范文一:线段和差证明
线段和差证明
学习目标
1、利用三角形有关性质证明线段之和与线段之差
2、掌握截长补短求线段和与差
典例1、已知 三角形ABC中,AD平分∠BAC,∠B=2∠C,
求证:AB+BD=AC.
练习:已知 如图A B∥DC, BE、CE平分∠ABC和∠BCD,且点E在AD上, 求证:DC+ AB = BC.
典例2、ABC中,AD⊥BC于点D ,∠B=2∠C,求证:AB+BD=DC.
练习2:如图所示已知 △ABC中,?C?90,AC=BC,AD是∠BAC的
角平分线.求证:AB=AC+CD.
巩固练习
1. 已知:如图,在△ABC中,∠B和∠C的角平分线BD、CD相交于一点D,过D点作EF∥
AC与点F。求证:EF=BE+CF
2:所示已知 △ABC中,AB=AC,P是底边上的任意一点,PE⊥AC,
PD⊥AB,BF是腰AC上的高,E、D、F为垂足。
求证:①PE+PD=BF
3. 如图2—1—8所示已知△ ABC中,?ACB?90,AC=BC,E是AB上的一点, BD⊥CE,AF⊥CE,垂足分别为D、F, 求证:DF+AF=DB.
(2)当CF转到图2位置时,请探索AF、DF、和DB三者之间的关系。
(3)当CF转到图3位置时,请探索AF、DF、和DB三者之间的关系。 0
范文二:线段和差证明
授课教案
热身训练
寻求中点证明线段“倍”的问题
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90o,BD是中线,AF⊥BD,F为垂足,过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E.⑴求证:∠ABD=∠FAD;⑵求证:AB=2CE.
学 案
B
E
F
A
D
C
例1.如图,已知△ABC中,∠BAC=90 o,AB=AC,点P为BC边上一动点(BP<CP),分别过B、C作BE⊥AP于E,CF⊥AP于F. ⑴求证:EF=CF-BE; ⑵若点P为BC延长线上一点,其它条件不变,则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.
A
A
F
B
P
C
B
C
P
CE分别平分?ABC和.?ACB,?A?60,例2. (06年北京中考题)已知?ABC中,BD、BD、
CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明.
A
E
O
D
BC
例3. 如图2-9所示.已知正方形ABCD中,M为CD的中点,E为MC上一点,且∠BAE=2∠DAM.求证:AE=BC+CE.
例4.E为正方形ABCD的边BC的中点,AE平分∠BAF,求证:AF=BC+CF.
如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E为AD中点,求证:BC=AB+CD.
已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:
BE+DF=AE.
AD
F
B
C
E
范文三:线段和差证明
授课教案
教学标题 线段和差的证明方法
教学目标 熟练掌握截长补短法在全等三角形中的应用.
教学重难点 重点掌握利用截长补短法添加辅助线的方法.
上次作业检查
授课内容:
一(热身训练 B寻求中点证明线段“倍”的问题
o如图,在?ABC中,AB=AC,?BAC=90,BD是中线,AF?BD,F
E为垂足,过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E.?求证:?ABD=
F?FAD;?求证:AB=2CE.
ADC二(知识梳理
三条线段之间的和差问题一般通过全等转化为两线段相等的问题
? 等量代换法:a=b-c(a,b,c三条线段不在同一条直线上,通过等量代换将b、c
转换成同一条直线上的e,f,且使a=e-f)
? 截长补短法:a=b+c
截长法:将较长的线段a分成两部分,一部分作图使e=b,另一部分证明f=c,
且a=e+f.
补短法:将较短的线段b延长,构建出一个b+c=d来,然后利用全等证明a=d
即可.
三(典型例题
o例1.如图,已知?ABC中,?BAC=90,AB=AC,点P为BC边上一动点(BP,CP),分别过B、C作BE?AP于E,CF?AP于F. ?求证:EF=CF-BE; ?若点P为BC延长线上一点,其它条件不变,则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系,画图并直接写出你的结论.
A
A
F
PCBBPCE
分析:通过全等, 把AE转换成CF,AF转换成BE即可.图形发生改变,结论一般发生改变,但是证明的思路是不发生太大改变的.
,,,A6006,ABCCE,ABC.,ACB例2. (年北京中考题)已知中,,、分别平分和,、BDBDCEOCDBC交于点,试判断、、的数量关系,并加以证明( BE
AA
EEDDOO14
23
BCBFC 分析:通过测量可猜出:,利用截长补短法证明此结论. BECDBC,,
理由是:在上截取,连结, BCOFBFBE,
利用证得?,?, SAS,BEO,BFO,,,12
1,,,,,DOE120?,?,?, ,,:A60,,,,,BOCA901202
,,,,,,,13180,,,,ADOE180,,,,AEOADO180?,?,?,
,,,,,24180?,?,?, ,,,34,,,12
利用证得?,?,?( AAS,CDO,CFOCDCF,BCBFCFBECD,,,,
例3. 如图2-9所示(已知正方形ABCD中,M为CD的中点,E为MC上一点,且?BAE=2?DAM(求证:AE=BC+CE(
分析:证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两种: (1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(),再证所构造的线段与求证中那一条线段相等( BCCE,
(2)通过添辅助线先在求证中长线段()上截取与线段中的某一AE
段(如)相等的线段,再证明截剩的部分与线段中的另一段BC
()相等(我们用(1)法来证明( CE
例4.E为正方形ABCD的边BC的中点,AE平分?BAF,求证:AF=BC+CF. 分析:?倍长中线,补短法,延长AE、CD交于点M;?补全角平分线的基本图形,截长法,连接EF,过点E作EM?AF.
四(课堂练习
见学案
五(课后反思:
1.线段和差关系的证明方法;2.截长补短法的应用.
学 案
热身训练 B寻求中点证明线段“倍”的问题 o如图,在?ABC中,AB=AC,?BAC=90,BD是中线,AF?BD,F为
E垂足,过点C作AB的平行线交AF的延长线于点E.?求证:?ABD=?FAD;
F?求证:AB=2CE.
ADC
o例1.如图,已知?ABC中,?BAC=90,AB=AC,点P为BC边上一动点(BP,CP),分
、C作BE?AP于E,CF?AP于F. ?求证:EF=CF-BE; ?若点P为BC延长线上别过B
一点,其它条件不变,则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系,画图并直接写出你的结论.
A
A
F
PCBBPCE
,,,A6006,ABCCE,ABC.,ACB例2. (年北京中考题)已知中,,、分别平分和,、BDBDCEOCDBC交于点,试判断、、的数量关系,并加以证明( BE
A
E DO
BC
例3. 如图2-9所示(已知正方形ABCD中,M为CD的中点,E为MC上一点,且?BAE=2?DAM(求证:AE=BC+CE(
例4.E为正方形ABCD的边BC的中点,AE平分?BAF,求证:AF=BC+CF.
如图,AB?CD,BE平分?ABC,CE平分?BCD,点E为AD中点,求证:BC=AB+CD.
已知:如图,ABCD是正方形,?FAD=?FAE. 求证:BE+DF=AE. AD
F
BCE
范文四:线段和差问题证明
线段的和差证明的问题
如图,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE于E,AD⊥CE于D,求证:DE=AD-BE
已知在△ABC中,∠B=60°,AD、CE分别平分∠BAC和∠BCA,求证:AE+CD=AC
A
在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,AD为角平分线交CB于点E,AD⊥CD,请判断线段CD与AE的数量关系,请说明理由
C
已知在△ABC中,∠B=2∠C,∠BAC的平分线AD交BC于点D,求证:AB+BD=AC
如图,在正方形ABCD中,点E在BC上移动,∠EAF=45°,AF交CD于F,连接EF,求证:BE+DF=EF
变式:已知AF平分∠DAE,求证:AE=BE+DF
变式:已知EF=BE+DF,求证:∠EAF=45°
如图,点A、B、C、D顺次在⊙O上,AB=BD,BM⊥AC,垂足为M,求证AM=DC+CM
已知在△ABC的BC边上取两点D、F,使BD=FC,过D、F分别作BA的平行线,依次交AC于E、G,求证:AB=ED+GF
B
如图,已知△ABC和△BED都是等边三角形,且A、E、D在一条直线上,求证:AB=BD+CD
C
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠BAD和∠ABC的平分线交于E,且CD过点E,求证:AB=AD+BC
如图,已知在△ABC中,∠A=108°,AB=AC,∠B的平分线交AC于D,求证:AC+CD=BC
B
在四边形ABCD中,对角线AC平分∠DAB
1)如图1,当∠DAB=120°时,∠B=∠D=90°时,求证:AB+AD=AC
2)如图2.当∠DAB=120°时,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想并证明
3)如图3,当∠DAB=90°时,∠B与∠D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想并证明
△ABC为等边三角形,点D为BC边上一点,连接AD,以AD为边作等边△ADE(图1),连接CE,易证:CE+DC=AC.当点D在BC延长线(或反向延长线)上时,其他条件不变,如图2、3两种情况下,上述结论是否成立?若成立,给予证明。若不成立,请写出CE、DC、AC之间的关系,并证明
范文五:线段和差的证明
线段和差的证明与运用 1、(朝阳)如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF=45°,则有结论EF=BE+FD成立;
(1)如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且∠EAF是∠BAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明?若不成立,请说明理由。 (2)若将(1)中的条件改为:在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠D=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得∠EAF仍然是∠BAD的一半,则结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明。
D
2.(宣武)在四边形ABCD中,对角线AC平分?DAB.
oo
(1)如图1,当?DAB?120,?B??D?90时,求证:AB?AD?AC;
(2)如图2,当?DAB?120,?B与?D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明;
(3)如图3,当?DAB?90,?B与?D互补时,线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想,并给予证明.
C
D AB 图1
o
o
C
D
DA
B
图3
A图2
B
3、(2007哈尔滨)如图1,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,AF平分?BAC,交BD于点F. (1)求证:EF?
1
AC?AB; 2
A出发,沿着BA的(2)点C1从点C出发,沿着线段CB向点B运动(不与点B重合),同时点A1从点
延长线运动,点C1与A当动点C1停止运动时,另一动点A如图2,A1F11的运动速度相同,1也随之停止运动.
BD于点F1,过点F1作F1E1?AC平分?BAC11,垂足为E1,请猜想E1F11,交1,
的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在(2)的条件下,当A1E1?3,C1E1?2时,求BD的长.
1
A1C1与AB三者之间2
B图1
D
A
A
D
B图2
(第3题图)
1
4、 如图1,在平面直角坐标系中,以坐标原点O为圆心的⊙O的半径为2?1,直线l:y??x?2与
坐标轴分别交于A、C两点,点B的坐标为(4,1),⊙B与x轴相交于点M. (1)求点A的坐标及∠CAO的度数;
(2)⊙B以每秒1个单位长度的速度沿x轴负方向平移,同时,直线l绕点A顺时针匀速旋转.当⊙B第一次与⊙O相切时,直线l也恰好与⊙B第一次相切.问:直线AC绕点A每秒旋转多少度? (3)如图2,过点A、O、C三点做⊙O1,点E是劣弧AO上一点,连接EC,EA,EO,当点E在劣弧AO
上运动时( 不与A,O两点重合),明理由.
EC?EA
的值是否发生变化?如果不变,求其值;如果变化,说
EO
图
图