范文一:古诺模型的均衡分析
古诺模型的均衡分析
摘 要:古诺模型是个经典的经济博弈模型,可用来指导经济活动的重要决策问题。重复博弈对经济效率的提高有重要作用。结合古诺模型与重复博弈理论,以两个厂商连续产量的古诺模型为例,讨论古诺模型的均衡分析,包括无约束古诺模型的均衡分析和有约束古诺模型的均衡分析,并以此为基础讨论无限重复古诺模型的均衡分析,以探索提高厂商合作水平,实现较高效率均衡的途径。
关键词:古诺模型;博弈;均衡分析
一、前言
寡头垄断市场是指少数厂商完全控制一个行业的市场结构,是一种普遍存在
的市场。1838年法国经济学家古诺 (Augustin Cournot )最早提出了一个数学模型 ,用以考察一个行业中仅有两个生产厂商的所谓双头垄断市场的情况,研究两个厂商条件下的均衡产量问题,该模型后来被称为古诺模型。该模型假定:寡头市场仅有两个生产厂商,他们生产同质的产品,两个厂商的边际成本为零,两个厂商都掌握市场需求情况,他们都面临共同的线性需求曲线,各厂商根据对手采取的行动,并假定对手继续如此行事来作出自己的决策。
古诺模型是一个经典的经济博弈模型,,即寡头之间通过产量进行竞争。对
其进行研究、分析规律,,可用来指导经济活动中所遇到的重要决策问题。重复博弈揭示了经济环境和经济秩序的长期稳定性,,对经济效率的提高有十分重要的作用。本文将古诺模型与重复博弈结合起来, 研究无限重复古诺模型, 给出其均衡分析。、
二、理论基础
(一)静态博弈
所有博弈方同时或可看作同时选择策略的博弈称为“静态博弈”。
每个博弈方的策略都是针对其他博弈方策略或策略组合的最佳对策,具有这种性质的策略组合,即博弈中的“纳什均衡”。
一致预测性是纳什均衡的本质属性,即如果所有博弈方都预测某个特定博弈结果会出现,那么这个预测结果最终真会成为博弈的结果。在大多数博弈问题中,
纳什均衡是普遍存在的。这意味着纳什均衡是一种基本的分析方法,是分析博 弈和预测博弈结果的中心概念和基本出发点。
(二)动态博弈
博弈方依次选择行为的博弈称为“动态博弈”。
各博弈方的选择会形成依次相连的时间阶段。各博弈方在整个博弈中轮到选
择的每个阶段,针对前面阶段的各种情况作出相应选择和行为的完整计划,以及由其他博弈方的这种计划构成的组合是动态博弈中的博弈方策略。动态博弈的结果包括博弈方采用的策略组合、实现的博弈路径和各博弈方的得益。
子博弈完美纳什均衡在整个动态博弈及它的所有子博弈中都构成纳什均衡。
动态博弈分析的中心内容是子博弈完美纳什均衡分析,子博弈完美纳什均衡
分析的核心方法是逆推归纳法。
(三)重复博弈
重复博弈指基本博弈重复进行构成的博弈过程。基本博弈也称为“原博弈”。
基本博弈一直重复下去的重复博弈称为“无限次重复博弈”。重复博弈需要结合静态博弈和动态博弈的分析方法。
重复博弈的路径是由每个阶段博弈方的行为组合串联而成的。重复博弈中博
弈方的行为、策略选择须考虑真个重复博弈过程得益的总体情况。重复博弈中某博弈方的得益本身始终是常数,则该常数即平均得益。
三、古诺模型的均衡分析
古诺模型分析的是两个矿泉水的生产成本为零的寡头厂商的情况。古诺模型的假定是:市场上只有A、B两个厂商生产和销售相同的产品,他们的生产成本为零;他们共同面临的市场需求曲线是线性的,A、B两个厂商都能准确的了解市场的需求曲线;A、B两个厂商都是在已知对方产量的情况下,各自确定能够给自己带来的最大利润的产量,即每个厂商都是消极的以自己的产量去适应对方已确定的产量。
为零,故图中没有成本曲线。
在第一轮,A厂商首先进入市场。由于生产成本为零,所以,厂商的收益就等于利润。A厂商面临D市场需求曲线,将产量定为市场总容量的1/2,即产量
1?1/2OQ为OQ,将价格定为OP1,从而实现了最大利润,期利润相当
于图中矩形OP1FQ1的面积(因为从几何意义上讲,将矩形是直角三角形OPQ中面积最大的内接矩形)。然后B厂商进入市场。B厂商准确的知道A厂商在留
1?1/2OQ给自己的市场容量为OQ,B厂商也按相同的方式行动,生
产他所面临的市场容量的1/2,即产量为Q1Q2?1/4OQ。此时,市场价格下降为OP2,B厂商获得的最大利润相当于图中矩形Q1HGQ2的面积,而A厂商的利润因价格下降而将减少为OP2HQ1的面积。
在第二轮,A厂商知道B厂商在本轮中留给它的市场容量为3/4OQ。为了
实现最大的利润,A厂商将产量定为自己所面临的市场容量的1/2,即产量的=为3/8OQ。与上一轮相比,A厂商的产量减少了1/8OQ。然后,B厂商再次进入市场。A厂商在本轮留给B厂商的市场容量为5/8OQ,于是,B厂商生产自己所面临的市场容量的1/2的产量,即产量为5/16OQ。与上一轮相比,B厂商的产量增加了1/16OQ。
很清楚,在每一轮中,每个厂商都消极的以自己的产量去适应对方已确定的
产量,来实现自己的最大利润。可以发现,在这样轮复一轮的过程中,A厂商的产量会逐渐减少,B厂商的产量会逐渐增加,最后,达到A、B两个厂商的产量
都相等的均衡状态为止。在均衡状态中,A、B两个厂商的产量都为市场总容量的1/3,即每个厂商的产量为1/3OQ,行业总产量为2/3OQ。。
因此,A厂商的均衡产量为:
.1)/3OQ OQ(1/2?1/8?1/32....?
B厂商的均衡产量为:
.1./)3OQ OQ(1/4?1/16?1/64.....?
行业的总均衡产量为:
1/3OQ?1/3OQ?2/3OQ
以上双头古诺模型的结论可以推广。令寡头厂商的数量为m,则可以得到一
般的结论如下:
每个寡头厂商的均衡产量=市场总容量×1/(m+1)
行业的均衡总产量=市场总容量×m/(m+1)
古诺模型也可以用建立寡头垄断厂商的反应函数的方法来说明。
在古诺模型的假设条件下,设市场的线性反需求函数为:
P?1800?Q?1800??QA?QB?
式中,P为商品的价格,Q为市场总需求量,QA和QB分别为市场对A、B
两个寡头垄断厂商的产品的需求量,即Q?QA?QB。
对A寡头垄断厂商而言,其利润等式为:
πA=TRA-TCA=PQA-O(图为已假定TCA=0)
=[1800-(QA+QB)]QA=1800QA-QA 2-QAQB
A寡头垄断厂商利润最大化的一阶条件为:
??A
?QA?1800?2QA-QB
QA?900?QB
2
(8.6)式就是A寡头垄断厂商的反应函数,它表示A厂商的最优产量是B厂
商的产量的函数。也就是说,对于B厂商的每一个产量QB,A厂商都会作出反
应,确定能给自己带来最大利润的产量QA。
类似地,对于B寡头垄断厂商来说,有
2?B?1800QB?QB?QAQB
???1800?2QB?QA?0?QB
QB?900?QA
2
(8.7)式是B寡头垄断厂商的反应函数,它表示B厂商的最优产量是A厂商
的产量的函数。
联立A、B两寡头垄断厂商的反应函数,便得到如下方程组:
QB
2 QQB?900?A
2 QA?900?
解方程组得:QA=600,QB=600。此即A、B两厂商的均衡产量。可见,每QA?QB?1800?6003个寡头垄断厂商的均衡产量是市场总容量的三分之一,即有
行业的均衡总产量是市场总容量的三分之二,即有:QA?QB?2?1800?12003
将QA=QB=600代入市场及需求函数式,可求得市场均衡价格:P=600。
四、一般的均衡分析
均衡价格(equilibrium price)是商品的供给曲线与需求曲线相交时的价格。也就是商品的供给量与需求量相等,商品的供给价格与需求价格相等时的价格。在市场上,由于供给和需求力量的相互作用,市场价格趋向于均衡价格。如果市场价格高于均衡价格,则市场上出现超额供给,超额供给使市场价格趋于下降;反之,如果市场价格低于均衡价格,则市场上出现超额需求,超额需求使市场价格趋于上升直至均衡价格。因此,市场竞争使市场稳定于均衡价格。
均衡价格在一定程度上反映了市场经济活动的内在联系,特别是均衡价格理论中关于供给的价格弹性和需求的价格弹性的分析,对企业的生产经营决策有重要实用价值。
均衡价格就是消费者为购买一定商品量所愿意支付的价格与生产者为提供
一定商品量所愿意接受的供给价格一致的价格。
(一)均衡价格
均衡价格是指一种商品需求量与供给量相等时的价格。这时该商品的需求价格与供给价格相等称为均衡价格,该商品的需求量与供给量相等称为均衡数量。
(二)均衡价格的形成
均衡价格是在市场上供求双方的竞争过程中自发地形成的。均衡价格的形成也就是价格决定的过程。因此,价格也就是由市场供求双方的竞争所决定的。需要注意的是,均衡价格形成,即价格的决定完全是自发的,如果有外力的干预(如垄断力量的存在或国家的干预),那么,这种价格就不是均衡价格。
(三)需求与供给变动对均衡价格的影响
1.需求变动对均衡价格的影响
需求增加,均衡价格上升,均衡数量增加;需求减少,均衡价格下降,均衡数量减少。
结论是:需求变动引起均衡价格与均衡数量同方向变动。
2.供给变动对均衡价格的影响
供给增加,均衡价格下降,均衡数量增加;供给减少,均衡价格上升,均衡数量减少。
结论是:供给变动引起均衡价格反方向变动,均衡数量同方向变动。
五、结束语
本文旨在研究了古诺模型的均衡分析,把两个厂商条件下的古诺模型拓广到
了一般情形,并进行了认真分析,给出了一般古诺模型的数学表达式,并从理论上证明了均衡解的存在。
参考文献
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范文二:古诺模型的演化分析
ORTHERN
ECONOMY
学术争鸣
古诺模型的演化分析
张旭平林勇
(西北师范大学经济管理学院甘肃兰州730070)
摘要:采用博弈论的研究方法,介绍了在完全信息和不完全信息下的古诺模型,给出了模型的具体解法以及一般性的结论,并对结论进行了对比分析,指出不同模型对结论的不同影响以及在现实经济中的指导意义。
关键词:古诺模型纳什均衡动态博弈完全信息不完全信息
一、引言
古诺模型是早期的寡头模型,它是由法国经济学家古诺在1838年出版的《财富理论的数学原理研究》一书中最先提出的。古诺模型是一个只有两个寡头厂商的简单模型,因此该模型也被称为“双头模型”。这里我们利用博弈论来分析古诺模型,通过比较信息的变化,分析工具变化,并在此基础上对古诺模型作一个一般性的归纳总结。
二、完全信息的古诺模型
在完全信息静态博弈下,古诺模型被假设为:在一个市场上有1、2两家厂商生产同样的产品,如果厂商1的产量为q1,厂商2的产量为q2,则市场总产量为Q=q1+q2。设市场出清价格P是市场总产量的函数P=P(Q)=a-Q。再设两厂商的生产都无固定成本,且每增加一单位产量的边际成本都相等,c1=c2=c,即它们分别生产q1和q2单位产量的总成本分别为cq1和cq2,最后强调两厂商同时决定各自的产量,即他们在决策之前都不知道另一方的产量。根据上述假设,厂商1和厂商2的得益就是他们的各自的利润,分别为:
q*2)是本博弈的纳什均衡,那么(q*1,q*2)必须是最大值问题
2
、max(aq2-q22-q1q2-cq2)的解。
q1aq1-q1-q1q2-cq1)max(q2
解该方程组得到唯一的解q1=q2=(a-c)/3。所以,策略
组合((a-c)/3,(a-c)/3)是本博弈的纳什均衡。根据上述分析,模型中独立同时作产量决策,以自身最大利益的两厂商,都会选择生产(a-c)/3单位,最终市场总产量为2(a-c)/
3,市场价格为(a+2c)/3,双方各自得益(利润)πc=(a-c)2/9。为了对上述博弈结果作效率评价,需要计算一下完全垄断厂商的最优产量与最大利润。设总产量为Q,则总得益
π=P(Q)Q-cQ=aQ-Q2-cQ,求出使得总得益最大的总产量
Qm=(a-c)/2,最大得益πm=(a-c)2/4。此时若产量由两个厂商平均生产,则两厂商的利润都会升高到(a-c)2/8。将此结果与两厂商独立决策,追求自身而不是共同利益最大化的博弈相比,不难发现此时产量较小,而利润却较高。因此,如果两个厂商更多地考虑合作,联合起来决定产量,比只考虑自身利益独自做出决策而得到的利益要高。
有没有一种机制或约束能使两个厂商实现((a-c)/4,
(a-c)/4)的产量组合呢?答案是否定的。在独立作出决策,缺乏协调机制的两个寡头之间,上述合作的结果并不容易实现,即使实现了也是不稳定的。因为两个厂商各生产一半实现最大总利润的产量组合((a-c)/4,(a-c)/4),不是该博弈的纳什均衡策略。在这个策略组合下,双方都可以通过独自改变自己的产量而得到更高的利润。比如厂商
π1=q1P(Q)-c1q1=aq1-q12-q1q2-cq1π2=q2P(Q)-c2q2=aq2-q22-q1q2-cq2
策略(产量)。
(1)(2)
可以看出,两博弈方的得益(利润)都取决于双方的那么怎样才能找出这个博弈的纳什均衡策略组合呢?我们根据纳什均衡的定义,具有相互是最优对策性质的各博弈方策略组成的策略组合。因此,如果假设策略组合(q*1,
1维持(a-c)/4的低产量,厂商2提高自己的产量到(a-c)/3,此时各自的利润为5(a-c)2/48和5(a-c)2/36,增产对厂商来说是有利的。所以两厂商迟早都会增产。只有达到纳
30
2010年第1期
什均衡的产量水平时才稳定下来。这实际上就是一种“囚徒困境”。如果将遵守限额还是突破限额作为厂商面临的选择,则构成了下图所示的得益矩阵表示的博弈,不难看出此博弈的纳什均衡是(突破,突破)。
厂商2
厂商1
三、不完全信息静态博弈的古诺模型
在讨论完全信息古诺模型时,我们假设厂商相互之间完全了解对方的产量和成本,而市场价格又是统一的,因此博弈方的得益情况是共同知识。但现实中各博弈方的得益根本就不是共同知识,例如一个厂商对另外一个厂商有关其利润、产量和成本等商业秘密根本就一无所知,厂商之间的信息是不对称的。所以我们有必要对不完全信息静态博弈的古诺模型作一些分析。
不完全信息古诺模型假设:两寡头进行同时决策的产量竞争,市场需求为P(Q)=a-Q,其中Q为市场总产量(Q=q1+q2)。厂商1的成本函数为c1=c1(q1)=c1q1,即无固定成本,边际成本为c1,这是两厂商的共同知识。而厂商
2的成本有两种可能的情况:一种是c2=c2(q2)=c2Hq2,另一种是c2=c2(q2)=c2Lq2,且c2H>c2L。厂商2自己知道实际是哪一种,厂商1只知道前一种情况的概率是θ,后一种情况的概率是1-θ。
现在我们对这个静态贝叶斯博弈作一些分析。通常来说,厂商2在边际成本较高时会选择较低的产量,而在边际成本较低时会选择较高的产量。厂商1在做出自己的产量决策时,当然会考虑厂商2的这种行为特点。设厂商1的最佳产量为q*1,厂商2边际成本为c2H时最佳产量选择为q*2(c2H),边际成本c2L时最佳产量选择为q*2(c2L)。则根据上面的假设,q*2(c2H)应满足max[(a-q2
q*1-q2)-c2H]q2(c2H);
q*2
(c2L)应满足
max[(a-q
q*2
1-q2)-c2L]q2(c2L
);q*1应满足
max{q2
θ[a-q1-q*2(c2H)-c1]q1+(1-θ)[a-q1-q*
2(c2L)-c1]q1}。上述三个最大值问题的一阶条件为:
q*2(c2H)=(a-q*1-c2H)/2,q*2(c2L)=(a-q*1-c2L)/2和
q*1=1/2{θ[a-q*2(c2H)-c1]+(1-θ)[a-q*2(c2L)-c1]};解此方程组得:
q*2(c2H)=(a-2c2H+c1)/3+(1-θ)(c2H-c2L)/6
(3)
学术争鸣
ORTHERN
ECONOMY
q*2(c2L)=(a-2c2L+c1)/3+(c2H-c2L)/6(4)和
q*1=(a-2c1+c2H+(1-)c2L)/3
(5)
于是,策略组合(q*1,q*2(c2H))(q*1,q*2(c2L))是这个博弈的贝叶斯—纳什均衡。用这个均衡产量q*1、q*2(c2H)和q*2(c2L)与完全信息古诺模型中的均衡产量(a-2c1+c2)/3和(a-2c2+c1)/3相比较,不难发现当c2=
c2H时,q*2(c2H)大于q*2,当c2=c2L时,q*2(c2L)小于q*2,而厂商1的均衡产量q*1比完全信息时的均衡产量更大还是更小,则取决于厂商2期望成本的大小,也就是取决于厂商2高低两种成本的数值和各自出现的概率,变化的方向现在尚不能确定。而厂商2的均衡产量与完全信息时均衡产量有上述差异的原因,在于厂商2决定自己的产量时,必须考虑到厂商1不知道厂商2的真实成本,也就无法根据厂商2的真实成本做出决策。
四、利用完全且完美信息的动态博弈来分析古诺模型以寡占的斯塔克博格模型为例。与同时决策共同选择产量的古诺模型一样,斯塔克博格模型的决策内容也是产量,但唯一的区别是两厂商中一方较强。因此它们的产量决策是由较强的一方先进行选择,较弱的一方则根据较强的一方的产量选择自己的产量。由于这两个厂商的选择不仅有先后之分,而且后选择的厂商在选择时知道前一个厂商的选择,因而是一个动态博弈的问题。
设模型中的两个寡头,分别为厂商1和厂商2,他们的策略空间都是[0,Qmax]中的所有实数,其中Qmax可看作不至于使价格降到亏本的最大限度的产量;厂商1是领头厂商,因此他先选择,厂商2追随其后;设价格函数为
P=P(Q)=a-Q,(其中Q=q1+q2),两厂商的边际生产成本为c1,c2,且没有固定成本。
由以上假设,得出两厂商的得益函数为:
π1=q1P(Q)-c1q1=(a-c1)q1-q1q2-q12(6)π1=q2P(Q)-c2q2=(a-c2)q2-q2q1-q22
(7)
根据逆推归纳法的思路,先分析第二个阶段厂商2
的决策。
令
=a-c2-q1-2q2=0,得q2=(a-c2-q1)/2。(8)
代人(6)式,得π2=(aq1-2c1q1+c2q1-q12)/2。再令
=(a-2c1+c2-2q1)/2=0,
得q1=(a-2c1+c2)/2,
(9)
代人(8)式,得q2=(a-3c2+2c1)/4
这就是此博弈的均衡解。
2010年第1期
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ORTHERN
ECONOMY
学术争鸣
厂商1在第一阶段选择(a-2c1+c2)/2单位产量,厂商2在第二阶段选择(a-3c2+2c1)/4单位产量,这是运用逆推归纳法分析的策略组合,也是这个动态博弈的唯一子博弈纳什均衡。
将上述结果与两寡头同时选择的古诺模型的结果进行比较,不难发现先后选择的动态博弈与同时选择的静态博弈确实是有差别。上述斯塔克博格模型除了博弈方的选择次序以外,其他方面都与古诺模型完全相同,但斯塔克博格模型的产量大于古诺模型,价格低于古诺模型,总利润小于古诺模型。不过其中厂商1的得益却大于古诺模型中两个厂商的得益,更大于本模型中厂商
2的得益。
五、古诺模型的无限次重复博弈和支持垄断产量的条件
前面我们主要分析了古诺模型的一次性博弈,得知一次性博弈存在唯一的纳什均衡((a-c)/3,(a-c)/3),该产量也称为“古诺产量”,用qc表示。如果市场上只有一家厂商垄断,那么最佳垄断产量为Qm=(a-c)/4,纳什均衡的总产量2(a-c)/3大于垄断产量(a-c)/2。如果两厂商各生产垄断产量的一半,则两厂商的得益都会增加。但这在一次性静态博弈中无法实现,那么在无限次重复的古诺模型中能否实现吗?
答案是肯定的。首先,可以证明在无限次重复古诺模型中,当贴现率满足一定条件时,两厂商都采用下列触发策略构成一个子博弈完美纳什均衡:
在第一阶段,生产垄断产量的一半Qm/2;在第t阶段,如果前t-1的结果都是(Qm/2,Qm/2),则继续生产Qm/
2,否则生产古诺产量qc。双方都采用上述触发策略的博弈路径为每阶段生产产量(Qm/2,Qm/2),双方每阶段的得意都是m/2。
设厂商1已采用该触发策略。
第一,如果厂商2也采用该触发策略,则每期得益
πm/2,无限次重复博弈总得益的现值为:
πm/2(1+δ+δ2+…….)=πm/2(1-δ)
第二,如果厂商2偏离上述触发策略,采用偏离产量
qd,则qd必须满足:
max[(a-Qm/2-qd)qd-cqd]=[(-qd2+(a-Qm/2-c)qd]解之得q2=a/2-Qm/4-c/2。此时他的得益为πd,高于不偏离触发策略时该阶段的得益。但是从第二阶段开始,厂商1将报复性地永远采用古诺产量qc,这样厂商2也被迫永远采用古诺产量,以后各阶段的得益为πc。
32
2010年第1期
在这种情况下厂商2总得益的现值是:
πd+πc(δ+δ2+…….)=πd+πcδ/(1-δ)
当πm/2(1-δ)≥πd+πcδ/(1-δ)时,上述触发策略是厂商2对厂商1同样触发策略的最佳反应,否则偏离时他的最佳反应。
根据以上分析,我们可以得知古诺模型已化为在两种策略(垄断产量Qm/2和偏离产量qd之间)的囚徒困境博弈。因此,当δ满足πm/2(1-δ)πd+πcδ/(1-δ)时,双方都采用的触发策略是一条子博弈完美纳什均衡。当δ满足πm2(1-δ)πd+πcδ/(1-δ)时,偏离是厂商2对厂商1触发策略的最佳反应,最后两个厂商都采用古诺模型产量组合(qc,qc)来生产。
因此,在无限重复古诺模型中,对于垄断产量在一次性静态博弈及有限次重复博弈中不可能实现的均衡,通过构造合适的触发策略,可以提高厂商合作水平,实现较高效率均衡。
六、结论
以上介绍的博弈模型,从完全信息到不完全信息,从静态博弈到动态博弈,假设的条件变化了,其结论也随之发生变化。这四种模型在现实经济中都有很广泛的应用。以生产型企业集群为例,运用模型可以指导和解决企业之间各自产量决策的竞争性博弈问题。再比如工业园和开发区,实质上也是若干企业的集群,很多园区由于忽视其内部企业的合作,过度竞争,最终衰落下来。这一点在完全信息下的古诺模型中有很好的反映。斯塔克伯格的寡头竞争模型则显示了抢占商机的重要性,产品、市场信息掌握得越多,企业在市场竞争中越能占据主动,赢得商机。
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范文三:古诺模型的综合应用
古诺模型的综合应用杜典初(
430070
)
—斯塔克
博格的
在集群企业之
O225
A
1673-0143
(
2005
)
01-0011-031
古诺模型的假定假定某市场有n
P
QP=PQ=ai=1
nqi(
a为一常数
)
n
n个厂商如何做出
n个厂商就是 其中的n
假设qi为第iP为市
i的单位生产成本为cii 的得益设为uiui=qiai=1 nqiciqi
i的得益不仅取决于他早已既定的单位 成本ci和产量决策qi 商的产量决策12
古诺模型的主要类型2.1
以
假设厂商1和厂商2各自产品的产量分别为 q1和
q2P=PQ=asQ=aq1q2 两厂商的产品单位生产成本为c1、c2
ui= qiaq1q2ciqi(
i=1,2
)
u1=
q1aq1q2c1q1=ac1q1q1q2q1
2
u2=
q2aq1q2c2q2=ac2q2q2q1q2
2
令
u1q1=ac1q22
q1,
(
1
)
u2q2=ac2q12
q2,
(
2
)
联立
(
1
)
(
2
)
解得
q1=
a+c22c13
q2=
a+c12c23
(
3
)
这就是此古诺模型的唯一Nash2.2 不完全信息的古诺模型不完全信息的古诺模型2是静态贝叶斯博弈
各自的利益往往都会将自己生产销售的有关情况
情况.
33
卷第
1
期
2005
年
3
月
江汉大学学报
(
自然科学版
)
JournalofJianghanUniversity
(
NaturalSciences
)
Vol.33No.1
Mar.,2005
2004
10
15
(
1978
)
12
33
在两厂商模型中只要有一个厂商对另一个厂商的
场出清价为PQ=aQQ 也就是两厂商各自产量
q1和
q2之和.厂商1的
成本函数为C1=C1q1=c1q1 际成本为c1
2的成本有两种
C2=C2q2=cHq2 是C2=C2q2=cLq2cH>cL 高低两种情况.厂商2 厂商1 况的概率为12是该市
1对厂商2的生产成本
1
2在边际成本较高的cH时会
cL1在制定自己的产量决
策
2 厂商2
u2=a
q1q2cHq2,当c2=cHu'2=aq1q2cHq '2,当c2=cL厂商1
u1=a
q1q2c1q1+1aq1q
'2c1q1
令
u2q2=0
u'2q
'2=0
u1q1=0
q2=
a
q1cH2
q
'2=
a
q1cL2
q1=
1
2
a
q2c1+1aq
'2c1
解得
q1=
a2c1+cH+1cL3
q2=
a2cH+c13+
1
6
cHcLq
'2=
a2cL+c136cHcL, (
4
)
2.3
一模型可以认为是古诺模型的推广3 设模型中的两个寡头为厂商1和厂商2 们的
q1
q20,Qmax中
Qmax可看作不至于使价格降
1
2追随其后.设价格函数为P
=PQ=a
q1q2c1 c2
u1=
q1p
c1q1=
q1aq1q2c1q1=ac1q1q1q2q1
2,
(
5
)
u2=
q2p
c2q2=ac2q2q2q1q2
2.
(
6
)
厂商2 令
u2q2=ac2q12
q2=0,得q2= ac2q12. (
7
)
代入
(
5
)
u1= a
q12c1q1+c2q1q1
22
.
再令
u1q1=
1
2
a2c1+c22 q1=0
得
q1=
a2c1+c22 (
8
)
代入
(
7
)
q2=
a3c2+2c14.
(
9
)
3
场出清价格p=8Q.
(
i
)
当边际成本c1=c2=2
(
3
)
式得
完全信息古诺模型解
q1=2
q2=2
,
u1=4
u2=4
从总产量Qu=Q8Q2Q =6QQ2Q*=3u*=9.与两厂商独
3<2+2>2+2>
9>4+4
2005
年第
1
13
1.5 4.5
的中小企业依据专业分工和协作建立起来的组
(
ii
)
将c1=2,=
1
3
,cH=3,cL=1代入
(
4
)
q1= 17
9
q2= 14
9
q
'2= 23
9
,
u1= 289 81
u2= 196 81
u'2=
529 81
,
这就是当=
1
3
(
iii )
将c1=c2=289
q1=3q2=1.5
,
u1=4.5
u2=2.25
.
型的总产量大于完全信息下的静态模型 (
4.5>4
)
不过其中厂商14.5
u1=u2=4 中厂商22.25 模型中两厂商所处地位的不对称性的作用5.因 为厂商1 厂商2必然会根据自己的选择进行理性选择这一
4
过产量进行竞争的古诺模型以及斯塔克博格的动
[
1
]
[
M
]
1999
[
2
]
[
M
]
2002
[
3
]
FudenbergD,TiroleJ.GameTheory
[
M
]
.MITPress
1991
[
3
]
[
M
]
1999
[
4
]
[
M
]
1996
ApplicationofCournotModelDUDian-chu(
ManagementSchool
WuhanUniversityofTechnology
Wuhan430070
China
)Abstract:IntroducestwokindsofCournotmodelsundercompleteandincompleteinformation ofgametheory,anditsextensionStackelbergmodel.Givesoutthesolutionsandcommonresults
ofthefirstandthethirdmodel.Usingexamplestoillustratetheapplicationsofeachmodelamong
enterprises,throughanalysisofcomparison,pointsoutthedifferentresultsfromdifferentmodel
anditssignificancetoenconomy.
Keywords:Cournotmodelcompetitiveandcooperativegamescompleteandincomplete
information
范文四:《模型设定》公式推导
第一部分:简化单位面积产出模型(即原文的公式(1)到公式(2)过程)
现假定单位面积土地产出f i 的基本模型【模型设定的经济意义可参考Ciccone & Hall,(1996)以及范剑勇(2006)】为:
?Q ?α
f i (x i , Q i , A i ) =Ωi x i i ?
?A i ?
(λ-1) (1)
方法一:
因假定第i 地区总面积为A i ,由此可得到第i 省(市)的总产出Q i 为:
(λ-1)
?
α?Q ?
Q i =A i f i =A i ?Ωi x i i ?
??A i ??
λ
?
α(λ-1) λ(λ-1)
?=Ωi x i Q i A i ??
λ-1
(2)
整理(2)式得到:
1
1
Q i λ=A i λΩi x i (3)
α
进而由(3)式可得:
Q i
α
? (4) =?Ωx i i ??A i
λ
将(4)式代入到(1)式右端,即可得到:
?Q ?α
f i (x i , Q i , A i ) =Ωi x i i ?
?A i ?
(λ-1) λ
=Ωi x i
α
{
?Ωi x i ???
α
λ
}
(λ-1) α
?=?Ωx ?i i ? (5)
λ
即:
α
? (6) f i (x i , Q i , A i ) =?Ωx i i ??
λ
方法二:
直接从(1)式可以看出,左边为单位面积土地产出f i ,右边式子当中为单位面积土地产出,即:
f i =
Q i A i
Q i A i
表示总产出除以总面积,也
(7)
将(7)式代入到(1)式右端得到:
?Q ?α
f i =Ωi x i i ?
?A i ?
(λ-1) λ
=Ωi x i f i
α(λ-1) λ
(8)
整理(8)即可得到:
α?f i (x i , Q i , A i ) =?Ωx ?i i ? (9)
λ
从方法2来看,式(1)的设定确实需要仔细考量其经济含义是否合理。
第二部分:将单位面积产出模型转化为人均产出模型,完成论文的理论模型构建(原文公式(2)到公式(6)过程)【本部分公式重新编号】
现在假定要素x i 由劳动力要素n i 和资本要素k i 组成,且组成方式为:
x i =n i k i
β
1-β
(1)
因为x i 为单位土地面积要素量,不妨假定劳动力要素n i 和资本要素k i 也为单位土地面积量,则:
n i K i i =
N A ,k i =
i
A i
其中,N i 和K i 分别为第i 省(市)总面积A i 上的劳动和资本要素总量。
将(1)式和(2)式代入到简化的单位面积土地产出公式f ) =?Ωx α
λ
i (x i , Q i , A i ?i i ??
当中,得到: ?αλ
?N ?β?K ?1-β
?
f x , A λ
i (i , Q i i ) =Ωi ? i ? ??? i ??A ??
i A i ?
??
由此人均产出Q i N 为:
i
αλ
Q ?
??
i =A i f i =A i ?λ
?N ?β?K ?1-β?
N N ?Ωi ???
i i N i ?
?
? i ? i ??A ?i ??A i ?
?? ?
??
化简式子(4)可得到:
Q ?
??
αλ
?
i A i ??N ?β?K ?1-βN =?Ωλ
i ????=Ωλαλ(1-β) αi N i ?
?
? i ? i ??A ?i ??A i ?
?i K i
N βλ-1A 1-αλ
i i ?
?? αλ(1-β)
αλ(1-β =Ωλ
?K i ?)
-αλ
i N αλ-1
A 1=Ωλ
?K ???αλ-1
?N ?
i i N i i ?
i
i
?N ?
i ??A ?i ?
即人均产出的基本模型为:
Q αλ(1-β)
i
=λ
?K ??N i ?αλ-1
N Ωi i ? i
?N i ?
?A ?i ?
对式(6)两端取对数,得到:
ln Q i
N =λ ln Ω?K ??N ?
i +αλ(1-β) ln i ?+(αλ-1) ln i A ? i
?N i ??i ?
因为α, β, λ, Ωi 均为常数,故根据式(7)表述的数量模型可设定如下计量模型:
ln
Q i
N =b ln ?K ?? i ?+b N i ?
0+b 12 ln ?+εi i
?N i ??A i ?
关于资本分解为人力资本和物质资本并以何种方式进入新模型,大家可自行探讨!
2)
3)
4) 5)
6)
7) 8) ( ( ( ( ( ( (
范文五:单室模型公式推导
一、静脉注射(iv)
X K oX X:静注剂量 K:一级消除速度常数 o
dX,,KXXX(0), 0dt
XX(0)0SXXKXX,,,,,,(0)拉氏变换得 SKSK,,
Kt,,1Kt,LXXe,XXe,逆拉氏变换得,即得 ,,00
XK,Kt?,,,,,,loglog CCeCtC002.303V
二、静注时尿药浓度法求药动学参数 从血药X变成尿药X是由肾排泄速度常数K控制的。 ue
X:t时间尿中累积药物量 u 均为原形药物 X:t时间体内药物量
K:肾排泄速度常数 e
KXe u X0 X iv K Y f
dX,,KX XX(0), 0dt
dXu,KXX(0)0, eudt
SXXKX,,,(0)拉氏变换得
SXXKX,,(0) uue
XX(0)0SXXKXX,,,,,,(0) SKSK,,
KXXKXKX,(0)euee0X,,,u SKSSSK,,,,
KXKXKX,,KtKteee000Xee,,,,1逆拉氏变换得 ,,u,KKK
1
dXu,KX另对于尿药速率可表示为 edt
dXKt,uKt,,KeXeXXe,因,故 00dt
三、静脉输注(静脉滴注)
dXK K 0 X00,,,KKX,,0X dt
KK00SXKXX,,,,拉氏变换得 K:滴注速度常数 0SSSK,,,
KKK,,KtKt000Xee,,,,1逆拉氏变换得 ,,KKK,
KX,Kt0Ce?,,,1,, (I) VKV
稳态血药浓度(Steady ,KtK0e,0当t??时, 得C, ssState)或称为坪浓度 KV
四、血管外给药
Ka K 体内 吸收部位
X Xa dXa,,KX (1) X(0) = FX a0aadtF为血管外给药后给药剂量X的吸收分数。 0dX,,KXKX (2) X(0) = 0 aadt
FX0拉氏变换得 (0) SXXKXX,,,,,aaaaaSK,a
SXXKXKX,,,(0) aa
KXKFXaaa0,,,X SKSKSK,,,,,,,a
KFXKFXKFX,,KtKt,,KtKtaaa000aa,,,,Xeeee,,逆拉氏变换得 ,,,KKKKKKaaa
2
KFX,Kt,Kta0a,,Cee? ,,(),VKKa
(一)达峰时间和血药峰值(t & C) maxmax
对血浓公式求导数,并令等于零。
,,,FXKdC,Kt,Kt0aa0ee,,, ,,,,dtVKK,,,a,,
,Kt,KtaKeKeKKtKKt,,,,,lnln则有 aaa
lnlnKK,at,得 maxKK,a
K,,KKa
FXFXK,,,Kt00amax,,Ce max,,VVK,,(二)残数法求K与K a
KFX,Kt,Kt0aa,,Cee (I) ,,(),VKKa
-Kat当t充分大且K ? K时,e首先趋于0,于是(I)式变为(II)式 a
KFX,Kta0,Cet (II) ,VKK,,a
(II)式两边取对数得
KFXKa0loglogCt,,, t2.303VKK,,,a
以logC , t作图,由slope求出K(回归消除相内尾段直线相上t
的四、五点,即取t充分大的C数据) t
(II)式减去(I)式得
KFX,Kta0a,CeCCC,, (III) rrt,VKK,,a
3
(III)式两边取对数得
KKFXaa0loglogCt,,, r2.303VKK,,,a
以logC , t作图,由Slope求出K(残数线的斜率求K) raa
KFX,Kta0,,,,CCCeC rt,VKK,,a
,,KFX,Kta0Ce为t时间尾段直线相(或其外推线)上的数值,,,tVKK,,,a,,
而C则为t时间实测的血药浓度值,两者的差值C称为残数值。 r
以logC , t作图,由slope求出K(回归残数线上的四~五点) ra
4