范文一:矩阵相似对角化
§7.5 线性变换的对角化
§7.5 线性变换的对角化
一、线性变换可对角化 的条件 二、特征子空间与矩阵的对角化 三、矩阵对角化的方法
第七章 线性变换
究竟哪一些线性变换的矩阵在一个适当的基下可以是对角 矩阵,或者说,n阶矩阵在什么时候可以与一个对角矩阵相似, 本节就来讨论这个问题。
一、线性变换可对角化的条件
定义1 设 σ 是数域F上n维向量空间V的一个线性变换,如 果存在V的一个基,使在这个基下的矩阵是对角形矩阵,则称线 性变换可对角化。 本定义用矩阵语言可叙述为: 定义 1′ 设A是数域F上的一个n阶矩阵,如果A与F上的对角 矩阵相似,即存在可逆阵T,使 T ?1 AT 为对角阵,则称A在F上 可对角化。
? 1 1? 不是任一个矩阵都可以对角化,例如 ? ? 就不能对角化。 ? 0 1?
第七章 线性变换
若 σ 可对角化,则对角矩阵中对角线上的元素应是 σ 的特征根。请看以下定理 定理7.5.1 设 σ 是F上n维向量空间V的一个线性变换,则
σ 可对角化的充要条件是:σ 是有n个线性无关的特征向量。
证明:充分性显然。 必要性。设 σ 可对角化,则存在V的一个基 α1 , α 2 , 使得
σ ( α1 , α 2 ,
, α n ) = ( α1 , α 2 , ? λ1 ? λ2 ? ,α n ) ? ? ? ? ? ? ? ? λn ?
,αn ,
则
σα i = λiα i , 即 α i 是 σ 属于 λi 的特征向量,i = 1, 2,
,n
定理7.5.1用矩阵语言可以叙述为: 定理7.5. 1′ 数域F上一个n阶矩阵A可以对角化的充要条件是
n 矩阵A在 F线性变换 中有n个线性无关的特征向量。 第七章
属于不同特征值的特征向量之间是线性相关还是线性无关? 定理7.5.2 属于不同特征值的特征向量必线性无关的。 证明:(对特征值的个数用归纳法证明)。 当 m = 1, 即特征值只有一个,由于特征向量不为零,而 单个非零特征向量必线性无关,所以结论成立。 现假设属于 m ? 1 个不同特征值的特征向量 ξ1 , ξ 2 , , ξ m ?1 线性无关。下面证明属于 m 个不同特征值 λ1 , , λm ?1 , λm 的 特征向量 ξ1 , ξ 2 , , ξ m 也线性无关。假设有关系式:
k1ξ1 + k2ξ 2 +
k1σξ1 + k2σξ 2 +
第七章 线性变换
+ km ?1ξ m ?1 + kmξ m = 0
+ km ?1σξ m ?1 + kmσξ m = 0
(7.5.1)
对(7.5.1)式两边同时施行变换 σ 得
于是得: k1λ1ξ1 + k2λ2ξ 2 +
+ km ?1λm ?1ξ m ?1 + km λmξ m = 0 (7.5.2)
用 λm 乘(7.5.1)式两边得: k1λmξ1 + k2λmξ 2 + + km ?1λmξ m ?1 + km λmξ m = 0 (7.5.3) 把(7.5.2)减去(7.5.3)得:
k1 (λ1 ? λm )ξ1 + k2 (λ2 ? λm )ξ 2 +
由假设知, ξ1 , ξ 2 ,
+ km ?1 (λm ?1 ? λm )ξ m ?1 = 0 ,m ?1 。
,m ?1
, ξ m ?1 线性无关,故得 , m ? 1, 故得 ki = 0, i = 1, 2,
ki (λi ? λm ) = 0, i = 1, 2,
又
由于 λi ≠ λm , i = 1, 2, 因此 ξ1 , ξ 2 ,
第七章 线性变换
代入(7.5.1)得 kmξ m = 0, 又 ξ m ≠ 0, 故 km = 0 。
, ξ m 线性无关。
?3 0 0 ? ? ? 例7.5.1 判断C上的矩阵 A = ? 0 2 ?5 ? 能否对角化。 ? 0 1 ?2 ? ? ?
解:A的特征多项式是
λ ?3
f (λ ) = λ E ? A = 0 0
0
0 5 = (λ ? 3)(λ 2 + 1) λ+2
λ ?2
?1
由于 f (λ ) 在C上没有重根,故 σ 可以对角化。 当线性变换 σ 有n个不同特征根时,σ 可对角化的问题 已得到完满解决。但在线性变换没有n个不同特征根的情况, 要判别这个线性变换能不能对角化,这个问题如何解决呢?
第七章 线性变换
二、特征子空间与矩阵的对角化
定义2 设 σ ∈ L(V ), λ ∈ F 是 σ 的一个特征值,则集合
Vλ = {ξ ξ ∈ V , λ ∈ F , σ (ξ ) = λξ }
称为 σ 的属于特征值 λ 的特征子空间。 因为, Vλ 非空,它包含了属于 λ 的全部特征向量和零向
量。 ?α , β ∈ Vλ , ?k , l ∈ F , 有
σ ( kα + l β ) = kσ (α ) + lσ ( β ) = k λα + l λβ = λ ( kα + l β )
故
kα + l β ∈ Vλ
Vλ 是V的子空间,其维数等于属于 λ 的线性无关的特
征向量的个数。
第七章 线性变换
定理7.5.3 设V是n维线性空间,如果 λ1 , λ2 , 中线性变换 σ 的全部不同特征值,而 α i 1 , α i 2 ,
, λs 是 L(V )
, α iti 是属于特
征值 λi 的线性无关的特征向量,i = 1, 2, , s, 则向量组 α11 , , α1t1 , , α s1 , , α sts 线性无关。 α 证明:(1)当 k = 1时, 11 , , α1t1 是属于特征值 λ1 的线性
无关的特征向量,结论显然成立。 假设当 k = s ? 1 时,结论成立。 即分别属于特征值 λ1 , , λs ?1 线性无关的特征向量 α11 , , α1t1 ; ;α ( s ?1)1 , , α ( s ?1) ts?1 也线性无关。 则当 k = s 时,α k 1 , , α ktk 是属于特征值 λ 的线性无关的特 征向量, k = 1, 2, , s 。 设有 k11α11 + + k1t1α1t1 + 两边同时施行线性变换 σ 得
第七章 线性变换
k
+ ks1α s1 +
ksts α sts = 0 (7.5.4)
k11λ1α11 + + k1t1 λ1α1t + + ks1λsα s1 + 把(7.5.4)式两边同乘以 λs 得: k11λsα11 + + k1t1 λsα1t + + ks1λsα s1 + (7.5.5)-(7.5.6)得 k11 (λ1 ? λs )α11 + + k1t1 (λ1 ? λs )α1t1 +
ksts λsα sts = 0 (7.5.5) kst s λsα sts = 0 (7.5.6)
+ k( s ?1)1 (λs ?1 ? λs )α ( s ?1)1 +
由归纳假设知 α11 , 故
k( s ?1) ts?1 (λs ?1 ? λs )α ( s ?1) t s?1 = 0
, α1t1 ,
, α ( s ?1)1 ,
kij (λi ? λs ) = 0, i = 1, 2,
, α ( s ?1) ts?1 线性无关, , s ? 1, j = 1, 2, , ti
, ti
由于 λi ≠ λs , i = 1, 2, , s ? 1, 于是 kij = 0, i = 1, 2, , s ? 1, j = 1, 2,
ks1α s1 + + ksts α sts = 0 因此得 又 α s1 , , α sts 线性无关,故 ks1 = = ksts = 0, 因此当 k = s 时, α11 , , α1t1 , , α s1 , , α sts 线性无关,故结论成立。
第七章 线性变
换
在定理7.5.3的条件上,令 t i = dimVλ i , i = 1, 2, 结论(1) 若 dimV = t1 + t 2 + (2)若 t1 + t 2 + 因为 若 t1 + t 2 +
, s 则有
+ t s , 则 σ 可对角化;
+ t s
+ t s = n, 则取每个 Vλ i , i = 1, , s 的 基,它们合起来: α11 , , α1t1 , , α s1 , , α sts 就是V的一个基。
σ 在此基下的矩阵为对角矩阵; 若 t1 + + t s
σ 理7.5.1知, 不能对角化。
第七章 线性变换
三、矩阵对角化的方法
若矩阵A可以对角化,则存在可逆矩阵T,使
? λ1 ? λ2 ?1 ? T AT = ? ? ? ? ? ?, ? ? λn ?
? λ1 ? λ2 ? 或 AT = ? ? ?
? ? ?T ? ? λn ?
把T按列分块写成 T = (T1 , T2 ,
A(T1 , T2 , , Tn ) = (T1 , T2 ,
, Tn ), 则
? λ1 ? λ2 ? , Tn ) ? ? ? ? ? ? ? ? λn ?
于是得 ATi = λiTi , i = 1, 2,
第七章 线性变换
, n, 即 λi 是A的特征值。而矩阵T
的第i列就是A的属于特征根 λi 的一个特征向量,于是,数域F
上n阶矩阵对角化的方法如下: 1、求出矩阵A的全部特征根; 2、如果A的特征根全在F内,则对每一特征值 λ 求出齐次 线性方程组 (λ E ? A)Χ = 0 的一个基础解系; 3、如果对于每一特征值 λ 来说,相应齐次线性方程组的基 础解系所含解向量的个数等于 λ 的重数,则A可对角化; 4、以这些解向量为列作成一个n阶矩阵T,则 T ?1 AT 就是 对角形矩阵且对角线上元素就是相应的特征根。
第七章 线性变换
? 0 0 1? ? ? 例7.5.2 R上矩阵 A = ? 0 1 0 ? 能否对角化?若能对角化, ? 1 0 0? ? ? 求出可逆方阵T,使 T ?1 AT 为对角形。 λ 0 ?1 λ E ? A = 0 λ ? 1 0 = (λ ? 1)2 (λ + 1) 解: ?1 0 λ
? 1? ? 0? ? ? ? ? ? x1 ? x3 = 0 η1 = ? 0 ? ,η2 = ? 1 ? 把 λ = 1 代入得方程组? , 其基础解系 ? 1? ? 0? ? ? x1 + x3 = 0 ? ? ? ?
? 1? ? ? x1 ? x3 = 0 ? η3 = ? 0 ? 把 λ = ?1 代入得方程组 ? ?2 x2 = 0 , 其基础解系 ? ? ? ?1 ? ?? x ? x = 0 ? ? 3 ? 1
第七章 线性变换
得
λ1 = λ2 = 1, λ3 = ?1
?1 故A可对角化。令 T = ? 0 ? ?1 ? ? 3 ? 例7.5.3 设 A = ? ?2 ? 3 ? 求可逆矩阵T,使 T ?1 AT λ ?3 解: λ E ? A = 2 ?3
得
1? ?1 ? ? ? ? ?1 1 0 ? , 则 T AT = ? 1 ?。 ? ?1 ? 0 ?1 ? ? ? ? 0 ?1 ? ? ?2 2 ? , A能否对角化?若能对角化, 6 ?1 ? ? 为对角形。 ?2 1 令 2 λ + 2 ?2 = (λ ? 2) (λ + 4) = 0, ?6 λ + 1 2
λ1 = λ2 = 2,λ3 = ?4
? ?1 ?2 1 ? ? x1 ? ? 0 ? ? ?? ? ? ? 把 λ = 2 代入得方程组 ? 2 4 ?2 ? ? x2 ? = ? 0 ? , ? ? 3 ?6 3 ? ? x ? ? 0 ? 第七章 线性变换 ? ?? 3 ? ? ?
? ?2 ? ? ? 其基础解系为 η1 = ? 1 ? , η2 ? 0? ? ? ? ?7 ? 把 λ = ?4 代入得方程组 ? 2 ? ?3 ?
其基础解系为
? 1? ? ? = ? 0? 。 ? 1? ? ? ?2 1 ? ? x1 ? ? 0 ? ?? ? ? ? ?2 ? 2 ? ? x 2 ? = ? 0 ? , ?? ? ? ? ? 6 ?3 ? ? x 3 ? ? 0 ?
? 1? η 3 = ? ?2 ? ? ? ? 3? ? ?
? ?2 1 1 ? ?2 0 0 ? ? ? 故A可对角化,令 T = ? 1 0 ?2 ? , 则 T ′AT = ? 0 2 0 ? 。 ? ? ? 0 1 3? ? 0 0 ?4 ? ? ? ? ?
第七章 线性变换
范文二:矩阵的相似对角化
学科分类号(二级)
本科学生毕业论文(设计)
题 目 矩阵的对角化
姓 名 李
学 号
院、 系 数学学院
专 业 数学与应用数学
指导教师
职称(学历)副教授
矩阵的对角化
摘要:矩阵的对角化是高等代数课程的一个重要内容,相似的矩阵具有一些相同的性质,比如相同的特征值,秩,迹,行列式等.因此,对于可对角化的矩阵,可通过研究它的相似标准形来讨论这类矩阵的性质.本文总结了矩阵可对角化的条件,归纳了矩阵对角化的基本方法和步骤,并通过实际例子展现其具体应用. 关键词:特征值;特征向量;矩阵对角化
1 引言
鉴于矩阵对角化的重要性,许多学者在这方面展开了探讨. 王兴民,孙霞等人在文献[1]中阐述了矩阵的特征值与特征向量及其相似对角形的统一求法;在此基础上,王新民又在文献[2]中归纳了矩阵特征值与特征向量及其相似对角形的优化求法;许必才在文献[3]中探讨了用初等变换的方法求解相似对角形;曾文才在文献[4]中更加详尽的讨论了矩阵可对角化的充要条件及其变换矩阵的构造;刘学鹏,王文省在文献[5]中阐述了一类特殊矩阵,即实对称矩阵的对角化过程;张立群,郭伟在文献[6]中详细的讨论了矩阵对角化的判别方法;李丽花则在文献[7]中概括阐述了矩阵可相似对角化的条件.另外,在权威的高等代数教材[8]及专门介绍矩阵理论的书[9]中,我们可以找到矩阵对角化的相关概念和理论. 通过阅读上述文献,我们发现,这些文章涉及到的关于矩阵的相似对角化的方法部分是重复的,而且每篇论文只就某个方面展开论述. 本文将对这些方法和结论做系统的整理和归纳,这对于学习矩阵相似对角化及其应用具有一定意义.
2 任意数域上矩阵的对角化问题
本节具体讨论任意数域上矩阵对角化的条件及对角化的步骤. 先给出一些基本概念.设A,B是n阶矩阵,若存在可逆矩阵P,使得错误!未找到引用源。则称矩阵A与矩阵B相似,记为A∽B.若n阶矩阵A与对角矩阵错误!未找到引用源。相似,则称A可相似对角化,记为错误!未找到引用源。∽错误!未找到引用源。,并称错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的相似标准形.对于矩阵可相似对角化的条件,有以下定理.
定理2.1 设错误!未找到引用源。是数域错误!未找到引用源。上n阶矩阵,下列条件等价:
(1) A可对角化;
(2) A在错误!未找到引用源。中有n个线性无关的特征向量;
(3) ?E??0的根全在P中,且每个特征根的几何重数等于代数重数. 根据上述定理,可按以下步骤来处理矩阵的对角化问题:
(1) 求出矩阵错误!未找到引用源。 的特征值错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,?,错误!未找到引用源。;
(2) 若错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,?,错误!未找到引用源。互不相同,则错误!未找到引用源。可对角化,可直接进行步骤?4?;
(3) 若特征值有重根,则求该特征值有几个线性无关的特征向量,如果k重特征值有错误!未找到引用源。个线性无关的特征向量,则错误!未找到引用源。可对角化,否则错误!未找到引用源。不可对角化.
(4) 当A可对角化时,求出各特征值对应的特征向量错误!未找到引用源。,?2,? ,an;并排列成矩阵错误!未找到引用源。=(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),则
错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 注:设错误!未找到引用源。是数域错误!未找到引用源。上n阶矩阵,如果错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。中有n个互不相同的特征值,那么A在P上可对角化.该条件仅仅是“错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。上可对角化”的充分条件,反之不成立.
例2.1 已知错误!未找到引用源。,判断错误!未找到引用源。是否可对角化.
解:由特征多项式
错误!未找到引用源。
知0,1是错误!未找到引用源。的特征值,其中错误!未找到引用源。是错误!未
找到引用源。的二重特征值.且
r?0E?A??r?A??2,n?r?0E?A??1,
这表明二重根??0只有一个线性无关的特征向量,故错误!未找到引用源。不能
相似对角化.
例2.2 设错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,求可逆矩阵错误!未找到引用源。,把错误!未找到引用源。化为相似标准形错误!未找到引用源。,并写出对角矩阵错误!未找到引用源。.
解:先求出错误!未找到引用源。的特征值,特征向量.该矩阵的特征多项式是
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 所以错误!未找到引用源。的特征值为0,-1,1.
对于错误!未找到引用源。=0,解齐次方程组错误!未找到引用源。.由 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错
?10?2???误!未找到引用源。??010?
?000???
可求得特征向量错误!未找到引用源。.
对于错误!未找到引用源。,解齐次方程组错误!未找到引用源。.由
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未
?10?1???找到引用源。??010?
?000???
可求得特征向量错误!未找到引用源。.
对于错误!未找到引用源。=1,解齐次方程错误!未找到引用源。,由
?103???(E?A)=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。?01?2?.
?000???
可求得特征向量错误!未找到引用源。.
令
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
则
错误!未找到引用源。.
3 实对称矩阵的对角化问题及其应用
实对称矩阵是一类相对特殊的矩阵,这类矩阵必可以相似对角化.由于其特征值全为实数,特征向量全为实向量,不同特征值的特征向量互相正交,故通常采用正交矩阵将其对角化.用正交矩阵对实对称矩阵对角化的步骤是:
(1)求出矩阵错误!未找到引用源。的特征值错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,?,错误!未找到引用源。;
(2)求出对应的特征向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,?,错误!未找到引用源。;
(3)当错误!未找到引用源。的特征值互不相同时,将特征向量单位化即可构造矩阵错误!未找到引用源。;若存在特征值重根错误!未找到引用源。时,需检验特征向量是否正交,否则对其进行Schmidt正交法处理,构造正交矩阵错误!未找到引用源。,将矩阵对角化为P?1AP??
例3.1设矩阵错误!未找到引用源。为三阶实对称矩阵且各行元素之和均为3,向量错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为线性方程组错误!未找到引用源。的两个解.
(1)求错误!未找到引用源。的特征值与特征向量;
(2)求正交矩阵错误!未找到引用源。和对角矩阵错误!未找到引用源。,使错误!未找到引用源。.
解:(1)由于错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。为线性方程组错误!未找到引用源。的两个解.所以错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。对应于特征值0的两个线性无关的特征向量,又因为错误!未找到引用源。的各行元素之和均为3,所以3也是错误!未找到引用源。的特征值,错误!未找到引用源。是矩阵错误!未找到引用源。对应于特征值3的特征向量.经检验,所求得的两个向量并不正交,因此要对其进行正交化处理.
(2)将错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。正交化:
错误!未找到引用源。
再将错误!未找到引用源。单位化得
错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
则
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
在解析几何中,正交相似标准形可用于判断二次曲面的形状,常用方法是将实二次型经正交变换化为标准形.
例3.2已知实二次型f?x1,x2,x3??2x12?2x22?18x32?2x1x2?6x1x3?6x2x3.
(1)求二次型对应矩阵的特征值.
(2)判定方程错误!未找到引用源。=1表示何种二次曲面.
解:(1)二次型f(x1,x2,x3)的矩阵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,则
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, 故二次型对应矩阵错误!未找到引用源。的特征值为错误!未找到引用源。
(2)由(1)知,存在正交矩阵错误!未找到引用源。使实对称矩阵错误!未找到引用源。正交相似于对角矩阵
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
作正交变换错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。,则二次型化为标准形错误!未找到引用源。.此时方程错误!未找到引用源。=1即错误!未找到引用源。=1.这表明方程f?x1,x2,x3??1表示椭圆柱面.
4 Jordan标准形
对于可对角化的矩阵,通常采用上述方法化简处理,但并不是所有的矩阵都可以对角化,如例2.1中矩阵错误!未找到引用源。便不可对角化,对于这类不可以对角化的矩阵,为了方便计算或研究,我们可以退一步求次之,即使得矩阵化为分块对角矩阵,也就是将一个方阵与分块对角矩阵相似,这个问题在复数域上得到了非常完美的解决,即矩阵的Jordan相似标准形.为了陈述Jordan标准形的具体理论,首先介绍几个概念.若多项式错误!未找到引用源。使得矩阵A满足
f(A)?0,则称错误!未找到引用源。为矩阵错误!未找到引用源。的零化多项式.矩阵错误!未找到引用源。的所有零化多项式中,次数最低且首项系数为1的多项式错误!未找到引用源。称为矩阵错误!未找到引用源。的最小多项式.错误!未找到引用源。-矩阵错误!未找到引用源。的所有不为零的错误!未找到引用源。阶子式的首项系数为1的最大公因式Dk(?),叫做错误!未找到引用源。的错误!未找到引用源。阶行列式因子.错误!未找到引用源。的标准形的主对角线上的元素叫做错误!未找到引用源。的不变因子.数字矩阵错误!未找到引用源。的特征矩阵错误!未找到引用源。的所有次数大于零的不变因子在复数域上的标准分解式中的所有一次因式的幂,叫做矩阵A的初等因子.若矩阵错误!未找到引用源。与Jordan形矩阵错误!未找到引用源。相似,那么就称错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。的Jordan错误!未找到引用源。标准形.下面的定义4.1给出了Jordan形矩阵的具体描述.
定义4.1 形式为
错误!未找到引用源。
的矩阵称为若尔当(Jordan)错误!未找到引用源。块,其中错误!未找到引用源。是复数,由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵,其一般形状如
错误!未找到引用源。,
其中
错误!未找到引用源。,
而错误!未找到引用源。中有一些可以相等.
我们要求得一个矩阵A的Jordan错误!未找到引用源。标准形,可以分为以下几个步骤:
(1)将矩阵A的特征矩阵?E?A化为对角形D(?).
(2)将D(?)对角线上次数大于零的多项式分解为一次因式的幂,这些一次因式的幂即为矩阵A的所有初等因子.
(3)将初等因子(???i)k对应一个Jordan错误!未找到引用源。块J(?i,ki).
(4)将诸Jordan块排成Jordan形矩阵
?J(?1,k1)???J????.
?J(?s,ks)???
即可得到矩阵A的Jordan标准形.
例4.1 求矩阵A=错误!未找到引用源。的最小多项式及Jordan错误!未找到引用源。标准形.
解:(1)A的特征多项式是
错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
由于
A2=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。, A(A?E)=错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。,
000??0????1?2?10?2=错误!未找到引用源。, A(A?E)=错误!未找到引用源。?1100????222?1???
所以矩阵A的最小多项式错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。.
(2)由(1)知矩阵A的最后一个不变因子错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,所以,d3?????,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=1.于是矩阵A的初等因子为错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。.这些初等因子对应的Jordan块是
??1?,?0?,??00??.故矩阵A的Jordan错误!未找到引用源。标准形为??10?
?1??0J=?0??0?
000000010??0? 0??0??.
矩阵的对角化为我们学习,研究矩阵提供了一个很简便的工具,本文总结了一般矩阵,实对称矩阵的对角化方法步骤以及不可对角化矩阵的Jordan标准形求法,并通过实例展现了其具体处理步骤.
参考文献
[1]王新民,孙霞,张景晓. 矩阵的特征值与特征向量及其相似对角形的统一求法
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[9]I. N. Her stein, D. J. Winter. Matrix Theory and Linear Algebra, Macmillan, 1988.
Diagonalization of the Matrices
Abstract:Diagonalization of the matrices is an important content of higher algebra course.There are common properties of similar matrices,such as characteristic values,rank,traces and determinants.Thus,we can consider some properties of matrices which can be diagonalization through these similar canonical forms.This article summarizes some conditions under which the matrices can be diagonalized and conclude the elementary methods and steps to diagonalize these matrices.Some specific examples are given to show the application of diagonalization of matrices.
Keywords:Characteristic value,Eigenvector,Diagonalization of the Matrices
范文三:矩阵的相似对角化
矩阵的相似对角化
一、填空题
,11. 若 。 3,3阶矩阵A的特征值分别为1,,2,3,则A的特征值分别为
001,,,,2. 设矩阵,则A的全部特征值为 。 A,010,,
,,100,,
1-3. 若λ=3是可逆方阵A的一个特征值,则A必有一个特征值为______。 4. 设,分别属于方阵A的不同特征值λ,λ的特征向量,则与必线性_____。 ,,,,122211
T5. 设A为实对称矩阵,=(1,1,1),=(3,1,a)分别是属于A的相异特征值λ与λ的--,,1221
特征向量,则a=_____。
26. 设三阶方阵A的特征值为1,1,1,且B=A,则B的特征值为_____。 --
7. 设A 为4阶方阵,A 的4个特征值为-2,-1,1,2。则 。 ,A,8.若阶矩阵A有一特征值为2,则 。 A,2E,n
1,20200,,,,,,,,9. 设矩阵A=,2,20与B=相似,则y=_______。 0y0,,,,
,,,,004004,,,,
12,,10. 设矩阵A=,则与其相似的对角矩阵有________。 ,,43,,
二、选择题
211,,
,,T1. 已知( ) a,(1,k,1)是矩阵A,121的特征向量,则k,,,
,,112,,
A(1或2 B(-1或-2 C(1或-2 D(-1或2 若( ) n阶矩阵A与B相似,则
A(它们的特征矩阵相似 B(它们具有相同的特征向量
TC(它们具有相同的特征矩阵 D(存在可逆矩阵 C,使CAC,B2. 设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2,对应的特征向量为x,则下列等式中不正确的是( )
1-1A(Ax=2x B(Ax=x 2
-12C(Ax=2x D(Ax=4x
3. 设A为3阶矩阵,A的特征值为0,1,2,那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解
向量的个数为( )
A(0 B(1 C(2 D(3 三、计算题
110000,,,,
,,,,1. 已知矩阵 A,110与B,030,相似,,,,
,,,,00300x,,,,
,1(1)求;(2)。 求可逆矩阵P,使PAP,Bx
2. 设3阶方阵A的三个特征值为,A的属于的特征向量依次 ,,1,,,0,,,,1,,,,,123123
200,,,,,,,,,,,,为,求方阵A。 ,0,,1,,2,,,,,,,,,123,,,,,,025,,,,,,
233. 设三阶方阵A的特征值为1,2,-2,又B=3A-A,说明B能否对角化?若能对角化,试
求
与B相似的对角阵。
,1,20,,,,4. 求矩阵A=的所有特征值,指出A能否与对角矩阵相似,并说明理由。 230,,
,,202,,
范文四:矩阵的相似对角化
第五章 http://jf.tao8go.com http://tao.tao8go.com http://tao8go.com 矩阵的相似对角化
一、填空题
,11. 若 。 3,3阶矩阵A的特征值分别为1,,2,3,则A的特征值分别为
001,,,,2. 设矩阵,则A的全部特征值为 。 A,010,,
,,100,,
1-3. 若λ=3是可逆方阵A的一个特征值,则A必有一个特征值为______。 4. 设,分别属于方阵A的不同特征值λ,λ的特征向量,则与必线性_____。 ,,,,122211
T5. 设A为实对称矩阵,=(-1,1,1),=(3,-1,a)分别是属于A的相异特征值λ与λ的,,1221
特征向量,则a=_____。
26. 设三阶方阵A的特征值为1,1,1,且B=A,则B的特征值为_____。 --
7. 设A 为4阶方阵,A 的4个特征值为-2,-1,1,2。则 。 ,A,
8.若阶矩阵A有一特征值为2,则 。 A,2E,n
1,20200,,,,,,,,9. 设矩阵A=与B=相似,则y=_______。 ,2,200y0,,,,
,,,,004004,,,,
12,,10. 设矩阵A=,则与其相似的对角矩阵有________。 ,,43,,
二、选择题
211,,
,,T1. 已知( ) a,(1,k,1)是矩阵A,121的特征向量,则k,,,
,,112,,
A(1或2 B(-1或-2 C(1或-2 D(-1或2 若( ) n阶矩阵A与B相似,则
A(它们的特征矩阵相似 B(它们具有相同的特征向量
TC(它们具有相同的特征矩阵 D(存在可逆矩阵 C,使CAC,B2. 设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2,对应的特征向量为x,则下列等式中不正确的是( )
1-1A(Ax=2x B(Ax=x 2
-12C(Ax=2x D(Ax=4x
3. 设A为3阶矩阵,A的特征值为0,1,2,那么齐次线性方程组Ax=0的基础解系所含解
向量的个数为( )
A(0 B(1 C(2 D(3 三、计算题
110000,,,,
,,,,1. 已知矩阵 A,110与B,030,相似,,,,
,,,,00300x,,,,
,1(1)求;(2)。 求可逆矩阵P,使PAP,Bx
2. 设3阶方阵A的三个特征值为,A的属于的特征向量依次 ,,1,,,0,,,,1,,,,,123123
200,,,,,,,,,,,,为,求方阵A。 ,0,,1,,2,,,,,,,,,123,,,,,,025,,,,,,
233. 设三阶方阵A的特征值为1,2,-2,又B=3A-A,说明B能否对角化?若能对角化,试
求
与B相似的对角阵。
,1,20,,,,4. 求矩阵A=的所有特征值,指出A能否与对角矩阵相似,并说明理由。 230,,
,,202,,
范文五:矩阵相似对角化的应用
矩阵相似对角化的应用
利用矩阵相似于对角形矩阵,我们可以计算方阵的高次幂. 设A~Λ,即存在可逆矩阵P,使得P-1AP=Λ,则A=PΛP-1,从而 Ak=(PΛP-1) (PΛP-1)=PΛkP-1,进而f(A)=Pf(Λ)P-1,而对于对角阵Λ,
?λ1k?
有Λk=???????f(λ1)???,f(Λ)=??? ?k?λn??????. ??f(λn)?λ2kf(λ2)
10??-1?,求k-220例:设A=?A(k=2,3, ). ????4-21??
1??10?1??,Λ=?1?使得P-1AP=Λ,(具体步骤略) 201解 可求得P=???????0??01-2????
?A=PΛP-1,Ak=PΛkP-1.
1??110??-110??10??-1??1??4-21?=?-2? 20120 故 Ak=??????????0??01-2???????2-10????4-21??