范文一:点线面关系题型清晰____练习题(有答案)
点线面位置关系总复习
知识梳理
一、直线与平面平行 1. 判定方法
(1)定义法:直线与平面无公共点。 a ?α(2)判定定理:
b ?α
a //b
(3)其他方法:
a //α
α//β
a //αa ?
β
a //α
2. 性质定理:a ?β a //b
α?β=b
二、平面与平面平行 1. 判定方法
(1)定义法:两平面无公共点。
a //βb //β
(2)判定定理:a ?α α//β
b ?αa ?b =P
(3)其他方法:
a ⊥αa ⊥β
α//β;
a //γ
β//γ
α//β
α//β
2. 性质定理:γ?α=a a //b
γ?β=b
三、直线与平面垂直
(1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。 (2)判定方法 ① 用定义.
a ⊥b
a ⊥c ② 判定定理:b ?c =A a ⊥α
b ?αc ?α
③ 推论:
a ⊥αa //b
b ⊥α
(
3)性质 ①
a ⊥αb ?α
a ⊥b ②
a ⊥αb ⊥α
a //b
四、平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面互相垂直。 (2)判定定理(3)性质
a ?αa ⊥β
α⊥β
α⊥βα?β=l
①性质定理 α⊥β
a ?α
a ⊥l
α⊥βα?β=l ② A ∈l
P ∈α
P A ⊥β垂足为A α⊥βα?β=④ PA ?α
P ∈αPA ⊥β
“转化思想”
面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直
求二面角
1. 找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线, 它们所成的角就是二面角的平面角. 2. 在二面角
的棱上任取一点O ,在两半平面内分别作射线OA ⊥l ,OB ⊥l ,则∠AOB 叫做二面角
的
平面角
例1.如图,在三棱锥S-ABC 中,SA ⊥底面ABC ,AB ⊥BC ,DE 垂直平分SC ,且分别交AC 于D ,交SC 于E ,又SA=AB,SB=BC,求以BD 为棱,以BDE 和BDC 为面的二面角的度数。
求线面夹角 定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 方法:作直线上任意一点到面的垂线,与线面交点相连,利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
例1:在棱长都为1的正三棱锥S -ABC 中,侧棱SA 与底面ABC 所成的角是________.
例2:在正方体ABCD -A1B1C1D1中,
①BC1与平面AB1所成的角的大小是___________; ②BD1与平面AB1所成的角的大小是___________; ③CC1与平面BC1D 所成的角的大小是___________; ⑤ BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________; ⑥ BD1与平面BC1D 所成的角的大小是___________;
例3:已知空间内一点O 出发的三条射线OA 、OB 、OC 两两夹角为60°,试求OA 与平面BOC 所成的角的大小.
求线线距离
说明:求异面直线距离的方法有:
(1)(直接法)当公垂线段能直接作出时,直接求.此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的关键.
(2)(转化法)把线线距离转化为线面距离,如求异面直线a 、b 距离,先作出过a 且平行于b 的平面α,则b 与
(线面转化法). α距离就是a 、b 距离.
也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 平行于a 的平面,两平行平面的距离就是两条异面直线距离.(面面转化法).
(3)(体积桥法)利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求.
(4)(构造函数法)常常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解. 两条异面直线间距离问题,教科书要求不高(要求会计算已给出公垂线时的距离),这方面的问题的其他解法,要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同学探求.
例:在棱长为a 的正方体中,求异面直线BD 和B 1C 之间的距离。
线面平行(包括线面距离)
例:已知点S 是正三角形ABC 所在平面外的一点,且SA =SB =SC ,SG 为?SAB 上的高,D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点,试判断SG 与平面DEF 内的位置关系,并给予证明
面面平行(包括面面距离) 例1:已知正方体 ABCD 1 BC 1 1 D 1 ,求证 平面
B 1AD 1//平面BC 1D - A
例2:在棱长为a 的正方体中,求异面直线BD 和B 1C 之间的距离.
面面垂直
例1:已知直线PA 垂直正方形ABCD 所在的平面,A 为垂足。求证:平面PAC ⊥平面PBD 。
例2:已知直线PA 垂直于圆O 所在的平面,A 为垂足,AB 为圆O 的直径,C 是圆周上异于A 、B 的一点。求证:平面PAC ⊥平面PBC 。
课后作业:
一、选择题
1. 教室内任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( )
A. 平行 B . 相交 C. 异面
D. 垂直
2. 若m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( ) A. 若m ?β,α⊥β,则m ⊥α
B. 若α∩γ=m ,β∩γ=n ,m ∥n ,则α∥β C. 若m ⊥β,m ∥α,则α⊥β D. 若α⊥γ,α⊥β,则β⊥γ
3.(改编题) 设P 是△ABC 所在平面外一点,P 到△ABC 各顶点的距离相等,而且P 到△ABC 各边的距离也相等,那么△ABC ( )
A. 是非等腰的直角三角形 B. 是等腰直角三角形 C. 是等边三角形
D. 不是A 、B 、C 所述的三角形
4. 把等腰直角△ABC 沿斜边上的高AD 折成直二面角B —AD —C ,则BD 与平面ABC 所成角的正切值为 ( ) A. 23
C.1 D. 23
5. 如图,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB =90°,M 为AB 的中点,PM 垂直于△ACB 所在平面,那么( )
A. P A =PB >PC B. P A =PB
6. 正四棱锥S —ABCD 的底面边长为2,高为2,E 是边BC 的中点,动点P 在表面上运动,
并且总保持PE ⊥AC ,则动点P 的轨迹的周长为 .
7. α、β是两个不同的平面,m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m ⊥n ;②α⊥β;③n ⊥β;④
m ⊥α. 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:三、解答题
11. 如图(1),等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AB =AD ,∠ABC =60°,E 是BC 的中点,如图(2),将△ABE 沿AE 折起,使二面角B —AE —C 成直二面角,连接BC ,BD ,F 是CD 的中点,P 是棱
BC 的中点.
(1)求证:AE ⊥BD ;(2)求证:平面PEF ⊥平面AECD ;(3)判断DE 能否垂直于平面ABC ?并说明理由.
12. 如图,已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面。M , N 分别是AB , PC 的中点。()求证:1MN ⊥面PAD
( 2)求证:MN ⊥CD
O
(3 )若∠PDA =45, 求证:
MN ⊥面PCD
12. 如图所示,已知△BCD 中,∠BCD =90°,BC =CD =1,AB ⊥平面BCD ,∠ADB =60°,E 、F 分别是AC 、AD 上的动点,且
AE AF
=λ(0<><1). ac="">1).>
(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF ⊥平面ABC ; (2)当λ为何值时,平面BEF ⊥平面ACD ?
13. 如图,在矩形ABCD 中,AB =2BC ,P 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点,EP ⊥平面ABCD .
(1)求证:DP ⊥平面EPC ;
(2)问在EP 上是否存在点F 使平面AFD ⊥平面BFC ?若存在,求出.
FP AP
参考答案
● 求二面角
分析:找二面角的平面角, 有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线, 它们所成的角就是二面角的平面角. 解:
在RtΔSAC中,SA=1,SC=2,∴∠ECA=30?, 在Rt ΔDEC中,∠DEC=90?, ∴∠EDC=60?, ∴ 所求的二面角为60?。
● 求线线距离 解法1:(直接法)如图:
1于M 、N 两点, 1分别交AC 、BC 取BC 的中点P ,连结PD 、PB
易证:DB 1//MN ,DB 1⊥AC ,DB 1⊥BC 1.
1MN =DB 1=a
BC MN AC 33. 1的公垂线段,易证:∴为异面直线与
小结:此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解.但通常寻找公垂线段时,难度较大.
解法2:(转化法)如图:
∵AC //平面A 1C 1B ,
∴AC 与BC 1的距离等于AC 与平面A 1C 1B 的距离,
1中,作斜边上的高OE ,则OE 长为所求距离, 在Rt ?OBO
OB =
∵
2a
2,OO 1=a ,
∴
O 1B =
OO 1?OB 3OE ==a a
O 1B 3. 2,∴
小结:这种解法是将线线距离转化为线面距离.
解法3:(转化法)如图:
1//平面A 1C 1B , ∵平面ACD
1与平面A 1C 1B 的距离. ∴AC 与BC 1的距离等于平面ACD
1,且被平面ACD 1和平面A 1C 1B 三等分; ∵DB 1⊥平面ACD
1B 1D =a
3. ∴所求距离为3
小结:这种解法是线线距离转化为面面距离.
解法4:(构造函数法)如图:
任取点Q ∈BC 1,作QR ⊥BC 于R 点,作PK ⊥AC 于K 点,设RC =x ,
222则BR =QR =a -x ,CK =KR ,且KR +CK =CR
KR 2=
∴
11CR 2=x 222. 12
x +(a -x ) 22
3211=(x -a ) 2+a 2≥a 22333,
QK 2=
则
a
BC QK AC 1的距离等于3故的最小值,即与.
小结:这种解法是恰当的选择未知量,构造一个目标函数,通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离.
解法5:(体积桥法)如图: 当求AC 与BC 1的距离转化为求AC 与平面A 1C 1B 的距离后,设C 点到平面A 1C 1B 的距离为h ,
则
V C -A 1C 1B
131122
h ?(2a ) =?a ?a =V A 1-BCC 1
3432.∵, a a 3.即AC 与BC 1的距离等于3.
的高,
h
∴
小结:本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体化为锥体然后用体积公式求之.这种方法在后面将要学到.
线面平行 例:
分析1:如图,观察图形,即可判定SG //平面DEF ,要证明结论成立,只需证明SG 与平面DEF 内的一条直线平行.
观察图形可以看出:连结CG 与DE 相交于H ,连结FH ,FH 就是适合题意的直线. 怎样证明SG //FH ?只需证明H 是CG 的中点. 证法1:连结CG 交DE 于点H , ∵DE 是?ABC 的中位线, ∴DE //AB .
在?ACG 中,D 是AC 的中点,且DH //AG , ∴H 为CG 的中点.
∵FH 是?SCG 的中位线,∴FH //SG . 又SG ?平面DEF ,FH ?平面DEF , ∴SG //平面DEF .
分析2:要证明SG //平面DEF ,只需证明平面SAB //平面DEF ,要证明平面DEF //平面SAB ,只需证明
SA //DF ,SB //EF 而SA //DF ,SB //EF 可由题设直接推出.
证法2:∵EF 为?SBC 的中位线, ∴EF //SB .
∵EF ?平面SAB ,SB ?平面SAB , ∴EF //平面SAB .
同理:DF //平面SAB ,EF DF =F , ∴平面SAB //平面DEF ,又∵SG ?平面SAB , ∴SG //平面DEF .
面面平行 例一:
证明:∵ABCD -A 1B 1C 1D 1为正方体, ∴D 1A //C 1B , 又 C 1B ?平面C 1BD , 故 D 1A //平面C 1BD . 同理 D 1B 1//平面C 1BD . 又 D 1A D 1B 1=D 1,
∴ 平面AB 1D 1//平面C 1BD .
例二:
根据正方体的性质,易证:
BD //B 1D 1?
??平面A 1BD //平面CB 1D 1
A 1B //D 1C ?
连结AC 1,分别交平面A 1BD 和平面CB 1D 1于M 和N
因为CC 1和AC 1分别是平面ABCD 的垂线和斜线,AC 在平面ABCD 内,AC ⊥BD 由三垂线定理:AC 1⊥BD ,同理:AC 1⊥A 1D ∴AC 1⊥平面A 1BD ,同理可证:AC 1⊥平面CB 1D 1 ∴平面A 1BD 和平面CB 1D 1间的距离为线段MN 长度. 如图所示:
在对角面AC 1中,O 1为A 1C 1的中点,O 为AC 的中点
∴
AM =MN =NC 1=
13AC 1=a 33.
a
B C A BD CB D 3BD 1111∴和的距离等于两平行平面和的距离为.
面面垂直
例1:
例2:
AB 是圆O 的直径
C 是圆周上异于A 、B 的一点
?
??BC ⊥AC ?
PA ⊥平面ABC ?
??BC ⊥PA
BC ?平面ABC ?
AC ?平面PAC ,PA ?平面PAC
AC PA =A
?
??BC ⊥平面PAC ??
?平面PAC ⊥平面PBC 。?BC ?平面PBC ??
? ??
作业:
一、选择题:
1. D 2. C 3. C 4. B 5. C
6. 解析:如图,取CD 的中点F 、SC 的中点G ,连接EF ,EG ,FG ,EF 交AC 于点H ,易知AC ⊥EF ,又GH ∥SO ,
∴GH ⊥平面ABCD ,
∴AC ⊥GH ,∴AC ⊥平面EFG , 故点P 的轨迹是△EFG , 其周长为2+6. 2+6 7. ①③④?②;②③④?①
范文二:点线面关系题型清晰____练习题(有答案)
点线面位置关系总复习
, 知识梳理
一、直线与平面平行
1.判定方法
(1)定义法:直线与平面无公共点。
,,a
(2)判定定理: ,b,a//,
ab//
,,//(3)其他方法: a//,,a,
a//,
2.性质定理: ,a,ab//
,,b,,
二、平面与平面平行
1.判定方法
(1)定义法:两平面无公共点。
a//,
b//,
(2)判定定理:a, ,,//,
b,,
abP,,
a,,a//,(3)其他方法: ; ,,//,,//a,//,,,
,,//
2.性质定理: ,,a,,ab//
,,b,,
三、直线与平面垂直
(1)定义:如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直,则这条直线和这个平面垂直。
(2)判定方法
? 用定义.
ab,
ac,
a,,bcA,,? 判定定理:
b,,
c,,
regularly, neat in appearance, the main-beam with small harness line must be smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90-degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should
,,ab,,? 推论: ab//
(3)性质
a,,a,,ab,? ? ab//b,b,,,
四、平面与平面垂直
(1)定义:两个平面相交,如果它们所成的二面角是直线二面角,就说这两个平面互相垂直。
a,,
(2)判定定理 ,,,a,,
(3)性质
,,,
,,l,,?性质定理 ,,,a,,
,al
,,,
l,,,,Al,? P,,
PAA,垂足为,
,,,
,,l,,PA,,? ,P,
,PA,
, “转化思想”
面面平行 线面平行 线线平行
面面垂直 线面垂直 线线垂直
求二面角
1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角. 2.在二面角的棱上任取一点O,在两半平面内分别作射线OA?l,OB?l,则?AOB叫做二面角的
平面角
例1(如图,在三棱锥S-ABC中,SA,底面ABC,AB,BC,DE垂直平分SC,且分别交AC于D,交SC于E,又SA=AB,
SB=BC,求以BD为棱,以BDE和BDC为面的二面角的度数。
求线面夹角
定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 方法:作直线上任意一点到面的垂线,与线面交点相连,利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
例1:在棱长都为1的正三棱锥S,ABC中,侧棱SA与底面ABC所成的角是________(
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-e smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness line must b-regularly, neat in appearance, the main2
例2:在正方体ABCD,A1B1C1D1中,
?BC1与平面AB1所成的角的大小是___________;
?BD1与平面AB1所成的角的大小是___________;
?CC1与平面BC1D所成的角的大小是___________;
? BC1与平面A1BCD1所成的角的大小是___________;
? BD1与平面BC1D所成的角的大小是___________;
例3:已知空间内一点O出发的三条射线OA、OB、OC两两夹角为60?,试求OA与平面BOC所成的角的大小(
求线线距离
说明:求异面直线距离的方法有:
(1)(直接法)当公垂线段能直接作出时,直接求(此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的关键(
bbb(2)(转化法)把线线距离转化为线面距离,如求异面直线、距离,先作出过且平行于的平面,则与aa,
b距离就是、距离((线面转化法)( ,a
bb平行的平面和过平行于的平面,两平行平面的距离就是两条异面直线距离((面面转化也可以转化为过aa
法)(
(3)(体积桥法)利用线面距再转化为锥体的高用何种公式来求(
(4)(构造函数法)常常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解(
两条异面直线间距离问题,教科书要求不高(要求会计算已给出公垂线时的距离),这方面的问题的其他解法,要适度接触,以开阔思路,供学有余力的同学探求(
BCaBD1例:在棱长为的正方体中,求异面直线和之间的距离。
, 线面平行(包括线面距离)
SABCSA,SB,SCSG,SABDEF例:已知点是正三角形所在平面外的一点,且,为上的高,、、分别
ACBCSCSGDEF是、、的中点,试判断与平面内的位置关系,并给予证明
面面平行(包括面面距离)
例1:已知正方体 ,求证 ABCDABCD,平面平面BADBCD//1111111
BDaBC例2:在棱长为的正方体中,求异面直线和之间的距离( 1
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-ne must be smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness li-regularly, neat in appearance, the main3
, 面面垂直
例1:已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面,A为垂足。求证:平面PAC,平面PBD。
例2:已知直线PA垂直于圆O所在的平面,A为垂足,AB为圆O的直径,C是圆周上异于A、B的一点。求证:平面PAC,平面PBC。
课后作业:
一、选择题
1.教室内任意放一支笔直的铅笔,则在教室的地面上必存在直线与铅笔所在的直线( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
2.若m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中的真命题是( )
A.若m?β,α?β,则m?α
B.若α?γ,m,β?γ,n,m?n,则α?β
C.若m?β,m?α,则α?β
D.若α?γ,α?β,则β?γ
3.(改编题)设P是?ABC所在平面外一点,P到?ABC各顶点的距离相等,而且P到?ABC各边的距离也相等,那么?ABC( )
A.是非等腰的直角三角形
B.是等腰直角三角形
C.是等边三角形
D.不是A、B、C所述的三角形
4.把等腰直角?ABC沿斜边上的高AD折成直二面角B—AD—C,则BD与平面ABC所成角的正切值为 ( )
23A.2 B. C.1 D. 23
5.如图,已知?ABC为直角三角形,其中?ACB,90?,M为AB的中点,PM垂直于?ACB所在平面,那么( )
A.PA,PB>PC B.PA,PB
C.PA,PB,PC D.PA?PB?PC
二、填空题:
6. 正四棱锥S—ABCD的底面边长为2,高为2,E是边BC的中点,动点P在表面上运动,
并且总保持PE?AC,则动点P的轨迹的周长为 .
7. α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断:?m?n;?α?β;?n?β;?
m?α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题: . 三、解答题
11.如图(1),等腰梯形ABCD中,AD?BC,AB,AD,?ABC,60?,E是BC的中点,如图(2),将?ABE沿AE折起,使二面角B—AE—C成直二面角,连接BC,BD,F是CD的中点,P是棱BC的中点.
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-e smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness line must b-regularly, neat in appearance, the main4
(1)求证:AE?BD;(2)求证:平面PEF?平面AECD;(3)判断DE能否垂直于平面ABC,并说明理由.
12. 如图,已知矩形所在平面。分别是的中点。PAABCDMNABPC,,,
()求证:面1MNPAD,
()求证:2MNCD, O()若求证:面345,,,,PDAMNPCD
12.如图所示,已知?BCD中,?BCD,90?,BC,CD,1,AB?平面BCD,?ADB,60?,E、F分别是AC、AD上
AEAF的动点,且,,λ(0<><1).>1).>
(1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF?平面ABC;
(2)当λ为何值时,平面BEF?平面ACD,
13.如图,在矩形ABCD中,AB,2BC,P、Q分别为线段AB、CD的中点,EP?平面ABCD.
(1)求证:DP?平面EPC;
FP(2)问在EP上是否存在点F使平面AFD?平面BFC,若存在,求出的值. AP
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-ne must be smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness li-regularly, neat in appearance, the main5
参考答案 , 求二面角
分析:找二面角的平面角,有一种方法是找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二
面角的平面角.
解:
在RtΔSAC中,SA=1,SC=2,??ECA=30:,
在RtΔDEC中,?DEC=90:, ??EDC=60:,
? 所求的二面角为60:。
, 求线线距离
解法1:(直接法)如图:
PBBCBCACNPPDM11取的中点,连结、分别交、于、两点,
DB//MNDB,ACDB,BC1111易证:,,(
13MN,DB,a1BCMNAC331?为异面直线与的公垂线段,易证:( 小结:此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解(但通常寻找公垂线段时,难度较大(
解法2:(转化法)如图:
ACBAC//11?平面,
BCACBACAC111?与的距离等于与平面的距离, Rt,OBOOEOE1在中,作斜边上的高,则长为所求距离,
2OB,aOO,a21?,,
OO,OB331OE,,aOB,a1OB321?,?(
小结:这种解法是将线线距离转化为线面距离(
解法3:(转化法)如图:
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-e smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness line must b-regularly, neat in appearance, the main6
ACDACB//111?平面平面,
BCACDACBAC1111?与的距离等于平面与平面的距离(
DB,ACDACDACB11111?平面,且被平面和平面三等分;
13BD,a133?所求距离为(
小结:这种解法是线线距离转化为面面距离(
解法4:(构造函数法)如图:
Q,BCQR,BCPK,ACRC,xRK1任取点,作于点,作于点,设,
222BR,QR,a,xCK,KRKR,CK,CR则,,且
11222KR,CR,x22?(
13211222222QK,x,(a,x),(x,a),a,a23332则,
3aBCQKAC31故的最小值,即与的距离等于(
小结:这种解法是恰当的选择未知量,构造一个目标函数,通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离(
解法5:(体积桥法)如图:
BCACBACBACACCh11111当求与的距离转化为求与平面的距离后,设点到平面的距离为,
131122h,(2a),,a,aV,VC,ACBA,BCC34321111则(?,
33haaBCAC331?(即与的距离等于(
小结:本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转化为锥体化为锥体的高,然后用体积公式求之(这种方法在后面将要学到(
, 线面平行
例:
SG//SGDEFDEF分析1:如图,观察图形,即可判定平面,要证明结论成立,只需证明与平面内的一条直线平
行(
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-ne must be smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness li-regularly, neat in appearance, the main7
CGDEHFHFH观察图形可以看出:连结与相交于,连结,就是适合题意的直线(
SG//FHCGH怎样证明,只需证明是的中点(
CGDEH证法1:连结交于点,
,ABCDE?是的中位线,
DE//AB?(
,ACGACDH//AGD在中,是的中点,且,
CGH?为的中点(
,SCGFH//SGFH?是的中位线,?(
SG,DEFFHDEF,又平面,平面,
SG//DEF?平面(
SG//SAB////SABDEFDEFDEF分析2:要证明平面,只需证明平面平面,要证明平面平面,只需证明
SA//DFSB//EFSA//DFSB//EF,而,可由题设直接推出(
,SBCEF证法2:?为的中位线,
EF//SB?(
EF,SABSB,SAB?平面,平面,
EF//SAB?平面(
EF:DF,FDF//SAB同理:平面,,
SAB//SG,SABDEF?平面平面,又?平面, SG//DEF?平面(
, 面面平行
例一:
ABCD-ABCDDA//CB111111证明:?为正方体, ?, CB,CBDDA//CBD1111又 平面, 故 平面(
DB//CBDDA:DB,D1111111同理 平面( 又 ,
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-e smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness line must b-regularly, neat in appearance, the main8
ABD//CBD111? 平面平面(
例二:
根据正方体的性质,易证:
BD//BD,11,平面ABD//平面CBD,111AB//DC11,
ACABDCBDNM1111连结,分别交平面和平面于和
CCACABCDACABCDAC,BD11因为和分别是平面的垂线和斜线,在平面内,
AC,BDAC,AD111由三垂线定理:,同理:
AC,ABDAC,CBD11111?平面,同理可证:平面
ABDCBDMN111?平面和平面间的距离为线段长度(
如图所示:
ACOACOAC1111在对角面中,为的中点,为的中点
13AM,MN,NC,AC,a1133?(
3aBCABDCBD3BD1111?和的距离等于两平行平面和的距离为( , 面面垂直
例1:
例2:
AB是圆O的直径,,,BCAC, C是圆周上异于A、B的一点,,
,PA,平面ABC,,BC平面PAC, ,,,BCPA,,,,,平面PAC平面PBC。,BC,平面ABC,BC,平面PBC,
, AC,,平面PAC,PA平面PAC
, ,ACPAA:,
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-ne must be smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness li-regularly, neat in appearance, the main9
作业:
一、选择题:
1. D 2. C 3. C 4. B 5. C
6.解析:如图,取CD的中点F、SC的中点G,连接EF,EG,FG,EF交AC于点H,易知AC?EF,又GH?SO,
?GH?平面ABCD,
?AC?GH,?AC?平面EFG,
故点P的轨迹是?EFG,
其周长为2,6.
答案:2,6
7. ?????;?????
degree angle. 6.4.5 harness banding material for plastic cable tie, and banding material colors should-e smooth transition, small wire harness tied to main beam should be at a 90beam with small harness line must b-regularly, neat in appearance, the main10
范文三:空间点线面题型证明
2012春季高一数学
第二讲 空间点、线、面的位置关系 考点一:点线共面的证明方法
常用方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,然后证明有关的点和线在这个平面上。
,,、, (2)辅助平面法:先证明有关的点和线在平面上,然后再证明其余的点和线在平面上,最后证明重合 ,
(3)反证法:先假设点、线不共面,有已知条件推出矛盾,所以得出假设不成立,即点线共面。 例1、证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内。
abclaAlbBlcC////,,,.,,,abcl,,,例2、已知求证:共面.
考点二:证明三点共线问题
证明方法:(1)首先找到两个平面,然后证明这三个点都是这两个平面上的交点
(2)选择其中两个点确定一条直线,再证明第三个点在这个直线上
例3、已知?ABC在平面外,它的三边所在的直线分别交于P、Q、R,求证:P、Q、R三点共线 ,,
例4、正方体中,对角线与平面交于点O,交于点M。 ACBD、ABCDABCD,ACBDC111111
求证:三点共线。 COM、、1
考点三:证明三线共点
例5、已知:空间四边形中 , 分别为的中点,F在CD上,G在AD上,且有ABCDEH、BCAB、
DFFCDGGA::1:2,,,求证:直线EF、BD、HG交于一点。
考点四:异面直线所成的角: 求法:平移法:
例6、如图,在正方体中,E、F分别是、CD的中点( ABCD,ABCDBB11111
AE求与所成的角。 DF1
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2012春季高一数学 例7、正方体ABCD—ABCD中,(1)求AC与AD所成角的大小;(2)若E、F分别为AB、AD的中点,求AC与EF1111111所成角的大小.
例8、在空间四边形ABCD中,AD,BC,2,E,F分别为AB、CD的中点,EF,,求AD、BC所成角的大小( 3
S
E
B C
F A
,,变式1:正ABC的边长为a,S为ABC所在平面外的一点,SA,SB,SC,a,E,F分别是SC和AB的中点(求异面直线SA和EF所成角。
变式2:在空间四边形ABCD中,AC,6,BD,8,E,F分别为AB、CD的中点,EF,5,求异面直线AC、BD所成的角。
例9、如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体,M、N分别是BC和AC的中MN与CC所成111角的余弦值。
N A1 C1
B1
A C
M
B
考点五:直线与平面平行
例10、若将直线和平面都看成点的集合,则直线l//,可表示成( ) l,
l,,, A、l,, B、l,, C、l,, D、 例11、(1)两条异面直线中的一条与一个平面平行,那么另一条与这个平面的位置关系是( )
A、平行 B、相交 C、在平面内 D、以上情况均有可能
(2)平行于同一平面的两条直线的位置关系是( )
A、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交或异面
(3)已知直线,平面,则与的位置关系是( ) ll,lll//,//,,l,,121212
A、l//, B、l,, C、l//,或l,, D、相交 l与,22222
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2012春季高一数学 (4)梯形ABCD中,AB,平面,平面,则直线CD与面内的直线的位置关系只能是( ) ABCD//CD,,,,
A、平行 B、平行或异面 C、平行或相交 D、异面或相交 例12、 已知,为,,,,所在平面外一点,,为,,的中点,求证:,,?平面,,,(
例13、已知正三棱柱ABC,ABC,D为AC的中点( 求证AB?平面CBD 11111
例14、在正方体ABCD—ABCD中,P、Q分别是AD、BD上的点,且AP=BQ,求证:PQ?平面DCCD。 1111111
例15、已知两个全等的矩形ABCD 和ABEF不在同一平面内,M 、N 分别在它们的对角线AC,BF 上,且CM=BN(
求证:MN? 平面BCE(
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范文四:三视图,外接圆,点线面题型
立体几何教案
(一)三视图
常遇见的规则图形的分类及分析:
(一) ,棱锥(三棱锥,四棱锥)
棱锥:有一个面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形, 由这些面所围成的几何体 叫做棱锥。
正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形,并且顶点在底面的射影是底面的中心,这 样的棱锥叫做正棱锥。
1,三棱锥的视图:
, 2. 四棱锥的视图:
(二),棱柱(正方体,长方体,三棱柱,斜棱柱)
. 棱柱 ——有两个面互相平行, 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互 相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
①
?
?
??????→
??
?????→?
?
??
?
底面是正多形
棱垂直于底面
斜棱柱
棱柱 正棱柱 直棱柱
其他棱柱
★
底面为矩形 底面为正方形
1,正方体的视图:
2,长方体的三视图:
3,三棱柱的三视图:
4,斜棱柱的三视图:
(三),圆类(圆锥,圆柱体,球) 球的性质:
①球心与截面圆心的连线垂直于截面;
★② r (其中,球心到截面的距离为
d 、球的半径为 R 、截面的半径为 r )
★球与多面体的组合体:球与正四面体,球与长 方体,球与正方体等的内接与外切 .
注:球的有关问题转化为圆的问题解决 . 球面积、体积公式:2
3
44, 3
S R V R ππ==球 球 (其中 R 为球的半径
1,圆锥的三视图:
2,圆柱体的三视图:
3,球的三视图:
(四),复杂立体图形(棱台,圆台) 1,圆台的三视图:
2,棱台的三视图:
例 1, . 右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积
... 等于()
A . 34+B . 6+C . 6+D . 17+
例 2. 右图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 .
例 3. 如图所示的正三角形是一个圆锥的俯视图,则这个圆锥的侧面积为
_______.
图 9
例 4, 一个三棱柱的底面是正三角形,侧棱垂直于底面,它的三视图及其尺寸如图 10所示 (单位 cm ) ,则该三棱柱的表面积为 _____________.
例 5, 三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的表面上, SA ⊥平面 ABC , AB ⊥BC , 又 SA=AB= BC=1, 则球 O 的表面积为 ( )
(B) 32π (C) 3π (D) 12π
(二)内接球,外接圆
定义 1:若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上, 则称这个多面体是这个球
的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球。
定义 2:若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个 球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。
1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离 均相等。
2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。
3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。 4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。 5、体积分割是求内切球半径的通用做法。 一、 直棱柱的外接球 1、 长方体的外接球:
长 方 体 中 从 一 个 顶 点 出 发 的 三 条 棱 长 分 别 为 c b a , , , 则 体 对 角 线 长 为
2
2
2
c b a l ++=,几何体的外接球直径 R 2为体对角线长 l 即 2
2
22c b a R ++=
2、 正方体的外接球:
正方体的棱长为 a ,则正方体的体对角线为 a ,其外接球的直径 R 2为 a 3。 3、 直棱柱的外接球:
方法:找出直棱柱的外接圆柱,圆柱的外接球就是所求直棱柱的外接球。
例 1、 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一
个球面上,且该六棱柱的体积为 9
8
,底面周长为3,则这个球的体积为 .
例 2、 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4,体积为 16,则这个球的表面积
是 c
A. 16π B.20π C.24π D.32π
例 3、在直三棱柱 111C B A ABC -中, 4, 3
, 6, 41==
==AA A AC AB π
, 则直三棱柱
111C B A ABC -的外接球的表面积 _____________。
二、 棱锥的外接球 1、 正棱锥的外接球
方法:球心在正棱锥的高线上,根据球心到各个顶点的距离是球半径,列出关 于半径的方程。
例 4、 正四棱锥 S ABCD -
点 S A B C D 、 、 、 、 都 在同一球面上,则此球的体积为 .
例 5、若正四面体的棱长为 4,则正四面体的外接球的表面积为 __________。 例 6、 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上, 其中底面的三个顶点在 该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是:( ) (A )
43 (B)3 (C) 4 (D) 12
3
2、 补体方法的应用
(1) 、正四面体(2) 、三条侧棱两两垂直的三棱锥 (3) 、四个面均为直角三角形的三棱锥
例 7、如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为 62cm 、 42cm 和 32cm , 那么它的外接球的体积是 。
例 8、已知三棱锥的四个顶点都在球 O 的球面上, BC AB ⊥且 7=PA , 5=PB ,
51=PC , 10=AC , 求球 O 的体积。
例 9、 在三棱锥 BCD A -中, BC CD BCD AB ⊥⊥, 平面 , 543===CD BC AB , , 则三棱锥 BCD A -外接球的表面积 _______。
例 10、 如图为一个几何体的三视图, 则该几何体的外接球的表面积为
( )
A. 4π
B. 8π C. 12π D. 16π
三、 圆柱、圆锥的外接球
旋转体的外接球,可以通过研究轴截面求球的半径。
例 11、圆柱的底面半径为 4,母线为 8,求该圆柱的外接球的半径。 42 例 12、圆锥的底面半径为 2,母线长为 4,求该圆锥的外接球的半径。 3
34
四、 正方体的内切球
设正方体的棱长为 a ,求(1)内切球半径;(2)与棱相切的球半径。(1)截面图为正方
形 EFGH 的内切圆,得 2
a
R =;(2)与正方体各棱相切的球:球与正方体的各棱相切,
切点为各棱的中点,作截面图,圆 O 为正方形 EFGH 的外接圆,易得 a R 2
2
=
。
五、 棱锥的内切球(分割法)
将内切球的球心与棱锥的各个顶点连线,将棱锥分割成以原棱锥的面为底面, 内切球的半径为高的小棱锥,根据分割前后的体积相等,列出关于半径 R 的方
程。若棱锥的体积为 V ,表面积为 S ,则内切球的半径为 S V
R 3=.
例 13、 正四棱锥 S ABCD -,底面边长为 2,侧棱长为 3,则内切球的半径是多少?
2
8474+
例 14、三棱锥 P ABC -中,底面 ABC ?是边长为 2的正三角
图 1 图 2
形 , PA ⊥ 底 面 ABC , 且 2PA =, 则 此 三 棱 锥 内 切 球 的 半 径 为 (
4
732++ )
六、 圆柱(轴截面为正方形) 、圆锥的内切球(截面法)
例 15、圆锥的高为 4,底面半径为 2,求该圆锥内切球与外接球的半径比。 例 16、圆柱的底面直径和高都是 6,求该圆柱内切球的半径。
(三)点线面关系
一,知识点
1、三个公理和三条推论 :
(1) 公理 1:一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平 面内。这是 判断直线在平面内的常用方法 。
(2) 公理 2、如果两个平面有两个公共点,它们有无数个公共点,而且这无数个公共 点都在同一条直线上。 这是 判断几点共线 (证这几点是两个平面的公共点) 和 三条直线共点 (证其中两条直线的交点在第三条直线上)的方法之一。
(3) 公理 3:经过不在同一直线上的三点有且只有一个平面。 推论 1:经过直线和直线 外一点有且只有一个平面。推论 2:经过两条相交直线有且只有一个平面。推论 3:经过两 条平行直线有且只有一个平面。公理 3和三个推论是 确定平面的依据 。
2. 空间直线的位置关系 :___________,____________,___________ 3. 线线平行:
(1)直线与平面的位置关系有且只有三种,即直线与平面平行、直线与平面相交、直 线在平面内 .
(2)直线与平面平行的判定:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么 这条直线与这个平面平行 .
(3)直线与平面平行的性质:如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面与 已知平面相交,那么这条直线与交线平行 . 4,空间角问题
(1)直线与直线所成的角
①两平行直线所成的角:规定为 ②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。
③两条异面直线所成的角:过空间任意一点 O , 分别作与两条异面直线 a , b 平行的直线, 形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。
(2)直线和平面所成的角
①平面的平行线与平面所成的角:规定为 ②平面的垂线与平面所成的角:规定为 ③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角, 叫做这条 直线和这个平面所成的角。
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算” 。 在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,
解题时, 注意挖掘题设中两个信息:①斜线上一点到面的垂线; ②过斜线上的一点或过斜线 的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。
, a b ''
90
例 1. 已知不重合的直线 m 、 l 和平面 αβ、 ,且 m α⊥, l β?.给出下列命题: ①若 //αβ,则 m l ⊥;②若 αβ⊥,则 //m l ;③若 m l ⊥,则 //αβ; ④若 //m l ,则 αβ⊥, 其中正确命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
例 2. 已知 βα, 是两个不同的平面,则“平面 //α平面 β”成立的一个充分条件是 (A )存在一条直线 l , βα//, l l ? (B )存在一个平面 γ, βγαγ⊥⊥, (C )存在一条直线 βα⊥⊥l l l , , (D )存在一个平面 βγαγγ⊥, //,
例 3. 已知 l 、 m 是不同的两条直线, α、 β是不重合的两个平面 , 则下列命题中为真命题 的是
A .若 , ⊥⊥l ααβ,则 //l β B .若 //, ⊥l ααβ,则 //l β
C .若 , //, ⊥?l m m αββ,则 ⊥l α D .若 , //, ⊥?l m ααββ,则 ⊥l m
例 4. . 设 α表示平面, b a , 表示直线,给定下列四个命题:
① αα⊥?⊥b b a a , //; ② αα⊥?⊥b a b a , //;
③ αα//, b b a a ?⊥⊥; ④ b a b a //, ?⊥⊥αα.
其中正确命题的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
课堂练习:
1.若 m 、 n 为两条不重合的直线, α、 β为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题个 数是( )
①若 m 、 n 都平行于平面 α,则 m 、 n 一定不是相交直线;
②若 m 、 n 都垂直于平面 α,则 m 、 n 一定是平行直线;
③已知 α、 β互相垂直, m 、 n 互相垂直,若 α⊥m ,则 β⊥n ;
④ m 、 n 在平面 α内的射影互相垂直,则 m 、 n 互相垂直 .
A . 1 B. 2 C . 3 D. 4
周老师 精品数学 电话: 18783866797
坚持是成功的必备因素。 11 2. 给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线 12, l l 与同一平面所成的角相等,则 12, l l 互相平行
④若直线 12, l l 是异面直线,则与 12, l l 都相交的两条直线是异面直线
其中假 .
命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 已知两个不同的平面 αβ和两条不重合的直线 m , n , 在下列四个命题中错误 ..
的是 ( ) A .若 m ∥ α, n =βα ,则 m ∥ n B.若 m ⊥ α, m ⊥ β,则 α∥ β
C .若 m ∥ n , m ⊥ α ,则 n ⊥ α D .若 m ⊥ α, m ∥ n , β?n ,则 α⊥ β
4. 已知 m n 、 是两条不同的直线, αβ、 是两个不同的平面,有下列命题:
①若 , //m n αα?,则 //m n ; ②若 //m α, //m β,则 //αβ;
③若 , m m n α⊥⊥,则 n ; ④若 , m m αβ⊥⊥,则 //αβ;
其中真命题的个数是
A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个
范文五:空间点线面题型证明
空间点、线、面的位置关系
常用方法:(1)纳入平面法:先确定一个平面,然后证明有关的点和线在这个平面上。
(2)辅助平面法:先证明有关的点和线在平面α上,然后再证明其余的点和线在平面β上,最后证明α、β重合 (3)反证法:先假设点、线不共面,有已知条件推出矛盾,所以得出假设不成立,即点线共面。
例1、证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内。
例2、已知a //b //c , l a =A , l b =B , l
c =C . 求证:a , b , c , l 共面.
证明方法:(1)首先找到两个平面,然后证明这三个点都是这两个平面上的交点
(2)选择其中两个点确定一条直线,再证明第三个点在这个直线上
例3、已知△ABC 在平面α外,它的三边所在的直线分别交α于P 、Q 、R ,求证:P 、Q 、R 三点共线
例4、正方体ABCD -A 1BC 11D 1中,对角线AC 1与平面BDC 1交于点O ,AC 、BD 交于点M 。
求证:C 1、O 、M 三点共线。
ABCD 中 , E 、H 分别为BC 、AB 的中点,F 在CD 上,G 在AD 上,且有DF :FC =DG :GA =1:2,求证:直线EF 、BD
、HG 交于一点。
例6、如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D
1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点.
求AE 与D 1F 所成的角。
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例7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,(1)求AC 与A 1D 所成角的大小;(2)若E 、F 分别为AB 、AD 的中点,求A 1C 1与EF 所成角的大小.
例8、在空间四边形ABCD 中,AD =BC =2,E ,F 分别为AB 、CD 的中点,EF =,求AD 、BC 所成角的大小.
S
B 变式1:正?ABC 的边长为a ,S 为?ABC 所在平面外的一点,SA =SB =SC =a ,E ,F 分别是SC 和AB 的中点.求异面直线SA 和EF 所成角。
变式2:在空间四边形ABCD 中,AC =6,BD =8,E ,F 分别为AB 、CD 的中点,EF =5,求异面直线AC 、BD 所成的角。
例9、如图,正三棱柱的九条棱都相等,三个侧面都是正方体,M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点 求MN 与CC 1所成角的余弦值。
N A 1 C 1
A C
例10、若将直线和平面都看成点的集合,则直线l //α可表示成( )
A、l ?α B 、l ?α C、l ≠α D 、l α=?
例11、(1)两条异面直线中的一条与一个平面平行,那么另一条与这个平面的位置关系是( )
A、平行 B、相交 C、在平面内 D、以上情况均有可能
(2)平行于同一平面的两条直线的位置关系是( )
A 、平行 B、相交 C、异面 D、平行、相交或异面
(3)已知直线l 1, l 2,平面α,l 1//l 2, l 1//α, 则l 2与α的位置关系是( )
A、l 2//α B、l 2?α C 、l 2//α或l 2?α D、l 2与α相交
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CD ?平面α,(4)梯形ABCD 中AB //CD ,AB ?平面α,则直线CD 与面α内的直线的位置关系只能是( )
A、平行 B、平行或异面 C、平行或相交 D、异面或相交
例12、 已知P为ABCD所在平面外一点,M为PB的中点,求证:PD∥平面MAC.
例13、已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1,D 为AC 的中点. 求证AB 1∥平面C 1BD
例14、在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,P 、Q 分别是AD 1、BD 上的点,且AP=BQ,求证:PQ ∥平面DCC 1D 1。
例15、已知两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一平面内,M 、N 分别在它们的对角线AC ,BF 上,且CM=BN. 求证:MN ∥ 平面BCE .
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