范文一:数学模型思想
数学模型思想
作者: 赵璐 (小学数学 青海海西小学数学八班 ) 评论数/浏览数: 1 / 693 发表日期: 2012-10-26 21:32:21
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1(模型思想的概念。
数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物地特征,数量关系和空间形式的一种数学结构。从广义角度讲,数学的概念,定理,规律,法则,公式,性质,数量关系式,图表,程序等都是数学模型。数学的模型思想是一般化的思想方法,数学模型的主要模型形式是数学符号表达式和图表,因而它与符号化思想有很多相同之处,同样具有普遍的意义。
2(模型思想的重要意义。
数学模型是运用数学的语言和工具,对现实世界的一些信息进行适当的简化,经过推理和运算,对相应的数据进行分析,预算,决策和控制,并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的,便可以指导我们的实践。如上所述,数学模型在当今市场经济和信息化社会已经有比较广泛的应用;因而,模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位,在数学教育领域也应该有它的一席之地。现行的《数学课程标准》对符号化思想有明确要求,如要求学生“能从具体行进中抽象出数量变化和变化规律并用符号来表示”,这实际上就包含了模型思想。但是,《数学课程标准》对第一,二学段并没有提出模型思想要求,只是在第三学段的内容标准和教学建议中明确提出了模型思想,要求在教学中
“注重使学生经历从实际问题中建立数学模型”,教学过程以“问题情境—建立模型—解释、应用于扩展”的模式展开。 从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量变化和变量规律,求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生
。并在教初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用知识”材编写中提出了“教材应当根据课程内容,设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活用应体现‘问题情境—建立模型—求解验证’过程,这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能,感悟数学思想、积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,增强应用意识和创新意识”。在小学阶段,从《数学课程标准》的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用,并明确了模型思想的重要意义。这不仅表明了数学的应用价值,同时明确了建立模型是数学运用和解决问题的核心。
3(模型思想的具体运用
数学的发现和发展过程,也是一个应用的过程。从这个角度而言,伴随着数学知识的产生和发展,数学模型实际上也随后产生和发展了。如自然数系统1,2,3?是描述离散数量的数学模型。就小学数学的应用来说,大多数是古老的初等数学知识的简单应用,也许在数学家的眼里,这根本就不是真正的数学模型;不过
小学数学的应用虽然简单,但仍然是现实生活和进一步学习所不可缺的。
4(数学模型思想的教学。为数学在各个领域的广泛应用,不但促进了科学和人类的进步,也使人们对数学有了新的认识:数学不仅仅是数学家的乐园,它特不应是抽象和枯燥的代名词,它是全人类的朋友,也是广大中小学生的朋友.学习的过程可以经历类似于数学家建模的再创造过程,现实过程中已有的数学模型基本上是数学家和物理家等科学家们应用于各个领域经过艰辛的研究创造出来的,是的我们能够享受现实的成果。
范文二:数学模型思想
三、数学模型的基本作用
数学模型的基本作用有很多,在这里将列出我认为比较重要的四个作用。
(1) 数学模型能为解决复杂数学问题提供决策根据
数学模型是把数学理论应用于实际的桥梁和主要方法;由于数学模型能揭示原型的内在属性与数量关系,所以,能为解决复杂数学问题提供决策根据,成为解决实际问题的一种有效的通用工具。比如,十字路口的最佳交通流的控制方案;生物医学家掌握了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型,就可以分析药物的疗效,从而有效指导临床用药;厂长和经理们掌握了他们的工厂、企业的生产和销售的数学模型,就可以用计算机控制生产、销售以获取尽可能高的经济收益,增强他们的经济竞争力。
(2)数学模型是科学研究的一种重要方法
马克思曾高度评价数学的作用:一种科学只有成功的运用数学时,才算达到真正完善的地步。这里主要是强调,在自然和社会科学各领域应用数学时需要建模,即通过模型方法来实现。如:牛顿通过数学模型描述牛顿第二定律,它揭示了物体的运动对作用于它的合力的依赖关系,连同牛顿的其他定律一道,圆满的解决了经典力学的基础。
(3)数学模型能发现不同学科间的关系,促进关联学科的发展
采用数学模型解决某个学科的一个较重要的实际问题,就促进该学科向数学化前进一步。可能多个实际问题(它们可能来自不同的学科),但却具有相同或类似的数学模型,反过来说明这几个原型问题,甚至这几个学科之间具有某种相似或对应关系下的一致性。这将导致这些学科的相互联系、互相促进和 综合发展。如:人口增长模型、放射性同位数衰变、电阻电容电路的放电和充电、银行复利的储蓄金额等问题都可以建立同一种数学模型,于是,人们可以把一个学科中关于原型问题的解释移植到另一学科,并可互相借鉴问题的解决办法。
(4)数学模型为理论或实际问题提供预测方案
历史上,19世纪下半叶,英国物理学家麦克斯韦利用微分方程作为数学模型,提出了电磁波理论。当人们还未在实践中发现电磁波的存在,直到他去世后9年,即1888年,德国物理学家赫兹才发现了电磁波。如此重大事件成为数学模型具有预测功能的典型例子。
四、模型思想在教学中的体现及案例分析
模型思想作为一种思想要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程,在这一过程中,学生总是从相对简单到相对复杂,从相对具体到相对抽象,逐步积累经验、掌握建模方法,逐步形成运用模型去进行数学思维的习惯。教师在教学中要注意根据学生的年龄特征和不同学段的要求,逐步渗透模型思想。
在义务教育阶段,用字母、数字及其他数学符号建立起来的代数式、关系式、方程、函数、不等式,及各种图表、图形等都是数学模型。如:数的模型、几何模型、数据统计分析模型、方程模型等许多模型思想都在在中小学的课堂中都体现的淋漓尽致。
下面介绍一个渗透模型思想的案例,在《比的应用》这一节中,通过从实际问题到数学问题的转换,让学生体会到模型思想的应用。由此我们知道,“模型思想”作为核心概念提出来,不是无缘无故、无凭无据的,而是有丰富的实践经验作为其基础的。
五、参考文献
1. 张雄、李得虎 《 数学方法论与解题研究》 高等教育出版社 2003年 8
月 第一版
2. 刘淑环 主编 《数学方法与应用》 清华大学出版社 2008年6月第一版
3. 顾泠沅主编 邵光华著 《作为教育任务的数学思想与方法》上海教育出版社2009年9月第一版
4. 数学课程标准 (2011版) 中华人民共和国教育部制定 北京师范大学出版社 2012年1月第一版
5. 数学课程标准 (实验稿) 中华人民共和国教育部制订 北京师范大学出版社 2001年7月第一版
6. 吴炯圻 林培榕 《数学思想方法----创新与应用能力的培养》厦门大学出版社 (第二版)
7. 叶立军 《数学方法论》 浙江大学出版社
8李树臣 . 渗透数学思想的基本途径. 教法与学法[J].
9. 蒋永晶.数学模型思想与中学数学[J].大连教育学院学报,1995,1.
范文三:数学模型思想
在小学数学教学中如何构建学生的建模思想 在《数学课程标准》我们会发现这样一句话——“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程,进而使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”,这实际上就是要求我们每一个数学教师把学生学习数学知识的过程当做建立数学模型的过程, 并在建模过程中培养学生的数学应用意识, 引导学生自觉地用数学的方法去分析、解决生活中的问题。标准中还明确要求教师引导学生建立数学模型,不但要重视结果,更要关注学生自主建立数学模型的过程,让学生在进行探究性学习的过程中科学地、合理地、有效地建立数学模型。
什么是数学模型
说得通俗一点,数学模型就是为解决现实生活中的问题而建立的数学概念、公式、定义、定理、法则、体系等等。也就是说我们小学阶段的数学概念、性质、定律、公式、计算法则、相遇问题等等都属于数学模型。数学模型一般是用数学语言、符号、数量关系或图形来呈现的,具有精确性、直观性、简洁性等特点。如加法交换律这一数学模型,教材上同时用了多种形式来呈现这一模型,“两个加数交换位置和不变”这是用
数学语言来描述的,“▲+★=★+▲”这是运用了符号模型,“ɑ+b=b+ɑ”是字母模型。今天我执教的百分数的意义,也是用数学语言来呈现的这一概念模型。
3. 什么是数学建模
数学建模就是建立数学模型,数学建模是一种数学的思考方法,是一个经历观察、思考、归类、抽象与总结的过程,也是一个信息捕捉、筛选、整理的过程,更是一个思想与方法的产生与选择的过程。
如何建立数学模型呢?
帮助学生构建数学模型大致要经过三个大的步骤:①创设问题情境,发现提出问题——建立模型准备阶段;②探究解决问题——建立数学模型阶段;③解释应用拓展,体验数学价值——应用数学模型阶段。
一、创设问题情境,发现提出问题——建立模型准备; 青岛版教材每一个信息窗都为我们提供了一个情境图,通过让学生观察情境图隐含的信息,提出要研究的问题,从而让学生感受到了新知识产生的背景,理解新知识引入的必要性及作用,激发学生主动参与数学活动的积极性。比如在《百分数的意义》这一课,我首先从现实生活入手,让学生观察统计
表中的有关信息,通过信息引发要研究的问题:哪所学校的六年级学生的视力最好?这就为数学建模的建构做好了探究准备。
二、主动参与探究,在解决问题的过程中建构数学模型 数学家华罗庚通过多年的学习、研究经历总结出:对书本中的某些原理、定律、公式,我们在学习的时候不仅应该记住它的结论、懂得它的道理,而且还应该设想一下人家是怎样想出来的,怎样一步一步提炼出来的。只有经历这样的探索过程,数学的思想、方法才能沉积、凝聚,从而使知识具有更大的智慧价值。
其实数学教学的过程实质是在解决问题这个主线的引导下,让学生经历问题解决的探究过程,在此过程中建立自己的认知结构、感悟解决问题的策略,从而有效的构建解决问题的数学模型,再运用获得的知识、方法分析解决数学问题。在这一过程中就能够培养学生的抽象、概括及创新能力。因此,在学生探索解决问题的过程中,教师要有建模化的思想,使学生感受、理解、掌握数学知识的本质,形成数学模型以解决现实问题。在教学中,如果每一个教师善于磨、所谓“磨”,就是教师教学之前要先行琢磨:什么是模型?什么是模型思想?怎样
建立模型?等一系列与之相关的理论。明确之后,在引领学生进行探究,经历建模的过程。
例如在《百分数的意义》的案例中,我通过创设了“哪所学校的六年级学生的视力最好?”这一情境,通过“创设问题情境——建立百分数的概念模型——解释与应用”三部教学过程,有目的地唤起学生对已建立的分数概念模型的回忆,强化了对分数概念的认识,而百分数的概念正是在学生掌握分数模型的基础上建立起来的。因此,这个问题情境的创设为后续
1百分数模型的建立奠定了基础。如我在课堂上多次追问:表4
91251820 各表505100100100
示什么?目的就是让学生多次感悟两种量的一种关系,从而让学生感悟到百分数实际上也就是表示两种量的一种关系,区别是百分数反映的是一个数是另一个数的百分之几的关系,只有在这种主动的感悟中学生才能对概念理解的透彻、运用得手。
概念的形成必须使学生亲身经历一个探索的过程,经历一个解决问题的全过程。通过这些体验,才能使学生更加明确了分数与百分数之间的密切联系。加深了对百分数模型的认识。
③解释应用拓展,体验数学价值——应用数学模型。
用所建立的数学模型来解答生活实际中的问题,让学生能体会到数学模型的实际应用价值,体验到所学知识的用途和益处,这也是建立数学模型的最终目的。在百分数的意义一课,当把百分数的意义这一模型抽象出来之后,我紧接着让学生解释了生活中的百分数的意义,这一环节的设计就是对概念模型的应用。我想如果在这一环节能够让学生课前自己搜集有关百分数的事例让学生解释,学生的兴趣会更高,效果会更好一些。
总之,小学数学建模思想的形成过程大致分三个步骤:1、建立模型准备阶段,这一阶段需要创设情境,提出问题;2、建立数学模型阶段,这一阶段就是探究解决问题阶段;3、应用数学模型阶段,这一阶段就是解释应用,体验数学模型价值阶段。
范文四:谈数学模型思想的培养
谈数学模型思想的培养
在数学教学中,构建数学模型可以很好地促进学生的数学理解。所以,在教学中如何有效帮助学生建构数学模型,加强对知识的内在体验与感知,从而发展学生的模型思想,就成了我们课堂教学研究的重中之重了。下面我结合九年级上册“池塘里有多少条鱼”的教学案例,谈谈自己培养学生模型思想的做法。 一、创设问题情境,感知数学建模思想。
生活中的数学:李大爷承包了村里的池塘,辛苦了一年李大爷家今年的收成如何,你能帮助李大爷估计池塘中有多少条鱼吗,
有学生认为,把池塘里的鱼全部捞出,就可以知道了。也有学生反对,因为如果全部捞出鱼会死,再说也不好知道池塘里的鱼是否全部捞出。 教师接着提问:能不能不把池塘里的鱼全部捞出就可以估计李大爷承包的池塘中
有多少条鱼吗,
二、在参与讨论中,主动构建数学模型。
教师适当引导:一般情况下我们遇到实际问题首先应将其转化为数学问题,把复杂的数学问题转化为简单的数学问题来解决。所以我们能不能简化“鱼塘”问题,从一个简单的摸球游戏开始,对问题进行探究。然后再应用类比的数学方法得出简洁合理的方法估计李大爷承包的池塘中有多少条鱼。
思考:1、一个口袋中装有除颜色外均相同的8个黑球和12个白球,任意摸出一个球,摸到黑球和白球的概率相同吗,
22、一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果摸到黑球的概率是,那么你能5估计袋中的白球数吗,
、一个口袋中有8个黑球和若干个白球,如果不许将球倒出来数,那么你能估3
计其中的白球数吗,(启发学生思考问题3,小组讨论后可能会引出下列两种方案)
第一种方案:从口袋中随机摸出一球,记下其颜色,再把它放回口袋中,不断重复上述过程,我共摸了200次,其中有57次摸到黑球,因此我估计口袋中大约有20个白球。
假设口袋中有x个白球,通过多次试验,可以得出摸出黑球的频率,依此,我们可以估计出从口袋中摸出一球,它为黑球的概率。得:
857,8,x200
解得:x?20
在学生提出这一个方案后,教师可以提问:“ 为什么要把球再把它放回口袋中,如果不放回可以吗,”引起学生对问题中细节的关注。
第二种方案:利用抽样调查的方法,从口袋中一次摸出10个球,求出其中黑球数与10的比值,再把球放回口袋中。不断重复上述过程。我总共摸了20次,黑球数与10的比值的平均数为0.25,因此,我估计口袋中大约有24个白球. 假设口袋中有x个白球,通过多次抽样调查,求出样本中黑球数与总球数比值的“平均水平” ,这个“平均水平”应近似等于口袋中黑球的概率.得: 8,0.258,x
解得:x ?24
4、如果口袋中只有白球,没有其它颜色的球,而且不允许将球倒出来,那么你如何估计白球数呢,
学生们经过思考讨论,自然会想到:“受刚才的问题的启发,可以把这个问题转化为刚才的问题,向口袋中另放几个黑球,或者从口袋中抽出几个球并把它们染成黑色或做上标记。这样就利用上面的答案把问题解决。” 三、应用数学模型解决问题
通过“摸球”的探讨,将学生引回上课之初的“鱼塘”问题,请同学帮助李大爷设计一个方案估计李大爷的鱼塘里有多少条鱼,
此时,通过类比和引导,学生会得到如下方案:可以先捞出若干条鱼将它们做上标记,然后再放回鱼塘。经过一段时间后,再随机捕捞出若干条鱼,并以其中有标记的鱼的比例作为整个有标记的鱼的比例,据此估计整个鱼塘的鱼的数量。 例1:小花想知道自家鱼塘中鱼的数量,她先从鱼塘中捞出100条鱼分别作上记号,再放回鱼塘,等鱼完全混合后,第一次捞出100条鱼,其中有4条带标记的鱼,放回去后,第二次又捞出100条鱼,其中有6条带标记的鱼,请你帮她估计
鱼塘中鱼的数量是多少。
解:设鱼塘中鱼的数量有x条,依题意得,解得x=2000. 所以估计鱼塘中鱼的数量大约有2000条。
1004,6
x100,100
以上过程,首先是让学生“从现实生活或具体情境中抽象数学问题”,感知数学建模思想;然后在参与讨论中,主动构建数学模型;最后应用数学模型解决问题。显然,数学建模过程可以使学生在多方面得到培养而不只是知识、技能,使学生更有思想、方法,也有一些经验积累,其情感态度也会得到培养。
范文五:渗透模型思想,建构数学模型
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渗透模型思想,建构数学模型
作者:周清
来源:《内蒙古教育·基教版》2013年第11期
“鸡兔同笼”问题是我国古代算书《孙子算经》中的名题,也是我国民间广为流传的数学趣题,如今人教版(六年级上册第七单元“数学广角”)和苏教版都作为教学内容编入教材(苏教版六年级上册第七单元例2)。
一、小学高年级学生的思维发展从具体运算阶段向形式运算阶段过渡,能够运用假设——演绎推理的方式解决“鸡兔同笼”问题
1.根据该学段学生心理特点与已有知识经验培养他们的数学推理素质。儿童心理学说:形式运算阶段的儿童能在考察问题细节的基础上,假设这种或那种理论或解释是正确的,再从假设中演绎出从逻辑上讲这样或那样的经验现象实际上应该或不应该出现,然后检验他的理论,看这些预见的现象是否确实出现。苏教版六年级数学上册编排这节具有挑战性内容,目的是培养学生分析、综合和简单的推理能力,感受“替换”策略的价值,形成数学思想,有助于培养学生对数学的积极情感体验,是数学本身的魅力所在。
2.教师潜心钻研教材,从教材的编写意图出发,深度挖掘教材内涵,突破教材的“局限性”,弥补教材的“缺憾”。教师的教学如果不能激发学生自主探索的欲望,便无助于学生思维的发展。教材给学生留有思维的空间,给教师再创造的余地。苏教版六年级数学上册91页在例题2呈现后,提出思考:你准备怎样解决这个问题?这个问题的抛出,对学生很有难度。教材的呈现形式是静态的,它不能完整地表达设计意图,暴露出内容的复杂性与学生思维的局限性之间的矛盾,显得问题有些突兀。教师教学中,要给学生设计合理的思维梯度,将问题分解,为了解决矛盾,摆脱书本给学生带来思维的禁锢(数据大),故重设准备题:有若干只鸡和兔子,它们共有8个头,22只脚,鸡和兔各有多少只?
二、具体运算阶段的学生,从感性到理性是最重要的认知途径,考虑到他们的认知差异,为他们提供首次感知需要的充分的感性材料
准备题的条件简单,问题简单,但是学生对这类题思维方式凌乱,“鸡兔”换成“鹤龟”就会出现问题。为了促进学生理解题意,教师必须提供有关的感性材料(鸡和兔的实物图片),这些材料能给他们带来无尽的直觉源泉,能力稍差的学生可以根据实物图圈圈画画数数得出答案,思维能力稍好的学生借助列表得出答案。直观感性的材料是学生解决问题时的思维起点,也是问题的直接呈现形式,易于激发学生的求知欲与兴趣。
三、引导学生摈弃感性,概括归纳,达到认知上能接受的抽象程度——“替换”策略模型