范文一:向量中三点共线结论的运用
向量中三点共线结论的运用
成都石室中学 蒋宗汛
一、 向量中三点共线结论
????????????若A、B、C三点共线,O为平面上任意一点,OC??OA??OB,则有:???=1
二、 两道类题
1. (2012·杭州二模)
如图所示,A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段BA的延
????????????
长线交于圆O外的点D,若OC?mOA?nOB, 则m+n的取值范围
是 .
答案:??1,0?
????????
解答:令OD?kOC,由于D在圆外,则k????,?1? 【C、O、D的三点共线的条件】
?????????????D、A、B三点共线,可令:OD??OA??OB????=1?【D、A、B的三点共线的条件】
????????????????而:OD??OA??OB=kOC【结合两组共线条件】
????????????????1?OC=OA?OB?m?n??????1,0?【联系所求表达式,转换条件】 kkkkk
点评:运用极限思维也可以解决这道题。当OA无限接近于OD时(即:D在圆上时):m=-1,n=0;当AB平行于OC时(即:CO、BA交于无穷远处时):m=-n,m+n=0。当然,以上两种极端情况都不可能取到,所以用开区间??1,0?。
2. (2015·绵阳一诊10改编)
????????????已知:O是锐角三角形的外心,且OC?xOA?yOB?x、y?R?,求x?y的取值范围 .
答案:???,?1?
????????
解答:令OC的反向延长线与AB交于点D,OD?kOC,由于D在圆外,则k???1,0? 【C、O、D的三点共线的条件】
?????????????D、A、B三点共线,可令:OD??OA??OB????=1?【D、A、B的三点共线的条件】
????????????????而:OD??OA??OB=kOC【结合两组共线条件】
????????????????1?OC=OA?OB?m?n???????,?1?【联系所求表达式,转换条件】 kkkkk
点评:运用极限思维也可以解决这道题。当AB距离无限接近于0时(即:A、B重合为一点时):????????????1OC??OA=?OB,m=n=?,m+n=-1;当AB距离无限接近于外接圆直径时(即:△趋近2
于直角△):m=n→(趋近于)??,m+n→??。当然,以上两种极端情况都不可能取到,所以用开区间???,?1?。
三、 总结归纳
1. 其实两道题描述的都是相同的情景,第一题等价于:已知:O是钝角三角形的外心,且
????????????OC?xOA?yOB?x、y?R?,求x?y的取值范围。刚好是对偶的题目。
2. 第二题在第一题的基础上有所提高,需要自己构造D点。所谓外心其实是为了提供一个外接圆,
初做此题容易使人联想到外心的性质,误入歧途。但实际上两题基本思路一致,甚至利用极限情况求解的方式也一致。
3. 利用极限情况求解往往可以达到很好的解题效果。
范文二:向量三点共线在平面几何中的应用
向量三点共线在平面几何中的应用
吉安县立中学 罗小余
1(能熟练地用向量表示几何关系;
知 识 ,2(能说出三点共线的向量结论中的几何意义; 与 技,能目
标 3(模式识别:能应用三点共线的向量结论求平几中的共线线段的问题;
4(培养学生应用向量解决数学问题的意识。
过 程 1(复习三点共线的向量结论;
与 ,2(启发、引导学生发现三点共线的向量结论中的几何意义; 方 法 ,目 标
3(巩固与应用,增强学生应用向量解决数学问题的能力。 情 感 1(学会合作与交流;
态 度 2(在独立思考的基础上获取知识,获得成功的体验;
与价3(感受向量应用的广泛性。
值 观
教 学 三点共线的向量结论的应用
重 点
教 学 应用向量解决数学问题的意识
难 点
教 具 多媒体课件
准 备
注:为了简单起见,平面几何简称为平几;师指教师,生指学生。
教 学 过 程(师生活动) 设计理念和实施
方法
师:上节课我们学习了三点共线的向量结论(如右图) 1、“λ+μ=1”可
B创 A、B、C三点共线的充要条件是:有唯一实数 提问学生,上课伊
,,,,,,,,,C 始适当的问题能对λ、μ,使且λ+μ=1; OCOAOB,,,,设 让学生注意力转
A 移到课堂上来; ,O有何意义,这就量本节课需要解决的问题。 情 2、板书本节课课, 题:用三点共线的景 向量结论解决平,电脑显示本节课课标:1、探求的几何意义;2、应用. 几中的一类求值,问题
问题 1、电脑显示结论
已知如图,A、B、C三点共线, 2、这节课的知识
O为线段AB外一点。 较抽象,过多使用探 电脑会给学生理
解和掌握知识造
B 成障碍。因此,板
5 ,,,,,,,,, 书对于学生理解1、 OCOAOB,, 知识是很有好处
,,,,,,,,, 的。 2、 OBOAOC,,2 3、两个问题的答C索 案如下:
,,,,,,,52 师:请同学们完成上面两个问题(请学生说出答案) OCOAOB,,AO5257 77生:1、、;2、、 ,,,,,,,,57 7722 OBOAOC,,,5 22师:请说出1的系数比 生: 4、让学生经历 2
师:结合图形,你对这一比值有什么新的发现没有, 操作观察,,
CB 猜想 生:恰好等于线段值。 这一过程。 CA
分 师:再次发挥同学们的想像能力,上述线段能否从1式5、这节课的重点
的向量表达 是知道结论并会
式中得到,怎样得到的, 应用,证明的技巧
生:能;将1式各向量的终点联结就能得到。 性较强。对高一学
师:系数之比与用向量表达式写出的线段比位置上有何生在教学中有时
关系, 采用“重形式轻实
生:交叉关系。 质”的方法能让学
师:从以上过程你对此有什么猜想, 生更好地学习本
生:系数之比等于(由向量表达式写出的)“交叉线段”节课的主要知识。
长之比, 因此,证明过程让
,,,,,,,,,析 有兴趣的学生课,,,OCOAOB,,师:若A、B、C三点共线且λ+μ=1 外完成。
,CB我们是否能作这样的猜想:=。 CA,
师:大家算一下2的系数比,你又有什么发现,
55BCBC5 生:=,可写成=||=. ,,, BA77BA7
,CB师:由此我们可得猜想=。这一猜想是正确的。6、得到结论后重CA,要的是引导学生
它的证明留给同学们课外完成,当你完成了这一结论的分析结论的特点,
证明后,完全有理由相信自己对向量的认识会提高一个能模式识别。
层次~
师:综上所述,我们有下面结论:A、B、C三点共线的
,,,,,,,,,
充要条件是有唯一实数对λ、μ,使,OCOAOB,,,,
其中
,CB?λ+μ=1;? =。 CA,
师:这一结论的右边表示什么的比值,这两线段有何位
置关系,
左边又表示什么的比值,
生:线段;两线段共线(或三点共线);向量表达式的
比值。
师:这些特点告诉了我们什么,(略停)求解三点共线
的线段的比值问题,可将其转化为求三点共线的向量结
论中的系数。我们所学的向量知识可与平几知识联系起
来~
应用1-------想一想 答案:
,,,,,,,,,,14 1、三点共线 1、已知平面上不同的四点满足:, CMCACB,,,,,,,,,, 2355 2、CMCACB,,A55 试指出M、A、B的关系。
AM3巩 32、已知如右图1,若, 3、 ,M MB2
,,,,,,, BC3则 + 图1 CM,CACB4、 8,,,,,,,,,13CA 3、已知, ,OCOAOB,, CB44
,,,,,,,,PM 834、已知, . OMOP,,ON,55固 PN
应用2------做一做
例1、已知如右图,AE=2EC,?ABC的中线AM交BE
交于点G,
AAG 求的值。 GM
E 练 思路分析:要求的是AG与GM两线段 G
的比值,且两线段是共线的,故可考虑 CBM 转化为用本节课的结论。
解:?A、G、M三点共线,可设
,,,,,,,,,,,,,,,,1,, BGBABMBABC,,, (1),,,,, 2
,,,,,,,,,12 AEC2、、三点共线,AEEC,又? ,,BEBABC, 习 33
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1t2t,, ? =tBGBEBGBE与共线,可设 ,,,,ABACABAC, 233
t,=1 3,,,,,,,,144AG,,{ = ,, 12t,,,,BGBABM=,解题过程的回顾=5551GM23与总结是调动学
引导学生总结解题思路: 生参与课堂,也是
,,,一次学生自我提BG(1)由A、G、M三点共线用结论表示; 高的的过程。
,,, (2)由A、E、C三点共线用结论表示; BE例题用多媒体显
,,,,,,示 (3)将与转化成用相同的基底表示; BEBG
,,,,,, (4)根据两向量、共线,通过比较对应向量 BEBG
的系数转化为方程组求值。
例2 已知如下图,G为?ABC的重心,过点G的直
,,,,,, 线分别交边AB、AC于点E、F,且, AEAB,,
,,,,,,11()。 求证:。 ,,,0,,3AFAC,, ,, A
思路分析:从图中可看到E、F、G三点
F共线,可试着去找适当的基向量
,,,EG 表示,些时作辅助线再找 AG M BC,,, 一个与共线的向量就是自然的事了~ AG
解:连结AG并延长交BC于点M,则AM为BC的中
线。
,,,,,,,,, AGtAEtAF,,,(1)? E、G、F三点共线,可设
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, AFAC,,,,,,AGtABtAC,,(1)又?,? AEAB,,
,,,,,,,,,,,,,,,,,,221111 , ABAC,AGAMABAC,,,()学生练习教师巡333322
视,对学生练习中1t,,出现的问题给予3{,11指导。 ? ,,31,,,,t,(1)答案:4:1
3
课 给学有余力的学外用本节课所得到的结论证明第23届IMO试题(见课外生展示自己的平引作业) 台的机会~ 申
课 课堂小结是使知,1、探索得到了三点共线的向量结论中的几何意义; 识系统化; , 堂 2、应用这一结论解决平几中的一类求值问题;
3、应用结论来求值时,选择适当的基底将几何关系用
小 向量表示,再用向量共线来建立方程组进行求解;
4、本节课仅是根据同学们现在具备的知识讲了向量的
结 一个应用。实际上,随着同学们知识的积累,你会发现
向量的应用是很广泛的,这节课只想起到一个抛砖引玉
的作用,课后同学们可去网上查询有关这方面的知识~
课堂练习: 1、作业的布置是
ABDFDE 检查学生对本节D已知如图 ,求 的值。 ,,2作 课所学知识的掌ECBCFBE 握情况; F
2、作业的布置要
ABC 分层次,给不同层业 次的学生获得进
步的机会。这样才
能真实全面的了
课外作业(用试卷打好发给学生) 解学生的掌握情布 1、已知如右图,AE=2EC,?ABC的中线AM交BE交况。
于点G,
BG 答案: 求的值。 1、3:2 GE
置 3A,,2、 3 EG
CBM
2、(第23届IMO试题)如图,M、N分别是正六边形
对角线AC、CE上的点。若B、M、N三点共线,且FAMCN,求λ的值。 ,,,AEACCE
N M
D B
C
范文三:平面向量中三点共线定理的扩展及其应用
向量三点共线定理及其扩展应用详解
一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用
一、问题的提出及证明。
1、向量三点共线定理:在平面中A、B、C三点共线的充要条件是:
,其中。 (O为平面 当时 A与O点在直线BC同侧,x时, A与O点在直线BC的异侧,证明如下:
设
且 A与B、C不共线,延长OA与直线BC交于A1点
设 (、)A1与B、C共线
则 存在两个不全为零的实数m、n
且
则
、
(1)则 则
与O点在直线BC的同侧(如图[1])
(2)则,此时OA与OA1反向
A与O在直线BC的同侧(如图[2]) 1AB C A1C A 图[1]
1
O
A 图[2]
(3),则此时
与O在直线BC的异侧(如图[3])
O
图[3]
2、如图[4]过O作直线平行AB,
延长BO、AO、将AB的O侧区 域划分为6个部分,并设
则点P落在各区域时,x、y满足的条件是: B A ? ? ? ? O ? ? 图[4]
(?)区:(?)区:(?)区:
(?)区:(?)区:(?)区:
(证明略)
二、用扩展定理解高考题。
[2006年湖南(文)10] 如图,点P在由射线OM,线段OB (1)
及的延长线围成的阴影区域 )
13231721 A.(,) B.(,) C.(,) D.(,) 44345534
解:根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理,则
,且,则选C
(2)[2006年湖南(理)15] 如图[5]OM,点P在由射线OM,线段OB及AB
的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且
,则x的取值
2
1范围是 。当时,y的取值范围是。2
解:根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理,则有:
,且当,有:,即
答案为:,(,) P 22M
图[5]
二、向量共线定理的几个推论及其应用
人教版《数学》(必修)第一册(下)P115面介绍了一个定理:向量b与非零向量a共线有且仅
有一个实数,使b=a。谓之“向量共线定理”。以它为基础,可以衍生出一系列的推论,而这些
推论在解决一些几何问题(诸如“三点共线”“三线共点”等)时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。 O A
一、定理的推论
推论一:向量b与向量a共线存在不全为0的实数,使
,这实质是定理的
另外一种表述形式。
推论二:三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数,使。
注意推论(二)与推论(一)的区别:推论(二)中AB,AC均不为零向量,而推论(一)中,向
量a,b可能含O。
推论三: 设O、A、B三点不共线,且,(x,y?R),则P、A、B三点共线。
这实质是直线方程的向量形式。
推论四: 设O为平面内任意一点,则三个不同点A、B、C共线存在一组全不为0的实数使
且
证:? 当O点与A、B、C三点中任一点重合,则推论(四)即为推论(二);
? 当O点与A、B、C三点均不重合,则三点A、B、C共线存在s,t?R,且s?t?0,使得,此时,s?-t,否则,从而B点与C点重合,这与已知条件矛盾,故有:
,即:。显然s+t+[-(s+t)]=0
令故得证。
3
推论五: 设O为平面,延长OP交AB于P1,过P作OA、OB的平行线,分别交 OA,OB于M,N点,过P1作OA,OB的平行线,分别交OA,OB于M1,N1点,显然
显然,,。其中
。由于
而充分性由上述各步的可逆性
易知。
事实上,我们可以将推论三与推论六整合在一起,导出推论七:
推论七:
已知平面内不共线向量AB,AC且。分别记过点A且与BC平行的直线为l1,
直线BC,AB,AC分别为l2,l3,l4.则:
P点在直线l2上;P点在直线l2不含A点一侧; P点在直线l2与l1之间;
P点在直线l1上;P点在直线l1不含直线l2一侧; P点在直线l3不含C点一例;P点在直线l3含C点一侧
; P点在直线l4不含B点一侧,P点在直线l4含B
点一侧。
?证:设直线AP与直线BC相交于点P,则设
,则 l1 4 l2
故P若在直线BC上,则又?共线,
则故:
则
?AB、AC不共线,则
?
(1)若P在?区域如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上。BN=
三点共线。 1BD,求证:M、N、C3C
证:设,
,(e1与e2不共线),则
?N为BD的三等分点,?而
??,且m+n=1,33332333333
M、C三点不共线,则点M、N、C三点共线。 且B、
5
例2 设M,N分别是正六边形ABCDEF的对角线AC、CE的 B(101
解:易知a1+a200=1,?
C(200
D(201
故选A。
2
例4 (06年湖南高考题)如图OM?AB,点P在由射线OM,线段OB及AB的延长线围成的阴影区域
33
C(
13,) 44
D(
1755
解:由P点所处的区域,利用推论(七)的结论
我们不难判定O中的线性组合系数对(x,y)应满足
0<x+y<1,且x<0,y>0。从而应选C。
例5 (梅涅劳斯定理)若直线l不经过ΔABC的顶点,并且与ΔABC的三边BC、CA、AB或它们的延长线分别交于P、Q、R,则
L
R
A Q
P
C
证:如图,设P、Q、R三点分有向线段BC、CA、AB,
, B 所成的比分别为,则
PCQARB
又P、Q、R三个分点中有一个或三个外分点,所以,因而只需证明。
6
任取一点O,则由定比分点的向量公式得:
?P、Q、R三点共线,?由推论4知存在全不为0的实数k1,k2,k3使
即
且而A、B、C三点不共线,由推论5得
?,原命题得证。
例6 (塞瓦定理)若P、Q、R分别是ΔABC的BC、CA、AB边上的点,则,AP、BQ、CR三线共点的充要条件是。 PCQARB
证:必要性:如图,设P、Q、R分有向线段BC、CA、AB所成的比分别为
, 则
P C 在平面
?
同理存在实数k2,k3使
? ?
; ?-?得
?-?得
7
又?A、B、C三点不共线,且
及
?由推论5得
?,即
?
,则由必要充分性:设AP与BQ交于点M,且直线CM交AB于R′,R′分有向线段AB所成比为
,又?,??R与R′重合,故AP、BQ与CR三线性和
交于一点M。
A、B、C三点共线的充要条件是:有唯一的实数对λ、μ,使,其中λ+μ=1。并且通过上节课的学习,学生还知道了在三点共线条件下写向量表达式的一种方法:如右图,
A
O
图1 图2
分母m+n代表线段AB的份数,即右边两向量终点表示的线段,m代表线段CB的份数,即左边向量OC和右边向量OB两向量终点表示的线段,n代表线
右边向量OA两向量终点表示的线段。系数m、段CA的份数,即左边向量OC和
n与它对应的线段恰好是交叉关系;当分点在线段的外部时,添加一个负号,
其位置由系数和为1确定。
8
9
范文四:在平面向量中,三点共线的应用
在平面向量中,三点共线的应用
赣州中学 龚海院
高中数学北师大版必修4课本第二章平面向量,第82页有例题3.
题目为:A,B,C是平面内三个点,且A与B不重合,P是平面内任意一点,若点C在直线AB上,则存在实数,使得 ,
PCPAPB,,,,,(1)
证明:如图所示,因为向量共线,根 BC与BA
据向量共线定理可知: BCBA,,
PCPBPAPB(),,,,
PCPBPAPB(),,,,
PCPBPA(1),,,,,
证完.
注意到: 的系数之和为()1-+=1,,。 PAPB与
此命题的逆命题也是成立的。
命题:已知平面上四点:,若有且则三点共线。ABCPPCxPByPAxyABC,,,,1,,,,,,,
证明:因为且则PCxPByPAxy,,,,,1,
PCPByPAPByPAPB,,,,,(1-y)()
PCPByBAPCPByBA,,,,,即是,
所以,故与共线,从而BCyBABCBA,,A,B,C三点共线,证完。
特别说明,。此命题在解决一些几何问题(诸如“三点共线”或类似的题)时有着广泛的应用。以下通过例题来加以说明。下面仅举几例,以飨读者。
1例1 如图,在平行四边形ABCD中,点M是AB的中点,点N在BD上。BN=,求BD3
D 证:M、N、C三点共线。 C
ABe,BDee,,ADe,ee证:设,,(与不共线),则. N 121212
1111?N为BD的三等分点,?,而, BNBDee,,,()BMBAe,,,A M B 2113322
11121121212?,?,mn,,,BNeeeeeBMBCBM,,,,,,,,,,()2121233333323333
且m+n=1,且B、M、C三点不共线,则点M、N、C三点共线。
OBaOAaOC,,例2 (06年江西高考题)已知等差数列{a}的前n项和为S,若,nn1200且A、B、C三点共线,(设直线不过点O),则S= 200
A(100 B(101 C(200 D(201
200()aa,1200解:易知a+a=1,?,故选A。 S,,10012002002
例3、如图点G是三角形ABO的重心,PQ是过G 的
O 分别交OA、OB于P、Q的一条线段,且,OP,mOAOQ,nOB,(、)。 n,Rm
Q 11P 求证 ,,3G mnA B 分析:本题是一道典型的平面几何证明,如D 果用平几方法则过程很复杂,如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得
、G、Q三点在一条直线上,所以我们可以考虑与共线,多。因为注意到PPQPG
于是可以用共线定理得方程组求解。
,,,,证明:设,,则, OQ,nbOA,aOB,bOP,ma
,,,,1121?,? OD,(OA,OB),(a,b)OG,OD,(a,b)2233
,,,,,111?, PG,OG,OP,(a,b),ma,(,m)a,b333
,,即PQ,OQ,OP,nb,ma,
又P、Q、G三点在同一直线上,则与共线 PQPG
?存在一个实数,使得PG,,PQ
,,1111,?,即: (,m)a,b,,nb,,ma(,m,,m)a,(,,n)b,03333
1,,,m,m,0,,11,,3?与不共线,?消去,得 a,,3b,1mn,,,n,0,3,
例4、如图在三角形ABC中,AM:AB=1:3,ANC
,:AC=1:4,BN与CM相交于点P,且,AB,a
N ,,,P ,试用、表示 aAPAC,bb
A M B 分析:本题是以向量为载体的平面几何题,所以我们很容易联想到点M、P、C三点在一条直线上,可用共线定理的充分必要条件求解。
解?AM:AB=1:3,AN:AC=1:4,
,,1111??AM,AB,a,AN,AC,b, 3344
?M、P、C三点共线,可设 MP,,MC(,,R)
,1于是 AP,AM,MP,a,,MC3
,1? MC,AC,AM,b,a3
,,11? AP,(,,)a,,b33
范文五:平面向量中三点共线定理的扩展及其应用
平面向量中三点共线定理的扩展及其应用
广东省云浮市邓发纪念中学 杨再华
一、问题的提出及证明。
1、向量三点共线定理:在平面中A、B、C三点共线的充要条件是:
??????????
,其中x?y?1。 OA?xOB?yOC.(O为平面内任意一点)
那么x?y?1、x?y?1时分别有什么结证?并给予证明。 结论扩展如下:1、如果O为平面内直线BC外任意一点,则 当x?y?1时 A与O点在直线BC同侧,x?y?1时, A与O点在直线BC的异侧,证明如下:
??????????设 OA?xOB?yOC
且 A与B、C不共线,延长OA与直线BC交于A1点
?????1
设 OA??OA(?≠0、?≠1)A1与B、C共线 则 存在两个不全为零的实数m、n ?????????????1
OA?mO? C且m?n?1 BnO
则
?OA?mOB?nOC
?
?
????????????
????m????n?????OA?OB?OC ?x?
x?y?
m
?
、y?
n
?
m?n
?
?
1
?
(1)??1 则 x?y?1 则
B ?
?A与O点在直线BC的同侧(如图[1]) O
?????????1
??0x?y??0?1(2),则,此时OA与OA1反向
?
A与O在直线BC的同侧(如图[2]) 1
A
B
C
A1
C
A 图[1]
??????????1????1
OA?OA?OA1
O
A
图[2]
1
(3)o???1,则x?y?1
A ??????????1????11
C 此时 OA?OA?OA
B ?A1
? A与O在直线BC的异侧(如图[3])
O
图[3]
2、如图[4]过O作直线?平行AB,
延长BO、AO、将AB的O侧区
????????????
域划分为6个部分,并设OP?xOA?yOB,
则点P落在各区域时,x、y满足的条件是:
B
A
Ⅱ Ⅰ Ⅲ Ⅵ
O Ⅳ
Ⅴ
?
图[4]
?x?0?x?0?x?0???
(Ⅰ)区:?y?0 (Ⅱ)区:?y?0 (Ⅲ)区:?y?0
?0?x?y?1?0?x?y?1?0?x?y?1????x?0?x?0
?x?0??
(Ⅳ)区:?y?0 (Ⅴ)区:? (Ⅵ)区:?y?0
?y?0??1?x?y?1??1?x?y?0
??
(证明略)
二、用扩展定理解高考题。
(1)[2006年湖南(文)10] 如图[5] OM?AB,点P在由射线OM,线段OB及AB
????????????
的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且OP?xOA?yOB,则实数对(x、y)可以是……( ) 13221317
A.(,) B.(?,) C.(?,) D.(?,)
44334455 解:根据向量加法的平等四边形法则及扩展定理,则 x?0,且O?x?y?1,则选C
(2)[2006年湖南(理)15] 如图[5]OM?AB,点P在由射线OM,线段OB及AB
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的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动,且OP?xOA?yOB,则x的取值
1
范围是 。当x??时,y的取值范围是。
2
解:根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理,则有:
1113
x?0,且当x??,有:O?x?y?1,即O???y?1??y?
222213B 答案为:x?0,(,) P 22M
O
2
A
图[5]
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