范文一:非线性方程组的解法
非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法
第四章 非线性方程组的解法
4.1 非线性方程组的一般形式
t,t,,t从上面两章中,我们研究了离散化结构中任一单元在的时间增量步内,由材料非线性引起的单元切线刚度阵是线性的,(如第三章得出的增量平衡方程 (7) k,q,,pt(假定时刻的状态已知)),由此集合而成结构的增量平衡方程也是线性的,K,q,,PtT这就为求解整个的非线性过程准备了条件。即只要确定每一步的切线刚度,通过求解一系
列的线性方程组,累加起来就得到了解的全过程。 P
结构总的平衡方程是非线性的:
(1) K(q)q,P
,1i.e 。令 R,K(q)qq,KP
q (1)’ (1),F,P,R(q),0O
分段线性化是求解非线性问题中一个普遍有效的技术,但作为具体的解法还有许多种,主要的有:
1、增量法―纯增量法
2、迭代法―直接迭代法(刚线刚度法)、Newton-Raphson迭代法(切线刚度法)
3、.混合法―增量/迭代型方法
4.2 载荷增量法(纯增量法)
1、基本思想
将一个非线性的全过程分成若干段,每一段用一个线性问题去近似。如将一段取得足够小,总可以逼近真实的非线性过程。
N,P,,,P,,方法:若将外载荷分成个增量步,而每个增量载荷为, 为载荷系数ii0i
λPP,,P(或称载荷因子), 则总载荷 ; 0 0
N
λP其中: 为基准载荷. 3,,,,,0i,i1λ 2ΔλP20
上面的结构平衡方程为 λ1
ΔλP10 F(q),P,R(q),0 (1)? qΔqΔq 2 3 O
qqq1 2 3 F(q),,P,R(q),0i.e (2) 0
1
非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法
,上式两边对微分得
FR,, (3) P0,,,0,,,,
dqi.e PKq (4) ,(),00Td,
如比例加载(力的大小和方向不变),有,代入(4)得 dP,d,P0
,,,111 (5) dqKqdPKqdPieqKqP,,,,,()()..(),TTT0
将(5)式写成增量形式便有以下求解格式
,1,,,,,,,qKqPPP[()],iTiiii,10 (6) ,qqq,,,iii,1,
2、求解步骤
N
1)将载荷分成若干个增量步 ,准备位移量累加器[Q]并置零. P,,,P,0i,1i
,R2)施加第1个载荷增量 ,计算线性 ,P,,,Pk(q),110t0,q
1,求解 ,q,[K(q)],P1T01
并送入位移量累加器[Q] q,,q11
3)施加第2个增量步 ,P,,,P220
用q,求即在处的切线刚度矩阵 K(q)q1T11
1,求解 ,q,[K(q)],P2T12
在位移量累加器[Q]中完成累加. q,q,,q212
N
N4)重复3)直至()个载荷施加完毕, 在位移量累加器[Q]中得到总位移 q,,q,i,1i
3. 几何意义及讨论
λP0
优缺点: P 3,P, 优点:了解加载过程,当足够小,总能P 2
Δλ2 收敛到真实解 P 1
缺点:实际不可能无限小,因此累积误差,Δλ1
qΔqΔq 且无法估计,造成极大偏离而失真 2 3 O
qqq1 2 3 2
非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法 4.3 迭代法
1 直接迭代法
1) 基本思想:将载荷一次加上,并假设一个初始解代入方程组求出第一次近似解;将其
再代入方程组求解,得出第二次近似解,反复迭代逐次修正解,直至满足方程组(类
似于对过渡单元加权平均中的迭代)。 Dmep
2) 步骤 ? 假设近似解 ; q0
,1(1)(0),,? 代入方程(1)得 ; qKqP,,,c,,
,1()(1)kk,,,? 依次类推得 (7) qKqP,,,c,,
3)几何意义(一维问题) 迭代过程是调整其平行割线刚度的过程。 4)优缺点
求解方法简单,对原有弹性分析程序稍加修改即可,适用于非线性弹性。但迭代效率
低,对一些问题不收敛。
举例
p P 收敛
,,Kq0
球壳
,,k,1,,Kq
q
q 0
P不收敛(发散)
P 收敛慢
浅壳
q
q q
3
非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法
2 牛顿,莱夫森迭代法(Newton,Raphson) 1)基本思想
,,j对非线性方程(1)函数在某一近似解处作一阶台劳展开 ,,Fqq
22,,,,,,FqFq,,,,jjj,,,,,,30 (8) FqFqqqqqOq,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2,,qqj,,j,,,,,,qq
jjj,1,,,,,,设 (9) ,,,qqq
为当前迭代解与准确解之间的差值。
由(8)得
,1,,,Fq,,jj,1,,,,,,,qFq (10) ,,,,,q,,
,,j,,j代入(1), F,,q,P,R,,q,0两边求导得
,,,FqPR,,,,,,,, (11) ,,,,,,,qqjj,,,,,,,,qqqq,,
设外力(大小、方向)与位移无关,由(6)得
,,,R,,j,,K,,q,, (12) T,,,q,,j,,q,q(12)式代回(10)、(11)得
,1jjj,,,,,,,,,qKqPRq (13) ,,,,,,,,T
于是得到迭代公式
j,1jj,1,,,,,,,,,,qqq,k (14) kj,,,,,,,qq,,j,1,2) 法迭代步骤 N,R
00q,0Rq,0? 取初始状态,故 ,,,,
00KqK,计算即线弹性刚度矩阵(与当前位移无关) ,,TT
,1,1001000求解方程(8) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,q,Kqp,Rq,KPTT
1011代入(9) ,,,,,,,, 线性解 q,q,,q,,qi.e
4
非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法
1111111? 由计算 和 q,,,,,,,,KqRq,Kq,q,,TT
,112122111从而得到 和 ,,,,,,q,q,,q,,,,,,,,,,,,,,,q,Kqp,RqT
? 重复2的做法,反复迭代直至满足给定的迭代准则
,1,1jj,1j,1j,1j,1 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,q,Kqp,Rq,KqZqTT
jj,1j0j ,,,,,,,,,,q,q,,q,q,,q,j
3) 几何意义(以一维问题为例)
按基本公式(12),(13),(14)
j,,,Fq,,,,jj a、 为曲线上,在对应点的斜率,也就是切线刚度;为当前K,,,p,,qp,q,,T,q,,
状态下的外载向量;
jjjTjb、,,,,,,,,,, ,, 称为当前抗力, PRZ,,称为当前的Rq,Kq,q,BDBdvq,,R,,,,,,C,
j不平衡力; ,,q
所以,每一次迭代都是在上一次迭代终(当前)的变形,应力状态下,形成新的切线刚度矩阵作为求下一次迭代解的切线刚度,用当前的不平衡力求解。作为对上一次解的修正,不断修正,使不平衡力越来越小,最后达到平衡。
4)优缺点及适用范围
从上面迭代原理可知:该方法使变刚度法,计算工作量较大,但是收敛速度比较快,而且收敛性比较好,但是有时特例也不一定能保证收敛。
为了改进N-R方法,克服计算量大的缺点,产生了等刚度法
3 修正的N-R迭代法(等刚度法)
0顾名思义,等刚度就是在迭代过程中取一个(相等得)切线刚度矩阵,如果取初始的KT
k或某一个值,取 KT
i.e. 取
j0,,,,,,KKKq,,() (j,1,2,。。。) TTT,,,,,,
,1jj,10,,,,,qKqpRq()(()) ,,,,,,T1,,
作了这一改进之后,只需在开始第一步迭代时第k步计算各单元的单刚,组装一次总刚后,作为以后每一次迭代的总刚而无需每次重新计算重新组装,只需计算由当前位移
5
非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法
j引起的结构反力,然后回代求解相应的位移增量。 Rq()
这一改进明显减少了计算工作量,但收敛速度必然会放慢,总的效果有时是好的。以后又有人作了进一步的改进,在等刚度迭代几次以后,改用一次变刚度,形成新的刚度阵再作等刚度迭代。
p p
0 q 0 q
等刚度迭代 分段等刚度迭代 总结
N-R迭代法
,1jjj,,11,,,,,,,,qKqpRq ,,,,,,,,,,,,,T,,
,,j,,j,1,,j (10) ,,,,,,q,q,,q
纯增量法
,1 (6) ,,,,,,,,,q,Kq,piTii,1
,,,,,,q,q,,q ii,1i
将纯增量法和N-R迭代法结合起来:
,1jj,1j,1,,,,qKqPRq,,,,,,,,,,,,,,iTii,j (15) ,,,,,,,,qqq,iii,1,j,
4.4 混合法
1 基本思想
结合增量法保证收敛的优点和N-R迭代法不断校正解的优点,可取得好的效果。即首先将总载荷分成若干个增量步,在每个增量步内采用N-R迭代。在一个增量步内达到平衡之后,再进入下一个增量步迭代。下面以第i个增量步内的迭代为例说明混合法的全过程。
6
非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法
2 求解步骤
1)开始,施加第一个增量载荷,按N-R迭代法求解。
,10000,,设,求,求解方程,,线性解。,,,,,q,,q,,,,q,0,,Kq,,,,,,,,,,,q,KqP,Rq11TT1
,,以计算?????? ,,q,,,,KqT11
kj假如迭代了k次收敛,则 ,,,,,,q,q,,q,10,1j
i,22)在第i个增量步内的迭代(),各个增量步内的迭代过程相同,
已知第步终达到平衡状态 ,,,,,,q,,,,i,1i,1i,1i,1
000(1)以为i迭代步的初位移 求 ,,q,,,,,,,qKqRqi,1iiTi
,100,,1,,1,,1,,1,,,,,,,,KqP,Rq解方程 =,求得 和 =+ ,,q,,,,,,,,,q,qq,qTiii,1,1i,1iiii
,,1,,1,,1(2)以求 ,,,,,,qKqRqiiTi
,1212211,,,,,,,,,,,,,,2,,qqqq,,,,qKqPRq得和 解方程,,,,,,q,,,,,,,,,,,,,,,,,iiii1iTiii,,
,,3,,4,,3,,4(3)以此类推,求出,,……即 ,,…… 迭代到k次收敛 ,,,,,,,,,q,qqqiiii
kk,,k,,,q最终达到平衡时 =,,=,,+ qq,,q,iii,1i,1j
,,,,,,3)以第i步终达到平衡状态时的q ,和,作为初始状态,进入第步的迭代。 ,,i,1iii
4)直至全部载荷施加完毕。
3 几何意义
,
,ib
应力极值时 ,,
, a i,1
21q qqqqi i i,1 i 应变极值时
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非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法 4 优缺点
优点:通常能保证收敛,且收敛速度快。目前应用最广泛。
缺点:对一些特殊问题失效,主要是有极值点的问题。
4.5 迭代收敛准则和增量步的选取
1 收敛准则 (Convergent Criterion)
用迭代法求解非线性方程时,给出一个收敛判据(准则)是非常必要的,否则迭代将无法终止,实践证明,收敛准则将直接影响求解精度和速度,如果准则选的不合适将导致计算失效,目前常用的有下面三种判据:
(1) 位移准则(见AIAA;10(8).1982)
N,q1k(a) (41) ,,,1Nq,1k.kref
2N,,,q1k,,,, (42) (b) ,2,,Nq,k1kref.,,
,qk(c) (43) ,max,3kq.kref
-2-5最常用的是位移收敛准则,取10~10,只有当结构出现严重硬化时,位移增量的,
微小变化会引起不平衡力的很大变化,这一准则不予收敛。
(2)不平衡力准则
jj,1,,,pRqp, (44) ,,,,,,,,izii
当物体严重软化时或材料接近于理想塑性时,平衡力的微小变化又将引起位移增量的很大偏差,这时又不宜用不平衡力准则。
(3)能量准则
能量已同时考虑了位移和不平衡力,能量准则是比较好的判据,它是把每次迭代后的内能增量(不平衡力在位移增量上做功)与初始能量增量做比较。
TT10jj,,,,,qPRqqpRq,i.e. (45) ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,iiii,,,,,,,,,,,,,,
1jZZ,,,,iiii
采用弧长法时可写作:
jjDlpDq,,,,i0i,, (46) Tjj,pq,,,,,,,,,iia10i
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非线性有限元 第四章 非线性方程组的解法 2 增量步长的选择
求解非线性方程组时要合理选择增量步长,步长过大使计算结果不会收敛或不可靠,步长过小使计算时间太长,因此要根据具体问题的非线性程度来选择步长,不同结构形式的非线性形态不同,同一物体不同的加载方式、载荷大小不同,非线性程度也不一样。
P. G.. Bergan等提出的方法
设第步刚度度量 i
T{,p}{,p}*ii (47) S,(i,1,2,...)iT{,q}{,p}ii
T{,p}{,p}*11则初始刚度 (48) S,0T{,q}{,p}11
,p,p,q,q1111
于是,第增量步的刚度参数用下面无量纲参数定义 i
** (49) S,S/Sii0
, 由于{p},,{p}{,p},,,{p}110ii0
TT{,p}{,p}{,q}{,p}11iiS,iTT{,q}{,p}{,p}{,p}11ii
TTT2,,,ppqpqp,,,,,,,,,,,,,,,,i0011010i (50) ,,,,TTT2,,,,qpppqp,,,,,,,,,,,,,,,,1iii01000
同理可得
TT,,,{q}{p},{q}{p}110210i,i, , S,{}S,{}12i,i,TT,,{,q}{p}{,q}{p}111020i,i,
若给定第一个载荷增量因子为和允许的刚度参数变化值,有经验,,,S,(0.05~0.2)1
确定,则下一步增量步长为
,S (51) ,,,,,ii,1S,Si,2i,1
根据前两步信息和,初始步长和允许变化值去求出下一步步长。 ,SSS,,,,i,1i,2i1
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范文二:非齐次线性方程组
非齐次线性方程组解的结构的进一步讨论
摘要:本文通过矩阵的初等变换及非齐次线性方程组的解的有关性质进一步讨论了非齐次线性方程组的解的结构问题,虽然非齐次线性方程组的解向量的全体不能构成向量空间,也没有基础解系,但我们找到了类似齐次线性方程组的基础解系的解向量组,这个解向量组线性无关。并且的任意一个解都可以由这个解向量组线性表示。最后,给出了非齐次线性方程组有全非零解的充要条件,并给出了相应例题。
关键字:非零解,基础解系,线性无关,初等变换
引言
?a11x1?a12x2????a1nxn?b1?ax?ax????ax?b?2122222nn2
非其次线性方程组? (Ⅰ)
?????am1x1?am2x2????amnxn?bn
的矩阵形式为AX?B.取B?0,得到其次线性方程组AX?0称为非其次线性方程组AX?B的导出组。我们知道非其次线性方程组AX?B的解有以下的一些性质:
(1) 若u1是非其次线性方程组AX?B的一个解,v1是其导出组AX?0的一个解,则
u1?v1也是AX?0的一个解。
证明:因为u1是非其次线性方程组AX?B的一个解,所以有Au1?B,同理有Av1?0,则由A?u1?v1??Au1?Av1?B?0?B.所以u1?v1是非其次线性方程组AX?B的解。 (2) 若v1,v2是非其次线性方程组的两个解,则v1?v2是其导出组的解
证明:由Av1?B,Av2?B,所以有A?v1?v2??Av1?Av2?B?B?0,故v1?v2为其导出组的解。 2.定理
(非其次线性方程组解的结构定理)若v1是非其次线性方程组AX?B的一个解,v是其导出组的通解,则u1?v?v1是非其次线性方程组的通解。
证明:由性质(1)可知u1加上其导出组的一个解仍是非其次线性方程组的一个解,所以只需证明,非其次线性方程组的任意一个解v,一定是u1与其导出组某一个解v1的和,取
*
v1?v*?u1
由性质(2)可知,v1是导出组的一个解,于是得到v?u1?v1,即非其次线性方程组的任意一个解与其导出组的某一个解的和。
由上面这个定理我们可以知道,一个其次线性方程组的解的全体可以用基础解系来表
*
示。因此,根据定理我们可以用导出组的基础解系来表示出一般方程组的一般解,如果v0是方程组(Ⅰ)的一个特解,?1,?2?,?n?r是其导出组的一个基础解系,那么(Ⅰ)的任一个解都可以表示成:u?u0?k1?1?k2?2???kn?r?n?r
3.由上面2的证明过程,我们可以知道其次线性方程组AX?0的全部解可由基础解系
*
?1,?2?,?n?r线性表示出(其基础解系含有n?r个解向量),即
k1?1?k2?2???kn?r?n?r?k1,k2,?kn?r?为任意实数。那么,当非其次线性方程组
则AX?B至多有多少个线性无关的解向量?AX?B的全部解又如何表AX?B有解时,示? 定理
若其次线性方程组AX?0的基础解系为?1,?2?,?n?r,当非其次线性方程组
AX?B?0有解时,则它至多且一定有n?r?1个线性无关的解向量
?1,?2,??n?r,?n?r?1,AX?B的通解可以表示为k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1
为满足关系式k1?k2???kn?r?kn?r?1?1,的任意实数。
证明:(ⅰ)若?是非其次线性方程组AX?B的解,则?为非零解向量,那么向量组?,
?1,?2?,?n?r线性无关(否则?可由?1,?2?,?n?r线性表示,与?是AX?B的解矛盾)。
那么,易证?1??,?2????1,?3????2,??n?r?1????n?r都是AX?B的解,并且
?1,?2,??n?r,?n?r?1线性无关。这说明AX?B至少有n?r?1个线性无关的解向量。
下面再证AX?B至多有n?r?1个线性无关的解向量。
反证:若AX?B有n?r?2个线性无关的解向量?1,?2,??n?r?1,?n?r?2,那么易证
?1??n?r?2,?2??n?r?2,??n?r?1??n?r?2均为AX?0的解,并且线性无关。这样AX?0具
有n?r?1线性无关的解向量矛盾,所以,AX?B至多且一定有n?r?1个线性无关的解向量AX?B。
(ⅱ)对于AX?B的任意一个解,一定可以表示成它的一个特解?与其导出组AX?0的基础解系的线性组合,即??k1?1?k2?2???kn?r?n?r?k1,k2,?kn?r?为任意常数 那么
??k1?1?k2?2???kn?r?n?r
??1?k1?k2???kn?r????k1????1??k2????2????kn?r????n?r?
??1?k1?k2???kn?r??1?k1?2?k2?3???kn?r?n?r?1
(k1,k2,?kn?r为任意实数,且组合系数?1?k1?k2???kn?r?,k1,k2,?kn?r之和等于1.
这说明,AX?B的任意解都可以表示成这样的形式。
另一方面,由于?1,?2,??n?r,?n?r?1都是AX?B的解,对于
k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1,只要满足k1?k2???kn?r?kn?r?1?1仍然是
所以,AX?B的解,AX?B的通解可以表示成k1?1?k2?2???kn?r?n?r?kn?r?1?n?r?1,且k1,k2,?kn?r,kn?r?1为满足关系式k1?k2???kn?r?kn?r?1?1,的任意实数。
例2
设?0是线性方程组的一个解,?1,?2,?3,??t是它导出组的一个基础解系,令
r1??0,r2??0,?rt?1??t??0。证明:线性方程组的任一一个解
??u1r1?u2r2???ut?1rt?1,其中u1?u2???ut?1?1。
证明:
由题可设方程组的任一解?可以表示成???0?u2?1???ut?1?t(u2,?ut?1为常数) 令u1?1?u2???ut?1,则
??(u1??ut?1)?0?u2?1???ut?1?t
?u1?0?u2(?1??0)???ut?1??t??0??u1r1?u2r2???ut?1rt?1
(1) 引理:设A为m?n矩阵,用初等行变换,把A化为阶梯形矩阵,并使该梯形矩阵
的每一个非零行的第一个非零元素(从左算起)为1,且该元素所在列的其他元素为零,这样的阶梯形矩阵的为A的行简化阶梯形矩阵。
定理:非齐次线性方程组存在全非零解的充要条件是,它的增广矩阵A的秩r(A)与系数矩阵A的秩r?A?相等,且A的行简化阶梯型矩阵中每个非零行的非零元素个数大于或等于2.
证明:必要性
方程组有全非零解,则必须满足方程组的条件,因而,r(A)?r?A?.不妨设其秩为r且A的简化阶梯矩阵为:
?1?0?????0?0????0?
00?0
l1,r?1l1,r?2l2,r?1
?l1,n?l2,n
lrn00
10?0l2,r?1
00?1lr1,r?1lr2,r?2?00?000?0
00
00
??
d1?d2?????
dr? (2) 0????0??
且其对应的方程组为
x1??l1,r?1xr?1?l1,r?2xr?2???l1nxn?d1x2??l2,r?1xr?1?l2,r?2xr?2???l2nxn?d2xr??lr,r?1xr?1?lr,r?2xr?2???lrnxn?dr
若对某个r?i?i?r? 有li,r?1?li,r?2???li,n?di?0
则xi?0,这和方程组(2)有全非零全部解矛盾,故对每个i(r?1,2,?n),至少存在一个j(r?1?j?n)使lij?0或di?0,即(2)中第i(r?1,2,?r)行至少有两个非零元素。
充分性:设N是充分大的正数,令xr?1?N将其带入(2)得:xi??li.r?1N
n?r
n?r
,xr?1?N
n?r
,?xn?N
?li,r?2Nn?r?1???li,N?di(r?1,2,?r),当lij?0
(r?1?j?n),di?0时,显然成立;当上式右端至少存在一个非零系数,设第一个非
xi??li,r?kNn?r?k?1?li,r?k?1Nn?r?k???linN?di
零系数为li,r?k?1?k?n?r?,则??li,r?kN
n?r?k?1
??li,r?k?1Nn?r?k???li,nN?di??1?? n?r?k?1
?li,r?kN????
因为lim
?li,r?k?1Nn?k?r???li,nN?di
?li,r?kN
n?r?k?1
N???
?0
所以
i
N???
limx??,i?1,2,?r,故存在充分大的正数Ni,使
xi??,li?
r
n?r?1k?k
N
?,?l
i?1r
n?r?kNk??
?l
in
N0?
i
(i?1,2,; ?r)
d?
取
N?max?N1,N2,?Nr?
,可使
xi??li,r?kNn?r?k?1?li,r?k?1Nn?r?k???linN?di?0
(i?1,2,?r)
n?rn?rn?r?1
,?N 这样,就得到方程组的一个全非零解x?x1,x2,?xr,N,N,N
??
T
例1
方程组
?x1?2x3?4x4?x5?1?
?x1?x2?2x3?6x4?x5?2?
有全非零解的充要条件? ?x1?x2?x3?6x4?(c?1)x5?0
?x?3x?4x?c?1x?3
??524?1
?2x?x?5x?10x??c?3?x?5
345?12
解:其增广矩阵A的简化阶梯形矩阵为
?1
?0??0??0??0
0210010000
1?
?22?1??0c?32?
?
000?000??
41
故由上述定理可知,该方程组有全非零解的充要条件是c为任意实数。
?x1?x2?x3?x4??1
?
例2已知非齐次线性方程组?4x1?3x2?5x3?x4??1有三个线性五官的解,
?ax?x?3x?bx?1
34?12
(Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩r?A??2, (Ⅱ)求a,b的值及方程组的通解。
解:(Ⅰ)设?1,?2,?3是非齐次线性方程组的三个线性无关的解,则?1??2,?1??3是导出组Ax?0的线性无关解,所以n?r?A??2,从而r?A??2,显然矩阵A中存在不为零的2阶子式,又有r?A??2,从而秩r?A??2。
(Ⅱ)对线性方程组的增广矩阵作为初等行变换,有
?1A???4
??a?1???0??0
1131110
?1??1111?1?
?0?1?5?1?1??1?53???
3b1????01?a3?ab?aa?1??
11?1??15?3??4?2bb?4a?54?2a??
1
于是r?A??rA?2故a?2,b??3,又因为????2,1,1,0?是Ax?b的解,且
??
T
?1???2,1,1,0?,?2??4,?5,0,1?是Ax?0的基础解系,所以方程组的通解为
TT
??k1?1?k2?2(k1,k2为任意实数)
范文三:非线性方程组的解
非线性方程组的解
1、基本概念
非线性问题可以分为三类:几何非线性、材料非线性及边界条件非线性。无论哪一种
非线性问题,总是最终归结为求解非线性代数方程组:
,,,,,,,,K,,,,,P,0
,,,,,,K,,,,,,P其中 分别代表荷载矩阵,节点位移矩阵,总体刚度矩阵。 [K]不再是常数矩阵,而是随结构的应力和位移的变化而变化的。对于上述非线性代数方程组,常用解法有迭代法、增量法以及由两者结合起来派生的其他方法。 2、迭代法
迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载,但逐步修改位移和应变,使之满足非线性的应力应变关系。
1)割线刚度迭代法
割线刚度迭代法是迭代法中比较简单的一种, 又称直接迭代法,其迭代过程如图所示
在某级荷载P作用下,用初始刚度矩阵,求得位移的第一次近似值
,1,,,,,,,,KP 10
然后,利用[δ1]求的单元的应变、应力,根据应力状态确定此刻的本构矩阵,再根据这一本构矩阵求得新的割线刚度矩阵[k1],再求得位
,1移的第二次近似值 ,,,,,,,,KP21,1重复上述过程,可以得到n次近似解: ,,,,,,,,KPnn,1
直到误差的某种范数小于容许值,迭代即可终止.
2)切线刚度迭代法
切线刚度迭代法是一种变刚度迭代法,但不是用割线刚度而是用变化的切线刚度。其迭代过程如图所示。这一迭代法又称为
Newton-Raphson法。
首先取初始刚度矩阵[k0],求得位移的第一次近似值 ,1,,,,,,,,KP 10
由初始位移可以求得单元应变,进而求得单元应力。有单元应力可以求得相应的节点荷载 。
第二步,用相应于[δ1]时的切线模量[k1],在荷载
,,,,,,,P,P,P 作用下求得位移增量[Δδ2],即 11
,,,,,,,P,P,P11
1 ,,,,,,,,,,K,P211
,,,,,,,,,,,,从而求得位移的第二次近似值为 212
重复上述步骤,直到误差的某种范数小于容许值,迭代即可终止。 3)等刚度迭代法
等刚度迭代法又称为修正的Newton-Raphson法,这一方法在迭代过程中采用不变的刚度。 具体步骤:
1
a)首先取初始刚度矩阵[k0],求得位移的第一次近似值
,1 ,,,,,,,,KP10
b)按[δ1]求出单元应变 [ε1],有单元应变求的单元应力
,,,,,,,,D, 101
其中[D0]为材料本构矩阵,由应力可以求得相当的节点力为
T ,,,,,,P,B,dV1,
与原加荷载的差为: ,,,,,,,P,P,P11,,,Pc)将 再加于结构,仍用初始刚度 求得附加位移将 再加于结构,11,仍用初始刚度[K0]求得附加位移 ,,,,,,,,,K,P201
d)重复上述步骤,知道得到足够近似的解。
3、增量法
增量法的基本思想是将荷载划分为许多小的荷载部分(称为增量),这些荷载增量一般取成大小相等,也可根据需要改为不等。计算时每次施加一个荷载增量。在一个荷载增量中,假定刚度矩阵是常数;在不同的荷载增量中,刚度矩阵可以有不同的数值。增量法使用一系列线性问题去逼近非线性问题,实质上时用分段线性去代替非线性曲线。 欧拉折线法 m
设荷载分为m个增量: ,,,,P,,P,i,1i
,,,,每个荷载增量产生一个位移 ,因而在施加n个荷载 i
增量之后,总荷载为:
m ,,,,P,,P,,,,,,,,,,,,,ni nn,1n,1i欧拉折线法计算第n个位移增量时,其刚度矩阵取为上
,,K一级荷载增量结束时的线性刚度矩阵 ,也即第n级荷载开始的线性刚度, n,1
即 ,,,,,,K,,,,Pn,1nn
4、增量迭代法
增量迭代法及荷载也划分为荷载增量,但增量上的个数较少,而对每一个荷载增量进行迭代
计算。
2
范文四:四阶奇异非线性方程组
哈尔滨学院本科毕业论文(设计)
题目:四阶奇异非线性方程组(4-1,1)边值问题 正解的存在唯一性
院(系) 理学院
专 业
年 级
姓 名
指导教师
2012年5月30日
数学与应用数学 2008级 刘晓平 苑成军 学 号 08031210 职 称 教授
声 明
本人郑重声明所呈交的论文是我个人在
指导老师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果,不存在任何剽窃、抄袭他人学术成果的现象。我同意本论文作为学校的信息资料使用。
论文作者(签名) :
年 月 日
毕业论文(设计)评语及成绩
目 录
摘 要 . ..................................................................... 1
ABSTRACT ................................................................. 2
前 言 . ..................................................................... 3
第一章 预备知识 . ............................................................ 6
1.1四阶微分方程的(4-1,1)边值问题简介 ..................................... 6
1.2 基本概念与结论 ........................................................ 6
第二章 四阶奇异非线性方程组(4-1,1)边值问题 . ................................ 8
2.1 引言 .................................................................. 8
2.2 正解的存在唯一性证明 .................................................. 9
结 语 . .................................................................... 13
参考文献 . .................................................................. 14
致 谢 . .................................................................... 15
摘 要
非线性微分方程边值问题在物理学、应用数学、控制论、航天、生物学等领域中有着广泛的应用。因此,对非线性微分方程边值问题正解存在性的研究,在理论与实践中都有着极其重要的意义。
当前,研究积分算子不动点的存在性,常用的理论是非线性泛函分析的锥理论与不动点指数等理论。许多文献讨论了多种非线性问题,包括对二、三阶非线性边值问题解的存在性和多解性的广泛研究,而四阶以上非线性边值问题的研究较困难, 虽然得到了四阶非线性微分方程边值问题的许多结果,但还有诸多四阶边值问题的结果及证明方法将有待于进一步丰富, 本文考虑了四阶非线性微分方程边值问题,包括特殊的两点边值问题及变系数的边值问题。在适当的假设条件下,分别证明了边值问题正解的存在性,并对同问题采用了不同方法给予证明,给出了四阶非线性边值问题关于正解存在性的一些新的研究成果。
关键词:四阶奇异非线性方程组,(4-1,1)边值问题;存在唯一性;混合单调算子;不动点定理
ABSTRACT
Boundary value problems of nonlinear differential equations have a wide range of applications in physics, applied mathematicscybernetics, aerospace, biology and other fields. Therefore, existence for positive solution of the boundary value problem to nonlinear differential equation, in theory and in practice has the extremely vital significance.
The currently study to existence of fixed point for integral operators, commonly used in nonlinear functional analysis theory in the cone theory and the fixed point index theory. Many literature discusses many nonlinear boundary value problems, including on the existence and multiplicity of extensive for the two or three order nonlinear differential equation, and the study of four order nonlinear boundary value problems is difficult, although obtained many results on nonlinear boundary value problems for four order differential equations, but there are a lot of four order boundary value problem and method to prove the results will be further enriched, considering boundary value problems of the four order nonlinear differential equations, including special two-point boundary value problems and variable coefficient boundary value problem. Under appropriate hypotheses, which proved that boundary value problem positive existence of solution. Used different methods, to prove that the existence of positive solutions for the nonlinear boundary value problem of a class four order differential equation, and obtain new research results.
Key words:Four order singular nonlinear equations, (4-1,1) boundary value problem; existence and uniqueness; mixed monotone operator; fixed point theorem.
前 言
随着科学技术的不断发展,非线性分析已成为现代数学中的重要研究方向之一,而非线性泛函分析是非线性分析中的一个重要分支,因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视,泛函分析是现代数学中的一个重要分支,它起源于经典数学物理中的变分问题和边值问题,它综合地运用分析的、代数的和几何的观点和方法,研究分析数学、现代物理和现代工程技术提出的许多问题,20世纪以来,泛函分析逐渐成为研究常微分方程边值问题的重要理论基础。30年代中期法国数学家勒雷和绍德尔建立了Leray-schauder 度理论。在泛函分析理论以及实际问题的推动下,常微分方程边值问题的研究在近半个世纪里发展十分迅速,除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外,开始研究高阶微分方程边值问题。
首先是奇异边值问题1927年托马斯和费米为确定原子中的电动势独立导出了二阶常微分方程的奇性边值问题
3?n -1
2?x -t x 2=0, ???x (0)=1, x (b )=0,
这里所说的奇性,是指lim x (t )=lim t x n
t →0+t →0+-1232(t )=∞。之后对这类边值问题的研究形成
了有其独特方法的研究方向,即是奇异边值问题。
其次是无穷区间上的边值问题:最早的例子是由基德(REKider)给出。设半无穷多孔介质在起始时刻t =0时充满压力为p o 的气体,此时在流出面上的压力突然由p o 减到p 1且以后一直保持p 1压力,这样气体就在介质中产生非稳态流。对于从x =0延伸至x =∞的一维介质,压力与位置及时间的关系为:
???p ??p p =A , ??x ??x ??t
其中A 是由介质性质确定的常数,压力应满足的初值条件为:
??p (x ,0)=p 0,0
???p (0, t )=p 1,0
引进度量z =?A ??及量纲一变量
4p 0?
?p 2(x )?W (z )=a 1-?, 2p 0??-112
p 12(x )其中a =1-, 就得出无穷区间上的边值问题 p 02
2z ?n ' W +W =0, 1?12???2 1-aw ? ?????W 0=1, W ∞=0, ()?()
对这类问题的一系列研究,形成了无穷区间上的边值问题。
经典的二阶常微分方程边值问题,无论是周期边界条件还是Sturm 一Liouville 边界条件,定解条件都是在给定区间的两端施加限制。鉴于边界条件的离散化,从20世纪80年代中期开始研究二阶常微分方程的多点边值问题,也就是所给的两个定解条件涉及端点间其他点上的函数值,例如:
n ' ?u +f t , u , u =0, ()? ?
??u (0)=u (1)-au (ζ)=0,
就是一个二阶常微分方程的三点边值问题。以此类推就有四点边值问题,n 点边值问题。常微分方程多点边值问题也常被称为常微分方程非局部边值问题。
与此同时,常微分方程的脉冲效应也引起了人们的重视,这种脉冲效应造成微分方程瞬时改变,因此可以认为是微分方程和差分方程的相互结合。保加利亚数学家对此作了大量的研究,在常微分方程边值问题中结合脉冲效应,就得到常微分方程脉冲边值问题,例如:
?x n +f (t , x , x n )=0, t ≠t k , k =1, 2, m , ???x (t k )=J k x (t k , x ' (t k ))k , ? ?
' ' ??x (t k )=J k x (t k , x (t k )), ???x (0)=x (1)=0, (())
其中0
近年来,由于微分方程四阶边值问题是刻画弹性梁状态的数学模型,而弹性梁是现代飞机、轮船、建筑等最基本的结构之一,所以在弹性力学和工程物理中四阶边值问题有着广泛的应用。对这类问题的研究不仅可以丰富数学理论而且也对解决实际问题有指导意义,因此关于四阶边值问题的研究吸引了许多作者,其研究主要集中于考察问题的解的存
在性或正解的存在和多解性,例如,人们通常研究的四阶方程为:
u 4(t )=f (t , u (t )), t ∈[0,1].
在附加各种边值条件后,这类问题便对弹性梁的各种状态有了很好的描述。例如,在边值条件u (0)=u (1)=u '' (0)=u '' (1)=0下,描述的是在t =0和t =1两点简单支撑的弹性梁,在边值条件u (0)=u (1)=u '' (0)=u ''' (1)=0下,描述的是在t =0的一端简单支撑,在t =1的另一端自由活动的弹性梁。
对于常微分方程四阶边值问题的研究,人们通过变换将四阶边值问题转化为二阶方程组,这样便可用研究二阶方程组的方法来研究四阶边值问题。在这些方法中最常用的是利用Krasnosel'skii 锥拉伸锥压缩不动点定理、拓扑度理论及上下解方法等。
最近,柴国庆研究了如下问题:
(4)'' ?u ?(t )+B (t )u (t )-A (t )u (t )=f (t , u (t )),0
其中要求A (t )非负。
应用锥中不动点指数的计算考虑变系数四阶边值问题一个或两个正解的存在性。
在动力学系统中,时标是不可避免的。在这个意义下,常微分方程组只是动力学系统中一种近似描述。很多情况下略去滞量便达不到必要的精确度甚至导致结论的错误,因此这些问题是常微分方程所不能解决的,这迫切地就需要建立一种新的模型来讨论它,因而产生了泛函微分方程一一Functional Differential Equation ,缩写为FDE 。正是由于这些极其广泛的应用课题的推动,使泛函微分方程的研究取得了实质性的、全面的进展。本文中,我们利用混合单调算子的不动点原理,拓扑方法,Banach 空间及其正锥原理研究四阶奇异非线性方程组(4-1,1) 边值问题正解的存在唯一性。
本文的主要特点在于利用混合单调迭代不动点定理, 利用Green 函数的特性构造锥, 讨论四阶奇异非线性方程组(4-1,1)边值问题正解的唯一性, 得到了方程组正解存在唯一性的一个充分条件。
本文的主要安排如下:第一章, 给出了证明本文主要结论时所要用到的一些预备知识其中包括非线性泛函分析中的锥理论及半序方法, 并复述了一个混合单调算子不动点定理。在第二章中, 我们利用混合单调迭代法, 给出了奇四阶奇异非线性方程组(4-1,1)边值问题正解的存在唯一性结果。
第一章 预备知识
1.1 四阶微分方程的(4-1,1)边值问题简介
边值问题是非线性常微分方程理论研究中一个活跃而成果丰硕的领域. 近几十年,常微分方程边值问题由于在物理学、应用数学、航天、生物等领域有着广泛而重要的应用,实际问题中不断涌现出大量的非线性微分方程边值问题,各种不同类型、伴随着各种不同条件的非线性微分方程边值问题需要人们去深入研究. 如,非共振的物理背景下,某些两段固定的弹性梁在受力作用后形变的非共振问题为四阶Drichlet 边值问题:
4'' ??u (t )+βu (t )=f (t , u (t )), t ∈(0,1) ?'' '' ??u (0)=u (1)=u (0)=u (1)=0,
研究微分方程边值问题具有重要的理论意义和实际用途,其研究仍然是非线性分析研究领域的一个较为关注的方向. 近几年来,开始了对各类紧与非紧性映射的系统研究,利用一些新的方法解决一些方程解的存在性问题,相应地获得了一些结果,如某些典型的非线性算子Hammerstein 积分方程、常微分方程、迁移方程、凸锥理论与非线性算子方程的正解、非线性算子拓扑度和不动点定理以及固有值解的个数等方面都取得了卓越的成果. 人们利用锥理论讨论了多种非线性问题,讨论了各种多样的积分方程解的存在性,内容丰富多采,包括了非线性泛函分析这一领域各个方面的成果.
1.2 基本概念与结论
定义1.1 ⑴ 设E 是一个实数空间. 如果P 是E 中某非空闭凸集, 满足条件:
(a ) x ∈P , λ≥0?λx ∈P ;
(b ) x ∈P , -x ∈P ?x =θ (θ表示E 的零元), 则称P 是E 中一个锥.
≠? (P 表示P 的内点集), 则称P 是一个体 ⑵ 设P 是E 中一个锥, 如果P
锥.
⑶ 给定E 中一个锥P 后, 则可对E 中部分元素x , y 引入序关系如下:
x ≤y , 如果y -x ∈P . 易知, 此序关系满足:
(a ) x ≤y , y ≤z ?x ≤z ;
(b ) x ≤x , ?x ∈E ;
(c ) x ≤y , y ≤x ?x =y .
从而, 使E 成为半序集.
定义1.2 设P 是E 中一个锥. 如果存在常数N >0满足 θ≤x ≤y ?x ≤N y ,
则称P 是正规的. 令P 是Banach 空间E 的一个正规锥. 令e ∈P 满足e ≤1且e ≠θ. 定义
Q e ={u ∈P u ≠θ, 存在常数m , M >0使得me ≤u ≤Me }.
定义1.3 假定A :Q e ?Q e →Q e , 如果A (x , y ) 对x 是递增的而对y 是递减的, 即对任何
y ∈Q e , 如果x 1≤x 2(x 1, x 2∈Q e ) , e ) , 则A (x 1, y ) ≤A (x 2, y ) ; 对任何x ∈Q , 如果y 1≤y 2(y 1, y 2∈Q e 则A (x , y 1) ≥A (x , y 2) ,称A 是混合单调算子. 如果A (x *, x *) =x *,称x *是A 的一个不动点.
下面, 我们给出混合单调算子不动点定理.
定理1.1 假定A :Q e ?Q e →Q e 是混合单调算子且存在一个常数α, 0≤α≤1使得
A (tx , y ) ≥t A (x , y ), ?x , y ∈Q e ,0
1
t
α
则A 有唯一不动点x *∈Q e . 此外, 对任何(x 0, y 0) ∈Q e ?Q e ,
x n =A (x n -1, y n -1), y n =A (y n -1, x n -1), n =1,2,
满足
x n →x *, y n →x *,
其中
x n -x *=ο(1-r α), y n -x *=ο(1-r α) ,
0
n
n
定理1.2 假定A :Q e ?Q e →Q e 是混合单调算子, 且存在一常数α∈(0, 1) 使得(1-1)成
*
立. 如果x λ是方程
A (x , x ) =λx (λ>0) , (1-2)
**
-x λ→0, λ→λ0. 如果0<><在q e="" 中的唯一解,="">在q>
么x λ
1
, 那么0<><>
******
lim x =0, lim x =+∞. 且 x λ≥x , x ≠x λλλλλ+1212
λ→∞λ→0
第二章 四阶奇异非线性方程组(4-1,1)边值问题
2.1 引言
近年来, 常微分方程奇异边值问题已经得到了广泛的研究, 大数结果给出了方程一个或两个解的存在性. 对于解的唯一性, 通常的方法是我们必须证明两个解是等价的, 赵增勤曾对奇异二阶常微分方程边值问题进行了研究, 但证明方法较为复杂. 而本章中, 我们将利用混合单调迭代法来研究四阶奇异非线性耦合微分方程组 (4-1,1)边值问题:
?u (4)=-q 1(t )f 1(t , v ),0
? (2-1) v 4=-q 2(t )f 2(t , u ),
?(j )(j )u 0=u 1=v 1=v ()()()(0),0≤j ≤2, ?另外,q i (i =1,2)在t =0, 1处可以奇异. f (t ,x )在x =0处也可以奇异.
整个这一章中我们假定
f 2(u )=g (u )+h (u ),t ∈(0,1), 其中
g :[0, +∞) →[0, +∞) 是连续不减的, h :(0, +∞) →(0, +∞) 是连续不增的.
引理1.1 令G (t , s ) 是如下四阶奇异非线性方程(4-1,1)边值问题
?x (4)(t )=f (t ), 0
?(j )
?x (0)=x (1)=0, 1≤j ≤2,
的格林函数,
3
?t 3(1-s )-(t -s )G (t , s )=, 0≤s ≤t ≤1, ??6 (2-2) ?33
()t 1-s ?, 0≤t ≤s ≤1. ?6?
引理1.2 格林函数G (t , s )具有如下性质
1111
g (t )h (s )≤G (t , s )≤h (s ), 其中G (s )=s (1-s )3,G (t , s ) ≤g (t ) ,而G (s )≤g (t ) 6222
其中h (s ) =s (1-s ) 3, g (t )=t 4-1(1-t ). 根据引理1.1,方程(2-1)等价于积分方程组
1?
?u (t )=?0G (t , s )q 1(s )f 1(s , v )ds ?
(2-3) ?
?v (t )=1G (t , s )q (s )f (s , u )ds
22?0??
现定义算子T x :C ([0,1], (0, +∞))→C ([0,1], (0, +∞))如下
T x u (t )=?G (t , s )f 1s , ?G (s , τ)f 2(τ, x )d τds ,t ∈[0,1] (2-4)
1
(
1
)
显然,u 是边值问题(2-1)的解的充要条件是u 是算子T 的不动点.
2.2 正解的存在唯一性证明
定理2.1 假定(C 1) f 1∈C ((0,1)?[0,+∞),[0,+∞)) 对于v 是连续且递增的, 并且
l θ1f 1(t , v ) ≤f 1(t , lv ) ≤l θ2f 1(t , v ) , 0
(C 2) 存在α∈(0,1)和β=αθ1<1(θ1(c 1))="">1(θ1(c>
g (tx ) ≥t αg (x ), (2-5)
和
h (t -1x ) ≥t αh (x ), (2-6)
对任何t ∈(0,1),x >0, 成立,及q ∈C ((0,1),(0,+∞)) ,满足
?G (z , z ) G (z , z ) q (z ) dz <∞ 和="">∞>
11
f 1(s , m ) ds <∞其中m>∞其中m><>
则方程组(2-1)有一个正解(u *, v *) , 且唯一.
证明:因为(2-5)成立, 令t -1x =y , 并且?x >0,t ∈(0,1),我们能得到 则
h (ty ) ≤
1
h (y ) ,?t ∈(0,1),y >0 (2-7) αt
令y=1,上面的不等式是
h (t )≤
1
h (1),?t ∈(0,1) (2-8) t α
从(2-6),(2-7)及(2-8),可得
111
h () ≥t αh (1), h (tx ) ≤αh (x ) ,h (t ) ≤αh (1),t ∈(0,1)x >0. (2-9) t t t
类似的, 从(2-5),可得
1
令t =, x >1, 我们有
x
g (tx )≥t αg (x )g (t ) ≥t αg (1)?t ∈(0,1), x >0
(2-10)
g (x ) ≤x αg (1), ?x ≥1. (2-11)
令e (t ) =
1
g (t ) , 显然e ≤1, 且 2
1??
Q e =?x ∈V :e (t ) ≤x (t ) ≤Me (t ), t ∈(0,1)? (2-12)
M ??
其中选取M >1, 使得
1
?1?11-αθ???f ?s , G z , z q z g 1+h 1e -αz dz ?ds ?; ()()()()()()?? ?1??????00??????
M >max ?1?
??1
??1???1-αθ1?α??G (s , s )f 1 s , G (z , z ) G (z , z )q (z )(g (1)e (z )+h (1))dz ??ds ??
?? ?????0???????0?
(2-13)
对x , y ∈Q e ,定义
g (x (t )) ≤g (Me (t )) ≤g (M ) ≤M αg (1),
h (y (t )) ≤h (
1
e (t )) ≤M αe -α(t ) h (1). (2-14) M
且
g (x (t )) ≥g (
1
e (t )) ≥M -αe α(t ) g (1), M
h (y (t )) ≥h (Me (t )) ≥h (M ) ≥M -αh (1). (2-15)
对x , y ∈Q e ,我们定义
?1?
T (x , y )(t )=?G (t , s )f 1 s , ?G (s , z )q (z )g (x (z ))+h (y (z ))dz ?ds , ?t ∈(0,1).
0?0?
1
()
首先我们说明T :Q e ?Q e →Q e . 令x , y ∈Q e , 由(2-13)我们有
?1?T (x , y )(t )=?G (t , s )f 1 s , ?G (s , z )q (z )g (x (z ))+h (y (z ))dz ?ds
0?0?
1
()
?1?1??1
≤e (t )??f 1 s , ?G (s , z )q (z )g (x (z ))dz ?+?G (s , z )q (z )h (y (z ))dz ?
???0?0?0?
1?1???α-α
≤e (t )??f 1 s , M ?G (z , z )q (z )(g (1)+h (1)e (z ))dz ?ds ?
?0?? 0???
≤e (t )M
αθ1
?1?1??-α
??f 1 s , ?G (z , z )q (z )(g (1)+h (1)e (z ))dz ?ds ?????0?0?
≤Me (t ) , ?t ∈[0,1].
另一方面,由(2-15)我们有
T (x , y )(t ) =?G (t , s ) f 1
01
(?G (s , z ) q (z ) (g (x (z )) +h (y (z )) )dz )ds
10
11?11???
≥e (t )??h (s )f 1 s , ?0G (s , z )q (z )g (x (z )dz )??+?0G (s , z )q (z )h (y (z ))dz ?02????
11?11???-αα-α≥e (t )??h (s )f 1 s , ?0G (s , z )q (z )M e (z )g (1)dz +?0G (s , z )q (z )M h (1)dz ??ds ?02??? ?≥e (t )M ≥
-αθ1
1?11???α
h (s )f 1 ?? s , G (s , s )?0G (z , z )q (z )(g (1)e (z )+h (1))dz ??ds ?02????
?t ∈[0, 1].
1
e (t ), M
所以,T (Q e ?Q e ) ?Q e .
下面,对任何l ∈(0,1), 可得
T (lx , l -1y )(t ) =?G (t , s ) f 1s , ?G (s , z ) q (z ) g (lx (z ))+h (l -1y (z ))dz ds
1
1
()) (
≥?G (t , s ) f (s , ?G (s , z ) q (z ) (l g (x (z ) )+l h (y (z )))dz )ds
≥l ?G (t , s ) f (s , ?G (s , z ) q (z ) (g (x (z ))+h (y (z )))dz )ds
1
1
αα
1
αθ1
11
1
=l αθ1T (x , y )(t ) , ?t ∈[0,1]
因此定理2.1的条件满足. 所以存在一个唯一正解u *∈Q e 使得T (u *, u *) =u *. 显然, u *
是方程T 在Q e 上的唯一正解.
我们得
1
v (t ) =Su (t ) =?G (t , s ) f 2(s , u *(s )) ds . (2-16)
**
所以,在(Q e , SQ e ) 上, 方程组(2-1)存在一个唯一正解(u *, v *) .
例子 考虑下面四阶奇异非线性方程组(4-1,1)边值问题
?-u 4=v θ(t ), ?4a -b
?-v =μu (t )+u (t ),
?u (j )(0)=u (1)=v (j )(0)=v (1)=0, ?
t ∈(0, 1), 0≤j ≤2,
其中0≤θ≤1, a , b >0, θmax {a , b }<1, μ≥0,="">1,>
?(G (z , z ))
1
1
-α
dz <∞, 和="" ?dz="">∞,><>
我们令
θ1=θ2=θ, α=max {a , b }<1, f="" 1(t="" ,="" v="" )="v" θ(t="" ),="" g="" (u="" )="μu" a="" h="" (u="" )="a" -b="">1,>
所以0<><1,>1,>
f 1(t , lv ) =l v (t ) =l f 1(t , v ), ?f 1(s ,1) ds =?dz <>
θθθ
1
1
g (lu ) =μl a u a ≥l αg (u ), h (l -1u ) =l b u -b ≥l αh (u ).
?l ∈(0,1)
u , v >0
应用定理2.1此方程组有唯一正解(u *, v *) .
结 语
本论文第二章, 利用混合单调算子的不动点定理证明了四阶奇异非线性方程组(4-1,1)边值问题正解的存在唯一性.
和前人的工作相比, 本文的主要特点在于利用了混合单调迭代算子, 通过非线性方程边值问题的Green 函数构造锥,将微分方程转化成等价解的Fredholm 积分方程,利用锥上的不动点定理给出四阶奇异非线性方程组(4-1,1)边值问题正解的存在唯一性的一个充分条件.
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致 谢
行文至此,我的这篇论文已接近尾声;岁月如梭,我四年的大学时光也即将敲响结束的钟声. 在本论文的写作过程中,我在学习上和思想上都受益颇多. 这除了自身的努力外,与老师和同学的关心是分不开的,正是由于他们,我才能在各方面取得显著的进步。在这里特别要感谢苑老师,本文是在导师苑成军老师的悉心指导下完成的, 从最初的资料收集,论文的具体写作到论文的修改,老师都悉心指导,每次都一遍又一遍地指出每篇稿中的具体问题,严格把关,苑老师热情的指导和帮助,苑老师严谨的学风、广博的知识和诲人不倦的品格给我留下极为深刻的印象,使我深深受益,无论是做学问还是做人,导师都是我一生学习的典范,从论文的选题到论文的写作无不凝聚着导师辛勤的汗水和心血,没有苑老师精心的指导, 难以想象我能够单独完成我的毕业论文,尤其是当我在完成论文的过程中遇到困难时,导师给与的鼓励将永远激励我,在此向苑老师表示衷心的感谢和最诚挚的敬意,祝福老师身体健康,生活幸福!写毕业论文是一次再系统学习的过程,毕业论文的完成,同样也意味着新的学习生活的开始。四年的时间在我漫长的人生旅途中是那么的短暂,但却是最纯真的岁月,我的自学能力在这里得到提升. 最后,感谢我的家人,我的老师们,你们辛苦了!
范文五:非线性方程组数值解法
正文n个变量n个方程(n >1)的方程组表示为
(1)
式中?i(x1,x2,…,xn)是定义在n维欧氏空间Rn 的开域D上的实函数。若?i中至少有一个非线性函数,则称(1)为非线性方程组。在Rn 中记
?=
则(1)简写为?(尣)=0。若存在尣*∈D,使?(尣*)=0,则称尣*为非线性方程组的解。方程组(1)可能有一个解或多个解,也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟,现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外,一般不能用直接方法求得精确解,目前主要采用求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣*的迭代序列{尣k}(k=0,1,…),即可得到求解非线性方程组的各种迭代法,其中最著名的是。
牛顿法及其变形牛顿法基本思想是将非线性问题逐步线性化而形成如下迭代程序:
(2)
式中
是?(尣k)的,尣0是方程(1)的解尣*的初始近似。
这个程序至少具有2阶收敛速度。由尣k算到尣k+的步骤为:①由尣k算出?(尣k)及
;②用直接法求线性方程组
的解Δ尣k;③求
。
由此看到迭代一次需计算n个分量函数值和 n2个分量偏导数值,并求解一次n阶线性方程组。
为了评价非线性方程组不同迭代法的优劣,通常用效率
作为衡量标准,其中P为迭代法的收敛阶,W为每迭代步计算函数值?i及偏导数值
的总个数(每迭代步中求一次逆的工作量相同,均不算在W 内)。效率e越大表示此迭代法花费代价越小,根据效率定义,牛顿法(2)的效率为
。
牛顿法有很多变形,如当
奇异或严重病态时,可引进阻尼因子λk,得到阻尼牛顿法,即
式中I是单位矩阵。牛顿法是方法,因而对初始近似尣0限制较严,为放宽对尣0的要求,扩大收敛范围,通常可引进松弛因子ωk,得到牛顿下降法:
(3)
式中ωk的选择应使
成立。
为减少解线性方程组次数,提高效率,可使用修正牛顿程序
(4)
这种算法也称为萨马斯基技巧,它的收敛阶为 p =m+1,由尣k 计算
的工作量为W =n2+mn,于是该法的效率
。当n=10,m=7时,
当n=100,m=37时,
,由此看到修正牛顿法(4)比牛顿法效率高,且m 越大效果越明显。
在计算机上往往采用不计算偏导数的离散牛顿法,即
(5)
式中
,
其中ej为,
,若取
,则(5)仍具有2阶收敛速度。其效率与牛顿法相同。
若在牛顿法(2)中解线性方程组不用直接法,而采用迭代法则得到一类解非线性方程组的双重迭代法。按解线性方程组采用的方法不同就得到不同名称的迭代法,如牛顿-迭代法,牛顿-迭代法,牛顿-ADI迭代法,等等。这些方法都具有速度,工作量也比牛顿法大,除了对某些特殊稀程组外,通常用得校少。若将解线性方程组迭代法的思想直接用于非线性方程组(1),然后把(1)化为一维方程求解,可得到另一类双重迭代法,由于采用的迭代法与解一维非线性方程的方法不同,则得到不同的双重迭代法。如果利用SOR迭代法后再用牛顿法解一维方程则得SOR-牛顿迭代法,在牛顿法中只计算一步而不进行迭代,则得一步的SOR-牛顿迭代,其计算公式可表示为
式中记号嬠i?i表示
;ω为迭代参数,当ω=1时就是赛德尔-牛顿迭代法,这类方法对解维数高的稀疏的非线性方程组是有效的。
割线法若对方程组 (1)线性化时使用插值方法确定线性方程组
(6)
中的Ak和bk,则可得到一类称为割线法的迭代序列。假定已知第k步近似尣k,为确定Ak和bk,可在尣k附近取n个辅助点у忋(j=1,2,…,n),使n个向量
线性无关,由插值条件可知
由此可求得
由(6)解得
以此作为方程 (1)的新近似,记作
,于是得到
(7)
(7)称为解非线性方程组的割线法。辅助点у忋 取得不同就得到不同的割线法程序,例如取
为常数(j=1,2,…,n),就得到与(5)相同的程序,由于它只依赖于尣k点的信息,故也称一点割线法,若取
它依赖于点尣k及
, 称为两点割线法。其他多点割线法由于稳定性差,使用较少。
布朗方法布朗采用对每个分量方程 ?i(尣)=0逐个进行线性化并逐个消元的步骤,即在每迭代步中用三角分解求线性方程组的解,得到了一个效率比牛顿法提高近一倍的迭代法,即
式中
(8)中当i=n时求得xn记作
,再逐次回代,求出
(i=n-1,n-2,…,1)就完成了一个迭代步。布朗迭代程序的敛速仍保持p=2,而每一迭代步的工作量
,故效率
对这方法还可与牛顿法一样进行改进,得到一些效率更高的算法。这类方法是70年代以来包中常用的求解非线性方程组的算法。
拟牛顿法为减少牛顿法的计算量,避免计算雅可阵及其逆,60年代中期出现了一类称为拟牛顿法的新算法,它有不同的形式,常用的一类是秩1的拟牛顿法,其中不求逆的程序为
式中
,
,
,称为逆拟牛顿公式。计算时先给出尣0及 B0,由(9)逐步迭代到满足精度要求为止。每步只算 n个分量函数值及O(n2)的计算量,比牛顿法一步计算量少得多。理论上已证明,当尣0及B0选得合适时,它具有超线性收敛速度,但实践表明效率并不高于牛顿法,理论上尚无严格证明。
最优化方法求方程组 (1)的问题等价于求目标函数为
的极小问题,因此可用无约束最优化方法求问题(1)的解(见)。
连续法又称,它可以从任意初值出发求得方程组(1)的一个足够好的近似解,是一种求出好的迭代初值的方法。连续法的基本思想是引入参数 t∈【0,b】,构造算子H(尣,t),使它满足条件:H(尣,0)=?0(尣),H(尣,b)=?(尣),其中?0(尣)=0的解尣0是已知,方程:
(10)
在t∈【0,b】上有解尣=尣(t),则尣(b)=尣*就是方程(1)的解。当b有限时,通常取b=1,例如可构造。
(11)
这里尣0是任意初值,显然H(尣0,0)=0,H(尣,1)=?(尣)。为了求得(10)在t=1的解尣*=尣(1),可取分点0=t0t1tN=1在每个分点ti(i=1,2,…,N)上,求方程组 H(尣,ti)=0 (i=1,2,…,N) (12)
的解尣i,如果取尣i-1为初值,只要
足够小,牛顿迭代就收敛,但这样做工作量较大。已经证明,如果方程组(12)只用一步牛顿法,当t=tN=1时,再用牛顿迭代,结果仍具有2阶收敛速度。以(11)为例,得到连续法的程序为:
若H(尣,t)的偏导数Ht(尣,t)及
在D×【0,1】嶅R
上连续。且
非奇异,则由(10)对t求导可得到等价的微分方程初值问题:
(13)
于是求方程(10)的解就等价于求常微初值问题(13)的解,求(13)的解可用数值方法由t=0计算到t=tN=b得到数值解
。已经证明只要N足够大,以尣N为初值再进行牛顿迭代可收敛到方程(1)的解x*,这种算法称为参数微分法。
20世纪60年代中期以后,发展了两种求解非线性方程组(1)的新方法。一种称为区间迭代法或称区间牛顿法,它用区间变量代替点变量进行区间迭代,每迭代一步都可判断在所给区间解的存在惟一性或者是无解。这是区间迭代法的主要优点,其缺点是计算量大。另一种方法称为或称单纯形法,它对求解域进行单纯形剖分,对剖分的顶点给一种恰当标号,并用一种有规则的搜索方法找到全标号单纯形,从而得到方程(1)的近似解。这种方法优点是,不要求?(尣)的导数存在,也不用求逆,且具有性,缺点是计算量大。 [1]
参考书目J.M.Ortega and W.G.Rheinboldt,Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several variables,Academic Press,New York,1970.
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