范文一:【doc】偏相关系数和偏回归系数的统计解析与意义
偏相关系数和偏回归系数的统计解析与意
义 中国卫生统计1996年第13卷第塑
偏相关系数和偏回归系数
的统计解析与意义
同济医科大学陈心广余耘林陈立功
,—————————一一
提要本研究提出了一十解析在多元线性回归时每一十自变量与因变量之间的关
系的偏相关与
偏回归系数的方法,包括系数的估计和每一个自变量与因变量之间的散点图的绘
制.使我们能够在多元
的情况下也能象一元回归一样.作出变量间关系的敬点图-从而达到探人了解回归
分析结果的可靠性和
协助进行回归谚断的目的.
关键词多元线性回归偏相关系效解析回归诊断 多元回归分析在医学科学研究中应用十分 普遍.当我们把一组数据输入计算机之后,调用 一
定的统计学软件,就能得到回归诊断,偏相关 系数,偏回归系数,标化偏回归系数,残差分析 及显着性检验等一系列结果.然而,对于两个及 以上自变量x的多元线性回归,无法象一元回 归那样绘出每个自变量与固变量y问的散点 图,来深入考察变量之间的关系,因为在多元的 情况下,y与x之间是一个超平面.
针对这一问题,本研究根据偏相关和偏回 归的定义,通过控制回归模型中变量个数所致
的残差的改变,以及这种改变与自变量和困变 量之间的关系变化,解析出在多元回归条件下 每个自变量x与因变量y的偏相关和偏回归 关系.运用这种关系,除了能够直接估计偏相关 系数和偏回归系数的值之外,更为重要的是能 够绘出每个自变量与固变量的偏相关散点图和 相应的偏回归线.从而得到了关于所研究变量 内在关系的深入而直观的信息.
方法原理
所谓偏相关和偏回归,是指在多元线性回 归分析时,当多个自变量同时存在的情I兄下某 一
个自变量与因变量之问的相关与回归比如, 我们研究了39倒观察对象的年龄(x),工作 矛盾(x)和婚姻冲突(x)与精神抑郁评分(y) 的关系对于总体中的?个个体,设第个个 体的诸x与y之间存在如下线性关系: Y=口+岛X.?+X.2+pX,+(1) 模型(1)中,a和三个为参数(为总体
偏回归系数),Er为残差项,包括三个以外的 其他因素对y的影响.
通过随机抽样.从该总体中获得n个个体, 因而得到一组观测数据(?,?:,)(l, 2,3…?).就可配台样本模型:
一
+z.1+&.2+岛z3十e,(2)
估计出和诸,从而得到根据样本结果估计 出的残差‰
如果把三个自变量.(一1,2,3)中的某一
个(比如z)去除,用其余的数据拟台模型(2) 并用一代替.,则模型(2)中的残差项(用 一,,代替)包含了关于,的变化的全部信 息.
?.一一d十2十岛.3+.,,,(3) 这样,就解析出了囡变量Y中还没有被第一个 自变量解释的那一部分变异.
如果所研究的几个自变量都完全互相独
国卫生统计1996年第13卷第6期
立,则可以变量x的观测值%与,一作散 点图,用一元相关回归分析,自然地得到自变量 与的偏相关与偏回归关系.事实上,我们 并不知道全部的自变量是否相互独立.因此,还 得设法扣除其余的自变量对这一自变量(这里 是X)影响之后,再分析该变量的变异与 一的关系,才可得到真正的偏相关和偏回 归关系.
根据模型(2),如果建立起X与其余的诸 ?的回归关系,再计算出相应的残差,就可分 离出在诸自变量同时存在的情况下独立的 变异,亦即运用数据(,%)(—l,2.3, ……
,)配合模型:
嚣1一+.2+f3丑a+.r-.'(4) 式中和为待估计的模型参数,(和
是Xz和X与X的回归系数)就是扣 除了其余的对的影响之后单纯,的变
异.用.与",绘制散点图,并且进行
简单相关回归分析,结果就应该得到真正的偏 相关关系的散点图和相应的偏相关系数(记为 r
.
^.偏回归系数(记为.,).
进一步的分析不难发现,运用"与
?;,作相关与回归分析时,由于和
?在模型(3)和(4)中是相应的X和Y扣 除了均数的净变异,服从N(O,0-2).因此,从理 论上讲,二者的相关与回归应该经过坐标系的 原点
用同样的方法,我ff1可解析出其他自变 量X与的偏相关与偏回归关系.对于三个以 上的自变量的情形,完全可以依此类推. 应用举例
我们运用前述资料,首先建立起变量间的 一
般多元回归关系.然后,再用本研究提出的残 差分析方法,将各自变量对因变量的偏相关 关系进行了解析,并与一般多元回归结果进行 比较.
1.多元回归分析结果
将全部数据输入计算机.运用SAS的回归 分析程序,以一般最小二乘法求解,所得结果见 表l.
表1精抻抑郁评分与年龄,婚烟冲突, 工作矛盾的多元回归分析结果
F=6591P=0-001zR;03610 2.用变量X:和X与的数据配合模型
(3),所得到的结果为:
.一
=166.8795—0.O007x一1.2170x~3(5) 用因变量的观冽值减去模型(5),即的估 计值一,从而得到了扣除变量x.和x对 的影响之后的残差.L
:,
一一
.
一
一弘一一卢i.2+卢3(6)
3.再应用观测数据(?,X,X)配合模型 (4)得到:
主=27.7632+0.1054x2—0.0230x3(7) 用X.,的观察值减去由式(7)得出的估计值X 就得到了扣除变量:和对z的影响之后 的残差L.,
…L.,Xll--Xl1—1—一f2.2一t3(8) 这一残差是扣除了变量X和变量X(如果三个 变量不相互独立的话)的影响之后变量X的变 异.
4.偏相关系数和偏回归系数的解析
m为园变量.为自变量
X,作一元线形回归分析,并应用最小二乘法估 计出模型的结果,同时计算出相应的相关系数 (表2),就得到了X,与的偏相关系数和偏回 归系数.
表2用式(6)和式(8)的计算结果估计 的与的偏回归和偏相关
*此值理论上为零
为了深入了解与Y之间的内在联系,图 1绘出了与的散点图.结果进一步显示: 尽管与之间的相关程度并不太高,但是数 据点的分布还是比较均匀的,而且,也没有明显 的奇异点和高杠杆点.显然,通过图1的分析, 就比只看回归系数和相关系数更具有信息性, 能让我们在多元的情况下,象一元回归一样,深 入把握与Y之间的线性关系.
围1自变量t与y之间的儡相关关系散点熙 按照完全相同的方法估计出了另外两个自 变量z和,对的偏回归与偏相关系数(见 表3),井仿照图1绘出了与之间的关系的散 点图(图2)
表3率研究估计的偏相关和偏回归系数 与一般方法估计的结果比较
从表3进一步看出,本研究用残差分析所 估计的偏相关与偏回归系数与一般最小二乘法 估计的结果相等(其差是计算误差造成的)结 旦里生统计1996年第13卷第6
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一ei.
圉2自变量也,zt与之间的偏相关关系傲点田 合图1和图2,可以看出,与因变量y的关 系近乎零相关;a与Y的直线关系尽管经统计 学检验具有显着性意义,但二者之间似乎存在 一
个曲线关系.另外,观测值散点多集中在左上 部位,通过计算回归诊断统计量可知有一个强 影响点n,其Co.ks距离一O.
403,D珊ts值为
0.9025.
(下转30页)
范文二:关于偏回归系数的讨论_赵松山
第 18卷第 3期 2003年 5月
统 计 与 信 息 论 坛
Vol. 18 No. 3M ay , 2003
收稿日期 :2003-03-25
作者简介 :赵松山 (1942-) , 男 , 辽宁人 , 教授 。研究方 向 :经济 系统工程 与经济计量 学。白雪梅 (1949-) , 女 , 辽 宁人 , 经 济学博士 , 教授 , 博士生导师 , 研究方向 :宏观经济统计分析、 区域与国际经济比较研究。
=统计理论与方法 >
关于偏回归系数的讨论
赵松山 1, 白雪梅 2
(11东北 财经大学 数量经济系 ; 21东北财经大学 统计系 ; 辽宁 大连 116025)
摘 要 :文章对多元回归模型中的偏回归系数进行了四 个方面 的讨论 :11X 1增加一 个单位 引起 Y 的增 加量肯定是偏回归系数吗 ? 21Y 对 X 1的回归系数肯定 不是偏回归系数吗 ? 31偏回归 系数如何求 取 ? 41偏 回归系数的第一种求法等价于第三种求法吗 ?
关键词 :偏回归系数 ; 净作用 ; 总作用 ; 本身变化 ; 总体变化
中图分类号 :F 22410 文献标识码 :A 文章编号 :1007-3116(2003) 03-0008-03
偏回归系数是多元回归问题出现的一个特殊性 质 , 如何理解、 辨认和求取偏回归系数正是本文要讨 论的。为了简化问题 , 我们把对偏回归系数的讨论 , 限定为只有 2个解释变量的系统 , 即建立的经济计 量模型为
Y i =B 0+B 1X 1i +B 2X 2i +u i
(1)
回归方程为
^Y i =^B 0+^B 1X 1i +^B 2X 2i
(2) 式中 ^B i (i =0, 1, 2) 为偏回归系数。
一 、 X 1增加一个单位引起 Y 的增加量 肯定是偏回归系数 ^B 1吗 ?
为了回答这个命题 , 首先 , 必须进行因素影响分
析 , 即 X 1, X 2对 Y 的作用关系分析。具体讲 , 这种 作用关系有四种 :其一是 X 1本身变化对 Y 的净作 用 ; 其二是 X 2的变化引起 X 1的相应变化 , 通过 X 1作用于 Y ; 其三是 X 2本身变化对 Y 的净作用 ; 其 四是 X 1的变化引起 X 2的相应变化 , 通过 X 2作用 于 Y 。其次 , 还要做如下界定 :一是 X 1(或 X 2) 的本 身变化和 X 1(或 X 2) 的总体变化 ; 二是 X 1(或 X 2) 的本身变化对 Y 的净作用和 X 1(或 X 2) 的 本身变 化对 Y 的总作用。
如果说 X 1增加一个单位是指 X 1的总体变化 , 即 X 1本身变化加上 X 2的变化引起 X 1的 变化之
和为一个单位 , 此时引起 Y 的增加量就不是偏回归 系数 ^B 1; 如果说 X 1增加一个单位是指 X 1的本身变 化 , 引起 Y 的增加量是对 Y 的总作用 , 即 X 1本身
变化一个单位引起 Y 的净作用与 X 1变化引起 X 2的相应变化 , 通过 X 2作用于 Y 之和 , 则此时引起 Y 的增加量也不是偏回归系数 ^B 1。只有当 X 1增加 一个单位是 X 1的本身变化 , 它引起 Y 的增加量是 对 Y 的净作 用时 , 此时引起 Y 的增加量才是偏回 归系数 ^B 1。因 此 , 偏回归 系数的意义可 解释为 , ^B 1代表当 X 2保持不变时 , X 1增加一个单位时 , Y 的 均值所发生的相应变化 (因为用 ^Y 去估计 E (Y) ) 。
二 、 Y 对 X 1的回归系数 ^B *
1肯定不是 偏回归系数 ^B 1吗 ?
我们知道 (2) 式中的 ^B i (i =0, 1, 2) 均为偏回归 系数 , 如果我们建立的经济计量模型为
Y i =B *
0+B *
1X 1i +u i
(3)
现在的问题是 B *1的 OL S 估计量 ^B *1是否肯定 不是偏回 归系数 ? 我们 的回答是否定 的。这就是 说 , 在一定条件下 , ^B *1也是偏回归系数。因此 , 传 统经济计量学教科书中 , 认为一元回归不存在偏回 归系数的说法是值得商榷的。
为了论证我们的结论 , 先讨论一下 ^B *1与 ^B 1之 间的关系 , 即在什么条件下 , ^B *1=^B 1, ^B *1是偏回归
系数 ; 在什么条件下 , ^B *1X ^B 1, ^B *1不是偏回归系数。 假设 Y 对 X 2回 归 系 数 为 ^B *2, 即 Y i =^A *0 +^B *2X 2i , X 2对 X 1回 归 系 数 为 ^b 21, 即 X ^2=^b 0 +^b 21X 1。 由于 ^B *1是 (3) 式中 B *1的 OL S 估计量 , 因此有
^B *1= y i x 1i
x 21i
(4)
式中 y i =Y i -Y, x 1i =X 1i -X 1。
现用 E x 21i E x 22i 去除 (2) 式中 ^B 1的计算公式 , 并注意到 X 1与 X 2的样本相关系数的平方 r 221, 我们 可得
^B 1= *
1
*
221
1-r 221
(5)
即
^B *1=^B 1(1-r 221) +^B *2^b 21(6) 若 X 1与 X 2不相 关 , 即有 r 21=0, ^b 21=0, 故 ^B *1=^B 1。这就告诉我们 , Y 对 X 1的回归系数 ^B *1, 在解释变量 X 1与 X 2不相关的情况下 , 它也是偏回 归系数。为了更为深入的解释 , 当 X 1与 X 2不相关 时 , 有 ^B *1=^B 1也是偏回归系 数 , 我们 做下面的 剖 析。对于 (2) 式 ^Y i =^B 0+^B 1X 1i +^B 2X 2i , 在 X 1i 改 变一个单位设为 1时 , 则有
^Y i =^B 0+^B 1(X 1i +1) +^B 2X 2i (7) 现将 (7) 式减 (2) 式 , 并设差值为 $Y, 则有 ^B 1=$Y =^B *1(8) 显见 , ^B *1为 X 1i 增加一个单位 后对 Y 的净作 用 , 即 ^B *1是偏回归系数。
若 X 1与 X 2相关 , 由 (6) 式可知 ^B *1X ^B 1, 则 Y 对 X 1的回归系数 ^B *1就不是偏回归系数 , 此时 ^B *1与 ^B 1的数值可能会相差很大 , 甚至符号也会发生变 化。深入剖析时 , 会发现如下事实。当 X 1与 X 2相 关时 , X 1i 变化了 $X 1i 个单位将引起 X 2i 变化了 ^b 21 $X 1i 个单位 (见 X ^2=^B 0+^b 21X 1式 ) , 此时则有 ^Y i =^B 0+^B 1(X 1i +$X 1i ) +^B 2(X 2i +^b 21$X 1i ) (9) 将 (9) 式减 (2) 式 , 并设差值为 $Y, 可得
$Y =^B 1$X 1i +(^B 2^b 21) $X 1i (10) 从 (10) 式的结果可以看出 , 在 $Y 中 ^B 1$X 1i 代 表着 X 1本身改变了 $X 1对 Y 的净作用 , 而 (^B 2^b 21) $X 1i 代表着 X 1改变 $X 1相应的 X 2改变 ^b 21$X 1i , 并通过 X 2的改变 ^b 21$X 1i 对 Y 的影响作用 , 即在 $Y 中含有 X 2i 影响 ^B 2, 因此 , 此时 ^B *1不是 X 1i 增加 $X 1i 个单位后对 Y 的净作用 , 即 ^B *1不是偏回归系 数。
三 、 偏回归系数如何求取 ?
我们的研究目的是想求出 X 1i 本身变化 对 Y i 的净作用 , 即求出偏回归系数 ^B 1。本文给出三种求 法。
第一种方法 :从 X 1i 的总体变化中减去由于 X 2i 变化所引起的 X 1i 变化对 Y i 的影响。具体做法是 :第一步 , 先进行 X 1i 对 X 2i 回归 , 即
X ^1i =^b 0+^b 1X 2i 。
第二步 , 求残差 W 1i =X 1i -X ^1i 。残差 W 1i 实 际上已消除了 X 1i 的总体变化中由于 X 2i 变化所引 起的 X 1i 的变化 , 即 W 1i 表明 X 1i 本身的变化。 第三步 , 求 Y i 对 W 1i 的回归 , 即 ^Y i =^c +d ^W 1i 式中
d ^=
w 1i y i
w 21i
, 其中 w 1i =W 1i -W 1(11) (11) 式求得 d ^为二元回归中 X 1前的回归系数 B 1的估计值 , 即偏回归系数。
第二种方法 :控制 X 2的影响 , 获得 X 1对 Y 的 改变的净作用。具体做法是 :
第 一 步 , 进 行 Y 对 X 2回 归 , 即 ^Y i =^A *0 +^B *2X 2i , 并计算残差 V i =Y i -^Y i 。 V i 中已消除 了 X 2的变化对 Y 的影响。
第二 步 , 进 行 X 1对 X 2回 归 , 即 X ^1i =^b 0 +^b X 2i , 并计算残差 E i =X 1i -X ^1i 。 E i 中已消除 X 1变化中 X 2的影响。
第三步 , 进行 V 对 E 的回归 , 即
V ^i =^A 0+^A 1E i (12) (12) 式求得的 ^A 1是二元回归中 B 1的估计值 , 即偏回归系数。
第三种方法 :建立 Y 对 X 1和 X 2的经济计量 模型 , 并用 OL S 法求得参数估计值 ^B 1和 ^B 2, 即可求 得偏回归系数。
Y i =B 0+B 1X 1i +B 2X 2i +E i (13) 式中 B 1的 OL S 估计值 ^B 1为
^B 1=
E x 22i E x 1i y i -E x 1i x 2i E x 2i y i
(E x 21i ) (E x 22i ) -(E x 1i x 2i ) 2
(14) 式中 x 1i =X 1i -X 1, x 2i =X 2i -X 2, y i =Y i -Y 。 四 、 偏回归系数的第一种求法 d ^等于 第三种求法 ^B 1吗 ?
为了证明 d ^=^B 1, 首先假定拟合残差具有如下
赵松山 , 白雪梅 :关于偏回归系数的讨论
性质 , 即 E W 1i =0, W 1=0。我们先分析 (11) 式中 的分子。注意到 W 1=0, w 1i =W 1i -W 1=W 1i , 所 以有
E w 1i y i =E W 1i y i
=E (X 1i -X ^1i ) y i
=E (X ^1i -^b 0-^b 1X 2i ) y i
=E X 1i -(X 1-^
b 1X 2) -b 1X ^
2y i =E (x 1i -^b 1x 2i ) y i
考虑到 ^b 1=E x 1i x 2i
E x 22i
, 所以有
E w 1i y i =E (x 1i -E x 1i x 2i
E x 22i
2i ) y i
=
E x 1i y i E x 2
2i -E x 1i x 2i E x 2i y i
E x 22i
(15)
再分析 (11) 式中的分母
E w 21i =E W 2
1i
=E (X 1i -X ^1i ) 2=E (x 1i -^b 1x 2i ) 2=E (x 1i -E x 1i x 2i E x 22i
2i ) 2
=
E x 2
1i 2
2i 1i 2i 2
1i 2i 2
E x 22i =E x 2
1i 2
2i 1i 2i 2
E x 2i
(16)
将 (15) 式除以 (16) 式可得
d ^=E x 1i y i E x 22i -E x 1i x 2i E x 2i y i (E x 22i ) (E x 21i ) -(E x 1i x 2i ) 2
(17) 由 (17) 式可知 , d ^=^B 1
对于偏回归系数还有许多问题值得认真研究 , 我们将继续关注并做深入的讨论。
参考文献
[1] [美 ]威廉 H 1格林 1经济计量分析 [M ]1王明舰 , 等译 1北京 :中国社会科学出版社 , 19981[2] 任若恩 , 等 1经 济计量学教程 [M ]1北京 :北京大学出版社 , 19891
(责任编辑 :崔国平 )
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范文三:概率与数理统计专业优秀论文--回归系数有偏估计小样本性质的进一步研究
【精品】毕业论文 优秀毕业论文 本科论文 专业学术论文 参考文献资料 概率与数理统计专业优秀论文--回归系数有偏估计小样本性质的进
一步研究
关键词:主成分估计 Stein压缩估计 LS估计 改进型估计 回归系数 小样本性
质
摘要:为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值.
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正文内容
为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值.
为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值. 为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值. 为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值. 为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估
【精品】毕业论文 优秀毕业论文 本科论文 专业学术论文 参考文献资料 计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值. 为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值.
其中很重要的一类就是有偏估为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,
计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系
然后对预测情形的类似问题进行了数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,
讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值. 为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了讨论. 第三章在广义均方程差(GMSE)准则下给出了回归系数β的Stein估计优于LS估计的充分必要性, 并在PC准则下比较了Stein估计相对 于LS估计的优良性. 然后在均方程差矩阵(MSEM)准则下比较了一种修改了的Stein型估计相对于LS估计的优良性,该文对这两类有偏估计的小样本性质进行了比较深入和系统的研究,对线性回归模型中其他有偏估计的研究也具有一定的参考价值. 为改进LS估计,统计学家们提出了许多新的估计,其中很重要的一类就是有偏估计.该文所讨论的主成分估计和Stein压缩估计就是其中的两种LS估计的改进型估计, 该文第一章引言部分介绍了文中所用到的几种衡量估计量好坏的准则,第二章首先在均方误差矩阵(MSEM)和PitmanCloseness(PC)准则下比较了回归系数β的主成分估计相对与LS估计的优良性,然后对预测情形的类似问题进行了
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范文四:含缺失数据的约束线性模型回归系数的有偏估计
湖南师范大学 硕士学位论文含缺失数据的约束线性模型回归系数的有偏估计 姓名:刘冬喜 申请学位级别:硕士 专业:基础数学 指导教师:刘万荣 20081001 摘 要 线性模型中参数的有偏估计的研究一直是回归分析的热点问题。基于最小二乘法处理病态阵,共线性问题的不足,线性有偏估计是改进最小二乘估计最直接的方法。无约束线性模型中参数的有偏估计理论的发展已经相对成熟,但在大量的统计问题,如试验设计、方差分析模型和协方差分析模型中,由于附加信息等原因,回归参数满足某些约束条件,这使得带线性等式约束的回归分析具有很重要的研究意义和应用价值。经研究发现,现今通用的一般带约束最小二乘估计同最小二乘估计一样,在处理共线性问题上也存在不足〔,。,】,因此近年来,很多学者试图找更好的方法来改进一般带约束的最小二乘估计方法。 本文试图寻找带约束线性模型中优于最小二乘估计的约束型有偏估计方法,对约束线性回归模型提出了一种新的参数估计的(标准 (平均散布误差准则),得到了回归系数一种新的约束型有偏估计一一条件部分根方估计(,,,,,),并在缺失数据情形下加以应用,探讨了缺失模型(,(,)回归系数的约束型岭估计(砌迎)的性质。 第一章综述了目前国内外线性模型参数有偏估计的发展历史和研究现状。 第二章给出了一些预备知识。 第三章在郭建锋及史建红的基础上作者提出了一种新的可容许估计——条件部分根方估计(,,,,,),证明了存在参数尼,可使回归系数‖的,,,,,的均方误差(,,,)小于约束最小二乘估计(,,,,)的均方误差;在平均散布误差(,,,)准则下给出了,,,,,优于,,,,的充要条件或充分条件;讨论了确定最优尼值的方法。 第四章研究了含缺失数据的约束线性模型,研究了缺火数据的填充法,并进一步对含缺失数据的约束线性模型回归系数建立了条件部分根方估计。 第五章给出了缺失模型(,(,)回归系数‖的约束型岭估计(?也),适当地选择参数尼,可使回归系数‖的约束型岭估计(?迎)的均方误差(,,,)小于约束最小二乘估计(,,,,)的均方误差;在平均散布误差(,,,)准则下给出了对迮优于,,,,的充要条件或充分条件。关键词:约束线性回归模型;约束最小二乘估计;条件部分根方估计;岭估计;均方误差;缺失数据 ,,,,,,,, ,,, ,,,,,,;, ,, ,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,,, ,, ,,, ,,,,,,,,,,, ,, ,,, ,,, ,,,, ,,, ,, ,,, ,,,, ,,,,,,, ,,,,,, ,, ,,野,,,,,,,,,,,,,,(,,,, ,,,,,,, ,,,, ,,, ,,,,,;,,,,,,,,,,, ,, ,,,,,, ,,,,,,?,,,,,,,,,, ,,,,, ,?,,,,, ,,,,,,,,,, ,, ,,,,,, ,,,,,,,,(,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,, ,, ,,, ,,,, ,,,,;, ,,,,,, ,,锄,,,,,,,,,, ,,, ,,,,,,,, ,,,,,,?,,,,, ,,,,,,,,,,(,,,, ,,,,,,,,,,, ,, ,, ,,,,,, ,,,,,,,,,,, ,,,,巧,,,,,,,,,,,, ,,, ,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,, ,, ,,, ,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,;,,,,,,(,,, ,铲,,, ,,,, ,, ,,,,,,,,;,, ,,,,,,,, ,,;,,, ,, ,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,
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相应方框内打“???) 日期:础年,,月勿日导师签名: 刚何踩 , 日期:加年,,月汐日 ( 含缺失数据的约束线性模型回归系数的有偏估计 ( 绪论 线性回归模型是一类重要的统计模型,是现代统计学中内容丰富、应用广泛的一个研究分支(随着计算机的日益普及与数字计算能力的不断提高,它被广泛应用于生物、医学、经济、管理、金融、工农业、工程技术等领域,并在其中发挥着重要作用( 近几十年来,很多学者对线性模型进行了深入细致的分析和研究,使它无论在广度和深度上都有不少新的发展,例如有偏估计、可容许性理论、非参数回归、稳健回归、大样本理论、,,,,,方法、回归诊断,。,,等等(这些新的研究方法中,多数在一定程度上扩大了线性模型的研究范围,具有很大的实用价值(这些新的理论和方法进一步将线性模型的研究推向新的高峰,使得线性模型被更加广泛地应用于国民生产各个领域( ,(,有偏估计的发展历史及研究现状 线性回归模型是数理统计学发展比较早的分支之一,关于它的参数估计的研究可以追溯到上世纪初(在众多的估计参数方法中,最小二乘法具有重要的基础地位(著名数学家,(,(,,,,,,,,和,(,(,,,,,分别于,,,,年和,,,,年把最小二乘法应用于观测数据的误差分析,从而开启了最小二乘法的大门(,,,,年,(,(,,,,,,证明了在无偏估计类中,,估计具有方差最小的性质,即著名的,,,,,(,,,,,,定理,刻画了最小二乘估计在线性无偏估计类中的最优性,从而奠定了,,估计在线性模型参数估计理论中的地位(, ,, ,年,针对奇异线性模型,因协方差阵的逆不存在,不能通过最小化残差平方和来求得参数的最小二乘估计,,,,提出了“最小二乘统一理论”,这种方法既适用于设计阵列满秩或列降秩的情形,又适用于协方差阵奇异或非奇异的情形,进一步巩固了最小二乘估计在参数估计中的地位(相合性是评价估计优夹缘囊桓鲋匾 荚颍 杂冢蹋庸兰频南嗪闲裕 矶嘌д呓 辛搜芯浚罱校梗剩 蹋庸兰频南嗪闲缘於 耍蹋庸兰频闹匾 匚唬 蹋庸兰频慕峁 沟萌嗣窃诤艹な奔淅锶衔 蹋庸兰剖墙饩鱿咝阅,筒问 兰频淖詈霉兰疲?随着回归分析研究的深入,统计学家在实际应用和理论分析中发现最小二乘估计存在一些问题( ,、实际应用中,,,估计对处理高维的复共线性数据的无力性( ?涉及众多参数的大型回归系统中,自变量之间难免存在近似的线性关系,从而导致设计阵的列向量近似线性相关乜。,,即设计阵的病态(若自变量之间存在完全共线性,则(,,)?不存在,正规方程的解不唯一(在一般共线性或近似共线性即病态下,(,,),尽管存在,但对角元素很大,由,,估计量的方差表达式仃, ,,,,,,,知估计的方差较大,从而精度较低,回归系数的估计方差将随着解释变量间的相关程度的不断增强而迅速扩大,,,估计失效(由于多重共线性的存在,也使方差扩大因子变大,这样,一方面使,统计量的临界值增大, ,,,拒绝域变小,导致通过样本计算的,值小于临界值,从而做出对参数的错误推断,将重要的自变量排除在模型之外,因此,接受一个错误假设及作 含缺失数据的约束线性模型回归系数的有偏估计出错误决策的风险都变大;在回归系数的估计值和它们的估计标准差对于样本数据的微小变化非常敏感,回归系数估计值的稳定性将变得很差甚或与实际结果大相径庭( ,、理论分析中,,,估计的不可容许性(,,,,年,,,,,,乜,证明了对多元(维数大于,)正态分布,在平方损失下,其均迪蛄康淖钚《 斯兰剖遣豢扇菪淼模 庖恍碌姆?质沟萌嗣侵匦露裕蹋庸兰萍右匝芯浚 嗣欠?郑 蹋庸兰频挠帕夹越鼋鲈谙咝晕奁 兰评嘀胁拍鼙
硐殖隼矗 绻 兰评啻游奁 兰评?沟接衅 兰苹蚍窍咝怨兰评嘀校 蹋庸兰频挠攀撇辉俅嬖冢?为了解决最小二乘法带来的问题,很多统计学家提出稳健回归等方法来克服它,试图改进,,估计(一方面,从模型或数据角度加以考虑,如变量选择和回归诊断;另一方面,寻求一些新的估计(,,,,年,,,,,证明了,,估计在平方损失下的不可容许性,紧接着,,,,,和,,,,,提出了著名的,锄,,(,,,,,压缩估计,在二次损失下,它优于原有的最小二乘估计(这些结果使得很多统计学家对有偏估计的研究产生了兴趣,并相继提出了很多新的有偏估计,其中主要有主成份估计心, ,,、岭估计乜?,,、广义岭估计乜,,,,,估计?,、根方估计乜,。,,,等(从某种意义上来说,这些估计都改进了,,估计,这些估计的一个共同特点是,它们都不是无偏估计,于是人们把这些估计统称为有偏估计(线性有偏估计是针对病态阵,来改进,,估计的最直接的方法( 随着时间的推移、科学的进步,参数估计也在不断的丰富和扩充(其中,,,,,年,,,,,和,,,,,,,瞳, ,提出了几乎无偏的岭估计,,,,,( 高校教师在职硕十学位论文 年贾忠贞瞳, ,提出了组合主成分估计,,,,,年夏结来、郭祖超、胡琳心刚 对线性回归模型提出了狭义根方估计,证明了其具有一些良好的性 质,在一定的条件下,根方估计的均方误差比,,估计的均方误差小( 根方估计和岭估计都是从同一个角度来改进最小二乘估计的,但采用 的途径不一样,从数据模拟的结果可知,有时根方估计优于岭估计, 有时岭估计优于根方估计(, ,,,年杨虎瞳卯提出了单参数主成分估计, 归庆明乜,,于,,,,年提出了多元广义主成分估计类,,,,,年夏结来瞳,, 将狭义根方估计作了拓广,得出了回归系数的广义根方估计,同时也 证明了广义根方估计能更有效地改善,,估计,并且广义根方估计的 均方误差小于狭义根方估计的均方误差(徐文莉和林举干昭羽,,,,年提 出了岭型组合主成分估计(,,,,年黄养新乜,,采用根方估计来估计增 长曲线模型中回归系数,通过根方参数的选取,可使根方估计的均方 误差小于,,估计的均方误差,给出了选取根方参数的三种方法(,,,, 年于义良和宋卫星瞳,。,?在多重共线性关系时,给出了回归系数的根方 型主成分估计和,,,,,型主成分估计,证明了根方型主成分估计更有 效地改进主成分根方估计及,,估计(,,,,年高兑现、黄养新口,,将根 方估计作一拓广,提出了回归系数的广义根方估计,证明了广义根方 估计能更有效地改善最小二乘估计,并给出了广义根方估计的显示解 和确定偏参数的方法(,,,,年夏正茂等口,,从矩阵变换理论出发,对 多元线性模型的系数提出了广义根方估计,证明了它优于系数的,, 估计,并且是可容许性估计(林路,们于, ,,,年提出综合岭估 计(,,,,,,?副于,,,,年提出了改进的岭估计(,,,,年刘小茂,张钧心? 含缺失数据的约束线性模型凹归系数的有偏估计 (针对连续测量数据,给出了混合系数线性模型参数的根方估计,并且证明了通过根方参数的选取,可使根方估计的均方误差小于,,估计的均方误差(,,,,年归庆明、张建军、郭建锋提出了岭型广义逆估计?,,和部分根方估计口,,等等( ,(,约束型有偏估计的现实意义和研究现状 前面提到的估计方法都是考虑参数‖在无约束条件下的情况,模型形式为: 】,,又夕,岛,?,,,,烈,),‖厶 在很多实际问题中,需要处理的线性模型往往是带约束条件的心?,?,,,例如,如果事先已经具有了回归参数夕的先验信息,利用约束,这时关于‖估计的信息增加了,因此,将使‖的
估计性能有所改善,当然这种约束必须是真实的,否则会产生不良的后果(声的约束有两种情况:线性约束和不等式约束,,(又如,在方差分析模型或协方差分析模型中,固定效应口,,岛或者交互效应乃,屹都要满足约束条件:?口,,,,?红,,或?,,,,?屹,,( , , 。, , 这些问题都可以归结为带约束条件下的线性模型,因而从这个意义上来说,约束型的线性模型同无约束的线性模型一样,具有重要的研究意义和应用价值( 一般情况下,上述问题可以表示为带线性等式约束的一般线性模型: ,,?‖,占,尺‖,,,占,(,,盯,?胛。。)其中】,为门×,的观察向量,,为”×,的设计矩阵,,口础(,),,,,为,×,非零已知矩阵,,为,,×,的随机误差向量, 满足 ( 高校教师在职硕士学位论文 (,(占),,,,(箔?),仃,?…,,(为,×,向量, ‖?,垒泸:筇,,,为待估参数向量( 解决这个问题通常采用一般带约束的最小二乘估计?叫,,简记为,,,,,(虽然,,,,,作为一种无偏估计应用广泛,然而跟,,估计一样,此方法也存在前述的设计阵,为“病态”时,参数的估计极不稳定或严重偏离实际值的问题(这种结果导致了在处理多变量的约束线性模型时,即使利用了快速且高精度的计算机然而估计得到的参数往往不理想,甚至会误导(因此,若能提出一种类似于弥补,,估计缺陷的方法,也许就可以很好的解决,,,,,所存在的问题,这也是当前所热衷解决的问题(鉴于有偏估计是克服病态阵的最直接的方法,很多学者都试图从有偏估计的角度来解决,,,,,在处理多重共线性上的不足(但是由于带有线性约束的线性模型要比一般无约束的线性模型要复杂,因而在解决的过程中必然要处理相对于无约束模型估计更为复杂的计算和推导,所以对于有线性约束的线性模型的有偏估计的研究远没有无约束线性模型所研究的那样的广泛和深入( 为了克服带有线性约束的线性模型出现的这种病态现象,很多学者从有偏估计的角度对它进行了研究,并提出了一些有效的方法陋例(,,,,年,,破,, ,,引进一种新的估计即在,,也,,方法前添加一个控制变量,。,从而使得估计参数的均方误差降低(,,,,年,(所学玎针对这个问题提出利用,,,,,,,提出的思想与,,也,,结合起来估计带约束的线性回归, ,,(史建红。粥,,卯提出了齐次等式约束下线性回归模犁: ( 含缺失数据的约束线性模型回归系数的有偏估计 ( ,】,,,‖,,,,(,),,,;,,(,),仃,, 【 ,‖,, 的条件岭估计‖,(七),(七‖,,)叫‖,,他也提出了狭义条件根方估计: 万(后),(‖,)?麟, ,,七,,, 其中 ‖,,,一,。尺?〔尺,,,尺,〕,,,,,,(矽,)?,缈曙(百?,(((,乞笼,,,(((,,),? ,,?,, 以为‖的非零特征根,且乃?如?…?乃一叮,,,并证明了总可以选择一 个适当的七值使得条件根方估计优于,,,,,,但是当,,的非零特征 根有小于,时,条件根方估计将不是约束可容许估计(史建红等【,,,,】 提出一种改进形式,即‖的广义条件根方估计: 万(,),(形,)?陟,,,其中,,讲昭(七。,(((,霓,),(矿,),,鲫口,(矿,,(((,砖,,,,(((,,),?,尼,的取值范围按下列方式确定: , 若兄,,,,则尼,?(,,,?) ,若丑,,或,,则色,, ,,,,(((,,, 【 若以,,,贝,,尼,?(一?,,) 它不但在均方误差意义下优于,,,,,,而且还是可容许估计( 这些研究还远远没有无约束线性模型那样成熟,因此还具有很大 的研究空间( ,(,本文主要结构 本文分三章研究了等式约束线性回归模型下参数的
有偏估计, 且在郭建锋及史建红的基础上提出了一种可容许估计一约束型条件 部分根方估讨。,研究了它在缺失数据情形下的应用( ( 高校教师在职硕士学位论文 ( 基于模型(,(,)与模型(,(,)的等价,本文主要研究了模型(,(,)( 第三章对模型(,(,)在郭建锋及史建红的基础上提出了一种可容许估计——约束型条件部分根方估计,比较其与,,,,的均方误差的大小,同时讨论了在平均散布误差,,,(,准则与,,,(,,准则下,约束型条件部分根方估计优于,,,,的充要条件与充分条件,最后讨论了,值的选择法( 第四章研究了线性回归模型中数据,,及矩阵,中的数据缺失情形,研究了缺失数据的填充法,并进一步对线性约束条件下建立了条件部分根方估计( 第五章对缺失模型(,(,)给出了回归系数‖的条件岭型估计,比较其与约束最小二乘估计(,,,,)的均方误差的大小,同时讨论了在平均散布误差,,,(,准则与,,,(,,准则下,条件岭型估计优于,,,,的充要条件与充分条件( 含缺失数据的约束线性模型回归系数的有偏估计 ,(预备知识 矩阵分析及其不等式理论是线性模型中不可或缺的工具(本章仅将线性模型中经常用到的且与本文相关的一些矩阵知识给予系统而扼要地介绍,并将一些常用的结果不加证明地汇集一下,便于读者查阅,详细的证明过程参考文献〔,(,〕( ,(,符号说明 ,阶方阵彳的迹,记为驴(彳):矩阵彳的秩,记为朋础(彳): 如果,阶方阵彳为对角矩阵,其对角元素依次为?,,口::,…,,朋,记为折口,(?。,?:,(((,,。。): 若彳为正定对称方阵,记为爿,,:若彳为半正定对称方阵,记为么?,:如果彳一,?,,记为,?曰:如果,一,,,,记为彳,,( ,(,幂等阵 定义,(,… 设彳为方阵,且满足彳,:彳,则称么为幂等阵( 定理,(,… 设彳为刀×刀实对称阵,则 (,)彳的所有特征根都是实数; (,)存在正交阵?,使得?,?,斫昭(丑,(((,九),这里丑,(((,以为,的特征值,?的列为对应的标准正交化特征向量( (,)若,为实对称的幂等阵,且秩为厂,则存在正交阵?,使得 彳,?心》 【, ,, 高校教师在职硕士学位论文 ,(,矩阵微商 在线性模型分析中,为了获得参数的最小二乘估计或极大似然估计,常常需要用到矩阵微商的知识(矩阵微商本质上是一般的多元函数的微商,并没有新的概念(但是,对于一些常用的矩阵微分,也有一定的运算规律,并能用简洁的矩阵形式表示出来( 定理,(,【卜,, 设口,,均为行×,向量,,:口,,则学,口 定理,。,【,?,, 设彳…对称,,删为向量,,,,钕,则孚,,血( ,(,期望与方差 定理,(,【,?,, 设彳为聊×以非随机矩阵,,和,分别为刀×,,,×,随机矩阵,记,,么,,,,贝, ,(】,),么,(,),,(,) 定理,(,【,(,, 设么为肌×月非随机矩阵,?为行×,随机向量,】,,剃, 贝, ;,,(】,),么;,,(,)么? 定理,(,【,,,, 设,和】,分别为”×,,所×,随机向量,彳和,分别为,×,,,,×朋非随机矩阵,则 ,,,,(删,,,),彳,,,,(,,】,)曰, 定理,(,【,(,, 设,似):‖,,,,(,):?,则 ,(,扎,),‖么‖,护(彳?) 定理,(,【,,,, 设夕为,×,未知参数向量‖的一个估计,则 一 一 一 一 ? 一 ?, 此,跑(‖),,(‖一‖)?(‖一‖),护;,,(‖),,印一‖, ,(,损失函数和风险函数 定义,(,,,,损失函数三(口,舀),它是定义在,×?上的二元函数(它表示当自然界(或社会)处于状态护时,而人们采取行动痧对人们引起的 含缺失数据的约束线性模型回归系数的有
偏估计 ((经济)损失(损失函数,(臼,痧)是把决策与经济效益联系在一起的
桥梁( 定义,(,,卯设万(,)是一个统计决策问题中的决策函数,那么损失函
数,(臼.
范文五:quantile回归系数的解释
How do I interpret quantile regression coefficientsThe short answer is that you interpret quantile regression coefficients just like you do ordinary regression coefficients. The long answer is that you interpret quantile regression coefficients almost just like ordinary regression coefficients. We can illustrate this with a couple of examples using the hsb2 dataset. use http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/notes/hsb2 clear tabstat write byfemale statp25 p50 p75 Summary for variables: write by categories of: female female p25 p50 p75 ------------------------------------- male 41 52 59 female 50 57 62
------------------------------------- Total 45.5 54 60 -------------------------------------- We will begin by running median and .75 quantile regression models without any predictors. qreg write Iteration 1: WLS sum of weighted deviations 1595.95 Iteration 1: sum of abs. weighted deviations 1591 Iteration 2: sum of abs. weighted deviations 1571 Median regression Number of obs 200 Raw sum of deviations 1571 about 54 Min sum of
deviations 1571 Pseudo R2 0.0000
------------------------------------------------------------------------------ write Coef. Std. Err. t Pt 95 Conf. Interval ----------------------------------------------------------------------------- _cons 54 1.239519 43.57 0.000 51.55572 56.44428
------------------------------------------------------------------------------ qreg write quantile.75 Iteration 1: WLS sum of weighted deviations 1237.9502 Iteration 1: sum of abs. weighted deviations 1202.5 Iteration 2: sum of abs. weighted deviations 1084.5 75 Quantile regression Number of obs 200 Raw sum of deviations 1084.5 about 60 Min sum of deviations 1084.5 Pseudo R2 0.0000
------------------------------------------------------------------------------ write Coef. Std. Err. t Pt 95 Conf. Interval ----------------------------------------------------------------------------- _cons 60 .6665574 90.01 0.000 58.68558 61.31442
------------------------------------------------------------------------------ In the median regression the constant is the median of the sample while in the .75 quantile regression the constant is the 75th percentile for the sample. Next well add the binary predictor female to the model. qreg write female Iteration 1: WLS sum of weighted deviations 1543.9433 Iteration 1: sum of abs. weighted deviations 1545 Iteration 2: sum of abs. weighted deviations 1542 Iteration 3: sum of abs. weighted deviations 1536 Page 1of 4Stata FAQ: How do I interpret quantile regression
coefficients2011-1-4http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/faq/quantreg.htm Median regression Number of obs 200 Raw sum of deviations 1571 about 54 Min sum of
deviations 1536 Pseudo R2 0.0223
------------------------------------------------------------------------------ write Coef. Std. Err. t Pt 95 Conf. Interval ----------------------------------------------------------------------------- female 5 2.611711 1.91 0.057 -.1503394 10.15034 _cons 52 1.927268 26.98 0.000 48.19939 55.80061 ------------------------------------------------------------------------------ predict p50 option xb assumed fitted values tabulate p50 Fitted values Freq. Percent Cum. ----------------------------------------------- 52 91 45.50 45.50 57 109 54.50 100.00 ----------------------------------------------- Total 200 100.00 qreg write female quantile.75 Iteration 1: WLS sum of weighted deviations 1204.3893 Iteration 1: sum of abs. weighted deviations 1272 Iteration 2: sum of abs. weighted deviations 1154.5 Iteration 3: sum of abs. weighted deviations 1060 75 Quantile regression Number of obs 200 Raw sum of deviations 1084.5 about 60 Min sum of deviations 1060 Pseudo R2 0.0226 ------------------------------------------------------------------------------ write
Coef. Std. Err. t Pt 95 Conf. Interval
----------------------------------------------------------------------------- female 3 1.23163 2.44 0.016 .5712035 5.428796 _cons 59 .9385943 62.86 0.000 57.14908 60.85092
------------------------------------------------------------------------------ predict p75 option xb assumed fitted values tabulate p75 Fitted values Freq. Percent Cum.
----------------------------------------------- 59 91 45.50 45.50 62 109 54.50 100.00 ----------------------------------------------- Total 200 100.00 From this point on Ill describe what is going on in the median regression model. The interpretation for the .75 quantile regression is basically the same except that you substitute the term 75th percentile for the term median. With the binary predictor the constant is median for group coded zero males and the coefficient is the difference in medians between males and female see the tabstat above. Looking at the tabulated predicted scores we see that we get two values the conditional median for males 52 and the conditional median for female 57. Now let me show you something that is really neat about quantile regression. I will replace the highest value of write 67 with the value of 670 and rerun these analyses. replace write670 if write67 7 real changes made Page 2of 4Stata FAQ: How do I interpret quantile regression coefficients2011-1-4http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/faq/quantreg.htmqreg write female Iteration 1: WLS sum of weighted deviations 8319.5083 Iteration 1: sum of abs. weighted deviations 6544 Iteration 2: sum of abs. weighted deviations 6156 Iteration 3: sum of abs. weighted deviations 5757 Median regression Number of obs 200 Raw sum of deviations 5792 about 54 Min sum of deviations 5757 Pseudo R2 0.0060 ------------------------------------------------------------------------------ write Coef. Std. Err. t Pt 95 Conf. Interval
----------------------------------------------------------------------------- female 5 2.611711 1.91 0.057 -.1503394 10.15034 _cons 52 1.927268 26.98 0.000 48.19939 55.80061 ------------------------------------------------------------------------------ qreg write female quantile.75 Iteration 1: WLS sum of weighted deviations 11445.07 Iteration 1: sum of abs. weighted deviations 7582 Iteration 2: sum of abs. weighted deviations 7461 Iteration 3: sum of abs. weighted deviations 7391.5 75 Quantile regression Number of obs 200 Raw sum of deviations 7416 about 60 Min sum of deviations 7391.5 Pseudo R2 0.0033 ------------------------------------------------------------------------------ write Coef. Std. Err. t Pt 95 Conf. Interval
----------------------------------------------------------------------------- female 3 1.23163 2.44 0.016 .5712035 5.428796 _cons 59 .9385943 62.86 0.000 57.14908 60.85092
------------------------------------------------------------------------------ Notice that neither the coefficents nor the standard errors changed. This is because changing this extreme score does not change either the median or the 75th percentile. The only changes that effect the results are when a value crosses a quantile boundry. For example changing a value of 58 to 580 would not effect the median but would effect the 75th percentile. For the last example we will reload the data and use a continuous predictor in the model. use http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/notes/hsb2 clear qreg write socst Iteration 1: WLS sum of weighted deviations 1219.9071 Iteration 1: sum of abs. weighted deviations 1219.9333 Iteration 2: sum of abs. weighted deviations 1212.8 Iteration 3: sum of abs. weighted deviations 1212.5667 Iteration 4: sum of abs. weighted deviations 1209.375 Iteration 5: sum of abs. weighted deviations 1208.9 Median regression Number of obs 200 Raw sum of deviations 1571 about 54 Min sum of deviations 1208.9 Pseudo R2
0.2305 ------------------------------------------------------------------------------ write Coef. Std. Err. t Pt 95 Conf. Interval
----------------------------------------------------------------------------- socst .6333333 .0571053 11.09 0.000 .5207206 .7459461 _cons 20.03333 3.069487 6.53 0.000 13.98025 26.08642
------------------------------------------------------------------------------ predict double p50 option xb assumed fitted values qreg write socst quantile.75 Page 3of 4Stata FAQ: How do I interpret quantile regression
coefficients2011-1-4http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/faq/quantreg.htmIteration 1: WLS sum of weighted deviations 992.87 Iteration 1: sum of abs. weighted deviations 1003.2667 Iteration 2: sum of abs. weighted deviations 950.85 Iteration 3: sum of abs. weighted deviations 936.30001 Iteration 4: sum of abs. weighted deviations 928.66667 Iteration 5: sum of abs. weighted deviations 926.07501 Iteration 6: sum of abs. weighted deviations 924.30001 75 Quantile regression Number of obs 200 Raw sum of deviations 1084.5 about 60 Min sum of deviations 924.3 Pseudo R2 0.1477 ------------------------------------------------------------------------------ write Coef. Std. Err. t Pt 95 Conf. Interval ----------------------------------------------------------------------------- socst .4 .0408158 9.80 0.000 .3195104 .4804896 _cons 37.6 2.187081 17.19 0.000 33.28704 41.91296 ------------------------------------------------------------------------------ predict double p75 option xb assumed fitted values With the continuous predictor socst the constant is the predicted value when socst is zero. The quantile regression coefficent tells us that for every one unit change in socst that the predicated value of write will increase by .6333333. We can show this by listing the predictor with the associated predicted values for two adjacent values. Notice that for the one unit change from 41 to 42 in socst the predicted value increases by .633333. sort socst list socst p50 p75 in 42/43 -------------------------- socst p50 p75 -------------------------- 42. 41 46 54 43. 42 46.633333 54.4 -------------------------- Page 4of 4Stata FAQ: How do I interpret quantile regression
coefficients2011-1-4http://www.ats.ucla.edu/stat/stata/faq/quantreg.htm
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