范文一:函数奇偶性的判定方法
函数奇偶性的判定方法
山东 刘海
函数奇偶性的判定方法较多,下面举例介绍常见的判定方法.
1.定义域判定法
例1
判定f (x ) =(x -1)
解:要使函数有意义,须x -2≥0,解得x ≥2,
定义域不关于原点对称,∴原函数是非奇非偶函数.
评注:用定义域虽不能判定一个函数是奇函数还是偶函数,但可以通过定义域不关于原点对称,来否定一个函数具有奇偶性.
2.定义判定法
例2 判断f (x ) =x +a +x -a 的奇偶性.
解: 函数f (x ) =x +a +x -a 的定义域为R ,
且 f (-x ) =-x +a +-x -a =-(x -a ) +-(x +a ) =x -a +x +a =f (x ) , ∴函数f (x ) 是偶函数.
评注:在定义域关于原点对称的前提下,可根据定义判定函数奇偶性.
3.等价形式判定法
例3
判定f (x ) =的奇偶性.
解: f (x ) 的定义域为R ,关于原点对称,当x =0时,f (x ) =0,∴图象过原点.
f (-x ) (1+x 2) -(x +1) 2
又 x ≠0时,==-1,∴f (-x ) =-f (x ) . 22f (x ) (1+x ) -(x -1)
又f (0)=0,∴f (x ) 为奇函数.
评注:常用等价变形形式有:若f (x ) +f (-x ) =0或f (-x ) =-1,则f (x ) 为奇函数;f (x )
若f (-x ) -f (x ) =0或
4.性质判定法 f (-x ) =1,则f (x ) 为偶函数(其中f (x ) ≠0). f (x )
例4 若a >0,f (x )(x ∈[-a ,a ]) 是奇函数,g (x )(x ∈R ) 是偶函数, 试判定?(x ) =f (x ) g (x ) 的奇偶性.
解:在f (x ) ,g (x ) 的公共定义域[-a 任取一个x ,则?(-x ) =f (-x ) g (-x ) ,a ]内,, f (x ) ,g (x ) 分别是奇函数和偶函数,
∴f (-x ) =-f (x ) ,g (-x ) =g (x ) .
∴?(-x ) =f (-x ) g (-x ) =-f (x ) g (x ) =-?(x ) .
∴?(x ) 在[-a ,a ]上为奇函数.
评注:在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下:①两个偶函数的和、差、积都是偶函数;②两个奇函数的和、差是奇函数,积是偶函数;③一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
范文二:判断函数奇偶性的方法
如何判断一个函数的奇偶性 代数判断法
先判断定义域是否关于原点对称,若不对称,即为非奇非偶,若对称,f(-x)=-f(x)的是奇函数 f(-x)=f(x)的是偶函数。
几何判断法
关于原点对称的函数是奇函数,关于Y轴对称的函数是偶函数。 如果f(x)为偶函数,则f(x+a)=f[-(x+a)]
运算法则
(1) . 两个偶函数相加所得的和为偶函数.
(2) . 两个奇函数相加所得的和为奇函数.
(3) . 一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.
(4) . 两个偶函数相乘所得的积为偶函数.
(5) . 两个奇函数相乘所得的积为偶函数.
(6) . 一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.
(7).奇函数一定满足f(0)=0(因为F(0)这个表达式表示0在定义域范围内,F(0)就必须为0)所以不一定奇函数有f(0),但有F(0)时F(0)必须等于0,不一定有f(0)=0,推出奇函数,此时函数不一定为奇函数,例f(x)=x^2.
(8)定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)=0;
—*—因为定义域在R上,所以在x=0点存在f(0),要想关于原点对称,在原点又只能取一个y值,只能是f(0)=0。
(这是一条可以直接用的结论:当x可以取0,f(x)又是奇函数时,f(0)=0)。
(9)当且仅当f(x)=0(定义域关于原点对称)时,f(x)既是奇函数又是偶函数。
(10) 在对称区间上,被积函数为奇函数的定积分为零。
范文三:函数奇偶性的判断方法
函数奇偶性的判断方法
(周口卫生学校 马爱华 466000)
摘要:本文由两个高考题来验证判断函数奇偶性的三种常见方法:1、利用奇偶函数的定义来判断(这是最基本,最常用的方法);2、用求和(差)法判断;3、用求商法判断。
关键词:奇函数 偶函数 定义域 求和(差)法 求商法
函数的奇偶性是函数的一个重要的性质,其重要性质体现在它与函数的各种性质的联系之中,那么,怎样来判断函数的奇偶性呢?
函数的奇偶性的判断应从两方面来进行,一是看函数的定义域是否关于原点对称(这是判断奇偶性的必要性)二是看f(x)与f(?x)的关系。判断方法有以下三种:
1、利用奇偶函数的定义来判断(这是最基本,最常用的方法) 定义:如果对于函数y=f(x)的定义域A内的任意一个值x, 都有f(-x)=-f(x)则这个涵数叫做奇函数
f(-x)=f(x) 则这个函数叫做偶函数
2、用求和(差)法判断
若f(x)?f(?x)?0(f(x)?f(?x)?2f(x))则f(x)为奇函数
若f(x)?f(?x)?0?f(x)?f(?x)?2f(x)? 则f(x)为偶函数
3、用求商法判断
若
若f(?x)??1?f(x)?0?则f(x)为奇函数 f(x)f(?x)?1?f(x)?0? 则f(x)为偶函数 f(x)
例1、判断函数f(x)?lg?x2?x的奇偶性(对口升学07年高考题) 解法一(定义法)
函数的定义域为R,关于原点对称
?f(?x)?lg?x2?x ??
==lg1?x?x2?lg?x2?x??1
=
?x) ??f(x)
?f(x)为奇函数
解法二(求和(差)法)
?f(x)?f(?x)?lg?x2?x?lg?x2?x
?lg?x2?x?x2?x
=lg1?0
?f(x)为奇函数 ????
解法三(求商法) 2f(?x)lg?x2?x?x2?x?lg?x?x ????2f(x)lg?x2?xlgx?xlg?x2?xlg1
??1(x?0)
?f(x)为奇函数
例2判断函数f(x)?x??
解法一(定义法) 11???的奇偶性(对口升学08年高考题) x?2?12?
函数的定义域为x?0的全体实数,关于原点对称
?2x1?1??1? ?f(?x)??x??x????x??x??2??2?12??1?2
?2?2x?1?2x??2x?1???x????x?xx?2(1?2)2(1?2)????
?2x?1??x??x2(2?1)??
1??1而f(x)?x?x????2?12?
?f(?x)?f(x)
?f(x)为偶函数?2?2x?1?x???x?2(2?1)??1?2x?x?x??2(2?
解法二(求和(差)法)
1??1?f(x)?f(?x)?x?x?? ?2?12?
xxx?2xx?x???x22?121?2
x?x?2x
???x 2x?12x?1
x(1?2x)??x??x?x?02x?1
?f(x)为偶函数
解法二(求商法)
xx?2x1?1??12121?????x??x????x??x?12?x1?2f(?x)2?12??? ?????1111111?f(x)?1???x?x??2x?122x?122x?122?2?1?
2?2x?2x?1
2x?12(2x?1) ??x?1 x2?2?12?1
2(2x?1
?f(x)为偶数函数
例3已知f(x)?0是定义在R上的函数,试判断f(x)的奇偶性
解:f(x)的定义域为R,关于原点对称
?f(?x)?0?f(x)
?f(x)为偶函数
又?f(?x)?0??0??f(x)
?f(x)为奇函数
?f(x)为既奇偶函数
由例3可知,确实存在既是奇函数又是偶函数的函数,这种函数的值恒为零。
因此,函数可分为四类:
1、奇函数(非偶函数)
2、偶函数(非奇函数)
3、既是奇函数又是偶函数(既奇又偶函数)
4、既不是奇函数又不是偶函数(非奇非偶函数)
另外,我们还可以利用函数的图象来判断函数的奇偶性。
偶函数 ? 其图象关于y轴对称
奇函数 ? 其图象关于原点对称
从上面两个等价命题可以得出:奇函数在原点两侧的单调性相同(即同增同减);偶函数在原点两侧的单调性相反(即左增右减或左减右增)
因此,我们也可以从函数的图象来判断函数的奇偶性,进而解决有关奇偶性的问题。
参考文献:
[1]《数学》(基础模块)上册 中等职业教育课程改革国家规划教材 2012年
[2]《数学》河南省职业技术教育教学研究室 编
2013年河南省中等职业学校对口升学考试复习指导
范文四:巧用函数的奇偶性、对称性求函数的周期
巧用函数的奇偶性、对称性求函数的周期
函数的奇偶性、对称性、周期性在几年的高考中不断出现~也是教材中的重点内容~单独的拿出其中的一个来很多学生都能解决相关问题~但把四者放在一块就成了学生的一个难题~为此我找了一个与该问题相关的综合例子~或许能让学生从中受益。
xa,已知函数为奇函数~且其图像关于直线对称~求该函数的周期. fx()
xa,分析:关于直线对称 fx()
? faxfax()(),,,
x 即,以代替上式中的, faxfx(2)(),,,ax,
又为奇函数~所以 fx()fxfx()(),,,
故fxafx(2)(),,,
则fxaafxafx[(2)2](2)(),,,,,,
即fxafx(4)(),,
? fx()的最小正周期为 Ta,4
xa,变式:已知函数fx()为偶函数~且其图像关于直线对称~求该函数的周期.
xa,分析:fx()关于直线对称
?faxfax()(),,,
x 即faxfx(2)(),,,,以代替上式中的, ax,
fx()fxfx()(),, 又为偶函数~所以
?fxafx(2)(),,
?fx() 的最小正周期为 Ta,2
小结:虽然函数的对称轴没变~但奇偶性发生了变化~周期就不一样了.
RRfx()gx()典例分析:已知函数为上的偶函数~是上的奇
地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话:029-86570103
第 1 页 共 2 页
函数~且~若~则 gxfx()(1),,f(0)2,f(2008),
解析: gxfx()(1),,
? gxfx()(1),,,,
又是奇函数 gx()
? gxgx()(),,,
故 fxfx(1)(1),,,,,
R 又为上的偶函数 fx()
?,,,,fxfx(1)(1)
?,,,,fxfx(1)(1)
x 以代替上式中的得 x,1
fxfx(2)(),,,
?,,,,,,fxfxfx[(2)2](2)()
?fx()的最小正周期为 4
故ff(2008)(0)2,,
xa, 注:已知函数的奇偶性、对称性求函数的周期~首先根据对称轴
xfaxfax()(),,,写出通式~然后以代替前式中的得ax,
faxfx(2)(),,,f(,x)f(x)~再利用奇偶性写出与的关系~从而求得周
期。
地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层 电话:029-86570103
第 2 页 共 2 页
范文五:抽象函数奇偶性的又一证明方法
2003年第19期 数学通讯21
抽象函数奇偶性的又一证明方法
郭 松
(荆州市沙市七中,湖北 434000)
中图分类号:O12-42 文献标识:A 文章编号:0488-7395(2003)19-0021-01 抽象函数奇偶性的证明往往是同学感到困难问题之一,一般方法是通过对f(x)和f(-x)的性质的探讨加以证明.笔者在教学中得到一种新颖的方法,介绍如下:
引理 任意一个函数f(x)可表示为一个偶函数Υ(x)和一个奇函数g(x)之和(f(x)的定义域关于原点对称).
证 设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),
(1)则 f(x)=Υ(x)+g(x)
f(-x)=Υ(-x)+g(-x)
)=Υ(x)-g(x)
由(1),(2)得:
,g)Υ(x)=
2
经检验Υ(x),g()满足题意,故引理成立.
例1 已知函数定义域是R,且对任意x,y∈R有f(x+y)=f(x)+f(y),判断函数的奇偶性.
证 设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),
由引理得:
==Υ(x)=
222
∵f(x+y)=f(x)+f(y),取x=y=0得
f(0)=0,
∴Υ(x)=0,∴f(x)=g(x).
因为g(x)为奇函数,所以f(x)为奇函数.例2 若函数y=f(x)对任意的实数Α,Β满足
)+f(Β)=2f()f(),f(x)不恒为零,试f(Α
22
证明y=f(x)为偶函数.
证 设f(x)=g(x)+Υ(x,其中g(x)为奇函数,Υ(x),
(3)f()=(x)+xx)(-+(-x)
(4)=Υ(x)-g(x)
(3)+(4),得
2Υ(x)=f(x)+f(-x)
)=2f(0)f(x).2)+f(Β)=2f()f(),取Α∵f(Α=Β=22
2
t得
=2f(
)f(
2f(t)=2f(t)f(0).
又因为f(t)不恒为零,所以f(0)=1.f(x)=
Υ(x)为偶函数.
此方法主要利用设f(x)=Υ(x)+g(x)(其中Υ(x)为偶函数,g(x)为奇函数),然后证明f(x)=Υ(x)或f(x)=g(x),从而证明f(x)的奇偶性.
PF1 + PF2 =2a(a>c>0),求P的轨迹方程.
解 令P(x,y),则由已知得:
(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a将(1)两边取倒数,得:
(x+c)2+y2-(x-c)2+y2=
a
(1)(2)
22
(3)整理得:2+22=1
aa-c
易验证(3)上任一点(x,y)也在(1)上,从而点P
22
轨迹方程为:2+22=1.
aa-c
x.a2
平方得:x2+2cx+c2+y2=a2+2cx+2?x2
.
a
(1)+(2)得,(x+c)2+y2=a+
注 对于(1)的化简,中学课本上用了两次平方,较为麻烦.以上算法,抓住了(1)的左边的整体上的特点,只用一次平方,较为简单,是优化算法的结果.
收稿日期:2003-07-05
作者简介:郭松(1972—),男,湖北江陵人,湖北荆州市沙市七中一级教师.
? 1994-2006 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net
转载请注明出处范文大全网 » 函数奇偶性的判定方法