范文一:列分式方程解应用题的教学反思
列分式方程解应用题的教学反思
本节课我们学习的是分式方程应用题,教学重点是要学生们建立分式方程应用题的思维模型,会根据题中的条件找出等量关系,同时列出分式方程,并解答。我主要借助导学案,让学生通过小组合作的方式合作完成本节课的内容,同时教师进一步规范列分式方程解应用题的步骤和思路。本节课不足之处如下:
一、学生们对于检验的过程总是容易丢失,说明还是对检验这个必要的步骤理解的不是很深刻,所以会出现易遗忘的现象,也暴露了我在教学时强调的力度还是不够,以后应着重强调。
二、对于等量关系的寻找,很多学生有困难,尤其是对题中条件比较多,或是等量关系比较隐含的应用题,如何准确找出题目中的等量关系是教学中的难点,我主要借助关键数字来降低这一难度,我觉得这是应用题教学的重中之重。
三、学生们还很习惯于用整式方程的思考方式来分析应用题,总是很难以直接建立分式方程的模型,难以直接接受新的事物,所以在教学时要多引导学生对这种模型的认识,让他们明白建立分式方程解应用题的模型对今后解这类应用题有很大的帮助。
姚丽
数学组
范文二:列分式方程解应用题的教学反思
列分式方程解应用题的教学反思
陈越珠
应用题教学是九年义务教育的一个非常重要的教学内容,是培养学生分析问题和解决问题的一个非常重要的手段。但应用题阅读量大、建模难度高,学生往往无从下手。在教学中,我发现教师教的吃力,学生学的也很吃力,很多学生看见应用题就有一种说不出的恐惧感。于是在列分式方程解应用题的教学中,我试着运用表格分析法来进行应用题的教学,让学生有章可循,并取得了很好的效果。
一、教学案例展示
例题:某校招生录取时,为了防止数据输入出错,2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍,然后让计算机比较两人的输入是否一致。已知甲的输入速度是乙的2倍,结果甲比乙少用2小时输完。问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩,
分析:题中涉及工作量、工作效率、工作时间三量关系,甲、乙两种状态。根据题意,设乙每分钟能输入x名学生的成绩,则甲每分钟能输入2x名学生的成绩,用表格分析问题。
步骤一:列出表格
状态 甲 乙
步骤二:依次填写表格信息
表格的第一行填写题中最清晰的量,即工作量(甲、乙的工作量均为2640名学生);表格的第二行填写题中所设的量,即工作效率(甲的工作效率是2x名/分钟,乙的工作效率是名/分钟);表格的第三列填写第三个量,即工作时间,数据则根据三量关系由第一、二行x
工作量2640工作时间,直接给出。(根据得,甲的工作时间是分钟,乙的工作时工作效率2x
2640间是分钟)。于是得到表格如下: x
状态 甲 乙
工作量:名 2640 2640
工作效率:名/分钟 2x x
工作时间:分钟 26402640 2xx
步骤三:列等量关系式
从上面表格的第三行中找等量关系,即找关于工作时间的等量关系。从题中不难找到:结果甲比乙少用2小时输完。即:甲时间=乙时间—2小时。于是得到等量关系式:26402640,60=—2 2x2x
二、教学效果剖析
苏霍姆林斯基说过:“教师的任务就是要不断地发展儿童从学习中得到满足的良好情感,以便从这种情感中产生和形成一种情绪状态——即强烈的学习愿望”。数学教学的目的是:面向全体学生,着眼于促进学生全面、和谐、主动地发展,致力于使每个学生获得必需的、与个性发展相适应的数学,同时得到基本素质的培育和提高。现代教学的基本特征是充分调动、培养学生学习的主动性与积极性,最大限度地实现所有学生的诸方面素质的主动、生动、全面、和谐、充分的发展。如何实现学生积极主动地学,根本途径在于引导学生参与学习过程,掌握学习方法。本策略通过表格分析确定等量关系,从表中可使等量关系直观而明显地呈现出来,从而反映出数量关系,确定出等量关系列出方程。而本策略的最大突破口在于将表格分析程序化,让学生感觉到应用题也是有章可循的,体验思维的有序性,分化学习困难,从而树立学生学习的自信心,让学生参与到课堂中来,调动学生学习的积极性,提高课堂教学有效性,体现教学策略的可行性。
当然,应用题的学习是学生综合应用知识能力的一种具体表现,反映学生知识应用的一种具体能力的体现。应用题教学内涵极其丰富,但我坚信,只要教师在教学中应根据学生的特点和教材的特点,因材施教,在教学工作中灵活地运用一些教学策略,遵循低起点、循序渐进的原则,为学生营造轻松的氛围,让学生觉得应用题离自己并不遥远,从而喜欢上应用题,进而掌握应用题的解答方法。
范文三:列分式方程解
列分式方程解应用题
一、列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同,不同点是,解分式方程必须要验根.一方面要看原方程是否有增根,另一方面还要看解出的根是否符合题意.原方程的增根和不符合题意的根都应舍去.
二、列分式方程解应用题,一般是求什么量,就设所求的量为未知数,这种设未知数的方法,叫做设直接未知数.但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量,而是设另外的量为未知量,这种设未知数的方法叫做设间接未知数.在列分式方程解应用题时,设间接未知数,有时可使解答变得简捷。
三、列分式方程解简单的实际应用问题的方法和步骤可分为:设、找、列、解、检、答等六个步骤.
具体是:
(1) 设 弄清题意和题目中的数量关系,用字母(如x)表示题目中的一个未知数;
(2) 找 找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系;
(3) 列 根据这个相等的数量关系式,列出所需的代数式,从而列出分式方程;
(4) 解 解这个所列的分式方程,求出未知数的值;
(5) 检 检验;
(6) 答 写出答案(包括单位名称).
这六个步骤关键是“列”,难点是“找”.
分式方程应用题例题
例1、某一工程,在工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书.工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,有如下方案:
Ⅰ、甲队单独完成这项工程刚好如期完成;
Ⅱ、乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天;
Ⅲ、若甲、乙两队合做3天,余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.
(1)设甲队单独完成这项工程需要x天
(2) 根据题意及表中所得到的信息列出方程
例2、某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓,一部分人骑自行车先行,经1/2时后,其余的人乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是自行车速度的3倍,求自行车和汽车的速度。
分析:这是一个行程问题中的追及问题,其基本关系式为:
(1)追者(乘车的学生)所行的路程=被追者(骑自行车的学生)所行的路程(因为他们是从同地但不同时出发的)。
(2)骑自行车的学生所需要的时间—先行时间=乘车者全程所需时间。
如果设自行车的速度是x千米/时,那么汽车的速度是3x千米/时,自行车和汽车行驶12千米所需要时间分别是2/x时和12/3x时,代入上述(2)中就要列出方程。
解:设自行车的速度是xkm/时,那么汽车的速度是3xkm/时,它们行驶12千米所用的时间分别是12/x时和12/3x时,由题意得:
12/3x=12/x―1/2
∵4/x=12/x―1/2,∴x=16
经检验x=16是原方程的根,且符合题意,
当x=16时,3x=48。
答:自行车的速度是16千米/时,汽车的速度是48千米/时。
注意:(1)本例属于行程问题,基本等量关系有:①路程(s)=速度(v)×时间(t)
②相遇问题:速度和×时间=总路程
甲走的路程+乙走的路程=总路程
③追及问题:快走所走的路程―慢走所走的路程=路程差;
速度差×追及时间=路程差
(2)本例还可以设汽车到达目的地时间为t,则自行车到达目的地时间为(t+1/2),那么根据汽车的速度是自行车速度的3倍,可得方程:
12/t=3×12/(t+1/2)
例3:一项工作,甲独做比乙独做少用5天,若甲、乙两人合做,6天完成,问甲、乙单独做,各需几天完成?
分析:(1)这是一类工程问题,基本关系有:
工作量=工作时间×工作效率;
工作总效率=各效率之和
工作总量=各分量之和
(2)设甲独做这项工作需x天完成,那么乙独做需(x+5)天完成,甲每天可完成工作的1/x,乙每天可完成这项工作的1/(x+5),设该项工作总量为1,根据两人合做6天完成可列出方程
解:设甲独做这项工作要x天完成,那么乙独做要(x+5)天完成,根据题意,得
[1/x+1/(x+5)]×6=1
整理得x-7x-30=0,x1=10,x2=―3
经检验,x1=10,x2=―3都是原方程的根,但完成工作天数为负数,不合题意,故x2=―3应舍去 ∴X=10,此时X+5=15
答:甲、乙单独完成这件工作分别需10天、15天
例4:甲、乙两个建筑队完成某项工程,若两队同时开工,12天就可以完成工程;乙队单独完成该工程比甲队单独完成该工程多用10天.问单独完成此项工程,乙队需要多少天?
由上述的六个步骤求解如下:
(1)设乙单独完成工程需x天,则甲单独完成工程需(x?10)天;
(2)甲做1天的工作量+乙做1天的工作量=甲、乙两人合做1天的工作量;
(3)根据题意,得2111??; x?10x12
2 2 (4)解这个方程:去分母,得x-34x+120=0,配方,得(x-17)=169,两边开平方,得x-17
=±13,即x 1=30,x 2=4;
(5)经检验,x 1=30,x 2=4都是原方程的根,当x=30时,x-10=20,当x=4时,x-10=-6,因为时间不能为负数,所以只能取x=30;
(6)答:乙队单独完成此项工程需要30天.
为了能说明问题,下面我们再举几例:
例5:为加强防汛工作,市工程队准备对苏州河一段长为2240米的河堤进行加固.由于采用新的加固模式,现在计划每天加固的长度比原计划增加了20米,因而完成此段加固工程所需天数将比原计划缩短2天.为进一步缩短该段加固工程的时间,如果要求每天加固224米,那么在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加多少米?
解:设现在计划每天加固河堤x米,则原计划每天加固河堤(x-20)米;原计划完成全部工程需2240x?20
天,现在只需2240x天,由题意可得
222402240-x?20x=2, 去分母,整理,得x-20 x-2240=0.
解得x1=160,x2=-140(舍去).
所以224-160=64(米).
答:在现在计划的基础上,每天加固的长度还要再增加64米. 说明:这是一道工程问题,常用的基本关系有:工程总量=工程完成时间. 工作效率
例6:便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衬衫,就用8000元购进若干件,
以每件58元的价格出售,很快售完,又用17600元购进同种衬衫,数量是第一次的2倍每件进价比第一次多了4元,服装店仍按每件58元出售,全部售完,问该服装店这笔生意盈利多少元?
解:设从株洲第一次进货每件为x元,则第二次进货每件为(x+4)元.
由题意可得2×800017600=. xx?4
去分母,整理,得16000(x+4)=17600 x.
解得 x=40.
经检验,x=40是原方程的解. 所以共进衬衫数为:800017600?=600, 4044
所以盈利数为600×58-(8000+17600)=9200(元).
答:该服装店这笔生意盈利9200元.
说明:这是一道与市场营销有关的问题,常见的数量关系有:商品单价×销售数量=销售额;销售利润=(商品售价-进货价)×销售量;利润率=商品净利润×100%;商品打折销售中,a折销这批商品的进价
售价=原价×a(0<a<10,a取整数). 10
例7:一自行车队进行训练,训练的路程是55千米,出发后所有队员都保持相同的速度前进,行进一段路程后,1号队员将速度提高10千米超出队伍,当其余队员又前进20千米后,2号队员的速度也提高了10千米,结果2号队员比1号队员晚
是多少?
解:设车队出发时的速度是x千米/时, 由题意可得1小时到达终点,问车队从出发至最后的队员到达终点所花的时间1020201-=. xx?1010
2去分母,整理,得x+10 x-2000=0.
解得x1=40,x2=-50(舍去).
所以55÷40=11(小时) 8
11小时. 8
=时间;追及问题时的数量关系是:答:整个车队从出发至最后的队员到达终点所花的时间是说明:这是一道行程类问题,常见关系量有:路程速度
同一路程同一路程-=时间差. 慢速快速
范文四:关于分式方程的题目 巧解分式方程
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巧解分式方程:
分式方程的常规解法是通过去分母或换元法把分式方程化为整式方程求解,但有一些特殊的方程用特殊方法会更快更好。
1. 颠倒分子、分母法
2x解方程:/(x2+x)=1/(x-1)
解:?x?0,方程化为(x2+x)/x=x2-1?x+1=x2-1(下略)
2. 拆项法
解方程:1/(x+2)+4x/(x2-4)+2/(2-x)=1
解:原方程变化为:1/(x+2)+2/(x+2)+2/(x-2)-2/(x-2)=1.?3/(x+2)=1.(下略)
3. 分解因式法
解方程:3/(x2+x-6)=1/(x+3)
1
4. 合比性质法
解方程:(x2+3x+2)/(x2-3x+2)=(2x2+3x+1)/(2x2-3x+1)
解:由合比性质,方程两边同时减1得:6x/x2-3x+2=6x/
x2-3x+1.?6x=0或x2-3x+2= x2-3x+1
5. 韦达定理法
解方程:2(x2+1)/(x+1)+6(x+1)/(x2+1)=7
?2(x2+1)/(x+1)*6(x+1)/(x2+1)=12
?2(x2+1)/(x+1),6(x+1)/(x2+1)是方程y2-7y+12=0的两根。
解此方程得:y1=3,y=4 2
6. 拆项法
解方程:(x-4)/(x-5)-(x-5)/(x-6)=(x-7)/(x-8)-(x-8)/(x-9) 解:?分子与分母都相差1,?每个分式都可拆为1+1/(x-n)的形式。得:
1/(x-5)-1/(x-6)=1/(x-8)-1/(x-9)
又两边分别通分得:1/(x-5)(x-6)=1/(x-8)(x-9)
由分式相等得:(x-5)(x-6)=(x-8)(x-9)解得x=7
7. 合并法:
解方程:1/(1-x)+1/(1+x)+2/(1+x2)+4/(1+x4)=8
解:左边合并得:8/(1-x8)=8解得:x=0
8. 换元法
解方程:(x2-2)/(x+3)-(6x+18)/(x2-2)+1=0
2
9. 对称法:若方程f(x)+1/f(x)=c+1/c则有:f(x)=c,f(x)=1/c 解方程:x+1/(x-1)=a+1/(a-1)
解:原方程变形为:(x-1)+1/(x-1)=(a-1)+1/(a-1)
?(x-1)=(a-1);(x-1)=1/(a-1)
解得:x1=a。x2=a/(a-1)
10. 确定范围法
解方程:1/x+1/(x+1)+1/(x+2)=47/60 (x为正整数)
解:因为x为正整数,所以1/x,1/(x+1),1/(x+2)
所以有1/x,47/60※1/3,且1/((x+2),47/60※1/3,故有86/47,x,180/47 因为x为正整数,所以x=2或x=3
经检验x=3是原方程的解。
11. 移项通分
解方程:
1 111-=+(a+bx+a x-bba
-xx=a(x+a)b(x-b)
x[(a+b)x+(a2-b2)]=0
解得x=0或x=b-a
经检验x=0或x=b-a是原方程的解。
3
注:以上分式方程解的结果都要经检验才能确定原方程的根.
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范文五:分式方程的应用
分式方程的应用(2) 导学案
孟芬芬(初二数学备课组)
教学目标
1. 经历将实际问题中的等量关系用分式方程表示的过程,体验建立分式方程模型的思想,会用分式方程解决简单的实际问题。
2. 通过创设贴近学生生活实际的现实情境,培养学生提出问题解决问题的能力。 教学重点:找出实际问题中的等量关系并用分式方程表示。
教学难点:根据所提供的情境提出问题并解决问题。
一.课前检测
1. 列分式方程解应用题的步骤
①审 ; ②_____ ;③_____ ;④_____ ; ⑤_____; ⑥答 。
2. 填空:某单位有x 间房出租,所有房屋出租的总租金为y 元,那么每间房屋的租金是________元;某单位有些房屋出租,每间房屋租金为a 元,所有房屋出租的总租金为y 元,则有_________间房屋出租.
二.自主探究
下面是老师为你提供的一个应用情境,请你仔细阅读,并思考作答。
某小区有一些房屋出租。据调查统计,所有房屋都已租出去,每间房屋的租金第二年比第一年多500元,第一年出租的总租金为96000 元,第二年出租的总租金为102000 元。
(1)请你找出这一情境中所有涉及到的已知量与未知量。
答:_______________________________________________
(2根据这一情景,请你提出问题把题目补充完整。
答:_______________________________________________
(3)请你找出这一情境中的等量关系(包括隐含的)。
答:_______________________________________________
(4)请你解决你提出的问题。
答:_______________________________________________
三.合作互学
在小组内讨论交流刚才你提出的问题和解决的方法,完善后以小组的统一方案写在下面:
四.梳理提升
1. 用分式方程解应用题,最关键的是什么呢?
2. 你还有其他的收获吗?
五.课后检测
练习:某工人师傅先后两次加工零件各1500个,当第二次加工时,他革新了工具,改进了操作方法,结果比第一次少用了18个小时。已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍,求______________________?
(1) 请你把题目补充完整。
(2) 请你解决你所提出的问题。
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