范文一:单位脉冲函数
单位函脉冲数
在物理和工程技单中有单多物理、力单象具有性单学脉冲它反映出除了单单分布的量以外~, . 单有集中于一点或一瞬单的量~例如力、单单、点单荷、单点的单量等等冲脉冲研究此单单单需要引入. 一新的函~把单单集中的量单单分布的量单一单理。单位函~又狄拉克;个数与来脉冲数称,Dirac
函~单单单数一函~便是用描述单单集中量分布的密度函数来数. δ
下面我单通单具的例子~单明单单函引入的必要性两个体数.
在原单流单零的单路中来某一瞬单单单单入一单位单量的脉冲单在要定单路上的单流确1, (), t=0
i(t)q(t)表示上述单路中的单荷函数单 以, ,
0,t0,?:
q(t)=,
1,t0,=:
由于单流强度是单荷函单单单的单化率数即 , +??dq(t)qttqt()()limi(t),==?t?0dt?t
i(t)q(t)q(t)所以当单单由于不单单从数而在普通单意单下在单当, , ,, , 0;t?0t=0=
一点是不能求单的数如果我单形式地单算单单单个数得 . ,
+??qtq(0)(0)1?limlimi(0)=?.(),==?t?0?t?0?t?t
单表明在通常意单下的函单中不到一函能单表示单单的单流强度数找个数单此引单一单狄拉称. , 克的函数有了单单函数单于单多集中于一点或一瞬单的量例如点单荷点源集中于一点(Dirac). , , ,
的单量及技单中的非常窄的等脉冲脉冲就能单象单理单单分布的量那单以单一的方式加以解决, , .
单位函的定单 脉冲数1
δ(t)定单如果函数称单足1
i)δ(t) 单,;当,=0t?0
?()δtdt=1ii) ~或者~其中是含有的任何一单~单个区δ()tdt=1t=0I??I
??δ(t)称单一函数.δ
更一般的情下况如果函单足数. ,
i)δ(t?a) ;当单,t?a,=0
?()δt?adt=1ii) ~或者~其中是含有的任何一个t=aδ()t?adt=1I??I
??δ(t?a)区称单~单单函数.
在单单生活中单单函不存在数并它数学只是如下特殊单律的抽象在某定点非常小的域狭区,,;内个数~所单单的单单取非常的单~在单单域之外~函单单单单如函数0.
1:
,atah;<>
(t?a)=δh,h
,0,ta,tah,<>+:
δ(t?a)单函脉冲数的限单极h
limδ(t?a)δ(t?a)=,hh?0
δ(t?a)而把的单分理解单
1a+ha+h?limdt=1==.δ(t?a)dtlimδ(t?a)dth??h?0?h0ahah???特殊情下况单有,a=0
1:
,0th;<>
(t)=δh,h
,0,t0,th,<>:于是
limδ(t)δ(t)=hh?0
1hh?limdt=1δ(t)dt==.limδ(t)dth??h?0?h00?0hh
一般工程上都称一函单单位函数脉冲数将一函用一单度等于数个的有向单段表来??,1δδ示单单段的单度表示一函的单分单数称单一函的强度数,,.δδ
下面我单推出一函的一重要单果数个称单一函的单单性单数,:δδ
f()t若单单单函数单有,
?f()0 δ(t)f()tdt=. (1)?
??更一般情况有,
?f()a δ(t?a)f()tdt= (2)?
??f()t其中在单单单t=a.
δ(t?a)δ(t?a)由可以求出单位函的傅氏单单脉冲数(1).
??itωiωt?F()ω=e|=1{}δ()tF=δ()tedt=t=0?
???iωtδ(t)δ(t?a)可单单位函脉冲数与数常构成了一傅氏单单单~同理和亦成了一构个, 1, e
傅氏单单单.
F()()ω=2πδω同单~若单~单由傅氏逆单单得
11??itωiωtiωt()()()ft=Fωedω2πδωedωe|=1==t=0??22π??π??
iωt02πδ(ω?ω)2πδ()ω故和也成了一傅氏单单单。同理~构个和亦成了一傅氏单单构个10e
单.
需要指出的是~此单的单单分是按广式单算的~不是普通意单下的单分单~我单单单傅氏单单单称(1)广单的傅氏单单.
f()t根据傅氏单分公式~函数能取傅里单分单单的前提件是首先单单单可单叶条它即
+?~()ftdt<>
??()ft单单上单件非常强~要求个条它条数件单高~因而一些常单的函都不单足单一点如常、符数.号数数数条函、单位单单函及正余弦函等都不单足单单可单的件如此一~单强的件使得傅里单来条叶! 单的单用受到限制单克服单一缺陷~我单把单位函及其傅氏单单单用到其他函的傅氏单单中脉冲数数~.
得到单的单傅氏单单它广.
0,t0<:1例单明单位单单函数的傅氏单单单()+πδω1 .="" ()ut=",iω1,t0">:
单明,首先注意~单里的单单单然指的是单单单广我单用考察逆单单的方法单明事单上~若. .
1F()()单ω=+πδω,iω
1??11iωtiωt()() ()ft=Fωedω=[+πδω]edω??22iπω??π??1??11iωtiωt()=edωπδωedω+??2i2ππω????ω1sin1t?=dω+?02πωωsint??sinωπf()()t=ut单了单明~就必单单算单分~由单分~有dωd=ω??002ωω
π:,?t0;<>
ωd0,=t0;=,?0ω,π
,,t0,,>
2:
f()t将此单果代入的表式~达当单~可得t?0
π11:
()?,t0;+<,1sinω1,t?π22f()t=dω+=?,02πωπ11,(),t0,+>,22π:
11f()()t=utu()t单就表明()的傅氏单单单~因此~和()构个成了一傅氏单+πδω+πδωiiωω
u()t单单。所以单位单单函数的单分表式可以成达写
ω1sin1t?u()t()t?0 ~ =dω+?02πω
()ft=sinωt例求正弦函 数的傅氏单单2 . 0
ωω?itit+?00?ee??iωtiωt?解,()=Fω=sinωtedtedt0??2i????
1?i()()ωωtiωωt00???+ =[]e?edt?2i??1 ()()[]=2πδω?ω?2πδω+ω00i2
[]()()δω+ω?δω?ω=.iπ00
sinωt即[]()()同理~可得δω+ω?δω?ωF{}=.iπ000
cosωt[]()()δω+ω+δω?ω.F{}=iπ000
注,我单介单一函~主要是提供一单用工具~而不去追求上的单单性数个数学.δ
范文二:δ函数单位脉冲函数冲击函数(扫盲)
δ函数、单位脉冲函数或者冲击函数 (放牛班都能看懂)
通常用δ表示。
1,形象说得话就是一个宽度趋近于零而高度趋近于无穷的矩形,其面积为
1。想象一下,长度为1的一个正方形,边框有弹性,里面充满水,挤压两边,它就会长高。把两边挤得贴在一起了,它高的嘛能把天捅个洞洞。这就是狄拉克δ的样子。
2
,在数学概念上,它是这么一个“函数”:在除了零以外的点都等于零,而其在整个定义域上的积分等于1。严格来说狄拉克δ函数不能算是一个函数,因为满足以上条件的函数是不存在的。但可以用分布的概念来解释,称为狄拉克δ分布,或δ分布,
狄拉克δ函数的定义为:
且
3,二维δ函数:
通过上面一维δ函数的定义,我们来延伸到二维空间来。二维δ函数的定义有着与一维相似的定义方式:
此时形象的说法就是:空间中的一个长方体。当起地
面面积趋于,长方体的高趋于无穷时,而长方体的面积为1.
范文三:单位脉冲响应函数的测量技术
单位脉冲响应函数的测量技术
平位,杰]994年第3期振动与冲击
忧总第51刺
单位脉;中响应函数的测量技术
莶巫堡嗑麴.
(华东工学院)
摘要
r弓
本文探讨线性系统的加速度,速度和位移单位脉冲响应函数的测量方法,证明了有限频宽测得到的
单位脉冲响应函数有效的条件:介绍了刚体模态存在时的处理方法.本文中牙_啬了应用妻倒.
O引,言.
在振动分析中,单位脉冲响应函数具有极其重要的地位文献[1]和[2]应用单位脉冲位移响应
函数建立非线性子结构法.并成功地求解了弹性系统之间的单点和多点碰撞问题.文献[3]应用单
位脉冲速度响应函数建立了弹性系统碰撞的速度公式.此外,单位脉冲响应函数也是求解瞬态响应
的最有效的工具之一.由此可见,单位脉冲响应函数的精度问题是许多振动分析工作质量好坏的关
键.而如何得到较好的单位脉冲响应函数就成为一个重要的研究课题.
一
般地说.单位脉冲响应函数可用有限元法或参数识别技术得到的模态参数来表示.但是,当
系统很复杂时,有限元法很难得到理想的结果;而当模态耦台紧密时,参数识别技术也难以保证有
好的结果.在这种情况下,需要有更好的测量办法..
对于加速度单位脉冲响应函数来说,直接测量是没有困难的.因为只要对加速度频响函数做逆
付氏变换就行了.但是速度和位移响应函数就不那么容易了,特别是有刚体模态存在时.
本文根据作者近来的工作经验,总结出了一套测量位移和速度单位脉冲响应函数的方法,借此
机会抛砖引玉.
1一般情况
对于多自由度线性系统而言,单位脉冲响应函数与激励的自由度和响应自由度有关.不失一般
性地记自由度方向上的单位脉冲力在自由度r上的响应为h.Et),并弥为r对e的单位脉冲响应.
如图1(a)所示.
显然,只要在上施加单位脉冲力,在r上测量位移,速度或加速度响应,就得到了相应的单位
脉冲响应函数.但是.在实践中,这是不可能的,顶多得到粗略的近似结果.因为施加单位脉冲力是
无法做到的.
如果对图1(a)的两边做付氏变换[囤1(b)],就可以知道h(f)的付氏变换就是激励力频谱恒
为1.0时的响应谱.这显然就是相应的频响函数H(),即有:
h(f)甘H(?)(1)
式中”甘”表示两边构成傅氏变换对.由此可知,只要能得到频响函数H(),就可轻而易举地的差别.现在的问题是,在什么样
的条件下,这种差别不会导致实际问题分析结果
的误差?(实际问题指直用到该测量结果的问题)
假设实际问题中,上的激励力(f),其付
氏变换为F();r上的响应为(f),其付氏变换
为v,(),则有理论公式:
Y(叫)一H,()?F()(2)
如果Fe()在[o,]之外为零,则(2)式可
写成:
Y(?)=()?F()(3j
式中
Hc一
H.?喜l*E
(3)式的逆变换为:
Y()一h(,)*(f)(4)
由此可见,只要在/
图2低颏段受”污染”
对于图2的测量结果,可根据模态分布情
况选取一一个,一般可取为l?,?)t.0.在
(o,)上的值由[,1_5上的若干值外推而
得(本文中采用线性外推法)此处为第一阶
弹性模态的固有频率.图3为外推处理之后的
结果,虚线部分为外推结果.
根据外推得到的H(.)可视为此频响函
数的刚体成份表1列出了某平板刚体成份的
外推结果与理论力学方法计算结果的对比从
表中可见,吻合性良好.
如果将剐体成份去除,则有
H(一日()一日(.)(8)部,可以看出其模态分布十分复杂,参数识
别工作非常困难为了得到单位脉冲啊应函数矩阵,我们应用前述方
法,得到了图6所示的结果图
中清楚地显示了刚体运动和弹性振动的叠加.表1给出了某三个自
由度间各个刚体成分
图7给出了_速度脉冲响应函数.可以看出,随着时间的增加,弹性部
分的振动衰减了,速度将趋
H(n?:l9?lM
一,_l\.
y\f\1,』x(40Hz)
:
阿j频响函数的实部
60振动与冲击
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感谢
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图7自由平板的速度脉冲啊应函数
(本文于1991年9月4日收到)
参考文献
林砺亲.系境之间碰撞的碰撞力求解:华东工学院,l9902
林砺宗,马玲.系统之间多点碰撞的碰撞力求解.华东工学院三十校庆交流会,1990
林砺宗.线性系统碰撞的速度公式,华东工学院,199]}1
董殿年.振动信号处理与模态分析.华东工学院,1983
范文四:闭环传递函数的单位阶跃,脉冲,斜坡响应
脉冲
syms s zeta
zeta=0.707;num=[16];den=[1 8*zeta 16]; p=roots(den);
sys=tf(num, den);
t=0:0.01:3;
figure(1)
impulse(sys,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('impulse response');
阶跃
syms s zeta
zeta=0.707;num=[16];den=[1 8*zeta 16]; p=roots(den);
sys=tf(num, den);
t=0:0.01:3;
figure(2)
step(sys,t);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('step response');
斜坡
syms s zeta
zeta=0.707;num=[16];den=[1 8*zeta 16]; p=roots(den);
sys=tf(num, den);
t=0:0.01:3;
figure(3)
u=t;
lsim(sys,u,t,0);grid
xlabel('t');ylabel('c(t)');title('ramp response');
范文五:单位脉冲函数δ(t)及其性质
概要: 本文给出了单位脉冲函数的定义及若干性质,并结合傅里叶变换给出了一些性质的应用,对工程技术中单位脉冲函数的应用具有指导意义?
关键词: 单位脉冲函数 性质 工程技术
单位脉冲函数δ(t)(以下简称δ(t))是物理及工程技术中的一个重要的函数,有其相当多的物理背景,其物理意义为t=0在时刻有一个强度为1的冲击?工程上一般采用弱极限来定义,但δ(t)与普通函数又不一样,不是值与值的对应关系,它是一个广义函数,而其本质是一泛函,对于具有一般高等数学知识的人员来说是难以理解的?下面,笔者根据δ(t)严格的数学定义以及结合傅里叶变换给出它的一些性质及应用?
1.单位脉冲函数δ(t)的定义
设D是-∞ 2.单位脉冲函数的性质
性质1:δ(t)=δ(-t),即δ(t)为偶函数?
证明:设f(t)为任一连续函数,则f(-x)也为连续函数,
于是由?蘩δ(t)f(t)dt=f(0)
可得?蘩δ(-t)f(t)dt =?蘩δ(x)f(-x)d(-x)=?蘩δ(x)f(-x)dx=f(0)
所以?蘩δ(t)f(t)dt=?蘩δ(-t)f(t)dt=f(0),则有δ(t)=δ(-t)?
性质2:?蘩δ(t-t )f(t)dt=f(t ),其中f(t)为任一连续函数,t 为一有限值(以下同)?
证明:?蘩δ(t-t )f(t)dt =?蘩δ(x)f(x+t )dx=f(0+t )=f(t )?
注:因f(t)=1为连续函数,所以立刻可得到我们熟悉的公式:?蘩δ(t-t )dt=1?此式也是δ(t)在工程技术上广泛应用的依据?
性质3:δ(t-t )=δ(t -t)
证明:设f(x)为任一连续函数,
则?蘩δ(t -t)f(t)dt =-?蘩δ(x)f(t -x)dx=?蘩δ(x)f(t -x)dt=f(t -0)=f(t )
又由性质2可知,δ(t-t )=δ(t -t)?
注:在此式中令t =0即可得性质1?
性质4:δ(t-t )f(t)=δ(t-t )f(t ),其中f(t)为连续函数?
证明:由?蘩δ(t-t )f(t)dt=f(t )及?蘩δ(t-t )f(t )dt=f(t )即可得此性质?
性质5:δ[a(t-t )]= δ(t-t ),其中a≠0?
证明:设f(t)为任一连续函数,
当a>0时,
?蘩δ[a(t-t )]f(t)dt = ?蘩δ(x)f( +t )dx= f( +t )= f(t )
当a ?蘩δ[a(t-t )]f(t)dt = ?蘩δ(x)f( +t )dx=-?蘩δ(x)f( +t )dx=- f(t )= f(t )
又?蘩 δ(t-t )f(t)dt= ?蘩δ(t-t )f(t)dt= f(t )
所以有δ[a(t-t )]= δ(t-t )?
3.δ(t)性质应用举例
例1:求函数f(t)=sin(5t+ )的傅里叶变换?
解1:f(t)=sin(5t+ )= sin5t+ cos5t,
由傅里叶变换的线性性质,有
F[f(t)]= F(sin5t)+ F(cos5t)
= πi[δ(w+5)-δ(w-5)]+ π[δ(w+5)+δ(w-5)]
=π( + i)δ(w+5)+π( - i)δ(w-5)
解2:由傅里叶变换的位移性质,
F[f(t)]=F[sin5(t+ )]=e πi[δ(w+5)-δ(w-5)]=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]
两种解法结果形式上不一致,可利用δ(t)性质4变形,有
F[f(t)]=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]
=πi[e δ(w+5)-e δ(w-5)]
=πi[cos(- )+isin(- )]δ(w+5)-[cos +isin ]δ(w-5)
=π( + i)δ(w+5)+π( - i)δ(w-5)
最终两种解法可得到同样的结果?
例2:求函数f(t)=cos5t的傅里叶变换?
解:由公式F[cost]=π[δ(w+1)+δ(w-1)]及傅里叶变换的反比特性,有
F[cos5t]= π[δ( +1)+δ( -1)]
= π[δ( +1)+δ( )](由δ(t)性质5得到)
= π[|5|δ(w+5)+|5|δ(w-5)]
=π[δ(w+5)+δ(w-5)]
注:类似此例也可得到公式F[cosw t]=π[δ(w+w )+δ(w-w )]
例3:求F(w)= e +πδ(w)的傅里叶逆变换?
解:因为F(w)= e +πδ(w)= e +πδ(w)e
=e [ +πδ(w)]=F[u(t-1)]
则有F [ e +πδ(w)]=u(t-1)
注:此例反用δ(t)性质4,使解题过程简洁?
由以上三例可以看出,只有熟悉δ(t)函数的性质,才能在工程技术应用中,才能真正实现单位脉冲函数δ(t)的价值?
参考文献:
[1]张韵琴.单位脉冲函数中的若干问题[J].工科数学,1994,(3):116-120.
[2]程其襄,张奠宙,魏国强.实变函数与泛函分析基础[M].北京:高等教育出版社,1983.
[3]陈洪,贾积身,王杰.复变函数与积分变换[M].北京:高等教育出版社,2002.
注:“本文中所涉及到的图表?注解?公式等内容请以PDF格式阅读原文?”
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,1sinω1,t?π22f()t=dω+=?,02πωπ11,(),t0,+>