范文一:一元二次方程焦点访谈
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一元二次方程焦点访谈
江苏 高俊元
一元二次方程是中考数学重要内容,也是后续学习的重要基础.为帮助同学们熟悉考点,迎接挑战,特采撷部分中考题加以归类浅析,供大家参考。
焦点一、一元二次方程解法
例1. (2008年温州市)我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法,开平方法,配方法和公式法(请从以下一元二次方程中任选一个,并选择你认为适当的方法解这个((
方程(
2222x-3x+1=0;?(x-1)=3;?x-3x=0;?x-2x=4( ?
35,解析:?公式法,;?直接开平方法,;?因式分解法,,x,,13x,0x,112,12,2
;?配方法,. x,3x,,15212,
评注:通过各题各种解法的比较说明,公式法在解一元二次方程时是“万能的”,它的应用性最广泛,但要注意必须先把方程整理为一般形式;因式分解法比较简单,但它的应用范
2围受限制;配方法一般比较繁,但对二次项、一次项符合a+2ab的方程,应用起来也颇简洁.
焦点二、运用方程根的定义求值
22例2.(2008年滨州市)若关于x的一元二次方程(m-1)x+5x+m-3m+2=0有一个根为0,则m的值等于( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
2解析:由题意得m-3m+2=0,解得m=1或m=2.又因为二次项系数m-1?0,所以m?1.因此m=2.故选B.
评注:本题考查一元二次方程根的定义,这类问题处理的一般方法是将方程的解直接代入方程求解.但要注意一元二次方程二次项的系数不为0.
焦点三、构造一元二次方程
例3.(2008年新疆建设兵团)已知一元二次方程有一个根是2,那么这个方程可以是
(填上一个符合条件的方程即可)(
解析:本题答案不唯一,例如不妨根据要求设定方程的另一解为1,则该方程为(x-1)
2(x-2)=0,去括号得x-3x+2=0.
评注:对于这类已知方程的解编拟方程的问题,思路不唯一,通常有两种思路:一种是写一个与解有关的数字等式,再将数字换成未知数;另一思路是根据等式性质直接对方程的解加以变形.
焦点四、关注整体思想
2xx,,232例4.(2008苏州)若,则的值等于( ) xx,,,2022()13xx,,,
2333A( B( C( D(或 33333
2解析:按照常规思路可以考虑现解方程再代入求值,但注意到所求代数式中含有x-x
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22323,2这样的因子,可考虑直接代入.由题意知x-x=2,所以原式=,选A. ,23213,,
评注:在进行条件求值时,我们可以在所求代数式中通过一些代数变形,构造出条件中含有的模型,整体代入,可以简化运算过程。当然,处理这些问题时有时还需对条件同时变形.
焦点五、学以致用
例5.(2008年南京市)某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为
(在温室内,沿前侧内墙保留3m宽的空地,其它三侧内墙各保留1m宽的通道(当矩形2:1
2温室的长与宽各为多少时,蔬菜种植区域的面积是, 288m
前 解析:设矩形温室的宽为,则长为(根据题意,xm2mx侧 蔬菜种植区域 得 空
( (2)(24)288xx,,,地
解这个方程,得
(不合题意,舍去),( x,,10x,1412
所以,( x,14221428x,,,2答:当矩形温室的长为28m,宽为14m时,蔬菜种植区域的面积是288cm(
评注:本题考查应用一元二次方程解决实际问题。关键是用设出的未知数表示蔬菜种植区域的长和宽,再根据面积为288,列方程,解出未知数的值,注意要舍去不符合实际的解。
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范文二:七年级下数学练习题(平行线、坐标系、一元二次方程)
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七年级下数学练习题(平行线、坐标系、一元二次方程) 1、给出下列说法:?两条直线被第三条直线所截,则内错角相等;?平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;?平面内的三条直线任意两条都不平行,则它们一定有三个交点;?若一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角相等或互补(其中正确的个数是( )
,( ,( ,( ,(
2、下列语句错误的是( )
A.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离
B.两条直线平行,同旁内角互补
C.若两个角有公共顶点且有一条公共边,和等于平角,则这两个角为邻补角
D.平移变换中,各组对应点连成两线段平行且相等
3、如图,在?ABC中,已知?B和?C的平分线相交于点F,过点F作DE?BC,交AB于点D,交AC于点E。若BD+CE=9,则线段DE的长为( )
A(9 B(8 C(7 D(6
4、假期到了,17名女教师去外地培训,住宿时有2人间和3人间可供租住,每个房间都要住满,她们有几种租住方案
A(5种 B(4种 C(3种 D(2种
5、在下列方程中,不是二元一次方程的是( )
(A)x,y,3 (B)x,3 (C)x,y,3 (D)x,3,y 6、 如图,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平 行。从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用 A,A,A,A,…表示,则顶点A的坐标是 123455
1
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(A) (13,13) (B) (-13,-13) (C) (14,14) (D) (-14,-14) 。
7、如图,把一块含有30?角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上,如果?1=20?,那么?2的度数为
A(20? B(30? C(40? D(60?
8、三条直线最多能组成 个直角.
9、已知是二元一次方程,那么 . 10、已知点与点关于轴对称,则 , ( 11、在第二象限的点M,到x轴和y轴的距离分别是8和5,那么点M的坐标 . 12、点关于轴对称的点的坐标是 ;点关于原点对称的点的坐标是 (
13、小颖解方程组时,把a看错后得到的解是而正确解是请你帮小颖写出原来的方程组.
2
学数学,上数学培优网~ 14、在国道202公路改建工程中,某路段长4000米,由甲乙两个工程队拟在30天内(含30天)合作完成,已知两个工程队各有10名工人(设甲乙两个工程队的工人全部参与生产,甲工程队每人每天的工作量相同,乙工程队每人每天的工作量相同),甲工程队1天、乙工程队2天共修路200米;甲工程队2天,乙工程队3天共修路350米(
(1)试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米,
(2)甲乙两个工程队施工10天后,由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术,总部要求在规定时间内完成,请问甲队可以抽调多少人,
(3)已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元,乙工程队每天的施工费用为0.35万元,要使该工程的施工费用最低,甲乙两队需各做多少天,最低费用为多少,
15、解方程组
16、解方程组:
(1) (2)
3
学数学,上数学培优网~ 17、如图1,一副直角三角板?ABC和?DEF,已知BC=DF,?F=30?,EF=2ED (1)直接写出?B,?C,?E的度数;
(2)将?ABC和?DEF放置像图2的位置,点B、D、C、F在同一直线上,点A在DE上. ??ABC固定不动,将?DEF绕点D逆时针旋转至EF?CB(如图3),求?DEF旋转 的度数,并通过计算判断点A是否在EF上.
?在图3的位置上,?DEF绕点D继续逆时针旋转至DE与BC重合,在旋转过程中,两个 三角形的边是否存在平行关系,若存在直接写出旋转的角度和平行关系,若不存在, 请说明理由.
4
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参考答案
1、,
2、C
3、A
4、C
【解析】
试题分析:设住3人间的需要有x间,住2人间的需要有y间,则根据题意得,3x+2y=17, ?2y是偶数,17是奇数,?3x只能是奇数,即x必须是奇数。 当x=1时,y=7,
当x=3时,y=4,
当x=5时,y=1,
当x,5时,y,0。
?她们有3种租住方案:第一种是:1间住3人的,7间住2人的,第二种是:3间住3人的,4
间住2人的,第三种是:5间住3人的,1间住2人的。
故选C。
5、B
6、. C,
7、C
8、12
9、0 解析:根据二元一次方程的定义可知的次数都是1,得到关于的方程组求得,
的值,则代数式的值即可求得(
5
学数学,上数学培优网~ 根据题意得解得则.
10、3 ,4 解析:因为点与点关于轴对称,所以横坐标相等,纵坐标互为相反数,所以所以
11、(,5,8) 解析:? 点M在第二象限,? 点M的横坐标小于0,纵坐标大于0;? 点M到x轴的距离是8,到y轴的距离为5,即点M的纵坐标为8,点M的横坐标为,5,? 点M的坐标是(,5,8)(
12、,
13、
提示:求解关于a、b的二元一次方程组.
14、解:(1)设甲队每天修路x米,乙队每天修路y米,
根据题意得,,解得。
答:甲工程队每天修路100米,乙工程队每天修路50米。
(2)根据题意得,10×100+20××100+30×50?4000,解得,m?。 ?0,m,10,?0,m?。
?m为正整数,?m=1或2。
?甲队可以抽调1人或2人。
6
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(3)设甲工程队修a天,乙工程队修b天, 根据题意得,100a+50b=4000,?b=80,2a。 ?0?b?30,?0?80,2a?30,解得25?a?40。 又?0?a?30,?25?a?30。
设总费用为W元,根据题意得,
W=0.6a+0.35b=0.6a+0.35(80,2a)=,0.1a+28, ?,0.1,0,
?当a=30时,W=,0.1×30+28=25(万元), 最小
此时b=80,2a=80,2×30=20(天)。
答:甲工程队需做30天,乙工程队需做20天,最低费用为25万元。
15、解 (1)3-(2)2得
所以方程组的解为
代入(1)得
16、解:(1)由?,得 y=5一110 ? 把?代人?,得 9(5一110)一=110
=25
把=25代入?,得 y=15
?
(2)?×3一?,得 16y=32 y=2
把y=2代人?中,得 2+6=12
7
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=3
?
17、(1)?B=?C=45? ?E=60? (2)?EF?BC
??FDC=?F=30? 4分
旋转的角度为30? 5分
在?ABC中,过A 作AG?BC,垂足为G
?B=?C=?GAC=?GAB=45? AG=BC 在?DEF中,过D 作DH?EF,垂足为H
S=ED?DF=EF?DH DH=DF ?DEF
?BC=DF
?AG=DH
?点A在EF上.
??FDC=45? DE?AC AB?DF
?FDC=75? EF?AB
8
范文三:专题—一元二次方程
一元二次方程专题
一.解答题(共15小题)
1.已知:关于x 的方程x 2+2mx+m2﹣1=0
(1)不解方程,判别方程根的情况;
(2)若方程有一个根为3,求m 的值.
2.已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:不论m 为何值时,方程总有实数根;
(2)m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
3.已知:关于x 的方程mx 2+(m ﹣3)x ﹣3=0(m≠0).
(1)求证:方程总有两个实数根;
(2)如果m 为正整数,且方程的两个根均为整数,求m 的值.
4.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围;
(2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值.
5.已知关于x 的方程(m 2﹣1)x 2﹣3(3m ﹣1)x+18=0有两个正整数根(m 是正整数).△ABC的三边a 、b 、c 满足,m 2+a2m ﹣8a=0,m 2+b2m ﹣8b=0.
求:(1)m 的值;(2)△ABC的面积.
6.关于x 的方程有两个不相等的实数根
(1)求m 的取值范围;
(2)是否存在实数m ,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.
7.已知:关于x 的方程x 2+2x﹣k=0有两个不相等的实数根.
(1)求k 的取值范围;
(2)若α,β是这个方程的两个实数根,求:的值;
(3)根据(2)的结果你能得出什么结论?
8.端午节期间,某食品店平均每天可卖出300只粽子,卖出1只粽子的利润是1元.经调查发现,零售单价每降0.1元,每天可多卖出100只粽子.为了使每天获取的利润更多,该店决定把零售单价下降m (040),请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品
x 应定为多少元.
12.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动,它们的速度都是1米/秒,问:几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半?
13.如图所示,甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发,甲由C 向D 运动,乙由B 向C 运动,甲的速度为1km/min,乙的速度为2km/min;若正方形广场的周长为40km ,问几分钟后,两人相距2km ?
14.如图,四边形ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形,a ,b ,c 是Rt△ABC和Rt△BED边长,易知
这时我们把关于x 的形如
请解决下列问题:
(1)写出一个“勾系一元二次方程”;
(2)求证:关于x 的“勾系一元二次方程”
(3)若x=﹣1是“勾系一元二次方程”
面积.
必有实数根; 的一个根,且四边形ACDE 的周长是6的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”. ,,求△ABC
15.如果一元二次方程ax 2+bx+c=0的两根x 1、x 2均为正数,且满足
程有“邻近根”.
(1)判断方程是否有“邻近根”,并说明理由; (其中x 1>x 2),那么称这个方
(2)已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣(m ﹣1)x ﹣1=0有“邻近根”,求m 的取值范围.
参考答案与试题解析
一.解答题(共15小题)
1.已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣(m+2)x+2=0.
(1)证明:不论m 为何值时,方程总有实数根;
(2)m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根.
【考点】根的判别式;解一元二次方程-公式法.
【专题】证明题.
【分析】(1)求出方程根的判别式,利用配方法进行变形,根据平方的非负性证明即可;
(2)利用一元二次方程求根公式求出方程的两个根,根据题意求出m 的值.
【解答】(1)证明:△=(m+2)2﹣8m
=m2﹣4m+4
=(m ﹣2)2,
∵不论m 为何值时,(m ﹣2)2≥0,
∴△≥0,
∴方程总有实数根;
(2)解:解方程得,x=
x 1
=,x 2=1,
∵方程有两个不相等的正整数根,
∴m=1或2,m=2不合题意,
∴m=1.
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用,掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系:△>0?方程有两个不相等的实数根;△=0?方程有两个相等的实数根;△0,
∴方程x 2+2mx+m2﹣1=0有两个不相等的实数根;
(2)∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3,
∴32+2m〓3+m2﹣1=0,
解得,m=﹣4或m=﹣2.
【点评】此题考查了根的判别式,一元二次方程根的情况与判别式△的关系:(1)△>0?方程有两个不相等的实数根;(2)△=0?方程有两个相等的实数根;(3)△0,由此可求出k 的取值范围;
(2)欲求的值,先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式,代入数值计算即可.
的值就为一定值. (3)只要满足△>0(或用k 的取值范围表示)
【解答】解:(1)△=4+4k,
∵方程有两个不等实根,
∴△>0,
即4+4k>0
∴k>﹣1
(2)由根与系数关系可知α+β=﹣2,
αβ=﹣k ,
∴
(3)由(1)可知,k >﹣1时,的值与k 无关. =,
【点评】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法.
5.关于x 的方程有两个不相等的实数根
(1)求m 的取值范围;
(2)是否存在实数m ,使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.
【考点】根的判别式;根与系数的关系.
【分析】(1)利用方程有两根不相等的实数根可以得到,解得m 的取值范围即可;
(2)假设存在,然后利用根的判别式求得m 的值,根据m 的值是否能使得一元二次方程有实数根作出判断即可.
【解答】解:(1)由
又∵m≠0
∴m的取值范围为m >﹣1且m≠0;(5分)
(2)不存在符合条件的实数m .(6分) ,得m >﹣1
设方程两根为x 1,x 2则,
解得m=﹣2,此时△40),请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品
x 应定为多少元.
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】销售问题.
【分析】(1)由销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具得y=600﹣(x ﹣40)〓10=1000﹣10x ,利润=(1000﹣10x )(x ﹣30)=﹣10x 2+1300x﹣30000;
(2)令﹣10x 2+1300x﹣30000=10000,求出x 的值即可;
(2)﹣10x 2+1300x﹣30000=10000,
解之得:x
1=50 x 2=80,
答:玩具销售单价为50元或80元时,可获得10000元销售利润.
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用,解答本题的关键是得出W 与x 的函数关系.
8.如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,点P 、Q 同时由A 、B 两点出发分别沿AC 、BC 向点C 匀速移动,它们的速度都是1米/秒,问:几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的一半?
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】几何动点问题.
【分析】根据题意∠C=90°,可以得出△ABC面积为〓6〓8,△PCQ的面积为(8﹣x )(6﹣x ),设出t 秒后满足要求,则根据△PCQ的面积是△ABC面积的一半列出等量关系求出t 的值即可.
【解答】解:设经过x 秒后△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半, 则:=12,
解得x 1=12(舍去),x 2=2.
答:经2秒△PCQ的面积是Rt△ACB面积的一半.
【点评】本题考查了三角形面积的计算方法,找到等量关系式,列出方程求解即可.要注意结合图形找到等量关系.
9.创新题:
如图所示,甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD 的顶点B 、C 两点同时出发,甲由C 向D 运动,乙由B 向C 运动,甲的速度为1km/min,乙的速度为2km/min;若正方形广场的周长为40km ,问几分钟后,两人相距2km ?
【考点】一元二次方程的应用.
【专题】几何动点问题.
【分析】本题可设时间为x 分钟,依题意得CF=x,BE=2x,周长为40km ,边长为10km ,CE=10﹣2x ,利用勾股定理列方程求解.
【解答】解:设x 分钟后两车相距2km ,
此时甲运动到F 点,乙运动到E 点,
可知:FC=x,EC=10﹣2x
在Rt△ECF中,x 2+(10﹣2X )2=(2
解得:x 1=2,x 2=6 )2,
当x=2时,FC=2,EC=10﹣4=60,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△x 2),那么称这个方
(2)已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣(m ﹣1)x ﹣1=0有“邻近根”,求m 的取值范围.
【考点】根的判别式;解一元二次方程-公式法;解一元二次方程-因式分解法;正比例函数的性质;反比例函数的性质.
【分析】(1)先解方程
有“邻近根”; 得到x 1=,x 2=1,则满足
,所以可判断方程
(2)根据判别式的意义得到m≠0且△=(m ﹣1)2﹣4m〓(﹣1)=(m+1)2>0,利用求根公式解得x 1=1
,或
若x 1=1,,x 2=1,则m x 2,
∴x1=,x 2=1,
,
)=0, , 有“邻近根”.理由如下:
这时x 1>0,x 2>0,且
∵
∴满足
∴方程
, , 有“邻近根”;
(2)由已知m≠0且△=(m ﹣1)2﹣4m〓(﹣1)=(m+1)2>0,
∴
∴当m >﹣1时,x 1=1,
当m 0,方程有两个不相等的实数根;当△=0,方程有两个相等的实数根;当△0,
解得:k 0,由韦达定理得a+b=4>0,ab=2>0,则a >0、b >0. ①a≠b,时,由于a 2+b2=(a+b)2﹣2ab=16﹣4=12=c2
. ,故不能构成三角形,不合题意,舍去. ,故能构成三角形. 故△ABC为直角三角形,且∠C=90°,S △ABC=②a=b=2﹣③a=b=2+,c=2,c=2)〓时,因时,因=
. S △ABC
=〓(2综上,△ABC的面积为1或
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点,本题中分类对a ,b 的值进行讨论,并通过计算得出三角形的形状是解题的关键.
范文四:一元二次方程解法
∴x=[(-b±√(b 2-4ac)]/(2a)
∴原方程的解为 x?=,x?= .
4.因式分解法(十字相乘法):把方程变形为一边是零,把另一边的二次 三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到 两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个 根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 (老教材中这种方法称为 十字相乘法)
例 4.用因式分解法解下列方程:
⑴ (x+3) (x-6) =-8 ⑵ 2x2+3x=0 ⑶ 6x2+5x-50=0 (选学) ⑷x2-4x+4=0 (选学)
⑴解:(x+3)(x-6) =-8
化简整理得 x 2-3x-10=0
(方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5)(x+2) =0
(方程左边分解因式)
∴x -5=0或 x+2=0
(转化成两个一元一次方程)
∴ x 1=5,x 2=-2是原方程的解。
⑵解:2x 2+3x=0 x (2x+3) =0
(用提公因式法将方程左边分解因式)
∴x=0或 2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴ x 1=0, x 2=-是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉 x=0这个解,应记住一元二次方程有 两个解。
⑶解:6x 2+5x-50=0
(2x-5)(3x+10) =0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x -5=0或 3x+10=0
∴ x 1=,x 2=- 是原方程的解。
⑷解:x 2-4x+4 =0
(∵4 可分解为 2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)
(x-2)(x-2) =0
∴ x 1=2,x 2=2是原方程的解。
小结:一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式 分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称 之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定 系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具, 掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方 程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。
但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种 重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:元法,配方 法,待定系数法)。
5、十字相乘法
有的地区教材已经不存在 (如:人教初中数学全册、北师大高中数学全册), 但仍然能在上述教材使用地区的试卷中见到。
十字相乘法的方法简单来讲就是:十字左边相乘等于二次项系数,右边相乘 等于常数项,交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。对于形如 ax2+bx+c=(a1x+c1) (a2x+c2) 的整式来说, 方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1,a2的积 a1·a2, 把常数项 c 分解成两个因数 c1,c2的积 c1·c2, 并使 a1c2+a2c1正好是一次项的系数 b ,那么可以直接写成结果 :ax2+bx+c=(a1x+c1)
(a2x+c2)。在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实 质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是 1时,往往需要多次试验,务必 注意各项系数的符号。基本式子:x2+(p+q) χ+pq=(χ+p) (χ+q)。 例:
a2x2+ax-42
首先, 我们看看第一个数, 是 a2, 代表是两个 a 相乘得到的, 则推断出 (a ×+?) ×(a ×+?)
然后我们再看第二项, +a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果,所 以推断出使两项式 ×两项式。
再看最后一项是 -42 , -42是 -6×7 或者 6×-7也可以分解成 -21×2 或者 21×-2 首先, 21和 2无论正负,合并后都不可能是 1 只可能是 -19或者 19,所以 排除后者。
然后,在确定是 -7×6还是 7×-6.
(a×-7) ) ×(a×+6) =a2-a-42(计算过程省略, )
得到结果与原来结果不相符,原式 +a 变成了 -a
再算:
(a×+7) ×(a×+(-6) ) =a2+a-42
正确,所以 a2x2+ax-42就被分解成为 (ax+7) ×(ax-6) ,这就是通俗的十字相 乘法分解因式 .
编辑本段例题解析
例 1
把 2x2-7x+3分解因式 .
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解 常数项,分
别写在十字交叉线的右上角和右下角,然后交叉相乘,求代数和,使其等于 一次项系数 .
分解二次项系数 (只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同! 2=1×2=2×1;
分解常数项:
3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3).
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5 ≠ -7
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7 ≠ -7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3)+2×(-1)=-5 ≠ -7
1 -3
╳
2 -1
1×(-1)+2×(-3)=-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于 一次项系数 -7.
解 2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)
通常地, 对于二次三项式 ax2+bx+c(a≠0) , 如果二次项系数 a 可以分解成两个 因数之积,即 a=a1a2,常数项 c 可以分解成两个因数之积,即 c=c1c2,把 a1, a2, c1, c2,排列如下:
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到 a1c2+a2c1,若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c的一次项系数 b ,即 a1c2+a2c1=b,那么二次三项式就可以分解为
两个因式 a1x+c1与 a2x+c2之积,即
ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).
像这种借助画十字交叉线分解系数, 从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法,通常叫做十字相乘法 .
例 2
把 6x^2-7x-5分解因式 .
分析:按照例 1的方法,分解二次项系数 6及常数项 -5,把它们分别排列, 可有 8种不同的排列方法,其中的一种
2 1
╳
3 -5
2×(-5)+3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式 .
解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)
指出:通过例 1和例 2可以看到,运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1的二次三项式因式分解,往往要经过多次观察,才能确定是否可以用十字相 乘法分解因式 .
对于二次项系数是 1的二次三项式,也可以用十字相乘法分解因式,这时只 需考虑如何把常数项分解因数 . 例如把 x2+2x-15分解因式,十字相乘法是 1 -3
╳
1 5
1×5+1×(-3)=2
所以 x+2x-15=(x-3)(x+5).
例 3
把 5x2+6xy-8y2分解因式 .
分析:这个多项式可以看作是关于 x 的二次三项式,把 -8y2看作常数项,在 分解二次项及常数项系数时,只需分解 5与 -8,用十字交叉线分解后,经过 观察,选取合适的一组,即
1 2
╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于 x , y 的一次式 .
例 4
把 (x-y)(2x-2y-3) -2分解因式 .
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多 项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解 .
问:以上乘积的因式是什么特点, 用什么方法进行多项式的乘法运算最简便 ? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式 2,就变为 2(x-y),它是第一个 因式的二倍,然后把 (x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形 为关于 (x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了 .
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y)2-3(x-y)-2
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2) =-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
指出:把 (x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的 “ 整体 ” 思想方法 .
例 5
x2+2x-15
分析:常数项 (-15) <0,可分解成异号两数的积,可分解为 (-1)="" (15)="" ,或="" (1)="" (-15)或="">0,可分解成异号两数的积,可分解为>
(-5)或 (-3) (5) ,其中只有 (-3) (5)中 -3和 5的和为 2。
=(x-3) (x+5)
总结:① x+(p+q) x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是 1;常数项是两个数的积;一次 项系数是常数项的两个因数的和 . 因此,可以直接将某些二次项的系数是 1的二次三项式因式分解:x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
② kx2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成 k=ac, n=bd,且有 ad+bc=m 时,那么
kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)
a b
╳
c d
例 6
某高校 2006年度毕业学生 7650名,比上年度增长 2%,其中本科毕业生比 上年度减少 2%,而研究生毕业数量比上年度增加 10%,那么,这所高校今 年 (2006)毕业的本科生有多少人?
解:去年毕业生一共 7500人, 7650÷(1+2%) =7500人。
本科生:-2%………8%
…………………2%
研究生:10%……… -4%
本科生∶研究生 =8%∶ (-4%)=-2∶ 1。
去年的本科生:7500×2/3=5000
今年的本科生:5000×0.98=4900
答:这所高校今年毕业的本科生有 4900人。
例 7
鸡兔同笼问题:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问鸡兔各几 何?
解:假设全为鸡脚则有 70只脚,假设全为兔脚则有 140只脚
鸡:70……… …46
……………………94
兔:140……… …24
鸡:兔 =46:24=23:12
答:鸡有 23只,兔有 12只。
例 8
解一元二次方程:把 2x2-7x+3分解因式。
分析:先分解二次项系数,分别写在十字交叉线的左上角和左下角,再分解 常数项, 分别写在十字交叉线的右上角和右下角, 然后交叉相乘, 求代数和, 使其等于一次项系数。
分解二次项系数 (只取正因数) :
2=1×2=2×1;
分解常数项:3=1×3=3×1=(-3) ×(-1) =(-1) ×(-3) .
用画十字交叉线方法表示下列四种情况:
1 1
╳
2 3
1×3+2×1=5
1 3
╳
2 1
1×1+2×3=7
1 -1
╳
2 -3
1×(-3) +2×(-1) =-5
1 -3
╳
2 -1
1×(-1) +2×(-3) =-7
经过观察,第四种情况是正确的,这是因为交叉相乘后,两项代数和恰等于 一次项系数-7.
解 :2x2-7x+3=(x-3) (2x-1) .
一般地,对于二次三项式 ax2+bx+c(a≠0) ,
如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积,
即 a=a1a2,
常数项 c 可以分解成两个因数之积,
即 c=c1c2,把 a1, a2, c1, c2,
排列如下:
a1 c1
╳
a2 c2
a1c2+a2c1
按斜线交叉相乘,再相加,得到 a1c2+a2c1,
若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c的一次项系数 b ,
即 a1c2+a2c1=b,
那么二次三项式就⒂可以分解为两个因式 a1x+c1与 a2x+c2之积, 即 ax2+bx+c=(a1x+c1) (a2x+c2) .
例 2
把 6x2-7x-5分解因式 .
分析:按照例 1的方法,
分解二次项系数 6及常数项 -5,
把它们分别排列,
可有 8种不相同的排列方法,
其中的一种 21╳ 3-5 2×(-5) +3×1=-7
是正确的,因此原多项式可以用十字相乘法分解因式 .
解 6x2-7x-5=(2x+1) (3x-5)
指出:通过例 1和例 2可以看到,
运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1的二次三项式因式分解, 往往要经过多次观察,
才能确定是否可以用十字相乘法分解因式 .
对于二次项系数是 1的二次三项式,
也可以用十字相乘法分解因式,
这时只需考虑如何把常数项分解因数 .
例如把 x2+2x-15分解因式,
十字相乘法是 1-3╳ 15 1×5+1×(-3) =2
所以 x2+2x-15=(x-3) (x+5) .
例 3
把 5x2+6xy-8y^2分解因式 .
分析:这个多项式可以看作是关于 x 的二次三项式,
把 -8y^2看作常数项,
在分解二次项及常数项系数时,
只需分解 5与 -8,用十字交叉线分解后,
经过观察,选取合适的一组,
即 12╳ 5-4 1×(-4) +5×2=6
解 5x2+6xy-8y2=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于 x , y 的一次式 .
例 9
把 (x-y)(2x-2y-3) -2分解因式 .
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,
只有先进行多项式的乘法运算,
把变形后的多项式再因式分解 .
问:两上乘积的因式是什么特点, 用什么方法进行多项式的乘法运算最简便 ? 答:第二个因式中的前两项如果提出公因式 2,就变为 2(x-y) ,它是第一个 因式的二倍,然后把 (x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形 为关于 (x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了 .
解 (x-y)(2x-2y-3) -2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) 2-3(x-y)-2
1-2╳ 21
1×1+2×(-2) =-3
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2) (2x-2y+1) .
指出:把 (x-y)看作一个整体进行因式分解,
这又是运用了数学中的 “ 整体 ” 思想方法 . 例 5x2+2x-15
分析:常数项 (-15) <>
可分解为 (-1) (15) ,或 (1) (-15)或 (3) (-5)或 (-3) (5) ,
其中只有 (-3) (5)中 -3和 5的和为 2。 =(x-3) (x+5)
总结:① x2+(p+q) x+pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是:二次项的系数是 1;
常数项是两个数的积;一次项系数是常数项的两个因数的和 . 因此,可以直接将某些二次项的系数是 1的二次三项式因式分解: x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
② kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能够分解成 k=ac, n=bd,且有 ad+bc=m 时,
那么 kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d) a b╳ c d
(1) (x+3) (x-6) =-8
(2) 2x^2+3x=0
(3) 6x^2+5x-50=0
(4) x^2-2( + )x+4=0
(1)解:(x+3) (x-6) =-8 化简整理得
x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)
(x-5) (x+2) =0 (方程左边分解因式)
∴ x-5=0或 x+2=0 (转化成两个一元一次方程 )
∴ x1=5,x2=-2是原方程的解。
(2)解:2x2+3x=0
x(2x+3) =0 (
∴ x=0或 2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)
∴ x1=0, x2=-3/2是原方程的解。
注意:有些同学做这种题目时容易丢掉 x=0这个解, 应记住一元二次方程有 两个解。
(3)解:6x2+5x-50=0
(2x-5) (3x+10) =0 (
∴ 2x-5=0或 3x+10=0
∴ x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。
(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵ 4 可分解为 2 ·2
(x-2) (x-2 )=0
∴ x1=2,x2=2是原方程的解。
例题 x2-x-2=0
解:(x+1) (x-2) =0
∴ x+1=0或 x-2=0
∴ x1=-1,x2=2
(附:^是数学符号,例:32=3×3=9)
范文五:一元二次方程检测
一、选择题(每小题 3分,共 24分)
1、下列方程中,是一元二次方程的是( ) A 、 032=++y x x
B 、 051
2
=++
x
x C 、 2
1
3122+=+x x
D 、 01=++y x
2、已知 3是关于 x 的方程
0123
42
=+-a x 的一个解,则 a 2的值是( ) A 、 11 B 、 12 C 、 13 D 、 14
3、下列关于 x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( ) A 、 042
=+x B 、 01442
=+-x x C 、 032
=++x x D 、 0122
=-+x x
4、如果 21x x 、 是一元二次方程 0262
=--x x 的两个实数根,那么 21x x +的值是( ) A 、 -6
B 、 -2
C 、 6
D 、 2
5、若关于 x 的一元二次方程 ()023512
2=+-++-m m x x m 有一个根为 0,则 m 的值等于( ) A 、 1
B 、 2
C 、 1或 2 D 、 0
6、用配方法解一元二次方程 0762
=--x x ,则方程可变形为( ) A 、 43) 6(2=-x B 、 43) 6(2
=+x C 、 16) 3(2=-x D 、 16) 3(2
=+x
7、如果两个数的差是 6,积是 16,那么这两个数是( )
A 、 -8和 -2 B 、 8和 2 C 、 -2、 -8或 2、 8 D 、 8、 -2或 -8、 2 8、某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的 81%,则平均每次降价( ) A 、 10% B 、 19% C 、 9.5% D 、 20% 二、填空题(每小题 3分,共 30分)
9、若关于 x 的方程 052
=+-k x x 的一个根是 0,则另一个根是 ___________。 10、已知关于 x 的方程 3) 12(2
=++-m mx
m 是一元二次方程,则 m 等于 _________。
11、方程 0132
=+-x x 的解是 __________。
12、关于 x 的一元二次方程 022
=+-m x x 有两个实数根,则 m 的取值范围是 ___________。
13、当 x =__________时,代数式 x x 32-的值比代数式 122
--x x 的值大 2。
14、等腰三角形 ABC 两边的长分别是一元二次方程 0652
=+-x x 的两个解,则这个等腰三角形的周
长是 ___________。
15、请写出一个值 ______=k ,使一元二次方程 072
=+-k x x 有两个不相等的非 0实数根。 16、家家乐奥运福娃专卖店今年 3月份售出福娃 3600个, 5月份售出 4900个,设平均每月增长率为 x ,
根据题意,列出关于 x 的方程为 _______________________。 17、 将 4个数 d c b a 、 、 、 排成 2行、 2列, 两边各加一条竖直线记成
c a d b , 定义 c a d
b =bc ad -, 上述记号就叫做 2阶行列式。若
x
x -+1
1
1+-x x =6,则 x =________。
18、已知 βα、 是方程 0242
=++x x 的两实根,则 =++50143βα________。 三、解答题(共 46分)
19、 (12分)解下列方程:
(1) 025642
=-x (2) 0222
=--x x (3) 1452
-=-x x
20、 (7分)如图所示,某小区规划在一块长为 40米、宽为 26米的矩形场地 ABCD 上修建三条同样宽 的甬路,使其中两条与 AB 平行,另一条与 AB 垂直,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为 144米 2,求甬路的宽度。
D C
B A
21、 (9分)某电视机专卖店出售一种新上市的电视机,平均每天售出 50台,每台盈利 400元。为了扩
大销售,增加利润,专卖店决定采取适当降价的措施,经调查发现,如果每台电视机每降价 10元, 平均每天可多售出 5台,专卖店降价第一天,获利 30000元。问:每台电视机降价多少元? 22、 (9分)如图所示,在 Rt △ ABC 中,∠ B=900, AB=8m, BC=6m,点 M 、 N 同时由 A 、 C 两点出发
分别沿 AB 、 CB 方向向点 B 匀速移动,它们的速度都是 1m/s,问出发后几秒时△ MBN 的面积为
Rt △ ABC 的面积的 3
1
?
23、已知关于 x 的一元二次方程 0) 12(22=+-+m x m x 有两个实数根 1x 和 2x 。
(1)求实数 m 的取值范围; (2)当 02
221=-x x 时,求 m 的值。
附加题(10分)
24、已知 1x 、 2x 是关于 x 的方程 ) )(2() )(2(m p p m x x --=--的两个实数根。 (1)求 1x 、 2x 的值;
(2)若 1x 、 2x 是某直角三角形的两直角边的长,问当实数 m 、 p 满足什么条件时,此直角三角形的 面积最大?并求出其最大值。
C
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