范文一:向量的充要条件
一.向量一章的十大充要条件:
⒈三点A 、B 、C
根据是两个非零向量平行的充要条件是这两个向量所在的直线平行或重合. ⒉a ∥b 的充要条件是存在不全为零的实数 λ, μ∈R , 使λa +μb =0. 即两个非零向量a ∥ b ?a =λb (λ≠0).
3. 两向量(x 1, y 1)∥(x 2, y 2)的充要条件是 共线的充要条件是AB //AC .
x 1y 2=x 2y 1.
4. 两个向量相等的充要条件是对应的坐标相等. 即
?x 1=x 2 (x 1, y 1)=(x 2, y 2)???y 1=y 2
⒌两个向量垂直的充要条件是两向量点积 为零. 即a ?b =0.
⒍两向量(x 1,y 1)⊥(x 2,y 2)的充要条件是x 1x 2+y1y 2=0.
⒎向量a 与向量b 的夹角为锐角的充要条件 是a ?b >0且a 与b 不平行. 若
?x 1x 2+y 1y 2>0是?.
?x 1y 2≠x 2y 1
⒏向量a 与向量b 的夹角为钝角的充要条件 是a ?b <0且a 与b="" 不平行.="">0且a>
?x 1x 2+y 1y 2<>
?x 1y 2≠x 2y 1
⒐a //b ?a b =±a b
⒑三点A 、B 、C 共线的充要条件是 OA =λOB +μOC ,且λ+μ=1. 你能给予证明吗?
二. 向量一章十大运算公式
x 1+x 2y 1+y 21. 中点坐标公式:x 中=,y 中=; 22
x +x +x 2. 三角形重心坐标公式: x 重=, 3
y +y +y ; y 重=3
3. 若a =(x , y ),
则a = 4. a +b ()
)2 2 2=a +2a b +b ; 有时记作
a +b = 5. a -b (2 2 2=a -2a b +b ; 有时记作
4. 与5. 这两 a -b =
个公式的“出镜率”很高)
6.
( a +b +c )2 2 2 2 =a +b +c +2a b +2a c +2b c 你还记得导学上有这样一道习题:已知 a +b +c =0, 且a =3,b =4, c =5,求 a b +a c +b c 的值. 运用该公式很容易求得. 7. a b =a b cos θ (θ为两向量的夹角); 该公式应用时两向量必须要共起点时找夹角.
8. (x 1, y 1)∥(x 2, y 2)?x 1y 2=x 2y 1;
9. (x 1,y 2)⊥(x 2,y 2)?x 1x 2+y1y 2=0; x x +y y a b 10.cos θ=
a b
三.向量这两节20道简单易错题:
⒈向量平行具有传递性; 注意零向量与任何向量都平行.
⒉两向量夹角的余弦值大于0, 则两向量的夹角一定为锐角; 两向量夹角的余弦值小于0, 则两向量的夹角一定为钝角;
⒊AB -AC =BC ; 两向量相减的差向量是连接两向量的终点, 方向指向被减向量. ⒋任何向量与其负向量的和为0; 注意:0与0是两个不同的的概念.
⒌所有的单位向量都相等; 要记住:模为1的向量称单位向量;相等向量不仅是两个向量模相等,而且两个向量方向也要相同. ⒍正△ABC 中, 向量AB 与BC 的夹角为60°;
⒎向量的点积(数量积、内积) 具有结合律; a ⒏与向量a 平行的单位向量是; 要明白:a a
的单位向量与a 平行的单位向量概念是不同
的. 与向量a 同方向的单位向量称为向量a 的单位向量.
⒐一个向量在另一个向量方向上的投影一定大于0;
⒑向量a 在向量b 方向上的射影是b cos θ; ⒒a b 一定等于a b ; 2 2 2⒓a (11. 与12. 两题说明b 一定等于a b ;()
向量的点积运算与实数的乘法运算是明显不相同的. )
⒔p 为有向线段p 1p 2的一个定比分点, 且有
p 1p =λpp 2, 则λ的取值范围是R, 对吗?. 要记
住:若分点P 是内分点时, λ>0;若分点在有向线段p 1p 2的延长线上, 这时λ<-1; 若分点在有向线段p="" 2p="" 1的延长线上,="">-1;><><>
分点p 与起点p 1重合时, λ=0.可以说: λ的内涵丰富.
⒕一个三角形三条边对应的向量的和为0; 缺少“顺次首尾连接”, 要知道:向量的加法法则是个“蛇形法则”. 已知点O 是平行四 边形ABCD 内的一点, OA =a , OB =b , OC =c , 则OD =.
2 2 ⒖若a =b , 则a =±b .
2 2 b =0, b -2a b =0, 求得向量a 比如:a -2a
与b 的夹角为0或π.
16. 在△ABC 中
, AB =4, AC =1, S ?= 则AB AC =2.
17. 若a =3i -4j , b =-i +2j , 则a +b =(2,-2)这道题应写成正交分解的表示形式, 即用基本 单位向量i 和j 线性组合表示.
18. 若OA =(2,3), OB =(-6, k ), 且OA ⊥AB , 则k =-4.
边形.
19. 若AB =CD , 则ABCD 四点构成平行四
20. 若OA +OB =AB , 则三角形AOB 为等腰直角三角形.
四. 向量前两节的十个典型习题.
1. 若三点P (1,1),A (2,-4),B (x,-9)共线, 求x 的值. 剖析:利用PA ∥PB . 引申: 若三点P (1,1),A (2,-4),B (x,-9)是三角形的三个顶点, 试x 的取值范围.
2. 已知P 1(2, -1), P 2(0,5), 若P 在直线PP 12上, 且PP =2PP 2, 试求向量OP 的坐标. 剖析:1
解这道题不是利用模的定义去模的符号, 而 是利用PP =±2PP 2, 根据两向量相等的充要1
条件, 求出点P 的坐标.
3. 在等边三角形ABC 中, 边长为2, 试求向量 AB BC 的值. 剖析:解这道题要注意向量AB 与向量BC 的夹角是120°,而不是60°. 类似题:在直角三角形ABC 中∠A=90°AB=4,试 求AB BC 的值.
4. 设两个互不平行的非零向量, 且 a =b =a -b , 求a 与a +b 的夹角大小. 剖析:本题采用数形结合的思想方法比利用向量的数量积的定义进行计算要简捷得多. 并要记住这道题的姊妹题:设两个互不平行的非 零向量, 且a =b =a +b , 求a 与a -b 的夹角大小.
5. 已知三角形ABC 是直角三角形, 且
A (3,1),B (-2,3),C (k,2), 试求k 的值. 剖析:解这道题要有分类讨论思想, 三角形的直角顶点分别为A,B,C 三种可能, 再根据两向量垂直的充要条件求解,k 的值很容易求出.
, 6. 已知a =(x , 2x ), b =(-3x , 2a 与b 的)如果
夹角为钝角, 求x 的取值范围. 剖析:解这道 题不仅要考虑a b <0, 还考虑a="" 与b="">0,>
7. 设O 是直角坐标系的原点, OA =(2,2), OB =(4,1), 求向量OP =(x ,0), 使AP BP 最小, 并此时的∠APB 的大小. 剖析:解决这道题是运用化归转化思想, 先去掉数量积的符号, 后转化为二次函数求最值.
8. 设函数f(x)=a ·其中向量a =(2cosx ,1) ,b , b =(cosx ,
x ) ,x ∈R.
(1)求f (x )的值域;
?ππ?(2)若f(x)
x ∈?-, ?,求x ;剖析:?33?
解这道题也是采用转化方法
2 f(x)=a ·b =2cos x +2x π??=1+2sin 2x +?即转化为求一个三角函数6??
的值域, 以及解一个较简单的三角方程.
9. 已知a , b 是两个单位向量, 且
(1)向量a , b 可ka +b a -kb (k >0), 问
能垂直吗? (2)当k 为何值时, 向量a , b 的夹
角为60°? 剖析:先两边平方去模的符号, 得
2 k +1到a ·b =, 再运用基本不等式求出a ·b 4k
的范围.
10. 设向量OA =(2,5), OB =(3,1), OC =(6,3). 在OC 所在直线上是否存在点M, 使 MA ⊥MB ? 若存在, 求出点M 的坐标; 若不存在, 请说明理由. 剖析:本题运用待定系数法, 根据MA ⊥MB 以及OC ∥OM 可求出M 点的坐标.
向量是具有独立的一整套运算体系, 它可以上下贯通, 左右协调, 前后衔接, 立体交叉, 具有很强的工具性.
范文二:开战的充要条件
孙子在“始计”篇中,提出了决定战争胜负的五个基本因素:“一曰道,二曰天,三曰地,四曰将,五曰法。”道即战争的正义性及民众拥护程度;天指战争的时机及气候变化;地指地形地势的远近、险夷及复杂情形;将指指挥战争的将领的军事素质和才能;法则包括军队的编制、纪律、军令、后勤等诸多方面。这五个因素可概括为道义、天时、地利、将领和法规。孙子把这五个因素称之“五事”,认为如果这五个因素通过考察,都对我方有利,那么,这样情形下的战争是可以接受的,它已经具备了夺取战争胜利的先决条件。
孙子把道作为“五事”之首,强调“道者,令民与上同意,可与之死,可与之生,”把国家的政治条件列为筹划战争全局,预测战争胜负的首要因素,无疑具有高观远瞩的战略智慧。它向战争的策划、组织者们提出了要了解民意、尊重民意、调动民意,使统治者的意志和民众的意志高度统一的严格要求,这样才能上下同欲,万众一心,同舟共济,直至最后夺取战争的胜利。孙子的这一重点强调政治清明,得道多助的观点,不但在无数的战争实践中得到印证,也启发着诸多的后世兵家。的确,战争的终极胜负,并不完全在于兵多将广,地大物博,而在于民心向背。在于孙子在“军形”篇中所强调的“善用兵者,修道而保法,故能为胜败之政”。后世兵书《淮南子兵略训》写道:“地广人众,不足以为强;坚甲利兵,不足以为胜;高城深池,不足以为固;严令繁刑,不足以为威;为存政者,虽小必成;为亡政者,虽大必亡。”就正是孙子以“道”为“五事”之首来衡量战争胜负这一思想的进一步阐释和发挥。
相传战国时期天才的军事家吴起有次陪魏国国君魏武侯巡视黄河,武侯泛舟顺流而下,看到两岸山川险峻,有点忘乎所以,于是回过头来沾沾自得地对吴起说:“魏国的山川是如此的险要、壮美,这是我们的瑰宝啊!”吴起回答说:“国家政权的稳固与否,在于施德于民,而并不在于地理形势的险要。从前三苗氏的地盘,左临洞庭湖,右濒彭蠡泽,不可谓不浩大,但因为他既不修德行,又不讲信义,所以最终被夏禹所灭亡。从前夏桀的属地,左临黄河、济水,右靠泰山、华山,伊阙山在它的南边,羊肠坂在它的北面,不可谓不得地利。但因为他不施仁政,所以商汤最终放逐了他。从前殷纣的领土,左边有孟门山,右边有太行山,常山在它的北边,黄河流经它的南面,不可谓不是好地方,但因为他不施仁德,所以武王最后把他逼得自焚。由此看来,政权稳固在于给百姓施以恩德,而不在于地理形势的险要。如果您不施恩德,不获民心,即便是和您同乘一条船的人也会变成您的仇敌!”吴起的一句“在德不在险”,就正好阐释出孙子“五事”中“道”的重要性要高于“地”的道理。
战争无疑是政治的继续,是有关国家路线、方针、政策的延伸。它必须建立在“道”的基础之上,而与此相关的天时、地利、将领和法规,都必须从属于“道”,都要服从于“道”。这就是孙子关于战争的整体思维,也是孙子关于战争的核心思维。“道”可视为“五事”之纲,其它都是目。纲若不举,目则不张。只有做到修道保法,取得全国上下的拥护,赢得广大民众的支持,才可能确保战争的最后胜利。据《左传》记载:公元前684年,齐国进兵鲁国。当时齐强鲁弱,鲁国国君对战争的前景十分担忧。这时草根曹刿挺身而出,大胆拜见鲁庄公,一见面说问:“您将凭什么来和齐国作战呢?”鲁庄公回答说:“锦衣美食这些养生的东西,我不敢独自专享,一定把它分赐给左右的人。”曹刿摇头说:“这点小恩小惠,仅仅使您的近臣们得点好处,还不足以让广大的民众受益,这样百姓们是不会跟着您出生入死的。”鲁庄公说:“祭祀用的物品,该用什么就用什么,该用多少就用多少,一定以虔诚之心来敬奉神明。”曹刿说:“祭神心诚这不过只是极小的信用,还不足获得神灵的信赖,神也并不会因此而保佑您。”鲁庄公说:“国内发生的大大小小的案件,虽不能一一明察秋毫,但也一定亲自过问,调查了解,依据实际情况来认真处置。”曹刿点头说:“这一条不错,您可以凭借这条来和齐国开战了。”后来齐鲁两国在长勺开战,弱小的鲁军最终打败了强势的齐军。
我们看看:齐鲁之战尚未开始,鲁庄公对战争的准备,提出了三个方案:第一个是施舍恩惠以拉拢贵族,第二个是虔诚敬神以企望保佑;第三个是考察案情以获民心。这三个方案中唯有最后一个取信于民,争取百姓的支持拥护才符合孙子“道”的原则。因此,曹刿认为三个方案中唯有这条才是足以战胜敌人的法宝。后来鲁国最终赢得了战争,这固然与鲁国在战争中采取了正确有效的战术有一定关系,但与鲁庄公在国内考察狱情取得民心的战争准备是密不可分的。
孙子在“始计”篇中,除了提出用“五事”来考察战争条件成熟与否,还更进一步阐述了以“七计”来探索和判别战争胜负的规律。何为“七计”呢?即“主孰有道?将孰有能?天地孰得?法令孰行?兵众孰强?士卒孰练?赏罚孰明?”这七条。在这里,孙子一连用了七个疑问句,哪一方的君主更得民心?哪一方的将领更有才能?哪一方拥有天时地利?哪一方的法令执行得更好?哪一方兵多且武器精良?哪一方士卒训练有素?哪一方赏罚分明公正?若凭借这七点来综合衡量,就基本上可以确定即将开始的战争谁胜谁负了。
当根据“五事”来认真考察,“七计”来详细对比,得出本方业已具备了开战的充要条件,那么,在面对侵略者的挑衅,面临敌人强加到本方头上的战争时,我们就再无必要韬光养晦,也再无必要忍让退缩了,我们完全可以也应该站起来同敌方进行针锋相对的斗争,一劳永逸,以彻底解决战争的潜在或长期威胁,用战争来打出一片和平的天空。而一旦决策层的国君、将帅们最终做好了战争的准备,下定了战争的决心,就应当立即进入到战争状态,在战争尚未打响第一枪之前,即早谋划出最有利的行动方案,来力争在未来的战争中掌握主动和先机,真正做到运筹帏幄,决胜千里。真正做到“知彼知己,百战不殆”。
范文三:充要条件的判断
在判断充要条件时,常常会出现两类错误:一是分不清条件和结论,二是理不清条件和结论的逻辑关
充要条件是高中数学中的重要概念,主要研究命题条件与结论的逻辑关系.
在浙江省的高考数学卷中,判断充要条件的问题常出现在选择题中,一般会与函数、不等式、立体几何等知识结合起来进行考查.
例 [2013年浙江暨阳联谊学校高三联考(理科)第4题] 若a,b为实数,则“3a■”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
错解1: 由3aa,由■>■解得b>a.若b>a,则b>a,必要性成立;若b>a,b>a不一定成立,充分性不成立.大约有15%的同学选B.
错解2: 由3aa,由■>■解得b>a.若b>a,则b>a,充分性成立;若b>a,b>a不一定成立,必要性不成立.大约有20%的同学选A.
错因1: 没有理解充要条件的定义.
在判断充要条件时,若题目表述为“p是q的 条件”,则p是条件,q是结论;若题目表述为“p的 条件是q”,则q是条件, p是结论.由条件出发推导结论可判断充分性,由结论出发推导条件可判断必要性.
由题意可知,“3a■”是结论.通过等价转化,可知题目要判断的是条件“b>a”与结论“b>a”的逻辑关系.由条件“b>a”推导结论“b>a”可判断充分性,由结论“b>a” 推导条件“b>a”可判断必要性.
一些同学分不清“b>a”与“b>a”究竟谁是条件、谁是结论,也不知道充分性与必要性的判断方向,胡乱推导,由条件“b>a”推导结论“b>a”来判断必要性,由结论“b>a”推导条件“b>a”来判断充分性,完全颠倒了.
错因2: 没有认清b>a,b>a两者之间的逻辑关系.
错解1和错解2中都出现了错误“若b>a,则b>a”.有的同学看到b>a,就想当然地认为b>a>0,由此得到b>a.事实上,如果0>b>a,则b0>a,则b>a,b=a,ba”不能推出结论“b>a”,充分性不成立.
正解1: 直接利用定义判断充要条件.
利用定义求解可分三步走:先分清哪个是条件、哪个是结论,再根据定义判断充分性与必要性,最后综合得出结论.这种方法适用于判断充要条件的任何题型.
3a■为结论.当3aa时,若0>b>a或b>0>a,结论■>■未必成立,所以充分性不成立;当■>■即b>a时,若b0>b,条件3a 正解2: 利用等价命题判断充要条件.
当所给命题的条件与结论都比较复杂时,可以分别对条件与结论进行等价转化,得到比较简单或容易推断的命题,再进行判断.
由条件3aa,由结论■>■解得b>a,由此可将原命题等价转化为判断条件“b>a”与结论“b>a”的逻辑关系.当b>a时,若0>b>a或b>0>a, b>a未必成立,故充分性不成立;当b>a时,若b0>b,b>a不成立,故必要性不成立.选D.
正解3: 利用反例法判断充要条件.
若所给命题结构较为复杂,直接推断p?圯q是否成立有困难,不妨考虑用反例法求解.若能找到一个例子使p■q,即可证明p?圯q不成立.但要证明p?圯q成立,则必须经过严格的推导,仅靠一两个例子说明p?圯q成立是不够的.
取a=-2,b=1,3a■不成立,所以充分性不成立;取a=1,b=-2,■>■成立,但3a■”的既不充分也不必要条件.选D.
【练一练】
已知函数f(x)=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0,φ∈R),则“f(x)是奇函数”是“φ=■”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件
【参考答案】 B
范文四:充要条件的判定
充要条件的判定
A. 充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
1. 数列{xn}有界是数列{xn}收敛的________条件. 数列{xn}收敛是数列{xn}有界的________的条件.
f(x)存在的2. f(x)在x0的某一去心邻域内有界是xlim?x0
limf(x)存在是f(x)在x0的某一去心邻域内有________条件. x?x0
界的________条件.
3. f(x)在x0的某一去心邻域内无界是xlim?xf(x)??的________0
limf(x)??是f(x)在x0的某一去心邻域内无界的条件. x?x0
________条件. ?
4. f(x)当x?x0时的右极限f(x0?)及左极限f(x0?)都存在且相等limf(x)存在的________条件. 是x?x0
5. 函数在一点有极限是函数在该点有定义的_______条件.
6. 函数在一点连续是函数在该点有极限的_______条件.
7. 函数在一点连续是函数在该点可导的_______条件.
8. f(x)在点x0的左导数f??(x0)及右导数f??(x0)都存在且相等是f(x)在点x0可导的_______条件?
9. f(x)在点x0可导是f(x)在点x0可微的____________条件?
10. f(x)>g(x)是f’(x)>g’(x)的____________条件??
???????____________条
件
12. 函数在该点取得极值是函数在该点取得最值的____________条件
13. 函数f(x)在[a, b]上(常义)有界是f(x)在[a, b]上可积的______条件, 而f(x)在[a, b]上连续是f(x)在[a, b]上可积______的条件; (狄利克雷函数P14.)
14. 对[a, +?)上非负、连续的函数f(x), 它的变上限积分?af(x)dx在[a, +?)上有界是反常积分?af(x)dx收敛的______条件; x??
15. 绝对收敛的反常积分?a??f(x)dx一定______;
16. 函数f(x)在[a, b]上有定义且|f(x)|在[a, b]上可积, 此时积分?af(x)dx______存在.
b
范文五:(文章)抓住四个方面学好命题的关系与充要条件
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抓住四个方面 学好命题的关系与充要条件
一、牢牢把握知识的重点和难点,做到考题装在心中
重点:命题真假的判定与命题的等价,命题的充分条件和必要条件。
难点:命题的等价、命题的充分条件和必要条件的判断。
高考对命题及其关系的考查主要是以选择题、填空题的形式呈现,与立体几何(特别是线面位置关系的判定)、解析几何的结合为主旋律,另外也有与函数、不等式的交叉。此类题目为不定项选择(填空),同学们多数对此类题目不适应,是重要的拉分题。因此在平时的学习中需要加强训练,切实熟练这类题型的解题技巧。
高考对充要条件的考查主要是以选择题的形式呈现,几乎与数学的每一个篇章都能够交融命题,但集合、函数与方程、立体几何、解析几何、三角、数列仍然是重点中的重点,与向量、导数等的整合也不容忽视。主要考查充要条件的判断、充要条件的寻找。 二、在比较、类比中把握规律,做到学会方法
由于命题及其关系与充分条件和必要条件这部分内容中的许多概念都是成对出现的,我们在学习过程中要注意比较它们的异同,加深对它们的理解。如四种命题:原命题、逆命题、否命题、逆否命题。四种条件:充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件。
我们在判断四种命题的关系时,首先要注意分清命题的条件和结论,再比较每个命题的条件与结论之间的关系,要注意四种命题关系的相对性,一旦一个命题定为原命题,也就相应地有了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”。
我们如果要写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题,首先需要把原命题改写成“若P则”的形式,然后找出其条件P和结论,再按定义写出它的“逆命题”、“否命题”、“逆qq
否命题”。 当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提,也就是大前提
n不动;对于有多个并列条件组成的命题,在写出其他三种命题时,应该把其中一个(或个)作为大前提。
我们在判断原命题及逆命题的真假时,常常可以借助原命题与其逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假进行判断。
充要条件的判断我们是通过判断命题 “若P则”的真假来判断的。因此充要条件与 q
命题的四种形式之间的关系密切,可以相互转化。由充分条件和必要条件的定义可以知道:
p是qq是p若,则的充分条件,同时的必要条件。因此以下四种说法所表达的意义p,q
p是qq是p相同:(1)、命题“若P则”为真; (2)、;(3)的充分条件;(4)p,qq
的必要条件。
充分条件和必要条件问题涉及的知识面广,我们在学习的过程中必须要深刻理解充分条件和必要条件的概念,而且需要熟知问题中所涉及的知识点和有关概念。 三、严格区分相近概念的内涵与外延,做到掌握好相近概念的区别与联系
我们要深刻理解“否命题”与“命题的否定”这两个概念的内涵与外延,掌握好这两个相近概念的区别与联系。“否命题”与“命题的否定”是两个非常容易引起混淆的概念。其实“否命题”与“命题的否定”是不同的。如果原命题是“若P则”,那么这个原命题的q
否命题是“若非P,则非”,而这个命题的否定“若P则非”。可见:“否命题”既否qq
定条件又否定结论,而“命题的否定”只否定结论。例如:原命题 “若则”,A,,Ba,b的否命题是“若则”,而原命题的否定是“若则”. ,A,,B,A,,Ba,ba,b四、把握判断命题、条件问题的依据或步骤、做到提高解题的准确度
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http://www.mathschina.com 彰显数学魅力~演绎网站传奇~ 1、命题的判断依据:
判断一个语句是否是命题,关键在于能否判断其真假,一般地:陈述句,反意疑问句是命题,而感叹句、祈使句,疑问句都不是命题,含有变量的语句叫做开语句,不能判断真假 的开语句也不是命题。
2、判断条件问题的一般步骤:
判断条件问题一般可以按如下的步骤进行:
(1)、确定条件是什么,结论是什么; pq
(2)、判断是否成立,若成立,则p是q的充分条件;否则不是; p,q
(3)、判断是否成立,若成立,则q是p的必要条件;否则不是; q,p
(4) 写出最后结论。
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