范文一:连续型随机变量函数的密度函数
3.3 连续型随机变量函数的密度函数
3.3.1 一维随机变量函数的密度函数 3.3.2 多维随机变量函数的密度函数
3.3.1
一维随机变量函数的密度函数
ξ 设 y = g ( x) 是连续的实值函数, 是连续型随机变量, 那么 η = g (ξ ) 也是一个连续型的随机变量。
根据 ξ 的密度函数 fξ ( x) 去求 η 的密度函数 fη ( x) 的 一般方法是:利用定义先求出 η = g (ξ ) 的分布函 数 Fη ( y ) ,然后通过求导得 η 的密度函数。 有两种特殊情况,不必求 η 的分布函数而直接给出 密度函数。
1. y = g ( x) 是严格单调且可导的函数
定理3.1 设ξ 的密度函数为 fξ ( x), y = g ( x) 严格单调 且有一阶导数存在,设 x = h( y ) 为y = g ( x) 的反函数, 则 η = g (ξ ) 也是一个连续型随机变量,它的密度函 数 fη ( y ) = fξ (h( y )) h' ( y ) , a
推论:如果 η 是 ξ 的线性函数 η = kξ + b ,那么η y b 1 的密度函数为 fη ( y ) = fξ ( )
k |k|
η = kξ + b ,则η ~ N (k + b, k 2σ 2 ) 例3.13 设ξ ~ N ( ,σ ) ,
2
证:由 ξ ~ N ( ,σ 2 )
1 x 2 ( ) 1 2 σ e 它的密度函数 fξ ( x) = 2π σ 因而 η = kξ + b 的密度函数
y b 1 1 fη ( y ) = fξ ( ) = e k |k| 2π σ | k |
2 2
1 x ( k +b ) 2 ( ) 2 |k |σ
所以 η ~ N (k + b, k σ ) ,即服从正态分布的随机变量, 它的线性函数也服从正态分布。
2. y = g ( x) 分段严格单调且可导
定理3.2 设随机变量 ξ 的密度函数为 fξ ( x), y = g ( x) 在不相重叠的区间 I1 , I 2 ,..., I k 上分段严格单调且可导, 它们的反函数分别为 h1 ( y ), h2 ( y ),..., hk ( y ) ,那么η = g (ξ ) 仍为连续型随机变量,它的密度函数
fη ( y ) = ∑ fξ (hi ( x)) | hi' ( y ) |
i =1 k
ξ ~ N (0,1) ,求η = ξ 2 的密度函数。 例3.14 设
当y ≤ 0时,fη ( y ) = 0;当y > 0时,y = x 2分段单调。 解: 在区间(-∞,0)上,单调下降,反函数为x=- y ; 在区间(0,+∞)上,单调上升,反函数为x= y ; fη ( y ) = fξ ( y ) | ( y )' | + fξ ( y ) | ( y )' | 1 1 ( e 2 = [ 2 y 2π 1
y 1 e 2 = 2π y y )2
1 1( e 2 + 2π
y )2
]
y 1 e 2, y >0 故η=ξ 2的密度函数fξ ( y ) = 2π y y≤0 0, η服从自由度为1的χ 2分布。
Y=x2分段单调如右图:
π π π 2 2 ( x + ), ≤ x ≤ (1)设ξ1的密度函数:fξ1 ( x) = π 2 2 2 其它 0, 2x 2 ,0 ≤ x ≤ π (2)设ξ 2的密度函数:fξ2 ( x) = π 0, 其它 π π 8 2 ( x + ), ≤ x ≤ π (3)设ξ3的密度函数:fξ3 ( x) = 9π 2 2 其它 0,
分别求ηi = sin ξi的密度函数。
例 3.15
解:y=sin(x)在不同的区间内分段单调,如图:
续:
续:
(1)ξ1密度不为0的区间是(-π / 2,π / 2), 反函数为x=arcsiny. fη1 ( y ) = fξ1 (arcsin y ) | (arcsin y )' |
π 1 2 , 1 ≤ y ≤ 1 π 2 (arcsin y + 2 ) 2 = 1 y 其它 0,
续:
(2)
ξ2 密度不为0的区间是(0,π ),y=sinx在该区间内分段单调, 当0 ≤ x ≤ π /2,y=sinx单调上升,反函数为x1 =arcsiny; 当π /2 ≤ x ≤ π ,y=sinx单调下降,反函数为x2 =π -arcsiny; 于是当0 ≤ y ≤ 1是,η2的密度函数为:
2(arcsin y ) 1 1 y
2
fη2 ( y ) = fξ2 (arcsin y ) | (arcsin y )' | +fξ2 (π arcsin y ) | (π arcsin y )' | =
π
2
+
2(π arcsin y )
π
2
1 1 y2
2 , 0 ≤ y ≤ 1 = π 1 y 2 其它 0,
续:
(3)ξ3 密度不为0的区间是(-π / 2,π ), y=sinx在该区间内分段单调, 当-π /2 ≤ x ≤ π /2,单调上升, 反函数为x1 =arcsiny, y ∈ (1,1); 当π /2 ≤ x ≤ π ,单调下降, 反函数为x2 =π -arcsiny, y ∈ (0,1);
续: 于是当0 ≤ y ≤ 1是,η3的密度函数为:
fη3 ( y ) = fξ3 (arcsin y ) | (arcsin y )' | +fξ3 (π arcsin y ) | (π arcsin y )' | = 8 9π + =
2
(arcsin y + 8
π
2
)
1 1 y2
9π
2
[π arcsin y +
π
2
]
1 1 y2
16 9π 1 y 2
续:
当-1 ≤ y ≤ 0是,η3的密度函数为: fη3 ( y ) = fξ3 (arcsin y ) | (arcsin y ) |=
'
8 9π
2
(arcsin y +
π
2
)
1 1 y2
当y
3.3.2
多维随机变量函数的密度函数
1、和的分布
设(ξ ,η )的联合密度函数为f (x, y ), 则ζ =ξ+η的分布函数为: Fζ ( z ) = P{ζ ≤ z} = P{ξ + η ≤ z} =
+∞ x+ y≤ z
∫∫
f ( x, y )dxdy
fζ ( z ) = Fζ' ( z ) =
∞
∫
+∞
f ( x, z x)dx =
∞
∫
f ( z y, y )dy
若ξ 、η 相互独立,f ( x, y ) = fξ ( x) fη ( y ), 则ξ+η的密度函数为:
+∞
fζ ( z ) =
∞
∫
+∞
fξ ( x) fη ( z x)dx =
∞
∫
fξ ( z y ) fη ( y ) dy
上式称为fξ 与fη的卷积公式,记成fξ fη
例3.16、设ξ 、η 相互独立,ξ ~ N ( 1 , σ 12 ),η ~ N ( 2 , σ 2 2 ), 求ζ =ξ+η的密度函数。
+∞ +∞
解:fζ ( z ) =
∞
∫
fξ ( x) fη ( z x)dx = 1 e
1 z x 2 2 ) ( σ2 2
∞
∫
1 2π σ 1
e
1 x 1 2 ( ) 2 σ1
2π σ 2
dx
ζ ~ N ( 1 + 2 , σ 12 + σ 2 2 )
利用数学归纳法,设ξ1 , ξ 2 ,...,ξ n为n个相互独立的随机变量,
ξi ~ N ( i , σ 2 ), i = 1, 2,3,..., n, 那么它们的线性组合
aiξi = a1ξ1 + ... + anξ n ~ N (∑ ai i , ∑ aiσ i 2 ) ∑
i=1 i=1 i=1 n n n
即任意有限个独立的服从正态分布的随机变量的线性组合 仍服从正态分布。
例3.17、设ξ 、η 独立,ξ 和η的密度函数分别为 3e 3 x , x ≥ 0 2e 2 y , y ≥ 0 fξ ( x ) = fη ( y ) = 0, x
+∞
解:fζ ( z ) =
∞
∫
fξ ( x) fη ( z x) dx
右图双重斜线区域表示 fξ ( x) fη ( z x) ≠ 0 的区域:
续:
fξ ( x) fη ( z x) = 3e
z 0
3 x
2e
2( z x )
= 6e
2 z x
e
故fζ ( z ) = ∫ 6e 2 z e x dx = 6(e 2 z e 3 z ) 6(e 2 z e 3 z ), z > 0
综上fζ ( z ) = z
2、ζ=ξ2+η2的分布 例3.18 设ξ、η 独立,且都服从N(0,1)分布,求 ζ=ξ2+η2的密度函数。 解:先求ζ的分布函数Fζ(z)=P{ξ2+η2≤ z} 当z
x2 + y 2 ≤ z
∫∫
f ( x, y )dxdy =
x2 + y 2 ≤ z
∫∫
ξ ( x)η ( y )dxdy
1 1 ( x2 + y 2 ) = ∫∫ e 2 dxdy 2π x2 + y 2 ≤ z
续: 把直角坐标改为极坐标,令x=rcosθ , y=rsinθ, 于是,
1 z r2 z 1 2π 1 1 r2 Fζ ( z ) = ∫∫ e 2 rdrdθ = ∫ dθ ∫ e 2 rdr = 1 e 2 0 0 2π 2π 2 r ≤z
0, z 0 0, z 0
3、商的分布 设二维随机变量(ξ,η)的联合密度函数为f(x,y),求 ζ=ξ/η的密度函数。 先求ζ的分布函数,积分 区域见右图:
Fζ ( z ) = P{ζ ≤ z} = = ∫ [∫
∞
0
x ≤z y
∫∫
f ( x, y ) dxdy
+∞
yz
+∞
yz
f ( x, y )dx]dy + ∫ [ ∫
0
∞
f ( x, y )dx]dy
作变换x = ty, dx = ydt Fζ ( z ) = ∫ [ ∫
∞ 0 ∞ z
f (ty, y ) ydt ]dy + ∫ [ ∫
0 +∞ 0
+∞
z
∞ z
f (ty, y ) ydt ]dy f (ty, y ) | y | dt ]dy
= ∫ [∫
∞ z
0
z
∞ +∞
f (ty, y ) | y | dt ]dy + ∫ [ ∫ f (ty, y ) | y | dy ]dt
' +∞ ∞
∞
= ∫ [∫
∞
∞
故ζ 的密度函数fζ ( z ) = Fζ ( z ) = ∫
f (ty, y ) | y | dy
例3.19 设ξ、η独立,且分别服从指数分布
λ e λ x , x > 0 e y , y > 0 和 fη ( y ) = fξ ( x ) = 0, x
求ζ=ξ/η的密度函数。
λ eλ yz , y、z同号 解:fξ ( yz ) = 0, y、z异号 当z≤0时,fζ(z)=0;
当z > 0时,fξ ( yz ) fη ( y ) = λ e λ yz e y = λ e y ( λ z + ) fζ ( z ) = λ ∫
+∞ 0
ye
y (λ z + )
λ dy = 2 (λ z + )
0, z≤0 ∴ζ 的密度函数fζ ( z ) = λ , 2 z >0 (λ z + )
4、极大值极小值的分布 设ξ1,ξ2,…,ξn相互独立,分布函数分别为F1(x),…,Fn(x), 令ξ(1)=min(ξ1,ξ2,…,ξn), ξ(n)=max(ξ1,ξ2,…,ξn),求ξ(1) 与ξ(n)的分布函数。 对任意实数y, ξ(n)的分布函数: Fn*(y)=P{ξ1≤y}… P{ξn≤y}=F1(y)…Fn(y)=[F(y)]n ξ(1)的分布函数: F1*(y)=1-P{ξ1>y}… P{ξn>y}=1-[1-F(y)]n
例3.20 设ξ1,ξ2,…,ξn独立同分布,其密度函数为
0, x ≤ 0 f ( x) = λ x λ e , x > 0 求ξ =min{ξi }和ξ =min{ξi }的密度函数。 (1) (n)
1≤ i ≤ n 1≤ i ≤ n
0, x ≤ 0 解:ξi的分布函数为F ( x) = 1 eλ x , x > 0 y≤0 0, 最大值ξ 的分布函数为F ( y ) = [ F ( y )] = (n) [1 e yx ]n , y > 0
* n n
续:
0, y≤0 它的密度函数f ( y ) = [ F ( y )] = nλ[1 e λ y ]n 1 e λ y , y > 0 0, x ≤ 0 * n 最小值ξ 的分布函数为F1 ( x) = 1 [1 F ( x)] = (1) 1 e nλ x , x > 0
* n * n '
0, x ≤ 0 它的密度函数f ( x) = nλ e nλ x , x > 0
* n
范文二:绝对值随机变量密度函数的求法
绝对值随机变量密度函数的求法
浪花一点点
求连续型随机变量的密度函数是概率论考试的主要内容,特别是考研数学一和三的重点。2017年数学一和三最后两大题都要求密度函数,2016年也有一大题求密度函数,你说重不重要呢?
有一类求密度函数的题型,一般辅导书单独总结和归纳的较少,那就是含有绝对值符号的连续型随机变量密度函数的求法。研究过往的考研试题,此种类型的题型已经出现了3次。
上例题来说明吧!
1某工程师为了解一台天平的精度,用该天平对一物体的质量做n 次测量,该物体的质量μ是已知的,设n 次测量结果x 1, x 2, , x n 相互独立,且均服从正态分布N (μ, σ2).该工程师记录的是n 次测量的绝对误差z i =x i -μ(i =1, 2, n ) ,利用z 1, z 2, , z n 估计σ.
(I )求z i 的概率密度;
(II )利用一阶矩求σ的矩估计量; (III )求σ的最大似然估计量.
分析:这是2017年数一和数三的考研试题,第一问与本专题有关,只谈第一问。
求密度函数首选分布函数法。
F(z i )=P(x i -μ≤z i )
(1)x i -μ≥0,所以当z i <0x i="" -μ≤z="" i="" 是不可能事件,此时f(z="" i="" )="">0x>
(首先把不可能发生的事件和必然发生的事件写出来,再考虑变量的其他范围的取值。)
(2)当z i ≥0时,
F(z i )=P(x i -μ≤z i )=P(-z i ≤x i -μ≤z i )
(此处也可写出P(-z i -μ≤x i ≤z i +μ) ,再写出概率函数,求导也可得出密度函数)
=P(-
z i
σ
≤
x i -μ
σ
≤
z i
σ
2
)
(因x i 服从正态分布N (μ, σ), 则
=Φ(
x i -μ
σ
服从标准正态分布)
z i
z i
σ
) -Φ() =2Φ() -1 =2?0
z i z i
σ
σσ
12z i 22σ2
-
x 22
dx
此时概率密度为f(z i )=F '(z i ) =综上所述,z i 的概率密度为
21
πσ
e
-
?21-z i 2
2σ?e f(z i )=?πσ
?0?
2
z i ≥0 其他
2(20013)设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y)
≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布,试求随机变量U=X -Y 的概率密
度。
分析:求密度函数首选分布函数法。
F(u)=P(U≤u)=P(X -Y ≤u)
(1)因X -Y ≥0,所以当u<0x -y="" ≤u="" 是不可能事件,故有f(u)="0;">0x>
(2)因1≤x ≤3, 1≤y ≤3,所以-2≤X -Y ≤2,即X -Y ≤2。 所以当u>2时,X -Y ≤u 是必然发生事件,故有F(u)=1;
(3)当0≤u ≤2时,(一定要画出图形,结合图形计算)
3
x -u
3-u 311
-?dx ?
1x +u 44
F(u)=P(X -Y ≤u)=1-?dx ?
1+u
1
(此处用减法容易理解,也易于用二重积分计算)
112
=1-(2-u ) -(2-u ) 2
88
12
=u -u
4
综上所述,U 的分布函数为
?0
1?
F(u)=?u -u 2
4??1
u <00≤u ≤2="" u="">2
?1
?1-u 0≤u ≤2'因此,f(u)=F (u ) =?2
?其他?0
3设随机变量X 与Y 是两个相互独立,且都服从(0,1)上的均匀分布,求Z=X -Y 的密度函数。
分析:随机变量X 、Y 的密度函数分别为
?10
f (x ) =?
其他?0
?10
f (y ) =?
其他?0
z 的分布函数为F (z ) =P (X -Y ≤z )
(1)当z<0时,很明显x -y="" ≤z="" 是不可能事件,此时f="" (z="" )="0;" (2)="">0时,很明显x>
(3)当0<><>
F (z ) =P (X -Y ≤z )
=1-?dx ?
z 1
x -z 0
dy -?dx ?dy
x +z
1-z 1
(此处用减法容易理解,也易于用二重积分计算)
112
=1-(1-z ) -(1-z ) 2
22
=2z -z 2 综上所述,Z 的分布函数为
?0?
F(z)=?2z -z 2
?1?
z ≤00
?2-2z 0
因此,f(z)=F '(z ) =?
其他?0
4 (19981)设两随机变量X 、Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为1/2的正态分布,求随机变量X -Y 的方差。
分析:这是1998年数学一考研试题,尽管过去了近20年,依然很经典!
某君概率论课昏睡中隐约听到老师说:求密度函数首选分布函数法,于是嘴角掠过一丝得意的浅笑,拿起笔毫不犹豫地就用分布函数法做起来了!结果——过程复杂得令他怀疑人生! 换种思维吧!
因随机变量X 、Y 相互独立,且都服从正态分布,所以 E(X -Y )=EX─EY =0 D(X -Y )=DX+DY=0.5+0.5=1
令Z=X -Y ,(把二维转化为一维来求) 则E (Z 2) =D (Z ) +[E (Z )]2=1
由D(X -Y )=D(Z )=E(Z ) -[E (Z )]2 =1-[E (Z )]2 E(Z )=?Z
-∞+∞
2
1
e -
z 22
dz =
2?
+∞
z e
-
z 22
dz =
2
π
故D(X -Y )=1-
2
π
5设总体X ~N (μ, σ2) ,(X 1, X 2, , X n ) 为来自总体的一个样本,求常数k ,使得k ∑X i -σ的无偏估计。
i =1n
分析:此题与上一题思路是一样的。
首先求X i -分布的期望值和方差,但注意X i 、不相互独立。
n -12
E(X i -)=0,D(X i -)=σ (此处过程省略)
n
所以,X i -~N (0,
n -12
σ) n
-z 222n
1
e 令Z=X i -,则f(z)=
n -12σ
n
(把二维转化为一维来求)
+∞
那么,E(Z )=?z
-∞
1
e n -12σ
n 1
e σ
n n -1
n
n
z 2-
22n
dz
-
=2?
+∞
z
z 2n -122n
dz
2
=
2则E(k ∑
i =1n
2kn
X i -)=k∑E (X i -) =
2i =1
n
n -1
n
=σ n
根据无偏性的定义,由E(k ∑
i =1
2kn
X i -)=
解得,k=
2n (n -1)
点评:以上两题是能很好地训练思维的题目。尽管这2题不是求密度函数的题目,但却与求密度函数相关,只不过不是直接求,而是间接求期望值和方差后得出密度函数的。
范文三:混合型随机变量密度函数的求法
混合型随机变量密度函数的求法
浪花一点点
求密度函数(或分布函数)、矩估计和极大似然估计、计算期望值和方差是考研数学常考的三大题型,而求密度函数(或分布函数)是考查概率论知识的精髓,可以说,几乎每年都考。
求密度函数也有重点啊。那重点考什么呢?研究30多年的考研数学试题,求二维连续型随机变量的密度函数是重点(是综合题,不仅概率论知识,还涉及二重积分的计算)。在重点知识里,求混合型随机变量密度函数是近些年命题人的最爱。混合型是指两种随机变量的分布类型不一样,既有离散性也有连续型(或两种不同类型的连续型随机变量的分布)。尤以离散和连续型混合在一起,是重点的重点(会涉及全概率公式和条件概率知识)。
上例题来说明吧!
一、离散和连续两种不同类型的随机变量混合在一起 1(20033)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布为
2??1
X ~? ?
?0. 30. 7?
而Y 的概率密度为f(y),求随机变量U=X+Y的概率密度g(u). 分析:首先说明20033是指此题是2003数学三考研试题,若为200313则指此题是2003数一和数三的考研试题。
此题随机变量X 是离散型的,Y 是连续型的随机变量,题目考察两种混合型随机变量和的密度函数。
求密度函数首选的方法是分布函数法!
G (u ) =P (X +Y ≤u )
=0.3P(1+Y≤u) + 0.7P(2+Y≤u)
(因X 、Y 相互独立,X 只取1和2两个值) =0.3P (Y ≤u -1) +0.7P (Y ≤u -2) =0.3F (u -1) +0.7F (u -2) 则U 的概率密度为
g(u) = G '(u ) (概率密度的定义)
= 0.3F '(u -1) +0.7F '(u -2)
= 0.3
f (u -1) +0. 7f (u -2)
即g(u) = 0.3f (u -1) +0. 7f (u -2)
点评:本题的关键点是0.3P(1+Y≤u) + 0.7P(2+Y≤u) 这一步,必须弄清楚其由来。
2 (200813)设随机变量X 与Y 相互独立,X 的概率密度为P{X=i}=
13
?10≤y ≤1
(i=-1,0,1) ,Y 的概率密度为f Y (y ) =?,记Z=X+Y
其他?0
1
(1) 求P(Z ≤X =0);
2
(2)求Z 的概率密度;
分析:因第二问与本主题有关,只讨论第二问。
本题也是离散型和连续型随机变量混合在一起的,与2003年的试题相比(Y的概率密度为抽象的f(y)),连续型随机变量Y 的概率密度是具体的,其实思路是一样的。
记住,求密度函数首选分布函数法!
F z (z ) =P (X +Y ≤z )
=
111
P (-1+Y ≤z ) + P (0+Y ≤z ) + P (1+Y ≤z ) 333111
P (Y ≤z +1) + P (Y ≤z ) + P (Y ≤z -1) 333
(因X 、Y 相互独立,X 取三个值-1,0,1)
=
到这儿,千万不能两边直接求导了!此处要就z 的范围讨论。 (此处是本题的关键点,因为Y 的密度函数非零区域是0≤y ≤1) (1)当z <><0, z="">0,><>
111
F z (z ) =*0+*0+*0=0
333
(2)当-1≤z <><1, -2≤z="">1,><>
1z +1111
F z (z ) =?dy +*0+*0 = (z+1)
30333
(3)当0≤z <><2, -1≤z="">2,><>
111z 11
F z (z ) =*?dy +?dy +*0 = (z+1)
303033
11111z +1
(严格来说,*?dy 应该写成*?dy +*?0dy ,Y 的密度函数非
303031
零区域是0≤y ≤1,这是此步的关键点。) (4)当1≤z <><3, 0≤z="">3,><>
11111z -11
F z (z ) =*?dy +*?dy +*?dy = (z+1)
3030303
(5)当z≥2时,z+1≥3, z -1≥1
111111
F z (z ) =*?dy +*?dy +*?dy =1
303030
综上所述,z 的密度函数为
?1
?-1≤z <>
f z (z ) =F z (z ) =?3
?其他?0
'
注:一般写区间范围,遵循“左闭右开”,即区间左边是闭的,如
-1≤z <>
个值的概率为0,所以不必过多纠结与此。
讨论的时候怎么知道要分5个不同区间呢?实际是就z -1、z 、z+1的值在0~1的范围间进行讨论。因为Y 的密度函数非零区域是0≤y ≤1。
3 (201713) 设随机变量X,Y 相互独立,且X 的概率分布为
?2y 0
P{X=0}=P{X=2}=,Y 的概率密度为f (y ) =?
其他2?0
(1)求P{Y≤EY};
(2)求Z=X+Y的概率密度.
分析:因第二问与本主题有关,也只讨论第二问。
与2008年的考研试题相比较,没有什么两样,9年之后命题人又出了几乎一样的题!所以,考题并没有过时,关键搞懂解题的方法才是最重要的。
再说一遍,求密度函数首选分布函数法!
F z (z ) =P (X +Y ≤z )
11
=P (0+Y ≤z ) +P (2+Y ≤z ) (因X 、Y 相互独立)
22
=
11
P (Y ≤z ) +P (Y ≤z -2) 22
此处要就z 的范围讨论,
(本题的关键点,因为Y 的密度函数非零区域是0<><1)>1)><0时,f z="" (z="" )="">0时,f>
(2)当0≤z<1时,z>1时,z><>
1
F z (z ) =
2
?
z
2ydy +
11*0 = z 2 22
(3)当1≤z<2时,-1≤z>2时,-1≤z><>
F z (z ) =
111
*1 + *0 = 222
(4)当2≤z<3时,0≤z>3时,0≤z><>
11
F z (z ) =*1+
2211
F z (z ) =+=1
22
?
z -2
11
2ydy = +(z -2) 2
22
(5)当z ≥3时,z -2≥1
综上所述,z 的密度函数为
0≤z <>
?'
f z (z ) =F z (z ) =?z -22≤z <>
?0其他?
4 (201613)设二维随机变量(X,Y)在区域
2
D={(x,y)
?1, X ≤Y
0
?0, X >Y
(1)写出(X,Y)的密度函数;
(2)问U 和X 是否相互独立?并说明理由。 (3)求Z=U+X的分布函数F(z)。
分析:(1)此问简单,先求出区域D 的面积。
S=
1
dx dy = ?0?x 2
3
1
因此,(X,Y)的密度函数为
?30
f (x , y ) =?
其他?0
(2)要说明U 和X 是否相互独立,最有效的方法是用定义判断。
在概率论的第一章判断两事件A 和B 是否相互独立,我们用P(AB)=P(A)P(B)判断,这就是定义判断。
对于二元连续型变量的相互独立问题,类似的有定义
P(X≤x,Y ≤y)=P(X≤x)P(Y≤y) (知识要前后连贯,OK )
11
本题来判断P(U=1 0<><><><)>)>
22
(U 只有0和1两个值,随便取一个;x 值取一个范围就可以了,也可取0<><>
1
11132
- P(U=1 0<><)=p(x≤y ,="">)=p(x≤y><><)=?dx ?3dy="">)=?dx>
0x 2822
1
3
P(U=1)= ?dx ?3dy =
x
1x
12
为求P(0<><) 值,先求x="">)>
1
2
?3(x -x 2) 0
f X (x ) =?
0其他?
1
111
- 那么,P(0<><)=?23(x -x="" 2)="" dx="">)=?23(x>
0282
11
明显,P(U=1 0<><) ≠p(u="">)><><>
22
所以,U 和X 不相互独立。 (3)此问是本专题的内容。
U 和X 不相互独立。这是2016年考研试题与2003、2008、
2017最大不同之处(前面3个题目两变量都是相互对立的,命题人总是在寻求变化,窃以为考研数学题出得很好!).
F (z ) =P (U +X ≤z ) 因X 的密度函数为
?3(x -x 2) 0
f X (x ) =?
0其他?
非零区域为0~1,因此,要就z 的取值进行讨论(这是与2008、2017考研试题一致的要求)。
因U=0或1,0
(一般来说,应首先确定必然发生的事件和不可能发生的事件,通过已知变量的范围易确定)
当0≤z<2时,f (z="" )="P" (u="" +x="" ≤z="">2时,f>
=P (U =0,0+X ≤z ) +P (U =1,1+X ≤z ) =P (U =0,X ≤z ) +P (U =1,X ≤z -1) 当写到这儿时,要停顿考虑一下,因0
F (z ) =P (U +X ≤z )
=P (U =0,X ≤z ) +P (U =1,X ≤z -1) =?dx ?23dy +0 =
x
z
x
32
z -z 3 2
(注:U=0表示X ≤Y ,U=1表示X>Y) 当1≤z<2时,0≤z>2时,0≤z><>
F (z ) =P (U +X ≤z )
=P (U =0,X ≤z ) +P (U =1,X ≤z -1) =?dx ?23dy +
x 1
x
?
z -1
dx ?3dy
x
3
132
= +2(z -1) -(z -1) 2
22
综述所述,Z 的分布函数为
0z <>
32?3z -z 0≤z <1??2 f="" (z="" )="?">1??2>
13
?+2(z -1) 2-(z -1) 21≤z <>
2?2
?1z ≥2?
点评:不少2016的考研党反映此题难,但从以上分析可看出,本题套路与2003、2008是一样的。
5 (201413)设随机变量X 的概率密度为P{X=1}=P{X=2}=,在给定X=i的条件下,随机变量Y 服从均匀分布U(0,i) (i=1,2). (1)求Y 的分布函数F Y (y ) ; (2) 求EY 。
1
2
分析:此题与2016年考题类似,随机变量X 和Y 不相互独立(给出了条件分布)。
当X=1的条件下,随机变量Y 的分布密度为
?10
f (y ) =?
其他?0
当X=2的条件下,随机变量Y 的分布密度为
?1?0
?其他?0
则y 的分布函数为
F Y (y ) =P (Y ≤y )
很明显,y<0时,p (y="" ≤y="" )="" 是不可能事件,此时f="" y="" (y="" )="0;" 当y="" ≥2时,p="" (y="" ≤y="" )="" 是必然发生的事件,此时f="" y="" (y="" )="1;">0时,p><>
F Y (y ) =P (Y ≤y )
=P(X=1)P (Y ≤y X =1) + P(X=2)P (Y ≤y X =2)
(此处用全概率公式)
1
=
2
?
y
1dy +
2
?
y
31
dy = y 24
当1≤y<>
F Y (y ) =P (Y ≤y )
=P(X=1)P (Y ≤y X =1) + P(X=2)P (Y ≤y X =2)
111
=?dy +
202
11=+y 24
?
y
1
1
0dy +
2
?
y
1
dy (此步要特别注意) 2
综上所述,y 的分布函数为
y <>
?3
y 0≤y <>
F Y (y ) =?
11
?+y 1≤y <2?24?y>2?24?y>
点评:5年的题型是一类的,但每年都会有变化。无论是求和z=X+Y还是用全概率公式计算P (Y ≤y ) ,流行的趋势是要对变量z 或y 进行分区间讨论。未来若再有这样的题型,可能是求差z=X -Y 或 z=aX+bY这种形式。
二、两种不同类型的连续型随机变量混合在一起
6 (19921) 设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布N(μ,σ2) ,Y 服从[-π, π]上的均匀分布。试求Z=X+Y的概率密度(计算结果用标准正态分布函数Φ(x ) 表示) 。 分析:随机变量Y 的分布密度为
?1?f (y ) =?2π
??0
-π
那么z 的分布函数为F (z ) =P (X +Y ≤z )
(因-∞
F (z ) =P (X +Y ≤z ) =
x +y ≤z
??f (x ) f (y ) dxdy =?dy ?
-π
πz -y
-∞
1
2π12-
(x -μ) 22σdx
(令t=x+y,则
x
1
F (z ) =
(2π) 3/2
?
π
-π
dy ?e
-∞
z
-
(t -y -μ) 2
2σ2
1
dt =
(2π) 3/2
?dt ?
-∞
z π
-π
e
-
(t -y -μ) 2
2σ2
dy
故z 的概率密度为
f (z ) =F '(z ) =
1(2π) 3/2
?
π
-π
e
-
(z -y -μ) 2
2σ2
dy (密度函数的定义)
令s=(y +μ-z ) /σ,(此处变量代换是为了变为标准正态分布形式)
则f (z ) =F '(z ) =
12π
?
μ+π-z
μ-π-z
1e 2-
s 22
1ds =[Φ(μ+π-z ) -Φ(μ-π-z )]
2π
注:此题也可用卷积公式来求。到目前为止,两种不同类型的连续型变量混合在一起的求密度函数(或分布函数)还只出现一次,以后这种类型的题目极有可能出现。
7已知随机变量X~U(0,2)(均匀分布),Y~E(1)(指数分布),且它们相互独立。设随机变量Z=X -Y 的概率密度函数f z (z ) 。
分析:为了练习此种题型,补充两题,并且都是求差的密度函数,答案附在下面,不再详细解说。读者可先做,再看答案。
?1
?0
随机变量X 的密度函数为f x (x ) =?2
?其他?0
?e -y
随机变量Y 的密度函数为f y (y ) =?
?0F z (z ) =P (X -Y ≤z )
y >0其他
因y>0,则-y <><2,那么,x -y="">2,那么,x><>
那么,当z ≥2时,P (X -Y ≤z ) 是必然发生的事件,此时,F z (z ) =1 当0≤z<2时,f z="" (z="" )="1-?dx">2时,f>
z 2
x -z 0
1-y
e dy 2
z 1z -21
=-e +
222
当z<>
F z (z ) =?dx ?
2
1-y 1
e dy =(1-e -2) e x x -z 22
+∞
x
?1-2z
(1-e ) e ?2??1z 1
因此,F z (z ) =?+-e z -2
?222
1???
于是所求的密度函数为
z <00≤z>00≤z><2 z="">2>
?1-2z (1-e ) e ?2??1
f z (z ) =?(1-e z -2)
?2
0???
z <00≤z>00≤z><2 z="">2>
8已知随机变量X 在区间(0,1)上服从均匀分布,Y 服从参数为1的指数分布,且它们相互独立。求:随机变量2X -Y 的概率密度f z (z ) 。
?10
其他?0
?e -y
随机变量Y 的密度函数为f y (y ) =?
?0F z (z ) =P (2X -Y ≤z )
y >0其他
因为x<><2;y>0,则-y <0;那么,2x -y="">0;那么,2x><>
那么,当z ≥2时,P (2X -Y ≤z ) 是必然发生的事件,此时,F z (z ) =1 (1) 当z<0时,f z="" (z="" )="?dx">0时,f>
01
1
e -y dy =(1-e -2) e x 2x -z 2
+∞
(2) 当0≤z<2时,f z="" (z="" )="1-z" dx="">2时,f>
2
12x -z
e -y dy
z 1z -21
=-e +
222
?1-2z
(1-e ) e ?2??1z 1
因此,F z (z ) =?+-e z -2
?222
1???
于是所求的密度函数为
z <00≤z>00≤z><2 z="">2>
?1-2z (1-e ) e ?2??1
f z (z ) =?(1-e z -2)
?2
0???
z <00≤z>00≤z><2 z="">2>
范文四:随机变量函数的概率密度
随机变量函数的概率密度
已知随机变量X1、X2的联合概率密度P X1,X2(x1,x2),且随机变量Y1、Y2为X1,X2的函数:
Y1=f1(X1,X2)
Y2=f2(X1,X2) (C。1)
反函数为多值函数:
X1=?1(Y1,Y2)
X2=?2(Y1,Y2) (C。2)
具有若干多值区:
X1=?11(Y1,Y2) X1=?21(Y1,Y2)
X2=?12(Y1,Y2) X2=?22(Y1,Y2) (C。3)
平面(
x1,x2)和(y
1,y2)的对应关系于附图C.1,附图C.2。
附图C.1 附图C.2
由附图C.1、附图C.2和式(C。1)、式(C。2)、式(C。3)可见,概率 P[A(y1,y2)∈dS]=
P[B(x1,x2)∈dS1或 B(x1,x2)∈dS2 或B(x1,x2)∈dS3……] 根据不相容事件概率相加法,则有
P[A(y1,y2)∈dS]= P[B(x1,x2)∈dS1+
B(x1,x2)∈dS2 +B(x1,x2)∈dS3+…] (C。4)
由式(C。4)得
pY1Y2 (y1,y2)dS=pX1X2(x11,x21) dS1+ pX1X2(x12,x22) dS2+
pX1X2(x13,x23) dS3+… (C。5)
dS1dS2
pY1Y2 (y1,y2)=pX1X2(x11,x21) + pX1X2(x12,x22) +
dSdSdS3
pX1X2(x13,x23) +… (C。6)
dS
由数学理论可知,平面(x1,x2)上的小面积dSK与平面(y1,y2)上的对应小面积dS之比称为雅可比,通常以J表示。
?x1
dSK?y1
J==
?x1dS
?y2且有
?x2
?(x1,x2)?y1
= (C。7) ?x2?y1,y2?y2
?(x1,x2)1
= (C。8) 12?y1,y2?x1,x2根据式(C。6)和(C。7)式得 pY1Y2 (y1,y2)=pX1X2(x11,x21)
?(x11,x21)?(x12,x22) + pX1X2(x12,x22) ?y1,y2?y1,y2 +pX1X2(x13,x23)
?(x13,x23)+… (C。9)
?y1,y2
,则有 如果(Y1,Y2)和(X1,X2)之间为一一对应关系(单值函数)
pY1Y2 (y1,y2)=pX1X2(x11,x21)
?(x1,x2)
?y1,y2 = pX2X1[(x1(y1,y2),x2(y1,y2))]J (C。10)
一般情况,如果(Y1,Y2, …,Yn)与(X1,X2,…Xn)之间为一一对应关系(单值函数),则 pY1Y2......Yn(y1,y2,...,yn)=pX1X2...Xn(x1,x2,...,xn)J (C。11) 其中
?x1?xn
....?y1?y1
?(x1,x2,...,xn) J==:: ?y1,y2,...,yn?x1
?xn
...?yn?yn
范文五:由二维随机变量的概率密度求二维随机变量的联合分布函数
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请问关于这个求法的思路是什么 我试过用二重积分看 但是发现积分限并不是我想象的那样 因为X Y转化成了S T 请高手解答下 谢谢~~看了很久都没看懂 呵呵呵题目是在复习全书上P538页的一道题[ 本帖最后由 沙漠狂鹰 于 2009-10-4 11:09 编辑 ]
画图,分区域讨论。图的上面,下面,左面,右面(把S,T置在当中去看)
S T置在当中去看是什么意思,
如果X,Y在图中,那么积分区间,就是负无穷到X,负无穷到Y(也就是说X,Y要从哪开始去,关键看题目给你的X,Y区间。我写负无穷是一个泛写,就像在边缘密度,先直接写负无穷,到正无穷)不在图中(比如在区域的上方),此时Y就是题目给的区间取满,X是负无穷到X在下方。。。。在左。。。。在右。。。。[ 本帖最后由 cp1987916 于 2009-10-4 12:05
编辑 ]
二维随机变量的联合分布函数 不太可能会考有点复杂了。。不过没准今年就考了
呵呵 谢谢你的回复 我都看了 刚刚也在另外一个论坛找到了解释 终于明白了 哈 这种感觉真爽~~
还是有点不理解 为什么在D2区域 t是小于或者等于X呢 ,,,不是应该是斜线以下吗 那就是小于或者等于y了,
我理解了 是我自己搞错了~~
在其他区域,D2.D3等f(x,y)不是等于0么,为什么还有分布函数呢,理解的不深,希望解答一下
麻烦楼主再详细解释下呗,要不把你看到的解释发上来也行啊,我还是有点不懂啊。
你把X Y设置在某个区域 然后看做定点 以这个定点为准 从负无穷到这个点的与D区域相交的面积 就是所求的图形 然后S T分别看做X Y化累次积分 相信你应该会的 呵呵
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2;y>00≤u>