范文一:等比数列求和公式
课题: 等比数列前n 项和公式
教学目标 (1)知识与技能目标
通过教学使学生掌握等比数列前项和公式的推导过程,公式特点,在此基础上初步应用公式解决与之有关的问题. (2)过程与方法目标
通过公式的推导方法的探索与发现,向学生渗透培养特殊到一般,比与转化,分类讨论等数学思想 ,培养学生观察、比较、抽象 ,概括等逻辑思维能力和逆向思维能力。 (3)情感态度与价值观培养
通过对公式的推导方法的探索与发现优化学生品质,渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,从一般到特殊的辩证观点,培养学生严谨的学习态度. 课时按排:
本节内容分为两课时,一节为等比数列前项和公式的推导与应用,一节为通项公式与前项和公式的综合运用。 教学重点、难点
教学重点是公式的推导,公式特点和公式运用; 难点是公式推导方法,公式应用中的q 与1的关系. 教学手段
幻灯片辅助教学, 教学方法
发现式教学法,比较式教学法 教学过程 一 、新课引入:
1、情境创设(本章引言)提出问题: (幻灯片)
将古印度国王奖赏国际象棋发明者的故事抛给学生并引导学生写出麦粒总数为20+21+22+ +263 2、师生互动,探究问题
师:发明者要求的麦粒总数是多少?
12生:是=1++22+23+... +263
S
64
师:如何进行求和 ?
学生灵机一动,设想S n =20+21+22+ +2n -1,则S 1=1, S 2=3, S 3=7,…,
猜想S n =2n -1,所以S 64=264-1 3、讨论交流,延伸拓展
求和:S n =30+31+32+ +3n -1
要猜想S n 的结果并不容易,但在教师的适时引导及学生的共同努力可得出3n -1
S n =2
那么S n =40+41+42+ +4n -1呢?
4n -1
有了前面的铺垫,本题的结论是水到渠成的:S n =。
3q n -12n -1
此时便可猜想出更一般的结论:S n =1+q +q + +q =(q ≠1)
q -1
以上的过程展示了从特殊到一般的归纳猜想思想,这不仅与以前的数学结构大不相同,而且承接了前面数列递推公式的内容,符合学生的认知规律,而等比
a 1(q n -1) 2n -1
(q ≠1) 数列的求和公式也呼之欲出:S n =a 1+a 1q +a 1q + +a 1q =
q -1
4、类比联想,解决问题
以上只是猜想,如何证明S 64=264-1? (板书), ①
启发学生: 在 ①式结构上有何特点?,学生发现,后项与前项的比为2,若在等式两边都乘以2, 即
师:①式 与 ②式之间有何联系?
生:中间有62项是对应相等的,作差可以相互抵消 (板书) ②-①得
即
.
,
已知{a n }为等比数列,公比为q ,求其前n 项和S n 由此对于一般的等比数列,其前 项和
如何求和?(学生口述过程,教师板书,) 学生发现,等式两边同乘以公比
,即 (板书)
③式两端同乘以
,得
③-④得
的取值) 当
当
时,由③可得
时,由⑤得
.
④
(提问学生如何处理,适时提醒学生注意
⑤,
③
, ②
于是
说明:错位相减法实际上是把一个数列求和问题转化为等比数列求和的问题. 5、变式训练,深化认识
错位相减法可以求形如
为等比数列.
(板书)例题1:求和:
的数列的和,其中
.
为等差数列,
(学生讨论,学生演示板书过程) 分析:
n 11?1?
设a n =n =n . n ,其中{n }为等差数列,?n ?为等比数列,公比为,利用错位相减法求和解: 2, 22?2?两端同乘以1,得
2
,
两式相减得
于是 . 6、与时俱进,高考连接
2:(2007山东高考,理17)设数列{a n }满足
n
a 1+3a 2+321a 3+... +3n -1a n =, a ∈N +
3
(1)求数列{a n }的通项
n
(2)设b n = , 求数列{b n }前n 项和S n
a n n
解:(1)a 1+3a 2+321a 3+... +3n -1a n =, ①
n -312n -2
a 1+3a 2+31a 3+... +3a n -1=, (n ≥2) ②
3n n -1
① -②得3n -1a n =- (n ≥2)
331
a n =n (n ≥2)
3
验证n =1时上式也成立
1
所以 a n =n
3
(2)学生通过观察知此问题是用错位相减法可求
例题
n +11n +13 S n =. 3n 结-?3+
244
1. 等比数列前项和公式推导中蕴含的思想方法以及公式的应用; 公式应用
时注意q 与1的关系.
2. 用错位相减法求一 些差比数列的前 项和.
四、作业:P143
练习 3
[教学反思]
本节课的任务是要学生掌握等比数列前项和公式,理解公式的推导过程,体会转化的思想;用方程的思想认识等比数列前项和公式,利用公式知三求一;与通项公式结合知三求二,并能运用公式解决简单的问题. 在教学中通过学生自主合作,师生共同探究,在公式的灵活运用中,进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想、等价转化的思想. 利用公式推导的教学,对学生进行思维的严谨性的训练,培养他们实事求是的科学态度. 通过教学使学生掌握等比数列前 项和公式的推导过程,并能初步运用这一方法求一些差比数列的前项和.
[教前预测]
(1)学生对等比数列前项和公式的推导的理解有一定的困难,经过师生共同探讨学生对公式的推导过程有了初步的认识.
(2)在使用等比求和公式学生易忽略q =1, q ≠1两种情况,教学时要注意强调。 板书设计
范文二:等比数列求和公式
万年历2013年3月6日 星期三 10:43 癸巳年 正月廿五站内搜索支持本站公益活动
等比数列
等比数列的通项公式
等比数列求和公式
(1) 等比数列:a (n+1)/an=q (n∈N)。
(2) 通项公式:an=a1×q^(n-1);
推广式:an=am×q^(n-m);
(3) 求和公式:Sn=n*a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
(q为比值,n为项数)
(4)性质:
①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am*an=aq^2
(5) "G是a、b的等比中项""G^2=ab(G ≠ 0)".
(6)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.
注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。
等比数列
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0)。
(1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n-1)
若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q>0时,则可把an看作自变量n的函数,点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。
(2)等比数列求和公式:Sn=nA1(q=1)
Sn=A1(1-q^n)/(1-q)
=(a1-a1q^n)/(1-q)
=(a1-an*q)/(1-q)
=a1/(1-q)-a1/(1-q)*q^n ( 即A-Aq^n)
(前提:q≠ 1)
任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)
(3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}
(4)等比中项:aq·ap=ar^2,ar则为ap,aq等比中项。
记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1
另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列。在这个意义下,我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。
等比中项定义:从第二项起,每一项(有穷数列和末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项。
(5)无穷递缩等比数列各项和公式:
无穷递缩等比数列各项和公式:对于等比数列 的前n 项和,当n 无限增大时的极限,叫做这个无穷递缩数列的各项和。
性质
①若 m、n、p、q∈N*,且m+n=p+q,则am*an=ap*aq;
②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.
③若(an)是等比数列,公比为q1,(bn)也是等比数列,公比是q2,则
(a2n),(a3n)…是等比数列,公比为q1^2,q1^3…
(can),c是常数,(an*bn),(an/bn)是等比数列,公比为q1,q1q2,q1/q2。
(4)按原来顺序抽取间隔相等的项,仍然是等比数列。
(5)等比数列中,连续的,等长的,间隔相等的片段和为等比。
(6)若(an)为等比数列且各项为正,公比为q,则(log以a为底an的对数)成等差,公差为log以a为底q的对数。
(7) 等比数列前n项之和Sn=A1(1-q^n)/(1-q)=A1(q^n-1)/(q-1)=(A1q^n)/(q-1)-A1/(q-1)
(8) 数列{An}是等比数列,An=pn+q,则An+K=pn+K也是等比数列,
在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.
注意:上述公式中A^n表示A的n次方。
(6)由于首项为a1,公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n,它的指数函数y=a^x有着密切的联系,从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列。
求等比数列通项公式an的方法:
(1)待定系数法:已知a(n+1)=2an+3,a1=1,求an
构造等比数列a(n+1)+x=2(an+x)
a(n+1)=2an+x,∵a(n+1)=2an+3 ∴x=3
所以a(n+1)+3/an+3=2
∴{an+3}为首项为4,公比为2的等比数列,所以an+3=a1*q^(n-1)=4*2^(n-1),an=2^(n+1)-3
等比数列的应用
等比数列在生活中也是常常运用的。
如:银行有一种支付利息的方式——复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,
在计算下一期的利息,也就是人们通常说的利滚利。
按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)^存期
等比数列小故事:
根据历史传说记载,国际象棋起源于古印度,至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的.据说,有位印度教宰相见国王自负虚浮,决定给他一个教训.他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏.国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围,百无聊赖,很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情.
国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣,高兴之余,他便问那位宰相,作为对他忠心的奖赏,他需要得到什么赏赐.宰相开口说道:请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子,第二个格子上放2粒,第三个格子上放4粒,第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数,直到最后一个格子第64格放满为止,这样我就十分满足了. “好吧!”国王哈哈大笑,慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求.
这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢?稍微算一下就可以得出:1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1,直接写出数字来就是18,446,744,073,709,551,615粒,这位宰相所要求的,竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和!
如果造一个宽四米,高四米的粮仓来储存这些粮食,那么这个粮仓就要长三亿千米,可以绕地球赤道7500圈,或在日地之间打个来回。
国王哪有这么多的麦子呢?他的一句慷慨之言,成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。
正当国王一筹莫展之际,王太子的数学教师知道了这件事,他笑着对国王说:“陛下,这个问题很简单啊,就像1+1=2一样容易,您怎么会被它难倒?”国王大怒:“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他?”年轻的教师说:“没有必要啊,陛下。其实,您只要让宰相大人到粮仓去,自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒,数完18,446,744,073,709,551,615粒麦子所需要的时间,大约是5800亿年(大家可以自己用计算器算一下!)。就算宰相大人日夜不停地数,数到他自己魂归极乐,也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话,就不是陛下无法支付赏赐,而是宰相大人自己没有能力取走赏赐。”国王恍然大悟,当下就召来宰相,将教师的方法告诉了他。
西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道:“陛下啊,您的智慧超过了我,那些赏赐……我也只好不要了!”当然,最后宰相还是获得了很多赏赐(没有麦子)。
范文三:等比数列求和公式
6.3.3 等比数列的前n 项和公式
课 型:新授课
课 时:1课时
一、教材分析
等比数列的前n 项和是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等, 另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法, 都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n 项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神, 同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
二、教学目标
1、知识与技能目标
理解等比数列的前n 项和公式的推导方法;掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2、 过程与方法
通过公式的推导过程,培养学生猜想、分析、综合的思维能力,提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法,渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想,优化思维品质。
3、情感态度与价值观
通过经历对公式的探索,激发学生的求知欲,鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新,磨练思维品质,从中获得成功的体验,感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题,一些所谓不可理解的事就可以给出合理的解释,从而帮助我们用科学的态度认识世界。
三、教学重难点
重点 :等比数列前n 项和公式的推导及公式的简单应用。 难点 :错位相减法的生成和等比数列前n 项和公式的运用。
四、教学过程
一、复习旧知,铺垫新知
【教师提问】
(1) 等比数列定义及通项公式?
(2)等比数列的项之间有何特点?
二、创设情境,提出问题
在古印度,有个名叫西萨的人,发明了国际象棋,当时的印度国王大舍罕为赞赏,对他说:我可以满足你的任何要求。西萨说:请给我棋盘的64个方格上,第一格放1粒小麦,第二格放2粒,第三格放4粒,往后每一格都是前一格的两倍,直至第64格.国王觉得太容易了,就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算,结果出来后,国王大吃一惊.为什么呢?大家想一下,这个国王能够满足宰相的要求吗?
探讨1: S 64 =1+ 2+ 2 2 + 2 3 + ??? + 2 63 ,记为(1)式,注意观察每一项的特设
征,有何联系?(学生会发现,后一项都是前一项的2倍)
探讨2: 如果我们把每一项都乘以2,就变成了它的后一项,(1)式两边同乘以2则有 2S 64 = 2 2 + ??? + 64 ,记为(2)式.比较(1)(2)两2+2 3 +2 63+ 2
式,你有什么发现?
经过比较、研究,学生发现:(1)、(2)两式有许多相同的项,把两式相减,相同的项就可以消去了,得到: S 64 = 2 - 1 。老师强调指出:这就是错位相减法,并要求学生纵观全过程,反思:为什么(1)式两边要同乘以2呢?
三、类比联想,解决问题
引导学生将结论一般化,设等比数列为{a n },公比为q ,如何求它的前n 项和?让学生自主完成,然后对个别学生进行指导。
一般等比数列前n 项和:64S n =a 1+a 2+a 3+???+a n -1+a n =?
+a 1q n -2+a 1q n -1=? 2S =a +a q +a q +111即n
方法1:错位相减法
2n -2n -1??S n =a 1+a 1q +a 1q ++a 1q +a 1q ?23n -1n ??qS n =a 1q +a 1q +a 1q ++a 1q +a 1q
a 1(1-q n ) ∴(1-q ) S n =a 1-a 1q ?1-q n
这里的q 能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1?q=1时是什么数列?此时S n =?
?a 1(1-q n ) ??S n =?1-q
?na ??1q ≠1q =1
a 1-a 1q n
S n =n (1-q ) S =a -a q 1-q n 11在学生推导完成之后,我再问:由得
四、讨论交流,延伸拓展
方法2:提取公比q
S n =a 1+a 1q +a 1q 2+???+a 1q n -2+a 1q n -1
=a 1+q (a 1+a 1q +???+a 1q n -2)
=a 1+q (S n -a 1q n -1)
∴(1-q ) S n =a 1-a 1q n
∴S n =a 1-a n q (q ≠1) 1-q
方法3:利用等比定理有
a a 2a 3a 4===???=n =q a 1a 2a 3a n -1
∴a 2+a 3+???+a n S -a =q =n 1 a 1+a 2+???+a n -1S n -a n
∴(1-q ) S n =a 1-a n q
∴S n =a 1-a n q (q ≠1) 1-q
五、例题讲解,形成技能
例5:写出等比数列
1, -3, 9, -27, ???
的前n 项和公式,并求出数列的前8项和。
解:因为a 1=1, q =-3=-3, 所以等比数列的前n 项和公式为 1
n 1??1-(-3)?1-(-3)n ?=S n =?, 1--34
1-(-3)S ==-1640. 故 n 4
例6:一个等比数列的首项为892114 ,末项为 ,各项的和为 ,求数列的公4369
比并判断数列是由几项组成。
解:设该数列由n 项组成,其公比为q ,则a 1=94211, a n =, S n =. 于是 4936
94-?q 211=, 361-q
2?94?即211?(1-q )=36? -q ?, 解得 q =. 3?49?
9?2?所以数列的通项公式为a n =? ?4?3?
?2??2?即 ?= ??3??3?4n -1n -149?2?, 于是=? ?94?3?n -1, , 解得n=5. 2故数列的公比是 ,该数列共有5项。 3
六、课堂小结
七、作业 P19习题6.3 B 组 1、2、3题
板书设计
课后反思
范文四:等比数列求和公式
等比数列求和公式
等比数列的意义
一个数列,如果任意的后一项与前一项的比值是同一个常数,且数列中任何项 都不为0,
即:A(n+1)/A(n)=q (n∈N*),
这个数列叫等比数列,其中常数q 叫作公比。
如:
2、4、8、16......2^10
就是一个等比数列,其公比为2,
可写为 an=2×2^(n-1)
通项公式
an=a1×q^(n-1);
通项公式与推广式
推广式:an=am×q^(n-m) [^的意思为q 的(n-m )次方]; 求和公式
等比数列求和公式
Sn=n×a1 (q=1)
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an*q)/(1-q) (q≠1)
S∞=a1/(1-q) (n-> ∞)(|q|<>
(q为公比,n 为项数)
等比数列求和公式推导
(1)Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
(2)q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q
=a2+a3+a4+...+a(n+1)
(3)Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
(4)(1-q)Sn=a1-a1*q^n
(5)Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
(6)Sn=(a1-an*q)/(1-q)
(7)Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
性质 简介
①若 m 、n 、p 、q ∈N ,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq ; ②在等比数列中,依次每 k 项之和仍成等比数列;
等比数列的性质
③若m 、n 、q ∈N ,且m+n=2q,则am×an=(aq)^2; ④ 若G 是a 、b 的等比中项,则G^2=ab(G ≠ 0); ⑤在等比数列中,首项a1与公比q 都不为零.
注意
上述公式中an 表示等比数列的第n 项。
范文五:等比数列求和公式
例如数列
。
这就是一个等比数列,因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等,都等于2,2198与
公比公式
根据等比数列的定义可得:
[
编辑]通项公式
可以任意定义一个等比数列这个等比数列从第一项起分别是a 2 = a 1q , a 3 = a 2q = a 1q 2, a 4 = a 3q = a 1q 3,
,
以此类推可得,等比数列a n = a n ? 1q = a 1q n ? 1,
[
]求和公式
,公比为q ,则有:
的通项公式为:
对上所定义的等比数列,即数列于是把
。将所有项累加。
称为等比数列的和。记为:
如果该等比数列的公比为q ,则有:
(利用等比数列通项公式) (1)
先将两边同乘以公比q ,有:
该式减去(1)式,有: (q ? 1)S n = a 1q n ? a 1 (2) 然后进行一定的讨论
当
时,
而当q = 1时,由(2)式无法解得通项公式。 但可以发现,此时:
= na 1
?
综上所述,等比数列的求和公式为:
?
经过推导,可以得到另一个求和公式:当q≠1时
[]
当
时, 等比数列无限项之和
及 n 的值不断增加时, q n 的值便会不
由于当
断减少而且趋于0, 因此无限项之和
:
性质
如果数列
是等比数列,那么有以下几个性质:
?
证明
:当
时
,
?
对于
,若,则
证明:
∵∴
?
等比中项:在等比数列中,从第二项起,每一项都是与它等距离的前后两项的等
比中项。
即等比数列
则有
中有三项
,,
,
其中
,
? 在原等比数列中,每隔k 项
列仍为等比数列。 ?
取出一项,按原来顺序排列,所得的新数
也成等比数列。