范文一:空间直线在平面上投影方程的多种解法
空间直线在平面上投影方程的多种解法 作者:丁小帅
来源:《课程教育研究·上》2014年第11期
【摘要】本文利用向量知识介绍了空间直线在平面上投影方程的几种不同的求解方法,培养学生应用不同的知识,从不同角度探索一题多解的发散思维模式,训练学生对数学思想和数学方法应用的灵活性和独创性。
【关键词】直线 平面 方向向量 法向量 投影直线
【中图分类号】O1 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2014)11-0129-01
一、引言
空间曲线在坐标面上的投影方程能使我们通过分析平面曲线的性质,而了解抽象的空间曲线的形态,因此,空间曲线在坐标面上的投影方程求解是空间几何的一个重点,也是难点。本文我们讨论特殊的空间曲线——空间直线在平面上的投影。
二、空间直线在坐标面上的投影方程
首先考虑在特殊平面——坐标面上的投影直线。这与求解空间曲线在坐标面上的投影方程解法相同,比如求某一空间直线在xOy平面的投影,需要根据直线方程消掉变量z,得到直线在xOy平面上的投影柱面方程,将此方程与z=0联立得到的方程组即为投影直线方程,其他两个坐标平面的投影方程类似可解。
三、空间直线在平面上的投影方程
接下来我们求解空间直线在普通平面上的投影。由几何知识知,过空间直线且垂直于已知平面的平面,与该平面的交线即为所求直线(如图1)。
参考文献:
[1]同济大学数学. 高等数学(第六版下) [M]. 北京:高等教育出版社,2007.
[2]王晓静,张蒙,张艳. 空间直线方程一题多解的探析[J].高等数学研究,2010, 13
(2):37-39.
[3]毛纲源. 高等数学解题方法与技巧归纳(下册)[M]. 武汉:华中科技大学出版社,2002. 作者简介:
丁小帅(1983.3-),女,陕西宝鸡人,硕士研究生,讲师,研究方向:智能计算。
范文二:直线和平面的投影
点的坐标与投影,重影点;
直线在三面投影体系中的投影特性;
平面的投影特性,平面上的直线和点。
求线段的实长及其对投影面的倾角;
两直线的相对位置;
直线上的点和平面上的线。
同本章的过学习,要掌握点、直线和平面的投影特性,两点的相对位置及重影点。直线上
点的投影,平面上的直线和点投影,一般位置直线求实长和对投影面的倾角,两直线的相
对位置以及直线与平面的相对位置。
?61 一、投影法的概念
有太阳光和灯光照射时,物体就会在地面或墙上有影子,如下图。
这种用投影线通过物体,在给定投影平面上作出物体投影的
投影中心S
投影线
AC
B
ca
b投影面P
投影概念 方法称为投影法。
1.中心投影法
投影线从一点发出,如上图。该投影法的特点是,物体距离投影面的距离不同时,得到的
投影的大小不同。因此,中心投影法不能够真实地反映物体的形状和大小,所以机械制图
不采用这种投影法绘制。但中心投影法具有立体感强的特点,常用于绘制建筑物的外观图,
也称为透视图。
2.平行投影法
投影线相互平行,在投影面上作出物体投影的方法,就称为平行投影法。如下图。 投影方向C投影线C投影方向AA
投影线BB
acac
b投影面Pb投影面P
平行投影法的正投影 平行投影法的斜投影 平行投影法的特点是,物体的投影与物体距投影面的距离无关,投影都能够真实地反映物
体的形状和大小。
平行投影法中又可分为两种,一种是正投影,投影线方向垂直于投影面。另一种是斜投影,
投影线方向倾斜于投影面。在机械制图中应用的是正投影法,它是我们学习的重点。
点在一个投影面中的投影不能够反映点在空间的位置,如右图,A、A0的投影都是a,这样一来就不能唯一确定A点的空间位置。因此,利用相互垂直的的两个或三个投影面 体系,作出多面正投影。 点的投影
如图
a'VVa'
Ax aax x 0a0XX0X
aHaa
H
(c)投影图(b)投影面展开后(a)立体图
点在两面体系中的投影 投影特性:
(1)点的正面投影和水平投影连线垂直OX轴,即a’a?OX; (2)点的正面投影到OX轴的距离,反映该点到H面的距离,点的水平投影到OX轴的距
离,反映该点到V面的距离,即a’ax=Aa, aax=Aa’。
点在两面投影体系已能确定该点的空间位置,但为了更清楚地表达某些形体,有时需要在
两投影面体系基础上,再增加一个与H面及V面垂直的侧立的投影面W面,形成三面投
影体系。如下图。
ZZZVWVaa'a"za"aza'a'
AWxaOaOxXXOOwYWawyYyaaHaaaNyYHYNYN(a)立体图(b)投影面展开后(c)投影图
点在三面体系中的投影
投影特性:(1)a’a?OX, a’a”?OZ, aayH?OYH, a”ayW?OYW
(2)a’ax=Aa, aax=Aa’。 a’aZ=Aa”
根据点的三面投影可以确定点在空间位置,点在空间的位置也可以由直角坐标值来确定。 点的正面投影由点的X、Z坐标决定,点的水平投影由点的X、Y坐标决定,点的侧面投
影由点的Y、Z坐标决定。
例题1 已知点A(20,15,10)、B(30,10,0)、C(15,0,0)求作各点的三面投影。 分析:由于ZB=0,所以B点在H面上,YC=0,ZC=0,则点C在X轴上。 在OX轴上量取oax=20;
过ax作aa’?OX轴,并使aax=15, a’aZ=10;
过a’作aa”?OZ轴,并使a”aZ= aax, a, a’,a”即为所求A点的三面投影。
Z
zaa'a"
axxc'cb'ab"ywWYc"OXbXbcywybHb
aayH
YH
根据点的坐标求点的投影
作B点的投影:
在OX轴上量取obX=30;
过bX作bb’?OX轴,并使b’bX=0, bbX=10,由于ZB=0,b’,bX 重合。即b’在X轴上; 因为ZB=0,b’在OYW轴上,在该轴上量取Obyw=10,得b”,则b、b’ 、b”即为所求B点的三面投影。
作C点的投影:
在OX轴上量取OCX=15;
由于Yc=0,Zc=0,c、c’都在OX轴上,与c重合,c”与原点O重合。
空间点的相对位置,可以利用两点在同面投影的坐标来判断,其中左右由X坐标差判别,上下由Z坐标差判别,前后由Y坐标差判别。如图。
Za'a"ZBV -ZAa'Zb'b"AXa"YA-YBXA-XBYW0Wb' b"BbBab-YAYaHY
YN(a) 立体图(b) 投影图
两点间的相对位置
Za>ZbA点在B点上方,Ya>YbA点在B点的前方,Xa>XbA点在B点的左方。A点在B点的左前上方。
Z Z (b')a'b"a"V a'(b')c'c"B f'e"(f")Ac'e'W d"d'CFe''Ed' (f'')bXXYDWba(d)c (d)ceafY ef YH(a) 直观图重影点 (b) 投影图
当空间两点位于垂直于某个投影面的同一投影线上时,两点在该投影面上的投影重 合,称为重影点。如上图。
?6.2
直线可以由线上的两点确定,所以直线的投影就是点的投影,然后将点的同面投影连接,
即为直线的投影,如图。
Za"Za'Za"a'Va'b"a"0Ab'b'b"WYWXXb'WYX0aBab"abHbYbY(a)NYN(b)(c)
直线的三面投影
投影面平行线
直线平行于一个投影面与另外两个投影面倾斜时,称为投影面平行线。 正平线——平行于V面倾斜于H、W面;
水平线——平行于H面倾斜于V、W面;
侧平线——平行于W面倾斜于H、V面。
投影面平行线特性:
平行于那个投影面,在那个投影面上的投影反映该直线的实长,而且投影与投影轴的夹角,
也反映了该直线对另两个投影面的夹角,而另外两个投影都是类似形,比实长要短。P36
表2—1。
投影面垂直线
直线垂直于一个投影面与另外两个投影面平行时,称为投影面垂直线。 正垂线——垂直于V面平行于H、W面;
铅垂线——垂直于H面平行于V、W面;
侧垂线——垂直于W面平行于V、H面。
投影面垂直线特性:
垂直于那个投影面,在那个投影面上的投影积聚成一个点,而另外两个投影面上的投影平
行于投影轴且反映实长。表2—2
3.一般位置直线
直线与三个投影面都处于倾斜位置,称为一般位置直线。
a"a'
Va'a"Ab'b"γα1b'0WαBaab"
b
b
(c)(a)
一般位置直线 一般位置直线在三个投影面上的投影都不反映实长,而且于投影轴的夹角也不反映空间直
线对投影面的夹角。
一般位置直线的投影即不反映实长又不反映对投影面的真实倾斜角度。要求得实长和夹角,
我们利用直角三角形法求得。如图所示。
ABa'a'、b'βVa'ABAYb-Yab'αZa-Zbb'a、''b'βb、ZacZbZa-Zbαab、aBαabYb-YaABbbZa-Zba、
(c)(a)(b)
求一般位置直线的实长及对投影面的夹角
如果点在直线上,则点的各个投影必在该直线的同面投影上,并将直线的各个投影分割成
a'和空间相同的比例。 V'ac'Ac'C'b'b
aBcacbHb
直线上的点
1.两直线平行
b'd'b'd'Va'c'c'a'BD
CA
ccaa
bddb
(b)(a)
两直线平行
两直线空间平行,投影面上的投影也相互平行。
2.两直线相交
b' c'b'Vk'Bc'k'd'a'd'Ca'k
DcbbcAdkkada
(a)(b)
两直线相交
空间两直线相交,交点K是两直线的共有点,K点的投影,符合点的投影规律。 3.两直线交叉
B'1'C'3'(4')Vb'
a'2'1'c'3'(4')d'Ba'2'
ADBC4Cda41(2)D1(2)b3c3A
(b)(a)
两直线交叉
空间两直线不平行又不相交时称为交叉。交叉两直线的同面投影可能相交,但它们各个投
影的交点不符合点的投影规律。
空间两直线垂直相交,其中有一直线平行于某投影面时,则两直线在所平行的投影面上的
投影反映直角。
b'a'QBc'c2Ac1cb
c(cc1)2
a
ca(b)(a)
垂直相交两直线的投影
证明:因为AB?BC,AB?Bb,所以AB必垂直于BC和Bb决定的平面Q及Q面上过垂足B的任何一直线(BC1、BC2……)因AB?ab故ab也必垂直于Q面过垂足b的任一直线,即ab?bc。
例题:如图,已知点C及直线AB的两面投影,试过C点作直线AB的垂线CD,D为垂足,并求CD的实长。
c'c'b'
b' d'a' a'
da b a b CDc c
求解(b)(a)已知条件
求点到直线的垂足及距离
分析:因为ab?OX,所以AB是正平线,又因CD与AB垂直相交,D为交点,则a’b’? c’d’,由d’可在ab上求得d。利用直价三角形法可求得CD的实长。 作法:1)c’作c’d’?a’b’得交点d’;
2)由d’引投影连线与ab交得d;
3)连c和d,则c’d’、cd即为垂线CD的两面投影;
4)用直角三角形法求得C与直线AB之间的真实距离CD。
?6.3
用几何元素表示平面
a'a'a'a'a'b'c'b'c'c'b'b'c'b'd'c'
aacaacabcccdbbb'b
(e)平面图形(d) 平行两直线(a)不在同一直线上的三点(c)相交两直线(b)一直线和线外一点
用几何元素表示平面
用迹线表示平面
VzPPvwPpv
pPPxwyxPwPW
PyPHPH
PHy
(a)(b)
用迹线表示平面
1.投影面平行面
平面在三投影面体系中,平行于一个投影面,而垂直于另外两个投影面。 正平面——平行于V面而垂直于H、W面;
水平面——平行于H面而垂直于V、W面;
侧平面——平行于W面而垂直于H、V面。
投影面平行面特性:
平面在所平行的投影面上的投影反映实形,其余的投影都是平行于投影轴的直线;
2.投影面垂直面
在三投影面体系中,垂直于一个投影面,而对另外两投影面倾斜的平面。 正垂面——垂直V面而倾斜于H、W面;
铅垂面——垂直H面而倾斜于V、W面;
侧垂面——垂直W面而倾斜于V、H面。
投影面垂直面特性:
平面在所垂直的投影上的投影积聚成一直线,该直线于投影轴的夹角,就是该平面对另外
两个投影面的真实倾角,而另外两个投影面上的投影是该平面的类似形。 3.一般位置平面
平面对三个投影面都倾斜。
平面对三个投影面的相对位置分析可得出平面的投影特性:
(1)平面垂直于投影面时,它在该投影面上的投影积聚成一条直线——积聚性; (2)平面平行于投影面时,它在该投影面上的投影反映实形——实形性; (3)平面倾斜于投影面时,它在该投影面上的投影为类似图形——类似性。
1.平面上的直线
(1)直线通过平面上的已知两点,则该直线在该平面上。
(2)直线通过平面上的一已知点,且又平行于平面上的一已知直线,则该直线在该平面上。 2.平面上的点
点在平面上的几何条件是:如果点在平面上的一已知直线上,则该点必在平面上,因此在
平面上找点时,必须先要在平面上取含该点的辅助直线,然后在所作辅助直线上求点。
133.平面上的投影面的平行线
平面上的投影面平行线的投影,既有投影面平行线具有的特性,又要满足直线在平面上的
几何条件。
例题:已知三角形ABC的两面投影,在三角形ABC平面上取一点K,使K点在A点之下15mm,在A点之前13mm,试求K点的两面投影。(如下图)
a'a'
h'15m'm'n'n'g'k'c'c'
d'd'
XOOXaammhkngnbb
cc
(b)(a)
平面上取点
分析:由已知条件可知K点在A点之下15mm,之前13mm,我们可以利用平面上的投影
面平行线作辅助线求得。K点在A点之下15mm,可利用平面上的水平线,K点在A点之前13mm,可利用平面上的正平线,K点必在两直线的交点上。
作法:1)从a’向下量取15mm,作一平行于OX轴的直线,与a’b’交于m’,与a’c’交于n’;
2)求水平线MN的水平投影m、n;
3)从a向前量取13mm,作一平行于OX轴的直线,与 ab交于g,与ac交于h,则
mn 与gh 的交点即为k;
4)由g、h求g’、h’,则g’h’与m’n’交于k’,k’即为所求。 4.平面上的最大斜度线
属于定平面且垂直于该平面的投影面平行线的直线,称为该平面的最大斜度线。平面上垂
直于水平线的直线,称为平面上对H面的最大斜度线;垂直于正平线的直线,称为平面上
对V面的最大斜度线;垂直于侧平线的直线,称为平面上对W面的最大斜度线。
1.点是组合成几何平面的基本元素,对点的投影要熟练掌握,由点的两个投影可作出第
三投影,由点的坐标可作出点的投影,由点对投影面的相对位置,可作出点的投影,重影
点的判断。
2.直线对投影面的各种相对位置的投影特性,直线上点的投影,两直线平行、相交、交叉
以及两直线垂直相交的投影。
3.平面对于投影面的各种相对位置的投影特性,平面上的点和直线,平面上的投影面平行
线,平面上的最大斜度线。
7
7.1
1.
组合体是由基本形体组合而成,常见的组合方式有叠加、挖切和综合三类,如图5-1
所示。
2.
基本立体组合在一起后,表面就会产生过渡关系,常见的过渡关系一般可分为四种:相
切、相交、不平齐、平齐。
(1)两个立体上的平面,对齐相连,成为一个平面时,在相连的部分将不再存在分界
线。
(2)当两立体表面相切时,由于相切处两表面是光滑过渡,故在该处不必画出分界线。
(3)当组合体中的基本立体的表面彼此相交时,其表面交线则是它们的分界线,在视
图中必须正确画出交线的投影。
(4)当两立体的前后表面都不平齐时,中间应有实线分开。当两立体的前表面平齐,
而后表面不平齐时,中间没有实线,但应有虚线。
1.形体分析
假想把组合体分解为若干个简单的基本立体,并分析它们的组合方式和相对位置,这
种"化整为零"的分析方法,称为形体分析法。轴承座,我们假想分解为轴承?、支承板
?、肋板?和底板?四部分。轴承?为空心圆柱体,上部有个小圆孔,在最上方;支承板
?为棱柱,其前、后棱面与轴承的外圆柱面相切;肋板?基本上为梯形棱柱,它上部与轴
承相贯;底板?是左端带有两个圆角的矩形棱柱,其上有四个小圆柱孔。
2.视图的选择
主视图是最主要的视图,通常将组合体平稳放置后,以较能全面地表现各组成部分形
体形状特征及其相对位置的视图,选作主视图。此外,选择主视图时,还应注意在俯、左
视图中尽量少出现虚线。
主视图选定后,俯、左视图也就确定了。需要指出的是,并不是任何组合体都必须画
出三个视图,应该根据具体情况,在能够完整、清晰地表达清楚的前提下,不画多余的视
图。
3.选比例,定图幅
画图比例,是根据所画组合体的大小和制图标准确定的,尽量选用1?1,必要时可
采用适当的其他比例。比例一旦选定,根据三视图所占面积的大小,并考虑到标注尺寸,
选用标准图幅大小。
4.具体作图
画组合体三视图的方法步骤:
(1)布图、画基准线 根据各视图的大小和位置,画基准线。基准线画好后,每个视
图在图纸上的具体位置就确定了。基准线是指画图时测量尺寸的基准,每个视图需要确定
两个方向的基准线。一般常用对称中心线、轴线和较大的平面作为基准线。
(2)逐个画出各形体的三视图。根据组合体的投影特点,先画出组合体的主要部分,
再按组合方式画出其余各部分。在画各基本体时,应先画它的基本形状,待基本形状画好
后,再画基本体上的孔、槽、圆角、切口等细小部分。对于组合体上的某些圆和多边形,
可先从显示它们实形的视图画起,对于基本体上被切割部分的表面,可先从有积聚性的视
图画起,再完成其余视图。为了保证三视图之间的投影关系,提高画图速度,应尽可能把
同一基本体的三视图联系起来作图,不要孤立地完成组合体的一视图后,再画它的另一视
图。总结起来画组合体的顺序是:一般先实(实形体),后虚(挖去的形体);先大(大形
体),后小(小形体);先画轮廓,后画细节,三视图联系起来画。
(3)检查、描深、完成全图 为了便于修改错误,保证图面整洁,底稿画完后,按形
体逐个仔细检查,纠正错误,无误后按标准图线描深 ,完成全图。
画组合体三视图是根据组合体实物或轴测图画出它的三视图,而读组合体三视图,则
是根据组合体的三视图,想象出组合体的形状。
1.读组合体三视图的基本知识
读图就是根据组合体的视图想像出它的空间形状。读图是画图的逆过程。因此,读图
时必须以画图的投影理论为指导。基本的投影理论有:
(1)三视图的形成及其投影规律----长对正、高平齐、宽相等。 (2)各种位置直线和平面的投影特性。
(3)常见基本几何体的投影特点。
2.读图的基本方法 (4)常见回转体的截交线和相贯线的投影特点。
(1)形体分析法
1 按线框、分部分、找投影
上图所示,先在主视图中按封闭线框I、II、III将它划分为三个部分,然后,根据各视
图间的投影关系并借助三角板、分规等,分别找出各部分在俯、左视图中相应的投影,如
图 (b) (c) (d) 所示三视图中用粗实线画出的线框,即各个部分的三视图。
2 依投影、想形状、定关系
由图可以看出I、II、III三个部分之间的组合方式,主要是|叠加式,I、II部分在III
部分的上边,第II部分在第I部分的前面。
3 综合起来想整体
想象出了各封闭线框所表示的立体形状,并分析出各部分的相对位置和各立体间的组
合方式之后,将它们综合起来,则可以想象出该组合体的完整形状,如图(e)所示。
(2) 线面分析法
前面介绍的形体分析法,是从“体”的角度出发,分析组合体的视图,想象出组合体
形状。但对于组合方式比较复杂的部分(如立体被多次切割、或多个立体相贯),常会发生
有的线框同时对应其它视图中几个投影的情况。对此,需要从“线和面”的角度出发,去
分析组合体中该复杂部分立体表面的形状、线的意义及其相对位置,从而深入细致地想象
出组合体的各个表面相互位置关系。这种从“线和面”的角度出发、分析组合体视图的读
图方法,就是线面分析法。
(a)在正
面投影中分线框 (b)线框1′表示的为一正平面的投影 (c)线框2′表示的为一铅垂面的投影
线面分析法读图,一般都是在形体分析的基础上进行的,读图时,先在视图中确定出
欲分析的线框或线条,按视图间的投影关系找出它们在各视图中的投影,然后再根据线、
面的投影特性逐一想象并判定其位置和形状,最后想象出该立体部分的结构形状和线面的
构成。
(3) 综合上述分析,即可想象出该切割体是由长方体被三个平面截切而成的,其形状
如图(f) 所示。在分析过程中,有时需要对水平投影或侧面投影中的封闭框进行分析,才
能确切地想象出物体的形状。
由组合体的两个视图画出其第三个视图,它是在读懂已给出的组合体两个视图的基础
上,根据这两个视图画出其第三视图。
用形体分析法看懂两视图、想象出立体的形状之后,即可依次,逐个地画出各部分的视图,
最后,按照各部分立体的组合方式、表面连接关系整理、校核并加深。
组合体的三视图可以表明组合体的形状,但还需要在视图中标注尺寸,才能确定组合
体的大小,作为制造、检验的依据。因此,正确地标注尺寸是很重要的。
由于组合体是由一些基本立体按一定的组合方式组成的,因此,在标注组合体尺寸时,
可用形体分析法,标注出各组成部分的基本立体的定形尺寸、定位尺寸以及组合体的总体
尺寸。
在视图中,标注组合体尺寸的基本要求是:正确、完整、清晰。也就是说,尺寸注法
要符合国家标准的规定;在长、宽、高三个方向,注全各个基本立体的定形尺寸、定位尺
寸及组合体的总体尺寸,既不遗漏,也不重复(包括可按已标出的尺寸经计算或作图确定
的尺寸);尺寸尽量注写在形体最明显的地方,且尺寸布置的位置要恰当。
一 如何使尺寸标注完整
要完整地注出组合体尺寸,一般可按下述步骤进行:
1. 对组合体进行形体分析。把组合体分析成若干基本立体。
2.标注确定各个基本立体体积大小的定形尺寸。
3.标注确定各个基本立体之间相对位置的定位尺寸。在标注定位尺寸时,应该在长、
宽、高三个方向上分别选定尺寸基准,并使所注的定位尺寸与尺寸基准有所联系。通常选
用立体的底面、端面、对称平面和回转体轴线等作为尺寸基准。 4.根据组合体的形状结构特点,对已标出的尺寸应作适当调整,注出组合体的总长、 总宽、总高尺寸。注意避免出现重复、多余尺寸、“封闭尺寸。1. 尺寸应尽量标注在表示该形体形状特征最明显的。
2. 同一形体的定形,定位尺寸,应尽量集中注在同一视图中,且最好注在形体特征最
明显的视图中。
3. 回转体的直径尺寸最好注在其投影不是圆的视图中。
4. 为了避免尺寸界线过长及与其他图线相交过多,使标注出的尺寸排列整齐有序,在
标注同一方向的尺寸时,应将小尺寸注在内,大尺寸注在外。
5.3.3 标注组合体尺寸的注意点
为了在学习组合体尺寸注法的同时,给学习零件图尺寸注法打好基础,标注组合体尺
寸应该注意以下几点:
1.避免标注封闭尺寸。
2. 当组合体的一端为回转体时,在视图中一般应注出回转体的直径(或半径)尺寸及
回转轴线的定位尺寸。
3.机件中常见的一些底板的形状及其尺寸标注形式,其中有些与前述的尺寸注法要求
似乎有矛盾,但它符合生产实际。故标注组合体尺寸,当遇到与图中所示的底板形状相似
的形体结构时,应注意按照图例中的尺寸标注形式进行标注。还应注意,对于这些底板的
中心圆孔及外形为圆时,其直径尺寸有的宜在投影为非圆的视图中标注,可使尺寸标注更
清晰。
1
(1) (1)轴测图的形成
(2) (2)轴间角和轴向缩短系数
(3) (3)平面立体正等测图的画法
(4) (4)曲面立体正等测图的画法
(5) (5)组合体正等测图的画法
(6) (6)斜二等轴测图
(7) (7) 正等测图的手工画法
(8) (8)用CAD绘制正等测图
2(1)首先介绍轴测图的形成,要把轴测图和视图的联系与区别讲清楚,
把轴向缩短系数的概念讲清楚。
(2) (2) 重点讲解正等测轴测图的画法,介绍平面立体的正等测轴测图时要紧紧围绕
形体分析法讲解。曲面立体的正等测轴测图以圆柱体和部分圆柱体为主。
(3) (3) 简要介绍斜二等轴测图和正等测图的手工绘制。
(4) (4)重点讲解CAD绘制正等测图的方法。 3
本章可在黑板上讲解,也可以应用电子挂图讲解和黑板图相结合的办法讲解,若在黑
板上绘制轴测图,课前要把课上需要绘制的图形熟悉一遍,在讲稿上用仪器把轴测图画好。
4。
轴测图是单面投影,为了得到轴测图只需一个投影面,但物体对于投影面必须处于倾斜9.1 轴测图的基本知识
位置,这样物体的长、宽、高三个方向的尺寸在投影图上均有所反映,可以得到一个具有立9.1.1轴测图的形成
体感的图形,称为轴测图。
在由V、H、W组成的三面投影体系中,将立方体的各面放置成投影面的平行面,取
一个一般位置平面P作投影面(P平面与V、H、W三个投影面的夹角相等),则立方体的
各面对P平面均处于倾斜位置,将物体向P面投影则得到具有立体感的轴测图,若投射线
与投影面P垂直,则得到正等轴测图;若投射线与P面倾斜一定的角度,则可得到斜二等
轴测图。
若仍用V面作投影面,而将物体先绕Z轴旋转一个角度,在绕X轴旋转一定角度,使
物体的各面对V面均处于倾斜位置,用垂直于V面的投射线投影,也可得到轴测图。
9.1.2 轴间角和轴向缩短系数
空间直角坐标系的OX、OY、OZ轴在轴测投影面上的投影叫轴测轴。两个轴测轴之间的夹角叫周间角。
在正轴测图中,空间的三根坐标轴都倾斜于轴测投影面,所以物体上与坐标轴平行的
线段的轴测投影都缩短了。轴测轴上的线段与空间坐标轴上的对应线段的长度比,称为轴
测图的轴向缩短系数。OX、OY、OZ轴的轴向缩短系数分别用p、q、r表示。三种常用轴
测图的轴间角和轴向缩短系数如右图所示。
为简化作图,常采用简化轴向缩短系数。简化的轴向缩短系数如右图所示(括号内的
数)。
9.2 正等轴测图的概念和画法
9.2.1平面立体正等测图的画法
坐标法:画轴测图时,先在物体三视图中确定坐标原点和坐标轴,然后按物体上各点
的坐标关系采用简化轴向变形系数,依次画出各点的轴测图,由点连线而得到物体的正等
测图。坐标法是画轴测图最基本的方法。
方箱法:在平面立体的轴测图上,图形由直线组成,作图比较简单,且能反映各种轴
测图的基本绘图方法,因此,在学习轴测图时,一般先从平面立体的轴测图入手。当平面
立体上的平面多数和坐标平面平行时,可采用叠加或切割的方法绘制,画图时,可先画出
基本形体的轴测图,然后再用叠加切割法逐步完成作图。画图时,可先确定轴测轴的位置,
然后沿与轴测轴平行的方向,按轴向缩短系数直接量取尺寸。特别值得注意的是,在画和
坐标平面不平行的平面时,不能沿与坐标轴倾斜的方向测量尺寸。
9.2.2 曲面立体正等测图的画法
(1)平行于坐标面的圆的正等测图
在正等测投影中,由于空间各坐标面相对于轴测投影面都是倾斜的,且倾角相等,所
以坐标面和平行于各坐标面的圆,在轴测投影中均为椭圆,椭圆大小相等,而方向不同。
在正方体各个面的圆中,分别平行两个坐标轴的一对直径,在轴测图中仍平行于轴测轴,
其长度等于0.82d。绘制轴测图时,常以这两条线作为画椭圆时的定位线。因此,画椭圆时,
应首先把它们画出。如采用简化轴向变形系数,则上述数据分别增大1.22倍。
(2)圆的正等轴测图画法
为作图简便,圆的轴测图常采用近似画法,可用四心圆弧法画出的扁圆代替椭圆,如
右图所示。此时四段圆弧的切点不在轴测轴上,而是向外移了一些。绘制圆柱体的轴测图
时,可先画出圆柱体的上下底面的轴测图,然后作两椭圆的公切线,对孔的可见性要作具
体的分析。
(3) 半圆柱和1/4圆角的正等轴测图画法
半圆柱轴测图一般沿轴测轴方向剖分柱面,柱面和平面的切线处要光滑连接。1/4圆角的轴测图是椭圆的一部分,画图时可用圆弧代替椭圆弧,圆弧的圆心为过椭圆与矩形边的
切点和矩形边垂直的线段的交点。
9.2.3 组合体正等测图的绘制
绘制轴测图时,要按形体分析法画图,先画基本形体,然后从大的形体着手,由小到
大,采用叠加或切割的方法逐步完成。在切割和叠加时,要注意形体位置的确定方法。轴
测投影的可见性比较直观,对不可见的轮廓可省略虚线,在轴测图上形体轮廓能否被挡住
要作图判断,不能凭感觉绘图,如右图右侧三棱柱肋板的可见性,底板下面的4个长方体腿的可见性等。
9.3 斜二等轴测图的概念和画法
二测轴测图是用斜投影法得到的一种轴测图。当空间物体上的坐标面XOZ平行于轴测投影面,而投射方向与轴测投影面倾斜时,所得到的投影图就是斜二测轴测图。在国家标
准推荐的斜二测中,轴向变形系数p=r=1,q=0.5, 轴间角 ?XOZ=90?,?XOY=?111111
YOZ=135?。在斜二测中,形体的正面投影反映实形,因此,物体在平行于正面XOZ方111
向有圆或形状较复杂时,可采用斜二测方法来表达。
9 4正等轴测图的手工绘制
在学习投影图的过程中,常常轴测草图来表达空间构想的模型。在产品开发技术交
流、产品介绍等过程中,也常常用轴测草图。因此轴测草图是表达设计思想的有效工具之
一。轴测草图的绘制一般是手工绘制的,下面我们简单学习以下正等轴测草图的手工绘制。
在绘制草图时应注意四点:一是同方向图线要平行;二是不同方向圆的长短轴的方
向;三是掌握各部分的大致比例;四是平行坐标轴图线的角度应和正等轴测图的轴间角的
角度一致。
画正等轴测草图时,平面立体常用方箱法,即在长方体的基础上进行切割或叠加;
圆的轴测图是用菱形法画椭圆。
9.5 AutoCAD2000的正等轴测图功能
在AutoCAD2000 中,轴测图的绘制使用的是用户熟悉2D命令,但需要掌握几种工具来帮助建立轴测图。常用的三个工具是:栅格设置(SNAP命令),轴测平面选择(ISOPLANE命令或CTRL-E键)和轴测椭圆的绘制(ELLIPSE命令)。
轴测栅格设置,“右击”状态栏上的“捕捉”按钮弹出快捷菜单;单击 “设置”选项,弹出“草图设置”对话框,在“捕捉类型和样式”区域中选中“等轴测捕捉(M)”,单击“确定”按钮,退出该对话框此时,光标的标准正交模式也随之变化成正等轴测图模式。
AutoCAD支持三种等轴测栅格模式,即左模式Left、顶模式Top和右模式Right,特别适用于轴测椭圆的绘制,三种模式可以F5或CTRL-E键进行切换。
范文三:点直线平面的投影
点 直线 平面的投影?
正投影作图?基础 2008-05-02 10:59 阅读15 评论0
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一、本章重点
1(掌握正投影?法投影特性?。
2(掌握点、线、面的投影特?点。
3(掌握截交线?、相贯线的做?法。
二、本章难点
1(换面法作图?。
2(截交线、相贯线的作?图
3、视图中图线?及线框的含?义
三、本章要求
通过本章学?习,要掌握点、直线和平面?的投影特性?、学会运用三?视图的投影?规律,按照作图步?骤绘
制物体?的三视图,能正确的画?出截交线、相贯线,并按要求标?注尺寸。
四、授课内容
?3,1 正投影的基?本知识
一、投影法的基?本知识
1(投影的形成?原理。
用光线照射?物体,在预设的面?上绘制出被?投射物体图?形的方法,叫做投影法?。光线叫做投?射线,所
投射的面?叫做投影面?,投影面上等?到的物体图?形叫做该物?体的投影。
2(投影法种类?
中心投影法?:投射线都从?投影中心出?发,在投影面上?作出物体图?形的方法叫?做中心投影?法。 平行投影法?:若将投射中?心移至无穷?远处,则所有的投?射线就相互?平行。用相互平行?的投射线,在
投影面上?作出物体图?形的方法叫?做平行投影?法。在平行投影?法中,根据投影面?是否垂直于?投影面,又分为
两种?:
斜投影 投射线倾斜?于投影面
正投影 投射线平行?于投影面
正投影法能?准确地表达?出物体的形?状结构,而且度量性?好,因而在工程?上广泛应用?。但它的缺点?是立体感差?,一般要用两?个或两个以?上的图形才?能把物体的?形状表达清?楚。机械图形主?要是用正投?影法绘制的,所以正投影??法是本课程?学习的主要?内容。在以后的课?程中,除有特别说?明外,我们提到的?投影均指正?投
影
3(正投影法的?投影特性,以直线、平面相对于?投影面位置?的不同,讲明实形性?、积聚性和类?似性三
大主?要特性。
二、物体三视图?的形成及投?影规律
1、三视图的形?成
用三个互相?垂直的投影?面构成一空?间投影体系?,即正面V、水平面H、侧面W,把物体放在?空间的某一?位置固定不?动,分别向三个?投影面上对?物体进行投?影,在V面上得?到的投影叫?做主视图,在H面上得?到的投影叫?俯视图,在W面上得?到的投影叫?左视图。为了在同一?张图纸上画?出物体的三?个视图,国家标准规?定了其展开?方法:V面不动,H面绕OX?轴向下旋转?90?与V面重合?,W面绕OZ?轴向后旋转?90?与V面重合?,这样,便把三个互?相垂直的投?影面展平在?同一张图纸?上了。三视图的配?置为:以主视图为?基准,
俯视图在主?视图的下方?;左视图在主?视图的右方?。
2、视图之间的?投影规律
每个视图反?映物体两个?方向的尺寸?。主视图反映?物体的长度?和高度;左视图反映?宽度和高度?;俯
视图反映?长度和宽度?。按照三视图?的配置,三视图的投?影规律为:长对正,高齐平,宽一致。
三视图的投?影规律是在?画图、看图时都须?严格遵守的?。
3、视图中图纸?及线框的含?义
在绘制物体?的三视图时?,物体表面上?的线、面与视图中?的轮廓线、线框都有着?一一对应的?关系。
(1)、视图中每一?条轮廓线的?含义
物体表面上?交线的投影?;物体上垂直?于投影面的?平面或曲面?的投影;面立体转向?轮廓线的投?影。
(2)、视图中每一?封闭线框的?含义:
视图中每一?个封闭线框?都表示物体?上的一个面?(平面或曲面?)的投影。
视图中图线?及线框的含?义是画图、看图的依据?,并可根据其?含义对视图?的正确性进?行检查。
(3)、物体的空间?方位
物体有上、下、左、右、前、后、六个方向的?位置关系,每个视图能?反映物体的?四个方位。主视图
反映?物体的上、下、左、右,左视图反映?物体的上、下、前、后,俯视图反映?物体的前、后、左、右。根据以上位?置关系,可以在各视?图上分析出?物体各部分?的空间位置?,以便增强对?物体的空间?想象能力。
三、三视图的画?图步骤
根据物体或?立体图画三?视图时,应把物体摆?平放正,选择形体主?要特征明显?的方向作为?主视图的投?影
方向,一般画图步?骤如下:
1、用点画线和?细实线画出?各视图的作?图基准线。
2、用细实线、虚线,按照物体的?构成,先大后小,先整体,后局部的顺?序,用三视图的?投影规律,
画出物体三?视图的底图?。
3、底图画完后?,需经过检查?,没有错误后?并清理图面?,再按图线要?求描深。图线的描深?顺序为:先
曲线,后直线;水平线应自?上而下,依次描深,垂线应自左?向右依次描?深。按照这种顺?序描深,可以保证
曲?线与直线的?正确连接,提高描深速?度,保证图面的?清洁。
?3,2、 点的投影
一、点在两个投?影面体系中?的投影
如图
点在两面体?系中的投影?
投影特性:
(1)点的正面投?影和水平投?影连线垂直?OX轴,即a’a?OX; (2)点的正面投?影到OX轴?的距离,反映该点到?H面的距离?,点的水平投?影到OX轴?的距离,反映
该点到?V面的距离?,即a’ax=Aa,?aax=Aa’。
二、点在三个投?影面体系中?的投影
点在两面投?影体系已能?确定该点的?空间位置,但为了更清?楚地表达某?些形体,有时需要在?两投影面体?系基础上,再增加一个?与H面及V?面垂直的侧?立的投影面?W面,形成三面投?影体系。如下图。
点在三面体?系中的投影?
投影特性:(1)a’a?OX,?a’a”?OZ, aayH?OYH,?a”ayW?OYW
(2)a’ax=Aa,?aax=Aa’。 a’aZ=Aa”
三、点的投影与?坐标
根据点的三?面投影可以?确定点在空?间位置,点在空间的?位置也可以?由直角坐标?值来确定。 点的正面投?影由点的X?、Z坐标决定,点的水平投??影由点的X?、Y坐标决定,点的侧面投??影由点的Y?、
Z坐标决定?。
例题1 已知点A(20,15,10)、B(30,10,0)、C(15,0,0)求作各点的?三面投影。
分析:由于ZB=0,所以B点在?H面上,YC=0,ZC=0,则点C在X?轴上。
在OX轴上?量取oax?=20;
过ax作a?a’?OX轴,并使aax?=15, a’aZ=10;
过a’作aa”?OZ轴,并使a”aZ=?aax,?a,?a’,a”即为所求A?点的三面投?影。
根据点的坐?标求点的投?影
作B点的投?影:
在OX轴上?量取obX?=30;
过bX作b?b’?OX轴,并使b’bX=0,?bbX=10,由于ZB=0,b’,bX?重合。即b’在X轴上; 因为ZB=0,b’在OYW轴?上,在该轴上量?取Obyw?=10,得b”,则b、b’?、b”即为所求点的三面投B??影。
作C点的投?影:
由在OX轴?上量取OC?X=15;
于Yc=0,Zc=0,c、c’都在OX轴?上,与c重合,c”与原点O重?合。 四、两点的置点?相对在同面?投影的位坐?标来判断,其中左右由?X坐标差判?别,上下由Z坐?标差判别
空间点的相?对位置,可以利用两?,前后由Y坐?标差判别。如图。
两点间的相?对位置
Za>ZbA点在?B点上方,Ya>YbA点在?B点的前方?,Xa>XbA点在?B点的左方?。A点在B点?的左前上
方?。
5、重影点
当空间两点?位于垂直于?某个投影面?的同一投影?线上时,两点在该投?影面上的投?影重合,称为重影点?。
?3,3、直线的投影?
直线可以由?线上的两点?确定,所以直线的?投影就是点?的投影,然后将点的?同面投影连?接,即为直线
的?投影,如图。
直线的三面?投影
一、各种位置直?线的投影
(1)投影面平行?线
直线平行于?一个投影面?与另外两个?投影面倾斜?时,称为投影面?平行线。
正平线——平行于V面?倾斜于H、W面;
水平线——平行于H面?倾斜于V、W面;
侧平线——平行于W面?倾斜于H、V面。
投影面平行?线特性:
平行于那个?投影面,在那个投影?面上的投影?反映该直线?的实长,而且投影与?投影轴的夹?角,也反映了该?直线对另两?个投影面的?夹角,而另外两个?投影都是类?似形,比实长要短?。
(2)投影面垂直?线
直线垂直于?一个投影面?与另外两个?投影面平行?时,称为投影面?垂直线。
正垂线——垂直于V面?平行于H、W面;
铅垂线——垂直于H面?平行于V、W面;
侧垂线——垂直于W面?平行于V、H面。
投影面垂直?线特性:
垂直于那个?投影面,在那个投影?面上的投影?积聚成一个?点,而另外两个?投影面上的?投影平行于?投影
轴且反?映实长。
(3)一般位置直?线
直线与三个?投影面都处?于倾斜位置?,称为一般位?置直线。
一般位置直?线
一般位置直?线在三个投?影面上的投?影都不反映?实长,而且于投影?轴的夹角也?不反映空间?直线对投影?
面的夹角。
二、一般位置直?线的实长及?其与投影面?夹角
一般位置直?线的投影即?不反映实长?又不反映对?投影面的真?实倾斜角度?。要求得实长?和夹角,我们利
用直?角三角形法?求得。如图所示。
求一般位置?直线的实长?及对投影面?的夹角
三、直线上点的?投影
如果点在直?线上,则点的各个?投影必在该?直线的同面?投影上,并将直线的?各个投影分?割成和空间?相
同的比例?。
直线上的点?
四、两直线的相?对位置
(1)两直线平行?
两直线平行?
两直线空间?平行,投影面上的?投影也相互?平行。
(2)两直线相交?
两直线相交?
空间两直线?相交,交点K是两?直线的共有?点,K点的投影?,符合点的投?影规律。
(3)两直线交叉?
两直线交叉?
空间两直线?不平行又不?相交时称为?交叉。交叉两直线?的同面投影?可能相交,但它们各个?投影的交点?不
符合点的?投影规律。
五、两直线垂直?相交
空间两直线?垂直相交,其中有一直?线平行于某?投影面时,则两直线在?所平行的投?影面上的投?影反映
直角?。
垂直相交两?直线的投影?
证明:因为AB?BC,AB?Bb,所以AB必?垂直于BC?和Bb决定?的平面Q及?Q面上过垂?足B的任
何?一直线(BC1、BC2……)因AB?ab故ab?也必垂直于?Q面过垂足?b的任一直?线,即ab?bc。
例题:如图,已知点C及?直线AB的?两面投影,试过C点作?直线AB的?垂线CD,D为垂足,并求C
D的?实长。
求点到直线?的垂足及距?离
分析:因为ab?OX,所以AB是?正平线,又因CD与?AB垂直相?交,D为交点,则a’b’? c’d’,由d’
可在ab上?求得d。利用直价三?角形法可求?得CD的实?长。
作法:1)c’作c’d’?a’b’得交点d’;
2)由d’引投影连线?与ab交得?d;
3)连c和d,则c’d’、cd即为垂?线CD的两?面投影;
4)用直角三角?形法求得C?与直线AB?之间的真实?距离CD。
?3,2、平面的投影?
一、平面的表示?法
用几何元素?表示平面
用几何元素?表示平面
用迹线表示?平面
用迹线表示?平面
二、各种位置平?面的投影
(1)投影面平行?面
平面在三投?影面体系中?,平行于一个?投影面,而垂直于另?外两个投影?面。
正平面——平行于V面?而垂直于H?、W面;
水平面——平行于H面?而垂直于V?、W面;
侧平面——平行于W面?而垂直于H?、V面。
投影面平行?面特性:
平面在所平?行的投影面?上的投影反?映实形,其余的投影?都是平行于?投影轴的直?线;
(2)投影面垂直?面
在三投影面?体系中,垂直于一个?投影面,而对另外两?投影面倾斜?的平面。
正垂面——垂直V面而?倾斜于H、W面;
铅垂面——垂直H面而?倾斜于V、W面;
侧垂面——垂直W面而?倾斜于V、H面。
投影面垂直?面特性:
平面在所垂?直的投影上?的投影积聚?成一直线,该直线于投?影轴的夹角?,就是该平面?对另外两个?投影
面的真?实倾角,而另外两个?投影面上的?投影是该平?面的类似形?。
(3)一般位置平?面
平面对三个?投影面都倾?斜。
平面对三个?投影面的相?对位置分析?可得出平面?的投影特性?:
?平面垂直于?投影面时,它在该投影?面上的投影?积聚成一条?直线——积聚性;
?平面平行于?投影面时,它在该投影?面上的投影?反映实形——实形性;
?平面倾斜于?投影面时,它在该投影?面上的投影?为类似图形?——类似性。
三、平面上的直?线和点
(1)平面上的直?线
1)直线通过平?面上的已知?两点,则该直线在?该平面上。
2)直线通过平?面上的一已?知点,且又平行于?平面上的一?已知直线,则该直线在?该平面上。
(2)平面上的点?
点在平面上?的几何条件?是:如果点在平?面上的一已?知直线上,则该点必在?平面上,因此在平面?上找点时,必须先要在?平面上取含?该点的辅助?直线,然后在所作?辅助直线上?求点。
(3)平面上的投?影面的平行?线
平面上的投?影面平行线?的投影,既有投影面?平行线具有?的特性,又要满足直?线在平面上?的几何条件?。
例题:已知三角形?ABC的两?面投影,在三角形A?BC平面上?取一点K,使K点在A?点之下15?mm,在
A点之前?13mm,试求K点的?两面投影。(如下图)
平面上取点?
分析:由已知条件?可知K点在?A点之下1?5mm,之前13m?m,我们可以利?用平面上的?投影面平行?线
作辅助线?求得。K点在A点?之下15m?m,可利用平面?上的水平线?,K点在A点?之前13m?m,可利用平面?上
的正平线?,K点必在两?直线的交点?上。
作法:1)从a’向下量取1?5mm,作一平行于?OX轴的直?线,与a’b’交于m’,与a’c’交于n’;
2)求水平线M?N的水平投?影m、n;
3)从a向前量?取13mm?,作一平行于?OX轴的直?线,与 ab交于g?,与ac交于?h,则mn 与gh
的交点即为?k;
4)由g、h求g’、h’,则g’h’与m’n’交于k’,k’即为所求。
范文四:直线平面在三投影面体系中的投影特性
直线在三投影面体系中的投影特性
一、一般位置直线:
1、定义:与三个投影面均倾斜的直线。
2、投影特性:
(1)在三个投影面上的投影均是倾斜直线。
(2)投影长度均小于实长。
3、三视图:
二、投影面平行线:
1、定义:平行于三投影面体系的一个投影面,倾斜于其他两个投影面。
2、投影特性:
(1)在所平行的投影面上的投影为一段反映实长的斜线。
(2)在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,长度缩短。
正平线:
1、平行于正面(V面),倾斜于水平面(H面)和侧面(W面)。
2、投影特性:
(1)在正面(V面)上的投影为一段反映实长的斜线。
(2)在水平面(H面)和侧面(W面)上的投影分别平行于X轴和Z轴,长度缩短。
3、三视图:
1、定义:平行于水平面(H面),倾斜于正面(V面)和侧面(W面)。
2、投影特性:
(1)在水平面(H面)上的投影为一段反映实长的斜线。
(2)在正面(V面)和侧面(W面)上的投影分别平行于X轴和Y轴,长度缩短。
3、三视图:
侧平线:
1、定义:平行于侧面(W面),倾斜于正面(V面)和水平面(H面)。
2、投影特性:
(1)在侧面(W面)上的投影为一段反映实长的斜线。
(2)在正面(V面)和水平面(H面)上的投影分别平行于Z轴和Y轴,长度缩短。
3、三视图:
三、投影面垂直线:
1、定义:垂直于三投影面体系的一个投影面,平行于其他两个投影面。
2、投影特性:
(1)在所垂直的投影面上的投影积聚为一点。
(2)在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴,且反映实长。
1、定义:垂直于正面(V面),平行于水平面(H面)和侧面(W面)。
2、投影特性:
(1)在正面(V面)上的投影积聚为一点。
(2)在水平面(H面)和侧面(W面)上的投影平行于Y轴,且反映实长。
3、三视图:
铅垂线:
1、定义:垂直于水平面(H面),平行于正面(V面)和侧面(W面)。
2、投影特性:
(1)在水平面(H面)上的投影积聚为一点。
(2)在正面(V面)和侧面(W面)上的投影平行于Z轴,且反映实长。
3、三视图:
侧垂线:
1、定义:垂直于侧面(W面),平行于正面(V面)和水平面(H面)。
2、投影特性:
(1)在侧面(W面)上的投影积聚为一点。
(2)在正面(V面)和水平面(H面)上的投影平行于X轴,且反映实长。
3、三视图:
平面在三投影面体系中的投影特性
一、一般位置平面
1、定义:与三个投影面都倾斜的平面。
2、投影特性:在三个投影面上的投影均是缩小的类似形。
3、三视图:
二、投影面平行面
1、定义:平行三投影面体系的一个投影面,垂于其他两个投影面。
2、投影特性:
(1)在所平行的投影面上的投影反映实形。
(2)在其他两投影面上的投影分别积聚成直线,且平行于相应的投影轴。
正平面:
1、定义:平行于正面(V面),垂于水平面(H面)和侧面(W面)。
2、投影特性:
(1)在正面(V面)上的投影反映实形。
(2)在水平面(H面)和侧面(W面)上的投影分别积聚成直线,且平行于X轴和Z轴。
3、三视图:
水平面:
1、定义:平行于水平面(H面),垂于正面(V面)和侧面(W面)。
2、投影特性:
(1)在水平面(H面)上的投影反映实形。
(2)在正面(V面)和侧面(W面)上的投影分别积聚成直线,且平行于X轴和Y轴。
3、三视图:
侧平面:
1、定义:平行于侧面(W面),垂于正面(V面)和水平面(H面)。
2、投影特性:
(1)在侧面(W面)上的投影反映实形。
(2)在正面(V面)和水平面(H面)上的投影分别积聚成直线,且平行于Z轴和Y轴。
3、三视图:
三、投影面垂直面:
1、定义:垂直于一个投影面,倾斜于其他两个投影面的平面。
2、投影特性:
(1)在所垂直的投影面上的投影积聚为一段斜线。
(2)在其他两投影面上的投影均缩小的类似形。
正垂面:
1、定义:垂直于正面(V面),倾斜于水平面(H面)和侧面(W面)。
2、投影特性:
(1)在正面(V面)上的投影积聚为一段斜线。
(2)在水平面(H面)和侧面(W面)上的投影均缩小的类似形。
3、三视图:
铅垂面:
1、定义:垂直于水平面(H面),倾斜于正面(V面)和侧面(W面)。
2、投影特性:
(1)在水平面(H面)上的投影积聚为一段斜线。
(2)在正面(V面)和侧面(W面)上的投影均缩小的类似形。
3、三视图:
侧垂面:
1、定义:垂直于侧面(W面),倾斜于正面(V面)和水平面(H面)。
2、投影特性:
(1)在侧面(W面)上的投影积聚为一段斜线。
(2)在正面(V面)和水平面(H面)上的投影均缩小的类似形。
3、三视图:
范文五:如果点在直线上,则点的三面投影
如果点在直线上,则点的三面投影就必定在直线的三面投影之上。这一性质称之点的从属性。
一直线上的两线段之比,等于其同面投影之比。这一性质称之点的定比性。
3(2(3各种位置直线的投影特性
按直线与三个投影面之间的相对位置,将空间直线分为两大类:即特殊位置直线和一般位置直线。特殊位置直线又分为投影面平行线和投影面垂直线。直线与投影面之间的夹角,称为直线的倾角。直线对H面、V面、W面的倾角分别用希腊字母α、β、γ表示。 1( 投影面平行线
平行于一个投影面而与另外两个投影面都倾斜的直线,称为投影面平行线。水平线,正平线,侧平线.投影特性如下:
(1)投影面平行线在它所平行的投影面上的投影反映实长,且倾斜于投影轴,该投影与相应投影轴之间的夹角,反映空间直线与另外两个投影面的倾角。
(2)其余两个投影平行于相应的投影轴,长度小于实长。
2( 投影面垂直线
垂直于一个投影面的直线称为投影面垂直线,铅垂线,正垂线,侧垂线( 投影特性如下:
(1)直线在它所垂直的投影面上的投影积聚为一点;
(2)直线的另外两个投影平行于相应的投影轴,且反映实长。
3( 一般位置直线
与三个投影面都倾斜(即不平行又不垂直)的直线称为一般位置直线,简称一般线。
一般位置直线具有以下的投影特性:
(1)直线在三个投影面上的投影都倾斜于投影轴,其投影与相应投影轴的夹角不能反映其与相应投影面的真实的倾角。
(2)三个投影的长度都小于实长。
3(2(4两直线的相对位置
空间两直线的相对位置可分为三种:两直线平行、两直线相交、两直线交叉。前两种直线又称为同面直线,后一种又称为异面直线。
1. 平行两直线:
性质:其同面投影平行或重合。
2. 相交两直线:
性质:其同面投影相交或重合,且交点符合直线上点的投影规律。
3(交叉两直线:
性质:其同面投影相交或平行,且交点不符合直线上点的投影规律。 小 结
, 各种位置直线的投影特性
, 直线上的点的定比关系
, 直线与点及两直线的相对位置
3(3平面的投影
序号:10
课 题 课题三 平面的投影课 时4目的要求 掌握平面的几何元素表示法和特殊位置平面的迹线表示法
掌握各种位置平面的投影特性及作图方法
掌握平面内的点和直线的几何条件及作图方法
掌握圆的投影特性知 识 点 各种位置平面及其投影特性 直线在平面上的条件点在
平面上的条件关 键 点 平面上的直线和点的综合应用教学进程 设 计1( 平面的表示方法
2( 各种位置平面的投影特性
3( 平面上的点和直线的投影教学方法 讲授、示例教具引用课后记述 课后作业 ,,
,(,,,)
主要内容:
3(3(1平面的表示方法
1(用几何元素表示平面
平面可用下列任何一组几何元素来确定其空间位置: (1) 不在同一直线上的三点
(2) 一直线和该直线外一点
(3)相交两直线
(4)平行两直线
(5)任意平面图形
在投影图上可以用上述任何一组几何元素的投影表示平面
2(用迹线表示平面
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