范文一:点关于直线的对称点的一种公式求法
点关于直线的对称点的一种公式求法
上海市奉贤中学 王志和
读了本刊文(1),很有收获。文(1)说明了一个点关于一条直线对称点的求解公式:
ax,by,c,0结论:设直线l:b,(、至少有一个不为0),点关于直aA(x,y)00
22,,,,(ba)x2aby2ac00,x1,22,,ab线l的对称点的坐标是,则;B(x,y)11,22,,,(ab)y2abx2bc00,,y122,,ab,
这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。
因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具,因而这样总结的结论很有必要。
但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。 本文将以上公式做适当改进,体现出数学的对称美,而且有很明显的几何意义,因而便
于记忆和运用。
22(b,a)x,2aby,2ac00x,将以上的 变为: 122a,b
222(b,a)x,2ax,2aby,2ac000x, 122a,b
2a(ax,by,c)00 ,x,022a,b
a2(ax,by,c)00 ,x,,02222a,ba,b
a, , ,x,,2d022a,b
ax,by,c00,d,l(其中的绝对值是点到直线的距离)(x,y)0022a,b
b,l同理:,于是点关于直线的对称点是y,y,,2dA(x,y)100022a,bB d y d
A
x
O
e
图一
ab,,,, B(x,,2dy,,2d)002222a,ba,b
ab(a,b)e,其中的向量是直线l的法向量的单位向量,如图,设点A(,)2222a,ba,b
ab,,d到直线l的距离是,则,意思是将点B(x,,2dy,,2d)002222a,ba,b
ab2d按单位法向量的方向向直线l的“对面”移动个单位A(x,y)(,)002222a,ba,b
l便得到关于直线的对称点,从图中看得更明显。 AB
ab,,因而,对称点,既是求对称点的公式,B(x,,2dy,,2d)002222a,ba,b
2d也是沿法向量平移个单位而得到对称点的方法。
B(1,3)2x,3y,2,0例1 求点关于直线:的对称点的坐标;A
B(1,3)2x,3y,2,0解法一:公式法,设关于直线:的对称点坐标为)A(x,y11
依照上述公式得:
22(292)3332(292)9,,,,,13x,,,,,y,,,,,11131313131313
339所以对称点是。 A(,)1313
5ld,ll 解法二 如图一,点到直线的距离是,点在直线的上方,直线的单BB
13
1023B(1,3)2d,位法向量是=(,,),沿此方向将点平移个单位便得到对称点e
131313
339; A(,)1313
x,y,c,0 例2 已知点,(1)求A关于直线的对称点坐标;(2)求A关A(x,y)00
x,y,c,0于直线的对称点坐标;
解(1)设对称点,则由求对称点公式得: B(x,y)11
12()12()x,y,cx,y,c0000,,x,x,,,,y,cy,y,,,,x,c1001002222
所以对称点是; (,y,c,,x,c)00
2()x,y,c12()1,x,y,c0000(2),y,y,,,x,cx,x,,,y,c1001002222
即对称点是:; (y,c,x,c)00
参考文献:
范文二:点关于直线的对称点的一种公式求法
点关于直线的对称点的一种公式求法 结论:设直线,(、至少有一个不为0),点关于直A(x,y)ax,by,c,0al:b00
22,,,,(ba)x2aby2ac00,x1,22,,ab线的对称点的坐标是,则; B(x,y)l11,22,,,(ab)y2abx2bc00,,y122,,ab,
这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。 因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具,因而这样总结的结论很有必要。
但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。
本文将以上公式做适当改进,体现出数学的对称美,而且有很明显的几何意义,因而便
于记忆和运用。
22(b,a)x,2aby,2ac00x,将以上的 变为: 122a,b
222(b,a)x,2ax,2aby,2ac000 O x, 122a,b
2a(ax,by,c)00 ,x,022a,b
a2(ax,by,c)00 ,x,,02222a,ba,b
a, , ,x,,2d022a,b
ax,by,c00,(x,y)(其中d,的绝对值是点到直线的距离) l0022a,b
b,A(x,y)同理:,于是点关于直线的对称点是 y,y,,2dl001022a,bB d y
d ab,,,, B(x,,2dy,,2d)A 002222a,ba,bx
O abAe,其中的向量是直线的法向量(a,b)的单位向量,如图,设点(,)le 2222a,ba,b图一
ab,,到直线的距离是,则,意思是将点B(x,,2dy,,2d)ld002222a,ba,b
ab按单位法向量的方向向直线的“对面”移动个单位A(x,y)(,)l2d002222a,ba,b
AB便得到关于直线的对称点,从图中看得更明显。 l
ab,,因而,对称点,既是求对称点的公式,B(x,,2dy,,2d)002222a,ba,b也是沿法向量平移个单位而得到对称点的方法。 2d
A例1 求点关于直线:的对称点的坐标; 2x,3y,2,0B(1,3)
解法一:公式法,设关于直线:的对称点坐标为A(x,y) B(1,3)2x,3y,2,011
依照上述公式得:
22(292)3332(292)9,,,,,13x,,,,y,,,,,, 11131313131313
339所以对称点是。 A(,)1313
5BBd, 解法二 如图一,点到直线的距离是,点在直线的上方,直线的单lll13
2310(,,)2d,e位法向量是=,沿此方向将点平移个单位便得到对称点 B(1,3)
131313
339; A(,)1313
AAA(x,y) 例2 已知点,(1)求关于直线x,y,c,0的对称点坐标;(2)求关00
于直线x,y,c,0的对称点坐标;
B(x,y) 解(1)设对称点,则由求对称点公式得: 11
12()12()x,y,cx,y,c0000x,x,,,,y,cy,y,,,,x,c,, 1001002222
(,y,c,,x,c)所以对称点是; 00
2()x,y,c12()1,x,y,c0000y,y,,,x,cx,x,,,y,c(2), 1001002222
(y,c,x,c)即对称点是:; 00
参考文献:
(1)姚格,圆锥曲线的轴对称图形方程的求法,数学教学,2009年第9期。
范文三:点关于直线对称点的向量公式
点关于直线对称点的向量公式
黪
中学生数学?2011年7月上?第421期(高中) 甘肃省临泽第一中学(734200)魏正清 1.公式
若点P(x.,Y.)关于直线z:Az+By+C= 0的对称点Q(x,y),则
葡一
.
(其中d表示点P到直线的距离,表示直线 Z的一个单位法向量).
2.公式的证明
直线z的一单位法向量
云一(AB
+B以+B一,一一
如图1,如图2,不妨设A<0,B>O,C<O.
/l
,
/o
图1
/l
Q
/0
图2
(1)若点P在z的上方,则Ax.+By.+C >0知葡与反向,得葡===--2d6;
(2)若点P在,的下方,则Az.+B.+C
<0知葡与同向,得葡一2. 同理,可证明直线的其它情形,本文不在 赘述.
3.公式的应用
例1求点P(1,3)关于直线z:2x一3y+2
—0的对称点Q(x,)的坐标. 分析由2×1—3×3+2<0,直线l的一 单位法向量方一(2,意)志
得PQ=2d6,
~(x--l,y--3)一5?(去,,/TX), 得
y
,
--
3
1=
=
器
~'
3.
故Q(嚣,畏).
的一单位法向量::=(去,去),一一 —
x
——
o
——
-
—
l-—— y—— o
——
+——— c
.
g[1(x--xo,y--yo)=2(一).
(去,去),
[x--xo
一
=
一
--
(
(X
.
o
+
-
~-Y .
o
+
@c
)
)
,
,
I—o一一(0十.十c), 位法向量一(去,), x--Xo,y--Yo)=.'
(去,一去),
[x
,
--xo
一
=
一
--
(
(
z
x
.
o--yo
+
+c
)
)
,
,
网址:zxss.chinajourna1.net.cn?
8??电子箱:zxss@cina.urna?.net.cn
寸蜜
范文四:点关于直线的对称点
Hdu 2857 点关于直线的对称点
#include #include #include int main() { double x1,x2,y1,y2,xs,ys,xs1,ys1,xe,ye; double x,y; double k1,k2; double a,b,c; int t; scanf("%d",&t); while(t--) { scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf%lf",&x1,&y1,&x2,&y2,&xs,&ys,&xe,&ye);// //x1,y1,x2,y2是要对称的直线,xs,ys是要被对称的点 b=x2-x1; a=y1-y2; c=x1*(y2-y1)-y1*(x2-x1);//求出对称直线的标准方程 // printf("%.3lf %.3lf %.3lf\n",a,b,c); xs1=((b*b-a*a)*xs-2*a*b*ys-2*a*c)/(a*a+b*b);//求出对称点的公式 ys1=((a*a-b*b)*ys-2*a*b*xs-2*b*c)/(a*a+b*b); // printf("%.3lf %.3lf\n",xs1,ys1); if((x2-x1)==0&&(xe-xs1)!=0)//本题的求直线相交 { x=x1; y=ye+((ye-ys1)/(xe-xs1))*x-((ye-ys1)/(xe-xs1))*xe; } else if((x2-x1)!=0&&(xe-xs1)==0) { x=xe; y=y1+((y2-y1)/(x2-x1))*(x-x1); } else { k1=(y2-y1)/(x2-x1); k2=(ye-ys1)/(xe-xs1); // printf("%.3lf %.3lf\n",k1,k2); x=(y1-ye-k1*x1+k2*xe)/(k2-k1); y=k2*(x-xe)+ye; } printf("%.3lf %.3lf\n",x,y); } system("pause"); } 点关于直线的对称点的一种公式求法 读了本刊文(1),很有收获。文(1)说明了一个点关于一条直线对称点的求解公式: 22,,,,(ba)x2aby2ac00a结论:设直线,(、至少有一个不为0),点关于直A(x,y)ax,by,c,0l:b00,x1,22,,ab线的对称点的坐标是,则; B(x,y)l11,22,,,(ab)y2abx2bc00,,y122,,ab, 这个结论的证明方法是利用常见的斜率互为负倒数和中点坐标代入等做出。 因为一个点关于直线的对称点是求解很多问题的工具,因而这样总结的结论很有必要。但这个公式形式的麻烦而使其运用的价值稍有逊色。 本文将以上公式做适当改进,体现出数学的对称美,而且有很明显的几何意义,因而便于记忆和运用。 22(b,a)x,2aby,2ac00x,将以上的 变为: 122a,b 222(b,a)x,2ax,2aby,2ac000 O x, 122a,b 2a(ax,by,c)00 ,x,022a,b a2(ax,by,c)00 ,x,,02222a,ba,b a, , ,x,,2d022a,b ax,by,c00,(x,y)(其中d,的绝对值是点到直线的距离) l0022a,b b,A(x,y)同理:,于是点关于直线的对称点是 y,y,,2dl001022a,bB d y d ab,,,, A B(x,,2dy,,2d)002222a,ba,bx O abe,(a,b)其中的向量是直线的法向量的单位向量,如图,设点(,)Ale 2222a,ba,b图一 ab,,到直线的距离是,则,意思是将点B(x,,2dy,,2d)dl002222a,ba,b ab按单位法向量的方向向直线的“对面”移动个单位A(x,y)(,)l2d002222a,ba,b 便得到关于直线的对称点,从图中看得更明显。 ABl ab,,因而,对称点,既是求对称点的公式,B(x,,2dy,,2d)002222a,ba,b也是沿法向量平移个单位而得到对称点的方法。 2d 例1 求点关于直线:的对称点的坐标; B(1,3)2x,3y,2,0A 解法一:公式法,设关于直线:的对称点坐标为A(x,y) B(1,3)2x,3y,2,011依照上述公式得: 22(292)3332(292)9,,,,,x,1,,,y,3,,,,, 11131313131313 339所以对称点是。 A(,)1313 5d, 解法二 如图一,点到直线的距离是,点在直线的上方,直线的单BBlll13 2310(,,)2d,e位法向量是=,沿此方向将点B(1,3)平移个单位便得到对称点 131313 339; A(,)1313 A(x,y) 例2 已知点x,y,c,0,(1)求关于直线的对称点坐标;(2)求关AA00 x,y,c,0于直线的对称点坐标; B(x,y) 解(1)设对称点,则由求对称点公式得: 11 12()12()x,y,cx,y,c0000x,x,,,,y,cy,y,,,,x,c,, 1001002222 (,y,c,,x,c)所以对称点是; 00 2()x,y,c112(),x,y,c0000x,x,,,y,cy,y,,,x,c(2), 1001002222 (y,c,x,c)即对称点是:; 00 参考文献: (1)姚格,圆锥曲线的轴对称图形方程的求法,数学教学,2009年第9期。 转载请注明出处范文大全网 » 点关于直线的对称点的一种公式范文五:2011高考数学关于直线的对称点的一种公式求法