范文一:数学建模范例
A 题 奥运会临时超市网点设计
一.摘要:
本文中,对奥运会比赛主场馆周边地区的临时迷你超市网点进行设计与优化,这是本题的重要目的之一,因此应该将该问题归结为一个带有约束条件的优化问题。通过对access 中大量数据的分析,可以了解到观众在出行,用餐等方面存在着一些规律,与此同时,根据这些规律,能够应用概率分布法计算每个商区的人流量。
针对问题三,这个也是全题的核心所在,考虑到每个商区的人流量,以及相对应的消费人流量,为了使得商业上的赢利达到最大,可以采取运筹学中的线性规划的整数求解问题,由于计算量较大,lingo 再次成为了解决模型的关键,通过lingo 的大量运算,得出了每个商业区网点的设计方案。
关键字:线性规划 数据处理 概率分布 lingo
二.问题重述
2008年北京奥运会的建设工作已经进入全面设计和实施阶段。需要我们对比赛主场馆的周边区域(即图中所标示的A1-A10、B1-B6、C1-C4区域)设置临时商业网点,以满足各类人员在奥运会期间的购物需求(满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利)。
因此我们的要求是:找出观众出行、用餐和购物的规律。根据每位观众平均出行两次,一次为进出场馆,一次为餐饮,并且出行均采取最短路径,测算出20个区域的人流量分布。给出20个商区内MS 网点的设计方案,来满足奥运会期间购物的需求。然后阐明自己的方法的科学性,并说明结果的实际性。
三.问题分析:
1. 找出观众出行、用餐和购物的规律。
2. 根据每位观众平均出行两次,一次为进出场馆,一次为餐饮,并且出行均采取最短路径,测算出20个区域的人流量分布。
3. 给出20个商区内MS 网点的设计方案,来满足奥运会期间购物的需求。 4. 然后阐明自己的方法的科学性,并说明结果的实际性。
四.基本假设:
①每个MS 销售的商品类别一样
②每人从出行开始到达自己目的地之间以最短路线计算
③每个看台能容纳观众数目为一万人,且满座率为100%;
五.符号规定:
①a i
表示第i 个商区,为方便将A1-A10、B1-B6、C1-C4个商区分别表示为
a 1 a 20
②R 表示总人流量 ③W i ④P i
第i 个交通工具停靠点人流量,i=1~6,分别表示公交(南北)、
公交(东
西)、出租、私车、 地铁(东)、地铁(西)
第i 个交通工具停靠点人流量与总人流量的比率,i=1~6,分别表示公交(南北)、
公交(东西)、出租、私车、 地铁(东)、地铁(西)
第i 个就餐地点人流量,i=1~3,分别表示中餐、西餐和商场(餐饮)
⑤M i ⑥S i
第i 个就餐地点人流量与总人流量的比率,i=1~3,分别表示中餐、西餐和商场
(餐饮)
⑦C i ⑧Q i ⑨A i
建一个MS 所需的成本,i=1~2,分别表示大型MS 和小型MS
一个MS 能容纳的最大人流量,i=1~2,分别表示大型MS 和小型MS 表示对应
a i
商区的看台的人流量,表示为
A 1——A 20
⑩X i
i=1~20,表示各商区的日消费额,X 1——X 20
⑾Y 表示所有商区一天的利润 ⑿ E 表示商区每人平均的日消费金额
六.模型建立:
1. 问题一模型:
根据问卷调查数据,找出观众在出行、用餐和购物等方面所反映的规律。
处理问卷数据如下表1、表2、表3: 问卷调查总人数为10600人。
表1 各站点人数统计
公交南北 公交东西 出租 私车 地铁东 地铁西
158 196 113 217 202 20以下 288
1055 908 1184 568 1215 1220 20-30
267 453 428 196 391 404 30-50
309 202 81 183 198 50以上 164
1828 2010 958 2006 2024 总人数 1774
占百分比 16.735849057 17.245283019
18.962269.03773518.924524151 8491 8302 表2 餐饮人数统计
19.094339623
20以下 20-30 30-50 50以上 总人数 占百分比 中餐 123 992 807 460 2382 22.471698113 西餐 552 3809 894 312 5567 52.518867925 商场 499 1349 438 365 2651 25.009433962
表3 各消费档次人数统计
20以下 20-30 30-50 50以上 总人数 占百分比 0-100 408 690 367 595 2060 19.433962264 100-200 496 1061 603 469 2629 24.801886792 200-300 188 3435 999 46 4668 44.037735849
300-400 48 824 99 12 983 9.2735849057 400-500 22 80 46 9 157 1.4811320755 500以上 12 60 25 6 103 0.97169811321
通过对收集的数据进行统计得出以下几点规律:年龄档为3和4的游客偏好中餐,而年龄档为2的旅客偏好西餐;年龄与出行关系不显著,因为选择使用何种交通工具主要取决于他们使用交通工具的方便程度;年龄对消费水平的影响比较明显,年龄档为2、3的游客中消费人数较多;男性倾向于乘坐公共交通工具,而女性则倾向于乘坐出租车、私家车;在高档消费游客中,女性明显多于男性。
图表如下
2. 问题二 人流量模型建立与求解:
对问题一中统计出来的数据进行加工、建模,以此来测算图2中a 1 a 20等20个商区的人流量分布(用百分比表示)。假定奥运会期间(指某一天)每位观众平均出行两次,一次为进出场馆,一次为餐饮,并且出行均采取最短路径。
为得到各个商圈的人流量分布数据,对所给数据进行初步分析,按照出行和餐饮将数据分成两部分,可得各自的百分比如下:
表1 各站点人数统计
公交南北 公交东西 出租 私车 地铁东 地铁西
20以下
20-30 30-50 50以上 总人数 占百分比 288 1055 267 164 1774 16.735849057 158 908 453 309 1828 17.245283019
196 113 1184 568 428 196 202 81 2010 958
18.962269.0377354151 8491
表2 餐饮人数统计
217 1215 391 183 2006 18.924528302 202 1220 404 198 2024 19.094339623
20以下 20-30 30-50 50以上 总人数 占百分比 中餐 123 992 807 460 2382 22.471698113 西餐 552 3809 894 312 5567 52.518867925 商场 499 1349 438 365 2651 25.009433962
问题假设:
假设(1):在每个车站下车的人到达三个场馆的可能性是相等的,即可以认为每个车站去3
个场馆的人的概率相同。 假设(2):各个车站去每个场馆的容量成正比,均为A:B:C=5:3:2。
假设(3)在每个场馆的观众在场馆中的座位安排是等可能性的,即认为无论从上下入口进出的每个观众在每个看台观看的可能性相同。
分别用A ,B ,C 指代鸟巢,国家体育馆和水立方,用 a1,a2分别指代A 的上下入口人流量;b1,b2指代B 的上下入口人流量;c1,c2指代C 的上下入口人流量,依据最短路径原则,由假设(1)、(2)图可得 对于出行方面考虑出入场时 a1’=10-5.4753=4.5247(万人)
a2’=10*(16.735%+18.924%+19.094%)=5.4753(万人)
对于餐饮方面考虑出入场时 a1’’=10*22.4717%=2.2471(万人)
a2’’=10-2.2471=7.7529(万人)
故上入口出入场总人流量 故下入口出入场总人流量
a1=a1’+a1’’=6.7718(万人) a2=a2’+a2’’=13.2282(万人)
出入场观众必然经过入口,故入口的人流量即场馆内的出入总人流量,根据上下入口的总人流量的分布,十个商圈间的地域关系以及假设(3),分别对A1~A10这十个商圈人流量进行细致分析
在运动场中,观众人流量由经商圈Ai 向与它对面的看台Ak/2+1流动,则 当i 小于k/2+1时,经A 向Ai+1流; 当i 大于k/2+1时,经Ak-1-i 向Ak-i 流
上下入口进入的人流进入10个看台的可能性是相等的,故可以以Mi (i=1,2,3,4)来表示入口进入总人流到各个看台的就座比率,由图可知Mi=0.1,0.15,0.25,0.35,0.45,1。 由以上分析加上图(1)的实际情况可计算A1~A10的人流量为:A1=a1+a2*0.1=8.0946(万人) A2=a1*0.45+a2*0.15=5.0315(万人) A3=a1*0.35+a2*0.25=5.6772(万人) A4=a1*0.25+a2*0.35=6.3228(万人) A5=a1*0.15+a2*0.45=6.9685(万人) A6=a1*0.1+a2=13.9054(万人)
A7=a1*0.15+a2*0.45=6.9685(万人) A8= a1*0.25+a2*0.35=6.3228(万人) A9= a1*0.35+a2*0.25=5.6772(万人) A10= a1*0.45+a2*0.15=5.0315(万人)
同理可计算得到B1~B4,C1~C4的人流量,列表如下
3. 问题三 MS 设计模型
用两种大小不同规模的MS 类型,给出图2中20个商区内MS 网点的设计方案(即每个商区内不同类型MS 的个数),以满足满足奥运会期间的购物需求、分布基本均衡和商业上赢利三个基本要求。基于以上要求,为设计出一个合理的MS 网点分布方案,选择消费人流量和商区日消费额这两个指标作为评判的依据,消费人流量模型上文已经建立,故下文先解决商区消费额模型,在最终建立MS 设计模型。
模型建立:
消费额模型:
各商区的日销售额的期望:
由此我们把每一消费档次的均值(期望)记作m i
,由表3知道各个消费档次的概率,将其记
作i (i=1,2,..6),则由期望的理论得每个商区的日销售额为
l
模型求解:
由表3我们可以算出E 的大小,消费档1(0-100)的期望为50,消费档2(100-200)的期望为150,消费档3(200-300)的期望为250,消费档4(300-400)的期望是350,消费档5(400-500)的期望是450,消费档6(500以上)的期望为500。 得:
E=50*19.43396%+150*24.80189%+250*44.03774%+350*9.27358%+450*1.48113%+500*0.971698%=200.9952700(元)
由问题二的模型我们可以知道各商圈人流量Ai 的数值,故,代入上式可解得,各商区的日消费额X 1——X 20,见下表7。
表7
对应商区的看台 a1 a2
对应商区的看台的人流量Ai 80946 50315
消费人流量Bi 13956.21
8675
日销售额
2805131.573 1743633.967
a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10
B1 B2 B3 B4 B5 B6 C1 C2 C3 C4
56772 63228 69685 139054 69685 63228 56772 9788.276 10901.38 12014.66 23974.83 12014.66 10901.38 9788.276
8675 7453.103
6340 9286.034
6340 7453.103 14851.9 5172.414 5321.207 5172.414 11920.17
1967397.15 2191125.678 2414888.86 4818826.944 2414888.86 2191125.678 1967397.15 1743633.967 1498038.54 1274310.012 1866449.008 1274310.012 1498038.54 2985160.957 1039630.707 1069537.417 1039630.707 2395898.273
假设对应
a 1 a 20个商区分别建设N 1——N 20个大型MS 超市和n 1——n 20个小型
MS 超市;
查找相关文献有:
大型MS 的成本为50000元(即C1=50000), 小型MS 的成本为12500元(即C2=12500), 大型MS 能容纳的最大人流量Q1=2000人, 小型MS 能容纳的最大人流量Q2=300人; 建立模型如下:
人流量关系及利润关系:
目标函数 Y=Xi-Ni*C1-ni*C2
约束条件 Ai ≤Ni*Q1+ni*Q2,
(i=1,2,3,……20)
由上述模型代入数据可知:
Y=
13956.21
≤N1*2000+n1*300,
2805131.573
-N1*50000-n1*12500 ·····(1)
8675
≤N2*2000+n2*300,
Y=
1743633.967
-N2*50000-n2*12500 ····*(2)
…… Y=
11920.17
≤N20*2000+n20*300,
2395898.273
-N20*50000-n20*12500 ····(20)
以方程(1)为例,用Lingo 编程语言可以得出:
model :
300*x1+2000*x2>=max =
80946
;
16269763.125
-50000*x1-12500*x2;
@gin(x1);@gin(x2); end
运行可得:
Global optimal solution found.
Objective value: 2455132. Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost X1 7.000000 50000.00 X2 0.000000 12500.00
Row Slack or Surplus Dual Price 1 43.79000 0.000000 2 2455132. 1.000000
故,N1=7,n1=0 对所有数据进行处理得:
编号 1 x i 1 7
2 4 3 7
3 5 0 5
4 6 0 6
5 6 1 7
6 7 8 9 12 6 6 5 0
1 0 0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 4 3 5 3 4 7 3 3 3 6 3 7
0 4
2 5
0 5
2 5
0 4
3
0 3
0 3
0 6
x i 2
总数 7 12 7 6 5 10 3
七.模型评价、运用及检验:
(1)对模型中θ1和θ2的取值的合理性讨论
对于给定了大小商场的成本,来考虑商场的容量使商场所获得的利润最大是我们在设计商场必须考虑的一个问题。对于问题三中我们假定了λ1=50000,λ2=12500。
为了考察θ1和θ2的合理取值,我们对θ1和θ2进行了多次的调整,通进比较得出θ1和θ2的最佳组合值下面就列举优化过程中其它几组数据为例:
表一:θ1=2000,θ2=300;
编号 1 x i 1 7
2 4 3 7
3 5 0 5
4 6 0 6
5 6 1 7
6 7 8 9 12 6 6 5 0
1 0 0
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 4 4 3 5 3 4 7 3 3 3 6 3 7
0 4
2 5
0 5
2 5
0 4
3
0 3
0 3
0 6
x i 2
总数 7 12 7 6 5 10 3
表二:θ1=1900 θ2=400;
编号 1 x i 1 7
2 4 3 7
3 5 1 6
4 6 0 6
5 6 2 8
6 7 12 6 3
2
8 6 0 6
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 5 4 4 3 5 4 4 8 3 3 3 6 1 3 6 7
0 4
2 5
0 5
0 4
0 4
0 8
0 3
0 3
0 3
2 8
x i 2 2
总数 9
15 8
表三:θ1=2000 θ2=400;
编号 1 x i 1 7
2 4 2 6
3 5 0 5
4 5 3 8
5 6 1 7
6 0
7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 6 5 5 4 4 3 5 3 3 7 3 3 3 6
0 4
1 4
0 5
1 4
4 7
3
0 3
0 3
0 6
x i 2
0 12 1 3 0 2 12 7 8 5 6
总数 7 10 3
我们分别对上面两个表求标准差(标准差可以衡量出数字的集中程度,标准差越小,说明集中度越高) 得:D1= 9.82598,D2= 12.1552458,D3=10.2956301,可以看出后面两种组合显然没有原方案中的组合好,D2、D3都大于D1,这相当于平均每一个商区的超市总量的误差比原方案的误差要大。按此原则我们最终选择了原方案。所以我们的先择是合理的。
(2) 模型的优点:
1、实用性高,计算量相对较小
2、通过对商区人流量和商区消费人流量的分别考虑,简化了计算过程, 并且更加贴近生活。
3、所有的计算过程都是以数据作为支撑的,因此模型相对准确
(3) 模型的缺点:
1、消费期望的求算过程中,各个消费档次人群的消费均值取为消费区间的均值,这一点有待商榷,且最后一个消费区间的人群消费均值直接取为500,因此消费期望值带有估计色彩。
2、运用最短路径原则分配人流量时,由于地图中未给出路程数据,故计算是带有个人经验成分,主观判断路径长短,可能存在稍许误差。
八.结语
奥运会MS 网点设计这个模型应用性是非常广泛的,利用这个模型可以推广到建立超市的卫星商城的分布模型,以及一个区域饭店的分布问题,这些在现实生活中都有很大的应用性,针对于这些问题,我们都可以采用以上建立的模型进行改正,以便给我们的生活带来更大的经济效益。
九.参考文献
【1】MS 网点的合理布局 作者:张仁丽,李捷飞,邱霆
【2】北京奥运会临时超市网点设计 作者:胡银玉,莫启会,唐珂
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本文在依照电力市场交易原则和输电阻塞管理原则的前提下,通过多元线性回归分析、目标规划等方法,对电力市场的输电阻塞管理问题进行了研究。
问题1中,通过对散点图进行分析,可以得到所有机组出力值都与各线路的有功潮流值存在线性关系。于是,我们利用多元线性回归分析模型,分别得到6条线路的有功潮流与8个机组出力的带有常数项的线性表达式,其中,模型中的参数用最小二乘法估计,并进行了检验,证明函数关系可行。
问题2中,通过分析可知,阻塞费用主要是包括两部分,分别是序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。“公平对待”就理解为电网公司赔偿两者在交易中所有的收入损失,从而制定出了阻塞费用的计算规则和公式。
针对问题3,为了下一个时段各机组的出力分配预案,我们按照电力市场规则,以在各机组出力存在上下极限(受爬坡速率影响)和机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件,以购电费用最少为目标函数,建立线性规划模型。最终各机组的出力分配预案为:
机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8
150 79 180 99.5 125 140 95 113.5 按照此出力分配预案,清算价为303元/兆瓦小时,购电费用为74416.8元。
问题4中,把问题3的计算数据代入问题4,通过问题1所得函数关系的计算易知部分线路出现阻塞,需调整出力方案。于是,我们以在各条线路上的有功潮流的绝对值不超出限值,各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件,以阻塞费用最低为目标函数,建立非线性目标规划模型,得到调整之后的出力分配方案为:
机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8
150.1 88 228 82.3 152 95 70.1 117 此时,清算价为303元/兆瓦小时,购电费用为74416.8元,阻塞费用为4619元。
针对问题5,重复问题3、4的工作。但因其预报负荷较大,无法输电阻塞消除,需将安全裕度纳入考虑范围之内。于是,根据安全且经济的原则的原则,以各条线路上的有功潮流的绝对值不超出安全裕度上限,各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件,以每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比最小和阻塞费用最低为目标函数,建立双目标规划模型,并利用加权法进行求解。调整之后的方案为:
机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8
153 88 188.2 99.5 150 155 102.1 117 此时,清算价为356元/兆瓦小时,购电费用为93699.2元,阻塞费用为1310.2元。
关键词:多元线性回归分析;最优解;非线性规划;多目标规划
3
一、问题重述
近年来我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。我国电力市场初期是发电侧电力市场,采取交易与调度一体化的模式。
根据电力市场交易规则:
1. 以15分钟为一个时段组织交易,每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。
2.在当前时段内,按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分,直到它们之和等于预报的负荷。最后一个被选入的段价(最高段价)称为该时段的清算价,该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。
计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线路上的有功潮流,判断是否会出现输电阻塞。如果不出现,接受各机组出力分配预案;否则,按照如下原则实施阻塞管理:
我们需要做的工作如下:
1. 某电网有8台发电机组,6条主要线路,表1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值,方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据,试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。
2.设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则,除考虑上述电力市场规则外,还需注意:在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。
3.假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW,表3、表4和表5分别给出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据,试按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配预案。
4.按照表6给出的潮流限值,检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻塞,并在发生输电阻塞时,根据安全且经济的原则,调整各机组出力分配方案,并给出与该方案相应的阻塞费用。
5.假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW,重复3~4的工作。
4
二、条件假设
1.假设各机组对线路上有功潮流值的影响相互独立,互不干扰;
2.假设在误差范围内,可以用有功潮流值与机组出力值关系的近似表达来计算在各机组出力确定的情况下,各线路上的有功潮流值的大小;
3.假设机组的段容量区间为左开右闭,便于统一计算处理;
4.各机组出力值的总和等于总负荷需求量,不计传输损失。
三、符号说明
i:各机组的序号; s:下一时段的负荷量; j:各线路的序号; p:清算价; :第i个机组的出力值; w:总的购电费用; xi
y:第j条线路上有功潮流绝对值的大小; z:阻塞费用; j
,:第i个机组出力值对第j条线路上有 :序外容量补偿费; zi,j1
功潮流值大小的影响系数; :序内容量补偿费; z2
l:第i个机组的爬坡速率; :线路j上潮流值的限值。 vji
:线路上有功潮流值超出限值的百分比; ,
四、问题分析
我国电力市场发展的初期是发电侧电力市场,采取交易与调制一体化的模式。因此,在此情况下研究电力市场的输电及其输电阻塞的管理十分必要。为了解题步骤清晰,给出该模式下的操作流程图,
5
得到下一时段的负荷预报
根据报价、当前机组出力和各机组爬坡速率
选取段容量
得到出力分配预案和清算价
计算在分配预案下,各线路上的有功潮流值
判断是否出现阻塞
是 否
实施阻塞管理 接受当前出力分配方案 调整各机组出力分配方案 判断是否能消除输电阻塞 是 否
接受当前出力分配方案 使用线路的安全裕度输电
判断每条线路上潮流值超过限值百分比的
大小是否小于相对安全裕度
是 否
接受当前出力分配方案 拉闸限电
图1 机组出力值计算流程图
针对问题1,题中给出了某一时刻下,各机组的出力值及其个线路上有功潮流值的大小,随后针对该时刻,分别单独地改变每个机组的出力值,记录各线路有功潮流值的大小。我们可以选取其中某一根线路上的有功潮流值大小进行研究。表1和表2各机组的出力方案及主线路潮流值中共有33组数据,其中方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值,方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据。通过观察表1的33组数据后,我们发现表中每连续4组数值(比如:1—4组,5—8组,9—12组等)中只有某一个机组的出力在发生变化而其余7个机组的出力值保持不变。
6
图2 与的散点图 图3 与的散点图 xxyy1211
由上图可知,与、都呈线性关系,同理可得,与xxyy(1,2,,6)i=?121i
都呈线性关系。因此,可以利用线性回归回归分析来求解近似表达式 x(1,2,,8)j=?j
针对问题2,因为预案中各机组的出力值大小可能导致某条或者多条线路上的有功潮流值的大小超过限值,为此出于安全因素的考虑,需要对原有的预案进行调整,使得处事交易方案不能执行,为此要支付阻塞费用,阻塞费用分为序外补偿费用和序内补偿费用。我们计算序外容量和序内容量都按照预案清算价和新方案出力对应报价之差计算。给出相应的补偿公式及其阻塞费用公式。
针对问题3,该问题是在下一时段需求负荷为982.4MW的情况下,计算各机组出力分配预案,不考虑输电阻塞的因素。最终的预案应该使得到的清算价取得最小值。此外除了各机组的出力值总和要等于需求负荷,每个机组的预算出力值还要受到当前出力值和该机组的爬坡速率的影响,即,机组的出力值有范围限制。对此我们可以建立0-1规划的目标规划模型,清算价为目标函数,实现其最小,爬坡速率等限制条件作为约束条件,利用lingo即可求出对应的各机组出力分配预案。
针对问题4,本问题是对问题3的后序处理,首先利用问题1所得到的线路有功潮流值关于机组出力大小的关系表达式,计算问题3预案机组出力分配情况下每条线路上的有功潮流值,判断是否出现阻塞,如果出现阻塞,就应该调整原有的预案分配。其中出现补偿情况,为了使补偿费用最小,用补偿费用作为优化目标建立目标规划模型,增加有功潮流限值的约束条件,利用lingo求解得到新的机组出力分配预案。
针对问题5,下一时段的需求负荷为1052.8MW的情况,此问题除了对问题
7
3,4进行再讨论外,主要是针对在出现输电阻塞,且无论如何调整各机组出力的分配预案也无法消除阻塞情况的分析。此时需要使用安全裕度输电,此方案不仅要使阻塞费用最小,还要求每条线路上潮流值超出限值的百分比尽量小,对此我们可以建立双目标规划求解,在问题4的约束条件下还要添加每条线路上潮流值超过限值的百分比小于安全裕度的约束条件。利用lingo求解出各机组出力的分配预案。
五、模型建立与求解
5.1 问题1的建模与求解
5.1.1 模型分析
利用线性回归回归分析的方法求出8个机组对该线路上有功潮流值大小影响关系表达式,继而求出6条线路上,每条线路上有功潮流值大小与各机组出力的近似表达式,并进行误差分析,讨论所得的近似表达式是否可以用来计算在机组出力值确定的情况下,计算每条线路上有功潮流值的大小。 5.1.2 模型建立
假设每个机组对线路上有功潮流值大小的影响都是独立的,且每条线路上潮流值的变化与各机组出力分配成线性关系,即可以表示为
y,,,,,x,?,,,xj0,j1,j18,j8
,其中,表示第i个机组的出力值,表示第i个机组对线路j的影响系数。 xi,ji
以为例进行求解。设 y1
。 y,b,bx,bx,bx,bx,bx,bx,bx,bx101122334455667788
相同的方法,我们可以得到y均与成x,x,x,x,x,x,x,x,,j,1,2,3,4,5,6j12345678线性关系,故都可以用上式表达。
5.1.3 模型求解
直接利用matlab统计工具箱中的命令regress求解,使用格式为:
,,,,b,bint,r,rint,stats,regressy,x,alpha
其中输入y为模型(3)中y的数据(n维向量,n=30),x为对应于回归系数
8
的数据矩阵(n*9矩阵,,,,,b,b,b,b,b,b,b,b,b,b1,x,x,x,x,x,x,x,x,01234567812345678其中第一列为全1向量),alpha为置信水平(缺省时,,0.05);输出b为的,,估计值,常记作b,bint为b的置信区间,r为残差向量,rint为r的置y,xb信区间,stats为回归模型的检验统计量,有3个值。第1个是回归方程的决定
2R系数(R是相关系数),第2个是F统计量值,第3个是与F统计量值对应的概率值p。
,,0.05 得到模型(3)的回归系数估计值及其置信区间(置信水平)、检验
2R统计量值,F,p的结果见表
参数 参数估计值 参数置信区间
110.4775 b ,109.5421111.4129,0
0.0826 b,0.08080.0844,1
0.0478 b,0.04370.0518,2
0.0528 b ,0.05140.0542,3
0.1199 ,b,0.11660.12314
,0.0257 b ,,0.0277,0.0237,5
0.1216 b ,0.11900.1243,6
0.1220 b ,,0.11890.12517
,0.0015 b ,,0.00370.0007,8
2 RFPE===-0.9995,5862,3.5536
表1 问题1模型的计算结果
2R结果分析:利用多重判定系数、统计量F、F所对应的概率P来验证模型的
2R可行性。越接近1,回归平面拟合程度越高,统计量F越大,回归平面拟合
p,,,0.05程度越高,当F所对应的概率时,拟合程度越高。
9
这样我们得到了关于的近似表达式,同理也可得x,x,x,x,x,x,x,xy123456781
y,y,y,y,y到关于的近似表达式。具体形式如下:x,x,x,x,x,x,x,x2345612345678
y,131.3521,0.0547x,0.1275x,0.0001x,0.0332x,0.0867x,0.1127x,0.0186x,0.0985x212345678y,,108.9928,0.0694x,0.0620x,0.1565x,0.0099x,0.1247x,0.0024x,0.0028x,0.2012x312345678y,77.6116,0.0346x,0.1028x,0.2050x,0.0209x,0.0120x,0.0057x,0.1452x,0.0763x412345678y,133.1334,0.0003x,0.2428x,0.0647x,0.0412x,0.0655x,0.0700x,0.0039x,0.0092x512345678y,120.8481,0.2376x,0.0607x,0.0781x,0.0929x,0.0466x,0.0003x,0.1664x,0.0004x612345678
, 对求出的进行残差分析并对各组系数在进行线性回归时的显著性程度pi,j
进行分析
P=0.0013 p=0.0010 p=0.0011
p=0.0010 p=0.0011 p=0.0014
,图 4 进行残差分析 i,j
上述的显著性程度平均小于α=0.0025,可知回归模型中得到的系数矩阵可
10
以接受,即正确。
通过各组数值的残插图分析,每组除了极少数数据外,其余数据残差离零点均较低,且残差的置信区间均包含零点,这说明得到的回归模型能够较好地符合原始数据,其中偏离较大的数据可作为异常点。
5.2 问题2的建模与求解
5.2.1 模型分析
阻塞费用的计算是以电力市场规则为依据。主要包含两部分:
1)对于序外容量:方案调整后,一些机组由于出力增加,其报价也会随之增加,但由于清算价始终保持不变,使得机组不得不在低于其报价的清算价上出力,导致了获利损失。因此,网方应对调整的出力部分造成的损失给予补偿,有
。 补偿费用(调整后报价清算价)出力的调整量,,,
2)对于序内容量:由于出力方案的调整,使得一些机组的出力值减少或者为零,减少部分的出力值的获利消失。为解决这部分损失,网方应赔偿该机组少得的获利值:。 补偿费用(清算价调整前报价)出力的调整量,,,
5.2.2 模型的建立
设表示方案调整前第i台机组的出力,表示方案调整后第i台机组的xx'ii
出力。p表示方案调整前的清算价,表示方案调整后的第i台机组对应的报px'ii价,由上述结算规则,
1序外容量的补偿费为: zxxpp=--(')()?1iii4?xx'ii
1序内容量的补偿费为: zxxpp=--(')()?2iii4<>
则阻塞费用Z 为这两者之和,即: z,z,z12
11 =--+xxppxxpp--(')()(')()??iiiiii44'?'<>
5.3 问题3的建模与求解
11
5.3.1 模型分析
该模型是以清算价格为优化目标的0-1规划模型,引入决策变量N表示对i,m于出力矩阵中元素的选取,N=1表示选取对应的元素,N=0表示不选取对i,mi,m应的元素,我们给出出力矩阵,并且对应的价格矩阵,即可将出力与报价练习在一起建立方程和不等式。分配方案即为在出力矩阵的每行选取一个元素,使其和等于负荷量,并且对应的报价矩阵的清算价最低。
5.3.2 模型建立
首先为模型的建立做准备,即给出出力矩阵A和对应的价格矩阵B。
,根据题中所给表3各机组的段容量初步写出出力矩阵A,
7070120120120150150150150190,,
,,30305058737981818189,,
110110150150180180200240240280,,
,,5560708090100115115115116,,, A,,,75809595110125125135145155
,,9595105125125140150170170180,,
,,5065708595105110120123125,,70709090110110130140155160,,
因为下一时刻机组的出力值还与现时段的出力值和该机组的爬坡速率有关,即,,其中,表示现时段第i个机组的出力值,表示下x,vt,x',x,vtxx'iiiiiii
时段第i个机组的出力值,t表示时段的时间长度,表示机组i的爬坡速率。vi
继而可得,
x',[87,153]1
x',[58,88]2
x',[132,228]3
x',[60.5,99.5]4 x',[98,152]5
x',[95,155]6
x',[60.1,102.1]7
x',[63,117]8
,AA为了使出力矩阵更加完整,将上述所求边界值插入得到出力矩阵,
12
707087120120120150150150150153190,,
,,303050585873798181818889,,
110110132150150180180200228240240280,,
,,556060.570809099.5100115115115116,,A, ,,7580959598110125125135145152155
,,959595105125125140150155170170180,,
,,5060.165708595102.1105110120123125,,6370709090110110117130140155160,,根据题中表4给出的各机组的段价,写出对应出力矩阵M的价格矩阵B
,5050124124168210252312330363489489,,
,,,5600182203203245300320360410495495,,
,6100152152189233258308356356415500,,
,,,500150170170200255302302325380435800,,B, ,,,5900116146188188215250310396510510
,,,607,6070159173205252305380380405520,,
,,,500120120180251260306306315335348548,,,800,800153183233253283303303318400800,,至此,我们开始建立模型。
1.决策变量
N我们引入决策变量,i=1,2,3,??,8;m=1,2,3,??,12。 i,m
N=1,表示选取出力矩阵A中对应元素; i,m
N=0,表示不选取出力矩阵A中对应元素。 i,m
2.目标函数
该规划的目标是使最终的清算价最小。用表示第i台机组的最高报价,pi
i=1,2,3,??,8。则目标函数可以表示为:
min p=maxp i
3.约束条件
(1)每个机组只会选择一个出力值,即,
12
N,1,i=1,2,3,??,8 ,,im1m,
13
(2)每个机组最高报价等与出力矩阵A选中元素对应在价格矩阵B中的元素,即,
12
p,N,b,i=1,2,3,??,8 ,ii,mi,mm1,
其中,b为价格矩阵B中的对应元素。 i,m
(3)机组的出力受到爬坡速率的限制,即,
12
x,vt,N,a,x,vt,i=1,2,3,??,8 ,,,iiimimii,1m
其中,表示当前时段机组i的出力;表示机组i的爬坡速率;t表示一xvii
a时段的时间长度;为出力矩阵A中的对应元素。 i,m
(4)各机组出力总和不小于负荷需求,即,
812
N,a,s ,,i,mi,mim11,,
a其中,为出力矩阵A中的对应元素,s为负荷需求。 i,m
综上所述,模型建立如下:
目标函数:min p=max pi
,
,01N,或;i,m,12,1,1,2,,8;N,i,?,i,m,m,1,12,约束条件: ,1,2,,8;p,N,bi,?,,ii,mi,mm,1,12,,1,2,,8;x,vt,N,a,x,vti,?,,iii,mi,miim,1,812,Nas,,,,,i,mi,m,im,,11
5.3.3 模型求解
利用lingo对上述规划进行求解,具体程序见附录 程序2。
求得最小清算价p=303,
决策变量N,N,N,N,N,N,N,N,1,其余为0。 1,72,73,74,75,86,77,68,8
14
所以各机组出力
机组/出力 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 预案出力值 150 79 180 99.5 125 140 95 117 调整的值,使各机组出力总和为982.4,则 xx,113.988
即,各机组分配出力预案
机组/出力 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 预案出力值 150 79 180 99.5 125 140 95 113.9 求得购电费用。 w,p,s/4,74417元
5.4 问题4的建模与求解
5.4.1 模型分析
该问题是在判断问题3中得到分配预案发生输电阻塞的情况下,对机组出力分配的进一步讨论。方案的要求是使调整各机组出力分配方案产生的阻塞费用最小。我们建立以阻塞费用为优化目标的单目标优化模型,以负荷需求和爬坡速率等限制条件作为规划的约束条件,从而进行求解。
5.4.2 模型建立
首先还是建模前的数据准备,即,计算各线路上有功潮流值的大小,观察是否有一条或者多条线路存在输电阻塞的情况,以此来判断是否需要建模。
用问题1中得出的近似表达式,根据分配预案的值计算出6xi(1,2,...,8),i
条线路的潮流值如下:
线路 1 2 3 4 5 6
潮流值 173.3084 140.98403 -150.98122 120.9374 136.8083 168.5149
限值 165 150 160 155 132 162 超出百分比 5.04% 0 0 0 3.64% 4.02%
由于线路1超过限值5.04,,线路5超过限值3.64,,线路6超过限值4.02,,所以该出力分配预案会引起输电阻塞,但可进行安全裕度输电。根据安全且经济的原则,我们需调整各机组的出力分配方案。
至此我们开始建立模型求解。
1.决策变量
我们引入调整分配方案后机组i的出力大小作为决策变量。 x'i
15
2.目标函数
由于优化目标为阻塞费用,所以以最小的阻塞费用作为该目标规划模型的目
标函数,根据问题2中给出的阻塞费用的计算方法,写出阻塞费用的表达式,即,
z,(x',x)(p,p),(x,x')(p,p)iiiiii,,x',xx',xiiii
其中,表示分配预案中机组i的出力值,p为清算价,为出力的对应报价。 xpx'iii所以,目标函数为
min。 z,(x',x)(p,p),(x,x')(p,p)iiiiii,,x',xx',xiiii
3.约束条件
(1)各机组爬坡速率的限制,即,
x,vt,x',x,vti0iii0i
其中,表示现时段机组i的出力。 xi0
(2)各机组出力总和等于负荷需求,即,
8
x',s。 ,ii,1
(3)每条线路的上的有功潮流绝对值不能超过限值,即,
y,l jj
l其中,表示线路j上的潮流限值,。 y,,,,,x,?,,,xjj0,j1,j18,j8(4)出力价格与出力的对应关系 px'ii
记作,具体关系可由表3,表4得到。 p,f(x')ii
综上所述,以阻塞费用为优化目标的优化模型建立如下: 目标函数:min ; z,(x',x)(p,p),(x,x')(p,p)iiiiii,,x',xx',xiiii
16
x,vt,x',x,vt,i,1,2,?,8;,iiiii00,8
,x',s;i,,i1,,约束条件: p,f(x'),i,1,2,?,8;,ii
,y,,,,,x,?,,,x,j,1,2,?,6;jjjj0,1,18,8,
,yl,j1,2,?,6,,jj,,
5.4.3 模型求解
运用lingo对上述模型求解,程序见附录 程序3。
得到各机组出力:
负荷需求是982.4MW
机组号 1 2 3 4 5 6 7 8 调整后的分150.6688 228 80.059 152 96.673 70 117 配方案 8
计算在此出力分配预案下,各线路上的潮流值大小,得
,,,,, y,,155.0399y,132y,159.72y,165y,149.4753y,126.2642356124
不存在线路上潮流值超过限值。此时,阻塞费用为4614.386元。
5.5 问题5的建模与求解
5.5.1 模型分析
该模型建立使用的前提是最初的各机组出力分配预案在执行时会在一条或者多条线路上引起输电阻塞,而且无论如何调整机组的出力分配也不能使所有线路上的潮流值低于限值。在此情况下,建立阻塞费用和各线路上超过限值的百分比的双目标规划模型,以此来求解问题。
5.5.2 模型建立
还是对模型的建立进行数据准备,判断是否需要该模型进行求解。
当需求负荷变为1052.8MW,采用问题3中的模型,求解出各机组的出力分配预案
机组/出力 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 预案出力值 150 81 218.2 99.5 135 150 102.1 117 清算价p为356元/MWh
17
各线路上潮流值为,,, y,,156.337y,177.117y,140.944312
,, y,134.786y,167.016y,129.883564
其中,均超过了潮流限值,再利用问题4中的模型对出力分配预案进行y,y,y156
调整,发现无法得到最优解,即,需要使用安全裕度输电,至此,开始建立以阻
塞费用和超过潮流限值百分比为优化目标的双目标优化模型。 1.决策变量
我们引入调整分配方案后机组i的出力大小作为决策变量。 x'i
2.目标函数
第一个目标函数为阻塞费用,即,
min z,(x',x)(p,p),(x,x')(p,p)iiiiii,,x',xx',xiiii
第二个目标函数为超过潮流限值的百分比,我们取最大的百分比,规划使得
六条线路上超过潮流限值的最大百分比最小,得到目标函数,
min,,max, j
3.约束条件
只需对问题4中模型的约束条件(3)进行修改,使超过潮流限值的百分比小
于或等于该线路的相对裕度,即,
y,l(1,e) jjj
,,0,yl;jj,,, ,,,yljjj,y,l,jjl,j,
le其中,表示线路j上的潮流限值;表示线路j上的相对裕度。 jj
综上所述,模型建立如下:
,min(')()(')(),,,,,,zxxppxxpp,,iiiiii,x',xx',xiiii目标函数: ,
,min,max,,j,
18
?xvtx'xvt,i1,2,,8;,,,,,,iiiii00
,8
,x's;,,i,i,1,?pf(x'),i1,2,,8;,,ii,,,,,??yxx,j1,2,,6;,,,,,,,,jjjj0,1,18,8约束条件: ,
?yl(1e),j1,2,,6;,,,,jjj
,,0,yl;,,jj,,,,,,yl,j,jj,yl,,jj,l,,j,,
5.5.3 模型求解
在求解中不能保证两个优化目标都能同时取到最优解,所以我们解出在超过潮流限值百分比最小的情况下,再得到最小的阻塞费用。运用lingo求解,具体程序见附录 程序4。
解得最小超过潮流限值百分比为5.16%,在此条件下,最小的阻塞费用为1828.4元,购电费用为93699元,各机组的出力为
负荷需求是1052.8MW
机组号 1 2 3 4 5 6 7 8 调整后的分153 88 228 92.107 152 137.3585.339 117 配方案 4
各线路上超过潮流限值的百分比为
,,,,, ,,0,,1.72%,,1.12%,,5.16%,,0,,0356124
均小于各线路上的相对裕度。
六、参考文献
[1]马莉,MATLAB语言实用教程,北京:清华大学出版社,2010.1 [2]姜启源 谢金星 叶俊,数学模型(第四版),北京:高等教育出版社,2011.1 [3]尚金成 张兆峰 韩刚,区域电力市场竞价交易模型与交易机制的研究,2005.6 [4]谢金星 薛毅,优化建模与LINDO/LINGO软件,北京:清华大学出版社,2005.7
19
附录
程序1
X,Y使用EXCEL导入
For i=1:6
B(i,:)=regress(Y(:,i),X);
End
[B(1,:),BINT1,r1,rint1,STATS1]=regress(Y(:,i),X); [B(1,:),BINT1,r1,rint1,STATS1]=regress(Y(:,1),X); [B(2,:),BINT2,r2,rint2,STATS2]=regress(Y(:,2),X); [B(3,:),BINT3,r3,rint3,STATS3]=regress(Y(:,3),X); [B(4,:),BINT4,r4,rint4,STATS4]=regress(Y(:,4),X); [B(5,:),BINT5,r5,rint5,STATS5]=regress(Y(:,5),X); [B(6,:),BINT6,r6,rint6,STATS6]=regress(Y(:,6),X); rcoplot(r1,rint1)
rcoplot(r2,rint2)
rcoplot(r3,rint3)
rcoplot(r4,rint4)
rcoplot(r5,rint5)
rcoplot(r6,rint6)
程序2
model:
sets:
power/1..8/:v,p0;
perprice/1..12/;
link(power,perprice):X,P,T,C;
endsets
data:
P=
-505 0 124 124 168 210 252 312 330 363 489 489
20
-560 0 182 203 203 245 300 320 360 410 495 495 -610 0 152 152 189 233 258 308 356 356 415 500 -500 150 170 170 200 255 302 302 325 380 435 800 -590 0 116 146 188 188 215 250 310 396 510 510 -607 -607 0 159 173 205 252 305 380 380 405 520 -500 120 120 180 251 260 306 306 315 335 348 548 -800 -800 153 183 233 253 283 303 303 318 400 800; T=
70 70 87 120 120 120 150 150 150 150 153 190 30 30 50 58 58 73 79 81 81 81 88 89
110 110 132 150 150 180 180 200 228 240 240 280 55 60 60.5 70 80 90 99.5 100 115 115 115 116 75 80 95 95 98 110 125 125 135 145 152 155 95 95 95 105 125 125 140 150 155 170 170 180 50 60.1 65 70 85 95 102.1 105 110 120 123 125 63 70 70 90 90 110 110 117 130 140 155 160; enddata
min=@max(C(I));
@for(power(I):@sum(perprice(J):X(I,J)))=1; @for(power(I):@sum(perprice(J):X(I,J)*P(I,J))>=p0(I)-15*v(I));
@for(power(I):@sum(perprice(J):X(I,J)*P(I,J))<=p0(i)+15*v(i));>=p0(i)+15*v(i));>
C(I)=@for(power(I):@sum(perprice(J):X(I,J)*P(I,J))); @sum(power(I):@sum(perprice(J):X(I,J)*T(I,J))); @for(var:@bin(X));
end
程序3
clear all
clc
K=load('Q_3K.txt');
21
C=load('Cij.txt');
K.*C
s=sum(K.*C,2)
S=[s,s,s,s,s,s];
S(9,:)=1;
Q_1=load('Q_1.txt');
ANS=Q_1.*S
sum(ANS)
///////////////////////////////////////////////////
Q_1.txt
0.0829 -0.05467 -0.06939 -0.03463 0 0.23755
0.0484 0.1276 0.062 -0.1028 0.2427 -0.0607
0.05302 0 -0.1565 0.20504 -0.06477 -0.07807
0.12 0.0332 -0.0099 -0.0209 -0.0412 0.0929
-0.02537 0.08672 0.12467 -0.01202 -0.06554 0.04661
0.1221 -0.1126 0.0024 0.0057 0.0699 0
0.1215 -0.0187 -0.0028 0.1452 -0.0038 0.1664
0 0.09858 -0.20119 0.07634 -0.00926 0
110.1 131.3 -109 77.61 133.2 120.9
///////////////////////////////////////////////////
Q_3K.txt
1.0000 0 1.0000 0 0 1.0000 0 0
0 0
1.0000 0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0
0 0
1.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 0 0
0 0
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9500 0 0
0 0
1.0000 1.0000 1.0000 0 1.0000 1.0000 0 0
22
0 0
1.0000 0 1.0000 1.0000 0 1.0000 0 0
0 0
1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0
0 0
1.0000 0 1.0000 0 1.0000 0 0.1950 0
0 0
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////
model:
程序4
SETS:
POWER/1..8/:V,P0;
PERPRICE/1..10/;
ROUT/1..6/:A0,L;
LINKROUT(ROUT,POWER) :A;
LINK(POWER,PERPRICE ):K,C,B; !V是机组爬坡速度,B为机组段价,p0为初始出力价,
K为段容量使用率,C为段容量,L为限值。A0为常数项;
ENDSETS
DATA:
C=@File(PERC.txt);
B=@File(PERP.txt);
P0=
120 73 180 80 125 125 81.1 90; V=
2.2 1 3.2 1.3 1.8 2 1.4 1.8;
A0=
110.1 131.3 -109 77.61 133.2 120.9; A=@File(q_32.txt);
23
L=
165 150 160 155 132 162;
ENDDATA
[OBJ] MIN=@SUM(LINK(I,J):C(I,J)*K(I,J)*B(I,J)); @SUM(POWER(I):(@SUM(PERPRICE(J):C(I,J)*K(I,J))))=982.4; @FOR(POWER(I):@SUM(PERPRICE(J):K(I,J)*C(I,J))-P0(I)>=-15*V(I)); @FOR(POWER(I):@SUM(PERPRICE(J):K(I,J)*C(I,J))-P0(I)<=15*v(i));>=15*v(i));>
@FOR(ROUT(I):@SUM(POWER(J):A(I,J)*@SUM(PERPRICE(X):K(J,X)*C(J,X)))+A0(I)>=-L(I));
@FOR(ROUT(I):@SUM(POWER(J):A(I,J)*@SUM(PERPRICE(X):K(J,X)*C(J,X)))+A0(I)<=l(i));>=l(i));>
@FOR(LINK(I,J)|J#NE#1:@BND(0,K(I,J),1));
@FOR(POWER(I):K(I,1)*C(I,1)=C(I,1));
End
24
范文三:数学建模范例
数学建模--教学楼人员疏散--获校数学建模二等
数学建模
人员疏散
本题是由我和我的好哥们张勇还有我们区队的学委谢菲菲经过数个日夜的精心准备而完成的,指导老师沈聪.
摘要
文章分析了大型建筑物内人员疏散的特点,结合我校1号教学楼的设定火灾场景人员的安全疏散,对该建筑物火灾中人员疏散的设计方案做出了初步评价,得出了一种在人流密度较大的建筑物内,火灾中人员疏散时间的计算方法和疏散过程中瓶颈现象的处理方法,并提出了采用距离控制疏散过程和瓶颈控制疏散过程来分析和计算建筑物的人员疏散。
关键字
人员疏散 流体模型 距离控制疏散过程
问题的提出
教学楼人员疏散时间预测
学校的教学楼是一种人员非常集中的场所,而且具有较大的火灾荷载和较多的起火因素,一旦发生火灾,火灾及其烟气蔓延很快,容易造成严重的人员伤亡。对于不同类型的建筑物,人员疏散问题的处理办法有较大的区别,结合1号教学楼的结构形式,对教学楼的典型的火灾场景作了分析,分析该建筑物中人员疏散设计的现状,提出一种人员疏散的基础,并对学校领导提出有益的见解建议。
前言
建筑物发生火灾后,人员安全疏散与人员的生命安全直接相关,疏散保证其中的人员及时疏散到安全地带具有重要意义。火灾中人员能否安全疏散主要取决于疏散到安全区域所用时间的长短,火灾中的人员安全疏散指的是在火灾烟气尚未达到对人员构成危险的状态之前,将建筑物内的所有人员安全地疏散到安全区域的行动。人员疏散时间在考虑建筑物结构和人员距离安全区域的远近等环境因素的同时,还必须综合考虑处于火灾的紧急情况下,人员自然状况和人员心理这是一个涉及建筑物结构、火灾发展过程和人员行为三种基本因素的复杂问题。
随着性能化安全疏散设计技术的发展,世界各国都相继开展了疏散安全评估技术的开发及研究工作,并取得了一定的成果(模型和程序),如英国的CRISP、EXODUS、STEPS、Simulex,
美国的ELVAC、EVACNET4、EXIT89,HAZARDI,澳大利亚的EGRESSPRO、FIREWIND,加拿大的FIERA system和日本的EVACS等,我国建筑、消防科研及教学单位也已开展了此项研究工作,并且相关的研究列入了国家“九五”及“十五”科技攻关课题。 一般地,疏散评估方法由火灾中烟气的性状预测和疏散预测两部分组成,烟气性状预测就是预测烟气对疏散人员会造成影响的时间。众多火灾案例表明,火灾烟气毒性、缺氧使人窒息以及辐射热是致人伤亡的主要因素。
其中烟气毒性是火灾中影响人员安全疏散和造成人员死亡的最主要因素,也就是造成火灾危险的主要因素。研究表明:人员在CO浓度为4X10-3浓度下暴露30分钟会致死。 此外,缺氧窒息和辐射热也是致人死亡的主要因素,研究表明:空气中氧气的正常值为21,,当氧气含量降低到12,,15,时,便会造成呼吸急促、头痛、眩晕和困乏,当氧气含量低到6,,8,时,便会使人虚脱甚至死亡;人体在短时间可承受的最大辐射热为2.5kW,m2(烟气层温度约为200?)。
图1 疏散影响因素
预测烟气对安全疏散的影响成为安全疏散评估的一部分,该部分应考虑烟气控制设备的性能以及墙和开口部对烟的影响等;通过危险来临时间和疏散所需时间的对比来评估疏散设计方案的合理性和疏散的安全性。疏散所需时间小于危险来临时间,则疏散是安全的,疏散设计方案可行;反之,疏散是不安全的,疏散设计应加以修改,并再评估。
图2 人员疏散与烟层下降关系(两层区域模型)示意图
疏散所需时间包括了疏散开始时间和疏散行动时间。疏散开始时间即从起火到开始疏散的时间,它大体可分为感知时间(从起火至人感知火的时间)和疏散准备时间(从感知火至开始疏散时间)两阶段。一般地,疏散开始时间与火灾探测系统、报警系统,起火场所、人员相对位置,疏散人员状态及状况、建筑物形状及管理状况,疏散诱导手段等因素有关。
疏散行动时间即从疏散开始至疏散结束的时间,它由步行时间(从最远疏散点至安全出口步行所需的时间)和出口通过排队时间(计算区域人员全部从出口通过所需的时间)构成。与疏散行动时间预测相关的参数及其关系见图3。
图3 与疏散行动时间预测相关的参数及其关系
模型的分析与建立
我们将人群在1号教学楼内的走动模拟成水在管道内的流动,对人员的个体特性没有考虑,而是将人群的疏散作为一个整体运动处理,并对人员疏散过程作了如下保守假设:
u 疏散人员具有相同的特征,且均具有足够的身体条件疏散到安全地点; u 疏散人员是清醒状态,在疏散开始的时刻同时井然有序地进行疏散,且在疏散过程中不会出现中途返回选择其它疏散路径;
u 在疏散过程中,人流的流量与疏散通道的宽度成正比分配,即从某一个出口疏散的人数按其宽度占出口的总宽度的比例进行分配
u 人员从每个可用出口疏散且所有人的疏散速度一致并保持不变。
以上假设是人员疏散的一种理想状态,与人员疏散的实际过程可能存在一定的差别,为了弥补疏散过程中的一些不确定性因素的影响,在采用该模型进行人员疏散的计算时,通常保守地考虑一个安全系数,一般取1(5,2,即实际疏散时间为计算疏散时间乘以安全系数后的数值。
1号教学楼平面图
教学楼模型的简化与计算假设
我校1号教学楼为一幢分为A、B两座,中间连接着C座的建筑(如上图),A、B两座为五层,C座为两层。A、B座每层有若干教室,除A座四楼和B座五楼,其它每层都有两个大教室。C座一层即为大厅,C座二层为几个办公室,人员极少故忽略不考虑,只作为一条人员通道。为了重点分析人员疏散情况,现将A、B座每层楼的10个小教室(40人)、一个中教室(100)和一个大教室(240人)简化为6个教室。
图4 原教室平面简图
在走廊通道的1/2处,将1、2、3、4、5号教室简化为13、14号教室,将6、7、8、9、10号教室简化为15、16号教室。此时,13、14、15、16号教室所容纳的人数均为100人,教室的出口为距走廊通道两边的1/4处,且11、13、15号教室的出口距左楼梯的距离相等,12、14、16号教室的出口距右楼梯的距离相等。我们设大教室靠近大教室出口的100人走左楼梯,
其余的140人从大教室楼外的楼梯疏散,这样让每一个通道的出口都得到了利用。由于1号教学楼的A、B两座楼的对称性,所以此简图的建立同时适用于1号教学楼A、B两座楼的任意楼层。
图5 简化后教室平面简图
经测量,走廊的总长度为44米,走廊宽为1.8米,单级楼梯的宽度为0.3米,每级楼梯共有26级,楼梯口宽2.0米,每间教室的面积为125平方米. 则简化后走廊的1/4处即为教室的出口,距楼梯的距离应为44/4=11米。
对火灾场景做出如下假设:
u 火灾发生在第二层的15号教室;
u 发生火灾是每个教室都为满人,这样这层楼共有600人;
u 教学楼内安装有集中火灾报警系统,但没有应急广播系统;
u 从起火时刻起,在10分钟内还没有撤离起火楼层为逃生失败;
对于这种场景下的火灾发展与烟气蔓延过程可用一些模拟程序进行计算,并据此确定楼内危险状况到来的时间.但是为了突出重点,这里不详细讨论计算细节.
人员的整个疏散时间可分为疏散前的滞后时间,疏散中通过某距离的时间及在某些重要出口的等待时间三部分,根据建筑物的结构特点,可将人们的疏散通道分成若干个小段。在某些小段的出口处,人群通过时可能需要一定的排队时间。于是第i 个人的疏散时间ti 可表示为:
式中, ti,delay为疏散前的滞后时间,包括觉察火灾和确认火灾所用的时间; di,n为第n 段的长度; vi,n 为该人在第n 段的平均行走速度;Δtm,queue 为第n 段出口处的排队等候时间。最后一个离开教学楼的人员所有用的时间就是教学楼人员疏散所需的疏散时间。 假设二层的15号教室是起火房间,其中的人员直接获得火灾迹象进而马上疏散,设其反应的滞后时间为60s;教学内的人员大部分是学生,火灾信息将传播的很快,因而同楼层的其他教室的人员会得到15号教室人员的警告,开始决定疏散行动.设这种信息传播的时间为120s,即这批人的总的滞后时间为120+60=180秒;因为左右两侧为对称状态,所以在这里我们就计算一面的.一、三、四、五层的人员将通过火灾报警系统的警告而开始进行疏散,他们得到火灾信息的时间又比二层内的其他教室的人员晚了60秒.因此其总反应延迟为240秒.由于火灾发生在二楼,其对一层人员构成的危险相对较小,故下面重点讨论二,三,四,五楼的人员疏散. 为了实际了解教学楼内人员行走的状况,本组专门进行了几次现场观察,具体记录了学生通过一些典型路段的时间。参考一些其它资料[1、2、3] ,提出人员疏散的主要参数可用图6 表
示。在开始疏散时算起,某人在教室内的逗留时间视为其排队时间。人的行走速度应根据不同的人流密度选取。当人流密度大于1 人/ m2时,采用0. 6m/ s 的疏散速度,通过走廊所需时间为60s ,通过大厅所需时间为12s ;当人流密度小于1 人/m2 时,疏散速度取为1. 2m/ s ,通过走廊所需时间为30s ,通过大厅所需时间为6s。
图6 人员疏散的若干主要参数
Pauls[4]提出,下楼梯的人员流量f 与楼梯的有效宽度w 和使用楼梯的人数p 有关,其计算公式为:
式中,流量f 的单位为人/ s , w 的单位为mm。此公式的应用范围为0. 1 < p/="" w="">< 0.="" 55="" 。="">
这样便可以通过流量和室内人数来计算出疏散所用时间。出口的有效宽度是从通道的实际宽度里减去其两侧边界层而得到的净宽度,通常通道一侧的边界层被设定为150mm。
3 结果与讨论
在整个疏散过程中会出现如下几种情况:
(1) 起火教室的人员刚开始进行疏散时,人流密度比较小,疏散空间相对于正在进行疏散的人群来说是比较宽敞的,此时决定疏散的关键因素是疏散路径的长度。现将这种类型的疏散过程定义为是距离控制疏散过程;
(2) 起火楼层中其它教室的人员可较快获得火灾信息,并决定进行疏散,他们的整个疏散过程可能会分成两个阶段来进行计算: 当f进入2层楼梯口流出2层楼梯口时, 这时的疏散就属于距离控制疏散过程;当f进入2层楼梯口> f流出2层楼梯口时, 二楼楼梯间的宽度便成为疏散过程中控制因素。现将这种过程定义为瓶颈控制疏散过程;
(3) 三、四层人员开始疏散以后,可能会使三楼楼梯间和二楼楼梯间成为瓶颈控制疏散过程;
(4) 一楼教室人员开始疏散时,可能引起一楼大厅出口的瓶颈控制疏散过程;
(5) 在疏散后期,等待疏散的人员相对于疏散通道来说,将会满足距离控制疏散过程的条件,即又会出现距离控制疏散过程。
起火教室内的人员密度为100/ 125 = 0.8 人/m2 。然而教室里还有很多的桌椅,因此人员行动不是十分方便,参考表1 给出的数据,将室内人员的行走速度为1.1m/ s。设教室的门宽为1. 80m。而在疏散过程中,这个宽度不可能完全利用,它的等效宽度,等于此宽度上减去0. 30m。则从教室中出来的人员流量f0为:
f0=v0×s0×w0=1.1×0.8×4.7=4.1(人/ s) (3)
式中, v0 和s0 分别为人员在教室中行走速度和人员密度, w0 为教室出口的有效宽度。按此速度计算,起火教室里的人员要在24.3s 内才能完全疏散完毕。
设人员按照4.1 人/ s 的流量进入走廊。由于走廊里的人流密度不到1 人/ m2 ,因此采用1. 2m/s的速度进行计算。可得人员到达二楼楼梯口的时间为9.2s。在此阶段, 将要使用二楼楼梯的人数为100人。此时p/ w=100/1700=0.059 < 0.="" 1="" ,="" 因而不能使用公式2="" 来计算楼梯的流量。采用fruin[5]提出的人均占用楼梯面积来计算通过楼梯的流量。根据进入楼梯间的人数,取楼梯中单位宽度的人流量为0.5人="" m.="" s)="" ,人的平均速度为0.="" 6m/="" s="" ,则下一层楼的楼梯的时间为13s。这样从着火时刻算起,在第106.5s(60+24.3+9.2+13)时,着火的15号教室人员疏散成功。以上这些数据都是在距离控制疏散过程范围之内得出的。="">
起火后120s ,起火楼层其它两个教室(即11和13号教室)里的人员开始疏散。在进入该层楼梯间之前,疏散的主要参数和起火教室中的人员的情况基本一致。在129.2s他们中有人到达二层楼梯口,起火教室里的人员已经全部撤离二楼大厅。因此,即将使用二楼楼梯间的人数p1 为:
p1 = 100 ×2 = 200 (人) (4)
此时f进入2层楼梯口>f流出2层楼梯口,从该时刻起,疏散过程由距离控制疏散过渡到由二楼楼梯间瓶颈控制疏散阶段。由于p/ w =200/1700= 0.12 ,可以使用公式2 计算二楼楼梯口的疏散流量f1 , 即:
?/P>
0.27
0.73
f1 = (3400/ 8040) × 200 = 2.2人/ s) (5)
式中的3400 为两个楼梯口的总有效宽度,单位是mm。而三、四层的人员在起火后180s 时才开始疏散。三层人员在286.5s(180+106.5)时到达二层楼梯口,与此同时四层人员到达三层楼梯口,第五层到达第四层楼梯口。此时刻二层楼梯前尚等待疏散人员数p′1:
p′1 = 200 - (286.5 – 129.2) ×2.2 = -146.1(人) <0 (6)="">0>
所以,二层楼的人员已经全部到达一层
此后,需要使用二层楼梯间的人数p2 :
p2 = 100×3=300 (人) (7)
相应此阶段通过二楼楼梯间的流量f 2 :
0.27
0.73
f2 = (3400/8040) × 200 = 2.5(人/ s) (8)
这?送ü楼楼梯的疏散时间t1 :
t1 = 300?2.5 = 120 ( s) (9)
因为教学楼三、四、五层的结构相同,所以五层到四层,四层到三层和三层到二层所用的时间相等,因此人员的疏散在楼梯口不会出现瓶颈现象
所以,通过二楼楼梯的总体疏散时间T :
T = 286.5+ 120×3 = 646.5 ( s) (10)
最终根据安全系数得出实际疏散时间为T实际:
T实际 =646.5×(1.5,2)=969.75,1293( s) (11)
图7 二楼楼梯口流量随时间的变化曲线图
关于几点补充说明:
以上是我们只对B座二楼的15号教室起火进行的假设分析和计算,此时当人员到达一楼即视为疏散成功。同理,当三楼起火的时候,人员到达二楼即视为疏散成功,四楼、五楼以此类推。因为1号教学楼A、B座结构的对称性所以楼层的其他教室起火与此是同一个道理。
所以本文上述的分析与计算同时适用于A、B两座楼。另外当三层以上(包括三楼)起火的时候,便体现出C座二楼的作用。当B座的三楼起火的时候,B座二楼的人员肯定是在B座三楼人员后对起火做出应对反应,所以会出现当三楼人员疏散到二楼的时候,二楼的人员也开始疏散的情况,势必造成二楼楼梯口出现瓶颈现象。因为A、B座的三、四、五楼并没有连接,都是独立的结构,出现火灾不会直接从B座的三楼威胁到A座三楼及其他楼层人员的安全,所以为了避免上述二楼楼梯口出现瓶颈现象的发生,我们让二楼的所有人员向A座的二楼转移,这样就会让起火楼层的人员能够更快的疏散到安全区域。当B座的四、五楼起火的时候也同样让二楼的人员向A座的二楼转移,为二楼以上的人员疏散创造条件。同理,A座也是如此。
在对火灾假设分析和计算的时候,我们并没有对大教室的后门楼梯的疏散做出计算,由于1号教学楼的特殊性,A座的四楼和B座的五楼没有大教室,所以大教室的后门楼梯疏散人员的速度是很快的,不会在大教室后门的楼梯出现瓶颈现象。
关于1号教学楼的几个出口:
u 大厅有一个大门
u A座一楼靠近正厅有一个门
u A座大教室旁边有一个门
u B座中教室靠近大厅正门侧面的窗户可以作为一个应急出口
u A、B座的底层都有一个地下室(当烟气蔓延太快来不及疏散,受烟气威胁的时候可以作为一个逃生去向)
u A、B座大教室各有一个后门
合计: 8个出口
致校领导的一封信
尊敬的校领导,你们好。
针对我校1号教学楼,我们数学建模小组通过实际测量、建立模型、模型分析,得出如下结论:一旦1号教学楼发生火灾,人员有可能不能全部安全疏散。
以上的分析是按一种很理想的条件进行的,并没有进行任何修正。实际上人在火灾中的行为是很复杂的,尤其是没有经过火灾安全训练的人,可能会出现盲目乱跑、逆向行走等现象,而这也会延长总的疏散时间。
该模型在现阶段是一个人员疏散分析模型的基础,目前属于理论上的模型,以上的计算结果都是通过手算或文曲星计算得到的。模型中的人员行走速度是通过多次观察该教学楼内下课时人员的行走速度和参照Fru2in 给出的疏散时人员行走速度、NFPA 中给出的人员行走速度以及目前人员疏散模型中通用的计算速度等修正而得到的,具有较为广泛的通用性。而预测的疏散时间是根据建筑物的结构特点和人员行走速度而得到的,在计算疏散所用时间的时候在剔除疏散前人员的滞后时间(或称预移动时间) 外,所得到的时间是合理的。对于疏散前人员的滞后时间,参考T. J . Shields 等试验结论:75 %人员在听到火灾警报后的15,40
s 才开始移动,而整个疏散所用的时间为646.5 s。在该例中起火教室的反应滞后时间为60 s ,这是从开始着火时刻算起的。预移动时间与不同类型的建筑物、建筑物中人员的自身特点和建筑物中的报警系统有着很大的关系,它是一个很不确定的数值。本文中所用的预移动时间不到整个疏散过程中所用的时间的 10 %。二楼楼梯口流量随时间的变化曲线如图7所示。由上可知,二层以上的所有人通过二楼楼梯所需的时间为646.5 s ,这比前面设定的可用安全疏散时间要长,因而不能保证有关人员全部安全疏散出去。楼梯的宽度和大厅的正门显然是制约人员疏散的一个瓶颈。造成这种情况的基本原因是该教学楼的疏散通道安排不当,楼梯通道的宽度不够,对此可以适当增大楼梯的总宽度;或者在教学楼的每个分支上再修一个楼梯,则人员的疏散会更加的畅通;最好是分别在A座和B座新建一个象正门一样的出口,这样将大大的缓解了大厅正门疏散人员的压力,不至于造成大厅人员堵塞而影响楼上人员的疏散。另一方面,学校还应多增加一些消防设施,每个教室都该配备灭火器;学校还应加强学生消防意识的培养和教育,形式可以多样化、新颖化,比如做报告,上实践课,做消防演习等等。让他们了解一些消防逃生的常识,学会一些消防器材的使用,并让他们对自己所使用的教学楼有充分发认识和了解,一旦发生火灾好知道采取何种疏散方法才能在最短的时间内到达安全区域。
如果学校经费有限,也可以不花一分钱就可以消除这个消防隐患,就是合理安排上课的教室,避免每个楼层的所有教室都被用于上课。每层至少可以空出几个,这样就会大大的缓解人员疏散不利带来的危险。但是这样也有弊端,就是没有充分利用教室的使用价值,浪费资源。
范文四:数学建模 -的范例
针对问题三,本文首先对主要风险因子进行了灰色预测,计算出未来几年水资源总量、降水量、平均气温、生活用水量、工业用水量。然后采用问题二中的BP 神经网络预测每年的缺水量。最后通过整合往年的数据,运用问题二中的熵值取权的模糊评价模型预测出未来几年内水资源短缺的风险等级。由于考虑到降水量和地下储水相关系数高,我们依据历年的降水量估测出平水年,偏枯年,枯水年三种不同年份的水资源总量,并应用问题二的风险评价模型进行评估,得到三种不同年份水资源短缺风险等级依次为高,较高,较低。最后我们分析了南水北调工程对北京市未来两年水资源短缺的风险等级影响,风险等级依次变为低,偏低,无。
针对问题四,我们从北京市水资源现状及分析、北京市严重缺水的原因探究、北京市水资源开发利用对策三个层面向相关行政主管部门提交建议报告,以求帮助其合理规避水资源短缺风险。
关键字:水资源短缺风险、灰色关联度分析、主成分分析,模糊综合评价、
BP 神经网络、熵值取权
一、问题重述
1.1 问题背景
水是生命之源,万物之本,是人类生存和发展不可或缺的物质,是地球上最普遍、最常见同时也是最珍贵的自然资源。水是人类一切生产活动的基础,有水的地方欣欣向荣,水资源枯竭的地方则文明消失。
长期以来,我们注重经济社会发展,却忽略了水资源的承载能力,注重水资源开发利用,却没有同等重视节约和保护。随着经济社会发展,
1.2 问题重述
水资源短缺危险泛指在特定的时空环境下,由于来水和用水的不确定性,室区域水资源系统发生供水短缺的可能性以及有此产生的损失。近年来我国水资源短缺问题日趋严重,以北京市为例,北京是世界上水资源严重缺乏的大都市之一,属严重缺水地区。虽然政府采取了一些列措施,如南水北调工程建设, 建立污水处理厂, 产业结构调整等。但是,气候变化和经济社会不断发展,水资源短缺风险始终存在。如何对水资源风险的主要因子进行识别,对风险造成的危害等级进行划分,对不同风险因子采取相应的有效措施规避风险或减少其造成的危害,这对社会经济的稳定、可持续发展战略的实施具有重要的意义。我们可以利用资料分析并解决给出的下列问题
问题一:评价判定北京市水资源短缺风险的主要风险因子是什么? 影响水资源的因素很多, 例如:气候条件、水利工程设施、工业污染、农业用水、管理制度,人口规模等。
问题二:建立一个数学模型对北京市水资源短缺风险进行综合评价, 作出风险等级划分并陈述理由。对主要风险因子, 如何进行调控,使得风险降低?
问题三:对北京市未来两年水资源的短缺风险进行预测,并提出应对措施。 问题四:以北京市水行政主管部门为报告对象,写一份建议报告。
二、问题分析与模型假设
问题一:我们应该首先分析出影响水资源短缺的相关因素,如:水资源总量、降水量、气候条件、农业用水、工业用水、生活用水等。由于主成分分析法就是将
1
多项指标转化为少数几项综合指标, 用综合指标来解释多变量的方差- 协方差结构的方法,综合指标即为主成分,故首先考虑主成分分析法。所以水资源缺乏相关因素进行主成分分析法进行定量的分析,计算不同风险因子的贡献率,画出风险因子率图。当然由于数据之间的处理补课避免的存在误差,我们同时利用灰色关联度分析法进行二次分析,比照两种结果进行核对,如果在误差允许范围之内,结果可以较好的符合,则建立的模型比较真实,并对模型进行优缺点分析。
问题二:我们依据问题一中选出的主要风险因子进行水资源风险体系评价的初步分析,但是对于风险度,我们在问题一中选取的主要风险因子不能很好的表现其风险等级,所以我们考虑把主要风险因子转换成风险率、损失性、可恢复性、可重现期和风险度。
再由于模糊综合评价的基本思想是应用模糊关系合成的原理,根据被评价对象本身存在的形态或类属上的亦此亦彼性,从数量上对其所属给以刻画和描述。由于风险概念本身具有模糊特性,因此用模糊数学的概念和方法,建立水资源短缺风险模糊评判的理论与模型,比传统的评价方法更能符合现象的实际情况。另外,在模糊评价中,权重的确定是一项关键的内容,对评价的结果具有重要的影响。熵权法确定权重由于其客观合理性,已在工程技术、社会经济、环境科学等领域得到广泛的应
用。基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价就是在运用信息论中的熵技术计算各评价指标的权重的基础上,结合传统的模糊综合评判法对水资源短缺风险进行评价。
所以我们采用熵权模糊综合评价作为水资源短缺风险等级的主要模型。
BP 神经网络是一个前向三层(输入层、隐层和输出层) 的神经网络, 各层神经元仅与相邻层神经元之间相互全连接,同层内神经元之间无连接,各层神经元之间无反馈连接,构成具有层次结构的前馈型神经网络系统。单计算层前馈神经网络只能求解线性可分问题,能够求解非线性问题的网络必须是具有隐层的多层神经网络。
同时我们还可以运用BP 神经网络对北京市水资源风险状况进行等级评估,随后给出两种等级评价方法的适用范围,最后可以依据风险评价模型,给出相应的风险因子调控方法。
问题三:
灰色系统是既含已知信息又含未知信息或非确知信息的系统。灰色系统论的主要任务是对于一个不甚明确的整体信息不足的灰色系统,从控制论角度提出一种新的建模思想和方法。通过分析各种因素的关联性及其 量的测度,用“灰数据映射”方法来处理随机量和发现规律,使系统的发 展由不知到知,知之不多知之较多,使系统的灰度逐渐减小,白度逐渐增 加,直至认识系统的变化规律。灰色系统理论以“部分信息已知、部分信息未 知”的“小样本”、“贫信息”不确定型系统的研究对象。
灰色系统理论则认为 不确定量是灰数,用灰色数学来处理不确定量,同样能使不确定量予以量化 。
灰色预测模型只要求较短的观测资料即可,这和时间序列分析,多元分析等 概率统计模型要求较长资料很不一样。因此,对于某些只有少量观测数据的项目来说,灰色预测是一种有用的工具。
所以我们我们首先选用灰色预测对北京未来几年水资源的主要风险 2
因子进行预测,再运用BP 神经网络对缺水量进行预测,然后应用问题二的熵权的模糊风险评价模型进行评估。并结合南水北调工程分析出北京市未来两年水资源短缺的风险变化情况。
问题四:最后以北京市水行政主管部门为报告对象,写一份建议报告,以帮助相关部门更好的预测风险,从而避免风险因子。
我们对未尽条件合理假设:
1. 问题一所考虑的风险因子的值均为平均正常情况,不考虑突发事件如自然灾害(洪涝)等的影响。
2. 假设模型中所使用的数据均真实有效,能反映出水资源供需的状况。
3. 假设水资源供需可有曲线拟合,和年份存在相互之间的年份关系。
4. 假设1979年-2009年间,无偶然因素对水资源供需关系产生重大影响。
三、符号说明
3四、模型的建立与求解
4.1 问题一:北京市水资源短缺主要风险因子的评价 4.1.1 水资源缺乏风险敏感因子分析
通过借鉴孟凡德、王晓燕(2004)以及朱一军、夏军(2005)年关于水资源承载能力评估方法的相关研究以及专家知识,依据科学性原则,我们将从以下四个维度综合考虑影响水资源缺乏的相关因素。 表1
北京市水资源短缺风险指标体
1. 自然因素
本文所述自然因素分为气候条件因素和水文条件因素。水文条件主要指水资源总量,包括地表水资源和地下水资源量。地表水资源主要指河川径流,这是地球上开发利用度最高的水体,而地下水资源指的是循环期较短的浅层地下水。因此,我们选取了水资源总量(4)作为代表水文条件的风险因子其中。 另外,作为气候的主导因素,降水和气温都对一个地区的水资源产生着重要影响:降水的多寡决定了区域的地表径流进而影响了区域的水资源量;而温度则是通过影响蒸发量对地表水资源量
产生双向作用。因此,我们选取了降水量(1)和平均气温(2)作为代表气候条件的风险因子。
2. 技术工程因素
工业(6)、农业(5)、生活(7)和生态用水(8)分别是水资源利用的四个主要渠道。我们就选取工业用水、农业用水和生活用水和生态环境用水这四个风险因子来衡量,以期得到良好效果。
3. 社会经济因素
北京市作为我国的政治中心和国际知名都市,人口高度集中,经济发展迅速,这对水资源的需求和利用均提出了较高的要求。因此,我们选取了能够代表地区经济发展水平的常驻人口总数(9)和人均GDP(10)作为风险因子。
4
4. 水资源管理因素
城市对于水资源的相关管理和循环利用主要包含两大渠道: 一是对储水渠道的培育,二是对城市污水的处理。因此,我们选取了城市绿化覆盖率(3)、污水处理率(11)和污水处理能力(12)这三个因素为代表水资源管理因素的风险因子。
m ?lxm11m22mpp +K+lx +lx =
z ??KKK?l2pxp +K+l22x2+l21x1=z2??l1pxp +K+l12x2+l11x1=z1?
影响水资源缺乏的因素相当复杂,目前对水资源缺乏影响因素的研究侧重于人文因素,而事实上,影响水资源缺乏的关键不只是人文或自然因素,而应是这些因素共同作用的结果模型建立
4.1.2 水资源缺乏风险敏感因子的确定
本文分别采用主成分分析法和灰色关联度法进行指标定量筛选。由于数学方法在实际应用中可能会或多或少有其自身的缺陷和局限性,因此, 采用不同的数学方法进行计算,并将其结果互相对比和验证,最终将能得出较为准确的结果。
4.1.3 利用主成分分析方法确定风险敏感因子
主成分分析法是指标筛选最常用的方法之一, 该方法的本质目的是对高维变量系统进行最佳综合与简化, 同时客观地确定各个指标的权重, 从而筛选出权重大的指标, 确定敏感因子。该方法较层次分析法和专家打分法的好处是避免了主观随意性, 因此本文首先采用此法进行指标筛选。
4.1.3.1主成分分析法原理
主成分分析是把原来多个指标化为少数几个综合指标的一种统计的分析方法, 从数学角度来看, 这是一种降维处理技术。如果原来单项指标记为 它们的综合指标记为x1,x2,x3...xp 。新变量构成的坐标系是原坐标系经过平移和正交旋转后得到的, 所以原变量是新变量的线性组合, 即 (Xij)n*p,其中i=1,2...,n;j=1,2,...p,用 Z -score 法对数据进行标准化变换,其中Xj 为第j 项指标的平均值,Sj 为第j 项指标的标准差。行标准化操作可得标准化的数据。 1. 原始数据标准化处理。设有n 个样本和p 个指标,可得数据矩阵X
2. 在经过标准化数据处理后得到指标数据的相关系数矩阵 R ,形式如下:
5
?KKK?=R ???r1p Kr11?
具体相关系数,也可以下式求的,其中
???rpp Krp1?
1n
Xj)/SiSj-Xi)(xkj-(xki∑=rij
1=nk
,
所以根据表2中的数据,由式(3)计算各指标相对隶属度,建立模糊关系矩阵R
?0.37 0.63 1.00 0.48 0.30?=R ???43.0 08.0 04.0 1.00 0.25?? 87.0 36.0 00.1 64.0 0.34?
??90.0 73.0 02.0 00.1 0.70????0.11 1.00 0.15 0.07 0.00??
3. 计算特征值和特征向量根据特征方程
1,λ0计算出特征值,求出=λ-R
p μ2,..., μ1,μp ,并使其从大到小排序,同时求得相对应的特征向量λ2,..., λ
4. 计算贡献率和累计贡献率。其中贡献率
=em
。
i λ
∑
1=pi
i λ
累计贡献率
Em
=∑
1=mj
j λ
∑
1=pi
i λ
取累计贡献率达到80%以上作为主成分。 4.1.3.2 数据和风险因子选取
选择 1979--2009 年序列资料作为基础数据,根据科学性原则,参考专家意
见,从中选取了 12 个因子:降水量(mm)(1)、平均气温(℃)(2)、水资源总量 (bn m3/year)(4)、农业用水(bn m3/year)(5)、工业用水(bn
m3/year)(6)、生活用水 (bn m3/year)(7)、生态环境用水(bn m3/year)(8)、常驻人口(人)(9)、人均GDP (元)(10)、城市绿化覆盖率(%)(3)、污水处理率(%)(11)、污水处理能力(t/day)(12)。应用 SPSS 分析软件对样本进行分析 计算,得出相关系数矩阵、特征值、主成分贡献率和累计贡献率。
根据变量确定相关性矩阵:
6
表 2 相关性矩阵
从表2 我们可以看出因子之间的相关性很强,x1和 x11相关系数达到了0.97, 相关性很强。因此我们有必要对相关因子进行主因子分析。 表 3 特征值及主成分贡献率
图 1 前五种风险因子贡献率、累计贡献率图
7
主成分分析的结果表明,前5个主成分的累计贡献率已经达到了90%,基本上代表了全部因子对北京水资源风险的影响,完全符合分析的要求。五个主要成分分别对应水资源总量、降水量、平均气温、生活用水、工业用水五个主要因子。
综上所述我们可以看出水资源短缺风险影响的主要因子为:水资源总量、降水量、平均气温、生活用水、工业用水。
4.1.3.3 优缺点分析
优点:
(1) 对于每个因素的具体影响因子,我们通过 Z-score 算法对其进行整合,从 而使数据标准化
(2) 运用主成分分析法可以排除一些不重要的因素,进而针对主要因素进行分析,分清主次,有调理
(3) 多因素综合评价数学模型可以很好的处理在多因素影响下的问题,处理结果具有很高的参考性。
缺点:
(1) 在对各因素进行标准化时忽略了一些次要的因素,这样对结果造成一定的偏差
(2) 所采用数据均由 1979 年至 2009 年三十一年各项指标,时间跨度较小,所得结论在水资源风险长期评价中不具备指导意义
4.1.4. 基于灰色关联方法的的水缺乏影响因素的验证与分析
4.1.4.1 灰色关联方法
(1)确定参考序列和比较序列 由于水资源是否短缺主要体现在人均水资源上,人均水资源越多,水资源风险就越小,反之,越大,所以选取人均水资源量作为参考序列。
1,2,...,n,n 为数据的年数。 其他各个比较序列可以形成如下矩阵:=参考序列用X0(k)表示,其中k
??Xm(n)KX1(n)?????=)X1,X2,...,Xm (KKK ??Xm(1)KX1(1)?
其中,m 为指标的个数,n 为数据序列的中数的个数(即年数)。
(2)对参考序列和比较序列进行无量纲处理
处理方法:对于指标越大越好的数据序列,以序列中的最大值为 1,其他值除这个最大值;对于指标越小越好的数据序列,以序列中的最小值为 1,用这个 最小值除以其他数据。
(3)利用下式,分别计算每个比较序列与参考序列对应元素的关联系数
8
i(k)ikik?maxmax ξ+i(k)?minmin =i(k)ξ
为分辨系数,在 0-1 之 间变化,该系数的取值规则如下:ξXi(K)为指标 k 的绝对差,-XO(K)=i(k)?i(k)ik 式中,?maxmax ξ+i(k)? 1mn
1=1k =ni ?Xi(k),并记m -X0(k)∑∑=v ?v 为差值绝对值的均值?(4)记 i(k)), ik?maxmax =max ?max(?v ?=ε
0→x δlim ,且满足ε2≤ξ≤ε的取值为:ξ则
max ?,ε1.5≤ξ≤ε?>ε1.5??在此区间内取值。 ξv ,则?3
(5)比较序列对应于参考序列的关联度
一般用平均值,即
1=i(k) (3) nk ξ∑=i γ1n
(6)按关联度大小进行排序
关联度越大,比较序列与参考序列关系越密切。根据计算得出的关联度的值,我们可以选取关联度最大的某几项因子,作为水资源短缺风险的主要风险因子。
4.1.4.2 模型求解
1=1k =ni ?m ∑∑计算出 =v ?Xi(k) 根据-0.3197 ; X0(k)=v ?经过调查选取,我们得到了 1979-2009 年的污水处理率、农业用水、工业用 水、生活用水、环境用水、水资源总量、植被覆盖率等数据,采用灰色关联方法, 对数据进行处理,经过无量纲处理后的数据见附录二: 1mn ;max=0.8730,ε2≤ζ≤εv ,所以 1.5?3≤max ?
max ?0.7324,我们不妨取 ≤ζ≤0.3662 ,由此得出 0.5493=v ?=ε 9
0.7。
根据公式,我们编写MATLAB 程序计算出每个比较序列与参考序列的关联系数,程序见附录 。
根据公式,对每一个比较序列对应于关联序列的关联系数求平均值,得到人均水资源量关联度,运行结果如图:
量化顺序统计如下表所示:
表 4 水资源短缺风险因子灰关联分析排序表
由表 4可知, 水资源短缺风险相关性较大的指标有水资源总量、降水量、平均气温、生活用水、工业用水,我们以这五个个因素作为水资源短缺风险的主要风险因子(取关联度大于0.658因素) 。由大到下依次为水资源总量、降水量、平均气温、生活用水、工业用水。这与主成分分析法得到的结果相同,证明了我们结论的正确性。
4.2 问题二:北京市水资源的短缺风险进行综合评价
4.2.1 基于熵权的水资源短缺风险模糊综合评价模型
4.2.1.1 评价性能指标的确定
评价指标的选择考虑了以下原则:①能集中反映缺水地区的缺水风险; ②能集中反映缺水风险的破坏程度; ③能反映水资源失事事件发生后水资源系统的承受能力; ④代表性好,针对性强,易于量化。依据上述原则选取了水资源风险率、 脆弱性、恢复性、平均事故周期、风险度作为水资源系统水资源短缺风险的评价指标。
10
4.2.1.2 评价指标解释
λ(∈风险率:根据风险理论,荷载是使系统“失事”的驱动力,而抗力则是对象抵御“失事”的能力。如果把水资源系统的失事状态F
) ,那么水资源系统的风险率。其中:为水资源系统状态变量。ρ>) 正常状态记ρ>λ(∈为S
如果水资源系统的工作状态有长期的记录,风险率也可以定义为水资源系统不能正常工作的时间与整个工作历时之比,即
1NS
1=NSi ∑Ii =a
在原式中:NS 资源系统工作的总历时;Ii 是水资源系统的状态变量。 ??Ft ∈1, 缺水 X ??=Ii ?S ∈0, 正常工作 Xt ?
脆弱性:是描述水资源系统失事损失平均严重程度的重要指标。为了定量表示 系统的脆弱性,上式说明干旱的期望缺水量可以用来表示供水系统的脆弱性。为 了消除需水量不同的影响,一般采用相对值,即
VEi ∑=χ
1NFi =VDi ∑1NF =i
式中:NF 为系统失事的总次数,VEi 为第 次缺水的缺水量,VDi 是第 次干旱缺水期的蓄水量。
,n) ,表示第n 个间隔时间的历时,则平均重现期为:μ重现期:是两次进入失事模式F 之间的时间间隔,也叫平均重现周期。用 d( 1=1n -,n) Nμd(∑=ω1-1N
) 是 0到t 时段内属于模式F 的事故数目。μN(=式中:N
恢复性:是描述系统从事故状态返回到正常状态的可能性。系统的恢复性越高,表明该系统能更快地从事故状态转变为正常运行状态。 引入整数变量其它 则
11
?F ?1,Xt ??S ?F,Xt ?1-1,Xt
? ?=,Zt ??=t γ
??t ??S ?0, 其他0,X
则
Zt ∑=β
1=t
NS
γ∑
1=t
NS
i
记
=Zt ,TF ∑=TFS
1=t
NS
γ∑
1=t
NS
t
则有
?0≠TFS/TF,TF?
??0=β
?F ?0=1,T
0,即水资源系统在整个历时一直处于正常工作=从上式可以看出,当TF
NS) ,则=0,即水资源系统一直处于失事状态(Ft=0状态, 则;而当TFS =β
1. 这表明水资源系统有时会处于失事状态,但有可能恢复正常状态,而且失事的历时越长,恢复性越小,也就是说水资源系统在经历了一个 较长时期的失事之后,转为正常状态是比较困难的。<><一般来讲,0 或半标准差σ,可以说明风="">一般来讲,0>
和 险的大小。σ越大,则风险越大,反之越小。这是因为概率分布越分散,σ
实际结果远离期望值的概率就越大。
))X (D (=σ
-
-
2??
?1=i ??1) -E(X))/(n-(Xi∑?=
n
或
))X (D (=σ
-
?1=i ??E(X))/P(Xi)-(Xi∑? 2=?n ?
-
为某一物理量的绝对量, 当两个比较方案的期望值相差很大时,则可比性差,同时比较结果可能不准确。σ比较风险大小虽简单,概念明确,但σ、σ用
12
可比性差的不足,可用其相对量作为比较参数,该相对量定义为为了克服用
-风险度,即标准差与期望值的比值(也称变差系数)
i μi/σ=i/E(X)σ=Ci
4.2.1.3 熵权模糊综合评价模型
(1)确定造成水资源短缺风险的因素论域u ,
u ={风险率,脆弱性,重现期,恢复性,风险度};
(2) 确定评语等级论域v ,
v ={低风险,较低风险,中风险,较高风险,高风险}
(3)在评价对象的因素论域u 与评语论域v 之间进行单因素评价,建立模糊关系矩阵R
??MOM?=R ??r51Λr11?
??r55Λr51??
(4)模糊综合评价模型及综合评价。水资源短缺风险评价的模糊综合评价模型为与R 的合成运算,即
R ?W =m ?(bj)1=B
1式中:为各因素对水资源短缺风险指标的权重,且满足,n =,w,)12ni K(w,w,=W ∑1=i ω
) 进行综合评价;⊕, ?) 算子。在水资源短缺风险综合评价中,我们选取加权平均型算子(⊕, ?) 算子和 (⊕,∧) 算子、 (·,V) 算子、 (∨,∧用熵权法确定;'' 。'' 为模糊合成算子,常用的4种模糊算子为 (
n
,m) ,K1,2, =wirij(j∑=bj 对B 为水资源短缺风险的评判结果集,bj 选取max
1=i
应的评语为最终的评价结果。
(5)计算评价指标的综合权重
m ?i)1ω(=W
13
i`ωi*ω=i
`*ωω∑
ii
1=i
'n 式中:wi 为评价指标i 的主观权重。
4.2.1.4 相对隶属度的确定
[ai1,ai2]其中∈1,x ???ai2
jj -minx,minx -maxai1?=rij ??[ai1,ai2]?,x -1?}ai2-x,x -ai1{max ,n K1,2, =,n;j K1,2, =i
对于水资源短缺风险评价的因 素集 U 而言,对应一个测定指
ij 是U 相对于Φ15,) 。其中Φ14, Φ13, Φ12, Φ11, Φ(=ij 的测定值。这样标向 量Y μ
i 的程度。对于因素集U, 便有下面的模糊关系矩阵νi 而言属于μij) 便表示相对于因素Φi(υμ
??ΛΛΛ?=Rij ??11) Φi5(μΛ11) Φi1(μ?
??15) Φi5(μΛ15) Φi1(μ??
5) ,于是可得出综合评判向量λ4, λ3, λ2, λ1, λ(=水资源短缺风险评价各因素的权重确定采用层次分析法(AHP ),设权重计算结果为 A ??ΛΛΛ?ο5) λ4, λ3, λ2, λ1, λ(=RV οA =B ??11) Φi5(μΛ11) Φi1(μ? ??15) Φi5(μΛ15) Φi1(μ??
) 模型,即⊕, ?在综合评判中,我们选取“加权平均型”的M( ,5K1,2, =,5;j K1,2, =rij),i ?i λ∑min(1,=bj
14
范文五:层次分析法数学建模范例
对学生建模论文的综合评价分析
摘要
本文研究的是五篇建模论文的评价和比较问题。首先,研读分析了五篇论文,并写出评语。其次,进行综合量化评价,主要运用的方法是层次分析法和模糊综合评判。最后,依据所得权重大小对论文排序。
针对问题一,我们对论文进行了横向比较和纵向分析。依据数学建模竞赛论文评分基本原则,首先,在研读论文的基础上,对论文分块进行了横向比较,并按照优、良、中、差四个等级作出评价。其次,采取纵向分析的方法,找到论文的优点与不足,写出每篇论文的评语。最后,结合横向比较和纵向分析对论文综合评价。
针对问题二,在建立数学模型时,首先从建模理念的应用意识、数学建模、创新意识出发利用模糊评判的二级评判模型把所给论文的建模摘要、模型与求解、模型评价与推广、其他作为第一级因素集,把问题描述等作为第二级因素集。在用模糊综合评判方法时,确定评估数据(评判矩阵)和权重分配是两项关键性的工作,求权重分配时,我们通过往年评分标准确定数据后用层次分析法计算出二级权重和一级权重;对于评判矩阵,我们通过对五篇论文进行评阅打分(用平均分数作为每项得分),用每一项得分占五篇论文该项得分的比重(商值法),建立评价矩阵。
最终,我们通过matlab编程处理得出的综合量化比较结果是所给5篇论文由好到差依次为论文4,论文2,论文1,论文5,论文3。并在模型结束时付上了对五篇论文的评语。
关键词:层次分析法;模糊综合评判;统计分析:matlab编程;论文评价
一、 问题重述
数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后,将实际问题用数学方式表达,建立起数学模型,然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。将各种知识综合应用于解决实际问题中,是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。
在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。
需要解决问题是
(1)请根据数学建模竞赛论文评分基本原则,对所给5篇论文进行评阅,写出评语。
(2)利用层次分析法,或其他综合评判方法,对这五篇论文进行综合评价,进行排序。
二、问题分析
2.1 对建型摘要的理解
模型要实用,有效,有特色,以解决问题有效为原则,而模型的摘要开门见山,在对问题简单描述后点名建模思路、建模方法、及运行结果。使读者对论文的可行性、创造性及模型的大致思路有个大体的了解。可以说论文摘要是除了模型最重要的一部分,它论文的点睛之处。
2.2 对模型建立与求解的理解 分析:中肯、确切 术语:专业、内行 原理、依据:正确、明确
表述:简明,关键步骤要列出,可将公式与中文说明相结合 忌:外行话,专业术语不明确,表述混乱,冗长。 2.3结果的合理性
此题最大的特点之一是拥有大量的数据处理和明确结果。我们先通过对各个方面的因素进行分析,从中找出对我们评价影响最大的几个数据进行细节分析,再将这些细节综合起来进行总体分析,并将一些繁复的数据简单化,把影响小的数据忽略不计,以免影响我们评价的质量,最后通过和标准答案比较最终确定分值。
2.4 其他
这里对其他的理解主要是对论文的整体印象及论文写作的规范程度,主要包括文字流畅、格式规范等,在这方面主观因素影响较大,所以采用三名队员同时打分并取均值作为每篇论文的最后得分。
三、问题假设
1、假设调查的数据(往年的评分标准)是合理的。
2、假设建模的创造性 结果的合理性 表述的清晰程度以外的因素对所给论文的的优良造成影响小,我们暂不考虑。
3.假设组内成员对论文的评判是公正的。
四、符号说明
U1 摘要
U2 模型建立与求解 U3 模型的评价与推广 U4 其他
u11 问题描述 2 u1建模方法 u13 具体模型 u14 合理结果 u21 问题假设 u22 问题分析
u23 模型建立与求解
u24 问题结果 u31 模型检验
u32 评价与推广 u41 文字流畅 u42 格式规范 u43 内容完整
ω1 Ui各分量的权向量 R 总的评判矩阵 Ri 各分量的评判矩阵 vi 第i篇论文 a1i 问题描述得分 a2i 建模方法得分 a3i 具体模型得分
b1i 模型的建立与求解得分 c1i 模型的评价与推广得分 d1i 其他方面得分 M 新的评判标准 F 论文分数
η 每篇论文获得优的因素集的比例 λ 新评判标准加权值 ∧ 最大下界运算 ∨ 最大上界运算
五、模型的建立与求解
5.1 论文的评判
首先引入综合评价的要素概述,并结合数学建模竞赛论文评分基本原则对问题展开分块横向比较,然后采取纵向分析的方法找到论文优缺点,并写出评语。最后,结合以上分析,对五篇论文进行综合评价。 5.1.1 对论文的横向比较
5.1.1.1综合评价的一般步骤:
明确评价目的;确定被评价对象;建立评价指标体系(包括评价指标的原始值、评价指标的若干预处理等);确定与各项评价指标相对应的权重系数;选择或构造综合评价模型;计算各系统的综合评价值,并给出综合评价结果。 (1) 被评价对象
被评价对象就是综合评价问题中所研究的对象,或称为系统。通常情况下,在一个问题中被评价对象是属于同一类的,且个数要大于1,不妨假设一个综合评价问题中有n个被评价对象(或系统),分别记为S1,S2,…Sn(n>1)。 (2) 评价指标
评价指标是反映被评价对象(或系统)的运行(或发展)状况的基本要素。通常的问题都是有多项指标构成,每一项指标都是从不同的侧面刻画系统所具有某种特征大小的一个度量。 一个综合评价问题的评价指标一般可用一个向量表示,其中每一个分量就是从一个侧面反映系统的状态,即称为综合评价的指标体系。
评价指标体系应遵守的原则:系统性、科学性、可比性、可测性(即可观测性)和独立性。这里不妨设系统有m个评价指标(或属性),分别记为x1,x2,…xn (n>1),即评价指标向量为x=(x1,x2,…,xm)。
T
(3) 权重系数
每一综合评价的问题都有相应的评价目的,针对某种评价目的,各评价指标之间的相对重要性是不同的,评价指标之间的这种相对重要性的大小可以用权重系数来刻画。如果用wj来
m
表示评价指标xj(j=1,2,…,m)的权重系数,则应有wj≥0(j=1,2,?,m),且
∑w
j=1
j
=1
。
注意到:当各被评价对象和评价指标值都确定以后,问题的综合评价结果就完全依赖于权重系数的取值了,即权重系数确定的合理与否,直接关系到综合评价结果的可信度,甚至影响到最后决策的正确性。 (4) 综合评价模型
对于多指标(或多因素)的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标,作为综合评价的依据,从而得到相应的评价结果。
不妨假设 n个被评价对象的m个评价指标向量为x=(x1,x2,?,xm),指标权重向量为w=(w1,w2,…wm)T,由此构造综合评价函数为y=f(w,x)如果已知各评价指标的n个观测值为{xij}(i=1,2,?,n);j=1,2,?,m),则可以计算出各系统的综合评价值yi=f(w,x(i)),x(i)=(xi1,xi2,…,xim)T,(i=1,2,…,n)。根据yi(i=1,2,…,n)值的大小将这n个系统进行排序或分类,即得到综合评价结果。 (5)评价者
评价者是直接参与评价的人,可以是某
一个人,也可以是一个团体。对于评价目的选择、评价指标体系确定、评价模型的建立和权重系数的确定都与评价者有关。 5.1.1.2
综合评价模型
对于多指标(或多因素)的综合评价问题,就是要通过建立合适的综合评价数学模型将多个评价指标综合成为一个整体的综合评价指标,作为综合评价的依据,从而得到相应的评价结果。在本模型中共有n=9个被评价对象的m=25个评价指标向量为x=(x1,x2,?,xm)T,指
T
标权重向量w=(w1,w2,…wm)为优、良、中、差四组。由此构造综合评价函数为y=f(w,x)如果已知各评价指标的n个观测值为{xij}(i=1,2,?,n);j=1,2,?,m),则可以计算出各系统的综合评价值yi=f(w,x),x=(xi1,xi2,…,xim),(i=1,2,…,n)。 5.1.2.0 摘要指标
a. 模型的数学归类(在数学上属于什么类型)b. 建模的思想(思路)c . 算法思想(求解思路)d. 建模特点(模型优点,建模思想或方法,算法特点,结果检验,灵敏度分析,模型检验…….)e. 主要结果(数值结果,结论)(回答题目所问的全部“问题”)。 表 1 评价指标
a
论文1 优 优 优 优 优
论文2 优 良 优 良 良
论文3 良 良 良 中 差
论文4 优 优 优 优 优
论文5 良 良 优 良 良
(i)
(i)
T
T
b
c d e
1. 问题重述
f用自己的话去复述或理解一遍,实际是问题分析的开始。切忌:原封不动照写一遍 f 2g.
.根
据良 题
模目良
型中
条良 假件
良 设作
指出
假良
标 设
h. 根据题目中要求作出假设
i. 关键性假设不能缺;假设要切合题意 表 3 评价指标
g h i
3. 模型的建立 j. 基本模型:
1) 首先要有数学模型:数学公式、方案等 2) 基本模型,要求 完整,正确,简明 k. 简化模型
(1) 要明确说明:简化思想,依据
(2) 简化后模型,尽可能完整给出
l. 模型要实用,有效,有特色,以解决问题有效为原则。
数学建模面临的、要解决的是实际问较复杂的问题,力求简单化不追求数学上:高(级)、深(刻)、难(度大)。 能用初等方法解决的,就不用高级方法 能用简单方法解决的,就不用复杂方法
能用被更多人看懂、理解的方法,就不用只能少数人看懂、理解的方法。
对较简单的问题,做出自己的特色,你想如果自己能做,别人也能这样做,只有比赛各自的创新。
人无我有,别人想不到的,大胆去想
人有我新,别人容易想到的,我比你想得更全面,更好
m. 鼓励创新,但要切实,不要离题搞标新立异 数模创新可出现在 建模中,模型本身,简化的好方法、好策略等, 模型求解中 结
果
表
示
、
分
析
、
检
验
,
模
型
检
验
推广部分
n. 在问题分析推导过程中,需要注意的问题: 分析:中肯、确切 术语:专业、内行
论文1 良 优 优
论文2 优 优 良
论文3 良 优 优
论文4 优 优 优
论文5 优 优 良
题,
原理、依据:正确、明确
表述:简明,关键步骤要列出,可将公式与中文说明相结合。忌:外行话,专业术语不明确,表述混乱,冗长。 表 4 评价指标 论文1 论文2 论文3 论文4 论文5
4. 模型的求解
o. 计算方法设计或选择;算法设计或选择, 算法思想依据,步骤及实现,计算框图; p. 所采用的软件名称;
q. 引用或建立必要的数学命题和定理,求解方案及流程 表 5 评价指标
o p q
5.模型检验及模型修正;结果分析、检验;结果表示
r. 列数据问题:考虑是否需要列出多组数据,或额外数据 对数据进行比较、分析,为各种方案的提出提供依据;对数值结果或模拟结果进行必要的检验。
s. 题目中要求回答的问题,数值结果,结论,须一一列出; 必要时对问题解答,作定性或规律性的讨论。最后结论要明确。
t. 结果表示:要集中,一目了然,直观,便于比较分析 表 6 评价指标
r s t
6.模型评价
u. 优点突出,缺点不回避。
改变原题要求,重新建模可在此做。 v. 推广或改进方向时
j 优 优 中 优 良
k 优 优 中 优 良
l 优 优 中 优 优
m 优 优 中 优 良
n 良 优 中 优 良
论文1 优 优 优
论文2 优 优 优
论文3 中 良 中
论文4 优 优 优
论文5 中 良 良
论文1 良 优 优
论文2 优 优 良
论文3 差 差 中
论文4 优 优 优
论文5 中 差 中
,
不要玩弄新数学术语。
表 7 评价指标
u v
7.参考文献
w力求规范,清晰:标号,作者,论文名称,杂志名称或出版社名称,时间(年、月),页 x文中引用文献处,最要标出 表 8 评价指标
w x
8. 附录 y
y
计
评价指标
算论文1 良
框
图论文2 优
,论文3 良
详
细论文4 优
图论文5 良
表
论文1 良 优
论文2 优 优
论文3 良 优
论文4 良 优
论文5 优 良
论文1 优 优
论文2 优 优
论文3 良 良
论文4 优 优
论文5 良 良
5.1.2 对论文的纵向分析
论文一的评语
本文最大的特色在于模型算法的创新性和正确性。其一,利用了很多新的算法,摒弃了传统方法,大胆运用多元非线性方程的迭代收敛法求解出变位参数,使得最后结果精确度很高。其二,运用了很多新的思路,依据油液面随油深的变化来精确计算α、β值。其三,修正详细合理,通过对模型不断地进行修正,将误差降到最低,确保了相当高的模型准确度。
除此之外,论文考虑全面,从5种不同情况进行了问题讨论,并在问题推导过程中,公式与中文紧密结合,表述条理清晰,而且分析中肯、确切、简明易懂。还对模型进行了合理简化,使得求解过程简单化。
本文的遗憾在于摘要文字不太流畅,有些地方表述不清晰,且存在非专业术语。部分结果与实际情况有所偏差,却没有检验出错误。
整体而言,模型创新性强,实用有效,对实际应用有一定的参考价值。
论文二的评语
本文不追求模型单一创新性,而是以解决实际问题为首要目的,建立了简单实用的模型。对所得理论容积与实测容积运用曲线拟合的方法获得了偏差函数,
进一步对模型进行修正。针对第二问以储油罐中油量随高度的变化率为依据识别纵向倾斜角度和横向偏转角度,由此给出了罐容表的标定。随后检验了所给出的数学模型的正确性和可靠性,思路正确、方法有效、所得结果合理。
另外,整体思路表述简明扼要,条理清晰,而且文章格式规范。很好的运用了MATLAB和EXCEL两个软件。最后数值结果与实际值契合度高,模型推广性强,具有普遍应用意义。
论文的不足在于对问题一利用祖暅原理将有变位近似转换为无变位的方法略欠妥当。而且没有在正文中列述主要结果,不利于进行比较分析。
论文三的评语
本文利用了将油体离散的方法求解罐体为不规则界面时的油量,还巧妙地进行了换位理解,将油罐想象成始终是水平放置的,而将液面看成一个斜面,使问题简单化。
本文存在很多不足,虽然运用的方法思路正确,却在具体操作过程中出现错误,使得最终数值结果与实际值偏差很大。而且没有进一步对不正确的结果进行必要的检验和分析原因。也没有分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况,分析不到位。除此之外,思路不太严谨,利用的求解方法过于单一,大部分精力花在了积分求解上。模型适用性不强,不能解决实际问题。有些地方表述不清晰,跨度太大。
总之,本文漏洞之处不仅体现在模型求解不正确,还体现在结果和模型验证不足、思维不缜密等方面,需要改进的地方很多。
论文四的评语
本文亮点体现在求解过程中合理利用过度矩阵转换坐标,建立了一个以油罐中心为原点的三维空间直角坐标系,并对问题进行转化,并有效利用“切片法”对液面面积逐层积分,得到油位高度与储油量的函数关系式,求解简易,方法新颖。在整个模型求解过程中将所得数据结合实际数据进行了残差分析,证明了模型的合理性和正确性。除此之外,还进行了罐体变位后对罐容表的影响分析,分析精辟,确切。
论文摘要精彩,利用表格表示结果,既直观又形象。考虑较全面,对油罐两端有油和一端有油的情况进行了透彻的分析。而且最终罐容表标定精确度高,能够有效地解决实际问题。在模型改进中,提出可以采用非线性最小二乘法进行你和计算,来简化复杂的计算过程和避免编程的困难,思路开拓,方法更加合理有效。
论文不足在于没有验证α、β值的正确性,结果偏差太大。
论文五的评语
本文针对问题一,运用了简单的定积分方法建立罐内油品实际体积与显示读
数的函数关系,并利用最小二乘法拟合和误差分析,得出一个精确度很高的结果。问题二中对α、β变化的影响进行先后考虑,将变化因素简单化,利于题目分析。 本文整体而言,思路表述不太清晰,在求解方案中没有直观形象化的列表画图来表述,例如问题一中误差分析部分,太过笼统。而且算法思路衔接不好,有些过程出现比较突兀。除此之外,问题一中结果表示冗长,表格设计不合理。 问题二的求解也有很多不足,首先,没有给出最终数值结果。其次,在求解过程中存在冗长的matlab编程(应附在附录中)。最后,对于结果的检验和误差分析,含糊不清,无法验证模型的可靠性。
5.2 模糊综合评判原理[1]的引入
从论域U到闭区间[0,1]上任意一个映射:f:U→[0,1]。对任意u∈U,
A(u)∈[0,1],那么f:→A(u),数。
A叫做U的一个模糊子集,f:→A(u)叫做隶属函
设A和B是论域U上的模糊子集,记内积AgB=∨(A(u)∧B(u)),外积AeB=
∧(A(u)∨B(u)),其中∧为最大下界,∨为最大上界。 对于权重ω可取合成运算(∧,∨)可得综合评判:
B=A R
~
5.3模糊评判模型的确立 该题的一级因素集:
U={U1,U2,U3,U4},其中U1摘要 ,U2模型建立与求解 ,U3模型的评价与推
广 ,U4其他
该题的二级因素集:
U1={u11,u12,u13,u14},其中u11问题描述,u12建模方法,u13具体模型,u14
合理结果。
U2={u21,u22,u23,u24},其中u21问题假设,u22问题分析,u23模型建立与求
解,u2问题结果。
4
U3={u31,u32},其中u31模型检验,u32评价与推广。
U4={u41,u42,u43},其中u41文字流畅,u42格式规范,u43内容完整。 V={v1,v2, v3, v4,v5},论文一v1,论文二v2, 论文三v3, 论文四v4,论
文五v5
5.3.1 权重的求法【2】
根据层次分析方法建立层次结构,如图(1)示:
图(1)层次分析框架
在模糊综合评测中,权重是非常重要的,它反映的是各因素在决策过程中占的地位以及所起的作用,将直接影响到决策结果。虽然凭经验给出的权重往往带有主观性,有时不能客观反映实际情况,但在一定程度上能反映实际情况,评判结果也比较符合实际 。
根据往年的论文评分标准,最后在权衡比重及考虑实际情况的基础上,最终确立各级权重.
1. 问题描述u11 对摘要U1的比重为20%,u12建模方法对摘要U1的比重为20%,34【3】
u1具体模型对摘要U1的比重为40%,合理结果u1对摘要U1的比重为20% 。 因此,U1中全部二级因素的成对比较阵为
?1 1W1=
2 ?1
1121
1/21/211/2
1??1? 2??1?
U1中的二级因素的权重模糊向量ω1=(0.2000 0.2000 0.4000 0.2000),经一致性检验,CI
=
λ-n
n-1
<>
2. 问题假设u21对模型建立与求解U2的比重为14.29%,问题分析u22对模型建立与求解U2的比重为14.29%,模型建立与求解u23模型建立与求解U2的比重为57.14%,问题结果u24模型建立与求解U2的比重为14.28% 。
因此,U2中全部二级因素的成对比较阵为
1/2?1 21W2=
1111/2
1/2?1
1/111?
?
2/112
?
111?
?
1/111?
U2中的二级因素的权重模糊向量ω1=(0.0667 0.1333 0.7333 0.0667),经一致性检验,CI
=
λ-n
n-1
<>
3. 模型检验u31对模型的评价与推广U3比重为50%,评价与推广u32对模型的评价与推U3的比重为50% 。
因此,U3中全部二级因素的成对比较阵为
?11?W3= ?
11??
U3中的二级因素的权重模糊向量ω3=(0.5000 0.5000),此矩阵为单位阵无
需检验。
4. 文字流畅u41对其他U4的比重为25%,格式规范u42对U4其他的比重为50%,
3
内容完整u4对U4其他的比重为25% 。
因此,U4中全部二级因素的成对比较阵为
?1 W4= 1
3?
113
1/3?
?1/3 ?1??
U4中的二级因素的权重模糊向量ω1=(0.2000 0.2000 0.6000),经一致性
检验,CI
=
λ-n
n-1
<>
5. 摘要U1对论文评价U的比重为10%, 模型的建立与求解U2对论文评价U的比重为70%, 模型评价与推广U3对论文评价U的比重为10%,其他U4对论文评价U的比重为10% 。
因此,U中全部二级因素的成对比较阵为
?1
15/2W5=
1
?1/2
2/1512/151/15
115/211/2
2??15? 2??1?
U中的二级因素的权重模糊向量ω=(0.1000 0.7500 0.1000 0.0500),经一致性检验,CI
=
λ-n
n-1
<>
通过对权重的计算,我们可以求出个因素应该赋予的总分值,具体情况如,表1所示。
表(1):分数赋值表
摘要 (10分) 问题描述2分
模型方法2分
具体模型4分
合理假设2分
问题假设5分
问题分析10分
模型建立和求解(75
分)
求解分析55分
问题结果5分
模 型 检 测 5 分
模型评价和推广(10
分)
评 价 推 广 5 分
文 字 流 畅 1 分
其他 (5分)
结 构 完 整 1 分
格 式 规 范 3 分
5.3.2 模糊评价矩阵的求法
1. 摘要
通过对各篇论文的打分,得到摘要U1控制下的二级因素分数,见表2
(1) 由表中数据可得每篇论文的问题描述得分a1i=(1.7 ,1.9 ,1.8 ,2 ,
1.8 ) i=1,2,3,4,5
则:
r1i=
a1i
a11+a12+a12+a14+a15
即:r11=0.1848 同理可得,r12=0.2065 ,r13 =0.1957 ,r14= 0.2174 ,r15=0.1956
(2) 由表中数据得到每篇论文的建模方法得分 a2i=(2 ,2 ,1 ,2 ,2 ) i=1, 2,3,4,5
则:
r2i=
a2i
a21+a22+a23+a24+a25
即:r21=0.2222 同理可得,r22=0.2222 ,r23 =0.1112 ,r24=0.2222 ,r25=0.2222
(3) 由表中数据得到每篇论文的具体模型得分 a3i=(4 ,3.9 ,2 ,4 ,3 ) i=1, 2,3,4,5 则:
r3i=
a3i
a31+a32+a33+a34+a35
即:r31=0.2367 同理可得,r32=0.2308 ,r33 =0.1183 ,r34=0.2367 ,r35=0.1128
(4) 有表中数据得到每篇论文的合理结果得分 a4i=(1.8 ,1.9 ,1 ,2 ,1.2 )
i=1,2,3,4,5
则:
r3i=
a4i
a41+a42+a43+a44+a45
即:r41=0.2278 同理可得,r42=0.2405 ,r43 =0.1266 ,r44=0.2532 ,r45=0.1519 由以上计算得:
?0.1848
0.2222 R1=
0.2367
?0.2278
0.20650.22220.23080.2405
0.19570.11120.11830.1266
0.21740.22220.23670.2532
0.1956?
?
0.2222
? 0.1128?
?
0.1519?
2. 模型的建立与求解
(1) 由表中数据得到每篇论文的问题假设得分 b1i=(4.8 ,4.7,4.8 ,5 ,4.5) i=1,2,3,4,5
则:
e1i=
b1i
b11+b12+b13+b14+b15
即:e11= 0.2017 同理可得,e12=0.1975 ,e13=0.2017 , e14=0.2101 ,e15= 0.1890
(2) 由表中数据得到每篇论文的问题分析得分 b2i=(9.5 ,9.3 ,6 ,10 ,8 )
i=1,2,3,4,5 则:
e1i=
b2i
b21+b22+b23+b24+b25
即:e21=0.2220 同理可得,e22=0.2173 ,e23=0.1401 ,e24=0.2336 ,e25=0.1869
(3) 由表中数据得到每篇论文的模型建立与求解得分 b3i=(54.5 ,54,40 ,54.4 ,45) i=1,2,3,4,5 则:
e3i=
b3i
b31+b32+b33+b34+b35
即:e31=0.2198 同理可得,e32=0.2178 ,e33=0.1614 , e34=0.2194 ,e35=0.1816
(4) 由表中数据得到每篇论文的模型建立与求解得分 b4i=(5 ,4.5 ,1 ,5 ,3) i=1,2, 3,4,5 则:
e4i=
b4i
b41+b42+b43+b44+b45
即:e41=0.2703 同理可得,e42=0.2432 ,e43=0.0541 , e44=0.2703 ,e45= 0.1621 由以上计算可得:
?0.2017
0.2220
R2=
0.2198
?0.2703
0.19750.21730.21780.2432
0.20170.14010.16140.0541
0.21010.23360.21940.2703
0.1890?
?
0.1869
? 0.1816?
?
0.1621?
3.模型的评价与推广
(1) 由表中数据得到每篇论文的模型检验得分 c1i=(5 ,5 ,1 ,5 ,2) i=1,2,3,4,5
则:
q1i=
c1i
c11+c12+c13+c14+c15
即: q11=0.2778 同理可得,q12=0.2778 ,q13=0.0556 , q14=0.2778 ,q15=0.1110
(2) 由表中数据得到每篇论文的评价与推广得分 c2i=(5 ,5 ,3 ,5 ,3 ) i=1, 2,3,4,5
则:
q2i=
c2i
c21+c22+c23+c24+c25
即: q21=0.2381 同理可得,q22=0.2381 ,q23=0.1429 , q24= 0.2381 ,q25=0.1428 由以上计算可得:
?0.2778
R3=
?0.2381
0.27780.2381
0.05560.1429
0.27780.2381
0.1110?
?
0.1428?
4. 其他
(1) 由表中数据得到每篇论文的文字流畅得分 d1i=(0.5 ,1 ,0.8 ,1 ,1)
i=1, 2,3,4,5 则:
p1i=
d1i
d11+d12+d13+d14+d15
即: p11=0.1163 同理可得,p12=0.2326 ,p13=0.1860 , p14=0.2326 ,p15=0.2325
(2) 由表中数据得到每篇论文的格式规范得分 d2i=(1 ,1 ,0.8 ,1 ,0,6 ) i=1, 2,3,4,5 则:
P2i=
d2i
d21+d22+d23+d24+d25
即: p21=0.2273 同理可得,p22=0.2273 ,p23=0.1818 ,P24=0.2273 ,p25=0.1301
(3) 由表中数据得到每篇论文的文字流畅得分
d3i=(2.8 ,2.9 ,2.5 ,2.9 ,2.5)
i=1, 2,3,4,5 则:
P3i=
d3i
d31+d32+d33+d34+d35
即: p31=0.2059 同理可得p32=0.2132 ,p33=0.1838 ,P34=0.2132 ,p35=0.1839
由以上计算可得:
?0.1163
R4= 0.2273
0.2059?
0.23260.22730.2132
0.18600.18180.1838
0.23260.22730.2132
0.2325?
?
0.1304 ?0.1839??
5.3.3 综合评判
由5.2.1得到的权向量ω和5.2.2得到的模糊评价矩阵R ,取ο(∨,∧)运算用matlab编程运算得到结果:
B1 =ω1οR1 =
?0.1848
0.2222
(0.2000 0.2000 0.4000 0.2000)ο
0.2367
?0.2278
0.20650.22220.23080.2405
0.19570.11120.11830.1266
0.21740.22220.23670.2532
0.1956?
?
0.2222
? 0.1128?
?
0.1519?
=(0.2367 ,0.2308 ,0.1957 ,0.2367 ,0.2000)
B2 =ω2οR2 =
?0.2017
0.2220 (0.0667 0.1333 0.7333 0.0667)ο
0.2198
?0.2703
0.19750.21730.21780.2432
0.20170.14010.16140.0541
0.21010.23360.21940.2703
0.1890?
?
0.1869
? 0.1816?
?
0.1621?
=(0.2198 ,0.2178 ,0.1614 ,0.2194 ,0.1816) B3 =ω3οR3 = (0.5000 0.5000) ο
?0.2778?0.2381
0.27780.2381
0.05560.1429
0.27780.2381
0.1110?
?
0.1428?
=(0.2778 ,0.2778 ,0.1429 ,0.2778 ,0.1428) B4 =ω4οR4 =
?0.1163
(0.2000 0.2000 0.6000) ο 0.2273
0.2059?
0.23260.22730.2132
0.18600.18180.1838
0.23260.22730.2132
0.2325?
?
0.1304 ?0.1839??
=(0.2059 ,0.2132 ,0.1860 ,0.2132 ,0.2000)
?B1
B2
R=
B3 ?B4
??0.236?
0.219?=
? 0.2778?
??0.2059
78
0.23080.2178
0.19570.16140.27780.2132
0.23?67
?
0.2194
?
0.1428?
?
0.2000?
0.19560.1816
0.27780.2132
0.14290.1860
B=ωοR=
(0.1000 0.7500 0.1000 0.0500)ο R=(0.2249 0.2266 0.1642 0.2267 0.1880) 则篇论文的优劣顺序为第四篇最好,第二篇次之,第一篇再次,第五篇再次,第三篇最差。
六、模型的评价与改进
6.1 模型优缺点
1. 模型优点
(1)在对论文横向比较时,按照优、良、中、差四个等级对论文进行了分模块评价,并用表格列述,直观形象,使论文的优劣一目了然。
(2)通过对问题的描述分析,对问题的本质有个全面的认识后,巧妙的构造出一个数学模型,使之转化为一个模糊综合评判二级评判模型,这样解决问题就比较直观高效了。
(3)用层次分析法对该问题中的因素集进行分析得出权重,使得模糊综合评判模型更容易进行计算。
(4)层次分析法与模糊综合评判相结合,使问题从复杂的定性分析转化为比较客观的定量分析。
(5)所用理论方法比较简明,模型具有很强的可扩展性,这给模型的普遍使用奠定了基础。
(6) 将整篇论文是做一个系统,通过分析将其系统化,便于计算,通过对各个因素集赋权使计算简便,结果明了,便于决策者直接了解和掌握.
2. 模型缺点
(1) 运用层次分析法将定性化为定量,结果过于粗糙。在对论文进行横向比较和纵向分析的过程中,虽本着客观公正的原则,但仍不可避免的受主观意识的影响,使评价结果与实际有一定的误差。
(2) 本文虽然借鉴往年的评分标准,对各因素集的权重进行划分,但由于每年具体情况(主要指论文题目等)不疼,划分的因素集也有所不同,因此难以避免层次分析法所带来的“主观因素作用大,结果可能难以服人”的缺点。 6.2 模型改进
(1) 虽然本文在借鉴往年的基础上,对各因素集进行划分和加权,但还是难以避免主观因素带来的影响,具有一定的局限性。因此对于各因素集的划分和加权还有待商榷。
(2) 在建立评判矩阵的时候即对论文进行打分的过程中,虽然对分数进行了求和取平均值的处理,但由于参与评判的人数较少(今本组队员),所以还是会造成较大的误差。因此这里认为可以增加评阅人数,进而减少误差保证评判的公正、公平。
(3) 数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种实践,而全国大学生数学建模竞赛要的是为解决实际问题提供优秀算法、培养大学生数学素养。而就此本文看来,模型仅用主观的打分建立评判矩阵存在一定缺陷。这里建议在以分数作为评判标准的基础之上,将各个因素集分数进行等级划分划分(优、良、中、差等),并引入权值 λ(0≤λ≤1)、M,新的评判标准、F,论文分数、η,每篇论文获得优的因素集的比例。则有新的评判准则:
M=(1-λ)F+η
这样有益于评判的公正、公平,有利于选择优秀算法。
七、模型的推广
本模型在对五篇论文进行评判的同时,为数学建模论文的评判提供了一个可
行的方案。模型在改进之后,摒弃了原来以分数高低作为标准的评判,更能保证比赛的公正、公平。也就是说,模型在改进之后完全可以推广到建模的评判工作中,往更深层次讲模型可以推广到各种论文的评选工作中,保证公平、公正。
八、参考文献
[1] 谢季坚,刘承平,模糊数学方法及其应用(第三版),武汉:华中科技大学出版社,2006。 [2] 姜启源,谢金星,叶俊,数学模型(第三版),北京市:高等教育出版社,2003年。 [3] http://www.docin.com/p-55748461.html ?2007-2011 DocIn.com Inc. All Rights Reserved 豆丁网
九 附录
程序1
R1 =
0.2367 0.2308 0.1957 0.2367 0.2000
0.2198 0.2178 0.1614 0.2194 0.1916
0.2778 0.2778 0.1429 0.2778 0.1428
0.2059 0.2132 0.1860 0.2132 0.2000
>> A1=[0.1000 0.7500 0.1000 0.0500]
A1 =
0.1000 0.7500 0.1000 0.0500
>> B1 =A1*R1
B1 =
0.2266 0.2249 0.1642 0.2267 0.1880
附录2: 一直检验程序
disp('请输入判断矩阵A(n阶)');
A=input('A=');
[n,n]=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);
m=zeros(1,100);
m(1)=max(x(:,1));
y(:,1)=x(:,1);
x(:,2)=A*y(:,1);
m(2)=max(x(:,2));
y(:,2)=x(:,2)/m(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m(2)-m(1));
while k>p
i=i+1;
x(:,i)=A*y(:,i-1);
m(i)=max(x(:,i));
y(:,i)=x(:,i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:,i));
w=y(:,i)/a;
t=m(i);
disp('权向量');disp(w);
disp('最大特征值');disp(t);
%以下是一致性检验
CI=(t-n)/(n-1);RI=[0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.54 1.56 1.58
1.59];
CR=CI/RI(n);
if CR<>
disp('此矩阵的一致性可以接受!');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩阵的一致性不可以接受!');
end