71n,n11ab例6 已知两个等差数列,的前项和分别为,,且,求的值( STn,,,,,nnnnbTn427,11n
aaaa,,121121,21aS72114,,112122解:,,,,,( bbbb,,bT421273,,1211211121,2122
点评:从到的过渡,联想等差中项是关键(
aSmm21,,ab应用知识点:若与均为等差数列,且前项和分别为与,则( STn,,,,nnnnbTmm21,
6.和的最大值与最小值
2
SS,a例7 在等差数列中,(1)若,前项和为,且,求当取何值时,最a,20SSnn,,1015n1nn大,并求出此最大值;(2)若,,该数列前多少项的和最小, a,0SS,1913
解:(1),?( SSaaaaaa,,,,,,,,50a,0151011121314151313
13()aa,113? 或最大,( SSSS,,,130131212132
2(2),,,( SSaaaaaa,,,,,,,,2()02210ad,,da,,aa,,011391011121311121111221
a?,d,0(?等差数列为递增数列,由条件,不可能有,故,( aa,,,0a,0a,0a,0,,n121111111?数列的前11项和最小(
点评:应用等差数列的性质,从通项来分析项的符号,是解决等差数列和的最值问题的简便方法,这比用前项和公式分析快捷( n
aaa?0应用知识点:在等差数列中,(1)若,数列为递减数列,必存在,,使,ad,,00,,,,,nnm1
ad,0最大,又若,这时同时最大;若,,数列为递增数列,必存aS,0,a,0SS,a,0,,nmm,1mmm,11
a?0在,使,,最小,又若,这时同时最小( a,0Sa,0SS,mmm,1mmmm,1
BB2SAnBnA,,,(0)(2)从前项和公式上分析,若为正整数,则为最大值,若是m,,m,,Snnm2A2A
B正分数,取离最近的整数,则最大( ,Smm2A
′aS,,7. 求数列的前项和 nnn
32052Snn,,,aa 例8. 已知数列的前项和,求数列的前项和( Tnn,,,,nnnn22
n,1解:,当时,,当时,也适合上式, aS,,101aSSn,,,,,3104n?211nnn,1
,n,34.7?时,,令,则, an,,,3104a,0n,Nnn
n,35? 时,;当时,( a,0a,0n?34nn
32052TaaaaaaSnn,,,,,,,,,,,,(1)当时,; n?34nnnn121222
Taaaaa,,,,,,(2)当时, n?35nn123435
,,,,,,,,,,,,,,,()()2()()aaaaaaaaaaaa12343536123412nn
32052,,,,,SSnn( 23502n3422
3205,2,,nnn, ,?34,,22故 T,,n32052,nnn,,,(350235?,,22
3
点评:对于带绝对值号的数列求和问题,应先弄清取什么值时,或,然后再求解(本a,0a,0nnn
aa,,题应注意的是当时,也是一个等差数列( n?35nn
aa应用知识点:在等差数列中,若,则从某项起,anm,0()?,故数列的ad,,00,a,,,,nnn1m
,,Snm,, ,,n,S,前项和; n,n?SSnm,2, ;,nm,1,
Snm,, ,,,n,S,当,类似有 ad,,00,,n1?,,SSnm2., ,nm,1,
8.等比数列求和中应注意的几个问题:
1等比数列求和公式有两个,但这两个公式是各管一块,互不牵扯,所以在等比数列求和中就
q,1q,1出现一个公式选择的问题,这取决于公比还是.
二(非等差、等比数列求和
(一)可转化为等差、等比数列求和.
1. “合项”法是处理数列求和问题的一种重要方法,它利用加法的交换律和结合律将“不规则和”转化为“规则和”,化繁为简(
n,1Sn,,,,,,,,15913(1)(43)?Sa例1 已知数列的前项和(求的值( n,,n16n
n,16解析:采用相邻两项直接合并(这里为偶数,S,,,,,,,,,,,(15)(913)[(4153)(4163)],,,,4832共合并成8对( 16
点评:对于正负交替出现的数列求和,可考虑利用合项求和的方法,在使用合项求和时,要弄清求的是前多少项的和,如果是偶数项,两两合并,正好配对,若是奇数项,一般留首项,然后再合并.
应用知识点:合项法求数列的前n项和.
SSa,,a21n,例2 若等差数列共有项,求证:( (*) ,,n,1奇偶n
SS,(分别为奇数项、偶数项的和) 奇偶
Saaa,,,,Saaaa,,,,,分析:,, 242n偶132121,,nn奇
留下其余相邻a1SS,anda,,??共合并成对n(还可以留aaaaaaa,,,,,,,()()()奇偶11,n13254212nn,两项合并
下最后一项,其余相邻两项合并(
证明:
SSaaaaaaandandanda,,,,,,,,,,,,,,,,()()()2( 123421221111nnnn,,,奇偶
SSa,,aa21n,其实是数列的前项的中项,所以上面(*)式,又可写成中,这是等差数列,,奇偶n,1n
的一条性质,有着广泛的应用(因此,同学们不仅要会用这种方法配对求和,还要熟练掌握这个常用结论(
点评:对于正负交替出现的数列求和,可考虑利用合项求和的方法,在使用合项求和时,要弄
4
清求的是前多少项的和,如果是偶数项,两两合并,正好配对,若是奇数项,一般留首项,然后再
合并.
应用知识点:合项法求数列的前n项和.
2. 拆项法
1111例3 求的前项和( n1357,,,,24816
11111解: Sn,,,,,,,1357(21)nn248162
1111,,,,,,,,,,,,n(1321) ,,n2482,,
11,,1,,,nnn,,(121)122,,2( ,,,,,n1n122,12
点评:拆项的目的是把非等差、等比数列的求和问题通过拆项转化为等差、 数列的求和问题.
1111本题中若将数列改为“,,,,?”,则需要用错位相减法求其前项和( n1,3,5,7,21648
应用知识点:拆项法求和.
3.错位相减法
n*21n,王新敞特级教师源头学子小屋http://wxc.833200.comwxckt@126.com新疆奎屯?2007?例4.(2007山东卷17)设数列满足, an,N,,,,,333…aaaa,,n123n3(?)求数列的通项; a,,n
n王新敞特级教师源头学子小屋http://wxc.833200.comwxckt@126com.新疆奎屯?2007?S(?)设,求数列的前项和 nbb,,,nnnan
n21n,解:(?),? ,,,,,333…aaaa123n3
n,122n,王新敞特级教师源头学子小屋http://wxc.833200.comwxckt@126.com新疆奎屯?2007?当时, ? ?n,2aaaa,,,,,333…1231n,3
1111n,1王新敞王新敞王新敞特级教师特级教师特级教师源头学子小屋源头学子小屋源头学子小屋http://wxc.833200.comhttp://wxc.833200.comhttp://wxc.833200.comwxckt@126com.wxckt@126.comwxckt@126.com新疆奎屯新疆奎屯新疆奎屯?2007??2007??2007??-?得, 在?中,令,得 a,a,?,an,13a,nn1nnn3333
nn王新敞特级教师源头学子小屋http://wxc.833200.comwxckt@126.com新疆奎屯?2007?(?), b,?,bn3nnan
23n, ? ?,,,,,,,Sn323333…n
2341n,王新敞特级教师源头学子小屋http://wxc.833200.comwxckt@126com.新疆奎屯?2007? ? ?,,,,,,,3323333Sn…n
n3(13),,1nnn,123王新敞特级教师源头学子小屋http://wxc.833200.comwxckt@126.com新疆奎屯?2007?Sn23,,?-?得 即, 23(3333)Sn,,,,,,…nn13,
5
n,1(21)33n,王新敞特级教师源头学子小屋http://wxc.833200.comwxckt@126.com新疆奎屯?2007? ?,,Sn44
点评:设是等差数列,是等比数列,对形如的数列,可以用错位相减法求和( abab,,,,,,nnnn
应用知识点:错位相减法转化求和式.
4. 倒序相加法
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把
(a,a)它与原数列相加,就可以得到n个. 1n
2,2,2,2,2,例5. 求的值 sin1,sin2,sin3,,,,,sin88,sin89
2,2,2,2,2,…………. ? 解:设S,sin1,sin2,sin3,,,,,sin88,sin89
2,2,2,2,2,将?式右边反序得:……? S,sin89,sin88,,,,,sin3,sin2,sin1
,22又因为 ,?+?得 : sinx,cos(90,x),sinx,cosx,1
2,2,2,2,2,2,,89 ? S,44.5 2(sinS,1cos,1)(sin,2cos,2),,(sin,,,89cos,89)
点评:倒序相加法,适用于倒序相加后产生相同的结果,方便求和. 应用知识点:倒序相加法.
(二)不可转化为等差(比)数列的数列求和
1裂项相消法求和
裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到
求和的目的. 通项分解(裂项)如:
111,,,,,,,,,,例1. 求数列的前n项和.
1,22,3n,n,1
1a,,n,1,n解:设,则 nn,n,1
111S,,,,,,,n,1,1, (2,1),(3,2),,,,,(n,1,n)n1,22,3n,n,1
12n2a,,,,,,,例2.在数列{a}中,,又,求数列{b}的前n项的和. b,nnnna,an,1n,1n,1nn,1
12nn211a解: ? ? 数列{b}的前n项和: ?,,,,,,,,b,,8(,)nnnnn,1n1n1n12,,,nn,1,22
8n11111111 , , S,8[(1,),(,),(,),,,,,(,)]8(1,)nn,1n,122334nn,1
,111cos1,,,,,,,例3. 求证: ,,,,,,2,cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin1
6
111解:设 S,,,,,,,,,,,,,cos0cos1cos1cos2cos88cos89
sin1111,,,tan(1)tannn ?,,,,,,,Scoscos(1)nn,cos0cos1cos1cos2cos88cos89
1,,,,,,,,, {(tan1,tan0),(tan2,tan1),(tan3,tan2),[tan89,tan88]},sin1
,cos111,,,,,, (tan89,tan0),cot12,,,sin1sin1sin1
? 原等式成立
的通项具有如下形式,则可以利用裂项法求和: 应用知识点:如果数列a,,n
1n,1a,f(n,1),f(n)a,(1);(如) a,log,nnn2nnn,,1
,sin1,,(2); ,tan(n,1),tann,,cosncos(n,1)
1111111,,a,,,(3); a,,,nn,,n(n,1)nn,1nnkknnk,,,,,,
2(2n)1111()a,,,,(4) n(2n,1)(2n,1)22n,12n,1
1111a,,[,](5) nn(n,1)(n,2)2n(n,1)(n,1)(n,2)
n,212(n,1),n1111a,,,,,,,S,1,(6)则 nnnnn,1nnn(n,1)n(n,1)22n,2(n,1)2(n,1)2
2其他方法
例:求和: 1!22!33!!,,,,,,,nn
分析:
2,,kkkkkkkkkkkk,,,,,,,,,,,,,,,,,!11!!1!1212!!,,,,,,,,,,,,,,,,,,
所以其中和后面结合,恰为,以此类推,最终可得结果为11!22!3!1!,,,,,3!33!,4!n,,1!1. ,,
7
范文四:数列求和方法总结
数列求和方法总结 一、直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式:S, = n
,
,
,,(2)等比数列的求和公式 (切记:公比含字母时一定要讨论) ,S,n
,
,,,
例1.求和
(1)1+2+3+…+n=
23n(2) x,x,x,?,x,
12222,,,,1,2,3,?,n,nn,12n,1(3) 6
二、分组求和法
123n,,,,,,,,S,2,1,2,2,2,3,?,2,n例2.求和: n
解:
三、错位相减法
2462n,,,,,,,,,,,23n2222例3. 求数列前n项的和.
12n,,,,解:由题可知,的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列的通项之积 ,,,,nn22,,,,
2462n,,,,,,,,Sn23n2222…………………………………? (乘公比)
12462n,,,,,,,,Sn234n,122222……………………………? (设制错位)
1
1222222n(1),,,,,,,,,,,Sn234nn,12222222?,?得 (错位相减)
12n2,,,n,1n,122
2n,4S,,nn,12 ?
23n,1练习:1、求数列,,的前. 2,3,3,4,3,5,3,?,n,1,3n项和Sn
23n2、求和:S,1,2,3,2,5,2,...,(2n,1),2n
四、裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。
1111111,,常见拆项公式:(1) (2) ,,() n(n,1)nn,1nnnn(2)22,,
11111 (3) ,n,1,n ,(,)(2n,1)(2n,1)22n,12n,1n,n,1(4)
2
1aa,例4. 已知数列,求前. ,,n项和S中,nnn,,nn,1
212nb,a,,,,,,,nna,an,1n,1n,1nn,1,,,,练习:1、在数列中,,又,求数列b的前ann
. n项和Sn
111,,,,,,,,,,
1,22,3n,n,12、求数列的前n项和.
3
范文五:数列求和方法总结
数列求和 (一)主要知识:
1(等差数列与等比数列的求和公式的应用;
2(倒序相加、错位相减,分组求和、拆项求和等求和方法; (二)主要方法:
1(求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2(求和过程中注意分类讨论思想的运用;
3(转化思想的运用;
4.复习目标:掌握数列求和的常用方法:公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法。
5.熟记公式:
()naa,(1)nn,1n(1)等差数列求和公式 Snad,,,1n22
na,aqa(1,q)1n1(2)等比数列求和公式 S,,(q,1),S,na(q,1)nn11,q1,q
(1)(21)n(n,1)nn,n,2222123(3)1+2+3+…+n=; (4); ,,,?,n,62
n(n,1)33332(5); 1,2,3,?,n,[]2
(三)例题分析:
S例1(求下列数列的前项和: nn
11115n,,,,,(1)5,55,555,5555,…,,…; (2); ,(101)132435(2),,,,nn9
123na,aaana,2,3,,,(3); (4); nnn,,1
2222(5); (6)( 13,24,35,,(2),,,,,nnsin1sin2sin3sin89,,,,
n个n个5解:(1) ,,,,,S,,,,,555555555(999999999)n9
523n ,,,,,,,,,[(101)(101)(101)(101)]9
550523nn( ,,,,,,,,,nn[10101010](101)9819
1111,,()(2)?, nnnn(2)22,,
111111111111?( S,,,,,,,,,[(1)()()()],,,,(1)nnn,23243522212nn,,
1
11nn,,(3)? ann,,,,,1nnnnnnn,,,,,,1(1)(1)
111S,,,,? n,,,,nn21321
,,,n11( ,,,,,,,,(21)(32)(1)nn
23n(4), Saaana,,,,,23n
nn(1),S,,,,123 当时,…, ,,na,1n2n23 当时,… , ,naSaaa,,,,23a,1n
n,1234…, ,naaSaaa,,,,23n
naa(1),23,,11nnn(1),,,,,aSaaa 两式相减得 …,,,,anana, n1,a
nn,,21nanaa,,,(1)S,?( n2(1),a
2nnnn(2)2,,,(5)?,
nnn(1)(27),,2222,,,,(123,,,,,,n)2(123 ? 原式……( ,n),6
2222(6)设, S,,,,,sin1sin2sin3sin892222 又?, S,,,,,sin89sin88sin87sin1
89 ? ,( S,289S,2
65()nn,为奇数,{}aS例2(已知数列的通项,求其前项和( na,,nnnn2()n为偶数,
a,1解:奇数项组成以为首项,公差为12的等差数列, 1
a,4偶数项组成以为首项,公比为4的等比数列; 2
n,1n,1当为奇数时,奇数项有项,偶数项有项, n22
n,1n,1(165),,nn,124(14)(1)(32)4(21),,,,nn2S,,,,?, n21423,
n当n为偶数时,奇数项和偶数项分别有项, 2
nn(165),,nn24(14)(32)4(21),,,nn2S,,,,?, n21423,
2
n,1,(1)(32)4(21)nn,,,为奇数,()n,,23所以,( S,,nnnn(32)4(21),,,为偶数()n,,23,
nSppR,,,2(){}b{}aba,log{}a例3(数列的前项和,数列满足,若是等比数列, nnnnnn2n
n,12*222,,,(1)()()bnNpa(1)求的值及通项;(2)求和…( Tbbb,,,()()()nnn123
n,11,(12),,(122),,,,,SS巩固练习:设数列的前项和为,则等于( D ) nnnnn,1n,1n ()A2()B()C()D2,n22,,n2,n
2例 4. 已知数列的前n项和S,10n,n(n,N),又b,|a|(n,N), {a}nnnn
求数列{b}的前n项和T.nn
22分析 a,S,S,10n,n,10(n,1),(n,1),,2n,11, nnn,1
2,1110n,n(n,6),T,又当, a,,2n,11,0,n,,即n,6,nn22,n,10n,50(n,6),
注:当时 n,6T,S,(,S,S),2S,Sn5n55n
例5. 求数列,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,…的前n项的和.
,最后一个数为3n,2, 分析 观察数列发现每项的第一个数为2n-1
12 a,(2n,1),2n,(2n,1),?,(3n,2),(5n,3n)n2
12222?S,[5(1,2,3,,n),3(1,2,3,,n)]??n2 5n(n,1)(2n,1)3n(n,1)11,[,],n(n,1)(5n,2)2626
n123S,,,,?,例7( 求和:; n23naaaa
分析 注:用错位相减法前要讨论。 a,1和a,1两种情况
1当a,1时,S,n(n,1); n2
n123a,1时,S,,,,?,当 (1) n23naaaa
n1123S?,,,,, (2) n234n,1aaaaa
(1),(2)得
3
an,11111S?,,,,,, n123nn,1aaaaaa
a1nS,(1,),? n2nn(a,1)a(a,1)a
(2n)24222S,,,,; 例8. 求和:?n1,33,5(2n,1)(2n,1)
22分析 考虑到(2n),(2n),1,1,(2n,1)(2n,1),1
1111 ?,,?,=n,1, S,n,n2n,11,33,5(2n,1)(2n,1)
,n,1例9. 已知数列的通项公式,试问:该数列的前多少项之和最 a,lg(100sin){a}nn4
大,求出这个最大的和。( lg2,0.3)
1,,,nn,1分析 考虑到, a,a,lg(100sin),lg(100sin),lgsin,,lg2n,1n4442
11?数列是等差数列,,当<0>0>
91时可解得 n,14..3,即n,15,?当n,14时,S最大且S,28,lg2.14142
4
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