范文一:中考圆压轴题
1.如图,AD 为?ABC 外接圆的直径,AD ⊥BC ,垂足为点F ,∠ABC 的平分线交AD 于点E ,连接BD ,
CD .
(1) 求证:BD =CD ;
(2) 请判断B ,E ,C 三点是否在以D 为圆心,以DB 为半径的圆上?并说明理由
. (1)证明:∵AD 为直径,AD ⊥BC ,
A
E
B F
=CD . ∴
BD =CD . ∴BD
(2)答:B ,E ,C 三点在以D 为圆心,以DB 为半径的圆上.
C
=CD ,∴∠BAD =∠CBD . 理由:由(1)知:BD
∵∠DBE =∠CBD +∠CBE ,∠DEB =∠BAD +∠ABE ,∠CBE =∠ABE , ∴∠DBE =∠DEB . ∴DB =DE . 由(1)知:BD =CD . ∴DB =DE =DC . ∴B ,E ,C 三点在以D 为圆心,以DB 为半径的圆上. ·································· 7分
D
2.如图,已知⊙O 的半径为1,PQ 是⊙O 的直径,n 个相同的正三角形沿PQ 排成一列,所有正三角形都关于
PQ 对称,其中第一个△A 1B 1C 1的顶点A 1与点P 重合,第二个△A 2B 2C 2的顶点A 2是B 1C 1与PQ 的交点,…,最后一个△A n B n C n 的顶点B n 、C n 在圆上. (1)如图1,当n =1时,求正三角形的边长a 1; (2)如图2,当n =2时,求正三角形的边长a 2;
(3)如题图,求正三角形的边长a n (用含n 的代数式表示). 【答案】
(1)设PQ 与B 1C 1交于点D ,连结OB 1,
则OD =A 1D -OA 1=
1
2
a 1-1,在Rt △OB 1D 中,OB 1=B 1D 2+OD 2, 2
13
即12=(a 1) 2+(a 1-1) 2,解得a 1=. …4分
22
(2)设PQ 与B 2C 2交于点E ,连结OB 2,
则OE =2A 1A 2-OA 1=a 2-1,
2
在Rt △OB 2E 中OB 2=B 2E 2+OE 2,
1
即12=(a 2) 2+(3a 2-1) 2,
2
Q
解得a 2=
83
. …4分 13
(3)设PQ 与B n C n 交于点F ,连结OB n ,
则OF =
2
32
na n -1,在Rt △OB n F 中OB n =B n F 2+OF 2, 2
4n 13
即1=(a n ) 2+(. …4分 na n -1) 2,解得a n =2
223n +1
3.如图,△ABC 内接于⊙O ,AD ⊥BC ,OE ⊥BC , OE =
1
BC . 2
n
Q n
(1)求∠BAC 的度数.
(2)将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ,将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ,延长FC 和GB 相交于点H .求证:四边形AFHG 是正方形.
(3)若BD =6,CD =4,求AD 的长.
(1)解:连结OB 和OC .
∵ OE ⊥BC ,∴ BE =CE . ∵ OE =
(2)证明:∵ AD ⊥BC ,∴ ∠ADB =∠ADC =90°.
由折叠可知,AG =AF =AD ,∠AGH =∠AFH =90°,
∠BAG =∠BAD ,∠CAF =∠CAD , ∴ ∠BAG +∠CAF =∠BAD +∠CAD =∠BAC =45°. ∴ ∠GAF =∠BAG +∠CAF +∠BAC =90°.
∴ 四边形AFHG 是正方形. (3)解:由(2)得,∠BHC =90°,GH =HF =AD ,GB =BD =6,CF =CD =4. 设AD 的长为x ,则 BH =GH -GB =x -6,CH =HF -CF =x -4. 在Rt △BCH 中,BH 2+CH 2=BC 2,∴ (x -6)2+(x -4)2=102. 解得,x 1=12,x 2=-2(不合题意,舍去).
∴ AD =12.
4.如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB 于点E ,点P 在⊙O 上,∠1=∠C .
(1)求证:CB ∥PD ;
3
(2)若BC =3,s in P =,求⊙O 的直径.
5
=BD , ∴ ∠C =∠P . 【答案】解:(1)证明:∵ BD
1
BC ,∴ ∠BOC =90°,∴ ∠BAC =45°. 2
又∵ ∠1=∠C , ∴ ∠1=∠P . ∴ CB ∥PD . (2)连接AC . ∵ AB 为0D 的直径, ∴ ∠ACB =90°.
=BD ∴ ∠A =∠P , ∴ s in A =s in P . 又∵ CD ⊥AB , ∴ BC
BC 3BC 3
在Rt △ABC 中, s in A =,∵ s in P =, ∴ =.
AB 5AB 5
又∵ BC =3, ∴ AB =5.
5.阅读下列材料,然后解答问题。
经过正四边形(即正方形)各顶点的圆叫作这个正四边形的外接圆。圆心是正四边形的对称中心,这个正四边形叫作这个圆的内接正四边形。
如图(十三),已知正四边形ABCD 的外接圆⊙O ,⊙O 的面积为S 1,正四边形ABCD 的面积为S 2,以圆心O 为顶点作∠MON ,使∠MON =90°,将∠MON 绕点O 旋转,OM 、ON 分别与⊙O 相交于点E 、F ,分
及正四边形ABCD 的边围成的图形(图中阴
别与正四边形ABCD 的边相交于点G 、H 。设OE 、OF 、EF
影部分)的面积为S
(1)当OM 经过点A 时(如图①),则S 、S 1、S 2之间的关系为:S = (用含S 1、S 2的代数式表示);
(2)当OM ⊥AB 时(如图②),点G 为垂足,则(1)中的结论仍然成立吗?请说明理由。 (3)当∠MON 旋转到任意位置时(如图③,)则(1)中的结论仍然成立吗?请说明理由.
【答案】解:(1)
S 1-S 2
4
(2)成立。理由:连OB ,可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积
(3)成立。过点O 分别作AB 、B C 的垂线交AB 、BC 于点P 、Q ,交圆于点X 、Y ,可证直角三角形OPG 全等于直角三角形OQH ,可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积.
6.如图,圆O 的直径为5,在圆O 上位于直径AB 的异侧有定点C 和动点P ,已知BC :CA =4:3,点P 在半
圆弧AB 上运动(不与A 、B 两点重合),过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点. (1)求证:A C ·CD=PC·BC ;
(2)当点P 运动到AB 弧中点时,求CD 的长;
(3)当点P 运动到什么位置时,△PCD 的面积最大?并求出这个最大面积S 。 A
。。
(1
,∵CD ⊥CP ,∴∠PCD =90
∴∠ACP +=∠DCB ,又∵∠CBP =∠D +∠DCB ,∠CBP =∠ABP +∠ABC ,∴∠ABC =∠APC ,∴∠APC =∠D ,∴△PCA ∽△DCB ;∴
CA CP
, =
CB CD
∴A C ·CD=PC·BC
。
(2)当P 运动到AB 弧的中点时, 连接AP ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠APB =90,又∵P 是弧AB 的中点,∴弧P A =弧PB ,∴AP =BP ,∴∠P AB=∠PBA =45. , 又AB =5,∴P A =
52
,过A 作AM ⊥CP ,垂足为M ,在Rt 2
△AMC 中,∠ACM =45 ,∴∠CAM =45,∴AM =CM =
32
,在Rt △AMP 中,AM 2+AP2=PM2,∴PM =22,2
∴PC =PM +
3272142
=。由(1)知:A C ·CD=PC·BC ,3×CD=PC×4,∴CD = 223
(3)由(1)知:A C ·CD=PC·BC ,所以AC :BC=CP:CD ;所以CP :CD=3:4,而△PCD 的面积等于
12
CP ·CD =PC 2,23
CP 是圆O 的弦,当CP 最长时,△PCD 的面积最大,而此时CP 就是圆O 的直径;所以CP =5,∴3:4=5:CD ;
∴CD =
20112050,△PCD 的面积等于CP ·CD =?5?=; 32233
7.已知:如图,?ABC 内接于⊙O ,AB 为直径,弦CE ⊥AB 于F ,C 是AD 的中点,连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ,连结AD ,分别交CE 、BC 于点P 、Q . (1)求证:P 是?ACQ 的外心; (2)若tan ∠ABC =
3
, CF =8, 求CQ 的长; 4
2
(3)求证:(FP +PQ ) =FP FG .
【答案】(1)证明:∵C 是AD 的中点,∴AC=CD,
∴∠CAD=∠ABC ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°。∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE ⊥AB ,∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ ∴在△PCQ 中,PC=PQ,∵CE ⊥直径AB ,∴AC=AE ⌒ ⌒ ∴∠CAD=⌒ ACE ⌒ 。 ∴在△APC 中,有PA=PC, ∴PA=PC=PQ ∴P 是△ACQ 的外心。 ∴AE=CD ∠
(2)解:∵CE ⊥直径AB 于F ,
CF 3432
=,CF=8, 得BF =CF =。
BF 433
40
∴由勾股定理,得BC == ∵AB 是⊙O 的直径,
3AC 3403
∴在Rt △ACB 中,由tan ∠ABC= 得AC =BC =10。 =,BC =
BC 434
∴在Rt △BCF 中,由tan ∠ABC=
AC 215
=。 易知Rt △ACB ∽Rt △QCA ,∴AC =CQ ?BC ∴CQ =BC 2
2
(3)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90° ∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF ⊥AB ,∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G ; ∴Rt △AFP ∽Rt △GFB ,
∴
AF FP
,即AF ?BF =FP ?FG =
FG BF
2
2
易知Rt △ACF ∽Rt △CBF , ∴FG =AF ?BF ∴FC =PF ?FG 由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴(FP +PQ ) =FP FG 。
8.(本题满分10分) 如图9, 在平行四边形ABCD 中,E 为BC 边上的一点, 且AE 与DE 分别平分∠BAD 和∠ADC.
(1) 求证:AE⊥DE;
(2) 设以AD 为直径的半圆交AB 于F, 连接DF 交AE 于G, 已知CD=5,AE=8,
求
2
FG
的值. AF
【答案】(1)证明:在平行四边形ABCD 中,AB ∥CD, ∴∠BAD+∠ADC=180°,
又∵AE 、DE 平分∠BAD 、∠ADC , ∴∠DAE+∠ADE=90°, ∴∠AED =90°, ∴AE ⊥DE. (2)解:在平行四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=5,AD=BC,
∴∠DAE=∠BEA, 又∵∠DAE=∠BAE, ∴∠BEA=∠BAE, ∴BE=AB=5, 同理EC=CD=5, ∴AD=BC=BE+EC=10, 在Rt AED 中,
又∵AD 为半圆的直径, ∴∠AFD=90°, ∴∠AFD=∠AED,
∵∠DAE=∠FAG, ∴ AFG ∽ AED, ∴
GF DE 63
===. AF AE 84
9.如图10,AB 为 O 的直径,CD 为弦,且CD ⊥AB ,垂足为H .
C
(1)如果 O 的半径为4
,CD =∠BAC 的度数;
ADB 的中点,连结OE ,CE .求证:CE 平分∠OCD ; (2)若点E 为
(3)在(1)的条件下,圆周上到直线AC 距离为3的点有多少个?并说明理由. 【答案】解:(1)∵ AB 为⊙O 的直径,CD ⊥AB ∴ CH = 在Rt △COH 中,sin ∠COH =
A
O
H
B
1
CD =2 2
E
3CH 1= ∴ ∠COH =60° ∵ OA =OC ∴∠BAC =∠COH =30° OC 22
ADB 的中点 ∴OE ⊥AB ∴ OE ∥CD ∴ ∠ECD =∠OEC (2)∵ 点E 是
又∵ ∠OEC =∠OCE ∴ ∠OCE =∠DCE ∴ CE 平分∠OCD (3)圆周上到直线AC 的距离为3的点有2个.
AC 上的点到直线AC 的最大距离为2,ADC 上的点到直线AC 的最大距离为6, 因为劣弧 2<><6,adc 到直线ac="" 距离为3的点有2个.="">6,adc>
10.如下图,在⊙O 中,点P 在直径AB 上运动,但与A 、B 两点不重合,过点P 作弦CE ⊥AB ,在AB 上任取
一点D ,直线CD 与直线AB 交于点F ,弦DE 交直线AB 于点M ,连接CM . (1)如图10,当点P 运动到与O 点重合时,求∠FDM 的度数.
(2)如图11、图12,当点P 运动到与O 点不重合时,求证:FM ·OB =DF ·MC .
【答案】28. 解:(1)点P 与点O 重合时,(如图10)
∵CE 是直径,∴∠CDE =90°.…………(1分) ∵∠CDE +∠FDM =180°,∴∠FDM =90°.…………(2分) (2)当点P 在OA 上运动时(如图11)
⌒⌒1⌒
∵OP ⊥CE ,∴AC =AE =CE ,CP =EP.
2∴CM =EM. ∴∠CMP =∠EMP.
∵∠DMO =∠EMP , ∴∠CMP =∠DMO. ∵∠CMP +∠DMC =∠DMO +∠DMC , ∴∠DMF =∠CMO. …………(3分)
⌒⌒
∵∠D 所对的弧是CE ,∠COM 所对的弧是AC , ∴∠D =∠COM. …………(4分)
DF FM
∴△DFM ∽△OCM.
OC MC
∴FM·OC =DF·MC. ∵OB =OC , ∴FM·OB =DF·MC. …………(5分) 当点P 在OB 上运动时,(如图12)
证法一:连结AC ,AE.
⌒⌒1⌒
∵OP ⊥CE ,∴BC =BE =CE ,CP =EP.
2
∴CM =EM , ∴∠CMO =∠EMO.
∵∠DMF =∠EMO , ∴∠DMF =∠CMO.………………(6分) ⌒⌒
∵∠CDE 所对的弧是CAE ,∠CAE 所对的弧是CE. ∴∠CDE +∠CAE =180°. ∴∠CDM +∠FDM =180°,∴∠FDM =∠CAE. ⌒⌒∵∠CAE 所对的弧是CE ,∠COM 所对的弧是BC , ∴∠CAE =∠COM.
∴∠FDM =∠COM. ………………(7分) DF FM
∴△DFM ∽△OCM. .
OC MC
∴FM·OC =DF·MC. ∵OB =OC , ∴FM·OB =D F·MC. ………………(8分)
11.如图①,P 是△ABC 边AC 上的动点,以P 为顶点作矩形PDEF ,顶点D,E 在边BC 上,顶点F 在边AB 上;△ABC 的底边BC 及BC 上的高的长分别为a , h,且是关于x 的一元二次方程mx +nx +k =0的两个实数根,设过D,E,F 三点的⊙O 的面积为S ?O , 矩形PDEF 的面积为S 矩形PDEF 。
(1)求证:以a+h为边长的正方形面积与以a 、h 为边长的矩形面积之比不小于4; (2)求
2
S ?O S 矩形PDEF S ?O S 矩形P D E F
的最小值;
(3)当的值最小时,过点A 作BC 的平行线交直线BP 与Q ,这时线段AQ 的长与m , n , k的取值是
否有关?请说明理由。(11分)
图①
(供画图参考)
图②
n k
解(1)据题意,∵a+h=-,
a ?h =(. 题) m m 第23B
C
∴所求正方形与矩形的面积之比:
(a +h ) a ?h
2
(-=
n 2) 2
=n ················ 1分 k m k m
n 2-4mk ≥0, ∴n 2≥4mk , 由ah =
k
知m , k 同号, m
······················ 2分 ∴mk >0
(说明:此处未得出mk >0只扣1分, 不再影响下面评分)
n 24mk
······················· 3分 ∴≥=4,
mk mk
即正方形与矩形的面积之比不小于4. (2)∵∠FED =90o,∴DF 为⊙O 的直径.
2
∴⊙O 的面积为:S O =π(DF ) 2=π
DF
=
π(EF 2+DE
2) . ·····
4分
⊙
244
矩形PDEF 的面积:S 矩形PDEF =EF ?DE .
矩形PDEF
=
πEF 4DE (
+
DE 设EF =f , ),
DE EF
矩形PDEF
π4
(f +
1
) f
?4??π=4=
π?
2
≥0, ∴(4π
f -
1f
) 2+
π
2
≥
π
2
,
π ····· 7分 f =1时(EF =DE )2矩形PDEF (3PDEF 的四边相等为正方形.
矩形PDEF
过B 点过BM ⊥AQ ,M 为垂足,BM 交直线PF 于N 点,设FP = e, ∵BN ∥FE ,NF ∥BE ,∴BN =EF ,∴BN =FP =e . 由BC ∥MQ , 得:BM =AG =h . ∵AQ ∥BC , PF ∥BC , ∴AQ ∥FP ,
∴△FBP ∽△ABQ. ······················ 8分 (说明:此处有多种相似关系可用,要同等分步骤评∴FP =BN ,……9分
AQ
BM
分)
e e ∴=.∴AQ =h ……10分 AQ h
N
E
G
D
C
-n ±n 2-4mk ……11分
∴AQ =
2m
∴线段AQ 的长与m ,n ,k 的取值有关.
(第23题)
范文二:中考压轴题--圆
中考压轴题(一)--------与圆有关压轴题 1.(06甘肃嘉峪关、定西卷)如图,在中,所对的圆心角为,已知圆的半径为AB120M
2cm,并建立如图所示的直角坐标系(
(1)求圆心的坐标; M
(2)求经过三点的抛物线的解析式; ABC,,
(3)点是弦所对的优弧上一动点,求四边形的最大面积; DABACBD(4)在(2)中的抛物线上是否存在一点,使P?PAB
y和相似,若存在,求出点的坐标;若不存在,P?ABC
请说明理由(
M x B O A
C
[点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题~涉及了函数、方程、相似、圆等大量
初中数学的重点知识~解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识~须注意的
是在第4小问中涉及了相似三角形的问题~很有可能会有多解的情况出现~此时就要求学生
拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。
3232yxx,,,,3x2.(06湖南湘潭卷)已知:如图,抛物线的图象与轴分别交33
OA于两点,与轴交于点,经过原点及点,点是劣弧上一动点MDyAB,COAC,(点与不重合)( DAO,
(1)求抛物线的顶点的坐标; E
(2)求的面积; M
(3)连交于点,延长至,使,试探究当点运动到何处时,直FDCDAOCDGFG,2
线与相切,并请说明理由( MGA y
C E
M Fx [点评]本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究~因此数形结合的解题思想是不可缺少的~ BO A解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置。 D
G
1
3((06湖南永州卷)如图,以为圆心的两个同心圆中,大圆的直径交小圆于MN,ADO
两点,大圆的弦切小圆于点,过点作直线,垂足为,交大圆于FH,ABECCCEAD,
两点(
(1)试判断线段与的大小关系,并说明理由( ACBC
(2)求证:( FCCHAEAO,
2)若是方程xx,,,2540的两根(),求图中阴影部分图形的(3FCCH,CHCF,
周长(
B F
C A D E O M N
H
[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题~涉及圆、相似、三角等几何重点知识。
2x4. (06辽宁卷)如图,已知,以点为圆心,以长为半径的圆交AE(10)(0),,,,,AAO2
x轴于另一点,过点作交于点,直线交轴于点( BBBFAE?FFEAC(1)求证:直线是的切线; FCA
(2)求点的坐标及直线的解析式; CFC
x(3)有一个半径与的半径相等,且圆心在轴上运动的(若与直线相交于APPFC
两点,是否存在这样的点,使是直角三角形(若存在,求出点的坐标;MN,PP?PMN
y 若不存在,请说明理由(
B A x O C E F
[点评]本题是一道综合性很强的传统型压轴题~其难度比较恰当~选拔功能较强~解第3小题时要注意分类讨论~这是本题最容易失分的地方
2
3yx,,,15. (06辽宁沈阳卷)如图,在平面直角坐标系中,直线分别与x轴,轴y3
交于点,点( AB
(1)以为一边在第一象限内作等边及的外接圆(用尺规作图,MAB?ABC?ABC
不要求写作法,但要保留作图痕迹);
x(2)若与轴的另一个交点为点,求,,,四点的坐标; MDABDC
(3)求经过,,三点的抛物线的解析式,并判断在抛物线上是否存在点,使ABDP?ADP的面积等于的面积,若存在,请直接写出所有符合条件的点的坐标;若不存在,P?ADC
请说明理由(
[点评]本题是一道综合性很强的压轴题~主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识~第3小题是比较常规的结论存在性问题~运用方程思想和数形结合思想可解决。
2Myxmxm:(1)(2),,,,,x6. (06山东滨州卷)已知:抛物线与轴相交于AxBx(0)(0),,,xx,两点,且( 1212
xx,0m(?)若,且为正整数,求抛物线的解析式; M12
xx,,11,m(?)若,求的取值范围; 12
mC(02),(?)试判断是否存在,使经过点和点的圆与轴相切于点,若存在,求出ABy
m的值;若不存在,试说明理由;
lykxb:,,F(07),PQ,)若直线过点,与(?)中的抛物线相交于两点,且使(?M
PF1,,求直线的解析式( lFQ2
[点评]本题对学生有一定的能力要求~涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识~是一道选拔功能卓越的好题。
3
B(220),,7. (06四川课改卷)如图,在平面直角坐标系中,已知点,
(20),,,m,以为边在x轴下方作正方形,点是线段与正方Am(0),ABEABCDOD形的外接圆除点以外的另一个交点,连结与相交于点( DBEADFABCD
(1)求证:; BFDO,
(2)设直线是的边的垂直平分线,且与相交于点(若是的BE?BDOBOGG?BDOl
外心,试求经过三点的抛物线的解析表达式; BFO,,
x(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点,使该点关于直线的对称点在轴上,PBE若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由(
y l
B A x G O E F
C D
[点评]本题有一定的难度~综合性也比较强~有一定的新意~第3小问有些难度~有一定的能力要求~解这种题时需冷静地分析题意~找到切入点不会很难。
28. (06浙江卷课改)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l经过点A(-2,0)和点B(0,),313
34直线l的函数表达式为,l与l相交于点P(?C是一个动圆,圆心Cyx,,,321233
在直线l上运动,设圆心C的横坐标是a(过点C作CM?x轴,垂足是点M( 1
(1) 填空:直线l的函数表达式是 ,交点P的坐标是 ,?FPB的度数是 ; 1
(2) 当?C和直线l相切时,请证明点P到直线CM的距离等于?C的半径R,并写出2
R=时a的值. 32,2
(3) 当?C和直线l不相离时,已知?C的半径R=,记四边形NMOB的面积32,22
为S(其中点N是直线CM与l的交点)(S是否存在最大值,若存在,求出这个最2
大值及此时a的值;若不存在,请说明理由(
y l2 C 3 F 2 B P 1
E A
O -3 x -2 -1 1 2 3 4 [点评]此题也较为新颖~符合新课标的理念~揭示了求最-1 l1 值的一般方法~本题的难度设置也较为合适~使同学们都
能有发挥自己能力的空间。
4
9. (06山东济南课改卷)如图1,已知中,,(过点作,,CAB30ARt?ABCBC,5
,且,连接交于点( AEAB?BEPAE,15AC
(1)求的长; PA
(2)以点为圆心,为半径作,试判断与是否相切,并说明理由; AAAAPBE
r(3)如图2,过点作,垂足为(以点为圆心,为半径作;以点ADACCDAE?C
r为圆心,为半径作(若和的大小是可变化的,并且在变化过程中保持和CCARR
r相切,且使点在的内部,点在的外部,求和的变化范围( AADBR((
E E
P C C , P
B A A B
图1 图2
[点评]本题是一道比较传统的几何综合题,第1题运用相似三角形知识即可得解,第2小题也较基础,第3小题注意要分类,试题中只说明了“和C相切”,很多同学漏解往A
往是由于没有仔细读题和审题。
5
10((06江苏宿迁课改卷)设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的?O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d( ((
(1)如图?,当r,a时,根据d与a、r之间关系,将?O与正方形的公共点个数填入下表:
d、a、r之间关系 公共点的个数
d,a,r
d,a,r lOAa,r,d,a,r
d,a,r
图? d,a,r
所以,当r,a时,?O与正方形的公共点的个数可能有 个; (2)如图?,当r,a时,根据d与a、r之间关系,将?O与正方形的公共点个数填入下表:
公共点的个数 d、a、r之间关系
d,a,r
ld,a,r AO
a?d,a,r
d,a 图?
所以,当r,a时,?O与正方形的公共点个数可能有 个;
5(3)如图?,当?O与正方形有5个公共点时,试说明r,a; 4
lAO
图?
(4)就r,a的情形,请你仿照“当??时,?O与正方形的公共点个数可能有
个”的形式,至少给出一个关于“?O与正方形的公共点个数”的正确结论(
[点评]本题是一道较为新颖的几何压轴题~考查圆、相似、正方形等几何知识~综合性较强~有一定的难度~试题的区分度把握非常得当~是一道很不错的压轴题。
6
11. (06山东枣庄课改卷)半径为2.5的?O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P(已
AB知BC :CA,4 : 3,点P在上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点O (1)当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长;
AB)当点P运动到的中点时,求CQ的长; (2
(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值,求此时CQ的长(
[点评]本题属于常规的几何综合题~解第3小问时要有动态的思想,在草稿上画画图,不难猜想出结论。
x12. (内蒙古鄂尔多斯课改卷)如图,点在轴上,交轴于两点,连结并AB,PPBPy
x5延长交于,过点的直线yxb,,2交轴于,且的半径为,( PPDAB,4CC
(1)求点的坐标; BPC,,
(2)求证:是的切线; PCD
2yxax,,,,,(1)6(3)若二次函数的图象经过点,求这个二次函数的解析式,并写B
xyxb,,2出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围( y
,
,
,
, , ,, x
,,
[点评]本题是一道较为常规的综合压轴题~综合性较强~解第
3小题时可以借助函数图像来很明了快捷地得出结论。
7
13. (2006江苏常州)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画?O,P是?O上一动点,且P在第一象限内,过点P作?O的切线与x轴相交于点A,与轴相y交于点B。
(1)点P在运动时,线段AB的长度在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;
(2)在?O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形,若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。 y
B Q
1
O1-1Ax-1
14. (06湖北武汉市课改卷)如图?,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的?O
y,,x,2的半径为2,1,直线l:与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为
(4,1),?B与x轴相切于点M。
(1)求点A的坐标及?CAO的度数;
(2)?B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针
匀速旋转。当?B第一次与?O相切时,直线l也恰好与?B第一次相切。问:直
线AC绕点A每秒旋转多少度,
(3)如图?,过A、O、C三点作?O,点E为劣弧AO上一点,连接EC、EA、EO,1
EC,EA当点E在劣弧AO上运动时(不与A、O两点重合),的值是否发生变化,EO
如果不变,求其值;如果变化,说明理由。 y y
E x B A O
x
O A M O 1
C C
第25题图? 第25题图?
8
x15. (06广东深圳课改卷)(10分)如图10-1,在平面直角坐标系中,点在轴的正Mxoy
AE半轴上, ?交x轴于 两点,交轴于两点,且为的中点,交MAEyyAB、CD、C
轴于点,若点的坐标为(,2,0), AAEG,8
(1)(3分)求点的坐标. C
(2)(3分)连结,求证:? MGBC、MGBC
x(3)(,分) 如图10-2,过点作?的切线,交轴于点.动点在?的圆周上运DMPFM
OF动时,的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律. PF
yy EECC
GG
OAxMBpAOxB MF
DD
图10,2 图10,1
16.(06 安徽芜湖市课改卷)一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径
0为10cm的圆盘,如图所示,AB与C D是水平的,BC与水平面的夹角为60,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你作出该小朋友将园盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度。
9
k17. (07芜湖市)24. 已知圆P的圆心在反比例函数图象上,并与x轴相交于A、(1)k,y,x
B两点( 且始终与y轴相切于定点C(0,1)(
(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2) 若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时,四边形ADBP为菱形(
18. (07三明市)26. 如图?,?,在平面直角坐标系xOy中,点的坐标为(4,0),以A
xx点为圆心,4为半径的圆与轴交于,两点,为弦,,是轴,,AOC60ABPOOC
上的一动点,连结( CP
(1)求的度数;(2分) ,OAC
(2)如图?,当与相切时,求的长;(3分) ACPPO
(3)如图?,当点在直径上时,的延长线与相交于点Q,问为何值时,APOBCPPO?OCQ是等腰三角形,(7分)
10
19. (07山东省滨州市)26. 如图12-1所示,在中,,,?A,90?ABCABAC,,2为的中点,动点在边上自由移动,动点在边上自由移动( EBAFOBCAC
(1)点的移动过程中,是否能成为的等腰三角形,若能,请?EOF,45EF,?OEF
指出为等腰三角形时动点的位置(若不能,请说明理由( ?OEFEF,
xx(2)当时,设,,求与之间的函数解析式,写出的CFy,?EOF,45yBEx,
取值范围(
(3)在满足(2)中的条件时,若以为圆心的圆与相切(如图12-2),试探究直线ABEFO
与的位置关系,并证明你的结论( O
A A E F E F
BC O CB O 图12-1
图12-2
20. (06武汉市) 如图?,在平面直角坐标系中,Rt?AOB?Rt?CDA,且A(,1,0)、B(0,
22),抛物线y,ax,ax,2经过点C。
(1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ是正方形,若存在,
求点P、Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图?,E为BC延长线上一动点,过A、B、E三点作?O’,连结AE,在?O’上
另有一点F,且AF,AE,AF交BC于点G,连结BF。下列结论:?BE,BF的值
BFBG不变;?,其中有且只有一个成立,请你判断哪一个结论成立,并证明,AFAG
y 成立的结论。 y
F
B G O’
B C C
x E
D A O x
A O
(第25题图?)
(第25题图?)
11
y 21.(07湖北省襄樊市非课改区)26. 如图,在平面直角坐标系中,l 以点C(0,4)为圆心,半径为4的圆交y轴正半轴于点A,AB是?C的切P P B A1线(动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P、Q
C 从点A和点O同时出发,设运动时间为t(秒)(
(1)当t,1时,得到P、Q两点,求经过A、P、Q三点的抛物线解1111x 析式及对称轴l; O Q Q 1
(2)当t为何值时,直线PQ与?C相切,并写出此时点P和点Q的坐标;
(第26题图) (3)在(2)的条件下,抛物线对称轴l上存在一点N,使NP,NQ最小,求出点N的坐标并说明理由(
22.07(湖南省韶关市) 25.如图6,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,AB=2,
3直线与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点,P是线段DE上的动点. yx,,,2
(1)求M、D两点的坐标;
(2)当P在什么位置时,PA=PB,求出此时P点的坐标;
(3)过P作PH?BC,垂足为H,当以PM为直径的?F与BC相切于点N时,求梯形PMBH的面积.
12
o23.(07湖南省株洲市)25. 已知Rt?ABC,?ACB,90,AC,4,BC,3,CD?AB于点
D,以D为坐标原点,CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系. (1)求A、B、C三点的坐标;
OO(2)若?O、?O分别为?ACD、?BCD的内切圆,求直线的解析式; 1212
OO(3)若直线分别交AC、BC于点M、N,判断CM与CN的大小关系,并证明你的结12
论.
y
C
M
NO1O2
BxD A
24. (07贵阳市)25. 如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇90形(
,(1)求这个扇形的面积(结果保留)((3分)
(2)在剩下的三块余料中,能否从第?块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆
锥,请说明理由((4分)
RR(0),(3)当的半径为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立,请说明理由((5O
分) A
? ?
O B C
?
图14
13
25. (07陕西省)25. 如图,的半径均为( OR
(1)请在图?中画出弦,使图?为轴对称图形而不是中心对称图形;请在图?中ABCD,((
画出弦,使图?仍为中心对称图形; ABCD,
(2)如图?,在中,,且与交于点,夹角为锐ABCDmmR,,,,(02)OABECD,m,,角(求四边形的面积(用含的式子表示); ACBD
)若线段是的两条弦,且,你认为在以点(3ABCDR,,2OABCD,ABCD,,,为顶点的四边形中,是否存在面积最大的四边形,请利用图?说明理由(
D A
E , O O O O
C B
(第25题图?) (第25题图?) (第25题图?) (第25题图?)
26. (07甘肃省白银等7市新课程)28. 在直角坐标系中,?A的半径为4,圆心A
的坐标为(2,0),?A与x轴交于E、F两点,与y轴交于C、D两点,过点C作?A
的切线BC,交x轴于点B(
(1)求直线CB的解析式;
2(2)若抛物线y=ax+bx+c的顶点在直线BC上,与x
轴的交点恰为点E、F,求该抛物线的解析式;
(3)试判断点C是否在抛物线上,
(4) 在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与
?AOC相似,直接写出两组这样的点(
14
12yxmxn,,,27. .(07甘肃省陇南市)28. 如图,抛物线交轴于A、B两点,交轴xy2
于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是3,点B的横坐标是1( ,
(1)求m、n的值;
(2)求直线PC的解析式;
(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
21.41,52.24,31.73,PC的位置关系,并说明理由((参考数:,,)
2 28. (07绵阳市)25.如图,已知抛物线y = ax+ bx,3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对
5称轴上,?M的半径为(设?M与y轴交于D,抛物线的顶点为E( (1)求m的值及抛物线的解析式;
(2)设?DBC = ,,?CBE = ,,求sin(,,,)的值;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与?BCE相似,若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由(
15
29. (07南充市)25.如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x
12轴交于点A、B(已知抛物线过点A和B,与y轴交于点C( yxbxc,,,6
(1)求点的坐标,并画出抛物线的大致图象( C
12(2)点Q(8,m)在抛物线上,点P为此抛物线对称轴上一个动yxbxc,,,6
,的最小值( 点,求PQPB
(3)是过点的?的切线,点是切点,求所在直线的解析式( CECMEOE
y
C
x A M D B O
E
30. (07内江市)25.如图(13),已知平行四边形的顶点的坐标是AABCD
42x(016),,平行于轴,三点在抛物线上,交轴于点,yx,AByBCD,,DCN25
a一条直线与交于点,与交于点,如果点的横坐标为,四边形ABEFEOEDC
135的面积为( ADFE2
(1)求出两点的坐标; BD,
a(2)求的值;
(3)作的内切圆,切点分别为,求的值( P?ADNMKH,,tan,PFM
y
E A B
P H K F D C MN
Ox
图(13)
16
31. (07山西省临汾市)26. 如图所示,在平面直角坐标系中,经过原点,且与轴、xMO轴分别相交于两点( AB(60)(08),,,,,y
(1)请求出直线的函数表达式; AB
(2)若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点,顶点在上,开口向下,且经过yMCM点,求此抛物线的函数表达式; B
(3)设(2)中的抛物线交x轴于两点,在抛物线上是否存在点,使得PDE,
1,若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由( SS,P??PDEABC15
y
C A O x E D
M B
32. (07宿迁市)27. 如图,圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周,并且始终保持与正方形的边相切。
(1)在图中,把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来; (2)当圆的直径等于正方形的边长一半时,该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大,并说明理由。
17
2y,ax,bx,c(a,0)33. (08广东深圳)22(如图9,在平面直角坐标系中,二次函数
的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),
1OB,OC ,tan?ACO,( 3
(1)求这个二次函数的表达式(
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使
以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形,若存在,请求出点F的坐标;若不存
在,请说明理由(
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,
求该圆半径的长度(
(4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动
点,当点P运动到什么位置时,?APG的面积最大,求出此时P点的坐标和?APG的最
大面积.
yy
AOBxAOBE x
GCC
DD
图 10图 9
34.(08湖南长沙)26.如图,六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的?O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA.
?(1)当?BAD=75:时,求BC的长; C B
(2)求证:BC?AD?FE;
xx(3)设AB=,求六边形ABCDEF的周长L关于的函数
A ? D x关系式,并指出为何值时,L取得最大值. O
F E
18
35.(08湖南益阳)七、(本题12分)
24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”
只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),
AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围;
(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗,试试看;
(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
y
C
x A B
M O
D
图12
19
36. (08江苏连云港)25((本小题满分12分)
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆(例如线段的最小AB覆盖圆就是以线段为直径的圆( AB
(1)请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不
A A 写作法);
100 80
B C B C
(第25题图1)
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律,请写出你所得到的结论(不要求证明); (3)某地有四个村庄(其位置如图2所示),现拟建一个电视信号中转站,EFGH,,,
为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号,且使中转站所需发射功率最小(距离越小,所需功率越小),此中转站应建在何处,请说明理由( G
49.8H 32.4 53.8
50.044.0 F 47.1
47.8 35.1
E (第25题图2)
37. (08江苏宿迁)27((本题满分12分)
如图,?的半径为,正方形顶点坐B1OABCD
y(5,0),顶点在?上运动( 标为DO
C(1)当点运动到与点、在同一条直线DAO
上时,试证明直线与?相切; CDO
D(2)当直线与?相切时,求所在直CDOCD
线对应的函数关系式; B
O5x(3)设点的横坐标为,正方形的DABCDx1x面积为,求与之间的函数关系式,并求出SS
的最大值与最小值( SA
第27题
20
38. (08江苏无锡)27((本小题满分10分)
如图,已知点x从出发,以1个单位长度/秒的速度沿轴向正方向运动,以为(10),AOA,顶点作菱形,使点在第一象限内,且;以为圆心,为P(03),,,AOC60OABCBC,PC半径作圆(设点运动了秒,求: At
(1)点的坐标(用含的代数式表示); Ct
(2)当点在运动过程中,所有使与菱形的边所在直线相切的的值( PAOABCt
39. (08江苏无锡)28((本小题满分8分)
一种电讯信号转发装置的发射直径为31km(现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市(问:
(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求, (2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求, 答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由((下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用)
图1 图2 图3 图4
21
40. (08山东德州东营菏泽)24((本题满分12分)
在?ABC中,?A,90?,AB,4,AC,3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过
M点作MN?BC交AC于点N(以MN为直径作?O,并在?O内作内接矩形AMPN(令
AM,x(
(1)用含x的代数式表示?,NP的面积S;
(2)当x为何值时,?O与直线BC相切,
(3)在动点M的运动过程中,记?,NP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x
的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少,
A
N M O
P
C B 图 1 A
M N O
C B D
图 2 A
O N M
C B P 图 3
41. (08山东潍坊)(本题答案暂缺)24((本题满分12分)
A(230),,如图,圆切轴于原点,过定点作圆切线交圆于点(已知BBPyO
y
3M tan?PAB,,抛物线经过两点( CAP,P 3
x (1)求圆的半径; BO A B (2)若抛物线经过点,求其解析式; BC
(3)投抛物线交轴于点,若三角形为直角三角形,求点的坐标( MAPMMyC
22
42. (08四川乐山)(本题答案暂缺)28.在平面直角坐标系中?ABC的边AB在x轴上,且OA>OB,以AB为直径的圆过点C,若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标X,X是关AB
2xmxn,,,,,(2)10于X的方程的两根:
(1) 求m,n的值
(2) 若?ACB的平分线所在的直线交x轴于点D,试求直线对应的一次函数的解析式 ll
11`(3) 过点D任作一直线分别交射线CA,CB(点C除外)于点M,N,则的值l,CMCN
是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由
C
M
O A B D
N
L`
43、(08四川凉山)25((9分)如图,在中,是的中点,以,,ACB90DAB?ABCDC为直径的交的三边,交点分别是点(的交点为,且OM?ABCGFE,,GECD,ME,46,( MDCO:2:5,
(1)求证:( ,,,GEFA
(2)求的直径的长( OCD
(3)若,以为坐标原点,所在的直线分别为轴和轴,建YXcos0.6,,BCCACB,
立平面直角坐标系,求直线的函数表达式( AB
23
44. (08浙江嘉兴)24(如图,直角坐标系中,已知两点,点在第一象OA(00)(20),,,B
为正三角形,的外接圆交轴的正半轴于点,过点的圆的切线交限且y?OAB?OABCCx轴于点( D
(1)求两点的坐标; BC,
(2)求直线的函数解析式; CD
(3)设分别是线段上的两个动点,且平分四边形的周长( EFEF,ABAD,ABCD试探究:的最大面积, ?AEF
(第24题) (第24题)
45. 08浙江宿迁)本题答案暂缺27((本题满分12分)
(5,0)如图,?的半径为,正方形顶点坐标为,顶点在?上运动( BD1OABCDO(1)当点运动到与点、在同一条直线上时,试证明直线与?相切; DAOCDO(2)当直线与?相切时,求所在直线对应的函数关系式; CDOCD
xx(3)设点的横坐标为,正方形的面积为,求与之间的函数关系式,并求DABCDSS出的最大值与最小值( S
y
C
D
B O5x1
A
第27题
24
46.(08山东济南24题)(本小题满分9分)
2已知:抛物线(a?0),顶点C (1,),与x轴交于A、B两点,( yaxbxc,,,A(10),,,3
(1)求这条抛物线的解析式(
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM?AE于M,PN?DB
PMPN于N,请判断是否为定值? 若是,请求出此定值;若不是,请说明理由( ,BEAD
(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG?EP ,FG分别与边AE、(
PAEFBE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断是否成立(若,PBEG成立,请给出证明;若不成立,请说明理由( y E
M
P O B A x
N D
C
第24题图
47. (08四川达州23题)如图,将置于平面直角坐标系中,其中点为坐标原点,?AOBO点的坐标为(30),,( ,,ABO60A
(1)若的外接圆与轴交于点,求点坐标( DDy?AOB
(10),,(2)若点的坐标为,试猜想过的直线与的外接圆的位置关系,并CDC,?AOB加以说明(
y (3)二次函数的图象经过点和且顶点在圆上, AO
求此函数的解析式( B
D
F
E
O C A x
25
OxO48. (08青海西宁28题)如图14,已知半径为1的与轴交于两点,为AB,OM11
2Oyxbxc,,,,的切线,切点为,圆心的坐标为,二次函数的图象经过(20),MAB,1
两点(
(1)求二次函数的解析式;
y (2)求切线的函数解析式; OM
(3)线段上是否存在一点,使得以为顶点的三POMPOA,,M
?OOM角形与相似(若存在,请求出所有符合条件的点的坐标;P1
A OB 1 x O 若不存在,请说明理由(
图14
249. (08湖南永州25题)(10分)如图,二次函数y,ax,bx,c(a,0)与坐标轴交于点A、
B、C且OA,1,OB,OC,3 (
(1)求此二次函数的解析式(
(2)写出顶点坐标和对称轴方程(
2(3)点M、N在y,ax,bx,c的图像上(点N在点M的右边),且MN?x轴,求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径(
26
50. (08上海市卷25题)(本题满分14分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)
已知,,(如图13)(是射线上的动点(点,,DAB90EABAD,,24,ADBC?BC与点不重合),是线段的中点( EBMDE
x(1)设,的面积为,求关于的函数解析式,并写出函数的定义域; yyBEx,?ABM
(2)如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切,求线段的长; ABDEBE(3)联结,交线段于点,如果以为顶点的三角形与相似,BDAMNAND,,?BME求线段的长( BE
D D A A
M
C C B B E 备用图 图13
27
51. (08内蒙古赤峰25题)(本题满分14分)
在平面直角坐标系中给定以下五个点
17,,ABCDE(30)(14)(03)(10),,,,,,,,,,,( ,,24,,
(1)请从五点中任选三点,求一条以平行于轴的直线为对称轴的抛物线的解析式; y
(2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴,并画出草图;
y 1517,,G F,1,(3)已知点在抛物线的对称轴上,直线y,,, 4B(14),,4,,F C(03),
17,,G,1,过点且垂直于对称轴(验证:以为圆心,E(10),17,,,, D,4,,,,24,,
17为半径的圆与直线相切(请你进一步验证,以抛y,EF E(10),4x H O A(30),,17,,D,物线上的点为圆心为半径的圆也与直线DF,,24,,
17相切(由此你能猜想到怎样的结论( y,4
28
范文三:中考压轴题--圆
中考压轴题——圆(练习题)
1.如图,AB切⊙O于点B,OA=23,AB=3,弦BC//OA,则劣弧BC的弧长为( ) A.33? B. ? C. ? D. ? 232
2.以原点O为圆心的圆交X轴于A、B两点,交y轴的正半轴于点C,D为第一象限内⊙O上的一点,若∠DAB=20°,则∠OCD= °.
03.如图,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直
角,点D在线段AC上。
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=2OM;
(3)将△DCE绕点C逆时针旋转?(0
BE
100的中点,N1是线段AD1的中点,M1N1=2OM1是否成立?若是,请证明:若不是,说明理由。
范文四:中考压轴题--圆
中考压轴题(一)--------与圆有关压轴题
AB所对的圆心角为120?,已知圆的半径为1.(06甘肃嘉峪关、定西卷)如图,在?M中,?
2cm,并建立如图所示的直角坐标系.
(1)求圆心M的坐标;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)点D是弦AB所对的优弧上一动点,求四边形ACBD的最大面积; (4)在(2)中的抛物线上是否存在一点P,使△PAB
和△ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,
请说明理由.
x
[点评]本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题,涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识,解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识,须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题,很有可能会有多解的情况出现,此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。 2.(06
湖南湘潭卷)已知:如图,抛物线y??
2x?xx轴分别交33
?上一动点于A,B两点,与y轴交于C点,?M经过原点O及点A,C,点D是劣弧OA
(D点与A,O不重合).
(1)求抛物线的顶点E的坐标; (2)求?M的面积;
(3)连CD交AO于点F,延长CD至G,使FG?2,试探究当点D运动到何处时,直线GA与?M相切,并请说明理由.
[点评]本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究,因此数形结合的解题思想是不可缺少的,解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置。 3.(06湖南永州卷)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD交小圆于M,N两点,大圆的弦AB切小圆于点C,过点C作直线CE?AD,垂足为E,交大圆于F,H两点.
(1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由.
CH?AE?AO. (2)求证:FC?
2
(3)若FC,
CH是方程x??4?0的两根(CH?CF),求图中阴影部分图形的
周长.
A
[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识。 ,以点A为圆心,以AO长为半径的圆交x轴于另一点B,过点B作BF∥AE交?A于点F,直线FE交x轴于点C. ,,0)E(0,?4. (06
辽宁卷)如图,已知A(?1
(1)求证:直线FC是?A的切线;
(2)求点C的坐标及直线FC的解析式;
(3)有一个半径与?A的半径相等,且圆心在x轴上运动的?P.若?P与直线FC相交于M,N两点,是否存在这样的点P,使△PMN是直角三角形.若存在,求出点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
[点评]本题是一道综合性很强的传统型压轴题,其难度比较恰当,选拔功能较强,解第3
小题时要注意分类讨论,这是本题最容易失分的地方 5. (06
辽宁沈阳卷)如图,在平面直角坐标系中,直线y?x?1分别与x轴,y轴交于点A,点B.
(1)以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆?M(用尺规作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹);
(2)若?M与x轴的另一个交点为点D,求A,B,C,D四点的坐标;
B,D三点的抛物线的解析式,DP(3)求经过A,并判断在抛物线上是否存在点P,使△A
的面积等于△ADC的面积?若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
[点评]本题是一道综合性很强的压轴题,主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识,第3小题是比较常规的结论存在性问题,运用方程思想和数形结合思想可解决。
6. (06山东滨州卷)已知:抛物线M:y?x?(m?1)x?(m?2)与x轴相交于
2
A(x1,,0)B(x2,0)两点,且x1?x2.
(Ⅰ)若x1x2?0,且m为正整数,求抛物线M的解析式; (Ⅱ)若x1?1,x2?1,求m的取值范围;
2),若存在,求出(Ⅲ)试判断是否存在m,使经过点A和点B的圆与y轴相切于点C(0,
m的值;若不存在,试说明理由;
7),与(Ⅰ)中的抛物线M相交于P,Q两点,且使(Ⅳ)若直线l:y?kx?b过点F(0,
PF1
?,求直线l的解析式. FQ2
[点评]本题对学生有一定的能力要求,涉及了初中数学的大部分重点章节的重点知识,
是一
道选拔功能卓越的好题。
7. (06四川课改卷)如图,在平面直角坐标系中,已知
点B(?,
A(m
,0)(?m?0),以AB为边在x轴下方作正方形ABCD,点E是线段OD与正方
形ABCD的外接圆除点D以外的另一个交点,连结BE与AD相交于点F. (1)求证:BF?DO;
(2)设直线l是△BDO的边BO的垂直平分线,且与BE相交于点G.若G是△BDO的外心,试求经过B,F,O三点的抛物线的解析表达式;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P,使该点关于直线BE的对称点在x轴上?若存在,求出所有这样的点的坐标;若不存在,请说明理由.
[点评]本题有一定的难度,综合性也比较强,有一定的新意,第3小问有些难度,有一定的能力要求,解这种题时需冷静地分析题意,找到切入点不会很难。
8. (06浙江卷课改)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l1经过点A(-2,0)和点B(0
,
x?l1与l2相交于点P.⊙C是一个动圆,圆心C在直线l1上运动,设圆心C的横坐标是a.过点C作CM⊥x轴,垂足是点M.
直线l2
的函数表达式为y?(1) 填空:直线l1的函数表达式是 ,交点P的坐标是 ,∠FPB的度数是 ; (2) 当⊙C和直线l2相切时,请证明点P到直线CM的距离等于⊙C的半径R,并写出
R=32?2时a的值.
(3) 当⊙C和直线l2不相离时,已知⊙C的半径R=2?2,记四边形NMOB的面积
为S(其中点N是直线CM与l2的交点).S是否存在最大值?若存在,求出这个最
大值及此时a的值;若不存在,请说明理由.
[点评]此题也较为新颖,符合新课标的理念,揭示了求最值的一般方法,本题的难度设置也较为合适,使同学们都
能有发挥自己能力的空间。
?
9. (06山东济南课改卷)如图1,已知Rt△ABC中,?CAB?30,BC?5.过点A作
AE⊥AB,且AE?15,连接BE交AC于点P. (1)求PA的长;
(2)以点A为圆心,AP为半径作?A,试判断BE与?A是否相切,并说明理由; (3)如图2,过点C作CD⊥AE,垂足为D.以点A为圆心,r为半径作?A;以点C为圆心,R为半径作?C.若r和R的大小是可变化的,并且在变化过程中保持?A和?C相切,且使D点在?A的内部,B点在?A的外部,求r和R的变化范围. ..
C
D图1 图2
[点评]本题是一道比较传统的几何综合题,第1题运用相似三角形知识即可得解,第2小题也较基础,第3小题注意要分类,试题中只说明了“?A和?C相切”
,很多同学漏解往
往是由于没有仔细读题和审题。 10.(06江苏宿迁课改卷)设边长为2a的正方形的中心A在直线l上,它的一组对边垂直于直线l,半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动,点A、O间距离为d. ..(1)如图①,当ra的情形,请你仿照“当??时,⊙O与正方形的公共点个数可能有
个”的形式,至少给出一个关于“⊙O与正方形的公共点个数”的正确结论.
[点评]本题是一道较为新颖的几何压轴题,考查圆、相似、正方形等几何知识,综合性较强,
有一定的难度,试题的区分度把握非常得当,是一道很不错的压轴题。
11. (06山东枣庄课改卷)半径为2.5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P.已知BC :CA=4 : 3,点P在?AB上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点O (1)当点P与点C关于AB对称时,求CQ的长; (2)当点P运动?AB到的中点时,求CQ的长;
(3)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?求此时CQ的长.
[点评]本题属于常规的几何综合题,解第3小问时要有动态的思想(在草稿上画画图)不难猜想出结论。
12. (内蒙古鄂尔多斯课改卷)如图,点P在y轴上,?P交x轴于A,B两点,连结BP并延长交?P于C,过点C的直线y?2x?b交x轴于D,且?
PAB?4. (1)求点B,P,C的坐标; (2)求证:CD是?P的切线;
(3)若二次函数y??x?(a?1)x?6的图象经过点B,求这个二次函数的解析式,并写出使二次函数值小于一次函数y?2x?b值的x的取值范围.
[点评]
本题是一道较为常规的综合压轴题,综合性较强,解第
2
3小题时可以借助函数图像来很明了快捷地得出结论。
13. (2006江苏常州)如图,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心,2为半径画⊙O,P是⊙O上一动点,且P在第一象限内,过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A,与y轴相交于点B。
(1)点P在运动时,线段AB的长度在发生变化,请写出线段AB长度的最小值,并说明理由;
(2)在⊙O上是否存在一点Q,使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由。
14. (06湖北武汉市课改卷)如图①,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O
的半径为2?1,直线l:y??x?2与坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相切于点M。
(1)求点A的坐标及∠CAO的度数;
(2)⊙B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针
匀速旋转。当⊙B第一次与⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切。问:直线AC绕点A每秒旋转多少度?
(3)如图②,过A、O、C三点作⊙O1,点E为劣弧
EC、EA、EO,
当点AO上运动时(不与A、O两点重合)如果不变,求其值;如果变化,说明理由。
第25题图②
EC?EA
的值是否发生变化?
EO
15. (06广东深圳课改卷)(10分)如图10-1,在平面直角坐标系xoy中,点M在x轴的正
?的中点,AE交y半轴上, ⊙M交x轴于 A、B两点,交y轴于C、D两点,且C为AE
轴于G点,若点A的坐标为(-2,0),AE?8
(1)(3分)求点C的坐标. (2)(3分)连结MG、BC,求证:MG∥BC
(3)(4分) 如图10-2,过点D作⊙M的切线,交x轴于点P.动点F在⊙M的圆周上运动时,
OF
的比值是否发生变化,若不变,求出比值;若变化,说明变化规律. PF
图10-1
16.(06 安徽芜湖市课改卷)一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘,如图所示,AB与C D是水平的,BC与水平面的夹角为600,其中AB=60cm,CD=40cm,BC=40cm,请你作出该小朋友将园盘从A点滚动到D
点其圆心所经过的路线的示意图,并求出此路线的长度。
17. (07芜湖市)24. 已知圆P的圆心在反比例函数y?
k
(k?1)图象上,并与x轴相交于A、x
B两点. 且始终与y轴相切于定点C(0,1).
(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2) 若二次函数图象的顶点为D,问当k为何值时,四边形ADBP为菱形.
18. (07三明市)26. 如图①,②,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(4,0),以点
A为圆心,4为半径的圆与x轴交于O,B两点,OC为弦,?AOC?60?,P是x轴上
的一动点,连结CP.
(1)求?OAC的度数;(2分)
(2)如图①,当CP与?A相切时,求PO的长;(3分)
(3)如图②,当点P在直径OB上时,CP的延长线与?A相交于点Q,问PO为何值时,
△OCQ是等腰三角形?(7分)
?
19. (07山东省滨州市)26. 如图12-1所示,在△ABC中,AB?AC?2,∠A?90,
O为BC的中点,动点E在BA边上自由移动,动点F在AC边上自由移动.
(1)点E,F的移动过程中,△OEF是否能成为∠EOF?45的等腰三角形?若能,请指出△OEF为等腰三角形时动点E,F的位置.若不能,请说明理由.
?
(2)当∠EOF?45时,设BE?x,CF?y,求y与x之间的函数解析式,写出x的
?
取值范围.
(3)在满足(2)中的条件时,若以O为圆心的圆与AB相切(如图12-2),试探究直线EF与?O的位置关系,并证明你的结论.
A
B
B
图12-1
图12-2
20. (06武汉市) 如图①,在平面直角坐标系中,Rt△AOB≌Rt△CDA,且A(-1,0)、B(0,
2),抛物线y=ax2+ax-2经过点C。 (1)求抛物线的解析式;
(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q,使四边形ABPQ是正方形?若存在,求点P、Q的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)如图②,E为BC延长线上一动点,过A、B、E三点作⊙O’,连结AE,在⊙O’上另有一点F,且AF=AE,AF交BC于点G,连结BF。下列结论:①BE+BF的值不变;②
BFBG
,其中有且只有一个成立,请你判断哪一个结论成立,并证明?
AFAG
(第25题图②)成立的结论。
21.(07
湖北省襄樊市非课改区)26. 如图,在平面直角坐标系中,
以点C(0,4)为圆心,半径为4的圆交y轴正半轴于点A,AB是⊙C的切线.动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动,点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动,且动点P、Q
从点A和点O同时出发,设运动时间为t(秒).
(1)当t=1时,得到P1、Q1两点,求经过A、P1、Q1三点的抛物线解
析式及对称轴l; (2)当t为何值时,直线PQ与⊙C相切?并写出此时点P和点Q的坐标;
(3)在(2)的条件下,抛物线对称轴l上存在一点N,使NP+NQ最小,求出点N的坐标并说明理由.
22.07(湖南省韶关市) 25.如图6,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,OA=4,AB=2,直线y??x?
3
与坐标轴交于D、E。设M是AB的中点,P是线段DE上的动点. 2
(1)求M、D两点的坐标;
(2)当P在什么位置时,PA=PB?求出此时P点的坐标;
(3)过P作PH⊥BC,垂足为H,当以PM为直径的⊙F与BC相切于点N时,求梯形PMBH的面积.
23.(07湖南省株洲市)25. 已知Rt△ABC,∠ACB=90o,AC=4,BC=3,CD⊥AB于点D,以D为坐标原点,CD所在直线为y轴建立如图所示平面直角坐标系. (1)求A、B、C三点的坐标;
(2)若⊙O1、⊙O2分别为△ACD、△BCD的内切圆,求直线O1O2的解析式;
(3)若直线O1O2分别交AC、BC于点M、N,判断CM与CN的大小关系,并证明你的结论.
24. (07贵阳市)25. 如图14,从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90的扇
?
形.
(1)求这个扇形的面积(结果保留?).(3分)
(2)在剩下的三块余料中,能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由.(4分) (3)当?O的半径R(R?0)为任意值时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.(5分)
B
25. (07陕西省)25. 如图,?O的半径均为R.
(1)请在图①中画出弦AB,CD,使图①为轴对称图形而不是中心对称图形;请在图②中..画出弦AB,CD,使图②仍为中心对称图形;
(2)如图③,在?O中,AB?CD?m(0?m?2R),且AB与CD交于点E,夹角为锐角?.求四边形ACBD的面积(用含m; ,?的式子表示)
(3)若线段AB,CD是?O的两条弦,
且AB?CD,你认为在以点A,B,C,D为顶点的四边形中,是否存在面积最大的四边形?请利用图④说明理由.
(第25题图①) (第25题图②) (第25题图③) (第25题图④)
26. (07甘肃省白银等
7市新课程)28. 在直角坐标系中,⊙A的半径为4,圆心A
的坐标为(2,0),⊙A与x轴交于E、F两点,与
y轴交于C、D两点,过点C作⊙A的切线BC,交x轴于点B. (1)求直线CB的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c的顶点在直线BC上,与x
轴的交点恰为点E、F,求该抛物线的解析式; (3)试判断点C是否在抛物线上?
(4) 在抛物线上是否存在三个点,由它构成的三角形与
△AOC相似?直接写出两组这样的点.
1
27. .(07甘肃省陇南市)28. 如图,抛物线y?x2?mx?n交x轴于A、B两点,交y轴
2
于点C,点P是它的顶点,点A的横坐标是?3,点B的横坐标是1.
(1)求m、n的值; (2)求直线PC的解析式;
(3)请探究以点A为圆心、直径为5的圆与直线
PC的位置关系,并说明理由.(
?
1.41?
1.73,?2.24)
28. (07绵阳市)25.如图,已知抛物线y = ax+ bx-3与x轴交于A、B两点,
2
与y轴交于C点,经过A、B、C三点的圆的圆心M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M的半径为5.设⊙M与y轴交于D,抛物线的顶点为E. (1)求m的值及抛物线的解析式;
(2)设∠DBC = ?,∠CBE = ?,求sin(?-?)的值;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在,请指出点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
29. (07
南充市)25.如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x
12
x?bx?c过点A和B,与y轴交于点C. 6
(1)求点C的坐标,并画出抛物线的大致图象.
1
(2)点Q(8,m)在抛物线y?x2?bx?c上,点P为此抛物线对称轴上一个动
6
点,求PQ+PB的最小值.
(3)CE是过点C的⊙M的切线,点E是切点,求OE所在直线的解析式.
轴交于点A、B.已知抛物线y?
x
30. (07内江市)25.如图(13),已知平行四边形ABCD的顶点A的坐标是
42
DC交y轴于N点,x上,
25
一条直线OE与AB交于E点,与DC交于F点,如果E点的横坐标为a,四边形
135
ADFE的面积为.
2
(1)求出B,D两点的坐标; (2)求a的值;
(016),,AB平行于x轴,B,C,D三点在抛物线y?
(3)作△ADN的内切圆?P,切点分别为M,K,H,求tan?PFM的值.
?M经过原点O,31. (07山西省临汾市)26. 如图所示,在平面直角坐标系中,且与x轴、
0)B(0,?8)两点. y轴分别相交于A(?6,,
(1)请求出直线AB的函数表达式;
(2)若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M,顶点C在?M上,开口向下,且经过
点B,求此抛物线的函数表达式;
(3)设(2)中的抛物线交x轴于D,E两点,在抛物线上是否存在点P,使得
1
S△PDE?S△ABC?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
15
32. (07
宿迁市)27. 如图,圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周,
并且始终保持与正方形的边相切。
(1)在图中,把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来;
(2)当圆的直径等于正方形的边长一半时,该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大?并说明理由。
33. (08广东深圳)22.如图9,在平面直角坐标系中,二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象的顶点为D点,与y轴交于C点,与x轴交于A、B两点, A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),
OB=OC ,tan∠ACO=
1
. 3
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过C、D两点的直线,与x轴交于点E,在该抛物线上是否存在这样的点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点,且以MN为直径的圆与x轴相切,求该圆半径的长度.
(4)如图10,若点G(2,y)是该抛物线上一点,点P是直线AG下方的抛物线上一动点,当点P运动到什么位置时,△APG的面积最大?求出此时P点的坐标和△APG的最大面积.
34.(08湖南长沙)26.如图,六边形ABCDEF内接于半径为r(常数)的⊙O,其中AD为直径,且AB=CD=DE=FA.
(1)当∠BAD=75?时,求⌒BC的长; (2)求证:BC∥AD∥FE;
(3)设AB=x,求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数
D 关系式,并指出x为何值时,L取得最大值
.
35.(08湖南益阳)七、(本题12分)
24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”,如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点,那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.
如图12,点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点,已知点D的坐标为(0,-3),AB为半圆的直径,半圆圆心M的坐标为(1,0),半圆半径为2.
(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式,并写出自变量的取值范围; (2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗?试试看;
(3)开动脑筋想一想,相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.
36. (08江苏连云港)25.(本小题满分12分)
我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆.例如线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆.
(1)请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不
A A 写作法);
80?
B
C
B
100?
C
(第25题图1)
(2)探究三角形的最小覆盖圆有何规律?请写出你所得到的结论(不要求证明); (3)某地有四个村庄E,F,G,H(其位置如图2所示),现拟建一个电视信号中转站,为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号,且使中转站所需发射功率最小(距离越小,所需功率越小),此中转站应建在何处?请说明理由. G
F
(第25题图2)
37. (08江苏宿迁)27.(本题满分12分) 如图,⊙O的半径为1,正方形ABCD顶点B坐标为(5,0),顶点D在⊙O上运动.
(1)当点D运动到与点A、O在同一条直线上时,试证明直线CD与⊙O相切;
(2)当直线CD与⊙O相切时,求CD所在直线对应的函数关系式;
(3)设点D的横坐标为x,正方形ABCD的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值与最小值.
38. (08江苏无锡)27.(本小题满分10分)
,0)出发,以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动,以O,A为如图,已知点A从(1
顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内,且?AOC?60;以P(0,3)为圆心,PC为半径作圆.设点A运动了t秒,求:
(1)点C的坐标(用含t的代数式表示);
(2)当点A在运动过程中,所有使?P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值.
?
39. (08江苏无锡)28.(本小题满分8分)
一种电讯信号转发装置的发射直径为31km.现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市.问: (1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求? (2)至少需要选择多少个安装点,才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求? 答题要求:请你在解答时,画出必要的示意图,并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由.(下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图,供解题时选用)
图1 图2 图3 图
4
40. (08山东德州东营菏泽)24.(本题满分12分)
在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S; (2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?
B 图 1
B D
图 2
图 3
41. (08山东潍坊)(本题答案暂缺)24.(本题满分12分) 如图,圆B切y轴于原点O,过定
点A(?作圆B切线交圆于点P.已
知0)
tan∠PAB?
,抛物线C经过A,P两点. 3
(1)求圆B的半径;
(2)若抛物线C经过点B,求其解析式;
(3)投抛物线C交y轴于点M,若三角形APM为直角三角形,求点M的坐标.
42. (08四川乐山)(本题答案暂缺)28.在平面直角坐标系中△ABC的边AB在x轴上,且OA>OB,以AB为直径的圆过点C,若C的坐标为(0,2),AB=5, A,B两点的横坐标XA,XB是关于X的方程x2?(m?2)x?n?1?0的两根:
(1) 求m,n的值 (2) 若∠ACB的平分线所在的直线l交x轴于点D,试求直线l对应的一次函数的解析式 (3) 过点D任作一直线l分别交射线CA,CB(点C除外)于点M,N,则
是否为定值,若是,求出定值,若不是,请说明理由
`
11?的值CMCN
L`
43、(08四川凉山)25.(9分)如图,在△ABC中?ACB?90,D是AB的中点,以DC为直径的?O交△ABC的三边,交点分别是G,F,E点.GE,CD的交点为M
,且
?
ME?MD:CO?2:5.
(1)求证:?GEF??A. (2)求?O的直径CD的长.
(3)若cos?B?0.6,以C为坐标原点,CA,CB所在的直线分别为X轴和Y轴,建立平面直角坐标系,求直线AB的函数表达式.
0)A(2,0),点B在第一象44. (08浙江嘉兴)24.如图,直角坐标系中,已知两点O(0,,
限且△OAB为正三角形,△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C,过点C的圆的切线交
x轴于点D.
(1)求B,C两点的坐标;
(2)求直线CD的函数解析式;
(3)设E,F分别是线段AB,AD上的两个动点,且EF平分四边形ABCD的周长. 试探究:△AEF的最大面积?
(第24题) (第24题)
45. 08浙江宿迁)本题答案暂缺27.(本题满分12分) 如图,⊙O的半径为1,正方形ABCD顶点B坐标为(5,0),顶点D在⊙O上运动. (1)当点D运动到与点A、O在同一条直线上时,试证明直线CD与⊙O相切; (2)当直线CD与⊙O相切时,求CD所在直线对应的函数关系式;
(3)设点D的横坐标为x,正方形ABCD的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求出S的最大值与最小值.
46.(08山东济南24题)(本小题满分9分)
,0).已知:抛物线y?ax2?bx?c(a≠0),顶点C (1,?3),与x轴交于A、B两点,A(?1
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图,以AB为直径作圆,与抛物线交于点D,与抛物线对称轴交于点E,依次连接A、D、B、E,点P为线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合),过点P作PM⊥AE于M,PN⊥DB于N,请判断
PMPN
是否为定值? 若是,请求出此定值;若不是,请说明理由. ?
BEAD
(3)在(2)的条件下,若点S是线段EP上一点,过点S作FG⊥EP ,FG分别与边.AE、
BE相交于点F、G(F与A、E不重合,G与E、B不重合),请判断成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
PAEF
是否成立.若?
PBEG
第24题图
47. (08四川达州23题)如图,将△AOB置于平面直角坐标系中,其中点O为坐标原点,
0),?ABO?60. 点A的坐标为(3,
(1)若△AOB的外接圆与y轴交于点D,求D点坐标.
?
,0),试猜想过D,C的直线与△AOB的外接圆的位置关系,并(2)若点C的坐标为(?1
加以说明.
(3)二次函数的图象经过点O和A且顶点在圆上,
求此函数的解析式.
OM为?O148. (08青海西宁28题)如图14,已知半径为1的?O1与x轴交于A,B两点,
0),二次函数y??x2?bx?c的图象经过A,B的切线,切点为M,圆心O1的坐标为(2,
两点.
(1)求二次函数的解析式;
(2)求切线OM的函数解析式;
(3)线段OM上是否存在一点P,使得以P,O,A为顶点的三角形与△OO1M相似.若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
图14
49. (08湖南永州25题)(10分)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)与坐标轴交于点A、
B、C且OA=1,OB=OC=3 . (1)求此二次函数的解析式. (2)写出顶点坐标和对称轴方程.
(3)点M、N在y=ax2+bx+c的图像上(点N在点M的右边),且MN∥x轴,求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径.
50. (08上海市卷25题)(本题满分14分,第(1)小题满分5分,第(2)小题满分4分,第(3)小题满分5分)
已知AB?2,AD?4,?DAB?90,AD∥BC(如图13).E是射线BC上的动点(点
?
E与点B不重合),M是线段DE的中点.
(1)设BE?x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域; (2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;
(3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A,N,D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.
D D A A
C B B E C
备用图 图13
51. (08内蒙古赤峰25题)(本题满分14分)
在平面直角坐标系中
给定以下五个点
?17?
A(?3,,0)B(?1,,4)C(0,,3)D??,E(1,0).
24??
(1)请从五点中任选三点,求一条以平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的解析式; (2)求该抛物线的顶点坐标和对称轴,并画出草图;
17?15?
(3)已知点F??1?在抛物线的对称轴上,直线y?
44??
,0)为圆心,过点G??1?且垂直于对称轴.验证:以E(1EF为半径的圆与直线y?
?
?17?4?
17
相切.请你进一步验证,以抛4
x
物线上的点D??为圆心DF为半径的圆也与直线
?17??24?
y?
17
相切.由此你能猜想到怎样的结论.
4
范文五:中考圆压轴题
【答案】
1(1)设PQ 与B 1C 1交于点D ,连结OB 1, 则OD =A 1D -OA 1=2a 1-1,在Rt △OB 1D 中,OB 1=B 1D 2+OD 2, 2
13即12=(a 1) 2+(a 1-1) 2,解得a 1=. …4分 22
(2)设PQ 与B 2C 2交于点E ,连结OB 2, 则OE =2A 1A 2-OA 1=a 2-1,
在Rt △OB 2E 中OB 22=B 2E 2+OE 2, 1即12=(a 2) 2+(3a 2-1) 2, 2
解得a 2=83. …4分 13
(3)设PQ 与B n C n 交于点F ,连结OB n , 则OF =32na n -1,在Rt △OB n F 中OB n =B n F 2+OF 2, 2
4n 13即12=(a n ) 2+(. …4分 na n -1) 2,解得a n =2223n +1
2(1)解:连结OB 和OC .
∵ OE ⊥BC ,∴ BE =CE .
∵ OE =1BC ,∴ ∠BOC =90°,∴ ∠BAC =45°. 2
(2)证明:∵ AD ⊥BC ,∴ ∠ADB =∠ADC =90°.
由折叠可知,AG =AF =AD ,∠AGH =∠AFH =90°,
∠BAG =∠BAD ,∠CAF =∠CAD ,
∴ ∠BAG +∠CAF =∠BAD +∠CAD =∠BAC =45°.
∴ ∠GAF =∠BAG +∠CAF +∠BAC =90°.
∴ 四边形AFHG 是正方形.
(3)解:由(2)得,∠BHC =90°,GH =HF =AD ,GB =BD =6,CF =CD =4.
设AD 的长为x ,则 BH =GH -GB =x -6,CH =HF -CF =x -4.
在Rt △BCH 中,BH 2+CH 2=BC 2,∴ (x -6)2+(x -4)2=102.
解得,x 1=12,x 2=-2(不合题意,舍去).
∴ AD =12.
=BD , ∴ ∠C =∠P . 3【答案】解:(1)证明:∵ BD
又∵ ∠1=∠C , ∴ ∠1=∠P . ∴ CB ∥PD .
(2)连接AC . ∵ AB 为0D 的直径, ∴ ∠ACB =90°.
=BD ∴ ∠A =∠P , ∴ s in A =s in P . 又∵ CD ⊥AB , ∴ BC
BC 3BC 3在Rt △ABC 中, s in A =,∵ s in P =, ∴ =. AB 5AB 5
又∵ BC =3, ∴ AB =5.
4【答案】解:(1)S 1-S 2 4
(2)成立。理由:连OB ,可证图中的两个阴影部分的面积之和等于图①的阴影部分的面积
(3)成立。过点O 分别作AB 、B C 的垂线交AB 、BC 于点P 、Q ,交圆于点X 、Y ,可证直角三角形OPG 全等于直角三角形OQH ,可说明两阴影部分面积之和等于图①的阴影部分面积.
。。5(1)由题意,AB 是⊙O 的直径;∴∠ACB =90,∵CD ⊥CP ,∴∠PCD =90
。∴∠ACP +∠BCD =∠PCB +∠DCB =90,∴∠ACP =∠DCB ,又∵∠CBP =∠D +∠DCB ,∠CBP =∠ABP +∠ABC ,
∴∠ABC =∠APC ,∴∠APC =∠D ,∴△PCA ∽△DCB ;∴CA CP , =CB CD
∴A C ·CD=PC·BC
。(2)当P 运动到AB 弧的中点时, 连接AP ,∵AB 是⊙O 的直径,∴∠APB =90,又∵P 是弧AB 的中点,
∴弧P A =弧PB ,∴AP =BP ,∴∠P AB=∠PBA =45. , 又AB =5,∴P A =52,过A 作AM ⊥CP ,垂足为M ,在Rt 2
△AMC 中,∠ACM =45 ,∴∠CAM =45,∴AM =CM =32,在Rt △AMP 中,AM 2+AP2=PM2,∴PM =22,2
∴PC =PM +3272142=。由(1)知:A C ·CD=PC·BC ,3×CD=PC×4,∴CD = 223
(3)由(1)知:A C ·CD=PC·BC ,所以AC :BC=CP:CD ;所以CP :CD=3:4,而△PCD 的面积等于12CP ·CD =PC 2,23CP 是圆O 的弦,当CP 最长时,△PCD 的面积最大,而此时CP 就是圆O 的直径;所以CP =5,∴3:4=5:CD ;∴CD =20112050,△PCD 的面积等于CP ·CD =?5?=; 32233
6【答案】(1)证明:∵C 是AD 的中点,∴AC=CD,
∴∠CAD=∠ABC ∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90°。∴∠CAD+∠AQC=90°
又CE ⊥AB ,∴∠ABC+∠PCQ=90°∴∠AQC=∠PCQ ∴在△PCQ 中,PC=PQ,∵CE ⊥直径AB ,∴AC=AE ⌒ ⌒ ∴∠CAD=⌒ ACE ⌒ 。 ∴在△APC 中,有PA=PC, ∴PA=PC=PQ ∴P 是△ACQ 的外心。 ∴AE=CD ∠
(2)解:∵CE ⊥直径AB 于F ,
CF 3432=,CF=8, 得BF =CF =。
BF 433
40∴由勾股定理,得BC == ∵AB 是⊙O 的直径, 3
AC 3403∴在Rt △ACB 中,由tan ∠ABC= 得AC =BC =10。 =,BC =BC 434∴在Rt △BCF 中,由tan ∠ABC=
AC 215=。 易知Rt △ACB ∽Rt △QCA ,∴AC =CQ ?BC ∴CQ =BC 22
(3)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB=90° ∴∠DAB+∠ABD=90°
又CF ⊥AB ,∴∠ABG+∠G=90° ∴∠DAB=∠G ; ∴Rt △AFP ∽Rt △GFB , ∴AF FP ,即AF ?BF =FP ?FG =FG BF
22易知Rt △ACF ∽Rt △CBF , ∴FG =AF ?BF ∴FC =PF ?FG
由(1),知PC=PQ,∴FP+PQ=FP+PC=FC ∴(FP +PQ ) =FP FG 。
7【答案】(1)证明:在平行四边形ABCD 中,AB ∥CD, ∴∠BAD+∠ADC=180°,
又∵AE 、DE 平分∠BAD 、∠ADC ,
∴∠DAE+∠ADE=90°, ∴∠AED =90°, ∴AE ⊥DE.
(2)解:在平行四边形ABCD 中,AD ∥BC,AB=CD=5,AD=BC,
∴∠DAE=∠BEA, 又∵∠DAE=∠BAE, ∴∠BEA=∠BAE, ∴BE=AB=5, 同理EC=CD=5,
∴AD=BC=BE+EC=10, 在Rt AED 中,
2
又∵AD 为半圆的直径, ∴∠AFD=90°, ∴∠AFD=∠AED,
∵∠DAE=∠FAG, ∴ AFG ∽ AED, ∴
8【答案】解:(1)∵ AB 为⊙O 的直径,CD ⊥AB ∴ CH =
在Rt △COH 中,sin ∠COH =GF DE 63===. AF AE 841CD =2 23CH 1= ∴ ∠COH =60° ∵ OA =OC ∴∠BAC =∠COH =30° OC 22
ADB 的中点 ∴OE ⊥AB ∴ OE ∥CD ∴ ∠ECD =∠OEC (2)∵ 点E 是
又∵ ∠OEC =∠OCE ∴ ∠OCE =∠DCE ∴ CE 平分∠OCD
(3)圆周上到直线AC 的距离为3的点有2个.
AC 上的点到直线AC 的最大距离为2,ADC 上的点到直线AC 的最大距离为6, 因为劣弧 2<><>
ADC 到直线AC 距离为3的点有2个. 根据圆的轴对称性,
9【答案】28. 解:(1)点P 与点O 重合时,(如图10)
∵CE 是直径,∴∠CDE =90°.…………(1分)
∵∠CDE +∠FDM =180°,∴∠FDM =90°.…………(2分)
(2)当点P 在OA 上运动时(如图11)
⌒⌒1⌒∵OP ⊥CE ,∴AC =AE =CE ,CP =EP. 2
∴CM =EM. ∴∠CMP =∠EMP.
∵∠DMO =∠EMP , ∴∠CMP =∠DMO.
∵∠CMP +∠DMC =∠DMO +∠DMC ,
∴∠DMF =∠CMO. …………(3分)
⌒⌒∵∠D 所对的弧是CE ,∠COM 所对的弧是AC ,
∴∠D =∠COM. …………(4分)
DF FM ∴△DFM ∽△OCM. OC MC
∴FM·OC =DF·MC.
∵OB =OC , ∴FM·OB =DF·MC. …………(5分)
当点P 在OB 上运动时,(如图12)
证法一:连结AC ,AE.
⌒⌒1⌒∵OP ⊥CE ,∴BC =BE =CE ,CP =EP. 2
∴CM =EM , ∴∠CMO =∠EMO.
∵∠DMF =∠EMO , ∴∠DMF =∠CMO.………………(6分)
⌒⌒∵∠CDE 所对的弧是CAE ,∠CAE 所对的弧是CE.
∴∠CDE +∠CAE =180°.
∴∠CDM +∠FDM =180°,∴∠FDM =∠CAE.
⌒⌒∵∠CAE 所对的弧是CE ,∠COM 所对的弧是BC ,
∴∠CAE =∠COM.
∴∠FDM =∠COM. ………………(7分)
DF FM ∴△DFM ∽△OCM. . OC MC
∴FM·OC =DF·MC.
∵OB =OC , ∴FM·OB =DF·MC. ………………(8分)
10解(1)据题意,∵a+h=-
∴所求正方形与矩形的面积之比:
(a +h ) a ?h 2n k , a ?h =. m m (-=n 2) 2=n ················ 1分 k m k
m
n 2-4mk ≥0, ∴n 2≥4mk , 由ah =k 知m , k 同号, m
······················ 2分 ∴mk >0
(说明:此处未得出mk >0只扣1分, 不再影响下面评分)
n 24mk ······················· 3分 ∴≥=4, mk mk
即正方形与矩形的面积之比不小于4.
(2)∵∠FED =90o,∴DF 为⊙O 的直径.
∴⊙O 的面积为:S O ⊙ DF 2DF 2π=π() =π=(EF 2+DE 2) . ····· 4分 244
矩形PDEF 的面积:S 矩形PDEF =EF ?DE .
矩形PDEF =πEF 4DE (+DE 设EF =f , ),
DE EF
矩形PDEF π4(f +1 ) f
?4??π=4=π?
2 ≥0, ∴(4(3πf -1f ) 2+π2≥π2, f =1时(EF =DE )π ····· 7分 2矩形PDEF PDEF 的四边相等为正方形. 矩形PDEF
过B 点过BM ⊥AQ ,M 为垂足,BM 交直线PF 于N 点,设FP = e, ∵BN ∥FE ,NF ∥BE ,∴BN =EF ,∴BN =FP =e .
由BC ∥MQ , 得:BM =AG =h .
∵AQ ∥BC , PF ∥BC , ∴AQ ∥FP ,
∴△FBP ∽△ABQ. ······················ 8分 (说明:此处有多种相似关系可用,要同等分步骤评分)
∴FP =BN ,……9分
AQ BM
∴e e =.∴AQ =h ……10分 AQ h
-n ±n 2-4mk ……11分 ∴AQ =2m
∴线段AQ 的长与m ,n ,k 的取值有关.