范文一:考研数三真题解析
2006 年数学三试题分析、详解和评注 年数学三试题分析、
一、填空题 填空题:1,6 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上. 填空题
n +1? (1) lim ? ) ? n ?? ? n ?
( ?1)n
= 1.
ln N
【分析 分析】将其对数恒等化 N = e 分析
求解.
( ?1)n
n +1? 【详解 lim ? 详解】 详解 ? n ?? ? n ?
而数列 ( ?1)
( ?1)n
= lim e
n ??
n +1 ? ln ? ? ? n ?
=e
n??
n +1 ? lim ( ?1)n ln ? ? ? n ?
,
n
{
n
+ ? } 有界, lim ln ? n n 1 ? = 0 ,所以 lim(?1) ? ?
n ?? n ??
n +1? ln ? ?=0. ? n ?
n +1? 故 lim ? ? n ?? ? n ?
( ?1)n
= e0 = 1 .
【评注 评注】对于幂指函数的极限,总是将其化为指数函数后求解. 评注 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》 《数学复习指南 完全类似例题见文登暑期辅导班 高等数学》 1 讲第 2 节 例 23】 数学复习指南》 《 第 【 】 数学复习指南》 , 《 经济类) (经济类)P.30【例 1.41】. 【 】 (2)设函数 f ( x ) 在 x = 2 的某邻域内可导,且 f ′ ( x ) = e ) 【分析 分析】利用复合函数求导即可. 分析
f ( x) 【详解 详解】由题设知, f ′ ( x ) = e ,两边对 x 求导得 详解 f ( x)
, f ( 2 ) = 1 ,则 f ′′′ ( 2 ) = 2e .
3
f ′′ ( x ) = e
f ( x)
f ′( x) = e
2 f ( x)
,
两边再对 x 求导得 f ′′′( x ) = 2e 故
2 f ( x)
f ′( x) = 2e3 f ( x ) ,又 f ( 2 ) = 1 ,
f ′′′(2) = 2e3 f ( 2) = 2e3 .
【评注 评注】本题为抽象复合函数求导,注意计算的准确性. 评注 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 2 讲第 2 节【例 11】【例 12】《数 】【例 】《数 , , 学复习指南》 经济类) (经济类 (几乎一样 学复习指南》 经济类)P.53【例 2.18】 几乎一样). ( 【 】 几乎一样) ( ( 3 ) 设 函 数 f (u ) 可 微 , 且 f ′ ( 0 ) =
1 , 则 z = f ( 4 x 2 ? y 2 ) 在 点 (1,2) 处 的 全 微 分 2
dz
(1,2 )
= 4dx ? 2dy.
【分析 分析】利用二元函数的全微分公式或微分形式不变性计算. 分析
【详解 详解】方法一:因为 详解
z ?x
(1,2)
= f ′(4 x 2 ? y 2 ) ? 8 x
(1,2)
=4,
z ?y ? ?z
(1,2)
= f ′(4 x 2 ? y 2 ) ? ( ?2 y ) ?
(1,2)
= ?2 ,
所以 dz (1,2 ) = ? dy = 4dx ? 2dy . (1,2 ) dx + ?y (1,2) ? ? ?x ? 方法二:对 z = f 4 x ? y
2
z
(
2
) 微分得
dz = f ′(4 x 2 ? y 2 )d(4 x 2 ? y 2 ) = f ′(4 x 2 ? y 2 ) ( 8 xdx ? 2 ydy ) ,
故 dz (1,2 ) = f ′(0) ( 8dx ? 2dy ) = 4dx ? 2dy . 【评注 评注】本题为基本题型. 评注 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 9 讲第 1 节【例 12】《数学复习指 】《数学复习指 , (经济类 (经济类 南》 经济类)P.162【例 6.13】《考研数学过关基本题型》 经济类)P.62【例 6,例 7】 (经济类) 【 】《考研数学过关基本题型 (经济类) , 考研数学过关基本题型》 【 , 】 及练习. 及练习
(4)设矩阵 A = ? )
2 1? ? , E 为 2 阶单位矩阵,矩阵 B 满足 BA = B + 2 E ,则 ? ?1 2 ?
B =
2
.
【分析 将矩阵方程改写为 AX = B或XA = B或AXB = C 的形式, 分析】 再用方阵相
乘的行 分析 列式性质进行计算即可. 【详解 详解】 由题设,有 详解
B( A ? E ) = 2 E
于是有
B A ? E = 4 ,而 A ? E =
1
1
1 1
= 2 ,所以 B = 2 .
【评注 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示. 评注】 评注 完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》 (经 完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第 1 讲【例 6】《数学复习指南》 经 】《数学复习指南 ( , 数学复习指南》 济类) 济类)P.287【例 2.12】. 【 】 (5)设随机变量 X 与Y 相互独立,且均服从区间 [ 0,3] 上的均匀分布,则 )
P {max { X , Y } ? 1} =
1 9
.
【分析 利用 X 与Y 的独立性及分布计算. 分析】 分析 【详解 详解】 由题设知, X 与Y 具有相同的概率密度 详解
1 ? , 0 ? x ? 3 . f ( x) = ? 3 ?0, 其他 ?
则
P {max { X , Y } ? 1} = P { X ? 1, Y ? 1} = P { X ? 1} P {Y ? 1}
= ( P { X ? 1})
2
11 ? 1 = ? ? dx ? = . ? 03 ? 9
2
【评注 本题属几何概型,也可如下计算,如下图: 评注】 评注
则
P {max { X , Y } ? 1} = P { X ? 1, Y ? 1} =
S阴 1 = . S 9
完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第 3 讲【例 5】《数学复习指 】《数学复习指 , (经济类 】,.442【例 2.50】 南》 经济类)P.431【例 2.31】, (经济类) 【 】, 【 】 ( 6)设总体 X 的概率密度为 f ( x ) = )
2
1 ?x e ( ?? < x="">< +?="" )="" ,="" x="" 1="" ,="" x="" 2="" ,?="" ,="" x="" n="" 为总体="" x="" 的简="" 2="">
单随机样本,其样本方差为 S ,则 ES 2 = 2. 【分析 分析】利用样本方差的性质 ES = DX 即可. 分析
2
【详解 详解】因为 详解
EX = ?
+?
?
xf ( x)dx = ?
+?
?
x ?x e dx = 0 , 2
+? ?? +? x2 ? x e dx = ? x 2 e ? x dx = ? x 2 e ? x 0 2 +? 0
EX 2 = ?
+?
?
x 2 f ( x)dx = ?
+? 0
2
+ 2?
+?
0
xe ? x dx
= ?2 xe ? x
2
+ 2? e? x dx = ?2e ? x
0
2
+?
+? 0
= 2,
所以 DX = EX ? ( EX ) = 2 ? 0 = 2 ,又因 S 是 DX 的无偏估计量, 所以 ES = DX = 2 .
2
【评注 评注】本题利用了样本方差是总体 X 的方差 DX 的无偏估计量, 最好能熟记样本均值 评注 和方差的性质和运算.
完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第 《数 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》 5 讲【例 1】 【例 2】 数 】和 】《 , 学复习指南》 经济类) (经济类 】,.488【例 5.2】《考研数学过关基本题型》 经济 (经济 学复习指南》 经济类)P.487【例 5.1】, ( 【 】, 【 】《考研数学过关基本题型 ( , 考研数学过关基本题型》 类)P.247【例 4】及练习 【 】及练习. 二、选择题:7,14 小题,每小题 4 分,共 32 分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合 选择题: , 题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (7)设函数 y = f ( x) 具有二阶导数,且 f ′( x ) > 0, f ′′( x ) > 0 , ?x 为自变量 x 在点 x0 处的 ) 增量, ?y与dy 分别为 f ( x) 在点 x0 处对应的增量与微分,若 ?x > 0 ,则 (A) (C)
0 < d="" y="">< .="">< d="" y="">< 0="" .="">
(B) (D)
0 <>< d="" y="" .="" d="" y=""><>< 0="" .="">
[ , ]
【分析 题设条件有明显的几何意义,用图示法求解. 分析】 分析 【详解 详解】 详解 由 f ′( x) > 0, f ′′( x) > 0 知,函数 f ( x) 单
调增加,曲线 y = f ( x) 凹向,作函数 y = f ( x) 的图形如 右图所示,显然当 ?x > 0 时,
y > dy = f ′( x0 )dx = f ′( x0 )?x > 0 ,故应选(,).
【评注 对于题设条件有明显的几何意义或所给函 评注】 评注 数图形容易绘出时,图
示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日中值定理求解:
y = f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) = f ′(ξ )?x, x0 < ξ="">< x0="" +="">
因为 f ′′( x) > 0 ,所以 f ′( x) 单调增加,即 f ′(ξ ) > f ′( x0 ) ,又 ?x > 0 , 则
y = f ′(ξ )?x > f ′( x0 )?x = dy > 0 ,即 0 < dy="">< .="">
定义一般教科书均有,类似例题见《数学复习指南》 经济类) (经济类 ,P.151 定义一般教科书均有,类似例题见《数学复习指南》 经济类)P.129【例 5.1】 ( 【 】 , 】. 【,(,) 】
(8)设函数 f ( x ) 在 x = 0 处连续,且 lim )
h ?0
f ( h2 ) h2
= 1 ,则
(A)
f ( 0 ) = 0且f ?′ ( 0 ) 存在
(B) f ( 0 ) = 1且f ?′ ( 0 ) 存在 (D) f ( 0 ) = 1且f +′ ( 0 ) 存在 [ C ]
(C) f ( 0 ) = 0且f +′ ( 0 ) 存在 【分析 分析】从 lim 分析
h ?0
f ( h2 ) h2
= 1 入手计算 f (0) ,利用导数的左右导数定义判定 f ?′ (0), f +′ (0)
的存在性.
【详解 详解】由 lim 详解
h ?0
f ( h2 ) h2
= 1 知, lim f ( h 2 ) = 0 .又因为 f ( x ) 在 x = 0 处连续,则
h ?0 x ?0 h?0
f (0) = lim f ( x) = lim f ( h 2 ) = 0 .
令 t = h ,则 1 = lim
2
f ( h2 ) h
2
h?0
= lim +
t ?0
f ( t ) ? f (0) t
= f +′ (0) .
所以 f +′ (0) 存在,故本题选(C). 【评注 评注】本题联合考查了函数的连续性和左右导数的定义,属基本题型. 评注 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 2 讲第 1 节【例 2】《数学复习指南》 】《数学复习指南 , 数学复习指南》 经济类) (经济类)P.46【例 2.2】. 【 】
?
(9)若级数 )
?
?a
n =1
n
收敛,则级数
?
(A)
?
n =1 ?
an 收敛 .
(B)
? (?1)
n =1
n
an 收敛.
(C)
? an an+1 收敛.
n =1
(D)
?
an + an +1 收敛. 2 n =1
? ?
[ , ]
【分析 分析】 可以通过举反例及级数的性质来判定. 分析 【详解 详解】 由 详解
?a
n =1
?
n
收敛知
?a
n =1
?
n +1
收敛,所以级数
?
an + an +1 收敛,故应选(,). 2 n =1
或利用排除法: 取 an = ( ?1) 取 an = ( ?1) n
n
1 ,则可排除选项(,)(,) , ; n 1 ,则可排除选项(,).故(,)项正确. n
【评注 本题主要考查级数收敛的性质和判别法,属基本题型. 评注】 评注 完全类似例题见《数学复习指南》 经济类), (经济类),.232 习题八(2(3)题)《考研数学过 习题八( ( ) , 《考研数学过 完全类似例题见《数学复习指南》 经济类), ( 关基本题型》 经济类) (经济类 关基本题型》 经济类)P.74【例 1,例 2】及练习 ( 【 , 】及练习. (10)设非齐次线性微分方程 y′ + P ( x ) y = Q ( x ) 有两个不同的解 y1 ( x ), y2 ( x ), C 为任意常 ) 数,则该方程的通解是 (,) C [ y1 ( x) ? y2 ( x) ] . (,) C [ y1 ( x) + y2 ( x) ] . (,) y1 ( x) + C [ y1 ( x) ? y2 ( x) ] . (,) y1 ( x) + C [ y1 ( x) + y2 ( x) ] [ , ]
【分析 利用一阶线性非齐次微分方程解的结构即可. 分析】 分析 【详解 详解】由于 y1 ( x) ? y2 ( x) 是对应齐次线性微分方程 y′ + P ( x ) y = 0 的非零解,所以 详解 它的通解是
Y = C [ y1 ( x) ? y2 ( x)] ,故原方程的通解为 y = y1 ( x) + Y = y1 ( x) + C [ y1
( x) ? y2 ( x) ] ,故应选(,).
【评注 评注】本题属基本题型,考查一阶线性非齐次微分方程解的结构: 评注
y = y * +Y .
其中 y * 是所给一阶线性微分方程的特解, Y 是对应齐次微分方程的通解. 相关性质和定理见《数学复习指南》 经济类) (经济类 相关性质和定理见《数学复习指南》 经济类)P.219. ( ( 11)设 f ( x, y )与? ( x, y ) 均为可微函数,且 ? y′ ( x, y ) ? 0 ,已知 ( x0 , y0 ) 是 f ( x, y ) 在约 ) 束条件 ? ( x, y ) = 0 下的一个极值点,下列选项正确的是 (A) 若 f x′ ( x0 , y0 ) = 0 ,则 f y′ ( x0 , y0 ) = 0 . (B) 若 f x′ ( x0 , y0 ) = 0 ,则 f y′ ( x0 , y0 ) ? 0 . (C) (D) 若 f x′ ( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y′ ( x0 , y0 ) = 0 . 若 f x′ ( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y′ ( x0 , y0 ) ? 0 . [ , ]
【分析 利用拉格朗日函数 F ( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λ? ( x, y ) 在 ( x0 , y0 , λ0 )( λ0 是对应 分析】 分析
x0 , y0 的参数 λ 的值)取到极值的必要条件即可.
【详解 作拉格朗日函数 F ( x, y , λ ) = f ( x, y ) + λ? ( x, y ) , 详解】 并记对应 x0 , y0 的参数 λ 的 详解 值为 λ0 ,则
F ′ ( x , y , λ ) = 0 ? f ′(x , y ) + λ ? ′(x , y ) = 0 ? x 0 0 0 ? x 0 0
0 x 0 0 , 即? ? ? Fy′ ( x0 , y0 , λ0 ) = 0 ? f y′ ( x0 , y0 ) + λ0? y′ ( x0 , y0 ) = 0 ? ?
消去 λ0 ,得
.
f x′ ( x0 , y0 )? y′ ( x0 , y0 ) ? f y′ ( x0 , y0 )? x′ ( x0 , y0 ) = 0 ,
整理得
f x′ ( x0 , y0 ) =
1
y′ ( x0 , y0 )
f y′ ( x0 , y0 )? x′ ( x0 , y0 ) .(因为 ? y′ ( x, y ) ? 0 ) ,
若 f x′ ( x0 , y0 ) ? 0 ,则 f y′ ( x0 , y0 ) ? 0 .故选(,). 【评注 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 评注】 评注 本题属基本题型,相关定理见《数学复习指南》 经济类), (经济类),.170 定理 1 及,.171 条 本题属基本题型,相关定理见《数学复习指南》 经济类), ( 件极值的求法. 件极值的求法 (12)设 α1 , α 2 ,? , α s 均为 n 维列向量, A 为 m × n 矩阵,下列选项正确的是 ) (A) (B) 若 α1 , α 2 ,? , α s 线性相关,则 Aα1 , Aα 2 ,? , Aα s 线性相关. 若 α1 , α 2 ,? , α s 线性相关,则 Aα1 , Aα 2 ,? , Aα s 线性无关.
(C) 若 α1 , α 2,? , α s 线性无关,则 Aα1 , Aα 2 ,? , Aα s 线性相关. (D) 若 α1 , α 2 ,? , α s 线性无关,则 Aα1 , Aα 2 ,? , Aα s 线性无关. [ 【分析 本题考查向量组的线性相关性问题,利用定义或性质进行判定. 分析】 分析 【详解 记 B = (α1 , α 2 ,? , α s ) ,则 ( Aα1 , Aα 2 ,? , Aα s ) = AB . 详解】 详解 所以,若向量组 α1 , α 2 ,? , α s 线性相关,则 r ( B ) < s="" ,从而="" r="" (="" ab="" )="" r="" (="" b="" )="">< s="" ,向量组="" a="">
Aα1 , Aα 2 ,? , Aα s 也线性相关,故应选(,).
【评注 对于向量组的线性相关问题,可用定义,秩,也可转化为齐次线性方程组有 评注】 评注 无非零解进行讨论. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》 经济类) (经济类 ,几乎相同试题见 完全类似例题及性质见《数学复习指南》 经济类)P.309【例 3.7】 几乎相同试题见 ( 【 】 , 最新模拟试卷(数学一), ),., 文登 2006 最新模拟试卷(数学一), ,(11). ) (13)设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B ,再将 B 的第 1 列的 ?1 倍加到第 2 )
1 1 0? ? ? 列得 C ,记 P = 0 1 0 ,则 ? ? ? 0 0 1? ? ?
(,) C = P AP . (,) C = P AP .
T ?1
(,) C = PAP . (,) C = PAP .
T
1
, ,
,
【分析 分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得. 分析 【详解 详解】由题设可得 详解
1 1 0? ? 1 ?1 0 ? ? 1 1 0 ? ? 1 ?1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? B = ? 0 1 0 ? A, C
= B ? 0 1 0 ? = ? 0 1 0 ? A ? 0 1 0 ? , ? 0 0 1? ?0 0 1? ? 0 0 1? ?0 0 1? ? ? ? ? ? ? ? ?
而
1 ?1 0 ? ? ? P = ? 0 1 0 ? ,则有 C = PAP ?1 .故应选(,). ?0 0 1? ? ?
1
【评注 (,) 评注】 每一个初等变换都对应一个初等矩阵, 并且对矩阵 A 施行一个初等行 (列) 评注 变换,相当于左(右)乘相应的初等矩阵. (,)牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见文登暑期辅导班《线性代数》 完全类似例题及性质见文登暑期辅导班《线性代数》第 2 讲【例 12】《数学复习指 】《数学复习指 , (经济类 南》 经济类)P.290【例 2.19】. (经济类) 【 】 (14)设随机变量 X 服从正态分布 N ( μ1 , σ 1 ) , Y 服从正态分布 N ( μ 2 , σ 2 ) ,且 )
2 2
P { X ? μ1 < 1}=""> P { Y ? μ 2 < 1}="">
则必有 (A) (C)
σ1 < σ="" 2="" μ1="">< μ="" 2="">
(B) (D)
σ1 > σ 2 μ1 > μ 2
[ A ]
【分析 利用标准正态分布密度曲线的几何意义可得. 分析】 分析 【详解 由题设可得 详解】 详解
X ? μ1 ? Y ? μ2 1? 1? P? <> P? < σ1="" σ2="" σ1="" σ2="">
则
1? ? 1 ? ? 1? ? 1 ? 2Φ ? ? ? 1 > 2Φ ? ? ? 1 ,即 Φ ? ? > Φ ? ? . ? σ1 ? ?σ2 ? ? σ1 ? ?σ2 ?
其中 Φ ( x ) 是标准正态分布的分布函数. 又 Φ ( x ) 是单调不减函数,则 故选(A). 【评注 对于服从正态分布 N ( μ , σ 2 ) 的随机变量 X , 评注】 在考虑它的概率时, 一般先将 X 评注 标准化,即
1
σ1
>
1
σ2
,即 σ 1 < σ="" 2="" .="">
X ?μ
σ
.
完全类似例题见文登暑期辅导班 概率论与数理统计》第 《数 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》 2 讲【例 7】 【例 8】 数 类似例题见文登暑期辅导班《 】和 】《 , 学复习指南》 经济类) (经济类 学复习指南》 经济类)P.417【例 2.7】. ( 【 】 解答题: , 小题, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 三 、解答题:15,23 小题,共 94 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 (本题满分 (15) 本题满分 7 分) ) (
设 f ( x, y ) =
y y ? , x > 0, y > 0 ,求 1 + xy arctan x
y ?+?
1 ? y sin
πx
(?) g ( x ) = lim f ( x, y ) ; (?) lim g ( x ) . +
x ?0
【分析 分析】第(?)问求极限时注意将 x 作为常量求解,此问中含 分析 第(?)问需利用第(?)问的结果,含 ? ? ? 未定式极限.
? , 0 ? ? 型未定式极限; ?
πx ? ? 1 ? y sin ? y y ? ? ? 【详解 详解】(?) g ( x ) = lim f ( x, y ) = lim ?
详解 y ?+? y ?? 1 + xy arctan x ? ? ? ? ? ?
πx ? sin ? y ? 1? 1 ? ? 1 y = lim ? ? y ?? 1 ? + x arctan x ?y ? ? ?
? ? ? ? 1 1?π x . ?= ? x arctan x ? ? ? ? ?
arctan x ? x + π x 2 ? 1 1? π x ? (?) lim g ( x ) = lim ? ? (通分) ? = lim x ? 0+ x ?0+ ? x arctan x ? x ?0+ x arctan x
1 ? 1 + 2π x 2 arctan x ? x + π x 2 ? x 2 + 2π x(1 + x 2 ) = lim = lim 1 +
x = lim =π x ? 0+ x ? 0+ x ?0+ x2 2x 2x
【评注 评注】本题为基本题型,注意利用洛必达法则求未定式极限时,要充分利用等价无 评注 穷小代换,并及时整理极限式,以使求解简化. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 1 讲第 2 节【例 21】《数学复习 】《数学复习 , 指南》 ,P.30【例 1.40】《考研数学 指南》经济类 P.32【例 1.45(1), 【 ( ),P.29【例 1.35】【例 1.36】 】 【 】【例 , 】 , 【 】《考研数学 , 过关基本题型》 经济类) 【 (经济类 ,P.9【 过关基本题型》 经济类)P.8【例 14】 ( 】 , 【例 16】. 】 (本题满分 (16) 本题满分 7 分) ) ( 计算二重积分
??
D
y 2 ? xy dxdy ,其中 D 是由直线 y = x, y = 1, x = 0 所围成的平面区域.
【分析 分析】画出积分域,将二重积分化为累次积分即可. 分析 【详解 积分区域如右
图.因为根号下的函数为关于 x 的一 详解】 详解 次函数, “先 x 后 y ”积分较容易,所以
??
D
y 2 ? xy dxdy = ? dy ?
0
1
y
0
y 2 ? xy dx
=?
3 2 11 2 ( y ? xy ) 2 3 ?0 y
y 0
dy =
2 1 2 2 ?0 y dy = 9 . 3
【评注 评注】计算二重积分时,首先画出积分区域的图形,然后结合积分域的形状和被积函 评注 数的形式,选择坐标系和积分次序. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 10 讲第 2 节【例 8】《数学复习指 】《数学复习指 , (经济类 (经济类 ,P.66【例 南》 经济类)P.181【例 7.2】《考研数学过关基本题型》 经济类)P.65【例 1】 (经济类) 【 】《考研数学过关基本题型 (经济类) , 考研数学过关基本题型》 【 】 , 【 3】及练习 】及练习. (本题满分 (17) 本题满分 10 分) ) ( 证明:当 0 < a="">< b="">< π="" 时,="">
b sin b + 2 cos b + π b > a sin a + 2 cos a + π a .
【分析 利用“参数变易法”构造辅助函数,再利用函数的单调性证明. 分析】 分析 【详解 令 f ( x ) = x sin x + 2 cos x + π x ? a sin a ? 2 cos a ? π a, 0 < a="" x="" b="">< π="" ,="" 详解】="" 详解="" 则="" f="" ′(="" x="" )="sin" x="" +="" x="" cos="" x="" 2sin="" x="" +="" π="x" cos="" x="" sin="">
x + π ,且 f ′(π ) = 0 . 又 f ′′( x ) = cos x ? x sin x ? cos x = ? x sin x <>
0 , 0 < x="">< π="" 时,="" x="" sin="" x=""> 0 ) ( , 故当 0 < a="" x="" b="">< π="" 时,="" f="" ′(="" x="" )="" 单调减少,即="" f="" ′(="" x="" )=""> f ′(π ) = 0 ,则 f ( x ) 单调增加, 于是 f (b) > f ( a )
= 0 ,即
b sin b + 2 cos b + π b > a sin a + 2 cos a + π a .
【评注 证明数值不等式一般需构造辅助函数, 评注】 辅助函数一般通过移项, 使不等式一端为 “0” , 评注 另一端即为所作辅助函数 f ( x ) ,然后求导验证 f ( x ) 的增减性,并求出区间端点的函数值(或极 限值) ,作比较即得所证. 本题也可用拉格朗日中值定理结合函数的单调性证明. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》 《数学复习指南 完全类似例题见文登暑期辅导班 高等数学》 8 讲第 2 节 例 4】 数学复习指南》 《 第 【 】 数学复习指南》 , 《 经济类) (经济类 ,P.99【例 (经济类)P.242【例 10.18】《考研数学过关基本题型》 经济类)P.98【例 11】 【 】《考研数学过关基本题型 (经济类) , 考研数学过关基本题型》 【 】 , 【 13】及练习 】及练习. (本题满分 (18) 本题满分 8 分) ) ( 在 xOy 坐标平面上,连续曲线 L 过点 M (1, 0 ) ,其上任意点 P ( x, y )( x ? 0 ) 处的切线 斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax (常数 a >0 ). (?) 求 L 的方程; (?) 当 L 与直线 y = ax 所围成平面图形的面积为
8 时,确定 a 的值. 3
【分析 分析】(?)利用导数的几何意义建立微分方程,并求解;(?)利用定积分计算平
面图 分析
形的面积,确定参数. 【详解 详解】(?) 设曲线 L 的方程为 y = f ( x) ,则由题设可得 详解
y′ ?
通解公式得
y 1 = ax ,这是一阶线性微分方程,其中 P ( x) = ? , Q( x) = ax ,代入 x x
1 1 ? xdx ? axe ? ? xdx dx + C ? = x ax + C = ax 2 + Cx , y = e ?? ( ) ? ? ?
又 f (1) = 0 ,所以 C = ? a . 故曲线 L 的方程为 y = ax 2 ? ax ( x ? 0) . (?) L 与直线 y = ax ( a >0 )所围成平面图形如右图所 示. 所以
D = ? ? ax ? ( ax 2 ? ax ) ? dx ? 0 ? 2 4 8 = a ? ( 2 x ? x 2 ) dx = a = , 0 3 3 故a = 2.
2
【评注 评注】本题涉及了导数和定积分的几何意义,一阶线性微分方程的求解,属基本题型. 评注 完全类似例题见《数学复习指南》 经济类) (经济类 ,P.149【例 5.34】《考研 完全类似例题见《数学复习指南》 经济类)P.136【例 5.13】 ( 【 】 , 【 】《考研 , 数学过关基本题型 (经济类) 本题型》 (经济类 数学过关基本题型》 经济类)P.272【例 15】及练习 8.2. 【 】 (本题满分 (19) 本题满分 10 分) ) (
( ?1) x 2 n+1 的收敛域及和函数 s( x) . 求幂级数 ? n =1 n ( 2n ? 1)
? n ?1
【分析 分析】因为幂级数缺项,按函数项级数收敛域的求法计算;利用逐项求导或积分并结 分析 合已知函数的幂级数展开式计算和函数. 【详解 详解】记 un ( x) = 详解
(?1) n ?1 x 2 n +1 ,则 n(2n ? 1)
(?1) n x 2 n +3 u ( x) 2 (n + 1)(2n + 1) lim n +1 = lim = x . n ?1 2 n +1 n ?? u ( x) n ?? (?1) x n n(2n ? 1)
所以当 x < 1,="" 即="" x="">< 1="" 时,所给幂级数收敛;当="" x=""> 1 时,所给幂级数发散;
2
当 x = ?1 时,所给幂级数为
(?1)n ?1 (?1) n , ,均收敛, n(2n ? 1) n(2n ? 1)
故所给幂级数的收敛域为 [ ?1,1] 在 ( ?1,1) 内, s ( x) =
?
? (?1) n ?1 x 2 n +1 (?1) n ?1 x 2 n = 2 x? = 2 xs1 ( x) , n =1 n (2n ? 1) n =1 (2n ? 1) ( 2 n ) ?
n ?1 2 n ?1 ? ? ′ ( x) = ? (?1) x , s1′′ ( x) = ? (?1) n ?1 x 2 n ? 2 =
1 , 而 s1 2n ? 1 1 + x2 n =1 n =1
所以 s1′ ( x ) ? s1′ (0) =
?
x
x
0
s1′′ (t )dt = ?
x
0
1 dt = arctan x ,又 s1′ (0) = 0 , 1+ t2
于是 s1′ ( x ) = arctan x .同理
s1 ( x) ? s1 (0) = ? s1′ (t )dt = ? arctan tdt
x 0 0
t 1 dt = x arctan x ? ln (1 + x 2 ) , 2 0 1+ t 2 1 2 又 s1 (0) = 0 ,所以 s1 ( x) = x arctan x ? ln (1 + x ) . 2 = t arctan t
x 0
?
x
故 s ( x) = 2 x 2 arctan x ? x ln 1 + x 2 . x ? ( ?1,1) . 由 于 所 给 幂 级 数 在 x = ?1 处 都 收 敛 , 且 s ( x) = 2 x 2 arctan x ? x ln 1 + x 2 在
(
)
(
)
x = ?1 处都连续,所以 s ( x) 在 x = ?1 成立,即
s ( x) = 2 x 2 arctan x ? x ln (1 + x 2 ) , x ? [ ?1,1] .
【评注 评注】本题幂级数是缺项幂级数,则应采用函数项级数求收敛域的方法,属基本题型. 评注 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第 11 讲第 2 节【例 12】【例 15】《数 】【例 】《数 , , 学复习指南》 经济类) (经济类 ,P.209【例 8.18】《考研数学过关基础题型》 经 (经 学复习指南》 经济类)P.204【例 8.13】 ( 【 】 , 【 】《考研数学过关基础题型 ( , 考研数学过关基础题型》 济类) ,P.81【例 9】及练习 济类)P.78【例 6】 【 】 , 【 】及练习. (本题满分 (20) 本题满分 13 分) ) ( 设 4 维 向 量 组 α1 = (1 + a,1,1,1) , α 2 = ( 2, 2 + a, 2, 2 ) , α 3 = ( 3, 3,3 + a,3) ,
T T T T
α 4 = ( 4, 4, 4, 4 + a ) ,问 a 为何值时 α1 , α 2 ,α 3 ,α 4 线性相关?当 α1 , α 2 ,α 3 ,α 4 线性相关时,求
其一个极大线性无关组,并将其余向量用该极大线性无关组线性表出. 【分析 分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同,所以用以向量为列向量的矩阵的行 分析 列式为零来确定参数 a ;用初等变换求极大线性无关组. 【详解 详解】记以 α1 , α 2 , α 3 , α 4 为列向量的矩阵为 A ,则 详解
A=
1+ a 2 1 2+a 1 1 2 2
3 3
4 4
3+ a 4 3 4+a
= (10 + a )a 3 .
于是当 A =0, 即a = 0或a = ?10 时, α1 , α 2 , α 3 , α 4 线性相关. 当 a = 0 时,显然 α1 是一个极大线性无关组,且 α 2 = 2α1 , α 3 = 3α1 , α 4 = 4α1 ; 当 a = ?10 时,
α1 α 2
α3
α4
?9 2 3 4 ? ? ? ? 1 ?8 3 4 ? , A= ? 1 2 ?7 4 ? ? ? ? 1 2 3 ?6 ?
9
由于此时 A 有三阶非零行列式 1
2
3
1
8 3 = ?400 ? 0 ,所以 α1 , α 2 , α 3 为极大线性无 2 ?7
关组,且 α1 + α 2 + α 3 + α 4 = 0,即α 4 = ?α1 ? α 2 ? α 3 . 【评注 评注】本题属常规题型.91 年,00 年和 04 年均考过. 评注 完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》 (经 完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第 3 讲【例 1,例 2】《数学复习指南》 经 例 】《数学复习指南 ( , 数学复习指南》 济类) (经济类 济类)P.306【例 3.2】《考研数学过关基本题型》 经济类)P.134【例 3】. 【 】《考研数学过关基本题型 (经济类) , 考研数学过关基本题型》 【 】 (本题满分 (21) 本题满分 13 分) ) ( 设 3 阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3,向量 α1 = ( ?1, 2, ?1) , α 2 = ( 0, ?1,1) 是
T T
线性方程组 Ax = 0 的两个解. (?) 求 A 的特征值与特征向量; (?) 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 Λ ,使得 Q T AQ = Λ ;
3 ? ? (?)求 A 及 ? A ? E ? ,其中 E 为 3 阶单位矩阵. 2 ? ?
【分析 由矩阵 A 的各行元素之和均为 3 及矩阵乘法可得矩阵 A 的一个特征值和对应 分析】 分析 的特征向量;由齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解可知 A 必有零特征值,其非零解是 0 特征 值所对应的特征向量.将 A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵 Q ; Q T AQ = Λ 可 由 得到 A 和 ? A ?
6
?
3 ? E? . 2 ?
6
【详解 (?) 因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3,所以 详解】 详解
1? ? 3 ? ? 1? ? ? ? ? ? ? A ? 1? = ? 3 ? = 3 ? 1 ? , ? 1? ? 3 ? ? 1? ? ? ? ? ? ?
则由特征值和特征向量的定义知, λ = 3 是矩阵 A 的特征值, α = (1,1,1) T 是对应 的特征向量.对应 λ = 3 的全部特征向量为 kα ,其中 k 为不为零的常数. 又由题设知
Aα1 = 0, Aα 2 = 0 ,即 Aα1 = 0 ? α1 , Aα 2 = 0 ? α 2 ,而且 α1 , α 2 线性无
关,所以 λ = 0 是矩阵 A 的二重特征值, α1 , α 2 是其对应的特征向量,对应 λ = 0 的全 部特征向量为
k1α1 + k2α 2 ,其中 k1 , k2 为不全为零的常数.
(?) 因为 A 是实对称矩阵,所以 α 与 α1 , α 2 正交,所以只需将 α1 , α 2 正交. 取
β1 = α 1 ,
1? ? ?0? ? ?1 ? ? 2 ? ? ? (α , β ) ?3 β 2 = α 2 ? 2 1 β 1 = ? ? 1? ? ? 2 ?
= ? 0 ? . ? ? 6 ? ? ( β1 , β1 ) ?1? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ? 2 ?
再将 α , β1 , β 2 单位化,得
? ? α ? = η1 = α ? ? ? ? ?
令
1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? ?? ? 3? 6? ?? ? ? 2? 1 ? β1 ? 2 ? β2 ? ? ,η 2 = β = ? ? ,
η3 = β = ? 0 ? , 3? 6 ? 1 2 ? 1 ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 3? 6 ? ?
Q = [η1 ,η2 ,η3 ] ,则 Q ?1 = Q T ,由 A 是实对称矩阵必可相似对角化,得
3 ? ? 0 ?=Λ. Q AQ = ? ? ? 0? ? ?
T
3 ? ? 0 ? = Λ ,所以 (?)由(?)知 Q AQ = ? ? ? 0? ? ?
T
? ? ? A = QΛQ T = ? ? ? ? ?
6 T
1 3 1 3 1 3
1 6 2 6 1 ? 6 ?
1 ? ? 1 ? ? 2? 3 3 ? ?? ?? ?? 1 0 ?? 0 ?? ? 6 ? ? ?? 0?? 1 ? ? 1 ?? ? 2 ? 2 ?
6
1 3 2 6 0
6
1 ? ? 3 ? 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? ? = ? 1 1 1? . 6? ? ? ? 1 1 1? 1 ? ? 2 ?
3 ? ? ? 3 ? ? ? 3 ? ? Q ? A ? E ? Q = ?Q T ? A ? E ? Q ? = ? Q T AQ ? E ? 2 ?
2 ? ? ? 2 ? ? ? ?
?3 ? ? ? ?2 ?? 3 ? ? ? = ?? 0 ??? ? ? ? ?? 0? ? ? ? ? ? ? ?
6 6 6
3 2
6 ? 3 6 ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? 2 ? ?? ? ?? = ? ?? ? ?? 3 ?? ? ? ? 2 ?? ? ? ?
3? ? ? ? 2?
6
? ? 6 ? ? ?=?3? E , ? ? ?2? 6? ? 3? ? ? ? ? ? 2? ?
3 ? ? ?3? ?3? 则 ? A ? E ? = Q ? ? EQ T = ? ? E . 2 ? ? ?2? ?2?
【评注 本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量及矩阵的对角化问题,抽象矩 评
注】 评注 阵特征值和特征向量问题一般用定义求解,要想方设法将题设条件转化为 Ax = λ
x 的形式. 矩阵的对角化用常规方法求解. 完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》 (经
济 完全类似例题见文登暑期辅导班《线性代数》第 5 讲【例 12】《数学复习指南》 经济 】
《数学复习指南 ( , 数学复习指南》 ,P.282【例 2.7】《考研数学过关基本题型》 经济
类)P.167【例 6】 (经济类 类)P.370【例 5.24】 【 】 , 【 】《考研数学过关基本题
型 (经济类) , 考研数学过关基本题型》 【 】 及练习 3.1,3.4. , (本题满分 (22)
本题满分 13 分) ) ( 设随机变量 X 的概率密度为
1 ? 2 , ?1 < x="">< 0="" fx="" (="" x)="?" ,="" 0="" x="">< 2="" ,="" ,="" 其他="">
令 Y = X , F ( x, y ) 为二维随机变量 ( X , Y ) 的分布函数.
2
(?) 求 Y 的概率密度 fY ( y ) ; (?) Cov( X , Y ) ;
(?)
1 ? F ? ? ,4? . ? 2 ?
【分析 求一维随机变量函数的概率密度一般先求分布,然后求导得相应的概率密度 分
析】 分析 或利用公式计算. 【详解 (I) 设 Y 的分布函数为 FY ( y ) ,即 FY ( y ) = P (Y ? y ) = P ( X ? y ) ,则 详解】 详解
2
1) 当 y < 0="" 时,="" fy="" (="" y="" )="0" ;="" 2)="" 当="" 0="" y="">< 1="" 时,="" fy="" (="" y="" )="P" (="" x="">< y="">
= P ? y < x=""><>
2
(
y
)
=?
0
y 1 1 3 dx + ? dx = y. y 2 0 4 4 2
3) 当 1 ? y < 4="" 时,="" fy="" (="" y="" )="P" (="" x="">< y="" )="P">< x=""><>
(
y
)
=?
4) 当 y ? 4 , FY ( y ) = 1 . 所以
y 1 1 1 1 dx + ? dx = y+ . ?1 2 0 4 4 2 0
3 ?8 y , 0 < y="">< 1="" 1="" fy="" (="" y="" )="FY" ′="" (="" y="" )="?" ,1="" y="">< 4="" .="" y="" 0,="" 其他="">
(II) Cov( X , Y ) = Cov( X , X 2 ) = E ( X ? EX )( X 2 ? EX 2 ) = EX 3 ? EXEX
2 ,
2 2 2 x 0 x 2 x x 1 5 2 而 EX = ? dx + ? dx = , EX = ? dx + ? dx = , ?1 2 0 4 ?1 2 0 4 4 6 0 3 2 x x3 7 dx + ? dx = , ?1 2 0 4 8 0
EX 3 = ?
所以 Cov( X , Y ) = (?) F ? ?
7 1 5 2 ? ? = . 8 4 6 3
1 1 ? 1 ? ? ? ? ? , 4 ? = P ? X ? ? ,Y ? 4 ? = P ? X ? ? , X 2 ? 4 ? 2 2 ? 2 ? ? ? ? ? 1 1? ? ? ? = P ? X ? ? , ?2 ? X ? 2 ? = P ? ?2 ? X ? ? ? 2 2? ? ? ?
=?
1 2 ?1 ?
1 1 dx = . 2 4
【评注 本题属基本题型,只需注意计算的准确性,应该可以顺利求解.第一步求随机 评注】 评注 变量函数分布,一般都是通过定义用分布函数法讨论. 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》 ,第 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第 2 讲【例 4】 第 3 讲【例 6】 】 , 】 , 数学复习指南》 经济类) (经济类 ,P.469【例 3.32】. 《数学复习指南》 经济类)P.423【例 2.21】 ( 【 】 , 【 】 (本题满分 (23) 本题满分 13 分) ) ( 设总体 X 的概率密度为
θ , 0 < x="">< 1,="" f="" (="" x;θ="" )="?1" θ="" ,1="" x="">< 2,="" ,="" 其他,="">
其中 θ 是未知参数 ( 0 < θ="">< 1)="" ,="" x="" 1="" ,="" x="" 2="" ??,="" x="" n="" 为来自总体="" x="" 的简单随机样本,记="" n="" 为样本="" 值="" x1="" ,="" x2="" ??,="" xn="" 中小于="" 1="" 的个数.="" (?)求="" θ="" 的矩估计;="" (?)求="" θ="" 的最大似然估计="" 【分析="" 利用矩估计法和最大似然估计法计算.="" 分析】="" 分析="" 【详解="" (?)因为="" ex="详解】" 详解="" 令="">
?
+?
?
xf ( x;θ )dx = ? xθ dx + ? x (1 ? θ )dx =
1 2 0 1
3 ?θ , 2
3 3 ? θ = X ,可得 θ 的矩估计为 θ = ? X . 2 2
(?)记似然函数为 L(θ ) ,则
L(θ ) = θ ?θ ?? ?θ (1 ? θ ) ? (1 ? θ ) ?? ? (1 ? θ ) = θ N (1 ? θ ) n ? N .
N个
( n ? N )个
两边取对数得
ln L(θ ) = N ln θ + (n ? N ) ln(1 ? θ ) ,
令
N d ln L(θ ) N n ? N = ? = 0 ,解得 θ = 为 θ 的最大似然估计. dθ θ 1?θ n
【评注 要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法,最大似然估计法. 评注】 评注 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》 完全类似例题见文登暑期辅导班《概率论与数理统计》第 5 讲【例 5】《数学复习指 】《数学复习指 , (经济类),.497【例 6.1,例 6.4】. 南》 经济类), (经济类), 【 , 】 知识宝库考研社区提供下载 最新版的数学复习指南电子版及答案详解。点击访问: ,知识宝库考研社区提供下载 2007 最新版的数学复习指南电子版及答案详解。点击访问: http://www.1zhao.org
范文二:2012考研数三真题
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、选择题 :18小题 , 每小题 4分 , 共 32分 . 下列每题给出的四个选项中 , 只有一个选项符合题目 要求的 , 请将所选项前的字母填在答题纸 ...
指定位置上 . (1)曲线 221
x x y x +=-渐进线的条为 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
(2)设函数 2() (1)(2)
() x x nx f x e e e n =---,其中 n 为正整数,则 '(0)f = ( )
(A) 1(1) (1)! n n --- (B)(1) (1)! n n -- (C) 1(1) ! n n -- (D) (1) ! n n - (3)设函数 () f t 连续,则二次积分 2
220
2cos d () d f r r r π
θ
θ=??
( )
(A)
2
2
2
d ()d x x y y +?
(B)
2
220
d ()d x f x y y +?
(C)
22
2
d ()d y x y x +?
(D)
2
220
1d ()d y f x y x +?
(4)
已知级数 21
1 (1)
n n ∞=-∑绝对收敛,级数 21(1) n
a n n
∞
-=-∑条件收敛,则 ( )
(A) 102a <>
(B) 112a <≤ (c)="" 312a="">≤><≤ (d)3="">≤>
a < (5)设="" 1100a="" c="" ????="??????," 2201a="" c="" ????="??????," 3311a="" c="" ????="-??????," 4411a="" c="">
??=??????
,其中 1234c c c c 为任意常数,则下列向量组线
性相关的为 ( )
(A) 123a a a (B) 124a a a (C) 134a a a (D) 234a a a
(6)设 A 为 3阶 矩 阵 , P 为 3阶 可 逆 矩 阵 , 且 1100010002P AP -??
?
? ???, 若 133(, , ) P a a a =
1223(, , ) Q a a a a =+则 1Q AQ -=( )
(A)100020001?? ? ? ??? (B)100010002?? ? ? ??? (C)200010002?? ? ? ??? (D)200020001?? ? ? ???
(7)设随机变量 X 与 P 相互独立,且都服从区间(0.1)上的均匀分布,则 {}
221P x y +≤= ( )
(A)
14 (B) 12 (C) 8π (D)4
π (8)设 1234, , x x x x 为来自总体 2(1,6) N (
60)的简单随机样本,则位计量
2
34|2|
x x x x -+-的分布为
( )
(A) N(0,1) (B) t(1)(C) 2(1)x (D)(1,1f )
二、填空题:914小题 , 每小题 4分 , 共 24分 . 请将答案写在答题纸 ...
指定位置上 . (9)()
1
cos sin 4
lim tan x x
x x π
-→
=
(10)设函数 (
)ln , 121, 1
x f x x x ?≥?
=?
-?, ()()y="" f="" f="" x="">??,>
x e
dy dx ==
(11)设连续函数 (, ) z f x y =
满足 0x y →→=则 ()0,1d |z =
(12)由曲线 4
y x
=
和直线 y x =及 4y x =在第一象限中围成的平面图形的面积为 (13)设 A 为 33A =, *A 为 A 的伴随矩阵。 若交换 A 的第 1行与第 2行得矩阵 B , 则 *BA =
(14)设 A 、 B 、 C 是随机事件, A 与 C 互不相容, 1() 2
P AB =
, 1
() 3P C =, 则 (|) P AB =
三、解答题:15~23小题 , 共 94分 . 请将解答写在答题纸 ... 指定位置上 . 解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 .
(15)(本题满分 分 )
求极限 2
22cos 40lim x x
x e e x
-→-(10分) (16)(本题满分 10 分 ) 计算二重积分
d d x
e xy x y ??,其中 D
是以曲线 y y ==
y 轴为边界的无界区域 .
(17)(本题满分 分 )
两种产品的产量分别为 x (件)和 y (件) ,且定两种产品的边际成本分别为 202
x
+(万元 /件) 与 6y +(万元 /件) 。
(1)求生产甲乙两种产品的总成本函数 (, ) C x y (万元)
(2)当总产量为 50件时,甲乙两种的产量各为多少时可使总成本最小?求最小 成本 (3)求总产量为 50件时且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释其经济意义。
(18)(本题满分 10 分 )
证明 2
1ln cos 1,(11) 12
x x x x x x ++≥+-<>
(19)(本题满分 10 分 )
已知函数 () f x 满足方程 '' ' () () 2() 0f x f x f x +-=及
'' () () 2x f x f x e +=
(1)求 () f x 的表达式 (2)求曲线 220
() ()d x y f x f t t =-?的拐点 (20)(本题满分 11 分 )
设 1000100010
01a a A a a
?? ? ?
= ? ???, 1100β??
?
? ?=- ?
? ???
(1)
计 算行列式 A ; (2)当实数 a 为何值时,方程组 Ax β=有无穷多解,并求其通解 . (21)(本题满分 11 分 )
已知 10
10111001A a a
??
? ?
=
?-
?-??
,二次型 ()()123, , T T f x x x x A A x =的秩为 2, (1)求实数 a 的值;
(2) 求正交变换 x Qy =将 f 化为标准形 . (22) (本题满分 11分)
设二维离散型随机变量 X 、 Y 的概率分布为
(Ⅰ)求 {}2P X Y =; (Ⅱ)求 Cov(, ) X Y Y -.
(23) (本题满分 11分)
设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立 , 且 服 从 参 数 为 1的 指 数 分 布 . 记 {}max , U X Y =,
{}min , V X Y =
(Ⅰ)求 V 的概率密度 () V f v ; (Ⅱ)求 () E U V +.
范文三:1994考研数三真题及解析
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题 (本题共 5小题 , 每小题 3分 , 满分 15分 . 把答案填在题中横线上 .) (1)
2
222x x
x -+=+?_____________.
(2) 已知 () 1f x '=-, 则 0
00lim
(2) ()
x x
f x x f x x →=---_____________.
(3) 设方程 2cos xy e y x +=确定 y 为 x 的函数 , 则
dy
dx
=(4) 设 121000000, 000000n n a a A a a -????
??
??=????????
L L M M M
M L L 其中 0, 1,2, , , i a i n ≠=L 则 1A -=_____________. (5) 设随机变量 X 的概率密度为
2, 01,
() 0, x x f x <>
?
其他, 以 Y 表示对 X 的三次独立重复观察中事件 12X ??
≤
????
出现的次数 , 则 {}2P Y == _____________.
二、选择题 (本题共 5小题 , 每小题 3分 , 满分 15分 . 每小题给出的四个选项中 , 只有一项符 合题目要求 , 把所选项前的字母填在题后的括号内 .)
(1) 曲线 2
1
21
arctan (1)(2)
x x x y e x x ++=+-的渐近线有 ( )
(A) 1条 (B) 2条 (C) 3条 (D) 4条 (2) 设常数 0λ>, 而级数
21
n
n a
∞
=∑收敛 ,
则级数
1
(1)
n
n ∞
=-∑ ( )
(A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与 λ有关 (3) 设 A 是 m n ?矩阵 , C 是 n 阶可逆矩阵 , 矩阵 A 的秩为 r , 矩阵 B AC =的秩为 1r , 则
( )
(A) 1r r > (B) 1r r
(C) 1r r = (D) r 与 1r 的关系由 C 而定
(4) 设 0() 1,0() 1, () () 1P A P B P A B P A B <+=, 则="" (="">+=,>
(A) 事件 A 和 B 互不相容 (B) 事件 A 和 B 相互对立
(C) 事件 A 和 B 互不独立 (D) 事件 A 和 B 相互独立
(5) 设 12, , , n X X X L 是来自正态总体 2(, ) N μσ的简单随机样本 , X 是样本均值 , 记
222
21
211
222
234
11
11() , () , 111() , () , 1n n i i i i n n i i i i S X X S X X n n S X S X n n μμ=====-=--=-=--∑∑∑∑
则服从自由度为 1n -的 t 分布的随机变量是 ( )
(A) X t μ-=
(B) X t μ
-=
(C) X t μ-=
(D) X t μ
-=
三、 (本题满分 6分 )
计算二重积分
() , D
x y dxdy +??
其中 {}22
(, ) 1D x y x y x y =+≤++.
四、 (本题满分 5分 )
设函数 () y y x =满足条件 440,
(0)2, (0)4, y y y y y '''++=??'==-?
求广义积分 0() y x dx +∞?.
五、 (本题满分 5分 )
已知 2
2
(, ) arctan arctan y x f x y x y x y =-, 求 2f x y
???.
六、 (本题满分 5分 )
设函数 () f x 可导 , 且 10
(0)0, () () x
n n n f F x t f x t dt -==-?
, 求 20
()
lim
n
x F x x
→.
七、 (本题满分 8分 )
已知曲线 0) y a =>
与曲线 y =00(, ) x y 处有公共切线 , 求 : (1) 常数 a 及切点 00(, ) x y ;
(2) 两曲线与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积 x V .
八、 (本题满分 6分 )
假设 () f x 在 [, ) a +∞上连续 , () f x ''在 (), a +∞内存在且大于零 , 记
() ()
() () f x f a F x x a x a
-=
>-,
证明 () F x 在 (), a +∞内单调增加 .
九、 (本题满分 11分 ) 设线性方程组
231121312312223223
1323332314243
4, ,
, .
x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a ?++=?++=??++=??++=? (1) 证明 :若 1234, , , a a a a 两两不相等 , 则此线性方程组无解;
(2) 设 1324, (0) a a k a a k k ====-≠, 且已知 12, ββ是该方程组的两个解 , 其中
12111, 1, 11ββ-????
????==????
????-????
写出此方程组的通解 .
十、 (本题满分 8分 )
设 0011100A x y ????=??????
有三个线性无关的特征向量 , 求 x 和 y 应满足的条件 .
十一、 (本题满分 8分 )
假设随机变量 1234, , , X X X X 相互独立 , 且同分布
{}{}00.6, 10.4(1,2,3,4) i i P X P X i =====,
求行列式 12
34
X X X X X =
的概率分布 .
十二、 (本题满分 8分 )
假设由自动线加工的某种零件的内径 X (毫米 ) 服从正态分布 (,1) N μ, 内径小于 10或
大于 12的为不合格品 , 其余为合格品 , 销售每件合格品获利 , 销售每件不合格品亏损 . 已知销 售利润 T (单位 :元 ) 与销售零件的内径 X 有如下关系 :
1, 10, 20, 1012, 5, 12. X T X X -<>
=≤≤??->?
问平均内径 μ取何值时 , 销售一个零件的平均利润最大 ?
1994年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题 (本题共 5小题 , 每小题 3分 , 满分 15分 .) (1)【答案】 ln 3 【解析】 利用被积函数的奇偶性 , 当积分区间关于原点对称 , 被积函数为奇函数时 , 积分为 0;被积函数为偶函数时 , 可以化为二倍的半区间上的积分 . 所以知
原式 2
222222202222x x x dx dx x x x --=
+=+++??? 2
22
12x
=
+?
220
ln (2) ln 6ln 2ln 3. x =+=-=
(2)【答案】 1
【解析】根据导数的定义 , 有 0000
() ()
() lim
x f x x f x f x x
?→+?-'=?.
所以由此题极限的形式可构造导数定义的形式 , 从而求得极限值 . 由于
000(2) ()
lim
x f x x f x x x
→---
00000(2) () () () lim x f x x f x f x x f x x
→----+= 00000000(2) () () ()
(2)lim lim 2() () 1.
2x x f x x f x f x x f x f x f x x x →→----''=-+=-+=--所以 原式 0
001
lim
1(2) () 1
x x f x x f x x →===---.
(3)【答案】 sin 2xy xy ye x
y xe y
+'=-+
【解析】将方程 2
cos xy
e y x +=看成关于 x 的恒等式 , 即 y 看作 x 的函数 . 方程两边对 x 求导 , 得
sin () 2sin 2xy xy
xy ye x
e y xy yy x y xe y
+'''++=-?=-
+. 【相关知识点】两函数乘积的求导公式:[]() () () () () () f x g x f x g x f x g x '''?=?+?.
(4)【答案】 1
2
1
100010001
00
01
000n n a a a a -?
?
?????????????
??????
??????
?
【解析】由分块矩阵求逆的运算性质 , 有公式 1
11
00A B B A
---????=???
?????
, 且 1
112
2
11
1n n a a a a a a -????????
???
?
?
??
?=????????
?
??
??????
?
所以 , 本题对 A 分块后可得 11
2
1
100010001
00
01
000n n a a A a a --?
?????????????=?
??????
??????
?
. (5)【答案】
9
64
【解析】已知随机变量 X 的概率密度 , 所以概率 1
2011224P X xdx ?
?≤==???
??, 求得二项分
布的概率参数后 , 故 1
~(3,) 4
Y B .
由二项分布的概率计算公式 , 所求概率为 {}2
2313924464
P Y C ????=== ? ?
????. 【相关知识点】二项分布的概率计算公式:
若 (, ) Y B n p ~, 则 {}(1) k k
n k n P Y k C p p -==-, 0,1, , k n = ,
二、选择题 (本题共 5小题 , 每小题 3分 , 满分 15分 .) (1)【答案】 (B)
【解析】本题是关于求渐近线的问题 .
由于 1
21lim arctan (1)(2) 4
x x x x e x x π
→∞++=+-,
故 4
y π
=
为该曲线的一条水平渐近线 .
又 1
2
01
lim arctan (1)(2)
x x x x e x x →++=∞+-.
故 0x =为该曲线的一条垂直渐近线 , 所以该曲线的渐近线有两条 .
故本题应选 (B).
【相关知识点】水平渐近线:若有 lim () x f x a →∞
=, 则 y a =为水平渐近线;
铅直渐近线:若有 lim () x a
f x →=∞, 则 x a =为铅直渐近线;
斜渐近线:若有 ()
lim
, lim[() ]x x f x a b f x ax x
→∞
→∞==-存在且不为 ∞, 则 y ax b =+为斜渐
近线 .
(2)【答案】 (C)
【解析】考查取绝对值后的级数 . 因
2222
111112222n n a a n n λ≤
+<++, (第一个不等式是由="">++,>
210, 0, () 2
a b ab a b ≥≥≤
+得到的 .) 又 2
1n
n a ∞
=∑收敛 , 2112n n ∞
=∑收敛 ,(此为 p 级数:11
p n n
∞
=∑当 1p >时收敛;当 1p ≤时发散 .) 所以 22111
22n n a n ∞
=+∑收敛 , 由比较判别法 ,
得 n ∞
=收敛 . 故原级数绝对收敛 , 因此选 (C). (3)【答案】 (C)
【解析】由公式 () min((), ()) r AB r A r B ≤, 若 A 可逆 , 则
1() () () [()]() r AB r B r EB r A AB r AB -≤==≤.
从而 () () r AB r B =, 即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩 , 所以选 (C).
(4)【答案】 (D)
【解析】事实上 , 当 0() 1P B <时 ,="" (|)="" (|)="" p="" a="" b="" p="" a="" b="是事件" a="" 与="" b="" 独立的充分必要="" 条件="" ,="">时>
若 (|) (|) P A B P A B =, 则
() ()
() 1()
P AB P AB P B P B =
-, () () () () () P AB P B P AB P B P AB -=, () () [() ()]() () P AB P B P AB P AB P B P A =?+=,
由独立的定义 , 即得 A 与 B 相互独立 .
若 A 与 B 相互独立 , 直接应用乘法公式可以证明 (|) (|) P A B P A B = .
(|) 1(|) (|) P A B P A B P A B =-=.
由于事件 B 的发生与否不影响事件 A 发生的概率 , 直观上可以判断 A 和 B 相互独立 . 所以本题选 (D). (5)【答案】 (B)
【解析】 由于 12, , , n X X X 均服从正态分布 2
(, ) N μσ, 根据抽样分布知识与 t 分布的应 用模式可知
(0,1)N , 其中 1
1n
i i X X n ==∑,
2
2
1
2
() (1) n
i
i X
X n χσ=--∑
(1). X t n μ--
即
(1) X t n μ
-=
- . 因为 t 分布的典型模式是 :设 (0,1)X N , 2() Y
n χ , 且 , X Y 相互独立 , 则随机变量
T =
n 的 t 分布 , 记作 () T t n . 因此应选 (B).
三、 (本题满分 6分 )
【解析】 方法 1:由 22
1x y x y +≤++, 配完全方得 22
113222x y ????-+-≤ ? ??
???.
令 11
cos , sin 22
x r y r θθ-
=-=, 引入极坐标系 (, ) r θ, 则区域为
(, ) 02,0D r r θθπ??
=≤≤≤≤???.
故
20
() cos sin ) D
x y dxdy d r r rdr π
θθθ+=++????
22003(cossin ) 4d d ππθθθθ=+?
)220033
sin cos 42
d ππθθθπ=
-=?. 方法 2:由 221x y x y +≤++, 配完全方得 22
113222x y ?
???-+-≤ ? ??
???.
引入坐标轴平移变换:11
, , 22
u x v y =-
=-则在新的直角坐标系中区域 D 变为圆域 2213(, ) |2D u v u v ?
?=+≤???
?.
而 1x y u v +=++, 则有 dxdy dudv =, 代入即得
1
1
1
1
() (1) D
D D D D x y dxdy u v dudv ududv vdudv dudv +=++=++??????????.
由于区域 1D 关于 v 轴对称 , 被积函数 u 是奇函数 , 从而
1
0D ududv =??.
同理可得
10D vdudv =??, 又 1
13
2D dudv D π==??, 故
3
() 2D
x y dxdy π+=??.
四、 (本题满分 5分 )
【解析】先解出 () y x , 此方程为常系数二阶线性齐次方程 , 用特征方程法求解 .
方程 440y y y '''++=的特征方程为 2
440λλ++=, 解得 122λλ==-. 故原方程的通解为 212() x
y C C x e
-=+.
由初始条件 (0)2, (0)4y y '==-得 122, 0, C C ==
因此 , 微分方程的特解为 22x y e -=.
再求积分即得
20
() 2x y x dx e dx +∞
+∞
-=?
?
()220
lim 2lim 1b b
x x b b e d x e --→+∞→+∞
==-=?.
【相关知识点】用特征方程法求解常系数二阶线性齐次方程 0y py qy '''++=:
首先写出方程 0y py qy '''++=的特征方程:20r pr q ++=, 在复数域内解出两个特 征根 12, r r ; 分三种情况:
(1)两个不相等的实数根 12, r r , 则通解为 1
212; rx r x y C e
C e =+
(2)两个相等的实数根 12r r =, 则通解为 ()1
12; rx
y C C x e =+
(3)一对共轭复根 1,2r i αβ=±, 则通解为 ()12cos sin . x
y e C x C x αββ=+
其中 12, C C 为常数 .
五、 (本题满分 5分 )
【解析】由复合函数求导法 , 首先求
f
x
??, 由题设可得 2
222212arctan 11f y x y y x x x
x y y x x y ???
=+-- ????????
++ ? ?????
232222
2arctan 2arctan y x y y y
x x y x x y x y x
=--=-++. 再对 y 求偏导数即得
2222
2222
2
212111f x
x x y x y
x
x y x y y x ?-=-=-=??++??+ ???. 【相关知识点】多元复合函数求导法则:如果函数 (, ), (, ) u x y v x y ?ψ==都在点 (, ) x y 具 有对 x 及对 y 的偏导数 , 函数 (, ) z f u v =在对应点 (, ) u v 具有连续偏导数 , 则复合函数
((, ), (, )) z f x y x y ?ψ=在点 (, ) x y 的两个偏导数存在 , 且有
12z z u z v u v f f x u x v x x x
???????''=+=+???????; 12z z u z v u v f f y u y v y y y
???????''=+=+???????.
六、 (本题满分 5分 )
【解析】运用换元法 , 令 n
n
x t u -=, 则
1
10
1() () () () (). n
x
x n n
n
n n F x t
f x t dt f u du F x x f x n --'=-=?=??
由于 20
() lim
n
x F x x →为“ 0
0”型的极限未定式 , 又分子分母在点 0处导数都存在 , 运用洛必达
法则 , 可得
122121
000() () ()
lim lim lim 22n n n n n x x x F x F x x f x x nx nx ---→→→'==
001() 1() (0)
lim lim 220
n n n n x x f x f x f n x n x →→-==-, 由导数的定义 , 有 原式 1
(0)2f n
'=
. 【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式:
若 ()
()
() () t t F t f x dx βα
=
?, () t α, () t β均一阶可导 , 则
[][]() () () () () F t t f t t f t ββαα'''=?-?.
七、 (本题满分 8分 )
【解析】 利用 00(, ) x y 在两条曲线上及两曲线在 00(, ) x y 处切线斜率相等列出三个方程 , 由此 , 可求出 00, , a x y , 然后利用旋转体体积公式 2() b
a
f x dx π
?
求出 x V .
(1) 过曲线上已知点 00(, ) x y 的切线方程为 00() y y k x x -=-, 其中 , 当 0() y x '存在时 ,
0() k y x '=.
由 y =
y '=
.
由 y =12y x
'=
. 由于两曲线在 00(, ) x y 处有公共切线 ,
1
2x =
, 得 021x a =.
将 021x a =
分别代入两曲线方程 ,
有 001y y ==?==. 于是 20211
, a x e e a
=
==, 从而切点为 2(,1) e .
(2) 将曲线表成 y 是 x 的函数 , V 是两个旋转体的体积之差 , 套用旋转体体积公式 , 可得 旋转体体积为
2
2222
220
11
ln 24e e e x V dx dx e xdx ππππ=-=-?
??
2
2
2
2221
1
ln 2ln 2
422
2
e e e e x x xdx e x π
ππππ
??=
-
-=-=
???
??.
【相关知识点】由连续曲线 () y f x =、直线 , x a x b ==及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋 转一周所得的旋转体体积为:2() b
a
V f x dx π=?
.
八、 (本题满分 6分 ) 【解析】 方法 1:
()
()
2
2
()() () ()
1
() [()() () ()]f x x a f x f a F x f x x a f x f a x a x a '--+''=
=
--+--,
令 () ()() () ()(), x f x x a f x f a x a ?'=--+>
由 () ()() () () () () 0(), x f x x a f x f x x a f x x a ?'''''''=-+-=->> 知 () x ?在 (), a +∞上单调上升 , 于是 () () 0x a ??>=. 故 ()
2
()
() 0x F x x a ?'=
>-.
所以 () F x 在 (), a +∞内单调增加 . 方法 2: []
()
2
()() () () 1() () () () f x x a f x f a f x f a F x f x x a x a x a '----??
''=
=
-??--??
-. 由拉格朗日中值定理知
() ()
() f x f a f x a
ξ-'=-, () a x ξ<>
于是有 1
() [() ()]F x f x f x a
ξ'''=
--. 由 () 0f x ''>知 () f x '在 (), a +∞上单调增 , 从而 () () f x f ξ''>, 故 () 0F x '>.
于是 () F x 在 (), a +∞内单调增加 .
【相关知识点】 1. 分式求导数公式:2
u u v uv v v '''
-??= ???
2. 拉格朗日中值定理:如果函数 () f x 满足在闭区间 [, ]a b 上连续;在开区间 (), a b 内可导 , 那么在 (), a b 内至少有一点 () a b ξξ<, 使等式="" ()="" ()="" ()()="" f="" b="" f="" a="" f="" b="" a="" ξ'-="-成立">,>
九、 (本题满分 11分 )
【解析】 (1)因为增广矩阵 A 的行列式是范德蒙行列式 , 1234, , , a a a a 两两不相等 , 则有
213141324243()()()()()() 0A a a a a a a a a a a a a =------≠,
故 () 4r A =. 而系数矩阵 A 的秩 () 3r A =, 所以方程组无解 .
(2)当 1324, (0) a a k a a k k ====-≠时 , 方程组同解于
23
12323
1
23,
. x kx k x k x kx k x k ?++=??-+=-?? 因为
1201k
k k
=-≠-, 知 () () 2r A r A ==.
由 () 321n r A -=-=, 知导出组 0Ax =的基础解系含有 1个解向量 , 即解空间的维数 为 1.
由解的结构和解的性质 ,
12112110112ηββ--??????
??????=-=-=??????
??????-??????
是 0Ax =的基础解系 .
于是方程组的通解为 1121012k k βη--????
????+=+????????????
, 其中 k 为任意常数 . 【相关知识点】 1. 非齐次线性方程组有解的判定定理:
设 A 是 m n ?矩阵 , 线性方程组 Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵 ()A A b = 的秩 , 即 () () r A r A =.(或者说 , b 可由 A 的列向量 12, , , n ααα 线表出 , 亦 等同于 12, , , n ααα 与 12, , , , n b ααα 是等价向量组 )
设 A 是 m n ?矩阵 , 线性方程组 Ax b =, 则
(1) 有唯一解 ? () () . r A r A n == (2) 有无穷多解 ? () () . r A r A n =< (3)="" 无解="" ?="" ()="" 1().="" r="" a="" r="" a="" +="">
? b 不能由 A 的列向量 12, , , n ααα 线表出 .
2. 解的结构:若 1α、 2α是对应齐次线性方程组 0Ax =的基础解系 , 知 Ax b =的通解形 式为 1122, k k ηηξ++其中 12, ηη是 0Ax =的基础解系 , ξ是 Ax b =的一个特解 .
3. 解的性质:如果 12, ηη是 0Ax =的两个解 , 则其线性组合 1122k k ηη+仍是 0Ax =的 解;如果 ξ是 Ax b =的一个解 , η是 0Ax =的一个解 , 则 ξη+仍是 Ax b =的解 .
十、 (本题满分 8分 )
【解析】由 A 的特征方程 , 按照第二列展开 , 有
201
1
1(1) (1) (1) 0110E A x y λλλλλλλλ
λ
---=---=-=-+=--,
得到 A 的特征值为 1231, 1λλλ===-.
由题设有三个线性无关的特征向量 , 因此 , 1λ=必有两个线性无关的特征向量 ,
从而 () 1r E A -=. 这样才能保证方程组 () 0E A X -=解空间的维数是 2,
即有两个线性无关的解向量 .
由初等行变换 , 将 E A -第一行加到第三行上 , 第一行乘以 x 后加到第二行上有
10110
1000101000E A x y x y --????????-=--→--????
????-????
,
由 () 1r E A -=, 得 x 和 y 必须满足条件 0x y +=.
十一、 (本题满分 8分 )
【解析】记 114223, , Y X X Y X X ==则 12, X Y Y =-随机变量 1Y 和 2Y 相互独立且同分布 , 由 A 与 B 独立可得出 () () () P AB P A P B =, 故
{}{}{}{}{}1141414111, 1110.16, P Y P X X P X X P X P X ========?==
{}{}110110.84P Y P Y ==-==.
由行列式的计算公式 , 随机变量 12, X Y Y =-有三个可能取值:1,0,1. -
{}{}{}{}121210, 1010.840.160.1344, P X P Y Y P Y P Y =-=====?==?= {}{}{}{}121211, 0100.1344, P X P Y Y P Y P Y ======?== {}{}{}01110.7312. P X P X P X ==-=--==
所求的行列式的概率分布列于下表 :
十二、 (本题满分 8分 )
【解析】依据数学期望的计算公式及一般正态分布的标准化方法 , 有
{}{}{}() 10201012512E T P X P X P X =-<+≤≤->
(10) 20[(12) (10)]5[1(12)]μμμμ=-Φ-+Φ--Φ---
Φ- 25(12) 21(10) 5. μμ=Φ--Φ--
此时数学期望依赖于参数 μ, 为使其达到最大值 , 令其一阶导数为 0, 有
2
2
(10) (12) 22() 25(12) 21(10) 25],dE T e e d μ
μ?μ?μμ
----=--+-=- 令
() 0dE T d μ=,
2
2
(10
) (12) 2
2
0μμ---
-
=,
即 2
2
(10) (12)
22μμ----=.
解上面的方程得 0125
11ln 10.9. 221
μμ==-
≈ 得到唯一驻点 010.9μμ=≈, 因为此问题是实际问题 , 所以平均利润函数必然有最大值 , 而 且这个最大值是唯一的 .
由题意知 , 当 010.9μμ=≈毫米时 , 平均利润最大 .
范文四:2002考研数三真题及解析
2002年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题 (本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分,把答案填在题中横线上 )
(1) 设常数 1
2a ≠,则 21lim ln . (12) n
n n na n a →∞??-+=??-??
(2)
交换积分次序:
111
42210
4
(, ) (, ) y
y
dy f x y dx dy f x y dx +=
?
?.
(3) 设三阶矩阵 12
22
12304A -??
?
= ? ??
?
,三维列向量 (),1,1T a α=. 已知 A α与 α线性相关,则 a =
.
(4)
则 2
X 和 2
Y 的协方差 22cov(, ) X Y =.
(5) 设总体 X 的概率密度为
() , ,
(; ) 0,
x e x f x x θθθθ--?≥=?
?若>
二、选择题 (本题共 5小题,每小题 3分,共 15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内 .)
(1) 设函数 () f x 在闭区间 [, ]a b 上有定义,在开区间 (, ) a b 内可导,则 ( )
(A)当 () () 0f a f b <时,存在 (,="" )="" a="" b="" ξ∈,使="" ()="" 0f="" ξ="." (b)对任何="" (,="" )="" a="" b="" ξ∈,有="" lim[()="" ()]0x="" f="" x="" f="">时,存在>
ξ→-=.
(C)当 () () f a f b =时,存在 (, ) a b ξ∈,使 () 0f ξ'=. (D)存在 (, ) a b ξ∈,使 () () ()() f b f a f b a ξ'-=-.
(2) 设幂级数 1n
n n a x ∞
=∑与 1n
n n b x ∞
=∑
1
3, 则幂级数 221n n i n
a x b ∞
=∑的收敛半
径为 ( ) (A) 5 (B)
(C) 13 (D)15
(3) 设 A 是 m n ?矩阵, B 是 n m ?矩阵,则线性方程组 ()0AB x = ( )
(A)当 n m >时仅有零解 (B)当 n m >时必有非零解
(C)当 m n >时仅有零解 (D)当 m n >时必有非零解
(4) 设 A 是 n 阶实对称矩阵, P 是 n 阶可逆矩阵, 已知 n 维列向量 α是 A 的属于特征值 λ的 特征向量,则矩阵 (
)
1
T
P AP
-属于特征值 λ的特征向量是 ( )
(A) 1
P α- (B) T
P α (C)P α (D)()
1T
P α-
(5) 设随机变量 X 和 Y 都服从标准正态分布,则 ( )
(A)X Y +服从正态分布 (B)22
X Y +服从 2χ分布
(C)2X 和 2Y 都服从 2χ分布 (D)22
/X Y 服从 F 分布 三、 (本题满分 5分 )
求极限 2
00
arctan(1) lim
(1cos )
x
u x t dt du x x →??+????-?
?
四、 (本题满分 7分 )
设函数 (, , ) u f x y z =有连续偏导数, 且 (, ) z z x y =由方程 x y z
xe ye ze -=所确定, 求 du .
五、 (本题满分 6分 )
设 2
(sin) , sin x f x x =
求 () x dx . 六、 (本题满分 7分 )
设 1D 是由抛物线 2
2y x =和直线 , 2x a x ==及 0y =所围成的平面区域; 2D 是由抛物 线 2
2y x =和直线 0y =, x a =所围成的平面区域,其中 02a <>
(1)试求 1D 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 1V ; 2D 绕 y 轴旋转而成的旋转体体积 2V ; (2)问当 a 为何值时, 12V V +取得最大值?试求此最大值 .
七、 (本题满分 7分 )
(1)验证函数 ()3693() 13! 6! 9! 3! n
x x x x y x x n =++++++-∞<+∞>+∞>
x y y y e '''++=
(2)利用 (1)的结果求幂级数 303!
n
n x n ∞
=∑的和函数 .
八、 (本题满分 6分 )
设函数 (), () f x g x 在 [, ]a b 上连续,且 () 0g x >. 利用闭区间上连续函数性质,证明存 在一点 [, ]a b ξ∈,使
() () () () b
b
a
a
f x g x dx f g x dx ξ=?
?.
九、 (本题满分 8分 )
设齐次线性方程组
1231231230, 0, 0,
n n
n ax bx bx bx bx ax bx bx bx bx bx ax ++++=??++++=??
??++++=? 其中 0, 0, 2a b n ≠≠≥, 试讨论 , a b 为何值时, 方程组仅有零解、 有无穷多组解?在有无穷 多组解时,求出全部解,并用基础解系表示全部解 .
十、 (本题满分 8分 )
设 A 为三阶实对称矩阵,且满足条件 2
20A A +=,已知 A 的秩 () 2r A = (1)求 A 的全部特征值
(2)当 k 为何值时,矩阵 A kE +为正定矩阵,其中 E 为三阶单位矩阵 . 十一、 (本题满分 8分 )
假设随机变量 U 在区间 []2,2-上服从均匀分布,随机变量
1, 1-1, 11, 1; 1, 1; U U X Y U U -≤-≤??==??>->??
若 若 若 若
试求:(1)X 和 Y 的联合概率分布; (2)() D X Y +. 十二、 (本题满分 8分 )
假设一设备开机后无故障工作的时间 X 服从指数分布,平均无故障工作的时间 () E X 为 5小时 . 设备定时开机,出现故障时自动关机,而在无故障的情况下工作 2小时便关机 . 试 求该设备每次开机无故障工作的时间 Y 的分布函数 () F y .
范文五:1998考研数三真题及解析
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题
一、填空题(本题共5小题, 每小题3分, 满分15分. 把答案填在题中横线上.)
(1) 设曲线f (x ) =x n 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点为(ξn ,0) , 则lim f (ξn ) =n →∞
(2)
ln x -1
?x 2= .
(3) 差分方程2y t +1+10y t -5t =0的通解为?100???**
(4) 设矩阵A , B 满足A BA =2BA -8E , 其中A =0-20, E 为单位矩阵, A 为A ??
??001??
的伴随矩阵, 则B = .
2
(5) 设X 1, X 2, X 3, X 4是来自正态总体N 0, 2的简单随机样本, X =a (X 1-2X 2)+
()
2
b (3X 3-4X 4). 则当a =b =时, 统计量X 服从χ2分布,
其自由度为 .
二、选择题(本题共5小题, 每小题3分, 共15分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设周期函数f (x )在(-∞, +∞)内可导, 周期为4. 又lim
x →0
2
f (1)-f (1-x )
=-1, 则曲线
2x
y =f (x )在点(5, f (5))处的切线的斜率为 ( )
1
(B) 0 (C) -1 (D) -2 2
1+x
, 讨论函数f (x )的间断点, 其结论为 ( ) (2) 设函数f (x )=lim
n →∞1+x 2n
(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点x =1 (C) 存在间断点x =0 (D) 存在间断点x =-1
(A)
?λx 1+x 2+λ2x 3=0, ?
(3) 齐次线性方程组?x 1+λx 2+x 3=0, 的系数矩阵记为A . 若存在三阶矩阵B ≠0使得
?x +x +λx =0
3?12
AB =0, 则 ( )
(A) λ=-2且|B |=0 (B) λ=-2且|B |≠0
(C) λ=1且|B |=0 (D) λ=1且|B |≠0 (4) 设n (n ≥3)阶矩阵
?1?a ?A =?a
????a
a 1
a a
a a 1a
a ?a ??a ?, ??1??
11 (C) -1 (D) 1-n n -1
若矩阵A 的秩为n -1, 则a 必为 ( ) (A) 1 (B)
(5) 设F 1(x ) 与F 2(x ) 分别为随机变量X 1与X 2的分布函数. 为使F (x )=aF 1(x ) -bF 2(x )
是某一变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取 ( )
3222
, b =- (B) a =, b = 55331313
(C) a =-, b = (D) a =, b =-
2222
(A) a =
三、(本题满分5分)
设z =(x +y ) e
2
2
-arctan
y x
?2z
, 求dz 与.
?x ?y
四、(本题满分5分)
设D =
{(x , y )x
2
+y 2≤x ,
求.
D
}
五、(本题满分6分)
设某酒厂有一批新酿的好酒, 如果现在(假定t =0) 就售出, 总收入为R 0(元) . 如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售, t
年末总收入为R =R 0假定银行的年利率为r , 并以连续
复利计息, 试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大. 并求r =0.06时的t 值.
六、(本题满分6分)
设函数f (x ) 在[a , b ]上连续, 在(a , b ) 内可导, 且f '(x ) ≠0. 试证存在ξ, η∈(a , b ), 使得
f '(ξ) e b -e a -η
=?e . f '(η) b -a
七、(本题满分6分)
设有两条抛物线y =nx +
2
112和y =(n +1) x +, 记它们交点的横坐标的绝对值为n n +1
a n .
(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积S n ; (2) 求级数
S n
的和. ∑n =1a n
∞
八、(本题满分7分)
设函数f (x ) 在[1,+∞) 上连续. 若由曲线y =f (x ), 直线x =1, x =t (t >1) 与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积为
V (t ) =
π
2?t f (t ) -f (1)?. ??3
x =2
试求y =f (x ) 所满足的微分方程, 并求该微分方程满足条件y
九、(本题满分9分)
设向量α=(a 1, a 2,
=
2
的解. 9
, a n ) T , β=(b 1, b 2, , b n ) T 都是非零向量, 且满足条件αT β=0. 记
n 矩阵A =αβT . 求:
(1) A ;
(2) 矩阵A 的特征值和特征向量.
十、(本题满分7分)
2
?101?
2
设矩阵A =?020?, 矩阵B =(kE +A ) , 其中k 为实数, E 为单位矩阵. 求对角矩阵
????101??Λ, 使B 与Λ相似, 并求k 为何值时, B 为正定矩阵.
十一、(本题满分10分)
一商店经销某种商品, 每周进货的数量X 与顾客对该种商品的需求量Y 是相互独立的随机变量, 且都服从区间[10,20]上的均匀分布. 商店每售出一单位商品可得利润1000元;若需求量超过了进货量, 商店可从其他商店调剂供应, 这时每单位商品获利润为500元. 试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.
十二、(本题满分9分)
设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表, 其中女生的报名表分别为3份、7份和5份. 随机地取一个地区的报名表, 从中先后抽出两份.
(1) 求先抽到的一份是女生表的概率p ;
(2) 已知后抽到的一份是男生表, 求先抽到的一份是女生表的概率q .
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析
一、填空题(本题共5小题, 每小题3分, 满分15分. 把答案填在题中横线上.) (1)【答案】
1 e
【解析】曲线y =x n 在点(1,1)处的切线斜率y 'x =1=x 式, 切线方程为:
()'
n
x =1
=n x n -1
x =1
=n , 根据点斜
y -1=n (x -1).
11, 即在x 轴上的截距为ξn =1-, n n 11-x -11
lim f (ξn ) =lim ξn n =lim(1-) n =lim(1-) ()()=. n →∞n →∞n →∞x →∞n x e ln x
+C (2)【答案】-x
令y =0, 代入y -1=n (x -1) , 则x =1-【解析】由分部积分公式,
ln x -1?1?'?1?
=-ln x -1dx dx =-ln x -1d ()() ? ???x 2??x ??x ?
分部 -
ln x -11ln x -11
+?d (lnx -1) =-+?2 x x x x
ln x -1?1?'ln x -11ln x
=--? ?dx =--+C =-+C .
x x x x ?x ?
【相关知识点】分部积分公式:假定u =u (x ) 与v =v (x ) 均具有连续的导函数, 则
?uv 'dx =uv -?u 'vdx , 或者?udv =uv -?vdu .
(3)【答案】y t =C (-5) +
t
51
(t -) 126
5
t , 其齐次方程对应的特征方程及2
【解析】首先把差分方程改写成标准形式y t +1+5y t =特征根分别为
r +5=0, r =-5,
故齐次方程的通解为Y t =C (-5) t , C 为常数.
将方程右边的
55
t 改写成t ?1t , 此处“1”不是特征根, 故令非齐次方程的一个特解为
22
y t *=At +B ,
从而y t +1*=A (t +1) +B , 代入原方程, 得
5
A (t +1) +B +5(At +B ) =t ,
2
5
6A =, A +6B =0,
255, B =-. 故 A =1272
51*t
(t -). 于是通解为 y t =Y t +y t =C (-5) +126
?200?
(4)【答案】?0-40?
????002??
【解析】由题设 A BA =2BA -8E ,
由于A =-2≠0, 所以A 可逆. 上式两边左乘A , 右乘A , 得
-1
*
AA *BAA -1=2ABAA -1-8AA -1
A B =2AB -8E (利用公式:AA =A E , AA =E ) A B -2AB =-8E (移项)
*
-1
(A E -2A )B =-8E (矩阵乘法的运算法则)
将A =-2代入上式, 整理得
1
(E +A )B =E . 4
由矩阵可逆的定义, 知E +A , B 均可逆, 且
?200?-1
B -1=4(E +A )=4?0-10?
????002??11
, , 2 20100
-1
?1?2?=4?0??0??0?
?200???.
0-40-10?=???002?1???0??2?0
(5)【答案】
【解析】由于X 1, X 2, X 3, X 4相互独立, 均服从N (0,2) , 所以由数学期望和方差的性质, 得
2
E (X 1-2X 2) =0, D (X 1-2X 2) =1?22+22?22=20,
所以(X 1-2X 2)
N (0,20), 同理(3X 3-4X 4)
N (0,100).
又因为(X 1-2X 2) 与(3X 3-4X 4) 相互独立, 且
X 1-
2X 2) 由χ2分布的定义, 当a =
N (0,1)X 3-4X 4) N (0,1),
11, b =时, 2010011X =(X 1-2X 2) 2+(3X 3-4X 4) 2χ2(2).
20100
112
, b =即当a =时, X 服从χ分布, 其自由度为2. 20100
112
, b =0时, X χ2(1)也是正确的. 严格地说, 当a =0, b =时, X χ(1);当a =
10020
【相关知识点】1、对于随机变量X 与Y 均服从正态分布, 则X 与Y 的线性组合亦服从正态
分布.
若X 与Y 相互独立, 由数学期望和方差的性质, 有
E (aX +bY +c ) =aE (X ) +bE (Y ) +c ,
D (aX +bY +c ) =a 2D (X ) +b 2D (Y ) ,
其中a , b , c 为常数. 2、定理:若X
2
N (μ, σ2) , 则
X -μ
σ
N (0,1).
3、χ分布的定义:若Z 1, , Z n 相互独立, 且都服从标准正态分布N (0,1), 则
∑Z
i =1
n
2i
~χ2(n ) .
二、选择题(本题共5小题, 每小题3分, 共15分. 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求, 把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)
f (x +?x ) -f (x )
?x →0?x
f (1)-f (1-x ) 1f (1-x ) -f (1)1lim =lim =f '(1)=-1 x →0x →02x 2-x 2
f (1-x ) -f (1)
=-2. 所以 f '(1)=lim
x →0-x
【解析】根据导数定义:f '(x )=lim
因为f (x ) 周期为4, f '(x ) 的周期亦是4, 即f '(x ) =f '(x +4) ,
所以f '(5)=f '(1+4) =f '(1)=-2.
所以曲线y =f (x ) 在点(5, f (5))处的切线的斜率为f '(5)=f '(1)=-2. 选(D). (2)【答案】(B)
【分析】讨论由极限表示的函数的性质, 应分两步走. 先求出该f (x ) 的(分段) 表达式, 然后再讨论f (x ) 的性质. 不能隔着极限号去讨论. 【解析】现求f (x ) 的(分段) 表达式: 当x >1时,
x -2n +x 1-2n
1+x x -2n +x 1-2n lim 0n →∞
=0; f (x ) =lim =lim ==-2n -2n n →∞1+x 2n n →∞x +11lim x +1
n →∞
()
当x =1时,
f (x ) =lim
当x =-1时,
1+x 1+12
=1; =lim =
n →∞1+x 2n n →∞1+12n 21+x 01-1
=0; ==lim 2n n →∞1+x 2n n →∞21+(-1)
f (x ) =lim
当x <>
lim (1+x )2n
1+x 1+x n →∞
=1+x . f (x ) =lim x →0 =2n n →∞1+x 2n 1lim 1+x
n →∞
?0,
?0, ??
由此, f (x ) =?1+x ,
?1, ???0,
当x <>
?0, 当x ≤-1或x >1,
?
当x <1, 即f="" (x="" )="?1+x" ,="" 当x="">1,><>
?1, 当x =1. 当x =1, ?
当x >1.
当x =-1,
再讨论函数f (x ) 的性质:在x =-1处,
x →-1+
lim f (x )=lim +(1+x )=1-1=0, lim -f (x )=f (-1)=0,
x →-1
x →-1
x →-1
所以, lim +f (x )=lim -f (x )=0, 函数f (x ) 在x =-1处连续, 不是间断点.
x →-1
0=0;lim f (x )=lim f (x )=lim 在x =1处, lim (1+x )=2; ++--
x →1
x →1
x →1x →1
f (x )≠lim f (x ), 函数f (x ) 在x =1处不连续, 是第一类间断点. 故选(B). 所以lim +-
x →1
x →1
(3)【答案】(C)
【解析】方法1:由AB =0知r (A ) +r (B ) ≤3, 又A ≠0, B ≠0, 于是1≤r (A ) <>
1≤r (B ) <3, 故a="0," b="0,">3,>
λ1λ201-λ0
1-λ0
A =1λ1=0λ-11-λ==(1-λ) 2=0,
λ-11-λ
11λ11λ
得λ=1. 应选(C).
方法2:由AB =0知r (A ) +r (B ) ≤3, 又A ≠0, B ≠0, 于是1≤r (A ) <3, 1≤r="" (b="" )="">3,><3,>3,>
B =0.
?111???显然, λ=1时A =111, 有1≤r (A ) <3, 故应选(c).="">3,>
作为选择题, 只需在λ=-2与λ=1中选择一个, 因而可以用特殊值代入法.
评注:对于条件AB =0应当有两个思路:一是B 的列向量是齐次方程组Ax =0的解;二是秩的信息, 即r (A ) +r (B ) ≤n , 要有这两种思考问题的意识. (4)【答案】(B) 【解析】
?1?a ?A =?a
????a
a 1
a a
a a 1a
a ??1a
?a -11-a a ???
a ?(1)?a -10????1????a -10
a 0
1-a 0
?0??0?
??1-a ??
a
a a ?1+(n -1) a
?01-a 0?(2)?001-a ???000?a ?
0??0? ??1-a ??
其中(1)变换:将1行乘以(-1)再分别加到其余各行;(2)变换:将其余各列分别加到第1列.
由阶梯形矩阵知, 当1+(n -1) a =0, 即a =(5)【答案】(A)
【解析】根据分布函数的性质lim F (x ) =1, 即
x →+∞
1
时, 有r (A ) =n -1, 故应选(B). 1-n
1=lim F (x ) =F (+∞) =aF 1(+∞) -bF 2(+∞) =a -b .
x →+∞
在所给的四个选项中只有(A)满足a -b =1, 故应选(A). 【相关知识点】分布函数F (x )的性质: (1) F (x )单调不减;
(2) lim F (x ) =F (-∞) =0, lim F (x ) =F (+∞) =1;
x →-∞
x →+∞
(3) F (x )是右连续的.
三、(本题满分5分) 【解析】 dz =e
-arctan
y x
d (x +y ) +(x +y ) d (e
2222
-arctan
y x
)
=e
-arctan
y x
=e
-arctan
y x
y ??22
2xdx +2ydy +(x +y ) d (-arctan ) ??x ?????1y ?222xdx +2ydy -(x +y ) d (??x 2?? 1+(x ???2xdy -ydx ?2xdx +2ydy -x ???x 2??
=e =e
-arctan
y
x
-arctan
y x
[(2x +y ) dx +(2y -x ) dy ]
y
-arctan ?z ?z x
=(2x +y ) e 由全微分与偏微分的关系可知, 其中dx 的系数就是, 即. 再对y 求偏?x ?x
导数, 得
?z
=e ?x ?y
四、(本题满分5分)
2
y
-arctan
x
-(2x +y ) e
y
-arctan
x
? 1 2 1+y
x 2??
?1y 2-xy -x 2-arctan y
x
e . ?=22
x x +y ???
【解析】D ={(x , y ) x 2+y 2≤x }表示圆心为
?1?
,0?, 半径为 2??
1
的圆及其内部, 画出区域
D , 如右图. 2
方法
1: D =(x , y ) |0≤x ≤1,
y ≤所以
, =?
D
{
10
=?=2?, 0
1
t , 则x =1-t 2, dx =-2tdt , t :1→0所以
?t 3t 5?8222
上式=2?(1-t ) t ?(-2t ) dt =4?t (1-t ) dt =4 -?=.
10
?35?015
1
1
方法2:引入极坐标系x =r cos θ, y =r sin θ, 于是
ππ??
D =?(r , θ) |-≤θ≤,0≤r ≤cos θ?
22??
π
,
D
=?πd θ?
2-2
cos θ
π
=?
2
-
π
2
θ?
cos θ
r dr
3
2
=
4283
cos θd θ=. 5?015n -1n -3
??n n -2
42
???1, 其中n 为大于1的正奇数. 53
π
其中倒数第二步用了华里士公式:
π
?
20
cos n θd θ=
五、(本题满分6分)
【分析】根据连续复利公式, 在年利率为r 的情况下, 现时的A (元) 在t 时的总收入为
R (t ) =A e , 反之
, t 时总收入为R (t ) 的现值为A (t ) =R (t )e
rt -rt
, 将R =R 0入的现值与窖藏时间t 之间的关系式, 从而可用微分法求其最大值.
【解析】由连续复利公式知
, 这批酒在窖藏t 年末售出总收入R 的现值为A (t ) =R e -rt , 而由题设, t
年末的总收入R =R 0, 据此可列出A (t ) :
rt A (
t ) =R e
-rt
=R 0rt
,
rt
dA
d ?
令 = R 0dt dt ???=R 0?
?
r ?=0, ?
得惟一驻点 t =t 0=
1
. 2
25r
rt
d 2A
d ?dA ?d
?
= ?=
R 02dt dt ?dt ?dt ?
d ?= R 0dt ?
??
-r ?? ??
rt
rt
?
?-
r ?
+R 0????d ?
-r ?dt ?
=R 0rt ?-r ?+R 0?
2
rt
? ??
=R 0rt 2
??
r ?-?????
1
d 2A 325r
=R e (-12.5r ) <0.>0.>
dt 2t =t
根据极值的第二充分条件, 知:t =t 0是A (t ) 的极大值点, 又因驻点惟一, 所以也是最大值点. 故窖藏t =
1
年出售, 总收入的现值最大. 25r 2
125?(0.06)
2
当r =0.06时, t ==
100
≈11(年). 9
【相关知识点】极值的第二充分条件:设函数f (x ) 在x 0处具有二阶导数且f '(x 0) =0, 当f ''(x 0) >0时, 函数f (x ) 在f ''(x 0) ≠0, 当f ''(x 0) <0时, 函数f="" (x="" )="" 在x="">0时,>
x 0处取得极小值.
六、(本题满分6分)
【分析】本题要证的结论中出现两个中值点ξ和η, 这种问题一般应将含有ξ和η的项分别移到等式两边后再用微分中值定理, 为此本题只要证
f '(ξ)(b -a ) =(e b -e a ) f '(η) e -η.
【解析】方法1: 函数f (x ) 在[a , b ]上连续, 在(a , b ) 内可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 对函数f (x ) 在[a , b ]上用拉格朗日中值定理, 有
f (b ) -f (a ) =f '(ξ)(b -a ), a <>
又函数f (x ) 与e 满足柯西中值定理的条件, 将函数f (x ) 与e 在[a , b ]上用柯西中值定理,
x
x
有
f (b ) -f (a ) f '(η) b a f '(η) , 即=, a <>
从而有
f '(η) f '(ξ) e b -e a -ηf '(ξ)(b -a ) =(e -e η, 即=?e , ξ, η∈(a , b ) .
e f '(η) b -a
b
a
e b -e a
=e η. 方法2:题中没有限制ξ≠η, 因此取ξ=η, 即成为要去证存在η∈(a , b ) 使
b -a
在[a , b ]上对函数e 用拉格朗日中值定理, 存在η∈(a , b ) 使
x
e b -e a e b -e a -ηη
=e , 即?e =1. b -a b -a
f '(ξ) e b -e a -η
再取ξ=η, 则=1=?e , 原题得证.
f '(η) b -a
【相关知识点】1. 拉格朗日中值定理:
如果函数f (x ) 满足在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <>
(1) 在闭区间[a , b ]上连续; (2) 在开区间(a , b ) 内可导; (3) 对任一x ∈(a , b ) , F '(x ) ≠0, 那么在(a , b ) 内至少有一点ξ, 使等式
七、(本题满分6分) 【解析】(1)由y =nx +
2
f (b ) -f (a ) f '(ξ)
=成立.
F (b ) -F (a ) F '(ξ)
112与y =(n +1) x +得a n = n n +
1因图形关于y 轴对称, 所以, 所求图形的面积为
a n ?11?
S n =2??nx 2+-(n +1) x 2-dx ?0n n +1??
?2a n a 1?4=2??-x 2+dx =-2=?0n (n +1) n (n +1) 33??
a n
3
n
(2)由(1)的结果知
S n 41411==(-) , a n 3n (n +1) 3n n +1
根据级数和的定义,
n n
S n S k 41?41?4?1?=lim =lim -=lim 1-=. ∑∑∑ ??n →∞n →∞n →∞?a a 3k k +13n +1???3n =1n k =1k k =1?∞
八、(本题满分7分)
【分析】本题是微分方程的几何应用问题. 在题目中给出了由曲线y =f (x ) 等围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的旋转体体积V (t ) 与包含函数f 的一个恒等式, 这正是列方程的依据.
【解析】由绕x 轴旋转的旋转体体积公式得V (t ) =π
?
t
1t
f 2(x ) dx , 于是, 依题意得
π?f 2(x ) dx =
1
t
π
222
??t f (t ) -f (1), 即3f (x ) dx =t f (t ) -f (1). ??13?
两边对t 求导, 化成微分方程
3f 2(t ) =2tf (t ) +t 2f '(t ) ,
其中f (t ) 为未知函数. 按通常以x 表示自变量, y 表示未知函数f (t ) , 于是上述方程可写为
x 2y '=3y 2-2xy ,
即
dy y y =3() 2-2(). dx x x
dy du
=u +x ?, 则上式化为 dx dx
这是一阶齐次微分方程. 令y =ux , 有
u +x (
即 x
du
) =3u 2-2u , dx
du
=3u (u -1). (*) dx
2
若u =0, 则y =ux =0, 不满足初始条件y x =2=, 舍弃;
92
若u =1, 则y =ux =x , 也不满足初始条件y x =2=, 舍弃;
9
所以, u ≠0, 且u ≠1.
由(*)式分离变量得
u -1du 3dx
=Cx 3. 从而方程(*)的通解为 =, 两边积分得u u (u -1) x
y -x =Cx 3y , C 为任意常数.
再代入初值, 由y
2
, 得C =-1, 从而所求的解为 x =2
9
x
y -x =-x 3y , 或y =,(x ≥1).
1+x 3
=
【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式:若F (t ) =阶可导, 则 F '(t ) =β'(t ) ?f
?α
β(t )
(t )
f (x ) dx , α(t ) , β(t ) 均一
[β(t ) ]-α'(t ) ?f [α(t ) ].
九、(本题满分9分)
【解析】(1)对等式αT β=0两边取转置, 有αβ利用βT α=0及矩阵乘法的运算法则, 有
(
T
)
T
=βT α=0, 即βT α=0.
A =(αβ
2
T
)
2
=αβT αβT =α(βT α)βT =α0βT =0αβT =0,
即A 是n 阶零矩阵.
(2)设λ是A 的任一特征值, ξ(ξ≠0) 是A 属于特征值λ的特征向量, 即A ξ=λξ.
2
对上式两边左乘A 得A 2ξ=A λξ=λ(A ξ) =λ(λξ) =λ2ξ, 由(1)的结果A =0, 得
2
λ2ξ=A 2ξ=0, 因ξ≠0, 故λ=0(n 重根), 即矩阵的全部特征值为零.
下面求A 的特征向量:先将A 写成矩阵形式
?a 1??a ?T
A =αβ=?2?[b 1, b 2,
?????a n ?
不妨设a 1≠0, b 1≠0, 则有
?a 1b 1?a b , b n ]=?21
???a n b 1
a 1b 2a 2b 2a n b 2
a 1b n ?a 2b n ??.
??a n b n ?
?-a 1b 1-a 1b 2?-a b -a b
22
(0E -A ) =?21
??
?-a n b 1-a n b 2
1行?a i 加到i 行(i =2,
-a 1b n ?b 2?b 1
?-a b -a b -a 2b n ?22?1行÷(-a ) ?211
????-a n b n ??-a n b 1-a n b 2
b n ??b 1b 2
?00?0?, n ) ?????
0??00
b n ?
-a 2b n ??
??-a n b n ?
于是得方程组(0E -A ) x =0同解方程组b 1x 1+b 2x 2+个数为n -r (0E -A ) =n -1.
选x 2,
+b n x n =0, 这样基础解系所含向量
, x n 为自由未知量, 将它们的组值(b 1,0, ,0),(0,b 1,
,0), (0,0,
, b 1) 代入,
可解得基础解系为
ξ1=(-b 2, b 1,0, ,0), ξ2=(-b 3,0, b 1, ,0), , ξn -1=(-b n ,0,0, , b 1)
则A 的属于λ=0的全部特征向量为k 1ξ1+k 2ξ2+
+k n -1ξn -1, 其中k 1, k 2, , k n -1为不全为
零的任意常数.
十、(本题满分7分)
【分析】由于B 是实对称矩阵, B 必可相似对角化, 而对角矩阵Λ即B 的特征值, 只要求出B 的特征值即知Λ, 又因正定的充分必要条件是特征值全大于零, k 的取值亦可求出. 【解析】方法1:由
λ-1
λE -A =0
-1
λ-2
λ-1-1
0=(λ-2) =λ(λ-2) 2,
-1λ-1
λ-1
-1
可得A 的特征值是λ1=λ2=2, λ3=0.
那么, kE +A 的特征值是k +2, k +2, k , 而B =(kE +A ) 2的特征值是(k +2) 2,(k +2) 2, k 2. 又由题设知A 是实对称矩阵, 则A T =A , 故
T 2
???B =?(kE +A ) =(kE +A ) =(kE +A ) =B , ????
即B 也是实对称矩阵, 故B 必可相似对角化, 且
T
2
T
2
B
?(k +2) 2?Λ=?0
?0?
0(k +2) 2
0??0?. k 2??
当k ≠-2且k ≠0时, B 的全部特征值大于零, 这时B 为正定矩阵.
方法2:由
λ-1
λE -A =0
-1
λ-2
λ-1-1
0=(λ-2) =λ(λ-2) 2,
-1λ-1
λ-1
-1
可得A 的特征值是λ1=λ2=2, λ3=0.
?2?
?2?, 即A =P ΛP -1. -1
因为A 是实对称矩阵, 故存在可逆矩阵P 使P AP =Λ=??
?0???
2-1-12-1
?P (kE +Λ) P 那么 B =(kE +A ) =(kPP +P ΛP ) =???
2
=P (kE +Λ) P -1P (kE +Λ) P -1=P (kE +Λ) 2P -1.
?(k +2) 2
??0?0?
0(k +2) 2
0??0?. k 2??
即P BP =(kE +Λ) . 故B
-12
当k ≠-2且k ≠0时, B 的全部特征值大于零, 这时B 为正定矩阵.
f (λ) .
2. 矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.
十一、(本题满分10分)
【解析】设Z 表示商店每周所得的利润, 当Y ≤X 时, 卖得利润为Z =1000Y (元) ; 当Y >X 时, 调剂了Y -X , 总共得到利润
Z =1000X +500(Y -X ) =500(X +Y ) (元).
所以, Z =?
?1000Y , Y ≤X ,
?500(X +Y ), Y >X .
由题设X 与Y 都服从区间[10,20]上的均匀分布, 联合概率密度为
?1
, 10≤x ≤20,10≤y ≤20, ?
f (x , y ) =?100
??0, 其他.
由二维连续型随机变量的数学期望定义得
E (Z ) =??1000y ?f (x , y ) dxdy +??500(x +y ) ?f (x , y ) dxdy
D 1
D 2
=??1000y ?
D 1
2010
y
11
+??500(x +y ) ?100100D 2
20
y
10
10
=10?dy ?ydx +5?dy ?(x +y ) dx 3
=10?y (20-y ) dy +5?(y 2-10y -50) dy
1010220000=+5?1500≈14166.67(元).
3
20
20
20
十二、(本题满分9分)
【解析】记事件B j =“第j 次抽到的报名表是女生表”(j =1, 2) , A i =“报名表是第i 个地区的”(i =1,2,3) . 易见, A 1, A 2, A 3构成一个完备事件组, 且
1
P {A i }=(i =1, 2,3),
3
375
P {B 1A 1}=, P {B 1A 2}=, P {B 1A 3}=.
101525
Born to win
(1) 应用全概率公式, 知
137529
. p =P {B 1}=∑P {A i }?P {B 1A i }=(++) =
310152590i =1
(2) q =P {B 1B 2}. 需先计算概率P {B 1B 2}与P {B 2}. 对事件B 1B 2再次用全概率公式:
3
1377852020
, P {B 1B 2}=∑P {A i }?P {B 1B 2A i }=(?+?+?) =
31091514252490i =1
由“抽签原理”可知P (B 2) =P (B 1) =
3
61
, 90
q =P {B 1B 2}=
P (B 1B 2) 209020
=?=. 906161P (B 2)
, A n 构成一个完备事件组, 即它们是两两互不
【相关知识点】1. 全概率公式:如果事件A 1,
相容, 其和为Ω(总体的样本空间) ;并且P (A i )>0, i =1,2,
, n , 则对任一事件B 有
P (B )=∑P (A i ) P (B |A i ) .
i =1
n
+≤≤->