范文一:管内湍流流动速度分布和温度分布的推导
管内湍流流动速度分布和温度分布的推导
一、流体在圆管内的速度分布
流体在圆管内的速度分布是指流体流动时管截面上质点的速度随半径的变化关系。无论是层流或是湍流,管壁处质点速度均为零,越靠近管中心流速越大,到管中心处速度为最大。但两种流型的速度分布却不相同。由于速度场与雷洛数有十分密切的关系所以在此我们先介绍下流型判据——雷洛数:
1、流型判据——雷诺准数
流体的流动类型可用雷诺数Re 判断。
Re =d ρu
μ (1-28)
Re 准数是一个无因次的数群。
大量的实验结果表明,流体在直管内流动时,
(1) 当Re ≤2000时,流动为层流,此区称为层流区;
(2) 当Re ≥4000时,一般出现湍流,此区称为湍流区;
(3) 当2000< re=""><4000>4000>
雷诺数的物理意义 Re反映了流体流动中惯性力与粘性力的对比关系,标志流体流动的湍动程度。其值愈大,流体的湍动愈剧烈,内摩擦力也愈大。
下面我们重点推到湍流时管内的速度场:
2、湍流时的速度分布
湍流时流体质点的运动状况较层流要复杂得多,截面上某一固定点的流体质点在沿管轴向前运动的同时,还有径向上的运动,使速度的大小与方向都随时变化。湍流的基本特征是出现了径向脉动速度,使得动量传递较之层流大得多。此时剪应力不服从牛顿粘性定律表示,但可写成相仿的形式:
τ=(μ+e ) d u (1) dy .
式中e 称为湍流粘度,单位与μ相同。但二者本质上不同:粘度μ是流体的物性,反映了分子运动造成的动量传递;而湍流粘度e 不再是流体的物性,它反映的是质点的脉动所造成的动量传递,与流体的流动状况密切相关。
湍流时的速度分布目前尚不能利用理论推导获得,而是通过实验测定,结果如图1所示,
其分布方程通常表示成以下形式:
r ?? u =u max 1-? (2) ?R ?. n
式中n 与Re 有关,取值如下:
4?104
1. 1?105
Re >3. 2?106
当n =161n = 71n =10n =图
1 湍流时的速度分布 1时,推导可得流体的平均速度约为管中心最大速度的0.82倍,即 7
u ≈0. 82u max (3)
二、流体在圆管内的温度分布
1、控制方程
控制方程包括混合物质量守恒方程、动量守恒方程,第二相质量守恒方程以及混合物能量守恒方程,见公式(1-4)。
[v3ρ3c p, l T l ]=?(k a p ?p T )+S ( 4 )
2、湍流方程
湍流换热情况下为了使方程组封闭,需要增加标量方程。RNG k-ε模型的湍流动能方程(k 方程)和耗散率方程(ε方程)的通用形式如下:
选用近壁模型法处理近壁面区域的边界问题。该方法把整个流场划分为两个区域,即粘性力主导区和湍流核心区,两区的界限用一个基于远离壁面的距离y 的湍流Rey 数来表示:
当Rey > 150 时,RNG k-ε模型适用,当Rey <>
其中,系数c μ=0.084,c1=1.0,c2=1.83,σk=1.69,σε=1.3。上述控制方程组中,混合物参数由固液两相的参数按质量比进行加权平均。混合物表观导热系数采用如下表达式:
其中,k eff 为层流时的有效导热系数,包含了颗粒与周围流体之间存在相对运动而引起的微对流强化导热作用,按文献[9-10]给出的公式计算:
k t 是湍流时的导热系数,根据流体流动时热量传递与动量传递的类似性,可以写出流体的湍流普朗特数Pr t 表达式:
经过变换可得k t 表达式:
在某一温度下Pr t 为常数, 可根据流场计算的湍流粘度μt 得到湍流导热系数。
3、结论
(1) 通过实验对所建立的管内对流换热的二维轴对称对模型的精度进行了验证,误差在±
8.5%以内,吻合度良好。
(2) 通过对管内截面流体温度分布的计算,展示了热量的传递过程。
(3) 管长方向的温度变化得到相变过程的三个区域,即未融化区、部分融化区和完全融化区。
范文二:两个不同方向推导速度分布律的对比分析
两个不同方向推导速度分布律的对比分析
天文 091210016 蒙延智 摘要:热学方程式与热力学量子统计是对大数目系统的两种研究方式,它们一个立足于从宏观的角度寻找可描述的物理量,继而由实验方式寻找相互相互关系,而忽略内部的细节分析,后来逐渐发展到用微分的方式,寻求进一步的关系。而后者则是通过从每一个粒子的多个维度描述出发,通过排列、集合、统计、分布与概率来细致地描述宏观系统。两者,研究的方法不同,同时基本的假设也不同,本文从用这两种方法推导出麦克斯韦速度分布律的过程来对比,并从中使我们对等概率原理有进一步的认识。
1. 由热力学方法推导
222首先考虑在速度场中,用=fvvv(),,fvvv(,,)dvdvdvfv()MxyzMxyzxyzM
dv来代表热平衡态下粒子在速度空间体元=中的概率,用,dvdvdvfvdv()xyzMxx
,分别代表速度分量在到、到、到vvdv,fvdv()fvdv()vvdv,vyyyMxxMzzxxxz
区间内的概率。 vdv,zz
则接下来,假定(一):在热平衡态下分子速度的任一分量的分布应与其它分量无
关,即速度的三个分量的分布是彼此独立的,于是我们有:
=** (1) ;dvdvdvfvvv(,,)fvdv()fvdv()fvdv()xyzMxyzMyyMxxMzz
另外,由经验可知(二):对于宏观上静止的气体,速度分布是各向同性的;于
是我们可以得到:
2222fvvv(),,fvvv(,,) == (2) ;fv()MxyzMxyzM
结合(1)与(2),可得:
222ln()fvvv,,ln()fv =ln()fv**ln()fv ;MyMxyzMxMz
两边取对数,得
222ln()fvvv,,ln()fvln()fvln()fv =++ ;MyMxyzMxMz
由于v一定时,左边为常数,所以右边也应得出只与v有关的结果,从而得出
vvv常数结果,而与、、无关,于是我们知道 yxz
2ixyz,,, ln()fvABv,,, () Mii
2A,Bvieixyz,,,C 也即 (); 式中= 。 fvCe(),iMii
所以,代入(,)式,得:
2,Bvfvvv(,,)CCCC,fv()fvfv()(),Ce ,,, ;式中 ;MxyzxyzMM
C接下来,我们用下面的两个归一化条件来定出、: B
3/2,2,,,Bv,2 ,, 4vCedvC ,,,,,0B,,
,231131,45/2Bv,,(由能均分定理得出)kTmvCedvmC ,44(),,,02B228
mm3/2于是得到了: , 。 C,()B,,2kT2kT
所以,麦克斯韦速度分布函数可得到为:
2m3/2,mvkT/2 ,,() 。 fv()efv()M,2kT
可见,在推导的过程中,是对速度这一热力学量的三个分量的通过两个假设(1)、(2)
3kT来得出速度的概率分布函数的函数形式,再通过概率的总和为1与平均能量为温度来2定下函数中的参数。显然,过程中不具有统计行为,结果得出的是速度的连续性分布特征,不具备量子性的离散性特征,同时对于微观的粒子运动情况的描述,只是单一地从速度上来描述,物理模型十分的模糊,因为对于其它的参量没有任何的描述,更不知道相互之间的关系,这也是经典热力学的局限性与不足性。
另外,这个过程是应用了宏观的观测现象:速度的各分量的分布相互独立,以及速度大小分布的各向同性。前者不论对于直角坐标系还是球坐标系都成立,在直角坐标系中各分量不仅相互独立,而且由于各向同性的性质,而在各单一维度上有相同的分布,这可从
2,Bvi 式子具有相同的函数形式以及B值得出。而在球坐标系中,θ与φ维度fvCe(),Mii
上的分布具有特殊性,因为它们是均匀的。
2. 由热力学统一来导出
pmvpmvpmv,,,,,思路分析: 首先,因为(ixyz,,,),是常值,所mxxyyzz
ppppdp,以一旦求出ppdp,的分布,也就直接得到了,而要求空间上到、到、vyyyxxx
,,,,,ldpdpdpppdp,到单位元上的粒子数,可通过玻耳兹曼分布得出(一awe,xyzzzzll
般条件下,气体的温度很高、密度也比较小,满足经典级限条件,因而遵守玻耳兹曼分布),也就是等于单位元上的微观状态数乘以每个微观状态上的粒子数,而参数α可通过对单位元进行积分得出总粒子数这一归一化条件来得出。
过程:
1222,,,,ppp()质心运动的能量: xyzm2
dpdpdp在体积V内,的动量范围内,分子质心平动的微观状态数为:xyz
V ; dpdpdpxyz3h
因此由玻耳兹曼分布公式可以得到,在体积V内,质心平动动量范围内的分子dpdpdpxyz数为:
1222,,,,,ppp()VxyzmkT2 (1) 。edpdpdpxyz3h
由总分子数为N可定出参数α:
1222,,,,,ppp()VxyzmkT2e=N; dpdpdpxyz3,,,h
积分后,整理可得出
3/22,,hN ,,2,mkT,,
代入(1),得到质心动量在范围内的分子数为: dpdpdpxyz
3/21222,,,ppp()xyz1,,mkT2edpdpdp (2) Nxyz,,,2mkT,,
然后,用速度来代换动量:
pmvpmvpmv,,,,, xxyyzz
dvdvdv代入(2),即可得范围内的分子数为: xyz
3/21222,,,vvv()mxyz,,mkT2edvdvdv xyz,,2,kT,,
概率分布为:
3/21222,,,vvv()mxyz,,mkT2edvdvdv与上面用热力学推导的结果一样。xyz,,2,kT,,
可见,在用热力学统计的推导过程中,对于动量分量的分析,在动量空间上,动量不再是像是上面的速度一样是连续的,它通过
2,,pn,ixyz,,,n,,,0,1,2,? ()() iiiL
ppn从而宏观量与表示数目的量子数n相联系起来,而又使得能与其它的微观量联系起
Ln,,来: 。
而玻耳兹曼分布公式描述的是量子数、粒子数与能量之间的关系,使得热力学的统计对于微观的描述更清晰,集合与元素的各量之间的关系更清晰。
而玻耳兹曼分布公式是在等概率原理的假设下通过排列组合的性质导出的。从而与前
面的推导一样,这里也是建立在一定的假设上的,于是我们不得不考虑两种方法中的假设有何联系。
等概率原理描述的是在平衡时,系统的每一个微观状态出现的概率相同。于是,我们分析在上面的速度场中,假设已量子化,如果假定满足等概率原理,则速度的不同分量上(如X)的分布,实际就是相应的值(X的具体值)上的微观状态数所占总数的比例,因而与Y不相关,这就是不同分量相互独立的原因,即满足假定(1)。而对于球坐标系,由于球对称性,所以必然具有各向同性。而反过来,假设已有坐标独立性与各向同性,如果等概率原理不满足,则求各坐标上的分布时,不可直接从所有对象中,单一的提取出一维,因为其它因素在它的每一个值上总的权重不一样,同理,因为在球坐标中,在径向上的值与其它各量相关作用构成的各状态不同概率,径向上的各值的积累的权重就不一样,因而不能转动,与假设不附,所以当假设成立时,等概率原理必成立。综上所述,两种不同的推导时,所依据的基本假设是等同的。
由此,我们进步考虑等概率原理。我们知道相空间有刘维尔定理,也就是每一个微观状态变化为相邻近的微观状态经历的状态集状态合中,在考虑了全部相关参量的影响时,两状态之间的微观状态数目不随时间变化,即无论从任意状态点到另一任意点,不改变原来的相空间球壳内的状态数,所以各状态的在时间上的分布应具有均匀性,也就是各微观状态出现的概率是相同的,即得出了等概率原理。
参考文献:
【1】 汪志诚,热力学统计物理,高等教育出版社
【2】 赵凯华,罗蔚茵,热学,高等教育出版社
范文三:平板层流边界层近似速度分布计算方法的改进
第 29卷 第 6期 2006年 12月
鞍 山 科 技 大 学 学 报
Journal of Anshan University of Science and Technology
Vol. 29No. 6 Dec. ,2006
,
, 辽宁 鞍山 114051)
摘 要 :, 。在满足四个基本边界 层条件的基础上 。 其对应的摩擦阻力计算公式与精确解完全
相同 。 同时 , 该多项式对应的曲线与精确解的速度分布曲线拟合很好 。
关键词 :平板 ; 层流 ; 边界层 ; 速度分布
中图分类号 :O35714 文献标识码 :A 文章编号 :167224410(2006) 0620587205
边界层微分方程的精确解 , 数学上的求解相当复杂 , 在工程计算中 , 往往寻求解边界层微分方程的 近似方法 , 以期迅速地得到满足工程需求的计算结果 。
在应用边界层积分方程近似求解零攻角平板绕流问题时 , 为了得到与微分方程精确解更接近的摩 擦阻力计算公式 , 关键在于选择近似速度分布 。 经典的方法是选择一个最佳的速度分布函数 , 使之满足 基本的边界条件 。 通常 , 边界层理论中描述无因次速度分布与无因次坐标关系的近似函数 , 有一次多项 式 、 二次多项式 、 三次多项式 、 四次多项式或正弦函数等 。 与微分方程的精确解相比 , 由这些近似速度分 布所得出摩擦阻力公式的误差较大 [4]。 在已有的资料中 , 彭一川 [1]和袁镒吾 [2]提出的方法得出的公式 , 其计算结果精度高于原有的方法 。
本文根据通用的正弦函数式和四次多项式的线性组合 , 推出平板边界层的近似速度分布多项式 。 利用已有数值解的某些结果来确定速度函数式中的待定系数 , 计算简单 , 工作量小 , 而所得结果的精度 令人满意 。
本文方法与彭一川 [1]和袁镒吾 [2]的方法理论基础基本上一致 , 均是模仿权残法的思想 。
1 边界层积分方程
对于二维不可压缩定常流动 , 且忽略质量力 , 零攻角纵向绕流平板的边界层积分方程可写成
33
d x = 2
引入无因次速度和无因次坐标
ν
ν
∞
=F (η) η=δ(1) 可将边界层积分方程改写成
α1d x =
ν
ν
∞
δd ηη
=0
(2)
收稿日期 :2006210214。
作者简介 :王婷婷 (1981-) , 女 , 辽宁本溪人。
式中 :a 1=∫
1
0F (1-F ) d η, a 2=
∫
1
(1-F ) d η, 则有
δ3=α2δ δ33=α1δ2
C D =
νν∞ δd ηη=0
(3)
由式 (2) 和式 (3) 可见 , 为了确定边界层中的特征量 δ, δ3, δ33
和 C D , 无因次速度分布函数 F (η) 。 通常 , F (η
) 选为如下几种形式 正弦函数 F (η
) =sin π
2
(4) 一次多项式 F (η
) (5) 二次多项式 (η
) -2
(6) 三次多项式 (η
) =115η-015η3(7)
四次多项式 F (η) =2η-2η3
+η4
(8) 文献 [1]给出的公式
F (η
) =11635η-01905η3
+0127η4
(9)
文献 [2]给出的公式 F (η) =116749η-017693η3+010613η6+01033η
8(10) 满足边界层条件 F (0) =0, F (1) =1, F ′
(1) =0, F ″ (0) =0。 应用式 (2) -(10) , 可以计算出不同速度分布下的 α1, α2, F ′
(0) , δ, δ3, δ33和 C D 的值 。 计算结果 见表 1, 以便于和布拉修斯精确相比较。
表 1 布拉修斯精确解与积分关系式近似解的比较
Tab. 1 Comparison between Blasius exact solution and polynomials
F (η
) 解法 精确解
一次式
二次式
三次式
四次式
三角式
文献 [1]
文献 [2]
本文
α16152803152
π01135011296011342α2
23810ππ01355013424013582F ′
(0) 1
21152π
211635116749116427δ∞ x 51031464514774164151836417954192351084419478δ3∞ x 11721117321182511740117511174111747117408117456δ3
3
x 01664015770173001646016850165501664016589016642C D
x ν
0133201289013650132301343013280133201329401332δ3
δ=H 2159
3100
2150
2168
2155
2166
2163
2164
21629
顺流放置平板边界层流动 , 沿整个平板压强与势流流速均不变 。 应用动量积分方程求解此问题时 , 其公式为
33
d x =τρν2
∞ 求解边界层的近似方法首先假定一个适当的边界层内部的流速分布表达式 , 这个流速分布要满足边界
层的边界条件 , 即 y =0, ν=0; y =δ, ν=ν∞ 。 但并不要求在边界层内逐点的流速与实际流速相符 合 。
设 νΠ
ν∞ =F (η) , 而 η=y Πδ, 边界条件相应写为 ?
885? 鞍 山 科 技 大 学 学 报 第 29卷
η=0 F (η) =0
η=1 F (η) =
(11)
假定一个速度分布后 , 可分别计算 α
1
, α2, F ′ (0) , δ, δ3, δ33和 C D 等值 。 F (η) 除满足边界层的边 界条件以外 , 还可以进一步要求在边界层外缘处边界层内的流速分布与势流流速的分布相衔接 , 即 y =δ F ′ (η) =0(12) 对于平板 , d p Πd x =0, 所以在壁面处
y =0 F ) =0(13) 式 (11) -(13) (11) -(13) 的基础上 , (4) 和四次多项式 (8) 的线 性组合 ,
2
由式 (4) 和式 (8) 可构成下述新的多项式
F (η) =βsin π
2
+(1-β) (2η-2η3+η4) (14)
显然 , 式 (4) 和式 (8) 分别为式 (14) 在 β=1和 β=0时的特例。 式 (14) 中的 β是待定常数 , 适当选择 β值 , 可使由上述速度分布所得摩擦阻力系数公式与布拉修斯精确解的公式完全一致。 因此 , 把该 β值所 对应的速度剖面成为近似速度分布的改进式。 容易验证 , 式 (14) 所确定的速度分布满足边界层的四个 基本边界条件式。
把式 (14) 带入边界层积分方程中 , 确定边界层中的特征量和 C
D
, 并确定近似速度剖面对应的 β值 。
对应式 (14) 的 α1 , α2和
d ηη=0
的值分别为
α
2
=∫ 10(1-F ) d η=101-βsin π2+(1-β) (2η-2η3+η4) d η=013+010635645βd ηη=0
=(πΠ2-2) β+2=2-0143β
将 α1 和
d ηη=0
的值带入式 (2) 中 , 推出
δ
d x
=
ν
ν
∞
ηη=0α1
即 δd x =
ν
ν
∞ 0111746+010246493β-0100542055β2
这是边界层厚度 δ的一阶常微分方程 , 根据边界条件 δ|
x =0
=0, 积分上式可得
δ∞ x =
111746+010246493β-0100542055β2
(15)
由式 (3) 和式 (15) 以及 α1 , α2和
d ηη=0
的值 , 可得
δ3∞ x =α2δ∞
x
=(013+010635645β)
111746+010246493β-0100542055β2 (16)
δ33∞ x =α1δ∞
x
=-0186β111746+010246493β-0100542055β2(17) ? 9 8 5
?
第 6期 王婷婷 , 等 :平板层流边界层近似速度分布计算方法的改进
2C D
=∞ x ν=
21d η
η=0
=
-01215β111746+010246493β-0100542055β
2
(18)
计算表明 , 当 β=01831时 , 由式 (16) (17) (18) 可得 2
C D =
∞ x ν=01332, 它与布拉修斯精确解相 同 。 把 β=01831带入式 (14) 中 , 可得改进的速度分布多项式为
F (η) =01831sin π2
+0(2η)
(19) 把 β=01831代入 α1, α2和 F ′ =0, =208 F ′ =116427x
=419478 δ3∞ x =α2δ∞
x
=117456δ33
∞ x =α1δ∞ x =01664 2
C D ∞ ν=01332为比较方便 , 把改进的速度分布多项式 (19) 及其计算结果列入表 1中 。由表 1可见 , 与精确解相比 , 改
进的速度分布多项式 (19) 对应的 δ33
和 C D 计算没有误差 , 对应的其它几项的计算误差也很小 。 可见 , 在平板边界层近似计算中 , 与其它的速度分布关系式 (4) -(10) 相比 , 式 (19) 对应的速度分布多项式更 理想 。 表 2把速度分布函数式 (19) 与正弦函数式 (4) 、 四次多项式 (8) 以及布拉修斯精确解进行了比较 。 图 1绘出了布拉修斯精确速度分布以及正弦函数式 、 四次式和本文多项式速度分布 。 由图 1可见 , 速度 分布与精确速度分布拟合最理想 (为使图清晰 , 省略了其他几种速度分布曲线 ) 。
表 2 速度分布
Tab. 2 Velocity distribution
ξ
η
νx Πν∞ =F (η) 精确解
正弦函数
四次式
本文式
0000000120105710109390108950111380109360140111430118760117850122580118640160117140128050126590133360127730180122860137190135120143600136561100128570146060143370153140145021120134290154520151270161900153071140140000162430. 5875016976016061116014571016966016576017668016761118015143017610017225018265017401210015714018166017815018763017975212016286018633018343019166018482214016857019010018803019477018917216017429019306019193019704019280218018000019528019509019856019567310018571019690019748019946019781312019143019803019909019988019922314019714019879019990110000019991315
110000
019900
110000
110000
110000
?
095? 鞍 山 科 技 大 学 学 报 第 29卷
图 1 平板边界层的速度分布
Fig. 1 Velocity distribution in a laminar boundary layer on flat plat
3 结 论
采用边界层理论中经典的正弦函数式和四次多项式的线性组合 , 以平板边界层积分方程为基础 , 推 导出零攻角纵向绕流平板边界层中的改进的速度分布多项式
F (η) =01831sin
π
2
+01619(2η-2η3+η4) (20) 与布拉修斯精确解相比 , 在文中所述近似速度分布中 , 改进的近似速度分布多项式的计算过程简便 , 精 度很理想 , 值得向工程界推荐 。
参 考 文 献 :
[1]彭一川 . 平板层流边界层的最佳近似速度分布 [J].东北工学院学报 ,1992,13(1) :110-129.
[2]袁镒吾 , 刘又文 . 确定平板层流边界层速度分布的一种方法 [J].应用数学和力学 ,1999,20(4) :427-431.
[3]南京工学院 . 粘性流体力学 [M ].北京 :高等教育出版社 ,1978:122.
[4]章梓雄 , 董曾南 . 粘性流体力学 [M ].北京 :清华大学出版社 ,1998:143,144,191-194.
Improvement of calculation method for approximate velocity distribution in a laminar boundary layer on flat plate
W A N G Ti ng 2ti ng , M A Qi ng 2yuan , GUo Ji 2pi ng
(School of Resources and Civil Engineering ,University of Science and Technology Liaoning ,Anshan 114051,China )
Abstract :Byusing the integration method ,it is sought to solve the problem for laminar boundary layer on a flat plate at zero incidence. The improvement on approximation velocity polynomial was derived available to satisfy four basic boundary conditions. Its corresponding formula for calculating the drop on a flat plate shows the identity with the exact solution. Also ,the curve plotted accordion to the polynomial shows in good agreement with the velocity distribution profile given by the exact solution.
K ey w ords :flatplate ;laminar flow ;boundary layer ;velocity profile
(R eceived October 14,2006) ? 1 9
5
?
第 6期 王婷婷 , 等 :平板层流边界层近似速度分布计算方法的改进
范文四:推导麦克斯韦速度分布函数的一种方法
衡态趋向平衡 , 即热力学过程的不可逆性问题 , 其数学表达式为
5 f F Θ Θ ( )( ) σ( θ φ ) Ω 1 + vA? f + A? f = f f - ff vv ,,dd v rv1 11 5 t m Ωv 1
() 假设无外力场也没有密度梯度 , 即 F = 0 , A f = 0 , 则式 1变为r
5 f ΘΘ ( ) σ( θ φ ) Ω ( )f f - ff vv ,,dd v 2 =1 11 5 t Ωv 1
() ( ) 引入密度函数 h r , t= f ln f - 1d v后 , 有 h 随 t 的变化率 Θ
( ) 5 h r , t 5 f ( )3 = ln f d vΘ 5 t 5 t ( ) ( ) ψ( ) 将式 2代入式 3, 并令 ln f = v, 得
( )5 h r , t ( ) σ ( ) ψ( )( )= d vd vd v d v f f - ff vv , v?v, v v4 1 1 1 11 1 ΘΘΘΘ5 t
由于在积分中作变换 v ?v、v ?v , 积分是不会改变的 , 于是有 1 1
( )5 h r , t ( ) σ ( ) ψ( ))(= d vd vd v d v f f - ff vv , v?v5 , v v 1 1 1 11 11 ΘΘΘΘ5 t
() ( ) 同理 , 对式 4和式 5分别作变换 v ?v 、v?v , 则得 1 1
( )5 h r , t ( ) σ ( ) ψ( )= - d vd vd v d v f f - ff vv , v?v , v v )(6 1 1 1 11 1ΘΘΘΘ 5 t ( )5 h r , t ( ) σ ( ) ψ( )= - d vd vd v d v f f - ff vv , v?v , v v ()7 1 1 1 11 11ΘΘΘΘ5 t
() () 将式 4, 7这四个等价方程相加并除以 4 得
( ) 5 h r , t 1 ( ) σ ( ) ψ( ) ψ( ) ψ( ) ψ( ) = d vd vd v d v f f - ff vv , v?v , v [v+ v- v - v ]1 1 1 11 111ΘΘΘΘ 5 t 4
ff 1 ( ) ψ( ) ψ( ) ψ( ) ψ? v+ v- v - v = ln f + ln f - ln f - ln f = ln ,111 1 f f 1
3 收稿日期 :2002 - 09 - 20
ff ( )1 5 h r , t 1) σ ( ) ( )( ? = d vd v d v d v f f - ff lnvv , v ?v , v 1 8 1 1 1 1 1 1 ΘΘΘΘ5 t 4 f f 1 ff 1 a ( ) ( ) σ 因为 v 、是正值 , 若令 ff = a > 0 , f f = b > 0 , 则有被积函数 f f - ff ln = b - a ln 。可1 1 1 1 f f b 1
a a a ( ( ( ) ) ) 见 , 当 b > a 时 , 有 b - aln < 0="" ;="" 当="" b="">< a="" 时="" ,="" 仍有="" b="" -="" aln="">< 0="" ;="" 只有当="" b="a" 时="" ,="" 才有="" b="" -="" aln="b" b="" b="" 0="" ,="" 即="">
()9 ff = f f 1 1
f 5 () 将其代入式 2, 有= 0 , 这意味着系统由非平衡达到了平衡 , 分布函数不再随时间变化 , 这称为细致平5 t
( ) 衡 , 而式 9即为细致平衡条件 , 它说明了在 r ?r 的区域内 , 分子正碰出去的概率等于逆碰出去的概率 。
( ) 由式 9可找出分子在平衡分布时满足的速度分布函数 ———麦克斯韦速度函数 。
( ) 由式 9得
()ln f + ln f = ln f + ln f 10 1 1
该式是函数 ln f 的函数方程 , 它指出 ln f 是碰撞前后的守恒量 。因碰撞时分子数守恒 、动量守恒和能量守
恒 , 所以该方程有如下特解 :
2()ln f = 1 , m v , mv/ 2 11
() 其中 , 矢量 v 有三个分量 ———v, v, v, 即 m v本身有 3 个解 。由于式 10是线性方程 , 它的普遍解应当是 x y z
( ) 特解式 11的线性组合 , 故其通解为
2()12 ln f = C+ Cm? v + Cmv/ 2 0 12
其中 C、C和 C是 5 个系数 。将该式的常数换为另外的常数 n 、v、T , 可以将 f 表为 0 12 0
3/ 2 m m 2( ) ()f = n exp - v - v 13 0π2k T 2 k T
这便是迭加上恒定分子流速 v的麦克斯韦速度分布函数 。 0
参 考 文 献
1 李椿 ,章立源 ,钱尚武 1 热学 M 1 北京 :人民教育出版社 ,19781 () 2 李洪芳 1 热学 第二版M 1 北京 :高等教育出版社 ,20011
3 R P?费曼? ,RB?莱登? ,M桑兹? 1 费曼物理学讲义 M 1 王子辅译 1 上海 :上海科技出版社 ,1981 。
4 L 雷克? 1 统计物理现代教程 M 1 黄昀 ,赵凯华等译校 1 北京 :北京大学出版社 ,19841
范文五:关于气体分子按麦克斯韦速度分布规律的推导
关于气体分子按麦克斯韦速度分布规律的
推导
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JournalofZunyiNormalCollege
Vol.4?lNo.1
Mar.2002
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[d???J????;0414.2???x?o??:A?????V??:1009[?3583(2002)01[?0074[?02 TheDerivationabouttheDistributionRegularities
ofGasMoleculesaccordingtotheMaxuwellSpeed
GaoQin-xiang
(DepartmentofPhysics,ZunyiNormalColledge,563002,Zunyi,China) Abstract:Inthisarticle,theauthorusesuncertainLagrangemultiplierwaytoderivethedistributionregularitiesofgas
moleculesaccordingtoMaxwellspeedfromthegasmoleculesratedistributionfunction,healsousesthesimplevolume
roundconversiontogetdistributionrateofgasmoleculesaccordingtoMaxwellspeed. Keywords:ratedistributionfunction;uncertionmultiplierway;speeddistributionregularities
???e`??J?????A??????["v?l?b???V???"???? [a?l??[???["?e`??w?0?N?l?t???l?e`??J???r?A???? ?b[r[R???N??[??????l?????r?l?L???y???????l???? ?W??[?[R???N???J?2????f(vx)?l?(????[h???N[??? ?W??S1
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