范文一：大学概率论知识点总结 概率论知识点总结

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概率论知识点总结

第一章 随机事件及其概率

第一节 基本概念

随机实验:将一切具有下面三个特点:(1)可重复性(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件:在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件，简称为事件。

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不可能事件:在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件:在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点:随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.

样本空间:所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。 事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)

包含关系:若事件 A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A或A?B。 相等关系:若B?A且A?B，则称事件A与事件B相等，记为A,B。

事件的和:“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为 A?B。

事件的积:称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A? B或AB。 事件的差:称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为 A,B。

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用交并补可以表示为A?B?AB。

互斥事件:如果A，B两事件不能同时发生，即AB,Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时A?B可记为A，B。

对立事件:称事件“A不发生”为事件A的对立事件(逆事件)，记为A。对立事件的性质:A?B??,A?B??。

事件运算律:设A，B，C为事件，则有

(1)交换律:A?B=B?A，AB=BA

(2)结合律:A?(B?C)=(A?B)?C=A?B?C A(BC)=(AB)C=ABC

(3)分配律:A?(B?C),(A?B)?(A?C) A(B?C),(A?B)?(A?C)= AB?AC

(4)对偶律(摩根律):A?B?A?B A?B?A?B

第二节 事件的概率

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概率的公理化体系:

(1)非负性:P(A)?0;

(2)规范性:P(Ω),1

(3)可数可加性:A1?A2???An??两两不相容时

P(A1?A2???An??)?P(A1)?P(A2)???P(An)??

概率的性质:

(1)P(Φ),0

(2)有限可加性:A1?A2???An两两不相容时

P(A1?A2???An)?P(A1)?P(A2)???P(An)

当AB=Φ时P(A?B),P(A)，P(B)

(3)P(A)?1?P(A)

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(4)P(A,B),P(A),P(AB)

(5)P(A?B),P(A)，P(B),P(AB)

第三节 古典概率模型

1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为P(A)?k n

2、几何概率:设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为P(A)??(A) ?(?)

假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.

第四节 条件概率

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条件概率:在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称

为条件概率，记作 P(A|B). P(A|B)?P(AB) P(B)

乘法公式:P(AB)=P(B)P(A|B),P(A)P(B|A)

全概率公式:设A1,A2,?,An是一个完备事件组，则

P(B)=?P(Ai)P(B|Ai)

贝叶斯公式:设A1,A2,?,An是一个完备事件组,则

P(Ai|B)?P(AiB)?P(B)P(Ai)P(B|Ai) P(A)P(B|A)jj

第五节 事件的独立性

两个事件的相互独立:若两事件A、B满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A、B独立，或称A、B相互独立.

三个事件的相互独立:对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A、B、C相互独立

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三个事件的两两独立:对于三个事件A、B、C，若P(AB)= P(A)

P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A、B、C两两独立

独立的性质:若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B均相互独立

总结:1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用， 应牢固掌握。3.独立性是概率论中的最重要概念之一，应正确理解并应用于概率的计算。

第二章 一维随机变量及其分布

第二节 分布函数

分布函数:设X是一个随机变量，x为一个任意实数，称函数F(x)?P{X?x}为X的分布函数。如果将X看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x)的值就表示X落在区间 (??,x]内的概率

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分布函数的性质:(1)单调不减;(2)右连续;(3)F(??)?0,F(??)?1

第三节 离散型随机变量

离散型随机变量的分布律:设xk(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 P{X?xk}?pk为离散型随机变量X的分布律，也称概率分布.

当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时，常用表格形式表示分布律。 分布律的性质:(1)0?pk?1;(2)?pk?1

离散型随机变量的概率计算:

(1)已知随机变量X的分布律，求X的分布函数;

F(x)?P{X?x}?

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范文二：概率论知识点总结

标规划的数学模型”概念需要看;“解目标规划的图解法”要求掌握;“解目标规划的单纯形法”需要看(第四章) 概率论知识点总结

第一章

一、事件的运算

1、事件A与B至少有一个发生的事件成为事件A、B的和事件，记为A?B或A+B。对任

P(B),P(AB) 意事件A和B有P(A，B)=P(A)，

2、事件A和B，仅当A发生而B不发生时它发生，称此事件为事件A与B的差事件，记为A,B，对于任意A、B有P(B,A),P(B),P(AB)

3、事件A和B同时发生的事件称为A与B的积事件，记为A?B或AB 4、若事件A发生必导致B发生，则称事件A包含于B或者B包含A，记为AB或BA(此处未找到“包含”字符)最好自己画图理解一下

5、事件A与事件B不能同时发生，即AB= φ，称A与B是互不相容或互斥的 6、若在一次实验中，事件A与B中必有一个且仅有一个发生，称A与B为互逆事件或对立事件，记为A+B=Ω，AB= φ

二、条件概率及乘法公式

1、定义:已知AB为两个事件，且P(B)?0，称在B之前已发生的前提下A发生的概率为条件概率，记为P(A|B)。P(AB),P(B)P(A|B)或P(AB),P(A)P(B|A) 2、若两事件AB满足等式P(AB),P(A)P(B)，则称事件与相互独立。 三、全概率公式及逆概率公式:此处公式不太好写，大家自己对照课本理解一下 模拟试卷一和二的填空、选择前两个小题参考上述概念

第二章、第三章、第四章

1、 离散型随机变量的分布律、期望、方差

(0,1)分布 E(X)=P，D(X)=p q; 二项分布:X~B(n，p)，E(X)=n p，D(X)=n p q; 泊松分布:P(X=K)=,【此处不好敲出来，大家自己看书哈】 E(X)=λ, D(X) = λ 2、连续性随机变量的概率密度、期望、方差

概率密度定义:若存在非负可积函数f(x)，使得随机变量X取值于任意区间(x1，x2)的概率为P{x1,X,x2},【此处整理不出来，自己看课本哈】则称X为连续性随机变量，称f(x)为X的概率密度或分布密度或密度函数

分布函数定义:设X为一随机变量，x为任意实数，称函数F(x)=P,X?x,为X的分布函数

“均匀分布”和“正态分布”的概率密度和分布函数自己看课本哈，有些符号不好打出来

均匀分布:E(X),a+b/2 D(X),(b,a)?/12

指数函数:E(X),1, λ D(X),1,λ?

正态分布:X~N( μ,ó?) E(X), μ D(X),ó?

关于上述定义，参考课本，自己理解，结论课直接运用

3、数学期望和方差的简单性质

1)C为常数，则E(C)=C D(C)=0

2)设X、Y为两个随机变量，则E(X?Y)=E(X)?E(Y)

3)设X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y) D(X?Y),D(X)，D(Y) 4)D(CX),C?D(X)

另联合概率密度啦、边缘密度啦，这些东西要自己看的哦

第五章

“大数定理和中心极限定理”要求掌握

第六章

一些统计量的分布，如卡方分布、t分布要求掌握、F分布要求理解

第七章

“矩估计”和“最大似然估计量”要求掌握，“正态总体均值和期望的置信区间”也要掌握的

【概率论总的说来不好总结，之前听说别班有划范围的，纯属谣言。具体的考点参考模拟试卷一和二上的试题，不会就查课本哈，莎莎祝大家每天充实、快乐哦

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下面是余秋雨经典励志语录，欢迎阅读。

不需要的朋友可以编辑删除～～

关于年龄

1.一个横贯终生的品德基本上都是在青年时代形成的，可惜在那个至关重要的时代，青年人受到的正面的鼓动永远是为成功而搏斗，而一般所谓的成功总是带有排他性、自私性的印记。结果，脸颊上还没有皱纹的他们，却在品德上挖下了一个个看不见的黑洞。

2.我不赞成太多地歌颂青年，而坚持认为那是一个充满陷阱的年代。陷阱一生都会遇到，但青年时代的陷阱最多、最大、最险。

3.历史上也有一些深刻的哲人，以歌颂青年来弘扬社会的生命力。但这里显然横亘着一种二律背反:越是坚固的对象越需要鼓动青年去对付，但他们恰恰因为年轻，无法与真正的坚持相斡旋。

4.青年时代的正常状态是什么，我想一切还是从真诚的谦虚开始。青年人应该懂得，在我们出生之前，这个世界已经精精彩彩、复复杂杂地存在过无数年，我们什么也不懂，能够站正脚下的一角建设一点什么，已是万幸。

5.中年是对青年的延伸，又是对青年的告别。这种告别不仅仅是一系列观念的变异，而是一个终于自立的成熟者对于能够随心所欲处置各种问题的自信。

6.中年人的当家体验是最后一次精神断奶。你突然感觉到终于摆脱了父母、兄长、老师的某种依赖，而这种依赖在青年时代总是依稀犹在的;对于领导和组织，似乎更贴近了，却又显示出自己的独立存在，你成了社会结构网络中不可缺少的一个点;因此你在热闹中品尝了有生以来真正的孤立无援，空前的脆弱和空前的强大集于一身。

7.中年人一旦有了当家体验，就会明白教科书式的人生教条十分可笑。当家管着这么一个大摊子，每个角落每时每刻都在涌现着新问题，除了敏锐而又细致地体察实际情况，实事求是地解开每一个症结，简直没有高谈阔论、把玩概念的余地。这时人生变得很空灵，除了隐隐然几条人生大原则，再也记不得更多的条令。

8.中年人的坚守，已从观点上升到人格，而人格难以言表，他们变得似乎已经没有顶在脑门上的观点。他们知道，只要坚守着自身的人格原则，很多看似对立的观点都可相容相依，一一点化成合理的存在。于是，在中年人眼前，大批的对峙消解了，早年的对手找不到了，昨天的敌人也没有太多仇恨了，更多的是把老老少少各色人等照顾在自己身边。请不要小看这“照顾”二字，中年人的魅力至少有一半与此相关。

9.中年人最可怕的是失去方寸。这比青年人和老年人的失态有更大的危害。中年人失去方寸的主要特征是忘记自己的年龄。一会儿要别人像对待青年那样关爱自己，一会儿又要别人像对待老人那样尊敬自己，他永远活在中年之外的两端，偏偏不肯在自己的年龄里落脚。

10、某个时期，某个社会，即使所有的青年人和老年人都中魔一般荒唐了，只要中年人不荒唐，事情就坏不到哪里去。最怕的是中年人的荒唐，而中年人最大的荒唐，就是忘记了自己是中年。

11、中年太实际、太繁忙，在整体上算不得诗，想来难理解;青年时代常常被诗化，但青年时代的诗太多激情而缺少意境，按我的标准，缺少意境就算不得好诗。

12、一般情况下，老年岁月总是比较悠闲，总是能够没有功利而重新面对自然，总是漫步在回忆的原野，而这一切，都是诗和文学的特质所在。老年人可能不会写诗或已经不再写诗，但他们却以诗的方式生存着。看街市忙碌，看后辈来去，看庭花凋零，看春草又绿，而思绪则时断时续，时喜时悲，时真时幻。 13、老人的年龄也有积极的缓释功能，为中青年的社会减轻负担。不负责任的中青年用不正当的宠溺败坏了老人的年龄，但老人中毕竟还有冷静的智者，默默固守着年岁给予的淡然的尊严。

14、只有到了老年，沉重的人生使命已经卸除，生活的甘苦也已了然，万丈红尘已移到远处，宁静下来了的周际环境和逐渐放慢了的生命节奏构成了一种总结性、归纳性的轻微和声，诗的意境出现了。

15、中青年的世界再强悍，也经常需要一些苍老的手来救助。平时不容易见到，一旦有事则及时伸出，救助过后又立即消失，神龙见首不见尾。这是一种早已退出社会主体的隐性文化和柔性文化，隐柔中沉积着岁月的硬度，能使后人一时启悟，如与天人对晤。老年的魅力，理应在这样的高位上偶尔显露。不要驱使，不要强求，不要哄抬，只让它们成为人生的写意笔墨，似淡似浓，似有似无。

关于人生

1.我们对这个世界，知道得还实在太少。无数的未知包围着我们，才使人生保留迸发的乐趣。当哪一天，世界上的一切都能明确解释了，这个世界也就变得十分无聊。人生，就会成为一种简单的轨迹，一种沉闷的重复。

2.人有多种活法，活着的文明等级也不相同，住在五层楼上的人完全不必去批评三层楼的低下，何况你是否在五层楼还缺少科学论证。

3.人生的道路也就是从出生地出发，越走越远。一出生便是自己，由此开始的人生就是要让自己与种种异己的一切打交道。打交道的结果可能丧失自己，也可能在一个更高的层面上把自己找回。

4.不管你今后如何重要，总会有一天从热闹中逃亡，孤舟单骑，只想与高山流水对晤。走得远了，也许会遇到一个人，像樵夫，像路人，出现在你与高山流水之间，短短几句话，使你大惊失色，引为终生莫逆。但是，天道容不下如此至善至美，你注定会失去他，同时也就失去了你的大半生命。

5.人生的过程虽然会受到社会和时代的很大影响，但贯穿首尾的基本线索总离不开自己的个体生命。个体生命的完整性、连贯性会构成一种巨大的力量，使人生的任何一个小点都指点着整体价值。

6.如果有一天，我们突然发现，投身再大的事业也不如把自己的人生当做一个事业，聆听再好的故事也不如把自己的人生当做一个故事，我们一定会动手动笔，做一点有意思的事情。

7.杰出之所以杰出，是因为罕见，我们把自己连接于罕见，岂不冒险?既然大家都很普通，那么就不要鄙视世俗岁月、庸常岁序。不孤注一掷，不赌咒发誓，不祈求奇迹，不想入非非，只是平缓而负责地一天天走下去，走在记忆和向往的双向路途上，这样，平常中也就出现了滋味，出现了境界。

8.就人生而言，应平衡于山、水之间。水边给人喜悦，山地给人安慰。水边让我们感知世界无常，山地让我们领悟天地恒昌。水边让我们享受脱离长辈怀抱的远行刺激，山地让我们体验回归祖先居所的悠悠厚味。

9.第一根白发人人都会遇到，谁也无法讳避，因此这个悲剧似小实大，简直是天网恢恢，疏而不漏，而决斗、毒药和暗杀只是偶发性事件，这种偶发性事件能快速置人于死地，但第一根白发却把生命的起点和终点连成了一条绵长的逻辑线，人生的任何一段都与它相连。

10、谁也不要躲避和掩盖一些最质朴、最自然的人生课题如年龄问题。再高的职位，再多的财富，再大灾难，比之于韶华流逝、岁月沧桑、长幼对视、生死交错，都成了皮相。北雁长鸣，年迈的帝王和年迈的乞丐一起都听到了;寒山扫墓，长辈的泪滴和晚辈的泪滴却有不同的重量。

11、人格尊严的表现不仅仅是强硬。强硬只是人格的外层警卫。到了内层，人格的天地是清风明月，柔枝涟漪，细步款款，浅笑连连。

12、黄山谷说过:“人胸中久不用古今浇灌，则尘俗生其间，照镜觉面目可憎，对人亦语言无味。”这就是平庸的写照。如此好事，如果等到成年后再来匆匆弥补就有点可惜了，最好在青年时就进入。早一天，就多一份人生的精彩;迟一天，就多一天平庸的困扰。

13、再高的职位，再多的财富，再大灾难，比之于韶华流逝、岁月沧桑、长幼对视、生死交错，都成了皮相。北雁长鸣，年迈的帝王和年迈的乞丐一起都听到了;寒山扫墓，长辈的泪滴和晚辈的泪滴却有不同的重量。

14、人生不要光做加法。在人际交往上，经常减肥、排毒，才会轻轻松松地走以后的路。

15、几乎每一个改革探索者都遇到过嫉妒的侵扰，更不要说其中的成功者了。人们很容易对高出自己视线的一切存在投去不信任，在别人快速成功的背后寻找投机取巧的秘密。

关于文化

1.真正的文化精英是存在的，而且对国家社会非常重要。但是这些年来，由于伪精英的架势实在是太让人恶心了，结果连真的精英的名声也败坏了。真精英总是着眼于责任，伪精英总是忙着装扮;真精英总是努力地与民众沟通，伪精英总是努力地与民众划分，这就是最根本的区别。

2.凡是文化程度不高的群落，总是会对自己不懂的文化话语心存敬畏，正是这种敬畏心理被一些投机文人利用了。

3.在文化上，无效必然导致无聊，无聊又必然引来无耻。但是，即使到了这种“三无”的低谷，也不必过于沮丧。因为只有低谷，才能构成对新高峰的向往。

4.当今天下百业，文化最大。当今天下百行，文化届最小。那么，岂能再让一个日渐干涸的小池塘，担任江河湖海的形象代表?

5.古代绘画中无论是萧瑟的荒江、丛山中的苦旅，还是春光中的飞鸟、危崖上的雏鹰，只要是传世佳品，都会包藏着深厚的人生意识。贝多芬的交响曲，都是人生交响曲。

6.善良，这是一个最单纯的词汇，又是一个最复杂的词汇。它浅显到人人都能领会，又深奥到无人能够定义。它与人终生相伴，但人们却很少琢磨它、追问它。

7.社会理性使命已悄悄抽绎，秀丽山水间散落着才子、隐士，埋藏着身前的孤傲和身后的空名。天大的才华和郁愤，最后都化作供后人游玩的景点。

8.阅读的最大理由是想摆脱平庸，早一天就多一份人生的精彩;迟一天就多一天平庸的困扰。

9.为什么那么多中国民众突然对韩国的电视剧，对超女表现出那么单纯的投入，很重要的原因是，韩国艺术家不知道中国评论家，而超女根本不在乎评论家的存在。

10、一切美丽都是和谐的，因此总是浑然天成，典雅含蓄。反之，一切丑陋都是狞厉的，因此总是耀武扬威，嚣张霸道。如果没有审美公德的佑护，美永远战胜不了丑。

11、什么季节观什么景，什么时令赏什么花，这才完整和自然。如果故意地大颠大倒，就会把两头的况味都损害了。“暖冬”和“寒春”都不是正常的天象。

12、文明的人类总是热衷于考古，就是想把压缩在泥土里的历史扒剔出来，舒展开来，窥探自己先辈的种种真相。那么，考古也就是回乡，也就是探家。探视地面上的家乡往往会有岁月的唏嘘、难言的失落，使无数游子欲往而退;探视地底下的家乡就没有那么多心理障碍了，整个儿洋溢着历史的诗情、想像的愉悦。

13、我们的历史太长、权谋太深、兵法太多、黑箱太大、内幕太厚、口舌太贪、眼光太杂、预计太险，因此，对一切都“构思过度”。

14、中华文化的三大优点:一、不喜远征。中国人不会举一国之力去攻打远方之国。二、不喜极端。儒家讲究“中庸之道”，会努力寻找一个中间点，规避极端三、不喜无序。中国一直处于集权统治的状态中，习惯所有的事务都在管理之中，中国失控的时候是很少见的。

关于爱情

很多女孩子觉得责任感不太重要，男人没有责任感反而给了女方一种权利。其实对男人来说，还有什么比没有责任感可怕地呢?与没有责任感的男人谈恋爱，就像与朝雾和晚霞厮磨，再美好也没有着落。

爱情非常珍贵，不仅值得用斗争来保卫，而且即使付出生命的代价也值得。

其实，未经艰苦寻找的草率结合，对她也是不尊重。她和你一样，都有寻求深刻爱情的权利。

每一男女都处在自转之中，当一个男人最散发魅力的一面转向了一位女人，而这女人最美好的一面也刚好朝向了这个男人，那么爱情就挡也挡不住了。当然不是每个人都如此幸运，自转的方向和速度，相对于那个有可能出现或已经错过的异性，总要有偏差，所以老有人找不到自己的爱情。

2、能够慢慢培养的不是爱情，而是习惯。能够随着时间得到的，不是感情而是感动。所以爱是一瞬间的礼物，有就有，没有就没有。但反过来说，爱和婚姻实际并不是一回事情，并不是所有的爱情都要结婚的，也不是所有婚姻都有爱情的。

6、爱情里，总有一个主角和一个配角，累的永远是主角，伤的永远是配角;有时，爱也是种伤害:残忍的人，选择伤害别人，善良的人，选择伤害自己;人生就是一种承受，需要学会支撑。支撑事业，支撑家庭，甚至支撑起整个社会，有支撑就一定会有承受，支撑起多少重量，就要承受多大压力。

7、假如你想要一件东西，就放它走。它若能回来找你，就永远属于你;它若不回来，那根本就不是你的。爱情也是如此。

8、为什么把择定终身的职责，交付给半懂不懂的年岁;为什么把成熟的眼光，延误地出现在早已收获过的荒原?

9、说了那么多旳——“如若你不在，我等待你归来。”也比不过你一句——“我不会等，我去找你!”

关于友情

1.常听人说，人世间最纯净的友情只存在于孩童时代。这是一句极其悲凉的话，居然有那么多人赞成，人生之孤独和艰难，可想而知。我并不赞成这句话。孩童时代的友情只是愉快的嘻戏，成年人靠着回忆追加给它的东西很不真实。友情的真正意义产生于成年之后，它不可能在尚未获得意义之时便抵达最佳状态。

2.很多人都是在某次友情感受的突变中，猛然发现自己长大的。仿佛是哪一天的中午或傍晚，一位要好同学遇到的困难使你感到了一种不可推卸的责任，你放慢脚步忧思起来，开始懂得人生的重量。就在这一刻，你突然长大。

3.在人生的诸多荒诞中，首当其冲的便是友情的错位。友情的错位，来源于我们自身的混乱。

4.置身于同一个职业难道是友情的基础?当然不是。如果偶尔有之，也不能本末倒置。情感岂能依附于事功，友谊岂能从属于谋生，朋友岂能局限于同僚。

5.在家靠父母，出外靠朋友。这种说法既表明了朋友的重要，又表明了朋友的价值在于被依靠。但是，没有可靠的实用价值能不能成为朋友?一切帮助过你的人是不是都能算作朋友?

6.患难见知己，烈火炼真金。这又对友情提出了一种要求，盼望它在危难之际及时出现。能够出现当然很好，但友情不是应急的储备，朋友更不应该被故意地考验。

7.真正的友情不依靠什么。不依靠事业、祸福和身份，不依靠经历、方位和处境，它在本性上拒绝功利，拒绝归属，拒绝契约，它是独立人格之间的互相呼应和确认。它使人们独而不孤，互相解读自己存在的意义。因此所谓朋友也只不过是互相使对方活得更加自在的那些人。

8.真正的友情都应该具有“无所求” 的性质，一旦有所求，“求”也就成了目的，友情却转化为一种外在的装点。我认为，世间的友情至少有一半是被有所求败坏的，即便所求的内容乍一看并不是坏东西;让友情分担忧愁，让友情推进工作??，友情成了忙忙碌碌的

工具，那它自身又是什么呢?应该为友情卸除重担，也让朋友们轻松起来。朋友就是朋友，除此之外，无所求。

9.无所求的朋友最难得，不妨闭眼一试，把有所求的朋友一一删去，最后还剩几个?

10.真正的友情因为不企求什么不依靠什么，总是既纯净又脆弱。世间的一切孤独者也都遭遇过友情，只是不知鉴别和维护，一一破碎了。

11.“君子之交谈如水”，这种高明的说法包藏着一种机智的无奈，可惜后来一直被并无机智、只剩无奈的人群所套用。怕一切许诺无法兑现，于是不作许诺;怕一切欢晤无法延续，于是不作欢晤，只把微笑点头维系于影影绰绰之间。有人还曾经借用神秘的东方美学来支持这种态度:只可意会，不可言传;不着一字，尽得风流;羚羊挂角，无迹可寻??这样一来，友情也就成了一种水墨写意，若有若无。但是，事情到了这个地步，友情和相识还有什么区别?

12.强者捆扎友情，雅者淡化友情，俗者粘贴友情，都是为了防范友情的破碎，但看来看去，没有一个是好办法。原因可能在于，这些办法都过分依赖技术性手段，而技术性手段一旦进入感情领域，总没有好结果。

13.万不能把防范友情的破碎当成一个目的。该破碎的让它破碎，毫不足惜;虽然没有破碎却发现与自己生命的高贵内质有严重羝牾，也要做破碎化处理。罗丹说，什么是雕塑?那就是在石料上去掉那些不要的东西。我们自身的雕塑，也要用力凿掉那些异己的、却以朋友名义贴附着的杂质。不凿掉，就没有一个像模像样的自己。

14.该破碎的友情常被我们捆扎、粘合着，而不该破碎的友情却又常常被我们捏碎了。两种情况都是悲剧，但不该破碎的友情是那么珍贵，它居然被我们亲手捏碎，这对人类良知的打击几乎是致命的。

15.其实，世上哪有两片完全相同的树叶，即便这两片树叶贴得很紧?本有差异却没有差异准备，都把差异当作了背叛，夸张其词地要求对方纠正。这是一种双方的委屈，友情的回忆又使这种委屈增加了重量。负荷着这样的重量不可能再来纠正自己，双方都怒气冲天地走上了不归路。凡是重友情、讲正气的人都会产生这种怒气，而只有小人才是不会愤怒的一群，因此正人君子们一旦落入这种心理陷阱往往很难跳得出来。高贵的灵魂吞咽着说不出口的细小原因在陷阱里挣扎。

16.友情好像是一台魔力无边的红外线探测仪，能把一切隐藏的角落照个明明白白。不明不白也不要紧，理解就是一切，朋友总能理解，不理解还算朋友?但是，当误会无可避免

地终于产生时，原先的不明不白全都成了疑点，这对被疑的一方而言无异是冤案加身;申诉无门，他的表现一定异常，异常的表现只能引起更大的怀疑，互相的友情立即变得难于收拾。

17.友情本是超越障碍的翅膀，但它自身也会背负障碍的沉重，因此，它在轻松人类的时候也在轻松自己，净化人类的时候也在净化自己。其结果应该是两相完满:当人类在最深刻地享受友情时，友情本身也获得最充分的实现。

18.现在，即便我们拥有不少友情，它也还是残缺的，原因在于我们自身还残缺。世界理应给我们更多的爱，我们理应给世界更多的爱，这在青年时代是一种小心翼翼的企盼，到了生命的秋季，仍然是一种小心翼翼的企盼。但是，秋季毕竟是秋季，生命已承受霜降，企盼已洒上寒露，友情的渴望灿如枫叶，却也已开始飘落。

范文三：概率论知识点总结

概率论与数理统计重要知识点总结

第二章 一维随机变量及其分布

1. 已知离散型随机变量的分布律，求分布函数F(x)的方法 （1）以X的特殊点（取值点）分割-∞到+∞； （2）按右连续的规则加等号； （3）概率累加。

2. 对分布函数F(x)性质的理解 （1）F(-∞)=0,F(+∞)=1； （2）F(x)为单调不减函数；

?连续型r.v.——F(x)始终连续！（3）F(x)右连续?

?离散型r.v.——???F(x)大部分都连续

??F(x)在间断点——右连续

说明：

（1）性质1—3，可作为判断分布函数的充要条件； （2）F(b)-F(a)=P{aa)；

（3）P{X=a}=F(a)-F(a-0)；0=F(a)=F(a-0)连续点。

3. 连续型随机变量的概率、分布函数与概率密度的关系

概率

分布函数

P{-∞<><>

= P{X≤x} = F(x) = P{a<><>

F(a)-F(a-0)

=

概率密度

?+∞

-∞f(x)dx ?

x

-∞f(x)dx

?b

a

f(x)dx

?a

a

f(x)dx=0

4. 求一维连续型随机变量函数分布的方法

已知：（1）X的概率密度f(x)； （2）Y=g(X)， 求：Y的概率密度fY(y). 方法1（分布函数法）

（1）求Y分布函数：FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=（2）求导数：FY'(y)=fY(y) 注意：

（1）一般要讨论y的范围； （2）

g(x)≤y

?

fX(x)dx

g(x)≤y

?

fX(x)dx一般不用计算，直接用微积分中“变上下限函数”的导数公式求

导，得到fY(y)。 方法2（公式法）

当y=g(x)是分段严格单调的可导函数时，有：

? y有定义的区间，?∑f(hi(y))hi'(y)，

fY(y)=?.

其他.?? 0，

其中x=hi(y)是y=g(x)的分段区间上的反函数。

第三章 多维随机变量及其分布

1. 已知二维连续型随机变量的概率密度f(x,y)为分段函数，求边缘概率密度的方法（以fX(x)为例） （1）写公式：fX(x)=?

+∞-∞

f(x,y)dy；

（2）画图：平面直角坐标系中画出f(x,y)≠0的表达式所在的区域；

（3）作射线：在（2）中区域画若干条y从-∞到+∞的射线，从而确定y穿过

f(x,y)≠0的区域的边界，即确定y的积分上下限?

h(x)g(x)

f(x,y)dy；

?h(x)f(x,y)dy,x的区间,?

（4）配上fX(x)其他部分：得到fX(x)=??g(x)

?其他.?0,

2. 已知二维连续型随机变量的概率密度f(x,y)，求三种概率的方法总结 （1）P{X,Y的不等式}=P{X,Y落在某区域D}=??f(x,y)dxdy

D

（2）P{c<><>

c

d

（3）P{c<><><><>

P{c<><><><><>

??

D'

ba

f(x,y)dxdy=?dx?f(x,y)dy

a

c

bd

①?fX(x)dx

②??f(x,y)dxdy=?dx?

D''

ab

+∞-∞

f(x,y)dy

3. 求二维离散型随机变量函数的分布律的方法 已知：（1）(X,Y)的分布律；（2）Z=g(X,Y)， 求：Z的分布律。

方法：（1）列出Z的所有可能取值；

（2）对应算概率（Z的取值?X与Y的取值）。

4. 求二维连续型随机变量函数的概率密度的方法

已知：（1）(X,Y)的概率密度f(x,y)； （2）Z=g(X,Y)， 求：Z的概率密度fZ(z)。 方法1（分布函数法）

（1）求Z的分布函数：FZ(z)=P{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=（2）求导数：FZ'(z)=fZ(z)

g(x,y)≤z

??

f(x,y)dxdy

方法2（公式法）当Z=X+Y,X-Y,XY,（通过下面的具体例子讲解方法）

X

时，一般才用公式法 Y

例：X~U[0,a]，X与Y独立同分布，求Z=X+Y的概率密度fZ(z)。 解：（1）写公式：fZ(z)=?f(x,z-x)dx=

-∞+∞

独立+∞

?

-∞

fX(x)?fY(z-x)dx；

?0<>

?0<>

（3）画数轴（关于积分变量x的数轴）：x要落在(0,a)之间，x还要落在

(z-a,z)之间，则需讨论z的区间；

（4）讨论z的区间：z<>

11z

?dx=2 0aaaa112a-z

?dx= a≤z<2a:fz(z)=?>

0≤z

z

z≥2a:fZ(z)=0。

第四章 数字特征

1. 数学期望的常用计算思路

（1）利用性质：例如E(aX+bY-Z)=aEX+bEY-EZ （2）利用常见分布已知的期望公式： （3）利用方差公式变型：EX2=DX+(EX) 例如：X~P(λ)，则

2

E(X2+X+1)=E(X2)+EX+1=DX+(EX)2+EX+1=λ2+2λ+1

（4）利用随机变量函数的期望公式： 例如：E(g(X))=?

+∞-∞

g(x)f(x)dx；E(g(X,Y))=?

+∞

-∞

?

+∞

-∞

g(x,y)f(x,y)dxdy。

（5）利用分解思想：EX=E(X1+X2+???+Xn)

——适用于离散型随机变量的分布律较难求的情形

2. 本章常用公式

（1）DX=E(X-EX)=EX2-(EX)

2

2

（2）EX2=DX+(EX)

2

（3）cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EX?EY=ρXY?DX?DY （4）cov(X,X)=DX （4）ρXY=

cov(X,Y) DX?DY

（5）D(aX+b)=a2?DX

（6）D(X±Y)=DX+DY±2cov(X,Y)

（7）D(X+Y±Z)=DX+DY+DZ+2cov(X,Y)±2cov(Y,Z)±2cov(X,Z) （8）cov(aX+bY,Z)=a?cov(X,Z)+b?cov(Y,Z)（“记得用”） 例：EX=1,EY=2,DX=1,DY=4,ρXY

3. 独立与不相关的关系、不相关的若干充要条件

??ρXY=0

??cov(X,Y)=0?

X与Y独立（无任何关系）（无线性关系） ? ?X与Y不相关

??E(XY)=EX?EY???D(X±Y)=DX+DY

=0.6，则E(2X-Y+1)=4.2

2

4. 正态分布的若干结论 （1）X~N(μ,σ2)，则

X-μ

σ

~N(0,1)

（2）X~N(μ,σ2)，则aX+b~N(aμ+b,a2σ2)

（3）相互独立的正态分布的线性组合仍服从正态分布，即Xi~N(μi,σi2)，

(i=1,2,???,n) ，且X1,X2, Xn相互独立，则

n

?n?

a1X1+a2X2+???anXn~N ∑aiμi,∑ai2σi2?

i=1?i=1?

（4）若(X,Y) 服从二维正态分布，即(X,Y)~N(μ1,μ2;σ12,σ22;ρ)，则 ①X~N(μ1,σ12)，Y~N(μ2,σ22)；（反之不成立） ②X与Y独立?X与Y不相关。（反之不成立）

第六章 数理统计的基本概念

1. 本章常用公式与结论

21n1n2（1）样本均值=∑Xi；样本方差S=X- ； ()∑i

n-1i=1ni=1

（2）E(X)=EX，D(X)=

DX

，E(S2)=DX； n

（3）χ2、t、F分布的构造原理：

χ2(n)=X12+X22+???+Xn2

，

t(

n)=

X/n

F(n,m)=

Y/m；（4）正态总体的若干统计量及其分布（前提：总体X~N(μ,σ2)），则

n-1)S2?σ2?(

2

X~N μ,~χ~N(0,1)~t(n-1)，(n-1) ?2

nσ??

2. 求统计量服从分布的一般思路 （1）根据问题先猜统计量服从的分布；

（2）看已知什么，按χ2、t、F分布的构造原理，自己去凑； （3）记得遇到正态分布“标准化”；

（4）最后整理，如果凑的方向对，自然就会出来结果。

第七章 参数估计

1. 点估计是要作什么？

已知：（1）总体X的分布，其中含有未知参数θ； （2）样本X1,X2, ,Xn，

目的：构造关于样本X1,X2, ,Xn的函数，去估计θ，

?=g(X,X, ,X)为θ的估计量，θ?=g(x,x, ,x)为θ的估计值。 称：θ12n12n

2. 矩估计的计算步骤：

（1）求出总体矩：EX,EX2, ,EXK, ；

1n1n1nK2

（2）写出样本矩：A1=∑Xi，A2=∑Xi，…，AK=∑Xi…；

ni=1ni=1ni=1

?EX=A1?2

?EX=A2?

（3）列方程：令?，即可求出θ。

?EXK=A

K?

? ?例：X~E(λ)，样本X1,X2, ,Xn，求λ的矩估计。

11n

?=1； 解：（1）EX=；（2）A1=∑Xi=；（3）令=?λ

λλni=1

1

说明：（1）一般有几个参数，列几个方程；

（2）结果记得加 ^；

（3）矩估计法不唯一（由此后面引出了点估计的评价）

1nPP

（4）大数定律：∑XiK??→EXK，即AK??→EXK保证了矩估计方法

ni=1

的合理性。

3. 极大似然估计的计算步骤：

计算原理：当极大似然函数L(θ)取最大值时，求相应的参数θ的方法。 计算步骤：

（1）写出极大似然函数：

??P{X1=x1}P{X2=x2} P{Xn=xn},离散型总体,

L(θ)=?

fxfx fx,连续型总体.()()()Xnn??X11X22

（2）取对数：lnL(θ)；

（3）求导数：令说明：

dlnL(θ)=0，求出估计量θ?。 dθ

（1）若有多个参数，则上面第三步中lnL(θ)应对每个参数求偏导数，并令其为0，求出各个参数的估计量；

（2）若上面的方法失效，无法求出θ?，则应从原理上分析，找到使L(θ)取得最大值时θ的估计量，此时一般的结论是

?=max(X,X, ,X)或θ?=min(X,X, ,X). θ12n12n

范文四：概率论知识点总结

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概率论知识点总结

概率是一个可以计算的范围，以下是小编整理的概率论知识点总结，欢迎参考阅读～

第一章 概率论的基本概念 1. 随机试验

确定性现象:在自然界中一定发生的现象称为确定性现象。

随机现象: 在个别实验中呈现不确定性，在大量实验中呈现统计规律性，这种现象称为随机现象。

随机试验:为了研究随机现象的统计规律而做的的实验就是随机试验。 随机试验的特点:

1)可以在相同条件下重复进行;

2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能

结果;

3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会先出现;

2. 样本空间、随机事件

样本空间:我们将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记为S。 样本点:构成样本空间的元素，即E中的每个结果，称为样本点。 事件之间的基本关系:包含、相等、和事件(并)、积事件(交)、差事件(A-B:包含A不包含B)、互斥事件(交集是空集，并集不一定是全集)、对立事件(交集是空集，并集是全集，称为对立事件)。

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事件之间的运算律:交换律、结合律、分配率、摩根定理(通过韦恩图理解这些定理)

3. 频率与概率

频数:事件A发生的次数 频率:频数/总数

概率:当重复试验的次数n逐渐增大，频率值就会趋于某一稳定值，这个值就是概率。 概率的特点:1)非负性。2)规范性。3)可列可加性。

概率性质:1)P(空集)=0，2)有限可加性，3)加法公式:P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

4. 古典概型

学会利用排列组合的知识求解一些简单问题的概率(彩票问题，超几何分布，分配问题，插空问题，捆绑问题等等)

5. 条件概率

定义:A事件发生条件下B发生的概率P(B|A)=P(AB)/P(A) 乘法公式:P(AB)=P(B|A)P(A) 全概率公式与贝叶斯公式

6. 独立性检验

设 A、B是两事件，如果满足等式P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B相互独立，简称A、B独立。

第二章(随机变量及其分布 1. 随机变量

定义:设随机试验的样本空间为S={e}. X=X(e)np= ?

3. 随机变量的分布函数

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定义:设X是一个随机变量，x是任意的实数，函数 F(x)=P(X?x),x属于R 称为X的分布函数 分布函数的性质:

1) F(x)是一个不减函数

2) 0?F(x)?1

离散型随机变量的分布函数的求法(由分布律求解分布函数)

连续性随机变量的分布函数的求法(由分布函数的图像求解分布函数，由概率密度求解分布函数)

4. 连续性随机变量及其概率密度

连续性随机变量的分布函数等于其概率密度函数在负无穷到x的变上限广义积分 相反密度函数等与对应区间上分布函数的导数 密度函数的性质:1)f(x)?0

2) 密度函数在负无穷到正无穷上的广义积分等于1

三大连续性随机变量的分布: 1)均与分布 E(X)=(a+b)/2 D (X)=[(b-a) ]/12

2)指数分布 E(X)=θ D(X)=θ

3)正态分布一般式(标准正态分布) 5. 随机变量的函数的分布

1)已知随机变量X的 分布函数求解Y=g(X)的分布函数

2)已知随机变量X的 密度函数求解Y=g(X)的密度函数 第三章 多维随机变量及其分布(主要讨论二维随机变量的

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分布)

1.二维随机变量

定义 设(X，Y)是二维随机变量，对于任意实数x, y,二元函数

F(x, Y)=P[(X?x)交(Y?y)] 称为二维随机变量(X，Y)的分布函数或称为随机变量联合分布函数离散型随机变量的分布函数和密度函数 连续型随机变量的分布函数和密度函数

重点掌握利用二重积分求解分布函数的方法

2(边缘分布

离散型随机变量的边缘概率

连续型随机变量的边缘概率密度

3.相互独立的随机变量

如果X，Y相互独立，那么X，Y的联合概率密度等于各自边缘的乘积

5. 两个随机变量的分布函数的分布

关键掌握利用卷积公式求解Z=X+Y的概率密度 第四章(随机变量的数字特征

1.数学期望

离散型随机变量和连续型随机变量数学期望的求法 六大分布的数学期望

2.方差

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连续性随机变量的方差 D(X)=E(X )-[E (X )] 方差的基本性质:

1) 设C是常数，则D(C)=0

2) 设X随机变量，C是常数，则有

D(CX)=C D(X)

3) 设X，Y是两个随机变量，则有

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 特别地，若X，Y不相关，则有D(X+Y)=D(X)+ D(Y) 切比雪夫不等式的简单应用 3. 协方差及相关系数

协方差:Cov(X ,Y )= E{(X-E(X))(Y-E(Y))} 相关系数:m=Cov(x,y)/?D(X) ?D(Y)

当相关系数等于0时,X,Y 不相关，Cov(X ,Y )等于0 不相关不一定独立，但独立一定不相关

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范文五：概率论知识点总结

概率论总结

目 录

一、 前五章总结

第一章 随机事件和概率 …………………………1

第二章 随机变量及其分布……………………….5

第三章 多维随机变量及其分布…………………10

第四章 随机变量的数字特征……………………13

第五章 极限定理………………………………...18 二、 学习概率论这门课的心得体会……………………20

一、前五章总结

第一章 随机事件和概率

第一节:1.、将一切具有下面三个特点:，1，可重复性，2，多结果性，3，不确定性的试验戒观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示。

在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情，结果，称为随机事件,简称为事件。

不可能事件:在试验中不可能出现的事情,记为Ф。

必然事件:在试验中必然出现的事情,记为S戒Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点,记作e 戒ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S戒Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集,复合事件—多点集

一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件间的关系及运算,就是集合间的关系和运算。 3、定义:事件的包含不相等

若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为B,A戒A,B。

若A,B且A,B则称事件A不事件B相等,记为A,B。 定义:和事件

“事件A不事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A不事件B的和事件。记为A?B。 用集合表示为: A?B={e|e?A,戒e?B}。

定义:积事件

称事件“事件A不事件B都发生”为A不B的积事件,记为A?B戒AB,用集合表示为AB={e|e?A且e?B}。

定义:差事件

称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A不事件B的差事件,记为A,B,用集合表示为 A-B={e|e?A,e,B} 。 定义:互不相容事件戒互斥事件

如果A,B两事件不能同时发生,即AB,Φ ,则称事件A不事件B是互不相容事件戒互斥事件。

定义6:逆事件/对立事件

称事件“A不发生”为事件A的逆事件,记为ā 。A不ā满足:A?ā= S,且Aā=Φ。

运算律:

设A,B,C为事件,则有

，1，交换律:A?B=B?A,AB=BA

，2，结合律:A?(B?C)=(A?B)?C=A?B?C

A(BC)=(AB)C=ABC ，3，分配律:A?(B?C),(A?B)?(A?C)

A(B?C),(A?B)?(A?C)= AB?AC

，4，德摩根律: A:B,A:B

A:B,A:B

小结:

事件的关系、运算和运算法则可概括为

四种关系:包含、相等、对立、互不相容;

四种运算:和、积、差、逆;

四个运算法则:交换律、结合律、分配律、对偶律。 第二节:

1、 设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本点组成 , 事件

A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为:P(A),k/n,

A包含的样本点数/S中的样本点数。

2、 几何概率:设事件A是S的某个区域,它的面积为 μ(A),则

向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A的概率为:

P，A，=μ，A，/μ，S， 假如样本空间S可用

一线段,戒空间中某个区域表示,并且向S上随机投掷一点的

含义如前述,则事件A的概率仍可用，*，式确定,只不过把

理解为长度戒体积即可.

概率的性质: ,,,,，1，P(,)=0, ,,，，？P,,P,:,,,m1m1,,,,

，2，

A,A,i,j,1,2,,n,i,j,？两两互不相容，ij

nn ,,,,，，PA,PA;则:,kk,,,1k,1k,,

P(A),1,P(A),，3，

，4，若A,B,则P(B-A)=P(B)-P(A), P(B) ? P(A). 第四节:条件概率:在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为A对B的条件概率,记作P(A|B).

PAB，， P(A|B),，，PB

而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小,即P(A|B)仍是概率.

乘法公式: 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A)

全概率公式:设A,A,…,A是试验E的样本空间Ω的一个划分,且12n

nP(A)>0,i =1,2,…,n, B是仸一事件, 则 iP(B),P(A)P(B,A),ii,1i

贝叶斯公式:设A,A,…,A是试验E的样本空间Ω的一个划分,且12n

P(A)>0,i =1,2,…,n, B是仸一事件且P(B)>0, 则 i

n

P(A|B),P(A)P(B,A)P(A)P(B,A),iiijj,1j

第五节:若两事件A、B满足

()= () () 则称独立,戒称相互独立. PABPAPBA、BA、B

将两事件独立的定义推广到三个事件:

对于三个事件A、B、C,若

P(AC)= P(A)P(C) P(AB)= P(A)P(B)

P(ABC)= P(A)P(B)P(C) P(BC)= P(B)P(C) 四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.

第六节:定理 对于n重贝努利试验,事件A在n次试验中出现k

kkn,kP(k),Cpqk,0,1,？,n,q,1,p次的概率为 nn

总结:

1. 条件概率是概率论中的重要概念,其不独立性有密切的关系,

在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。

2. 乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,

请牢固掌握。

3. 独立性是概率论中的最重要概念之一,亦是概率论特有的概念,

应正确理解并应用于概率的计算。

4. 贝努利概型是概率论中的最重要的概型之一,在应用上相当广

泛。

第二章:随机变量及其分布

1 、随机变量:分为离散型随机变量和连续型随机变量。

分布函数:设 X是一个 r.v,x为一个仸意实数,称函数

F(X)=P，X?x，为 X的分布函数。X的分布函数是F(x)记作 X ～ F(x)戒 F(x). X

如果将 X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 F(x) 的值就表示 落在区间 ，x?X，。X

3、 离散型随机变量及其分布

定义1 :设x(k=1,2, …)是离散型随机变量X所取的一k

切可能值,称等式P(X=x)=P,为离散型随机变量X的概率函kK

数戒分布律,也称概率分布.其中P?0;ΣP=1 K,k

分布律不分布函数的关系:

，1，已知随机变量X的分布律,可求出X的分布函数:

?设一离散型随机变量X的分布律为

P{X=x}=p(k=1,2,…) kk

由概率的可列可加性可得X的分布函数为 F(x),P{X,x},P{X,x}k,x,xk

即F(x),pk,x,xk

?已知随机变量X的分布律, 亦可求仸意随机事件的概率。 ，2，已知随机变量X的分布函数,可求出X的分布律:

P{X,x},F(x),F(x,0)k,1,2,3,？kkk

一、 三种常用离散型随机变量的分布

. 1，0,1，分布:

设随机变量X只可能取0不1两个值,它的分布律为

k1-kP{X=k}=p(1-p) , k=0,1. (0<><1)>

则称X服从，0,1，分布,记为X,，0,1，分布。

，0,1，分布的分布律用表格表示为:

X 0 1

0x,0,

,P 1-p p 易求得其分布函数为 F(x),1,p0,x,1,

,px,1,2.二项分布，binomial distribution):

kk1,k,,PX,k,Cpqk,0,1,？,n定义:若离散型随机变量X的分布律为 n其中0<><1,q=1-p,则称x服从参数为n,p的二项分布,记为x,b(n,p).>

4、 泊松分布的定义及图形特点设随机变量X所有可能取的值为

k,,,P(X,k),e,k,0,1,2,？？,0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为: k!

其中 入 >0 是常数,则称 X 服从参数为 入 的泊松分布,记作X~P(入).、

连续型随机变量

1概率密度f(x)的性质

，1，f(x)?0

，,f(t)dt,1，2， ,,,

x2(3).X落在区间(x,x)的概率 12,,Px,X,x,F(x),F(x),f(x)dx1221,x1

几何意义:X落在区间(x,x)的概率P{x

(4).若f(x)在点x处连续,则有F′(x)=f(x)。

,概率密度f(x)不分布函数F(x)的关系:

xF(x),f(t)dt(1)若连续型随机变量X具有概率密度f(x),则它的分布函数为 ,,,(2)若连续型随机变量X的分布函数为F(x),那么它的概率密度为f(x)=F′(x).

注意:对于F(x)不可导的点x处,f(x)在该点x处的函数值可仸意给出。

三种重要的连续型分布:

1,均匀分布(Uniform Distribution) 设连续随机变量X具有概率

1,a,x,b,f(x),b,a,密度 ,0其他,

则称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X,U(a,b).

0x,a,,x,a,F(x),a,x,b, 若X,U(a,b),则容易计算出X的分布函数为 b,a,1x,b,,

,,x,,ex0,

,f(x),

,0x0,2. 指数分布入>0

则称 X服从参数为 入的指数分布.

常简记为 X~E( 入)

,,x,1,ex,0,F(x),指数分布的分布函数为 0x0,,

指数分布的一个重要特性是”无记忆性”.

,,,,PX,s，t|X,s,PX,t设随机变量X满足:对于仸意的s>o,t>0,有

则称随机变量X具有无记忆性。

3. 正态分布 2,(x,),122,f(x),e,,,,x,,若r.v X的概率密度为 ,2,

2,其中 μ和 都是常数, 仸意,μ >0,

2,则称X服从参数为 μ 和 的正态分布. 记作

2X~N(,,,)f (x)所确定的曲线叫作正态曲线. ,,0,,,1 的正态分布称为标准正态分布. 标准正态分布的重要性在于,仸何一个一般的正态分布都可以通

过线性变换转化为标准正态分布.

随机变量函数的分布

设X为连续型随机变量,具有概率密度f(x),求Y=g(X) ，g连x续，的概率密度。

1,一般方法——分布函数法

可先求出Y的分布函数F(y): Y

因为F(y)=P{Y?y}=P{g(X)?y},设l={x|g(x)?y} Yy

则

,,，，Fy,PX,l,f(x)dx,f(x)dxYyXX,,lg(x),yy

,，，fyF(y),YY再由F(y)进一步求出Y的概率密度 Y

2. 设连续型随机变量X的密度函数为,(x), y=f(x)连续, 求Y= X

f(X)的密度函数的方法有三种:

，1，分布函数法;

，2，若y=f(x)严格单调,其反函数有连续导函数,则

可用公式法;

，3，若y=g(x)在不相重叠的区间I,I,…上逐段严格单 12

调,其反函数分别为h(y), h(y), …,且h,(y), h ,(y), 1212

…,均为连续函数,则Y= g(X)是连续型随机变量,

其密度函数为

,,

，，，，,,，，,,，，，，,y,,hyhy，,hyhy，？YX11X22

对于连续型随机变量,在求Y=g(X) 的分布时,关键的一步是把事件 { g(X)? y } 转化为X在一定范围内取值的形式,从而可以利用 X的分布来求 P { g(X)? y }.。

第三章 、多维随机变量 设(X,Y)是二维随机变量,对于任意实数x,y,

二元函数:

F(x,y),P{(X,x):(Y,y)},P{X,x,Y,y}

称为二维随机变量(X,Y)的分布函数,或称为随机变

量X和Y的联合分布函数.

. 分布函数的性质

o1F(x,y)是变量x和y的不减函数,即对于任

意固定的y,当x,x时F(x,y),F(x,y),2121

o20,F(x,y),1,

F(,,,y),limF(x,y),0,对于仸意固定的y, x,,,

对于仸意固定的x, F(x,,,),limF(x,y),0,y,,,

F(，,,，,),limF(x,y),1.F(,,,,,),limF(x,y),0, x,，,x,,,y,，,y,,,

o3F(x,y),F(x，0,y),F(x,y),F(x,y，0),

即F(x,y)关于x右连续,关于y也右连续.

o4对于任意(x,y),(x,y),x,x,y,y, 11221212有 F(x,y),F(x,y)，F(x,y),F(x,y),0. 22211112离散型随机变量的分布、

设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的

值为(x,y),i,j1,2,,记,？ij

P{Xx,Yy}p,i,j1,2,,,,,,？ijij

称此为二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布律,,,

其中p,0,p,1.或随机变量 X和 Y 的联合分布律. ,,ijij

11ij,,连续型随机变量及其概率密度

，,，,性质 (1)f(x,y),0.(2)f(x,y)dxdy,F(,,,),1.,,,,,,

(3),(,)设是平面上的一个区域点落在GxOyXY

P{(X,Y),G},f(x,y)dxdy.G内的概率为,, G2,F(x,y)

(4)若f(x,y)在(x,y)连续,则有,f(x,y). ,x,y

边缘分布 1离散型随机变量的边缘分布律

设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布

律为P{X,x,Y,y},p,i,j,1,2,？.ijij

,

记p,p,P{X,x},i,1,2,？,,i,ijij,1

,

p,p,P{Y,y},j,1,2,？,,,jijj1i,

,？,？分别称p(i1,2,)和p(j1,2,)为(X,Y)i,,j

关于X和关于Y的边缘分布律.

连续型随机变量的边缘分布

对于连续型随机变量(X,Y),设它的概率密度为f(x,y),由于

x,F(x)F(x,)[f(u,v)dv]du,,,,X,,,,,,

,记f(x)f(x,v)dv,,X,,,

称其为随机变量(X,Y)关于X的边缘概率密度.

随机变量的独立性:

　　设F(x,y)及F(x),F(y)分别是二维随机变 量 XY

(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有 x,y

有P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy},,,,,,

,即F(x,y)F(x)F(y),XY

则称随机变量X和Y是相互独立的.

(3)设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y),

边缘概率密度分别为f(x),f(y),则有XY

f(x,y),f(x)f(y).X和Y相互独立,XY

两个随机变量函数的分布

一、 离散型随机变量函数的分布

P{X,x,Y,y},p,i,j,1,2,？,ijij若二维离散型随机变量的分布律为

P{Z,z},P{g(X,Y),z}则随机变量函数Z,g(X,Y)的分布律为kk

二、 连续型随机变量函数的分布

2 一般,设X,Y相互独立且X~N(μ,σ),Y~11

2N(μ,σ).则Z,X，Y仍然服从正态分布,且有22

22Z~N(μ，μ,σ，σ).1212

第四章.、随机变量的数字特征

随机变量的数学期望

若X,X,？,X相互独立,且X服从参数为12ni

α,β(i,1,2,？,n)的,分布,则i

n

X，X，？，X服从参数为α,β的,分布.,12ni ,1i

E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,不一般的平均值不同 ,

它从本质上体现了随机变量 X取可能值的真正的平均值, 也称均值.

2.连续型随机变量数学期望的定义

设离散型随机变量X的分布律为

设连续型随机变量X的概率密度为f(x),若P{X,x},p,k,1,2,？.kk 积分,,

，,若级数xp绝对收敛,则称级数xp为随机,,kkkkxf(x)dx,,,k1k1,, ，,变量X的数学期望,记为E(X).即绝对收敛,则称积分xf(x)dx的值为随机变量, ,,,

E(X),xp.X的数学期望,记为E(X).即,kk ,k1，,

E(X),xf(x)dx. ,,,

数学期望的本质 —— 定积分 它是一个数不再是随机变量 3.数学期望的性质

E (C ) = C

E (CX ) = CE (X )

E (X + Y ) = E (X ) + E (Y )

nn,, EaX，C,aE(X)，C,,,,iiii

,,,1,1ii

当X ,Y 独立时,E (X Y ) = E (X )E (Y )

若存在数 a 使 P(X , a) = 1, 则E (X ) , a;

若存在数 b 使 P(X , b) = 1, 则E (X ) , b. 第二节:随机变量的方差

2设X是一个随机变量,若E{[X,E(X)]}存在,方差的定义

2则称E{[X,E(X)]}为X的方差,

记为D(X)或Var(X),即

2D(X),Var(X),E{[X,E(X)]}.D(X ) —— 描述 r.v. X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度

5. 随机变量方差的计算

22D(X),E(X),[E(X)].利用公式计算

2方差的性质 1.D (C) = 02.D (CX ) = CD(X)

2D(aX+b ) = aD(X)

D(X,Y),D(X)，D(Y)

，，,2E(X,E(X))(Y,E(Y))

特别地,若X ,Y 相互独立,则 D(X,Y),D(X)，D(Y)

a,a,？,a,b12n若X,X均相互独立,均为常数,则 ij

2nn,,

DaX，b,aD(X),,,,,1,1 iiii,,

iiD(X,Y),D(X)，D(Y)2若X ,Y 相互独立可得

逆命题不成立;

3若X ,Y 相互独立可得 E(XY),E(X)E(Y)逆命题不成立。

2 4. 对仸意常数C, D (X ) ,E(X – C),当且仅当C = E(X )时等号成立

5() = 0等价于(())=1 称为依概率 1 等于常数 . D X P X = EXX E(X)。

切比雪夫不等式

设随机变量X有期望E(X)和方差 ,则对于

22,,,,,P{|X,E(X)|,},P{|X,E(X)|,},1,仸给 >0, 22,,

第三节、协方差不相关系数

量E{[X,E(X)][Y,E(Y)]}称为随机变量X

与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即

Cov(X,Y),E{[X,E(X)][Y,E(Y)]}.

Cov(X,Y),,0,XY若则称x,y不相关。 ρ,XYD(X)D(Y),注:，1，X和Y的相关系数又成为标准协方差,它是一个无量纲的为随机变量X与Y的相关系数.量。

2、若随机变量X和Y相互独立 ,Cov(X,Y),E{[X,E(X)][Y,E(Y)]}

,E[X,E(X)]E[Y,E(Y)]

,0.

,D(X，Y),D(X)，D(Y)

，2E{[X,E(X)][Y,E(Y)]}

,D(X)，D(Y)，2Cov(X,Y)

,D(X)，D(Y).

协方差的计算公式

1、 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 2、 D(X+_Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 协方差的性质:

(1)Cov(X,Y),Cov(Y,X);

(2)Cov(aX,bY),abCov(X,Y) , a,b为常数;

(3)Cov(X，X,Y),Cov(X,Y)，Cov(X,Y).1212相关系数:

Cov(X,Y)

于是　　,,,,.XY D(X)D(Y)

1、 二维正态分布密度函数中,参数p代表了不Y的相关系数。 2、 二维正态随机变量X和Y相关系数为零等价于X和Y相互独

立。

即 XY相互独立 等价于 XY不相关

不相关的充要条件

o1X,Y不相关,ρ,0;XY

o2X,Y不相关,Cov(X,Y),0;

o3X,Y不相关,E(XY),E(X)E(Y).

相关系数的性质:

(1)ρ,1. XY

(2)ρ,1:a,b的充要条件是存在常数使XY

P{Y,a，bX},1.

第五章:极限定理

大数定理:设{Xn}为一随机变量序列,E(Xn)存在,记

n1 ,,，，Y,X,EXn,1,2,？,niin,1i

n,,1 ,,,,，，若limPY,,,limPX,EX,,,1,,,,niinn,,,,ni,1,,

则称{Xn}服从，弱，大数定律。

切比雪夫大数定律:设 X,X, …是相互独立的随机变量序列,它们12

都有有限的方差,并且方差有共同的上界,即 D(X) ?K,i=1,2, …,inn11limP{|X,E(X)|,},1,则对仸意的ε>0 ,,ii,,nnn,,11ii

马尔科夫条件:在切比雪夫大数定理的证明过程中可以看出

n1limD(X),0只要 (?), 则大数定理就能成立。 ,i2n,,ni,1

切比雪夫大数定律的特殊情况:设X,X, …是独立随机变量 12

2,,序列,且E(X)= μ,D(X)= , i=1,2,…,则对仸给>0, ii

n1limP{|X,|,},1,,,i,,nn,1i辛钦大数定律:设随机变量序列X,X, …独立同分布,具有有限12n1PX,,,,,lim{||}1,i的数学期E(X)=μ, i=1,2,…, 则对仸给ε>0 , i,,nn,1i

辛钦大数不要求随机变量的方差存在.它为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径.

中心极限定理:

独立同分布下的中心极限定理:

,设X,X, …是独立同分布的随机变量序列,且E(X)= ,12i

2,D(X)= ,i=1,2,…,则 i

n ,X,nx2,1i-t2,edt,1i,limP{,x},- ,2,,n,n

注:参考资料

《概率论 数理统计 随机过程》 作者:胡细宝 孙洪祥 王丽霞

郭永江老师的教学课件

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