范文一:两个随机变量的独立性和不相关性
两个随机变量的独立性和不相关性
邵杰
(辽东学院基础部,丹东,118000;杭州师范学院理学院数学系,杭州,310036) 摘 要,本文从随机变量的独立性和不相关性的概念出发论述了两个随机变量的独立性和不相关性,并且运用例子和定理 详细讨论了它们的关系。 关键词,独立
性 相关系数 不相关性
在实际问题中的很多随机现象都要涉及到随机变量, C o v ( X , Y ) ρ = 所以随机变量之间的关系就显得尤为重要,随机变量的独 D X D Y 立性和相关性是随机变量的两个最重要的关系,也是我们 ρ = 0 为 X 和 Y 的相关系数。当 时称 X 和 Y 不相关。 经常容易混淆的两个概念,本文就此做详细阐述。 对于随机变量 X 和 Y,下列事实是等价的: 1 随机变量的独立性 X 与 Y 不相关;
Cov( X , Y ) = δ =0 xy F ( x ) (2) F ( x , y ) F( x ) X Y 定义 设 及 ,分别是二维随
E(XY)=(EX)E(Y); 机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数,若对于所有 D ( X ? Y ) = D ( X ) + D ( Y ) 。x, y 有
P { X ? x , Y ? y } = P { X ? x } P { Y ? y }δ xy (1) ρ= xy δ δ F ( x , y ) = F ( x ) F ( y ) x x y yX Y 即 (2) 事 实 上 , 由 , 则
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的。
f ( x , y ) ρ=0 ? δ =0 定理 1:若(X,Y)是连续型随机变量, , xy xy ,所以(1)和(2)是等价的。 f ( x ) f( y ) X Y , 分别是(X,Y)的概率密度和边际密 δ = E [ ( X ? E X ) ( Y ? E Y ) ] x y 又度,则 X 和 Y 相互独立的条件(2)等价于: = E ( X Y ) ? E ( X ) E ( Y )
δ = 0 ? E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y )x y f( x ) f ( y )可知f ( x , y ) X Y (3) = 故(2)和(3)等价。
即两个连续型随机变量 X 和 Y 相互独立的充要条件是
二维随机变量(X,Y)的联合概率密度等于(X,Y)关 D ( X ? Y ) = D ( X ) + D (Y ) ? 2δ x y 又 于 X 和 Y 的边际密度的乘积。
定理 2:若(X,Y)是离散型随机变量,X 和 Y 相互 δ = 0 ? D( X ? Y ) = D( X ) + D(Y )独立的条件(2)等价于:对于(X,Y)的所有可能取的 xy 可知( x, y) i i 值 有故(2)与(4)等价
P{X < x,="" y="">< y}="P{X">< x}p{y="">< y}="" i="" i="" i="" i="" 3="" 独立性和不相关性的关系="" (4)="">
(1)若 X 和 Y 相互独立,则 X 与 Y 不相关。 即两个离散型随机变量 X 和 Y 相互独立的充要条件是 E ( XY ) = ( EX ) ( EY ) 若 X 和 Y 相互独立则 ,二维随机变量(X,Y)的联合分布等于(X,Y)关于 X δ = E [ ( X ? E X ) ( Y ? E Y ) ] x y 和 Y 的边际分布的乘积。 在实际使用中(3)式或(4)式
要比使用(2)式方便。 =? E ( X) E ( Y ) E ( X Y ) =0,所以 X 和 Y 不相关。 2 随机变量的不相关性 定义:设(X,Y)为二维(2)若 X 和 Y 不相关,X 和 Y 未必相互独立。
非退化的随机变量,则称 下面举例说明:
例 1:设(X,Y)的联合密度为
298
财经界(下半月刊)May,2006理论创新
2 ?b 2 y 2 2 1/ πEY = y p ( y )d y =? d y = 0 y 1 X + Y ? 1? y ??2 ?? ? bb π b 。 P( X , Y ) = ? 2 2 0 X + Y > 1 ? ? ? Cov(X,Y)=E(X?EX)(Y?EY)=E(XY)=xyp(x,y)dxdy? ? ?? ?? 故 则 X 和 Y 不相关但不独立。 证 明 : = 2b 2 2+?1?x a ? x 1 2 a 1 xy 2 aP (x) = P(x, y)dy = dy =1? x( x ? 1)dx d y =x d x y dy = 0 bx ???? 2 22 ? ? ? a? a ? x ??? 1?x π ab π ab 2 2 2 2 ππ a x / a + y / b ? 1 。
=ρ 0 2 所以 X 和 Y 的相关系数 ,即 X 和 Y 不相关。 2 y ( y P ( y ) =?? 1 )1 y π 同理 P ( x , y ) = P ( y ) ? P ( y ) x y 显然 ,即 X 和 Y 不相互独 1 立。 2 2 0 =?=E ( X ) x 1 x d x ? ? 1 π 所以 (3)若随机变量 X 和 Y 服从两点分布,则 X 和 Y 的
独立性和不相关性等价。 同理 E(Y)=0 已知若 X,Y 独立必有 X,Y 不相关,下面只需证明
当 X,Y 不相关时,也有 X,Y 独立。 δ =E [( X ? EX )(Y ? EY )] xy ( ) =E XY 首先考虑特殊情况:当 X 与 Y 的分布列分别为
P ( X = 0 ) = α P ( X = a ) = 1 ? α a ?0 , , 1 xydxdy =0 ?? π2 2 x+ y?1 P ( y = 0 ) = β P ( y = b ) = 1 ? β b ? 0 , = ,
C o v ( X, Y ) = 0 X 与 Y 不相关,则 X 与 Y 的协方差 。 ρCov( X ,Y ) = E( X ? EX )(Y ? EY ) = E( XY ) ? EXEYxy 因为故 =0,所以 X 与 Y 不相关。
= abP(X = a,Y =b) ?aP(X = a)?bP(Y =b)P ( x , y ) ? P ( y ) ? P ( y ) x y 又由于 ,所以 X,Y 不相
P ( X = a , Y = b ) = P ( X = a ) P (Y = b ) 互独立。
P(X=a,Y=0)=P(X=a)?P(X=a,Y=b)=P(X=a)?P(X=a)P(Y=b) 2 2 x y + = 1 = P(X = a)[1? P(Y = b)] = P(X = a)P(Y = 0)2 2 b a例 2 :设随机变量(X ,Y )在椭圆 P(X=0,Y=b)=P(Y=b)?P(X=a,Y=b)=P(Y=b)?P(X=a)P(Y=b)
(a >0 , b >0) = P(Y =b )[1 ? P( X =a )] = P( X =0 )P(Y =b ) 上服从均匀分布,则随机变量 X 与 Y 不相 P(X=0,Y=0)=P(X=0)?P(X=0,Y=b)=P(X=0)?P(X=0)P(Y=b) 关,但 X 与 Y 不相互独立。 证明:可
= P( X = 0)[1? P(Y = b)] = P( X = 0)P(Y = 0)知(X,Y)的联合密度为
综上可知 X 与 Y 相互独立。 下面讨论一般情1 / π ab ? p ( x , y ) = ? 形,设 X 与 Y 的分布列分别为 0 ?
2 2 2 2 c ? c P ( X = c) = α P ( X = c ) =1 ?α 12 1 2 x / a + y / b ? 1, ; ,, 2 2 2 2 x / a + y / b > 1;
P (Y = d ) = βP (Y = d ) = 1 ? β 1 2 的 密 度 X , ,
2 ? x 2 x ?a , ? ??1 2 d ? d p ( x ) = p ( x , y ) d y = 1 2 ? π aa x ? , ?? ? y > a; 0 ? Co v ( X , Y ) = 0 且 X 与 Y 不相关,则 。2 ? y 2 ? ??1 2 X = X ? c Y = Y ? dp ( y ) = p ( x , y ) d x = 1 1 1 ? 1 π bb y ?令 ,,则 ?? ? 0 ? Y 的密 度
P ( X = 0 ) = α P ( X = c ? c) = 1 ?α 1 1 2 1 , , x ? b,
y > b; P (Y= 0 ) = β P (Y= d ? d ) = 1 ? β1 1 2 1 , ,
2 a ? x 2 Cov( X,Y) = E( X? EX)(Y? EY) = E( X ? EX )(Y ? EY ) = Cov( X ,Y) = 0 111 11 1 EX = x p ( x )d x =,x 1 ? d x = 0 x ? ? 2 ?? ? a π aa , ,下转 295 页,
299
财经界(下半月刊)May,2006文学与道德
风格特征和中华民族偏重阴柔的心理性格特征。 作为一个 色的基本观点,是以求得人的心灵与精神上的共鸣和满足 民族文学中反复出现的传统意象,则更集中地折射着这个 为依据,以笔参造化为最高价值。这是祖先遗留给我们的 民族文学的风格特征和心理性格的总体倾向。中国古典诗 精神遗产,今天我们有没有可能再这比丰厚的遗产基础上, 词中诸多的传统意象,曾经被用来表达过诗人们极其丰富 为包括油画在内的中国现代绘画创造出新的发展天地和理 多样的情感和思绪:登临怀古、游子思妇、伤春悲秋、羁 论支撑呢?在经历了近年以来中国绘画的迷茫和西方现代 旅行役、怀才不遇、伤时感世。如此等等,难以穷尽。但 绘画的困惑之后。意象油画概念的提出,有别于俄罗斯写实 是透过这诸多的意象和诗人们倾诉的复杂丰富的情感思 体系和西方抽象、观念性油画,必然为世界画坛增加了一 绪,我们可以看到:这些诸多的传统意象大多是那种阴柔 道风景线,也一定会引起世界的关注。当然,要让“意象油 凄婉,伤感缠绵的情绪相关的。从中我们可以看出,中华 画”在世界艺坛真正发挥影响,不能仅靠这种样式和风格, 民族偏爱阴柔的心理性格以及中国古典文学偏爱阴柔的风 而主要靠其中的精神内涵.近来在各大画展中出现的的意象 格特征。也能窥探到一个民族深层的文化心理结构,作为 风景画使我们眼前一亮。这些一幅幅具有“中国味”的写意 主体过去的经验与现实的情感相融合的心象,在中国古典 油画,使我们倍感亲切,这是我们从西方风景画演变而来, 诗词中反复出现。这表明,我们今天所提出的意象油画这 结合着我们自己的亲身体验和我们的传统山水画作为参照 一学术概念,不仅仅是个体情感对外在物象的偶然性投射, 体系的一种新的尝试。它是真诚的,是我们所熟悉的,而 而是积淀在一个民族文化心理中集体无意识。 非虚假的生活体验尝试。这给我们一个提示和思考,我们是
民族文化的心理性格对于一个民族文学艺术的影响是 能够创造出具有时代精神、中国特色和个性特征的中国油 显而易见的,人们常以中国人注重抒情写意的表现特征与现 画作品来的。只有认真的体验生活,和谐处理好个性体验 代西方强调艺术家内心经营的主观表达的自我表现 相对 因素在绘画创作中的矛盾关系,不夸大,不减弱,认真挖掘 比,但却忽略了两者源于完全不同的精神文化模式。中国 我们民族自身的文化财富,就一定能创造出优秀的精品,才 艺术创作中推崇含蓄,自然,注重对心灵情感的表现,不注重 能最终在 世 界艺坛中 享 有中国油 画 应有的位 置 。 对外部对象世界的摹仿再现,讲究言有尽而意无穷,讲究人
与自然的融合,注重艺术在成就教化人伦方面的作用。在艺
(上接 299 页) 术的品评标准上,追求气韵生动、意境、神韵、性灵等等。 无不与注重整体的直觉感悟,轻逻辑分析,追求天人合一哲 XYXY1 1 1 1 学观念指导下的人与自然的融合和注重现实的人伦关系和 故 与 不相关,利用上述已证可知, 与 相互独 现实的情感生活等感知世界的方式密切相关,因此中国意象 立 油画里出现的虚化软化的特点及其所带有的水的特质,我们
就不难理解了.同样的道理,在西方,现实主义文学,再现性艺 X = X+ cY = Y + d 1 1 1 1 ,术的发达以及西方人在这方面的高度成就,绘画中对透视法 ,所以 X 和 Y 相互独立。 的重视,也是西方人那种重科学的逻辑分析,注重人与自然 若 X 和 Y 是二维正态随机变量,则 X 和 Y 不相关性 的分别以及对外部对象世界的摹仿再现等感知模式在艺术 和独立性等价。中的具体体现.西方诸多写实性绘画巨作已将此特点表达的
淋漓尽至,这里就不再多说了.西方哲学从公元前 5 世纪左右 μ μ δ δ ρ 1, 2, 1, 2, 的正态分布, 设(X,Y)服从参数为 将精神与物质明显区别,形成了二元论的世界观,尔后一
直持续了两千多年。而中国文化则始终将人道与天道和起 ρ = ρ ρ =0 xy 来研究,将本体看成是一个生生不已的过程。既强调矛盾 则 X、Y 的相关系数 , 是 X、Y 独立的充 各方面的互相转化、阴阳交互、有无相生,也强调在变化 要条件,所以 X 与 Y 不相关是 X、Y 独立的充要条件。 中取其常,以中庸为其度。在这种从从动态中求和谐的有 总之,两个随机变量相关是它们不独立的一种特殊情 机宇宙观的基础 上,构成了中国人不同于西方人的精神生 况,两个随机变量的独立性是两者发生的概率互不受影响, 活模式。其特质在于人与自然的和谐、人与社会群体的和 相关性则是指两者之间的一种线性关系,所以不可把不相 谐、人与自我的和谐,即人的道德主题之心、感性寸有之 关简单等价于独立。 心、知识慧识之心,融融相通。 还是这个道理,我们能够明
白俄国画家列宾创作的《伏尔加河上的纤夫》来自于俄罗 参考文献,
斯民族的沉郁,厚重,浓郁的宗教观念和忏悔意识。而日本的 [1] 复旦大学.概率论基础[M].上海,复旦大学出版 绘画中透露出的那种纤巧细腻,敏锐伤感,宿命似的悲凉。其 社,1979。 实也与日本大和民族的心理性格与心理倾向有关。一个民 [2] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京,高等教 育族的精神生活模式,既包含最基本的宇宙意识、人生意识、 出版社,1982。 伦理意识、审美意识,也是一种心理结构 。以上诸多事实 [3] 刘旭阳,侯小丽.概率论与数理统计[M].武汉:武 汉让我们明白民族的文化心理对其自身的文学艺术的影响是 出版社,1996。 多么巨大。
我们的油画是从西方传入的,但这并不等于我们就无法
超越。东西方的民族审美趋向的差异。更加具体的表现在
东西方的艺术家在生活中由于知识、心理、民族文化背景、
先天秉赋等条件的不同,因此对外界事物的感受个体认识也
必然存在着差异。即便是在同一环境中,,不乏出自有意和
无意的取舍和误解。“写意”在中国传统文化中,具有悠久
的历史和丰富的文化资源。它基于中国人对待宇宙中形与
295
范文二:两个随机变量的独立性和相关性之比较
片
第
年 月 第卷期
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立 参考 独文
魏献宗 舒概率 论数与 理 统计 教 【程」 京 高 等教 育 出社 版北张 朝金概 率的反中例【 〕 原 山 西人 教民育 出 社 版太【
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范文三:随机变量相互独立与不相关
随机变量相互独立与不相关 第23卷第2期
26o7年4月
忻州师范学院
JOURNALOFXINZHOUneACHERSUNIVERS?Y V01.23No.2
Apr.2007
随机变量相互独立与不相关
殷凤
(忻州师范学院,山西忻州034000)
摘要:文章讨论了随机变量相互独立与不相关的联系,并对两个随机变量的相互独
立与
不相关进行了细致的讨论.
关键词:独立性;不相关;随机变量
中图分类号:0211.5文献标识码:A文章编号:1671—1491(2007)02—0022—02
随机变量相互独立与不相关所反映的不是同一种关系, 随机变量独立性反映随机变量不存在任何关系,而随机变量 不相关只是就线性关系而言的,于是相互独立则一定不相 关,反之,则不然.当两随机变量,y都服从正态分布时, y独立与,y不相关等价,是否有两随机变量,y都服从其 它分布时,,y独立与,y不相关等价?下面就两个随机变 量的相互独立与不相关进行详细讨论.
1若,y相互独立,则.y不相关
若,y相互独立,则E(XY)=E(x)E(Y),所以COV( Y)=0
即,y不相关
2若,y不相关,则.y不一定相互独立
例1:已知二维随机变量(,y)的联合密度为 f+?1
,(,Y)={仃
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判断其相关与相互独立性.
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即,y不相关,与已知,y相关矛盾,原命题成立. 4若,y不相互独立,则,y不一定不相关 证明:,y不相互独立,且()(y)?0,E(XY)?0 时,则E(XY)?()E(y),所以COV(Y)?0即,y相 关.但若()=0,E(Y)=0,E(XY)=0时,有COV(Y) =
0,即,y不相关.
例1:设随机变量服从拉普拉斯分布,其密度函数为, ()=?e一<<+判断其相互独立与相关性. 解:对于0<口<+?,{II<口}c{<口},由P{II<
口}>0,P{<口}<1,故P{<?II<口}=p{II<口},但P
{<口II<口}<p{<口}所以
P{<口Ixl<口}?p{Ixl<口}P{<口},即,l,不相互 独立
E(x)=?』::就=0,E(IXI)=?』::IxIe ==
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,即,,'
0,即,Y不相关.
而,(,Y)~fx(x(y)所以,y不相互独立
例2:当两随机变量,y都服从正态分布时,y独立与 ,y不相关等价
所以,y不相关,同时,y相互独立
3若.y相关,则,l,一定不相互独立
证明:假设,y相互独立,则E(XY)=E(x)E(Y),所以 例2:已知二维随机变量(,Y)的联合分布列为 一
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收稿日期:2006—08—20
作者简介:殷凤(1979一),女,山西忻州人,忻州师范学院数学系助教,从事基础数学
研究.
第2期殷凤:随机变量相互独立与不相关
解:p{=一13,
p{=一1}.?,而p{=一1,Y=
-1}=?
P{=一1,Y=一1}?p{=一1}P{Y=一1},即,l,不 相互独立
但E(X)=0,E(】,)=0,E(XY)=0所以cov(xY)=0, 即,l,不相关
5,l,不相关,与,l,相互独立互为充要条件
例:设,l,是两个随机变量,若它们都服从两点分布, 则,l,相互独立与,l,不相关互为充要条件
证明:若,l,相互独立,则E(XY)=E(X)(Y),所以 cov(xY)=0,
即,l,不相关
乍若,l,不相关,设边际分布为
I专*PlP1ql'一,
P1+q1=1P2+q2=1
于是E(X)=alPl+口2glE(Y)=blP2+62g2设二维随 机变量(,Y)
于是得到
Pl1+p2l=p2(1)Pll+pl2=pl(2)
P12+p22=g2(3)P21+p22=g1(4)
由(1)+(2)一(3)=(4)
又有COV(XY)=0所以
22
0=?.,
(—E)(bm—El,)Ph=(口1一E)(b1,El,) Pl1+(al—EX)(b2一EY)pl2+(a2一EX)(b1一EY)p21+(a2
一
EX)(b2一EY)p22(5)
把(1)代人(5)利用P.+g1=1,P2+g2=1则
(a1一?2)(b1一b2)[qlq2Pl1-q1P2P12-p1q2P12+plPzP=]=0
而al?口2bl?62所以
[g1g2Pl1一qlP2Pl2-p1g2P12+p1P2P22=0(6)
(1)(2)(3)(6)形成方程组的系数行列式为 11
00
10
glg2一p2g1
00
11
10
一
p1g2p1p2
p1g2=p1(P2+g2)g2(P2+g2)=1?0所以由(1)(2)(3)
(6)形成方程组有唯一解
Pl1=p1P2P12=p1g2P2l=qlP2P22=qlg2所以,l, 相互独立
例2:设二维随机变量(,l,)在矩形区域D:a??bc ?,,?d内服从均匀分布
,():j-6'c?),?d
L0?口,?b,,,?c,,,?d
则,l,相互独立与,l,不相关互为充要条件 证明()=』::,()dyl一dy
南6
fY(Y)=,(x,y)dx=』:-_dx
c??d
若,l,相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),所以COV (Y)=0
乍若,l,不相关,即cov(xY)=0,E(x—Ez)(Y—Ey)
=0Exy=E娩y
ib4idc(x,r)~dr=f'oxf(xi(ydy
,(,Y))Y)分别为二维随机变量(,l,)在矩形区
域D:口??6c?,,?d内的联合密度和边际密度,因二维
随机变量(,l,)在矩形区域D:口??6c?,,?d内服从均
匀分布,(,Y),所以其两边际密度,()Y)也分别在n?
?6c?,,?d内服从均匀分布,即,(,Y)),,(Y)为常
数,于是有
f(x,Y)f:xydxdy=,(),(Y)f:xdxfydy ,(,,,)』:xdxydy=,(),(,,)』:xdxydy
,(,y)::,()f(Y)
(b一a)(一c)
4
又a#b,c#d有,(,Y)=,(x)f(Y)所以,l,相互独
立
(责编:唐晓燕)
参考文献:
[1]魏宗舒.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版
社.1983.
qlP2+qlq2+PiP2[2]盛骤,等.概率论与数理统计[M].浙江:高等教育
出版社,2001.
TheRelationBetweenIndependenceNon—correlationofARandomVariable
YINFeng
(XinzhouTeachersUniversity,Xinzhou034000,China)
Abstract:Therelationbetweenindependenceandnon——
correlationofarandomvariableisdiscussedinthepaperandtherelationbe--
tweentworandomvariablesisdescribedindetail. Keywords:independence;non-correlation;randonvariable
范文四:变量的相关性、回归分析和独立性检验
第 70讲 变量的相关性、回归分析和独立性检验
2.(2013·湛江测试 ) 已知回归直线的斜率的估计值为 1.23,样本点的中心为 (4,5),则回
归直线方程为 ( )
A . y =1.23x +4 B . y =1.23x +5
C . y =1.23x +0.08 D . y =0.08x +1.23
3. 在下列各图中,两个变量具有相关关系的图是 (
)
A . (1)(2) B . (1)(3)
C . (2)(4) D . (2)(3)
解析:图形应为散点图,且成带状分布.
4.(2013·临沂市质量检测 ) 为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助, 用简单随
附:
A .在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“该地区的老年人是否需要志愿者提 供帮助与性别有关”
B . 在犯错误的概率不超过的 0.1%的前提下, 认为“该地区的老年人是否需要志愿者提 供帮助与性别无关”
C .最多有 99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”
D .最多有 99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”
5.(2012·石家庄市质检 ) 经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元 ) 和年饮食支出 y (万元 ) 具有线性相关关系,并得到 y 关于 x 的线性回归直线方程:y =0.245x +0.321,由回归直线 方程可知,家庭年收入每增加 1万元,年饮食支出平均增加 多少 万元?
6.(2012·山东省淄博量检测 ) 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x (吨 ) 与相应的生产能耗 y (吨标准煤 ) 的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 y =0.7x +
7.(2012·在某学 校随机抽出 20名 15至 16周岁的男生, 将他们的身高和体重制成 2×2的列联表, 根据列联 表的数据,可以有 多少
.
K 2=n (ad -bc )2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
, n =a +b +c +d . 8. 下表是某小卖部 6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表:
(3)(4)如果某天的气温是-5 ℃时,用 (3)的回归方程预测这天小卖部卖出热茶的杯数.
9.(2012·辽宁卷改编 ) 电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视
情况, 随机抽取了 100名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节 目时间的频率分布直方图:
将日均收看该体育节目时间不低于 40
分钟的观众称为“体育迷”.根据已知条件完成
附:K 2=n ((a +c )(b +d )(a +b )(c +d )
范文五:变量之间的相关关系和两个变量的线性相关(高考题)
变量之间的相关关系
和两个变量的线性相关
链接高考
1. (2015湖北,4,5分,★★☆)已知变量x和y满足关系y=-0.1x+1,变量y与z正相关. 下列结论中正确的是( )
A.x与y正相关,x与z负相关
B.x与y正相关,x与z正相关
C.x与y负相关,x与z负相关
D.x与y负相关,x与z正相关
2. (2014重庆,3,5分,★★☆)已知变量x与y正相关,且由观测数据算得样本平均数=3,=3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.=0.4x+2.3
B.=2x-2.4 C.=-2x+9.5 D.=-0.3x+4.4
3. (2014湖北,4,5分,★★☆)根据如下样本数据
得到的回归方程为=bx+a,则( )
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0>0><0,b>0
D.a<><>
4. (2011山东,7,5分,★★☆)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表: 1
根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预测广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元
5. (2015重庆,17,13分,★★☆)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:
(1)求y关于t的回归方程=t+;
(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.
附:回归方程=t+中,
=
=-.
三年模拟
1. (2016安徽安庆宿松凉亭中学期中,★☆☆)在下列各图中,两个变量具有线性相关关系的是( )
A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(4) D.(2)(3)
2. (2016福建漳州东山二中期末,★☆☆)已知x与y之间的一组数据: 2
则回归直线=x+必过点( )
A.(2,2) B.(1.5,4) C.(1.5,0) D.(1,2)
3. (2015湖南浏阳一中、攸县一中、醴陵一中联考,★★☆)某产品在某零售摊位的零售价x(单位:元)与每天的销售量y(单位:个)的统计资料如下表所示.由下表可得回归直线方程=x+中的=-4,据此模型预测当零售价为15元时,每天的销售量为( )
A.51个 B.50个 C.49个 D.48个
4. (2015黑龙江大庆铁人中学期末,★★☆)某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:
由表中数据得到的线性回归方程=x+中的=1.1,据此模型预测当产量为9千件时,成本约为________万元.
5. (2016宁夏银川一中期末,★★☆)某种商品的广告费用支出x(千元)与销售额y(万元)之间有如下对应数据:
(1)根据上表数据,用最小二乘法求出销售额y关于广告费用支出x的线性回归方 3
程;
(参考数据:2×3+4×4+5×6+6×5+8×7=138,22+42+52+62+82=145)
(2)当广告费用支出为10千元时,预测一下该商品的销售额为多少万元.
6. (2016山西右玉一中期末,★★☆)有5名学生的数学和化学成绩如下表所示:
(1)如果y与x具有线性相关关系,求线性回归方程;
(2)预测如果某学生数学成绩为79分,他的化学成绩为多少.
参考公式:=
,=-.
4
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