范文一:1矩阵初等变换的定义docx2
1 矩阵初等变换的定义
在线性代数中,矩阵的初等变换时指以下三种变换: (1) 交换矩阵的任意两行(列):(); ,,ccrrjiij(2) 用一个非零常数k乘矩阵某一行(列)的所有元素:k(); rrji(3) 把某一行(列)的所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去:
+k(+k)。 ccrrjiij
2用矩阵初等变换求逆矩阵、解矩阵方程
2.1求逆矩阵
设A是n阶可逆矩阵,求逆矩阵如下:
,1初等行变换AE E,,,,,,,,,A
,,AE,,初等列变换 ,,,,,,,,,,1,,E,,,,A
132,,,
,, 例1 求矩阵的逆矩阵。 ,301,,,,111,,
132100,132100,,,,,+3rr21-+,,,,rr13AE 解 = ,301010097310,,,,,,,,,,,,,,,111001043101,,,,,,
132100,101236,,,,,,,,,,3rr21,2,4,,,,rrrr2323,,,,,011112,011112,,,,,,,,,,,,,,043101,,001349,,,,
100113100113,,,,,,,,,,RRR132,,,,,010237,,,,,,,,010237,,,,, ,RR32,,,,001349001349,,,,
113,,
,1,,,237A,,所以,,349,,
012,,
,,例2 求矩阵的逆矩阵。114,,,,210,,,
012102102,,,,,,,,,,,,114114014,,,,,,,,,,,,210,,120,320A,,,,,CCCC1221解,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,100010,110E,,,,,,,,,,,,,,010100100,,,,,,,,,,,,001001001,,,,,,
100,,100100,,,,,,010,,,,,,014010,,,,,,,3211,,,,,,326,,322,,,,4C,,3CCCC13232,,,,,,,,,,,,,,,111,,,,,,,112,,112,,,,,,101,,,,102,102,,,,,,,1,,,,,,00,001001,,,,,,,,2
100100,,,,
,,,,010010,,,,
,,,,,210013,,,2,,,,CCCC3132 ,,,,,,,,,,211211,,,,,,,,,401421,,,,,,,3131,,,,0,,1,,,,,,22,,22
,,
,,211,,,,1所以 421,,,,A
,,311,,,,22,,
2.2求矩阵的方程
,1BA(1)AX=B,若A可逆。则X=
,1初等行变换AB,,,,,EB,,,,A
,1 (2) XA=B,若A可逆,则X=B A
,,AE,,初等列变换,,,,,,, ,,,1,,BB,,A,,
,,11C(3)AXB=C,若A、B均可逆,则X= AB
,,,,BE,1初等行变换初等列变换ACEC,,,,,,,,,,,,,,,,首先做作 再作 ,,A,,,111,,,,CCAAB,,,,
,,11C这样可求得X=。 AB
11112100,,,,
,,,,01111210,,,,设X是一个未知矩阵,如果有A=,B=,且例3 ,,,,00110121
,,,,00010012,,,,
AX=B,试求X。
,1B解 因为A可逆,所以X= A
1111210010001110,,,,,,,,,,,,rr210111121001001111,,,,rr32,,,,AB,,,,,,, ==,,rr,,,,430011012100100111,
,,,,0001001200010012,,,,
EX,,
1110,,,,
,,1111,,,,即X= ,,0111,
,,0012,,
200111,,,,,
,,,,025231,例4 记A=,B=,求解XA=B。 ,,,,,,,,038341,,,,,
100100,,,,
,,,,200,,021012,,,,,,025,,,,032023,,1,,,,,,038A,,,C111CC223,,,,,,,,,,,,,,,,解 =,1331,,, ,,2CC23B111,,,,,,,22,,,,,,,,137,173,231,,,,,,,,,,,,,33341,,,,4994,,,,,,,2,,2
100100,,,,
,,,,010010,,,,
,,,,001021,
,,,,E,2,2,,11cccc2332,,,,,,,,,,,,,,= ,11737,,,,c3X,,,,,,22,,,,12717,1717,,,,,
,,3,,3,3522922,,,,,,,2,,2
1,,,117,,2,,12717,即X= ,,
,,3,,,35222,,
117941,,,,,,X例5 解矩阵方程=。 ,,,,,,,,130145,,,,,,
117941,,,,,,解 记A=,B=,C=,则原方程可化为AXB=C, ,,,,,,01,,1345,,,,,,,1,1B则X= CA
11411054,,,,,,,1rr21AC== EC,,,,,,,,,,,,,A0113,,0113,,,,,,
1910,,,,
,,,,44179,,,,,,5,,,,,,,7771,,45B,,9,7c1ccc1227,,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,,5517 ,1,,,,54,,,,4,CA,,777,,,,,,,,13,,,,,,1112,,3,,,,,,777,,,,
,7c2,,,,
10,,
,,410,,,,1 ,,,,74,,01cc217,,,, ,,,,,5,,,,,917177,,,,,712,,,,1,12,,7,,
,917,,即X= ,,,712,,
3解线性方程组
(1)非齐次线性方程组 AXb,
?线性方程组有解得充分必要条件:
RAbRARAn,线性方程组有解的充分必要条件是=。且当 时有 ,,,,,,
RA唯一解;当<时有无穷多解。>时有无穷多解。>
?利用增广矩阵的初等行变换求解线性方程组的三种情形:
Ab 增广矩阵经过一系列初等行变换,其非零行(即指元素不全为零的行),,
变现为下列三种形式:
,,aaad111211n,,0aad2222n,,,0 () aaa1122nn,,
,,,,00adnnn,,
RAbRAn,即阶梯形矩阵非零行个数等于未知量个数时(=),方程组有,,,,唯一解。
,,aaaaad111211111rrn,,,0aaaad2222122rrn,,,() rn,,,
,,,,00aaadrrrrrnr,1,,
RAbRAn,,即当阶梯形矩阵非零行个数小于未知量个数时(),方程组,,,,有无穷多解。
,,aaaaad111211111rrn,,,0aaaad2222122rrn,,,
,,,,,0,1rn () dr,1,,00,,aaadrrrrrnr,1
,,00000d,,r,1
RAbRA,即出现一行其最后一个元素不为零都为时(),方程组无解。 ,,,,
AX,0(2)齐次线性方程组
RAn, ?齐次线性方程组有非零解得充要条件是。 ,,
?齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数时()必有非零解。 mn,
RAn,?齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知量个数时()只有零解。 ,,
例 6解下列线性方程组。
31037,,,,,xxxxxyz,,,246247xyzw,,,,1234,,,,,,,,,47633816xyz,,,xzw,,,,234,,,xxxx1234??? ,,,4914xyz,,,8221xyzw,,,,,2725,,,,,,,xxxx1234
,,,256xyz,,,73xyw,,,,,2721,,,,xxxx1234,
解 ?的增广矩阵
31103714716,,,,
,,,,1,,,,1471601111011,,,,,,3(1,4)irrr234rr2i11,,,,A=,,,,,,,,,,,,,1,,,,2rrrr2312,,,,,2172507707,,,r37,,,,351417,077411,,,,,,,,1471610312,,,,,,,,0110101101,,,,4,,,rrrrrr212331,,,,,,,,,,, ,,,,,1,,,,,,,0110100011rrr4344,,,,00044,,00000,,,,10301,,
,,01101,, ,,00011
,,00000,,
,,,13xx13,,; 故?的一般解为,,1,xx23,1,,x4,
?的增广阵阵
1124,1124,,,,,
,,,,062433816,,,,3,4,,2rrrrrr121332,,,,B,,,,,,,= ,,,,,,,2rr14,,,,0312,41914,
,,,,0312,2156,,,,
1124,,,
,,0008,,,有0=8而矛盾~?无解; ,,0312,
,,0312,,,
?的增广矩阵
61247,10234,,,,,,,,,10234,01141431,,,,,,6,8,,,(3,4)irrrrrr21232i,,,,=,,,,,,,,,,,,,C,,,7,rrrr2412,,,,81221,01142231,,,,,,71013,01142231,,,,,,10034,10204,,,,,
,,,,1,,,,0114031,01142231,,rrr3438,,,,, ,,,,,,,,,,22,3rrrr,,3231,,0001000080,
,,,,0000000080,,,,,
xz,,,42,
,?的一般解为. yz,,3114,
,w,0,
,,,,50,xxxx1234,,,,,230,xxxx1234例7 解线性方程组 ,380,,,,,xxxx1234
,,,,,3970xxxx1234,
A解 将系数矩进行初等行变换化为行最简形
1151,,1151,,1151,,,,,,,,,,,,,,,rr210274,11230274,,3,rrrr3231,,,,,,,,,,,A, ,,,,2,,rr42rr,,,,,,410274,00003181,
,,,,,,04148,00001397,,,,,,,
3,,1151,,101,,,,2,,,,71,,7012,,r,,2rr122012, ,,,,,,,,,,2,,2,,0000,,,,0000,,,,0000,,,,0000,,RA,,24故(有4-2=2个自由未知变量) ,,
3,,,,0xxx134,,2得同解方程组为 ,7,,,,20xxx234,,2
3,,,,xxx134,,2,选取为自由变量,并移项得 ,xx347,,,2xxx234,,2
3,,,,xcc112,2,7,,,2xcc,,R其通解为 () 212,cc122,,,xc31
,,xc,42
4 用矩阵的初等变换化二次型为标准型
f,,属域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换 ,,xxx12n
,X=CY将其化为标准型,即存在可逆矩阵C使CACB,(对角矩阵)。故对实对称矩阵A,存在初等矩阵有,从而有C,,,ppPPPP12S1s2
,,,是一个对角矩阵。 AB,PPPPPPSS2112
由上述可得到用矩阵的初等变换化二次型为标准型的基本方法: 设元实二次型 n
,fXAX,
A,,2nn,A于是构造矩阵并对子块施行一系列的初等行变换的同时,对矩阵,,E,,
,,d1,,A,,d2,,AB,施以同样的初等列变换,当子矩阵化为对角矩阵,,,,E,,,,,,dn,,
,ECCACB,XCY,时,子块就化为,使得.此时若含,则二次型化为标准型
222,,fXAXYBY,,,,,,yyyddd12n12n 例8 将二次型
222f,,210282,,,,,,,,xxxxxxxxxxxx123123122313
化为标准形,并求出相应的线性变换。
111,,
,,A,124,,解 题中二次型的矩阵为,由上面的初等变换法化二次型为标准,,1410,,
形的步骤可知:
111100100,,,,,,
,,,,,,124013010,,,,,,
,,,,,,1410039000A,,,,,,,,,,,,,, 100111,,112,E,,,,,,,,
,,,,,,010010013,,,,,,,,,,,,,001001001,,,,,,
112,,,
,,XCY,C,,013,,所以作线性变换,其中,则二次型化为标准形,,001,,
22f,,yy12。
5用矩阵初等变换求矩阵的特征值和特征向量
,EA,,EA,,0AA 设任意阶矩阵,则矩阵的特征矩阵,的根就是矩阵n,,
,EAX,,0A全部特征值。特征值特征值,再求的基础解析,就是矩阵的特,,征值的特征向量。分开求是相当繁的。下面介绍用矩阵的初等变换同时求特征
值和特征向量的方法。
TBAEE,,,(1) 写出矩阵; ,,,,
B(2) 对矩阵施行初等行变换,即
T初等行变换BAEEDPC,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,
DP,,,E 其中为含有的上三角矩阵,为单位矩阵经过初等变换而得到,,,,的矩阵;
D,,(3) 令的主对角线元素之积为零,求出的值,即为特征值(,,ri
in,1,2,,);
in,1,2,,C(4) 将求出的()代入矩阵中,再进行初等行变换,即对ri
D进行初等行变换,当化为阶梯形(最简形)且非DP,,,,,,,,,,,iii
P零行的个数为时,中的行向量的转置就是对应的特征向 rnr,,,,,ii
量。
,110,,
,,例 9 用矩阵的初等变换法求特征值与特征向量,其中。 A,,430,,,,102,,
解
,,,141100,,,T,,,rr21, AEE,,,,,,130010,,,,,,,,,,002001,,,,
130010,,,,
,,1,,,,,rr21 ,,,,,,,,,141100,,,,,,,002001,,,,
130000,,,,
,,2,DP,,,, 010010,,,,,,,,,,,,,,,
,,002001,,,,
D, 令的主对角线元素之积为零,即 ,,
2,,,,210,, ,,,,
得特征值
,,,21, ,,,122
,2 当时, ,1
110010,,
,, ,DP011020,,,,,,,,11,,,,000001,,
0,,
T,,,2因,于是对应的特征向量为P,, 0,0,10RD,2,,,,,,,,11,,,,1,,
,0,2对应的全部特征向量为。 ,,kk,P1111
,,1 当时 ,,23
120101,,
,, ,DP001121,,,,,,,,,22,,,,001001,,
120010,,
,, 001120,,,,000121,,,,
,,1因 ,于是对应的特征向量为RD,2,,,,,,,232
,1,,T,,,,,,,1,2,12,,p,,2 ,,1,,
,0,,kkP222此时的全部特征向量为。
6用矩阵初等变换求向量组的极大线性无关组及其秩
用矩阵初等变换求解向量组的极大线性无关组及其秩的基本方法为:首先 以向量组中的各向量为列作成矩阵
范文二:1 矩阵初等变换的定义.docx2
1 矩阵初等变换的定义
在线性代数中,矩阵的初等变换时指以下三种变换: (1) 交换矩阵的任意两行(列):(); ,,ccrriijj(2) 用一个非零常数k乘矩阵某一行(列)的所有元素:k(); rrij
(3) 把某一行(列)的所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去:
+k(+k)。 ccrriijj
2用矩阵初等变换求逆矩阵、解矩阵方程
2.1求逆矩阵
设A是n阶可逆矩阵,求逆矩阵如下:
,1初等行变换AE?E? ,,,,,,,,,A
,,EA,,初等列变换 ,,,,,,,,,,1,,E,,,,A
132,,,
,,,301 例1 求矩阵的逆矩阵。 ,,,,111,,
132100,132100,,,,,+3rr21-+,,,,rr13AE?,301010097310, 解 = ,,,,,,,,,,,,,,111001043101,,,,,,
132100,101236,,,,,,,,,,3rr21,2,4,,,,rrrr2323011112,011112,,,,,,,,,,,,,,,,,,,043101,,001349,,,,
100113100113,,,,,,,,,,RR13R2,,,,,010237,,,,010237,,,,,,,,, ,RR32,,,,001349001349,,,,
113,,
,1,,,237A,,所以,,349,,
012,,
,,例2 求矩阵的逆矩阵。114,,,,210,,,
012102102,,,,,,,,,,,,114114014,,,,,,,,,,,,210,,120,320A,,,,,CCCC1221解,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,100010,110E,,,,,,,,,,,,,,010100100,,,,,,,,,,,,001001001,,,,,,
100,,100100,,,,,,010,,,,,,014010,,,,,,,3211,,,,,,326,,322,,,,4C3,,CCCC13232,,,,,,,,,,,,,,,,,,,111,,,112,,112,,,,,,101,,,,102,102,,,,,,,1,,,,,,00,001001,,,,,,,,2
100100,,,,
,,,,010010,,,,
,,,,,210013,,,2,,,,CCCC3132 ,,,,,,,,,,211211,,,,,,,,,401421,,,,,,,3131,,,,0,,1,,,,,,22,,22
,,
,,211,,,,1421,,所以 ,,A
,,311,,,,22,,
2.2求矩阵的方程
,1BA(1)AX=B,若A可逆。则X=
,1初等行变换AB?,,,,,EB?,,,,A
,1 (2) XA=B,若A可逆,则X=B A
,,AE,,初等列变换,,,,,,, ,,,1,,BB,,A,,
,,11C(3)AXB=C,若A、B均可逆,则X= AB
,,,,BE,1初等行变换初等列变换ACEC??,,,,,,,,,,,,,,,,首先做作 再作 ,,A,,,111,,,,CCAAB,,,,
,,11C这样可求得X=。 AB
11112100,,,,
,,,,01111210,,,,例3 设X是一个未知矩阵,如果有A=,B=,且,,,,00110121
,,,,00010012,,,,
AX=B,试求X。
,1B解 因为A可逆,所以X= A
1111210010001110,,,,,,,,,,,,rr210111121001001111,,,,rr32,,,,AB?,,,,,,, ==,,rr,,,,430011012100100111,
,,,,0001001200010012,,,,
EX?,,
1110,,,,
,,1111,,,,即X= ,,0111,
,,0012,,
200111,,,,,
,,,,025231,例4 记A=,B=,求解XA=B。 ,,,,,,,,038341,,,,,
100100,,,,
,,,,200,,021012,,,,,,025,,,,032023,,1,,,,,,038,AC,,111CC223,,,,,,,,,,,,,,,,,1331,解 = ,,,,2CC23111,B,,,,,,22,,,,,,,,137,173,231,,,,,,,,,,,,,33341,,,,4994,,,,,,,2,,2
100100,,,,
,,,,010010,,,,
,,,,001021,
,,,,,2,2E,,11cccc2332,,,,,,,,,,,,,,= ,11737,,,,c3X,,,,,,22,,,,12717,1717,,,,,
,,3,,3,3522922,,,,,,,2,,2
1,,,117,,2,,12717,即X= ,,
,,3,,,35222,,
117941,,,,,,X例5 解矩阵方程=。 ,,,,,,,,130145,,,,,,
117941,,,,,,解 记A=,B=,C=,则原方程可化为AXB=C, ,,,,,,01,,1345,,,,,,,1,1B则X= CA
11411054,,,,,1,,rr21AC?EC?== ,,,,,,,,,,,A,,0113,,0113,,,,,,
1910,,,,
,,,,44179,,,,,,5,,,,,,,7771,,45B,,9,7c1ccc1227,,,,,,=,,,,,,,,,,,,,,,5517 ,1,,,,,,,,544,CA,,777,,,,,,,,13,,,,,,1112,,3,,,,,,777,,,,
,7c2,,,,
10,,
,,410,,,,1 ,,,,74,,01cc217,,,,,,,,, 5,,,,17,9177,,,,,712,,,,1,12,,7,,
,917,,即X= ,,,712,,
3解线性方程组
(1)非齐次线性方程组 AXb,
?线性方程组有解得充分必要条件:
RAb?RARAn,线性方程组有解的充分必要条件是=。且当 时有 ,,,,,,
RA唯一解;当<时有无穷多解。>时有无穷多解。>
?利用增广矩阵的初等行变换求解线性方程组的三种情形:
Ab? 增广矩阵经过一系列初等行变换,其非零行(即指元素不全为零的行),,
变现为下列三种形式:
?,,aaad111211n,,0?aad2222n,,?,0 () aaa1122nn,,?????,,,,00?adnnn,,
RAb?RAn,即阶梯形矩阵非零行个数等于未知量个数时(=),方程组有,,,,唯一解。
??,,aaaaad111211111rrn,,,0??aaaad2222122rrn,,,() rn,,,????????,,,,00??aaadrrrrrnr,1,,
RAbRAn?,,即当阶梯形矩阵非零行个数小于未知量个数时(),方程组,,,,有无穷多解。
??,,aaaaad111211111rrn,,,0??aaaad2222122rrn,,,
,,,,,0,1rn () ????????dr,1,,00??,,aaadrrrrrnr,1
,,00000??d,,r,1
RAbRA?,即出现一行其最后一个元素不为零都为时(),方程组无解。 ,,,,
AX,0(2)齐次线性方程组
RAn, ?齐次线性方程组有非零解得充要条件是。 ,,
?齐次线性方程组的方程个数小于未知量个数时()必有非零解。 mn,
RAn,?齐次线性方程组系数矩阵的秩等于未知量个数时()只有零解。 ,,
例 6解下列线性方程组。
31037,,,,,xxxxxyz,,,246247xyzw,,,,1234,,,,,,,,,47633816xyz,,,xzw,,,,234,,,xxxx1234??? ,,,4914xyz,,,8221xyzw,,,,,2725,,,,,,,xxxx1234
,,,256xyz,,,73xyw,,,,,2721,,,,xxxx1234,
解 ?的增广矩阵
31103714716,,,,
,,,,1,,,,1471601111011,,,,,,3(1,4)irrr234rr2i11,,,,,,,,,,,,,,,,,A=1,,,,2rrrr2312,,,,,2172507707,,,r37,,,,351417,077411,,,,,,,,1471610312,,,,,,,,0110101101,,,,4,,,rrrrrr212331,,,,,,,,,,, ,,,,,1,,,,,,,0110100011rrr4344,,,,00044,,00000,,,,10301,,
,,01101,, ,,00011
,,00000,,
,,,13xx13,,故?的一般解为; 1,,,xx23,,1,x4,
?的增广阵阵
1124,1124,,,,,
,,,,062433816,,,,3,4,,2rrrrrr121332,,,,,,,,,,,B,,,,,= ,,2rr14,,,,0312,41914,
,,,,0312,2156,,,,
1124,,,
,,0008,,,有0=8而矛盾~?无解; ,,0312,
,,0312,,,
?的增广矩阵
61247,10234,,,,,
,,,,10234,01141431,,,,,,6,8,,,(3,4)irrrrrr21232i,,,,,,,,,,,=,,,,,,C,,,7,rrrr2412,,,,81221,01142231,,
,,,,71013,01142231,,,,,,10034,10204,,,,,
,,,,1,,,,0114031,01142231,,rrr3438,,,,,,,,,,,, ,,,22,3rrrr3231,,,,0001000080,
,,,,0000000080,,,,,
xz,,,42,
,yz,,3114?的一般解为. ,
,w,0,
,,,,50,xxxx1234,,,,,230,xxxx1234例7 解线性方程组 ,380,,,,,xxxx1234
,,,,,3970xxxx1234,
解 将系数矩进行初等行变换化为行最简形 A
1151,,1151,,1151,,,,,,,,,,,,,,,rr210274,0274,1123,3,rrrr3231,,,,,,,,,,,A,,,,, 2,,rr42rr,,,,,,410274,00003181,
,,,,,,04148,00001397,,,,,,,
3,,1151,,101,,,,2,,,,71,,7012,,r,,2rr122012,,,,, ,,,,,,2,,2,,0000,,0000,,,,,,0000,,,,0000,,
RA,,24故(有4-2=2个自由未知变量) ,,
3,,,,0xxx134,,2得同解方程组为 ,7,,,,20xxx234,,2
3,,,,xxx134,,2,选取为自由变量,并移项得 ,xx347,,,2xxx234,,2
3,,,,xcc112,2,7,,,2,,R其通解为 () xcc212,cc122,,,xc31
,,xc,42
4 用矩阵的初等变换化二次型为标准型
属域P上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换 f,,?,,xxx12n
,CACB,X=CY将其化为标准型,即存在可逆矩阵C使(对角矩阵)。故对实对称
C,?矩阵,存在初等矩阵有,从而有,,?AppPPPP12S12s
,,,AB??,是一个对角矩阵。 PPPPPPSS2112
由上述可得到用矩阵的初等变换化二次型为标准型的基本方法: 设元实二次型 n
,fXAX,
A,,2nn,于是构造矩阵并对子块施行一系列的初等行变换的同时,对矩阵A,,E,,
,,d1,,A,,d2,,施以同样的初等列变换,当子矩阵化为对角矩阵AB,,,,,?E,,,,,,dn,,
,CCACB,XCY,时,子块就化为,使得.此时若含,则二次型化为标准型 E
222,,fXAXYBY,,,,,,?yyyddd12n12n
例8 将二次型
222f,,210282,,,,,,,,xxxxxxxxxxxx123123122313
化为标准形,并求出相应的线性变换。
111,,
,,A,124,,解 题中二次型的矩阵为,由上面的初等变换法化二次型为标准,,1410,,
形的步骤可知:
111100100,,,,,,
,,,,,,124013010,,,,,,
,,,,,,1410039000A,,,,,,,,,,,,,, 100111,,112,E,,,,,,,,
,,,,,,010010013,,,,,,,,,,,,,001001001,,,,,,
112,,,
,,XCY,C,,013,,所以作线性变换,其中,则二次型化为标准形,,001,,
22f,,yy12。
5用矩阵初等变换求矩阵的特征值和特征向量
,EA,,EA,,0 设任意阶矩阵,则矩阵的特征矩阵,的根就是矩阵nAA,,
,EAX,,0全部特征值。特征值特征值,再求的基础解析,就是矩阵的特A,,征值的特征向量。分开求是相当繁的。下面介绍用矩阵的初等变换同时求特征
值和特征向量的方法。
TBAEE,,,?(1) 写出矩阵; ,,,,
(2) 对矩阵施行初等行变换,即B
T初等行变换BAEEDPC,,,,,,,,,,,?? ,,,,,,,,,,
D,P,, 其中为含有的上三角矩阵,为单位矩阵经过初等变换而得到E,,,,的矩阵;
D,,(3) 令的主对角线元素之积为零,求出的值,即为特征值(,,ri
in,1,2,,?);
Cin,1,2,,?(4) 将求出的()代入矩阵中,再进行初等行变换,即对ri
DDP?进行初等行变换,当化为阶梯形(最简形)且非,,,,,,,,,,,iii
Pnr,零行的个数为时,中的行向量的转置就是对应的特征向 r,,,,ii
量。
,110,,
,,例 9 用矩阵的初等变换法求特征值与特征向量,其中。 A,,430,,,,102,,
解
,,,141100,,,T,,,rr21AEE,,? ,130010,,,,,,,,,,,,,,002001,,,,
130010,,,,
,,1,,,,,rr21 ,,,141100,,,,,,,,,,,,,002001,,,,
130000,,,,
,,2010010,,, ,DP,,?,,,,,,,,,,,,,,,,002001,,,,
D, 令的主对角线元素之积为零,即 ,,
2,,,,210,, ,,,,
得特征值
,,,21, ,,,122
,2 当时, ,1
110010,,
,,DP?,011020 ,,,,,,,,11,,,,000001,,
0,,
T,,,2P,,0,0,10RD,2因,于是对应的特征向量为 ,,,,,,,,11,,,,1,,
,2,0对应的全部特征向量为。 ,,,kkP1111
,,1 当时 ,,23
120101,,
,, DP?,001121,,,,,,,,,22,,,,001001,,
120010,,
,, 001120,,,,000121,,,,
,,1因 ,于是对应的特征向量为RD,2,,,,,,,232
,1,,
T,,,,,,,1,2,12,,p,,2 ,,1,,
,0,,kkP222此时的全部特征向量为。
6用矩阵初等变换求向量组的极大线性无关组及其秩
用矩阵初等变换求解向量组的极大线性无关组及其秩的基本方法为:首先 以向量组中的各向量为列作成矩阵
范文三:矩阵的初等变换
矩阵的初等变换及其应用
作者(学号):李婷婷(20072238) 学 校 名 称: 皖西学院 系 别: 应用数学学院 专 业: 信息与计算科学 班 级: 0701班 指 导 老 师: 岳 芹
二 ○ 一 一 年 六 月
矩阵的初等变换及其应用
作 者 李婷婷 指导老师 岳 芹
摘要: 本文从矩阵的初等变换的概念出发,以具体实例为依据,总结了矩阵初等变换在线性代数中的一些应用.可以用来求逆矩阵、求矩阵的秩、求向量组的极大无关组、证明向量组等价,判断向量组的线性相关性、解矩阵方程和化二次型为标准形等.另外,简单介绍了矩阵的初等变换在其他方面的应用. 关键词:矩阵;初等变换;应用
The elementary transformation of matrices and its applications
Abstract: Starting with the concept of the elementary transformation of matrices summarizes , based on examples, applications of the elementary transformation in liner algebra are summarized. It can be used to find inverse matrices, rank of a matrix and enormous liner independence group of a class of vectors, and prove the equation of vector groups, judge the linear independence of a vector group, solve matrix equations and change a quadratic form from quadratic form to standard form and so on. In addition, applications of the elementary transformation of matrices in other aspects is simply introduced.
Key words: matrix; elementary transformation; application
1 引言
在数学名词中,矩阵(英文名Matrix)是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据,这个定义很好地解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵,这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.
矩阵是数学中的一个重要内容,是线性代数核心,在自然科学、工程技术和经济领域都有广泛的应用.矩阵的初等变换是矩阵中一种十分重要的运算,它在解线性方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用.由于矩阵的初等变换计算简洁,便于应用,是研究代数问题的一个重要工具.如何巧妙地运用初等变换去解决数学中有些运算复杂的问题会起到事半功倍的效果.本文将对矩阵的初等变换在线性代数中的若干应用进行了简要讨论,首先给出了矩阵初等变换的定义,然后对其相关的各方面的应用,结合具体实例进行总结。这些实例更体现了矩阵的初等变换在数学中的重要地位. 2 基本概念
定义2.1 对矩阵施行下面的三种变换称为矩阵的初等行(列)变换: (1) 交换矩阵的两行(列);
(2) 以一个数k ??0乘矩阵某一行(列)的所有元素;
(3) 把矩阵的某一行(列)所有元素的k倍加到另一行(列)对应的元素上去. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.
定义2.2 如果A经过有限次初等变换变为矩阵B,称矩阵A与 B等价,记为A?B. 定义2.3 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着下面三种初等矩阵:
(1) 交换单位矩阵E中的第i,j两行(列),得到初等矩阵:
?1???
????1
??0??
?
1?
???第i行??1
?? E(i,j)??
?1
??
?
?
???1???1
?
?
????第j行??1
????
???
1??
(2) 以数k ? 0乘以单位矩阵E的第i行(列),得到初等矩阵:
?1????
???1
? E?i?k??
??k
?
??? 第行
j ??1
??
?????
1??
(3) 把单位矩阵E的第i行的k倍加到第j行上,得到初等矩阵:
?1
????
???1??第i行
E?ij?k??
??????? ???k
?
1
??第j行
??
???
1??
(2.1)
(2.2)(2.3)
定义2.4 在m ? n阶矩阵A中,任取k行和k列(k ? m,k ? n),位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.
定义2.5 矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记作R( A ).
性质2.1 矩阵的每一种初等变换都是可逆的,即若矩阵A经过一次行(列)初等变换变为矩阵B,则矩阵B也可以经过一次同种行(列)初等变换变为矩阵A.
性质2.2 矩阵的相等关系是一个等价关系,即矩阵的相等关系满足:(设A,B,C,是任意三个同型矩阵) (1) 自反性 A?A;
(2) 对称性 若A?B,则B?A; (3) 传递性 若A?B,B?C,则A?C.
性质2.3 初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆是同类型的初等矩阵,即
E?i,j?
?1
?E?i,j? , E?i?k??
?1
1?1
?E(i()) , E(i,j(k))?E(i,j(?k))
k
(2.4)
性质2.4 设A是一个m ? n阶矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于对A左乘以相应的m阶初等阵;对A施行一次初等列变换,相当于对A右乘以相应的n阶初等矩阵.即 (1) A~B?E?i,j?A,A~B?AE?i,j?; (2) A~B?E?i?k??A,A~B?AE?i?k??; (3) A~B?E?i,j?k??A,A~B?AE?j,i?k??. 3 矩阵的初等变换的应用
本节主要给出了矩阵的初等变换在线性代数中的一些典型应用,简单地介绍了矩阵初等变换在其它方面的应用. 3.1 求矩阵和向量组的秩 3.1.1 求矩阵的秩
定理3.1.1 初等变换不改变矩阵、向量组的秩.
定理3.1.2 R( A ) ??A的行秩(矩阵的行向量组的秩)? A的列秩(矩阵的列向量组的秩). 由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,且任意一个m ? n阶矩阵,均可以经过一系列行初等变换化为m ? n阶梯形矩阵.为了计算一个矩阵的秩,只要用初等行变换把它变成阶梯形,这个阶梯形矩阵中非零行的个数就是原来矩阵的秩.在此过程中也可使用列变换或者两种初等变换同时使用.
ri?krj
ci?kcj
ri?rj
ci?cj
ri?kci?k
例
?6?
1 求矩阵A??1
?1?
404
12?9
?1??
3的秩. ??6??
解: 对矩阵A施行初等行变换,过程如下:
?6
?A?1
??1??1? 0??0?
404044
12?92?11?11
?1?
?r1?r23??????r?r
32
?6??3?
?r3?r2
?19?????
??19??
?1
?1??6??1?0??0?
044040
2?912?110
3?
r2?r1?
?16?????
?r?6r
31
?1??3?
??19
?0??
因为行阶梯形矩阵有2个非零行,所以矩阵A的秩R(A) ??2. 3.1.2 求向量组的秩
向量组? 的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩,记为 ,? ,?,? 12s
R(? ,? ,?,? )?r 12s
(3.1)
如果要求出向量组的秩,可把每一个向量作为矩阵的行(列)从而转化为求矩阵的秩.
例2 求下列向量组的秩.
? ?(2,3,4,5), ? ?(3,4,5,6), ? ?(4,5,6,7),?? ?(5,6,7,8) 1234
T
T
T
T
解: 以? 为行,用初等行变换化为阶梯形矩阵. ,?2 ,? ,?4
1 3
?2
?3??? ,?,?,?) ?1 2 3 4
?4??5
3456
?5?56??6?7?7?84
????
?1?1?15
?1?1??
??
?1?11
???
?1??1?1
??67??8?1
?1000
?11
? ?0?0?
?1?
?200
1300
?????
可见,向量组的秩为?R(? ,? ,?3,? )?2. 1243.2 求矩阵的逆矩阵
定义3.2.1 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使
AB?BA?E
(3.2)
则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵,记作A?1.
定理3.2.1 在通过只用初等行(列)变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E时,对单位矩阵E施行同样的初等变换,就得到A的逆矩阵A?1.
?Α
初等行变换
Ε?????????Ε
?A?初等列变换?Ε?
Α? ; ?????????1? ??Ε???Α?
????
?1
(3.3)
例
?013 利用矩阵的初等变换求矩阵Α?????2
11?1
2?
?
4的逆矩阵. ?0??
解: 作分块矩阵?A
?0
?1??2??1?0??0??1?0??0?
11?111?3110
24042?800?2
64310001001010
E?,对该矩阵施行初等行变换: 0?
?r1?r20??????1??
?1
?0??2?
11?1?1?0??0?
01011000142042?2010
10001324?32
0?
?r3?2r10??????1??10?2?1?21
0?
?r1?2r30??????r?r231???
?1
??2??1
?2?3?2?2
0?
?r3?3r20??????1??
2?
r1?r2?
1??????12r
3
1??
?1?21
?1
?0??0?
? Α?1
?2??4????321?
?1
??12??
3.3 用初等变换求解矩阵方程
矩阵方程AX ? B有解 ? B的每列可由A的列向量线性表出
? R(A)?R(A
B)
若矩阵A可逆,则求解方程AX ? B等价于求矩阵X ? A?1B,可以先求出A?1,再作乘法A?1B,也可采用类似初等行变换直接求出X,即
?A
只用行变换B?????????E
AB? (3.4)
?1
则X ? A?1B.类似地,对于方程XA? B,若A可逆则X ? BA?1.对于方程AX B ? C,若A,B均可逆,则X ? A?1C B?1.
?1
0AX ? B,其中Α?????1
12?1
?1?
?2?0??
?1
1,Β?????2
?111
1?
?0. ?1??
例4 求解矩阵方程
解: 构造分块矩阵?AB?,对其作初等行变换
?Α
?1?Β??0
???1
12?1
?120
112
?111
1?
?r3?r10??????1???1
?0???0
120023
?123
112
?11312131?
?0?0??
1?
?r3?r20??????0??
1?
r2?r3
?3??0????0??
1 ?11 ?11 ?1?
r1?r2?r3
??2??3?? 0 2 21 1 0 ???????? 1 2 0 ?0?21? 0 0?1? 0 2 0?1??0 0 32?
?11
1
?1因此 Χ?Α?1Β???6??4
0?1
?
02???00001
1161212?121
12?133?36
1?
?r3
0????2r
2
0??6??0?0??
?1
?0???0
010
11?1623
.
3.4 求线性方程组的解
给定一个含有n个未知数且由m个方程构成的线性方程组,形如
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1
?
?a21x1?a22x2???a2nxn?b2
?
?????
?ax?ax???ax?b.
m22mnnm?m11
(3.5)
?分别为 并定义其系数矩阵A及增广矩阵Α
?a11
?a21?Α?
????am1
a12a22?am2
????
a1n??a11
??a2na
? , A???21
????
??amn??am1
a12a22?am2
????
a1na2n?amn
b1?
?b2
? ???bm?
(3.6)
用向量形式表示为
?a11?a?21????am1
a12a22?am2
????
a1n??x1
??a2nx
??2??????amn??xm
??b1????
b2
?????Ax?b ???????
b??m?
(3.7)
3.4.1 求齐次线性方程组的解
2,?m)全为零,则称方程组称为齐次线性方程组,向量形式为Ax ? 0,若(3.5)式中bj(j?1,
其中A是上面方程组的系数矩阵,x为所求未知量组成的列向量.
① 用初等行变换将系数矩阵A化为阶梯矩阵,求出R(A).若R (A) ??n,则Ax ? 0只有零解;若R (A) ??n,则Ax ??0有非零解,转入②;
② 对阶梯矩阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵,写出其对应的线性方程组,以非零行首个非零元对应的r个未知量为基本未知量,其余的n ??r个未知量为自由未知量,将自由未知量移到等式右端得到一般解,在一般解中分别令自由未知量中一个为1,其余全为0,求得Ax ? 0的基础解系:?1, ?2,?, ?n?r;
③ n ??r个解向量的线性组合就是Ax ? 0的通解,即:
k1?1?k2?2???kn ??r?n ??r?k1,k2,?,kn ??r为任意常数?
?4x ?2x ?7x ?0 ,?2x 1234
?
?6x ?4x ?3x ?0 , 5 解齐次线性方程组 ?3x 1234
?5x?10x?4x?25x?0 .
1 2 3 4?
(3.8)
例
解: 对方程组的系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵
?2
?3??5???1?0??0?
?4?6?10200
244?2?2?6
7?
?r ?r 1
3???2???25??
??1
?3??5???1?0??0?
2?6?10200
?244?2?20
4?
?r2?3r13??????r?5r
31
25??4??15?0??
4?
?r3?3r 215??????45??
由n?R(A)=4?2=2,基础解系由2个向量组成,每个解中有2个自由变量.
令x2?1,x4?0,解得 x ?2,x ?0,令x2?0,x4?2,解得 x ??22,x ?15.于是 1313
TT
?(2,,,100),? ?(?22,,015,2),通解是k1?1?k2?2, 即 得到 ? 12
?x1
?x
?2
?x3??x4??2???22??????
10
??k???k??, 其中k,k2为任意常数121??0??15??????
02?????
.
3.4.2 求非齐次线性方程组的解
2,?m)不全为0,则称方程组为非齐次线性方程组. 若(3.5)式中bj(j?1,
定理3.4.1 设A是m ? n矩阵,非齐次线性方程组Ax ??b有解的充要条件是系数矩阵A
?). ?的秩相等,即R(Α)?R(Α和增广矩阵A
定理3.4.2 设A是m ? n矩阵,方程组Ax ??b,则
?)?n. (1) 有唯一解?R(A)?R(A
?)?n. (2) 有无穷多解 ?R(A)?R(A
?)? (3) 无解?R(A)?1?R(Ab不能由A的列向量线性表出.
求解非齐次线性方程组的步骤归纳如下:
?),?,并把它化为行阶梯形,并把它化为行阶梯形,若R(Α)?R(Α① 写出Ax ? b的增广矩阵A
则方程组无解.
?)?n,则此方程组有唯一解,这时我们只需要对增广矩阵A?实施一系列的② 若R(A)?R(A
初等行变换使其化为行最简形,由此得出方程组的解.
?1
?0初等行变换???????????A
????0
01?0
00?0
???0?x1??x2 ???x?n
00??
c1??c2
?, 则原方程组的解为 ???cn?
?c1 ?c2 ??cn
(3.9)
?)?n,则此方程组有无穷多解;我们也可以写出它的解. ③ 若R(A)?R(A
例
?6x1?2x2?2x3?x4?3 ,
?
?x2 ?x4?1 ,6 解非齐次线性方程组 ?x1 ?2x ?1?x3?3x4?2 .
解: 对增广矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵
??
?0
?1??0?
?6???1A
??2?
0?12
001
?2?10?711
201
113
3?
?r1?6r21?r????3?2r12??
?1
?0??0?
?0?1??0??102
4?12001
201171
?511
?3?
?r1?2r31?????0??
?1
?0??0?
?120
010
117
1??0?3??
?3?
?r1?r21?????r1?0??1?
?r2?r33?????0??
?)?3,知原方程组有解,且有n ? R(A) ??有1个自由变量. 由R(A)?R(A
先求出相应齐次线性方程组的基础解系,令x3?2,解出x4?0,x2??1,x1??1,所以齐次线性方程组的通解是:k (?1,?1,2,0)T.
再求出非齐次线性方程组的特解,令x3?0,解出x4?37,x2??14,x1?14,特解为
(514,?14,0,7) .
TT
所以方程组的通解是: (5,?3,0,37)?k(?1,?1,2,0),k为任意实数.
T
3.5 判定向量组的线性相关性, 求极大线性无关组
定理3.5.1 向量组??,??,?,?n线性相关的充分必要条件是它们所构成的矩阵
Α=(??,??,?,?n)的秩小于向量个数n;向量组线性无关的充分必要条件是R(A) ??n.
推论3.5.1 设向量组?1,?2,?,? t是向量组A的一个部分组,且满足 (1) 向量组?1,?2,?,? t线性无关;
(2) 向量组A的任一向量都能由向量组?1,?2,?,? t线性表示; 那么向量组?1,?2,?,? t便是向量组A的一个极大无关组.
对于向量组??,??,?,?n,我们要判定其是线性相关还是线性无关,并求出它的一个极大无关组,只需以这组向量为列构成矩阵Α=(??,??,?,?n),进行初等行变换,化成行阶梯形矩阵B.若R(B) ??n,则此向量组??,??,?,?n线性无关;若R(B) ??n,则此向量组线性相关,进而位于B中每个阶梯的最左端的非零元素所在的列对应的原来向量即是构成原向量组的一个极大无关组.
例7 判断下列向量组的线性相关性,并给出该向量组的一个极大线性无关组.
? ??111
4
2? , ? ??12
?
?12
3? , ? ???33
Τ
23
?11? ,? ??14
Τ
310
0?.
Τ
解: 把行向量组成矩阵,用初等行变换化成阶梯形,过程如下:
?1
?1???3??1
1?1231?110
4?23104?330
2??
1?4?
?2 ??11??
3?0??
4
?1?0??0??0
1?252
4?6152?1?0??0??0
2??
1?
?? 2?
1?2
??3??5?? 3 1?
?? ?2?? 411?100
4?300
2?
?(? ?? )2112?
0?(??3?)?(???)
3 1 2 1
?520?? ?2?
41
?1
?0??0??0
2?
?(? ?? )2112???1?(??3?)
3 1
?50?
? ?? +? ??
4121
? 1? 1
阶梯形矩阵中有两个非零行的向量,知向量组的秩是2,可见向量组? 线性相关,非,? ,?3,? 124
(???),所以?,?是极大线性无关组. 零向量是?
1 2 1 1 2
2
3.6 判断两向量组是否等价
如果向量组(Ⅰ)? 中的每个向量都可以由向量组(Ⅱ)? , ? ,?,? ,? ,?,?s中向量12m12
线性表出,则称向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出.如果两个向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组等价.
如果向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表出,且R(? , ? ,?,? )?R(? ,? ,?,?s),则两12m12
向量组等价.因此,判断两向量组是否等价,只需要对以? 与? , ? ,?,? ,? ,?,?s为列构12m12成的矩阵(A ?B)施行初等变换,使其化为阶梯形矩阵,分别得到R(A),R(B).若R(A) ?R(B),则向量组等价,否则它们不等价.
例8 判断下列向量组是否等价.
?1?(1,?1, 1,?1),?2?(3, 1,, 13),?1?(2,0,1,1), ?2?(1,1,0,2), ?3?(3,?1, 2,0).
Τ
Τ
Τ
Τ
Τ
解: 以?1,?2,?1 ,?2, ?3为列构成矩阵(A ?B),然后对它施行初等行变换化成阶梯形:
?1
??1
(Α?Β)??
?1???1?1?0??0??0
30?20
20?10
311310?10
2011
1102
3?r2?r1
??1?r1
3??r?????r4?r12?0?
?1?0??0??0
?1?0??0??03?200
34?262?100
22?131?100
12?13
3??2?2r3
2??r?????r4?3r3?1?3?
?1?0??0??0
3200
2100
1100
3??1?0??0?
3??0?r3
2??r????
?1??0?3???1r????2??0??0?
由阶梯形矩阵可得R(A) ?2,容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式,故知R(B) ? 2.又R(B)?R(A ?B)?2,则R (B) ? 2.
因此 R (A)?R (B),所以向量组?1,?2与向量组?1 , ?2 , ?3等价 3.7 求矩阵的特征值
定义3.7.1 设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量?,使得
A???? ???0?
(3.10)
成立,则称??是矩阵A的特征值,称非零向量??是矩阵A属于特征值??的特征向量.
定义3.7.2 行列式f(?)??E?A称为矩阵A的特征多项式.?E ?A?0称为矩阵A的特征方程,具体形式为:
??a11
?a12
????
?a1n?a2n?
?0
f(?)??E?A?
?a21??an1
??a22
??an2
(3.11)
??ann
设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,??是矩阵A待求的特征值,若对矩阵?E?A,施行一系列的初等列变换,可得到下三角矩阵B(?),令B(?)的主对角线上元素的乘积为0,求得?的值即为矩阵A的特征值.
例
?109 求矩阵A?????1
4?12
?2?
?0??2??
的特征值.
???1
?0??E?A??
????1
解: ???=?
??1???E???
0??0??????c2?2c1
????????c3?12c1(??1)?
????
20?2001
?420
??1
?20100
??
001
???
2?c1?c3
???????????
???????????
20?2001
?4??1?
???1?
?1?0?
?0??0
??1
?2010
??1
2?2?012
?
?
??B(?)?2
?12(???)???
???????
1??Q(?)?
???0
?
12(??1)??
令B(?)的主对角线元素之积为零,即?12(?2??)?(??1)?2?0,得到矩阵A的特征值为
?1=?2=?1,?3?0.
3.8 化二次型为标准形
用初等变换法把二次型化为标准形.用非退化线性替换x ??Cy将二次型f ??xTAx化为标准形,即找一个非退化矩阵C,使得CTAC为对角矩阵,相当于对A同时作若干次同种形式的初等行变换和初等列变换后将A化为对角矩阵.具体步骤如下: (1) 先写出二次型的矩阵A,构造矩阵?A|E?;
(2) 对?A|E?进行初等行变换,再对A进行同样的初等列变换,当子块A化为对角矩阵D时,子块E也相应地化为CT;
(3) 写出非退化线性替换x ??Cy及二次型的标准形f ??yTDy.
222
x2 , x3??2x1?4x1x2?4x1x3?5x2?8x2x3?5x3为标准形,并写出所例10 化二次型f?x1 ,
用可逆变换的矩阵.
解: 写出此二次型的矩阵A与三阶单位矩阵E,
?22 Α??????2
25?4
?2?
??4?5??
?1
0, Ε?????0
010
0?
?0?1??
对构造矩阵?Α
?2?Ε??2
????2
25?4
?2?45
100
010
0?
?
0进行初等变换,过程简化写法表示为 ?1??
?Α
?2
?Ε??2
????2
?2?0???0
03
25?4
?2?451
100
010010
0?
r ?r ?2
0???1???c?c
2 1
1???2
?0????2?2?0???0
03?2030
?2?250051?101?113
01001
0?
r ?r ?3
0???1???c?c
3 1
1??
0?
?0?1??
?23
?11
?2
0?
r3?23r2?0 ??????c3?23c21??13??y1????2y2
???1????y3??
2 ?1?x1??1
??
01作非退化的线性替换 ?x2????
?0?0?x3???
,得标准形为
f?x1 , x2 , x3??2y1?3y2?53y3.
2
2
2
?1?1?
变换矩阵为 C??01
?00?1?
?
23. ?1??
3.9 求向量空间中向量在一组基下的坐标
设V是n维向量空间,V中有n个线性无关的向量?1,?2,?,?n,称为V的一组基.设?是V中的任一向量,则?1,?2,?,?n线性无关,于是?可由?1,?2,?,?n唯一地线性表示出:
??a1?1?a2?2???an?n
(3.12)
称系数a1,a2,?,an为?在基?1,?2,?,?n下的坐标,记为(a1,a2,?,an)
例11 设三维向量空间的一组基底为? ?(1,,10),? ?(1,0,1),? ?(0,,11),求向量123
??(2,0,0),在此基下的坐标.
解: 以?1,?2,? ,?,为列构成矩阵A,并对它施行初等行变换, 3
?1
?A?1
??0?
101
011
21??1??0?0?1????01??0
2?
?1?2?
?1??0?0
?
???
1
?0???
0?11?2?
????00?2??2
1
100
0?
?1 0 ??0?1?0
11
所以,??在基? 下的坐标就是(1,1,?1). ,?2,?
133.10 求从一组基到另一组基的过渡矩阵
设?1,为V的两组基,且 ?2,?,?n和? ,? ,?,? 12n
,? ,?,? ??? ,?2,?,?n?Α ?? 12n?1
(3.13)
则称A为从基?1,的过渡矩阵,A?1是基? 到?1,?2,?,?n到基? ,? ,?,? ,? ,?,? ?2,?,?n
12n12n的过渡矩阵.
例12 设? 是三维向量空间V的两组基, ,? ,? ,? ,? ,? 123123
? ?(1,,11),? ?(1,0,?1),? ?(1,0,1),? ?(1,2,1),? ?(2,3,4),? ?(3,4,3), 123123
Τ
Τ
Τ
Τ
Τ
T
求由基? 到基? 的过渡矩阵. ,? ,? ,? ,? 123123
解: 设此过渡矩阵为P,则以? ,为列构成矩阵M,对M作初等行变换,,? ,? ,? ,? ,?
123123
使它化为如下形状:
?1
?Μ? 1
??1??1?0??0??1?0??0??1?0??0?
01?101?1010
00210?1011011
1012?1?12?1?120?2
1213?113?113?10
234
3?
r1 ?r2?4 ??????3??
?1
?0??0??1?0??0?010?1? 1??1?010010001
01?101201220?1
0112?1?22?1?23?102113?103?104??0??1??324
4?
?r2?r13??????r?r
31
3??
4?
?r2?r3?1???????2??4?
?r2?r3?1???????2??
4?
?r3?r2?1???????1??4?
?r3?r2?1???????1??4?
1r?23
0??????2??
?1
?0??0?
所以,从基? 到基? 的过渡矩阵为 ,? ,? ,? ,? 123123
?2
?P?0
???1?
3?10
4??0??1??
.
3.11 求一个向量生成的子空间的基与维数
记由向量组? ,? ,?,? m生成的子空间为L(? ,? ,?,? ),以? ,? ,?,? m为列构成1212m 12
矩阵A,对A作初等行变换使其化为行阶梯形矩阵B,由B可求出向量组? ,? ,?,? m的秩和12一个极大线性无关组? ,则极大无关组? ,即为子空间的基,子空, ? ,?,??ir , ? ,?,??ir i1i2i1i2间L(? ,? ,?,? )的维数等于向量组? ,? ,?,? m的秩. 12m 12
例13 在R3中,求由向量?i ?i?1 , 2 , 3 , 4?生成的子空间L(?1, ?2, ?3, ?4)的基与维数,
ΤΤΤΤ
?(3,3,3),? ?(2,?1,5),? ?(?5,3,?13),? ?(4,?3,11). 其中,? 1234
解: 以向量?1,?2,?3,?4为列构成矩阵A,对A施行初等行变换,使其化为行阶梯形
?3?Α?3
??3?
2?15
?53?13
010
4?
?r ?r 2
?3???1???r?r
3 1
11??13?830
?3
?0??0?
2?33
?58?8?1?0??0?
4?
?r ?r 3
?7???2???7??010
?830
?3
?0??0?
2?30
?580
4???7?0??
?3
r ?2r ?12????0
??3r
2?0
??2?
?3r 1
73???
?0???2?
?73?Β
?0??
由矩阵B可知,?1,?2是向量组?1,?2,?3,?4的极大无关组,所以dimL(?1, ?2, ?3, ?4)?2,
?1,?2是L(?1, ?2, ?3, ?4)的一组基.
3.12 求两个子空间的和与交的维数
在Rm中设W1?L??1,?,?,?s?, W2?L??1,?2,?,?t?,要计算W1?W2与W1?W2的维数. 2
先以所有向量为列构造矩阵A???1 ,?2 ,?,?s ,?1,?2 ,?,?t?,利用初等行变换求矩阵列向量组的极大无关组,从而得到W1?W2的一个基,基中向量的个数即为W1?W2的维数.再由公式
dim(W1?W2)?dim(W1)?dim(W2)?dim(W1?W2)
(3.14)
即可得W1?W2的维数.
例14 在R4中取?1?(1,,10,1),?2?(1,0,0,1),?3?(1,,1?1,1),?1?(1,2,0,1),
?2, ?3??L??1, ?2?与L??1, ?2, ?3??L??1, ?2?的维数. ?2?(0,,,110),求L??1,
解: 显然L??1, ?2, ?3??L??1, ?2??L??1, ?2, ?3, ?1, ?2?,故只需求?1, ?2, ?3, ?1, ?2
的极大线性无关组.以?1, ?2, ?3, ?1, ?2为列构造矩阵A,
?1
?1???0??1
1001
11?11
1201
0??1等行变换??初??????1??0?
?1?0??0??0
0100
0010
2?100
2???1
??Β?1??0?
A???1, ?2, ?3, ?1, ?2?
由矩阵B可得,dimL??1, ?2, ?3??L??1, ?2??3. 则由公式(3.14)得:
dim ?L??1,?2,?3??L??1,?2??
?dim L??1,?2,?3??dimL??1,?2??dim?L??1,?2,?3??L??1,?2??
?3?2?3?2.
3.13 矩阵初等变换在数学分析求函数极值中的应用
定理3.13.1 设函数u?f(x1,x2......xn)在点M0(x1,x2,?,xn)的某一邻域U(M0)内连续,
?,fx(M0)?0,作矩阵 且具有一阶及二阶连续偏导数,且M 0是驻点,即:fx(M0)?0,fx(M0),
1
2
n
?a11?a12? A?????a1n
a12a22?a2n
????
a1n??a2n
?, 其中a?f(M).
ijxixj0
???ann?
当矩阵A的各阶主子式均不为0时,则有
(1) 当矩阵A正定时,M 0点为f的极小值点, f (M 0)为极小值; (2) 当矩阵A负定时,M 0点为f的极大值点, f (M 0)为极大值; (3) 当矩阵A不定时,M 0点不是f的极值点.
定理3.13.2 设A是n阶方阵,且AT???A,把
a11
a12a22?a2n
????
a1na2n?ann
不改变符号的变换??????????
b11
b12b22
???
b1nb2n?bnn
?B
a12?a1n
A?
(3.15)
(1) A正定 ? bii?0( i ? 1,2,… ,n); (2) A负定 ? bii?0( i ? 1,2,… ,n); (3) A不定 ? bii中有正有负或某个bii为零.
由于行列式的某行(列)乘以正数,或某行(列)乘以某数加到另一行(列)不改变行列式值的符号,对A施行这两种变换将其化为上(下)三角行列式B,观察,位于行列式B的对角线上元素的符号,由定理即可判定出M0是否是极值点及极大(小)值.
例15 判断三元函数是否存在极值?若有极值,是极大值还是极小值?
f(x1,x2,x3)?1?2x1?x1?2x2?5x2?4x3?x3?4x1x2?2x1x3?4x2x3.
2
2
2
解: 令fx?0,fx?0,fx?0,可得驻点M0(?134,?,在驻点M0处的二阶偏
1
2
3
导数分别为
a12?fx1x2(M0)?4,a13?fx1x3(M0)?2,a23?fx2x3(M0)??4
a11?fx1x1(M0)?2,a22?fx2x2(M0)?10,a33?fx3x3(M0)?2
?2
4构造矩阵 A?????2
2A?4
2
410?4
410?42
2?
??4?2??
,对A施行初等行变换将其化为上三角行列式B,即
242?8
r2?2r1
?4?????0
r3?r1
20
r3?4r2
?8?????00
22420
2?8?B?32
因为b33?0,由定理知,M0不是函数f的极值点. 3.14 利用矩阵的初等变换求多项式的最大公因式
定理3.14.1 设F是一个数域,F[x]为数域F上的一元多项式,若d(x)是f(x),g(x)的最大公因式的充要条件是存在u(x),v(x)?F[x],使得
d(x)?u(x)f(x)?v(x)g(x)
(3.16)
以f (x),g(x)为元素排成2?1阶矩阵A(x),对A(x)施行初等行变换,逐步消去f (x),g(x)中次数较高的那个多项式的首项的办法降低其次数,直至一个多项式变为0为止,也即A(x)可以通过一系列的初等行变换化为B(x),
?f(x)?一系列初等行变换?d(x)?
A(x)????????????B(x)????
?g(x)??0?
(3.17)
对A(x)施行一系列初等变换将A(x)变为B(x)的同时,对单位矩阵E施行同样的初等行变换,E就变成了E(x),从而也就得到u(x),v(x),即
一系列初等行变换?d(x)
(A(x),E)???????????
?0
u(x)s(x)
v(x)?
? t(x)?
(3.18)
32
例16 设f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9,g(x)?2x?x?5x?4都是有理数域F的多项式,
求f(x),g(x)的最大公因式d(x),及u(x),v(x)?F[x],使得d(x)?u(x)f(x)?v(x)g(x).
E?,对其作初等行变换: 解: 构造矩阵?A(x),?f(x)(A(x),E)??
?g(x)?9?3x?6x2?32
?2x?x?5x?4?3x?3?212?6x?6x??3x?3??0
1010
0??4x4?2x3?16x2?5x?9???321??2x?x?5x?4?2x?3r2?xr1
?????1?
2
101x
0?r1?2xr2
?????1?
?2x?r1?r2
????2?
3?2x?1?x
2
?9?6x2?3x?2
?12?6x?6x
1?xx
2x?2x?3?r2?2xr1
?????2
3?2x?2x?2x?3
2
?3x?3
?
?12?12x
?x?1??0?
3x?2x
?r2?4r1
????23?
3?6x?6x?4x?2x?2x?3??
32
4x?2x?14x?9??x2?x?133
2
1?x4?x?2x
2
r1?1
3????32
4x?2x?14x?9?
(1?x)34?x?2x
2
所以 d(x)?x?1,u(x)?
13
(1?x),v(x)?
23
x?
2
23
x?1.
参考文献:
[1] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[M].高等教育出版社,2003,第3版,94-165. [2] 邓勇.矩阵:线性代数的重要工具[J].思茅师范高等专科学校学报,2005,21,3,55-56. [3] 郭卫舵,龙德明.高等代数[M].成都科技大学出版社,1997,64-112.
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[10] 谭军.矩阵初等变换的一些性质及应用[J].郑州航空工业管理学院学报,2002,20,4,71-73. [11] 同济大学教研室.工程数学·线性代数[M].高等教育出版社,2000,第3版.
[12] 谢芳.矩阵初等变换的若干应用[J].昭通师范高等专科学校学报,2004,26,2,51-55. [13] 杨闻起.矩阵在线性代数中的地位和作用[J].商洛师范专科学校学报,2003,17,1,73-74. [14] 杨纯富.矩阵的初等变换在多项式理论中的应用[J].重庆文理学院学报,2008,15,3,55-57. [15] 章丘明.关于行初等变换定理及其应用[J].数学通报,1987,26,10,43-45.
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范文四:矩阵的初等变换
------------------------------------------------------------------------------------------------
矩阵的初等变换
皖西学院本科毕业论文(设计)
作者(学号):李婷婷(20072238) 学 校 名 称: 皖西学
院 系 别: 应用数学学院 专 业: 信息
与计算科学 班 级: 0701班 指 导 老 师:
岳 芹
二 ? 一 一 年 六 月
皖西学院本科毕业论文(设计)
作 者 李婷婷
指导老师 岳 芹
关键词:矩阵;初等变换;应用
The elementary transformation of matrices and its applications
Abstract: Starting with the concept of the elementary transformation of matrices summarizes , based on examples, applications of the elementary transformation in liner algebra are summarized. It can be used to find inverse matrices, rank of a matrix and enormous liner independence group of a class of vectors, and prove the equation of vector groups, judge the linear independence of a vector group, solve matrix equations and change a quadratic form from quadratic form to standard form and so on. In addition, applications of the elementary transformation of matrices in other aspects is simply ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
introduced.
Key words: matrix; elementary transformation; application
1 引言
在数学名词中,矩阵(英文名Matrix)是用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据,这个定义很好地解释了Matrix代码是制造世界的数学逻辑基础.数学上,矩阵是指纵横排列的二维数据表格,最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵,这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出.
2 基本概念
皖西学院本科毕业论文(设计)
定义2.1 对矩阵施行下面的三种变换称为矩阵的初等行(列)变换:
(1) 交换矩阵的两行(列);
(2) 以一个数k ??0乘矩阵某一行(列)的所有元素;
定义2.2 如果A经过有限次初等变换变为矩阵B,称矩阵A与 B等价,记为A?B. 定义2.3 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 三种初等变换对应着下面三种初等矩阵:
(1) 交换单位矩阵E中的第i,j两行(列),得到初等矩阵:
?1?
???
??
?1?
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?0???1?
???第i行
??1??
E(i,j)???1??
??
?
??1??
?10??????第j行
?
?1?
?
???
??1??
(2) 以数k ? 0乘以单位矩阵E的第i行(列),得到初等矩阵:
?1?
?
???
?
?1?
E?i?k????k?
??? 第行j
?
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?1?
??
??
??1??
(3) 把单位矩阵E的第i行的k倍加到第j行上,得到初等矩阵:
?1?
?
???
?
?1??第i行
E?ij?k?????
????
??
?k?1??第j行
???
??1??
(2.1) (2.2)(2.3)
皖西学院本科毕业论文(设计)
定义2.4 在m ? n阶矩阵A中,任取k行和k列(k ? m,k ? n),位于这些行列交叉处的k2个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得到的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式.
定义2.5 矩阵A中非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩,记作——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
R( A ).
性质2.1 矩阵的每一种初等变换都是可逆的,即若矩阵A经过一次行(列)初等变换变为矩阵B,则矩阵B也可以经过一次同种行(列)初等变换变为矩阵A.
性质2.2 矩阵的相等关系是一个等价关系,即矩阵的相等关系满足:(设A,B,C,是任意三个同型矩阵)
(1) 自反性 A?A;
(2) 对称性 若A?B,则B?A;
(3) 传递性 若A?B,B?C,则A?C.
性质2.3 初等矩阵都是可逆矩阵,且其逆是同类型的初等矩阵,即
E?i,j??1?E?i,j? , E?i?k???11?1?E(i()) , E(i,j(k))?E(i,j(?k)) k(2.4)
性质2.4 设A是一个m ? n阶矩阵,对A施行一次初等行变换,相当于对A左乘以相应的m阶初等阵;对A施行一次初等列变换,相当于对A右乘以相应的n阶初等矩阵.即
(1) A~B?E?i,j?A,A~B?AE?i,j?;
(2) A~B?E?i?k??A,A~B?AE?i?k??;
(3) A~B?E?i,j?k??A,A~B?AE?j,i?k??.
3.1 求矩阵和向量组的秩
3.1.1 求矩阵的秩
定理3.1.1 初等变换不改变矩阵、向量组的秩.
皖西学院本科毕业论文(设计)
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
例
?6?
1 求矩阵A??1
?1?
404
12?9
?1??
3的秩. ??6??
解: 对矩阵A施行初等行变换,过程如下:
?6
?A?1
??1??1? 0??0?
404044
12?92?11?11
?1?
?r1?r23??????r?r
32
?6??3?
?r3?r2
?19?????
??19??
?1
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?1??6??1?0??0?
044040
2?912?110
3?
r2?r1?
?16?????
?r?6r
31
?1??3?
??19
?0??
因为行阶梯形矩阵有2个非零行,所以矩阵A的秩R(A) ??2. 3.1.2
求向量组的秩
向量组? 的极大线性无关组中所含向量的个数r称为向量组的秩,记为 ,? ,?,? 12s
R(? ,? ,?,? )?r 12s
(3.1)
如果要求出向量组的秩,可把每一个向量作为矩阵的行(列)从而转化为求矩阵的秩.
例2 求下列向量组的秩.
? ?(2,3,4,5), ? ?(3,4,5,6), ? ?(4,5,6,7),?? ?(5,6,7,8) 1234
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
T
T
T
T
解: 以? 为行,用初等行变换化为阶梯形矩阵. ,?2 ,? ,?4
1 3
?2
?3??? ,?,?,?) ?1
2 3 4
?4??5
3456
?5?56??6?7?7?84
????
?1?1?15
?1?1??
??
?1?11
???
?1??1?1
??67??8?1
?1000
?11
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
? ?0?0?
?1?
?200
1300
?????
可见,向量组的秩为?R(? ,? ,?3,? )?2. 1243.2 求矩阵的逆矩阵
定义3.2.1 对于n阶矩阵A,如果有一个n阶矩阵B,使
AB?BA?E
(3.2)
则说矩阵A是可逆的,并把矩阵B称为A的逆矩阵,简称逆阵,记作A?1.
定理3.2.1 在通过只用初等行(列)变换把可逆矩阵A化为单位矩阵E时,对单位矩阵E施行同样的初等变换,就得到A的逆矩阵A?1.
?Α
初等行变换
Ε?????????Ε
?A?初等列变换?Ε?
Α? ; ?????????1? ??Ε???Α?
????
?1
(3.3)
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
皖西学院本科毕业论文(设计)
例
11?1
2?
?
4的逆矩阵. ?0??
解: 作分块矩阵?A
?0
?1??2??1?0??0??1?0??0?
11?111?3110
24042?800?2
64310001001010
E?,对该矩阵施行初等行变换: 0?
?r1?r20??????1??
?1
?0??2?
11?1?1?0??0?
01011000142042?2010
10001324?32
0?
?r3?2r10??????1??10?2?1?21
0?
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?r1?2r30??????r?r231???
?1
??2??1
?2?3?2?2
0?
?r3?3r20??????1??
2?
r1?r2?
1??????12r
3
1??
?1?21
?1
?0??0?
? Α?1
?2??4????321?
?1
??12??
3.3 用初等变换求解矩阵方程
矩阵方程AX ? B有解 ? B的每列可由A的列向量线性表出
? R(A)?R(A
B)
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
若矩阵A可逆,则求解方程AX ? B等价于求矩阵X ? A?1B,可以先求出A?1,再作乘法A?1B,也可采用类似初等行变换直接求出X,即
?A
只用行变换B?????????E
AB? (3.4)
?1
则X ? A?1B.类似地,对于方程XA? B,若A可逆则X ? BA?1.对于方程AX B ? C,若A,B均可逆,则X ? A?1C B?1.
?1
0AX ? B,其中Α?????1
12?1
?1?
?2?0??
?1
1,Β?????2
?111
1?
?0. ?1??
例4 求解矩阵方程
解: 构造分块矩阵?AB?,对其作初等行变换
皖西学院本科毕业论文(设计)
?Α
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?1?Β??0
???1
12?1
?120
112
?111
1?
?r3?r10??????1???1
?0???0
120023
?123
112
?11312131?
?0?0??
1?
?r3?r20??????0??
1?
r2?r3
?3??0????0??
1 ?11 ?11 ?1?
r1?r2?r3
??2??3?? 0 2 21 1 0 ???????? 1 2
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
0 ?0?21?
0 0?1? 0 2 0?1??0 0 32?
?11
1
?1因此 Χ?Α?1Β???6??4
0?1
?
02???00001
1161212?121
12?133?36
1?
?r3
0????2r
2
0??6??0?0??
?1
?0???0
010
11?1623
.
3.4 求线性方程组的解
给定一个含有n个未知数且由m个方程构成的线性方程组,形如
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1
?
?a21x1?a22x2???a2nxn?b2
?
?????
?ax?ax???ax?b.
m22mnnm?m11
(3.5)
?分别为 并定义其系数矩阵A及增广矩阵Α
?a11
?a21?Α?
????am1
a12a22?am2
????
a1n??a11
??a2na
? , A???21
????
??amn??am1
a12a22?am2
????
a1na2n?amn
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
b1?
?b2
? ???bm?
(3.6)
用向量形式表示为
?a11?a?21????am1
a12a22?am2
????
a1n??x1
??a2nx
??2??????amn??xm
??b1????
b2
?????Ax?b ???????
b??m?
(3.7)
3.4.1 求齐次线性方程组的解
2,?m)全为零,则称方程组称为齐次线性方程组,向量形式为Ax ? 0,若(3.5)式中bj(j?1,
其中A是上面方程组的系数矩阵,x为所求未知量组成的列向量.
? 用初等行变换将系数矩阵A化为阶梯矩阵,求出R(A).若R (A) ??n,则Ax ? 0只有零解;若R (A) ??n,则Ax ??0有非零解,转入?; ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
皖西学院本科毕业论文(设计)
? 对阶梯矩阵继续施行初等行变换将其化为行最简形矩阵,写出其对应的线性方程组,以非零行首个非零元对应的r个未知量为基本未知量,其余的n ??r个未知量为自由未知量,将自由未知量移到等式右端得到一般解,在一般解中分别令自由未知量中一个为1,其余全为0,求得Ax ? 0的基础解系:?1, ?2,?, ?n?r;
? n ??r个解向量的线性组合就是Ax ? 0的通解,即:
k1?1?k2?2???kn ??r?n ??r?k1,k2,?,kn ??r为任意常数?
?4x ?2x ?7x ?0 ,?2x 1234
?
?6x ?4x ?3x ?0 , 5 解齐次线性方程组 ?3x 1234
?5x?10x?4x?25x?0 (
1 2 3 4?
(3.8)
例
解: 对方程组的系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵
?2
?3??5???1?0??0?
?4?6?10200
244?2?2?6
7?
?r ?r 1
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
3???2???25??
??1
?3??5???1?0??0?
2?6?10200
?244?2?20
4?
?r2?3r13??????r?5r
31
25??4??15?0??
4?
?r3?3r 215??????45??
由n?R(A)=4?2=2,基础解系由2个向量组成,每个解中有2个自由变量.
令x2?1,x4?0,解得 x ?2,x ?0,令x2?0,x4?2,解得 x ??22,x ?15.于是 1313
TT
?(2,,,100),? ?(?22,,015,2),通解是k1?1?k2?2, 即 得到 ? 12
?x1
?x
?2
?x3??x4??2???22?????? ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
10
??k???k??, 其中k,k2为任意常数121??0??15??????
02?????
.
3.4.2 求非齐次线性方程组的解
2,?m)不全为0,则称方程组为非齐次线性方程组. 若(3.5)式中bj(j?1,
定理3.4.1 设A是m ? n矩阵,非齐次线性方程组Ax ??b有解的充要条件是系数矩阵A
?). ?的秩相等,即R(Α)?R(Α和增广矩阵A
定理3.4.2 设A是m ? n矩阵,方程组Ax ??b,则
?)?n. (1) 有唯一解?R(A)?R(A
?)?n. (2) 有无穷多解 ?R(A)?R(A
?)? (3) 无解?R(A)?1?R(Ab不能由A的列向量线性表出.
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求解非齐次线性方程组的步骤归纳如下:
?),?,并把它化为行阶梯形,并把它化为行阶梯形,若R(Α)?R(Α? 写出Ax ? b的增广矩阵A
则方程组无解.
?)?n,则此方程组有唯一解,这时我们只需要对增广矩阵A?实施一系列的? 若R(A)?R(A
初等行变换使其化为行最简形,由此得出方程组的解. ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?1
?0初等行变换???????????A
????0
01?0
00?0
???0?x1??x2 ???x?n
00??
c1??c2
?, 则原方程组的解为 ???cn?
?c1 ?c2 ??cn
(3.9)
?)?n,则此方程组有无穷多解;我们也可以写出它的解. ? 若
R(A)?R(A
例
?6x1?2x2?2x3?x4?3 ,
?
?x2 ?x4?1 ,6 解非齐次线性方程
组 ?x1 ?2x ?1?x3?3x4?2 (
解: 对增广矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵
??
?0
?1??0?
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?6???1A
??2?
0?12
001
?2?10?711
201
113
3?
?r1?6r21?r????3?2r12??
?1
?0??0?
?0?1??0??102
4?12001
201171
?511
?3?
?r1?2r31?????0??
?1
?0??0?
?120
010
117
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
1??0?3??
?3?
?r1?r21?????r1?0??1?
?r2?r33?????0??
?)?3,知原方程组有解,且有n ? R(A) ??有1个自由变量. 由R(A)?R(A
先求出相应齐次线性方程组的基础解系,令x3?2,解出x4?0,x2??1,x1??1,所以齐次线性方程组的通解是:k (?1,?1,2,0)T.
再求出非齐次线性方程组的特解,令x3?0,解出x4?37,x2??14,x1?14,特解为
(514,?14,0,7) .
TT
所以方程组的通解是: (5,?3,0,37)?k(?1,?1,2,0),k为任意实数.
T
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3.5 判定向量组的线性相关性, 求极大线性无关组
定理3.5.1 向量组??,??,?,?n线性相关的充分必要条件是它们所构成的矩阵
Α=(??,??,?,?n)的秩小于向量个数n;向量组线性无关的充分必要条件是R(A) ??n.
推论3.5.1 设向量组?1,?2,?,? t是向量组A的一个部分组,——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
且满足 (1) 向量组?1,?2,?,? t线性无关;
(2) 向量组A的任一向量都能由向量组?1,?2,?,? t线性表示; 那么向量组?1,?2,?,? t便是向量组A的一个极大无关组.
对于向量组??,??,?,?n,我们要判定其是线性相关还是线性无关,并求出它的一个极大无关组,只需以这组向量为列构成矩阵Α=(??,??,?,?n),进行初等行变换,化成行阶梯形矩阵B.若R(B) ??n,则此向量组??,??,?,?n线性无关;若R(B) ??n,则此向量组线性相关,进而位于B中每个阶梯的最左端的非零元素所在的列对应的原来向量即是构成原向量组的一个极大无关组.
例7 判断下列向量组的线性相关性,并给出该向量组的一个极大线性无关组.
? ??111
4
2? , ? ??12
?
?12
3? , ? ???33
Τ
23
?11? ,? ??14
Τ
310
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
0?.
Τ
解: 把行向量组成矩阵,用初等行变换化成阶梯形,过程如下:
?1
?1???3??1
1?1231?110
4?23104?330
2??
1?4?
?2 ??11??
3?0??
4
?1?0??0??0
1?252
4?6152?1?0??0??0
2??
1?
?? 2?
1?2
??3??5?? 3 1?
?? ?2?? 411?100
4?300
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
2?
?(? ?? )2112?
0?(??3?)?(???)
3 1 2 1
?520?? ?2?
41
?1
?0??0??0
2?
?(? ?? )2112???1?(??3?)
3 1
?50?
? ?? +? ??
4121
? 1? 1
阶梯形矩阵中有两个非零行的向量,知向量组的秩是2,可见向量
组? 线性相关,非,? ,?3,? 124
(???),所以?,?是极大线性无关组. 零向量是?
1 2 1 1 2
2
3.6 判断两向量组是否等价
如果向量组(?)? 中的每个向量都可以由向量组——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
(?)? , ? ,?,? ,? ,?,?s中向量12m12
线性表出,则称向量组(?)可由向量组(?)线性表出.如果两个向量组可以互相线性表出,则称这两个向量组等价.
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如果向量组(?)可由向量组(?)线性表出,且
R(? , ? ,?,? )?R(? ,? ,?,?s),则两12m12
向量组等价.因此,判断两向量组是否等价,只需要对以? 与? , ? ,?,? ,? ,?,?s为列构12m12成的矩阵(A ?B)施行初等变换,使其化为阶梯形矩阵,分别得到R(A),R(B).若R(A) ?R(B),则向量组等价,否则它们不等价.
例8 判断下列向量组是否等价.
?1?(1,?1, 1,?1),?2?(3, 1,, 13),?1?(2,0,1,1), ?2?(1,1,0,2), ?3?(3,?1, 2,0).
Τ
Τ
Τ
Τ
Τ
解: 以?1,?2,?1 ,?2, ?3为列构成矩阵(A ?B),然后对它施行初等行变换化成阶梯形:
?1
??1
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
(Α?Β)??
?1???1?1?0??0??0
30?20
20?10
311310?10
2011
1102
3?r2?r1
??1?r1
3??r?????r4?r12?0?
?1?0??0??0
?1?0??0??03?200
34?262?100
22?131?100
12?13
3??2?2r3
2??r?????r4?3r3?1?3?
?1?0??0??0
3200
2100
1100
3??1?0??0?
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
3??0?r3
2??r????
?1??0?3???1r????2??0??0?
由阶梯形矩阵可得R(A) ?2,容易看出矩阵B中有不等于0的2阶子式,故知R(B) ? 2.又R(B)?R(A ?B)?2,则R (B) ? 2.
因此 R (A)?R (B),所以向量组?1,?2与向量组?1 , ?2 , ?3等价 3.7 求矩阵的特征值
定义3.7.1 设A是n阶矩阵,若存在数?及非零的n维列向量?,使得
A???? ???0?
(3.10)
成立,则称??是矩阵A的特征值,称非零向量??是矩阵A属于特征值??的特征向量.
定义3.7.2 行列式f(?)??E?A称为矩阵A的特征多项式.?E ?A?0称为矩阵A的特征方程,具体形式为:
??a11
?a12
????
?a1n?a2n?
?0
f(?)??E?A?
?a21??an1
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
??a22
??an2
(3.11)
??ann
设A是n阶方阵,E是n阶单位矩阵,??是矩阵A待求的特征值,若对矩阵?E?A,施行一系列的初等列变换,可得到下三角矩阵B(?),令B(?)的主对角线上元素的乘积为0,求得?的值即为矩阵A的特征值.
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例
?109 求矩阵A?????1
4?12
?2?
?0??2??
的特征值.
???1
?0??E?A??
????1
解: ???=?
??1???E???
0??0??????c2?2c1
????????c3?12c1(??1)?
????
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
20?2001
?420
??1
?20100
??
001
???
2?c1?c3
???????????
???????????
20?2001
?4??1?
???1?
?1?0?
?0??0
??1
?2010
??1
2?2?012
?
?
??B(?)?2 ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?12(???)???
???????
1??Q(?)?
???0
?
12(??1)??
令B(?)的主对角线元素之积为零,即?12(?2??)?(??1)?2?0,得到矩阵A的特征值为
?1=?2=?1,?3?0.
3.8 化二次型为标准形
用初等变换法把二次型化为标准形.用非退化线性替换x ??Cy将二次型f ??xTAx化为标准形,即找一个非退化矩阵C,使得CTAC为对角矩阵,相当于对A同时作若干次同种形式的初等行变换和初等列变换后将A化为对角矩阵.具体步骤如下: (1) 先写出二次型的矩阵A,构造矩阵?A|E?;
(2) 对?A|E?进行初等行变换,再对A进行同样的初等列变换,当子块A化为对角矩阵D时,子块E也相应地化为CT;
(3) 写出非退化线性替换x ??Cy及二次型的标准形f ??yTDy.
222
x2 , x3??2x1?4x1x2?4x1x3?5x2?8x2x3?5x3为标准形,并写出所例10 化二次型f?x1 ,
用可逆变换的矩阵.
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
解: 写出此二次型的矩阵A与三阶单位矩阵E,
?22 Α??????2
25?4
?2?
??4?5??
?1
0, Ε?????0
010
0?
?0?1??
皖西学院本科毕业论文(设计)
对构造矩阵?Α
?2?Ε??2
????2
25?4
?2?45
100
010
0?
?
0进行初等变换,过程简化写法表示为 ?1??
?Α
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?2
?Ε??2
????2
?2?0???0
03
25?4
?2?451
100
010010
0?
r ?r ?2
0???1???c?c
2 1
1???2
?0????2?2?0???0
03?2030
?2?250051?101?113
01001
0?
r ?r ?3
0???1???c?c
3 1
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
1??
0?
?0?1??
?23
?11
?2
0?
r3?23r2?0 ??????c3?23c21??13??y1????2y2
???1????y3??
2 ?1?x1??1
??
01作非退化的线性替换 ?x2????
?0?0?x3???
,得标准形为
f?x1 , x2 , x3??2y1?3y2?53y3.
2
2
2
?1?1?
变换矩阵为 C??01
?00?1?
?
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
23.
?1??
3.9 求向量空间中向量在一组基下的坐标
设V是n维向量空间,V中有n个线性无关的向量?1,?2,?,?n,称为V的一组基.设?是V中的任一向量,则?1,?2,?,?n线性无关,于是?可由?1,?2,?,?n唯一地线性表示出:
??a1?1?a2?2???an?n
(3.12)
称系数a1,a2,?,an为?在基?1,?2,?,?n下的坐标,记为(a1,a2,?,an)
例11 设三维向量空间的一组基底为? ?(1,,10),? ?(1,0,1),? ?(0,,11),求向量123
??(2,0,0),在此基下的坐标.
解: 以?1,?2,? ,?,为列构成矩阵A,并对它施行初等行变换, 3
?1
?A?1
??0?
101
011
21??1??0?0?1????01??0 ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
2?
?1?2?
?1??0?0
?
???
1
?0???
0?11?2?
????00?2??2
1
100
0?
?1 0 ??0?1?0
11
所以,??在基? 下的坐标就是(1,1,?1). ,?2,?
133.10 求从一组基到另一组基的过渡矩阵
设?1,为V的两组基,且 ?2,?,?n和? ,? ,?,? 12n
,? ,?,? ??? ,?2,?,?n?Α ?? 12n?1
(3.13)
皖西学院本科毕业论文(设计)
则称A为从基?1,的过渡矩阵,A?1是基? 到?1,?2,?,?n到基? ,? ,?,? ,? ,?,? ?2,?,?n ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
12n12n的过渡矩阵.
例12 设? 是三维向量空间V的两组基, ,? ,? ,? ,? ,? 123123
? ?(1,,11),? ?(1,0,?1),? ?(1,0,1),? ?(1,2,1),? ?(2,3,4),? ?(3,4,3), 123123
Τ
Τ
Τ
Τ
Τ
T
求由基? 到基? 的过渡矩阵. ,? ,? ,? ,? 123123
解: 设此过渡矩阵为P,则以? ,为列构成矩阵M,对M作初等行变换,,? ,? ,? ,? ,?
123123
使它化为如下形状:
?1
?Μ? 1
??1??1?0??0??1?0??0??1?0??0?
01?101?1010
00210?1011011
1012?1?12?1?120?2
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
1213?113?113?10
234
3?
r1 ?r2?4 ??????3??
?1
?0??0??1?0??0?010?1? 1??1?010010001
01?101201220?1
0112?1?22?1?23?102113?103?104??0??1??324
4?
?r2?r13??????r?r
31
3??
4?
?r2?r3?1???????2??4?
?r2?r3?1???????2??
4?
?r3?r2?1???????1??4?
?r3?r2?1???????1??4?
1r?23
0??????2??
?1
?0??0?
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
所以,从基? 到基? 的过渡矩阵为 ,? ,? ,? ,? 123123
?2
?P?0
???1?
3?10
4??0??1??
.
3.11 求一个向量生成的子空间的基与维数
记由向量组? ,? ,?,? m生成的子空间为L(? ,? ,?,? ),以? ,? ,?,? m为列构成1212m 12
矩阵A,对A作初等行变换使其化为行阶梯形矩阵B,由B可求出向量组? ,? ,?,? m的秩和12一个极大线性无关组? ,则极大无关组? ,即为子空间的基,子空, ? ,?,??ir , ? ,?,??ir i1i2i1i2间L(? ,? ,?,? )的维数等于向量组? ,? ,?,? m的秩. 12m 12
例13 在R3中,求由向量?i ?i?1 , 2 , 3 , 4?生成的子空间L(?1, ?2, ?3, ?4)的基与维数,
ΤΤΤΤ
?(3,3,3),? ?(2,?1,5),? ?(?5,3,?13),? ?(4,?3,11). 其中,? 1234
解: 以向量?1,?2,?3,?4为列构成矩阵A,对A施行初等行变换,使其化为行阶梯形
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皖西学院本科毕业论文(设计)
?3?Α?3
??3?
2?15
?53?13
010
4?
?r ?r 2
?3???1???r?r
3 1
11??13?830
?3
?0??0?
2?33
?58?8?1?0??0?
4?
?r ?r 3
?7???2???7??010
?830
?3
?0??0?
2?30
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
?580
4???7?0??
?3
r ?2r ?12????0
??3r
2?0
??2?
?3r 1
73???
?0???2?
?73?Β
?0??
由矩阵B可知,?1,?2是向量组?1,?2,?3,?4的极大无关组,所以dimL(?1, ?2, ?3, ?4)?2,
?1,?2是L(?1, ?2, ?3, ?4)的一组基.
3.12 求两个子空间的和与交的维数
在Rm中设W1?L??1,?,?,?s?, W2?L??1,?2,?,?t?,要计算W1?W2与W1?W2的维数. 2
先以所有向量为列构造矩阵A???1 ,?2 ,?,?s ,?1,?2 ,?,?t?,利用初等行变换求矩阵列向量组的极大无关组,从而得到W1?W2的一个基,基中向量的个数即为W1?W2的维数.再由公式
dim(W1?W2)?dim(W1)?dim(W2)?dim(W1?W2)
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
(3.14)
即可得W1?W2的维数.
例14 在R4中取?1?(1,,10,1),?2?(1,0,0,1),?3?(1,,1?1,1),?1?(1,2,0,1),
?2, ?3??L??1, ?2?与L??1, ?2, ?3??L??1, ?2?的维数. ?2?(0,,,110),求L??1,
解: 显然L??1, ?2, ?3??L??1, ?2??L??1, ?2, ?3, ?1, ?2?,故只需求?1, ?2, ?3, ?1, ?2
的极大线性无关组.以?1, ?2, ?3, ?1, ?2为列构造矩阵A,
?1
?1???0??1
1001
11?11
1201
0??1等行变换??初??????1??0?
?1?0??0??0
0100
0010
2?100
2???1
??Β?1??0?
A???1, ?2, ?3, ?1, ?2? ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
由矩阵B可得,dimL??1, ?2, ?3??L??1, ?2??3. 则由公式(3.14)得:
dim ?L??1,?2,?3??L??1,?2??
?dim L??1,?2,?3??dimL??1,?2??dim?L??1,?2,?3??L??1,?2??
?3?2?3?2.
3.13 矩阵初等变换在数学分析求函数极值中的应用
定理3.13.1 设函数u?f(x1,x2......xn)在点M0(x1,x2,?,xn)的某一邻域U(M0)内连续,
?,fx(M0)?0,作矩阵 且具有一阶及二阶连续偏导数,且M 0是驻点,即:fx(M0)?0,fx(M0),
1
2
n
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?a11?a12? A?????a1n
a12a22?a2n
????
a1n??a2n
?, 其中a?f(M).
ijxixj0
???ann?
当矩阵A的各阶主子式均不为0时,则有
(1) 当矩阵A正定时,M 0点为f的极小值点, f (M 0)为极小值; (2) ——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
当矩阵A负定时,M 0点为f的极大值点, f (M 0)为极大值; (3) 当矩阵A不定时,M 0点不是f的极值点.
定理3.13.2 设A是n阶方阵,且AT???A,把
a11
a12a22?a2n
????
a1na2n?ann
不改变符号的变换??????????
b11
b12b22
???
b1nb2n?bnn
?B
a12?a1n
A?
(3.15)
(1) A正定 ? bii?0( i ? 1,2,… ,n); (2) A负定 ? bii?0( i ? 1,2,… ,n); (3) A不定 ? bii中有正有负或某个bii为零.
由于行列式的某行(列)乘以正数,或某行(列)乘以某数加到另一行(列)不改变行列式值的符号,对A施行这两种变换将其化为上(下)三角行列式B,观察,位于行列式B的对角线上元素的符号,由定理即可判定出M0是否是极值点及极大(小)值.
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
例15 判断三元函数是否存在极值?若有极值,是极大值还是极小值?
f(x1,x2,x3)?1?2x1?x1?2x2?5x2?4x3?x3?4x1x2?2x1x3?4x2x3.
2
2
2
解: 令fx?0,fx?0,fx?0,可得驻点M0(?134,?,在驻点M0处的二阶偏
1
2
3
导数分别为
a12?fx1x2(M0)?4,a13?fx1x3(M0)?2,a23?fx2x3(M0)??4
a11?fx1x1(M0)?2,a22?fx2x2(M0)?10,a33?fx3x3(M0)?2
?2
4构造矩阵 A?????2
2A?4
2
410?4
410?42
2?
??4?2??
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
,对A施行初等行变换将其化为上三角行列式B,即
242?8
r2?2r1
?4?????0
r3?r1
20
r3?4r2
?8?????00
22420
2?8?B?32
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定理3.14.1 设F是一个数域,F[x]为数域F上的一元多项式,若d(x)是f(x),g(x)的最大公因式的充要条件是存在u(x),v(x)?F[x],使得
d(x)?u(x)f(x)?v(x)g(x)
(3.16)
以f (x),g(x)为元素排成2?1阶矩阵A(x),对A(x)施行初等行变换,逐步消去f (x),g(x)中次数较高的那个多项式的首项的办法降低其次数,直至一个多项式变为0为止,也即A(x)可以通过一系列的初等行变换化为B(x),
?f(x)?一系列初等行变换?d(x)?
A(x)????????????B(x)????
?g(x)??0?
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
(3.17)
对A(x)施行一系列初等变换将A(x)变为B(x)的同时,对单位矩阵E施行同样的初等行变换,E就变成了E(x),从而也就得到u(x),v(x),即
一系列初等行变换?d(x)
(A(x),E)???????????
?0
u(x)s(x)
v(x)?
? t(x)?
(3.18)
32
例16 设f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9,g(x)?2x?x?5x?4都是有理数域F的多项式,
求f(x),g(x)的最大公因式d(x),及u(x),v(x)?F[x],使得
d(x)?u(x)f(x)?v(x)g(x).
E?,对其作初等行变换: 解: 构造矩阵?A(x),?f(x)(A(x),E)??
?g(x)?9?3x?6x2?32
?2x?x?5x?4?3x?3?212?6x?6x??3x?3??0
1010
0??4x4?2x3?16x2?5x?9???321??2x?x?5x?4?2x?3r2?xr1
?????1?
2
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
101x
0?r1?2xr2
?????1?
?2x?r1?r2
????2?
3?2x?1?x
2
?9?6x2?3x?2
?12?6x?6x
1?xx
2x?2x?3?r2?2xr1
?????2
3?2x?2x?2x?3
2
?3x?3
?
?12?12x
?x?1??0?
3x?2x
?r2?4r1
????23?
3?6x?6x?4x?2x?2x?3??
——————————————————————————————————————
------------------------------------------------------------------------------------------------
32
4x?2x?14x?9??x2?x?133
2
1?x4?x?2x
2
r1?1
3????32
4x?2x?14x?9?
(1?x)34?x?2x
2
所以 d(x)?x?1,u(x)?
13
(1?x),v(x)?
23
x?
2
23
x?1.
皖西学院本科毕业论文(设计)
参考文献:
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出版社,2003,第3版,94-165(
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[16] 章丘明(关于多项式最大公因式的矩阵求法的另一证明
[J](数学通报,1992,13,4,33.
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范文五:矩阵的初等变换
第三章 矩阵的初等变换
与线性方程组
本章教学内容与教学要求
第一节 矩阵的初等变换
1、 掌握初等变换 的定义,了解矩阵等价的概念. 2、 会用初等行变换化矩阵为行最简形矩阵. 3、 作业 P92. 1(1),(4).
第二节 矩阵的秩
1、 掌握矩阵秩的定义,
2、 会求矩阵的秩.
3、 作业 P93. 5 (只求矩阵的秩).
第三节 线性方程组的解
1、 要求掌握本节的两个定理.
2、 会求线性方程组的解
3、 作业 P93. 6,2,3,,7,1,, P94. 8
第四节 初等矩阵
1. 了解初等矩阵的定义,初等矩阵与初等变换的关系.. 2. 掌握用初等变换求逆矩阵的方法.
3. 作业 P94. 11(1),(2). 12 (1).
- , -
讲 授 内 容 备 注
第一节 矩阵的初等变换 一、引例
求解线性方程组
2x,x,x,x,2,1234, x,x,2x,x,4,1234??(1),4x,6x,2x,2x,41234,
,3x,6x,9x,7x,91234,
,x,x,2x,x,4?11234,1,22x,x,x,x,2?2,1234解(1)??(B),1,2x,3x,x,x,2?33,21234,
,3x,6x,9x,7x,9?41234,
,x,x,2x,x,4?112342,3,,3212x,2x,2x,0?2,234()??B,2,,5x,5x,3x,,6?34,31234,
,3x,3x,4x,,3?4234,
,x,x,2x,x,4?1123423,,321,2x,2x,2x,0?2,234??B (),2,,5x,5x,3x,,6?3431,234,
,3x,3x,4x,,3?4234,
,x,x,2x,x,4?112341,,22x,x,x,0?2,234()??B,3,2x,,6?3,3524,,432,x,,3?44,
,x,x,2x,x,4?11234,,34x,x,x,0?2,234()??B,4,x,,3?3,4234,
,0,0?4,
x,x,4,13,回代并求解得x,x,3,(其中x可以任意取值) ,233
,x,,34,
- , -
若令x,c(c为任意常数),则方程组的解可以记作3
xc,4,,,,1,,,, xc,3,,,,2X,,,,,,,xc3,,,,,,,,,3x,,4,,
在上述消元过程中用到三种变换:
(1)交换方程次序;
(2)以不等于0的常数乘以某一个方程;
(3)一个方程加上另一个方程的k倍.
在上述消元过程中用到三种变换均可逆,所以变换前后的方程是同解的,从而
可以求得方程组的全部解.这三种变换是方程组的同解变换. 思考:上述过程中各个未知量参与计算吗,
二、初等行变换
定义 1 下述三种变换称为矩阵的初等行变换
记作(r,r)1.对调两行; ij
记作(r,k)2.以非零数k乘某行的所有元素; i
记作(r,kr)3.把某一行的所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去. ij说明:
1. 将上述定义中的“行”改为“列”即为初等列变换的定义. 2. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称初等变换. 3. 初等变换均可逆,其逆变换均为初等矩阵。即 (r,r)逆变换为(r,r) ijij
1,,(r,k)逆变换为r, ,,iik,,
,,(r,kr)逆变换为r,,kr. ijij
例题
123006,,,,r,r13,,,,(r,r)A,045~045 ,,,,ij
,,,,006123,,,,
123123,,,,r,21,,,,(r,k)A,045~0810 ,,,,i
,,,,006006,,,,
- , -
1123120,,,,r,(,)r132,,,,(r,kr)045~045, A ,,,,ij
,,,,006006,,,,三、等价矩阵
定义:等价矩阵
如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A、B等价.
矩阵等价关系满足以下性质:
– 1.反身性,A?A;
– 2.对称性,若A?B则B?A;
– 3.传递性,若A?B,B?C则A?C
? 满足以上三个性质的关系称为等价.
? 两个线性方程组同解则称它们等价. 回到引例:
利用初等变换解线性方程组
2x,x,x,x,2,1234, x,x,2x,x,4,1234??(1),4x,6x,2x,2x,41234,
,3x,6x,9x,7x,91234,
,,21112,,,,,11214,,?解Ab,(),,,,46224,,,,,36979,,
,11214,,,,r,r12,,21112,, ,(B)1,,,,,231121r,,,32,,,36979,,
,11213,,r,,r(1),,23r,,r(2)31,02220,,,(B)2,,,,,,05536r,,r(3)41,,,,,,03343,,
11,214,,1,,r,2201,110,,,(B) 3,,,,00026r,r532,,r,r342,,0001,3,,
- , -
11,214,,,,r,r3401,110,, ,(B)4,,,,00013r,r532,,r,,r(2)43,,00000,,
10,104,,,,r,r12,01103,,由(B)回代:(B),(B)445,,,,00013r,r23,,,,00000 ,,
x,x,4,13,还原为xx3,(其中x为自由未知量),,,233
,x,,34,
若令x,c(c为任意常数),则有3
xc,4,,,,1,,,, xc,3,,,,2X,,,,,,,xc3,,,,,,,,,3x,,4,,
14,,,,,,,,13,,,,即X,c,. ,,,,10,,,,,,,,0,3,,,,
四、行阶梯形矩阵
定义: 行阶梯形矩阵
11,21410,104,,,,,,,,01,11001,103,,,,,B(),(B) 45,,,,0001,30001,3,,,,,,,,0000000000,,,,
称为行阶梯形矩阵
特点:
横线下方全是0;
每阶只有一行,阶数即非零行行数; 竖线后面第一个元素为非零元
10,104,,,,01,103,,,(B)称为行阶梯最简形矩阵 5,,0001,3,,,,00000,,
特点:在行阶梯形的基础上,每行第一个非零元素为1,且该元素所在的列其
余元素为〇。
- , -
10000,,,,01000,,称为标准形矩阵 ,(F),,00100,,,,00000,,
特点:
左上角是一个单位矩阵,其余元素均为0. 一般标准形矩阵
EO,,r矩阵A经过初等变换总可以化为这种,,标准形; F,,,OO,,m,n该标准形由 m、n、r 完全确定.
例题
20,13,,,,A,12,241. 用初等行变换化矩阵为行阶梯形矩阵. ,,
,,013,1,,r??r 12
r - 2r 21
r??r 23
r + 4r 32
12,24,,,,013,1 ,,
,,0015,9,,
2,382,,,,A,212,2122. 用初等行变换把矩阵化成行最简形矩阵. ,,
,,1314,,r??r 13
r - 2r 21
r - 2r 31
3r,r 322
1 r26
r,3r 12
1032,,,,2201, ,,33,,0000,,
- , -
第二节 矩阵的秩
定义2:矩阵的k阶子式
? 1. 矩阵的k阶子阵
– 在矩阵A中任取k行k列,位于这些行与列相交处的元素按照
原来相应位置构成的k阶阵,叫做A的k阶子阵.
3211,,,,,,1232,,,例Aa ,,ij3,4,,4423,,,
,,,,其中,3,1为一阶子阵;
1231,,,, ,,,,,为二阶子阵;,,,,441,3,,,,
321321,,,,,,,,12,3,122为三阶子阵. ,,,,
,,,,44,2443,,,,
? 2.矩阵的k 阶子式
– 矩阵A 的 k 阶子阵的行列式叫做矩阵的 k 阶子式. 思考m ×n矩阵A的k阶子式共有多少个,
3211,,,,,,例A,a,12,32 ,,ij3,4,,4423,,,
其中,3,1为一阶子式;
1231 ,为二阶子式;441,3
321321
12,3,122为三阶子式.
44,2443
kk共C,C个. mn
定义3:矩阵的秩:如果矩阵 A 中有一个 r 阶子式 D ?0,且所有的 r+1阶子式都等于 0 , 则称 D 为 A 的一个最高阶非零子式. 数 r 称为矩阵 A 的秩,矩阵 A 的秩记成 R(A). 零矩阵的秩规定为 0 .
- , -
注
1.Ro,0规定零阵的秩();
2.A,a,r,n,Ar,n,A;,,若称为满秩阵,为降秩阵ijnn,
,,3.A,a,r,min{m,n},A.若亦称为满秩阵ijm,n
T4.R(A),R(A)
3211,,,,,,例1A,a,0000,,ij3,4,,44,23,,其中三阶子式共有4个其值均为0,例如321321321000,000,0,000,0?,r,3
44,244,2443
32再观察二阶子式,4,0,44
,R(A),r,2.
3211,,,,,,21232,,,例Aa ,,ij3,4,,4423,,,其中三阶子式共有4个其值均为0,例如321211321 12,3,2,32,0,122,0?,r,3
44,24,23443
12再观察二阶子式,,4,0, 44
,R(A),r,2.
1112,,,,,,例3A,a,2224 ,,ij3,4,,3336,,其中三阶子式共有4个其值均为0,例如111112 222,0,224,0,?,r,3333336
12 再观察二阶子式,0,?,r,224
- , -
再观察一阶子式|1|,0,,r,1.
,R(A),r,1.
注
4.利用定义求A秩时,要从高阶向低阶逐个子式进行检验; 如果k,1阶子式均为0,而某个k阶子式不等于0,
则R(A),r,k(这是很麻烦的求秩方.法~)
定理1: 若A,B ,则 R(A)= R(B).
解释:任一矩阵A经过有限次行(列)初等变换后其秩不变:包
括
– (1)互换两行(列),其秩不变;
– (2)非零数k乘以i行(j列),其秩不变;
– (3)非零数k乘以i行(j列)加到j行(i列),其秩不变. 证明思路:
1.证明矩阵A经过一次行初等变换变为B时,R(A)=R(B); 2.证明矩阵A经过有限次行初等变换变为B时,R(A)=R(B); 3.对列亦然;
4.推出结论.
证明 先证明,如果矩阵A 经一次初等行变换得矩阵B,那么 R(A) ? R(B).
设 R(A)= r ,且 A 的某个 r 阶子式 Dr? 0 .
当 A 对调第 i 行,第 j 行得矩阵 B 时. 在矩阵 B 中存在一个与D 相r
,,RB,r.应的一个 r 阶子式 M , 且 M = D, 或 M = ? D , 因而 rrr rr
若把矩阵 A 的第 i 行乘数 k?0 得矩阵B,那么 B 中存在一个与D r
,,RB,r.相应的一个 r 阶子式 M, 且 M= D 或 M= k D 因而 r rrrr .
我们也可以证明,如果把矩阵 A 的第 j 行的 k 倍加到第 i 行得到矩
,,也有RB,r.阵 B , 那么矩阵 B 中必有一个 r 阶子式 M? 0 . 因而 r
这样,我们就证明了, 若矩阵 A 经一次初等行变换得矩B,则 R(A) ? R(B)成立.
如果矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵 B , 那么矩阵B 也可以经一次初等行变换得矩阵A , 所以也应有 R(B) ? R(A).
这样,我们就证明了,若矩阵 A 经一次初等行变换得矩阵 B , 则有 R(B)= R(A).
由矩阵经一次初等行变换秩不变, 即可知经有限次初等行变换矩阵的秩也不变. 类似的可以证明,经有限次初等列变换矩阵的秩也不变. 总之,若A,B ,则 R(A)= R(B).
求秩方法:用初等变换把矩阵 A 化成行阶梯形矩阵,矩阵A 的秩 = 此行阶梯形矩阵的秩(据定理1 )(行阶梯形矩阵的秩 = 其非零行的行数(定义3).
- , -
,1214,,,,,,例1A,a,2435,求秩R(A). ,,ij3,4,,,,,1267,,
12,1412,14,,,,,r,2rrr3221,,,, 00530053,,解A ,,,,,,r,r31,,,,00530000,,,,,
由最后化成的行阶梯矩阵的非零行数,R(A),r,2.
123,,,,,,例2A,a,221,求秩R(A). ,,ij3,3,,343,,
123123,,,,,,,,解?A,0,2,5,0,2,5,,,,
,,,,0,2,600,1,,,,
10,2100100,,,,,,,,,,,,,0,2,5,0,20,010,,,,,,,,,,,,00,100,1001,,,,,,由最后化成的行阶梯矩阵的非零行数,R(A),r,3. 满秩阵
123100,,,,,,,,,,Aa由,,221~010,,,,,ij3,3 ,,,,343001,,,,
得到以下等价命题.
若A满秩rA,n,必有A,;()0
,1,A必存在;
,A为非奇异阵;
,A必能化为单位阵En
1,22,11,,,,,,,,2,4802,,,,,,例3A,a,,B,,求秩R(A).R(A?B). ij,,,,4,4,24,233,,,,,,,,3,60,64,,,,
- ,, -
1,22,111,22,11,,,,,,,,2,480200420,,,,,,解?A?B,,,,,,,24,23300215,,,,,,,,3,60,6400,6,31,,,,
1,22,111,22,11,,,,,,,,0021000210,,,, ,,,,,,0000500001,,,,,,,,0000100000,,,,
由最后化成的行阶梯矩阵的非零行数,R(A?B),3,R(A),2.
求秩练习题
求以下矩阵的秩:
1,1210,,,,,882,31,,,,2,24,20,,1.,2,22126;2., AB,,,,306,11,,,,,11132,,,,03001,,
1230,,,,,1,203,,
T,,B3.,2460,,
1,2,10,,
,,0011,,
答案:1.R(A)=2; 2.R(B)=3; 3.同2.
第三节 线性方程组的解
ax,ax,?,ax,0,1111221nn,ax,ax,?,ax,0,2112222nn线性方程组称为 n 元齐次线性方程组. ,?????????,
,ax,ax,?,ax,0m11m22mnn,
aa?ax,,,,n111211,,,,aa?ax,,,,n212222记 Ax,,,,,,,,?????,,,,,,,,aa?axmmmnn,,,,12
A称为方程组的系数矩阵(于是,这个齐次方程组可以记为 Ax,0.定理2:n元齐次线性方程组Ax = 0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R(A) < n="" .="">
证 必要性 设方程组 Ax = 0 有非零解. 用反证法来证明
- ,, -
R(A)< n="" .="" 假设="" r(a)="n" ,那么在="" a="" 中应有一个="" n="" 阶子式="" |d|?0.="" 根据="" cramer="" 法则,d="" 所对应的="" n="" 个方程构成的齐次线性方程组只有零解,从而原方程组="" ax="0也只有零解,矛盾." 故="" r(a)="">< n="" .="">
充分性 设 R(A) = r , n , 对 A 施行初等行变换得到行阶梯形矩阵 A . 那么 A 只含 r 个非零行, 11
10?0b?b,,1,r,11n,,01?0b?b,,2,r,12n
,,???????,,
不妨设为A, bb00?1?,,1r,r,1rn,,00?00?0,,
,,???????
,,00?00?0,,
xbx?bx0,,,,,11,r,1r,11nn,x,bx,?,bx,0,22,r,1r,11nn于是齐次线性方程组 Ax = 0 与同解. ,???????,
,xbx?bx0,,,,rr,r,1r,1rnn,
xbx?bx,,,,,11,r,1r,11nn,x,,bx,?,bx,22,r,1r,11nn把它改写成 ,???????,
,xbx?bx,,,,rr,r,1r,1rnn,
这个方程组有 n - r > 0 个自由未知量, 因此有非零解. 故 Ax = 0也有非零解.
关于齐次线性方程组的结论
,,RA,n;? 方程组仅有零解的充分必要条件是
,,RA,n;? 方程组有非零解的充分必要条件是
,,RA,n;? 当齐次线性方程组中未知量的个数大于方程个数时,必有这
时齐次线性方程组一定有非零解.
xxx,,5,0,123,x,x,2x,0,123例 1 三元齐次线性方程组是否有非零解, ,3x,x,8x,0123,
,x,3x,9x,0123,
1,151,151,15,,,,,,,,,,,,11,202,702,7,,,,,,A,~~解 由 ,,,,,,3,1802,7000,,,,,,,,,,,,13,904,14000,,,,,,
- ,, -
可知R(A)=2. 因为R(A)=2,3
所以此齐次线性方程组有非零解.
3x,x,x,0,123,3x,2x,3x,0例2.当,取何值时,齐次线性方程组 有非零解. ,123
,x,x,,023,
解 用初等行变换化系数矩阵
31,1,31,1311,,,,,,,,,,,, ~014 ,~014A323,,,,,,
,,,,,,01,01,00,,4,,,,,,
可知, 当,,4时, R(A) = 2 < 3.="">
非零解.
例 求解下列齐次线性方程组
x,2x,3x,0,,123xxxx,2,,,0,,1234,2x,5x,2x,0,,,1233x,6x,x,3x,0,(1) (2) ,,12343x,x,4x,0,123,,5x,10x,x,5x,0.1234,,4x,9x,4x,0.123,
解:(1)
123123123,,,,,,,,,,,,,,,r,7rr,2r3221252018018,,,,,,,A ,,,,,,,,3,1,40,750061r,3rr,r3142,,,,,,r,4r41,,,,,,49,4018000,,,,,,
R(A),3可得,而,故方程组只有零解: n,3
x,0,x,0,x,0. 123
(2)
121,1121,1,,,,r,r321,,,,A36130040,,,,,,,,,r,r531,,,,5101,500,40,,,,
121,1120,1,,,,r,rr,r3212,,,,00100010,,,,,,,1,,r()24,,,,00000000,,,,
R(A),2可得,而,故方程组有非零解,通解中含有个任意常4,2,2n,4
数 .
- ,, -
,2,,0,xxx,124原方程组的同解方程组为 ,x,0.3,
取为自由未知量(一般取行最简形矩阵非零行的第一个非零元对应的未x,x24
知量为非自由的), 令,则方程组的全部解(通解)为 x,c,x,c2142
x,,2c,c,,112,x,c,,21 (c,c为任意常数) ,12x,0,3,
,x,c.42,
,21x,,,,,,1,,,,,,10x,,,,,,2或写成(向量)形式 . (c,c为任意常数) ,,cc1212,,,,,,x003,,,,,,,,,,,,01x,,,,4,,
齐次方程组求解方法:
用矩阵初等行变换将系数矩阵化成行阶梯形矩阵,根据系数矩阵的秩可判断原方程组是否有非零解.若有非零解,继续将行阶梯形化为行最简形矩阵,则可求出方程组的全部解(通解).
n 元非齐次线性方程组
axax?axb,,,,,1111221nn1,ax,ax,?,ax,b,2112222nn2 ,?????????,
,ax,ax,?,ax,bm11m22mnnm,
aa?aaa?ab,,,,11121nn111211,,,,aa?aaa?ab,,,,21222nn212222记 AB,,,,,,,?????????,,,,,,,,aa?aaa?abm1m2mnmmmnm,,,,12
A称为非齐次线性方程组的系数矩阵, B 称为增广矩阵. 于是,这个非齐次方程组可以记为Ax = b其中
xb,,,,11,,,,xb,,,,22 xb,,,.,,,,??,,,,,,,,xbnm,,,,
定理3 : n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有解的充分必要条件是 R(A) = R(B) , 其中 B = ( A b ) 为非齐次线性方程组Ax = b 的增广矩阵. 证明 必要性
设非齐次线性方程组 Ax = b 有解,要证R(A) = R(B) .
- ,, -
用反证法, 假设R(A) < r(b)="" ,="" 则="" b可化成="" 行阶梯形矩阵="">
ccd10?0?,,1,r,11n1,,ccd01?0?,,2,r,12n2
,,????????,,
ccd00?1?,,r,r,1rnr,,00??0?01,,
,,????????
,,00??0?00,,
于是得到与原方程组 Ax = b 同解的方程组:
,,,,xcx?cxd,11,r,1r,11nn1,,,,,xcx?cxd22,r,1r,12nn2, ,????????????
,x,cx,?,cx,drr,r,1r,1rnnr,01,,
因为它含有矛盾方程 0 = 1,所以这个方程组无解,这与原方程组有解矛盾. 故 R(A) = R(B) .
充分性 设 R(A) = R(B) = r .
用初等行变换化增广矩阵 B 为行阶梯形矩阵 B1 ,则 B1中含 r 个非零行 .
10?0?ccd,,1,r,11n1,,01?0?ccd,,2,r,12n2
,,????????,,
,B不妨设B 为00?1? ccd,,11r,r,1rnr,,00??0?00,,
,,????????
,,00??0?00,,
x,d,cx,?,cx,111,r,1r,11nn,xdcx?cx,,,,,222,r,1r,12nnB 对应的方程组为 1,????????????,
,x,d,cx,?,cxrrr,r,1r,1rnn,
这个方程组有解. 它与原方程组 Ax = b 同解,所以非齐次线性方程组 Ax = b 有解.
由上述证明还可以知道,n 元非齐次线性方程组 Ax = b 有唯一解的充分必要条件是R(A) = R(B) = n .
关于非齐次线性方程组的结论
R(A),R(A? 方程组无解充分必要条件是) ?b
,nR(A),R(A? 方程组有唯一解的充分必要条件是) ?b
- ,, -
,r,n? 方程组有无穷多组解的充分必要条件是),且R(A),R(A?b
在任一解中含有n,r个任意常数 .
例 3 判断下列非齐次线性方程组是否有解
xxxx,2,3,,2,1234,3x,x,5x,3x,6,1234 ,2x,x,2x,2x,81234,
,5x,4x,5x,7234,
解 用初等行变换化其增广矩阵
1,23,121,23,12,,,,,,,,3,15,3605,400,,,, B,~,,,,212,2805,404,,,,,,,,05,45705,457,,,,
1,23,12,,,,05,400,,~ ,,00057,,,,00004,,
由此可知,R(A) = 3, R(B) = 4, 即 R(A) ? R(B) ,因此方程组无解. 例 4 a , b 取何值时,非齐次线性方程组
x,x,x,x,1,1234,x,x,2x,1,234 ,2x,3x,(a,2)x,4x,b,31234,
,3x,5x,x,(a,8)x,51234,
(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解,
解 用初等行变换把增广矩阵化为行阶梯形矩阵,
1111111111,,,,,,,,01,12101,121,,,,B,~ ,,,,23a,24b,301a2b,1,,,,,,,,351a,8502,2a,52,,,,
11111,,,,01,121,,~ ,,00a,10b,,,,000a,10,,
由此可知:
(1)当 a? ?1 时,R(A) = R(B) = 4 , 方程组有唯一解; (2)当 a = ?1 ,b ? 0 时,R(A) = 2 , 而R (B) = 3, 方程组无解; (3)当 a = ?1 ,b = 0 时,R(A) = R(B) = 2, 方程组有无穷多个解
- ,, -
例 求解下列非齐次线性方程组
xxx2,,,2,,123x,3x,3x,2,,123,xxx,3,,5,,,123(1) (2)3x,x,2x,3, ,,123x,x,5x,,7,123,,4x,2x,x,2.123,,2x,3x,3x,14.123,
x,x,x,3x,,2,,1234,(3)x,x,x,5x,4, ,1234
,,4x,4x,x,,1.123,
解:(1)
21121315,,,,,,,,,rr1213152112,,,,A,,,,,,115,7115,7,,,,,,,,23,31423,314,,,,
13151315,,,,,,,,1,,()r,r2r3212,,,,05180126,,,, ,,,,,,0,24,120,5,1,8,,rrrr3123,,,,,r2r41,,,,0,3,540,3,54,,,,
13151315,,,,,,,,,,r5rrr324301,2601,26,,,,,,,,,,1,,0011220012,r3r,,()r42311,,,,,,,,,0011220000,,,,
13071001,,,,,,,,r,2rr,3r2312 01020102,,,,,,,,,,,,,00120012r,r13,,,,,,,,00000000,,,,
R(A),R(A),3可得,而,故方程组有解,且解唯一: n,3
x,,2x,1x,2 , , . 312
(2)
13321332,,,,,,r,3r21,,,,312301083,,,,A ,,,,,r,4r31,,,,421201084,,,,,,,
,1332,,r,r32,,,,01083, ,,,,,,0001,,
- ,, -
R(A),3可得 ,,故方程组无解. R(A),2
1,1,1,3,21,1,1,3,2,,,,rr,21,,,,1115400286,,A(3) ,,,,,r4r,31,,,,44101003129,,,,,,,,,
,,,,,1113211011,,,,1,rr,r2212,,,,0014300143, ,,,,,,3r,r32,,,,,,,00312900000,,,,
R(A),R(A),2可得,而,故方程组有解,且有无穷多解,通解中含有n,4
个任意常数. 4,2,2
与原方程组同解的方程组为
,,,1,xxx,124 ,x,4x,3.34,
x,x取为自由未知量(一般取行最简形矩阵非零行的第一个非零元对应的未24
知量为非自由的),
x,c,x,c令,则方程组的全部解(通解)为 2142
x,1,c,c,,112,x,c,,21c,c (为任意常数) ,12x,3,4c,32,
,x,c.42,
11,1x,,,,,,,,1,,,,,,,,010x,,,,,,,,2c,c或写成(向量)形式 . (为任意常数) ,,,cc1212,,,,,,,,x30,43,,,,,,,,,,,,,,,,001x,,,,,,,,4
例 取何值时,线性方程组
,kx,x,x,1,123,x,kx,x,k,,123 ,2x,x,kx,k.123,
(1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多解? 有解时求出全部解.解 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为
k111k11,,,,,,,,A,1k1kA,1k1, . ,,,,
2,,,,11k11kk,,,,
- ,, -
R(A),R(A),3(1) 当,即当时,方程组有唯一解. A,0
k11
2A,1k1,(k,1)(k,2),
11k
所以 当且时,方程组有唯一解. k,1k,,2
111
2D,kk1,,(k,1)(k,1)由于, 12k1k
k11
2D,1k1,(k,1), 221kk
k11
22D,1kk,(k,1)(k,1), 3211k
根据克拉默法则,得到唯一解
2DDDk,(k,1)11123 . x,,x,,,x,,,,123Ak,2Ak,Ak,22
(2)当时, k,,2
,21110,33,3,,,,rrr,,321,,,,12121212,,,,,A ,,,,,r2r,12,,,,11240003,,,,,
1,21,2,,r,r12,,0333,,, ,,,,,0003,,
R(A),3R(A),2可得,,故方程组无解.
11111111,,,,,,,,A11110000,(3)当时, k,1,,,,,,,,,11110000,,,,
R(A),R(A),1,3可得,故方程组有无穷多解,通解中含有个任意3,1,2
常数.
x,c,x,c令 ,则 方 程 组 通 解 为 2132
- ,, -
x,1,c,c,,112, x,c, ,21
,x,c.32,
或
1,1,1x,,,,,,,,1,,,,,,,,x,0,c1,c0.(c,c为任意常数) ,,,,,,,,21212
,,,,,,,,001x3,,,,,,,,
第四节 初等矩阵
定义4:由单位矩阵经一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.
初等矩阵有三种:
1,,,,?,,
,,1,,
01,第i行,,
,,1,,
,, ,,Ei,j,?
,,1,,
,,10,第j行,,1,,
,,?,,,,1,,
1,,,,?,,
,,1,,
,,Ei(k),,,k,0 k第i行,,
,,1,,
,,?
,,1,,
1,,,,?,,
,,1c,第i行,,
,,Ei,j(c), ?,,
,,1,第j行,,
,,?
,,1,,
- ,, -
01201,1,,,,,,例1 矩阵都是初等矩阵,且有 ,,,,,,,,,,,,,,,100101,,,,,,
010110,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,101001,,,,,,
201/2010,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,010101,,,,,,
1,11110,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,010101,,,,,,
所以
,1,11,,010120,,,,,,0,,,,,,,,,,,,2,,,,,,,,101001,,,,,,01,, ,11,111,,,,,,,,.,,,,,0101,,,,
001100100,,,,,,,,,,,,010,0,20,010也都是初等矩阵,由于 ,,,,,,
,,,,,,201100001,,,,,,
001001100,,,,,,,,,,,,010010,010, ,,,,,,
,,,,,,100100001,,,,,,
,,100100100,,,,,,,,,,1 0,20,0,0,,010,,,,,2,,,,,,,,001001001,,,,,,
100100100,,,,,,,,,,,,010010,010. ,,,,,,
,,,,,,201,201001,,,,,,
,1,1,,100001001100,,,,,,,,,,,,,,1010010,,所以 ,,,,,02000,,,,,,,2,,,,,,,,,,100100001,,,,001,,,,
,1100100,,,,,,,,010010., ,,,,
,,,,201201,,,,,
一般的有:初等矩阵是可逆矩阵,且其逆矩阵是同类型的初等矩阵.
- ,, -
由于
E(i,j)E(i,j),
21,,,,?,,,,1,,
01,,,,1,,,,= E. ?
,,1,,,,10,,1,,,,?,,,,1,,
,1,,,,Ei,j,Ei,j.因此,
由于
1,,,,Ei(k)Ei(), ,,k,,
1,,1,,,,,,?,,?,,,,,,11,,,,1,,= E. k,,,,k,,1,,1,,,,,,??,,,,,,1,,1,,
因此,
,,1,,,1 EikEi,,,,,,,.,,,,k,,,,
由于
,,,,Ei,j(c)Ei,j(,c)
- ,, -
11,,,,,,,,??,,,,,,,,1c1,c,,,,
= E. ,??,,,,,,,,11,,,,,,,,??,,,,11,,,,因此
,1,,,,,,,,Ei,jc,Ei,j,c.
初等矩阵的转置矩阵仍是初等矩阵。
定理4:对矩阵 A 施行一次初等行(列)变换相当于以相应的初等矩阵左(右)
乘 A.
a,,1,,?,,
,,ai,,
A,?证明 设 A 是 m×n 矩阵,记 ,,
,,aj,,
,,?
,,am,,
其中a , … , a, … , a ,… , a 分别是 A 的第 1, … , i , … , j , …, m 行.用初等1i jm
矩阵 E( i , j ) 左乘矩阵 A ,得
1,,,,a,,1,,?,,?,,,,1,,,,?,,01,,a,,,,i1,,,,?,,,, Ei,jA,,,?,,?,,1,,,,aj,,,,10,,?,,,,1,,?,,,,?,,,,am,,,,1,,
- ,, -
a,,1,,?,,
,,?,,
a,第i行,,j,,?,, ,,,?
,,a,第j行i,,
,,?,,?,,
,,am,,
同样可以得到,定理对其它两种初等行变换也成立.
类似的,可以得到初等列变换的情形.
例 2
aa100aa,,,,,,1212,,,,,,,cc 001bb,,,,,,1212
,,,,,,010ccbb1212,,,,,,
a,kca,kc10kaa,,,,,,112212,,,,,,bb,010bb ,,,,,,1212
,,,,,,001cccc1212,,,,,,
例 3
akaaa,,,,1212,,,,10,,,,,bkbk,0bb ,,,,1212,,0k,,,,,,ccckc1212,,,,
aa,akaa,,,,12112,,,,k1,,,,bb,,bkbb ,,,,12112,,01,,,,,,ccckc,c12112,,,,
定理5:设 A 为 n 阶矩阵, 则 A 是可逆矩阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵 P , P, … , P ,使 A = PP … P . 12 k12k
证明 必要性 设 A 为可逆矩阵.
因为 A , E , 所以 E 经有限次初等变换可以化为 A, 也就是存在初等矩阵 P, P , … , P ,使 A = P …… P E P…… P 12k1ii+1k
即 A = PP … P . 12k
充分性 因为初等矩阵是可逆矩阵,可逆矩阵的乘积也是可逆矩阵.所以,当P , P , … , P 为初等矩阵, A = PP … P 时 ,A 是可逆矩阵. 12k12k
推论 矩阵 A , B ( A 与 B 等价)的充要条件是存在可逆矩矩阵 P 和 Q 使 PAQ = B .
- ,, -
用初等变换求矩阵的逆矩阵
设 A 为可逆矩阵, 据定理5,有初等矩阵 P , P , … , P , 使 A = P , 12k1
P , … , P 2k
,1,1,1P??PPA,E(1)于是有 k21
,1,1,1,1P??PPE,A(2)还有 k21
,1,1,1,1P??PP(AE),(EA)所以 k21
由(1)和(2)式,根据定理4可知,可逆矩阵 A 经一些初等行变换可化为 E ,
-1.E 经同样一些初等行变换可变为 A
,1~(EA)用初等行变换 (AE)
123,,,,例4求矩阵A,134的逆矩阵. ,,
,,144,,
123100,,,,r,r21(AE),134010解 ,,r,r31,,144001,,123100,,,,r,2r011,110~ ,,32,,021,101,,
123100,,,,r,r23011,110~ ,,r,3r13,,00,11,21,,
1204,63,,,,r,2r120100,11~ ,,,,,1r3,,00,11,21,,
1004,41,,,,0100,11~ ,,
,,001,12,1,,
,441,,,,,1,,A011.所以 ,,
,,,,121,,
- ,, -
123,,,,例 求的逆矩阵。 A,221,,
,,343,,
解
123100,,,,,,A?E,221010,,
,,343001,,
123100,,r,2r21,,r,3r31,,,,0,2,5,210,,
,,0,2,6,301,,
10,2,110,,r,r12,,r,r32,,,,0,2,5,210,,
,,00,1,1,11,,
10013,2,,r,2r13,,r,5r23,,,,0,2036,5,,
,,00,1,1,11,,1,,10013,2r,,,,,,22,,,,r,,,,1335,,,,,010,,3,,22,, 00111,1,,
12325,,,,,,,,例 .解矩阵方程 AX,B,其中A,221,B,31.,,,, ,,,,34343,,,,
,1AXAB.AB分析:若可逆,则,对矩阵(?)施以初等行变换, ,1AEBAB.当把变为时,就变为
?P?PPPA,Em321
,1,1?P?PPPAA,EAm321
,1?AA,E ,1,A,P?PPPEm321
,1,AB,P?PPPEBm321
,1?AB,P?PPPBm321
构造3,5矩阵(A?B)并对之施以初等行变换:
- ,, -
12325,,,,,,A?B,22131,,
,,34343,,
1232510,21,4,,,,r2r,r,r3212,,,,,0,2,5,1,9,0,2,5,1,9,,,,r,3rr,r3132,,,,0,2,6,2,1200,1,1,3,,,,
10,21,410032,,,,r,2rr,r1312,,,,0251902046,,,,,,, ,,,,r,rr,5r3223,,,,0011300113,,,,,,,,,,
1003232,,,,r,(,2)2,,,,,010,2,3,X,,2,3. ,,,,r,(,1)3,,,,0011313,,,,
32,,,,所以X,,2,3. ,,
,,13,,
423,,,,例 .解矩阵方程 AX,A,2X,其中A,110. ,,
,,,123,,解由矩阵方程 AX,A,2X可得
(A,2E)X,A
423100223,,,,,,,,,,,,A,2E,110,2010,1,10,,,,,,
,,,,,,,123001,121,,,,,,方法1 : ,1,1,,,,?X,A,2E,A,?先求A,2E.
构造3,6矩阵(A,2E?E)并对之施以初等行变换:
223100,,,, A,2E?E,1,10010,,,,
,,,121001,,
- ,, -
1,10010101021,,,,,,,,,0431,20,011011,,,,
,,,,01101100,11,6,4,,,,
1001,4,3,,,,,0101,5,3,,
,,001,164,,
489,,,,,,,12150.,,,,,,所以XAEA,, ,,11212,,
.
方法2: 构造3,6矩阵(A,2E?A)并对之施以初等行变换:
223423,,,,,,A,2E?A,1,10110 ,,
,,,121,123,,
1,101101004,8,9,,,,,,,,,043203,0101,50 ,,,,
,,,,01103300111212,,,,
4,8,9,,,,所以X,1,50.,, ,,11212,,
.
注:
,1若AX,B,则X,AB.
,1若YA,C,则Y,CA.
A,,,,则可以对矩阵作初等列变换,使 ,,C,,
列变换AE,,,,,1,,,,,,YCA.,,1,,,,CCA,,,,
或利用转置后进行初等行变换求出Y.
- ,, -
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