范文一:不可逆过程 与可逆过程的熵变是否相同 为什么
不可逆过程 与可逆过程的熵变是否相
同 为什么
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范文二:不可逆过程中熵变问题的讨论
2010年第3期(总第72期)
牡丹江师范学院学报(自然科学版)
JournalofMudanjiangNormalUniversityNo.3,2010TotalNo72
不可逆过程中熵变问题的讨论
吴春雷,刘 力
(牡丹江师范学院物理与电子工程学院,黑龙江 牡丹江 157012)
摘 要:对理想气体的熵变、热传递过程中物体的熵变以及热源的熵变、相变过程中的熵变进行了分析与
讨论,归纳总结出几个比较典型的不可逆过程中热力学系统熵变的计算方法,以解决熵概念理解及熵变的计算问题.
关键词:不可逆过程;熵;相变;熵变
[中图分类号]O302 [文献标志码]A [文章编号]100326180(2010)0320013202
热力学系统处于某一平衡态时具有一状态函数熵与之对应,系统初态a与终态b两态的熵变态时热温比的积分.等式推出的,,.
初末态a,b算有三种方法:一是根据熵是态函数与所经路径无关的原理,利用连接相同初末状态的可逆过程熵变与不可逆过程熵变相同的特点,设计一个连接相同初末态的任一可逆过程计算熵变;二是计算出熵作为状态参量的函数形式,再以初、末两状态参量代入,计算熵的变化.三是查图表计算初末两态熵之差.下面针对前两种方法进行实例分析.
=vRV1
V2
1
v1
,而对于气体当以(,(V,T)(p,V)为变量时,熵变公式是已知的,由此根据公式直接求出熵变,避免寻找不可逆过程.
解法2 根据理想气体以(V,T)为参量时的熵变表达式,
S2-S1=vCv,mln
+vln,T1V1
=0,T1
初状态为(V1,T1),末状态为(V2,T2).因为T1=T2,所以vCv,mln
S2-S1=vln
1 几种典型不可逆过程中熵变的计算
1.1 理想气体的熵变计算
=vRln2.V1
1.2 热传递过程中的熵变计算
1.2.1 热传递过程中物体的熵变计算
例2 在压强保持恒定的条件下,通过加热
例1 一容器被一隔板分隔为体积相等的两
部分,左边充有v摩尔理想气体,右边是真空,试问将隔板抽掉,经自由膨胀后,系统的熵变是多少?
分析 例1是气体自由膨胀过程,不可逆.可把气体看作一个热力学系统,此系统与外界没有能量和物质的交换,是一个孤立系统,即Q=0;气体没有对外做功,外界也没有对气体做功,即W=0.根据热力学第一定律可知,气体的内能不变,ΔU=0.因理想气体的内能是温度的函数,故温度不变,所以气体是等温条件下进行的自由膨胀过程,故可用一个等温的可逆过程代替不可逆的自由膨胀过程来计算熵变.
解法1 因为等温过程内能变化为零,即dU=0,根据热力学第一定律dU=-pdV,故Q=pdv,所以熵变
22S2-S1=∫=∫11
T
T
收稿日期:2010203227
使一质量为m的物体的温度由T1升至T2,设定
压比热为cP,求该物体熵的变化.
解 物体的加热过程,一般不一定为可逆过程.但是,由于熵是态函数,熵的变化只决定于初末两态,与具体过程无关.设想该物体在定压条件下,与恒温热源T1+dT接触,这时在温差无限小的物体与热源间进行热传导,物体吸收热量mcpdT,温度变为T1+dT,然后再与热源T1+2dT接触,如此进行下去,无限缓慢地经过一系列平衡的中间状态直到物体温度达到T2为止,故温差无限小的热传导过程可视为可逆过程.
物体在温度为T时,缓慢吸收热量Q,温度升高dT,则物体熵增量为dS,
()dS==.
T
T
在此设想的可逆过程中,物体与一系列的热
?13?
2010年第3期(总第72期)
牡丹江师范学院学报(自然科学版)
JournalofMudanjiangNormalUniversityNo.3,2010TotalNo72
源接触,每一微小变化过程物体的熵变依次为
()dS1==,
T1T1
()dS2==,
T1+dTT1+dT
…整个过程物体的熵变
ΔS=mcp+mcp+mcp+…
T1T1+dTT1+2dTT2
T1mcp=∫
T
=mcpln
1T1
1.2.2 热传递过程中热源的熵变计算
例3 设热量Q从温度为T1的高温热源传
到温度为T2的低温热源,求两热源的熵变分别为多少?
解 热量QT1T2过程,.高温热源T1将热量Q传给另一温度为T1-dT的热源,这里dT→0,此过程为可逆过程.也可设想一温度为T1的理想气体系统与温度为T1的热源相接触,使理想气体发生可逆等温膨胀,从热源T1吸取热量Q.由此可求得高温热源熵变
()
ΔS1=()可逆=可逆=-<>
T1
T1
T1
时为正,放出热量时为负.所以对于热传导过程中
热源的熵变直接用热源的吸放热数值除以热源的温度即为热源的熵变,吸收热量时熵增加,放出热量时熵减小.1.2.3 相变过程的熵变计算
例4 已知在p=1.0atm,T=273.15K,冰融化为水时,熔解热lm=80cal/g,求1kg的冰化为水时,熵的变化.
解 在一个大气压下冰水共存的温度为T=273.15K,设想有一恒温热源,其温度比T=273115K大一无穷小量,令冰水系统与这热源接触,不断从热源吸取热量以使冰逐渐融化,由于温差为无穷小,状态变化过程进行得无限缓慢,过程,温度为T=15K,其熵变可计算2-S1=
∫
1
2
T
=
Q==TTT
1
2
=
=293cal/K
273.15
由于相变过程中温度不变,所以相变过程熵变可直接用相变过程吸收或放出的热量数值除以相变温度即可,吸收热量熵增加,放出热量熵减小.
2 讨论
通过对以上问题的探讨可知,计算不可逆过程的熵变,首先应分析不可逆过程是什么“量”不变的情况下发生的(例1、例3、例4中温度不变,例2中压强不变),然后用一个连接初、终两态的该不变“量”的可逆过程来计算熵变.寻求能够代替不可逆过程的可逆过程是难点,在学习中一定要掌握怎样将一个连接初末状态的不可逆过程变成可逆的过程,在掌握这一问题后,不可逆过程系统的熵变计算问题便会迎刃而解.
高温热源放热,所以熵减小.同理,低温热源T2,熵变ΔS2=
>0,低温T2
热源放热,所以熵增加.
在求解热源的熵变时由于热源温度不变,而对于的积分,可将温度提到积分号的外面,所
T
以ΔS=
()
可逆.而(Q)可逆=±Q,吸收热量
T
参考文献:
[1]李玉山.熵的本质与宇宙生命创造演化[J].前沿科学,2008
(3):281[2]敬仕超,马誉安.浅议如何从“熵”概念的发展、演变中领悟“熵”的全面内涵[J].工科物理,1998(1):141[3]王可达,张之翔.熵的定义和物理意义[J].汕头大学学报:自然科学版,1997(2):151[4]郑友进.有关温度的几个问题[J].牡丹江师范学院学报:自然
科学版,2003(2):151[5]于水.熵概念的产生、演变及其在热力学领域中的研究发展
[J].牡丹江师范学院学报:自然科学版,1997(2):151[6]胡亚联.关于“热力学第二定律与熵“的教学探讨[J].物理与
工程,2002(6):151
[7]李复,高炳坤.热力学第二定律理论体系的讨论[J].大学物
理,2000(4):201
编辑:琳莉
?14?
范文三:关于不可逆过程熵变的计算规律的探讨
关于不可逆过程熵变的计
算规律的探讨
1 熵
1.1熵概念的引入
1.1.1“熵”的定义
1854 年克劳修斯[2]在《论热的动力理论的第二原理的另一形式》论文中根据热力学第 一定律和理想气体的状态方程得出:在循环过程中发生的所有转化的等效值是积分
dQdT 他指出:对于可逆循环过程:
dQ=0 dT可逆
对于不可逆循环过程:
dQ<0>0>
其中dQ是系统从热力学温度为T 的热源中所吸收的热量[3]。
1865 年在《关于热的动力理论的主要公式的各种应用上的方便的形式》一文中克劳修斯提出了熵的概念[4]。关于可逆过程,克劳修斯指出:“如果物体从任意一个初态开始 连续地经过任意的一系列状态又回到初态时,积分
dQdT=0
dQ 必定是一个量的全微分,这个量只与物体当时所处的状态有dT
关而与物体到达这个状态所经过的过程无关。如果用S 表示这个量,则可以规定:
dQds=” 克劳修斯把他引入的这一新的函数S 称为系统的熵,表示系统的‘转变含量dT
(transformation content)’,以表示对热的转化程度的测度[5]。由于S 是一个态函数,所以dS 沿任意可逆过程的积分等于S 的末态B 与初态 A之值的差,即: 那么积分号里的表示式
?S=SB-SA=dQ ?TA可逆B
如果是对于不可逆循环过程,则可证明:
?S=SB-SA=dQ ?TA不可逆B
即对于任意一个过程总满足:
?S=SB-SA≥dQ ?TAB
其中,等号对应于可逆过程,不等号对应于不可逆过程。在一切孤立系统中,物质与外界的热交换不存在,即 dQ=0,故有:
?S≥0
这就是著名的熵增加原理,也是热力学第二定律的定量的数学表达式,该式表明:对于一个孤立系统而言,可逆过程则熵值不变,不可逆过程则熵要增加。它的实质是阐明了热力学系统的不可逆性,如热传递的不可逆性或功热转换的不可逆性等。由此可见,熵是热力学系统自发变化的一个宏观描述量。
克劳修斯所引入的熵也称为“热力学熵”,对于系统给定的一个状态而言,谈论热力学熵S 的绝对值没有意义,但它从一个状态到另一个状态间的转变,却可以用来判断这种转变的正或负以及转变量的大小。热力学熵S 可以表示一个物质系统中能量的衰竭程度,是用以判别事物自发过程的一个状态函数,通过比较事物不同状态下系统的熵值大小,可以辩别出系统的转化方向。
1.1.2“熵”的命名
克劳修斯在选择“熵”这个名称时,曾写道:“在确定一些重要的科学量的名称时,我宁愿求助于古代的文字,这样做的目的是为了使这名称能在现有各种文字中表示同样的意思。”为熵S 命名时[6] ,他选用字义为“转变”的希腊语“τροπη” ,还要求熵S 在发音和字形上要与德文的能量“Energie”(英文为 Energy)相似,因此就用“Entropie”(英文为 Entropy)来命名熵。 其字根‘-tropy’源于希腊文‘转变’,前缀‘en-’取自‘能量’。
而 entropy 的中文译名源自著名物理学家胡刚复教授:1923 年德国物理学家普朗克(I·R·Planck)来中国南京讲学,胡教授为其翻译时,首次将其译为熵,渊源于 entropy 这个概念太复杂,况且这个词是克劳修斯所造,不容易找到一个与此贴切的字。鉴于此,胡
dQ先生就想到根据公式dS=,认为S为热量与温度之商,而且此概念与火(象征着热)有 T
关,于是在商字上加火字旁,构成一个新字“熵”。胡先生利用汉字以偏旁来表达字义的特色,贴切而又形象地表达了态函数“Entropy”的物理概念,从而使“熵”被广泛采用[2]。
1.2熵变的意义
在热力学中,熵是平衡态热力学的一个态函数,它的定义为
S=dQ+S0 ?T(可逆)12
其中,1和2是两个平衡态,积分路径沿着任意可逆过程,T为热源温度,dQ是某一微小过程中系统吸收的热量,这样定义的物理熵有以下几方面的意义[7]。
1.2.1熵增原理是热力学第二定律的数学表达式
系统由一种状态到另一种状态,在此过程中,必然伴随着熵值的改变。在热力学理论中,人们所指的熵变一般是指熵增加[8]。我们知道,可逆过程发生后,所产生的后果可以
完全消除而令一切恢复原状;而不可逆过程发生后,则用任何曲折复杂的方法都不可能令一切恢复原状。这一事实说明,过程是否可逆实际上是由初态和终态的相互关系决定的。而熵函数在初态和终态的数值可以用来判断过程是否可逆或不可逆,判断不可逆过程的自发方向,熵增加原理可以对过程的性质及方向进行判断。
熵增加原理:任何物理过程中各个参与者的总熵必定是要么增加,要么保持不变,熵不会减少,即?S孤≥0。
熵增加原理实际上预言了大多数过程是不可逆的——不能向相反方向进行[9],过程必定朝熵增加而不是熵减少的方向进行。这一原理告诉我们,在没有外界干预的条件下,系统自发地由有序趋于无序,最后达到热平衡。换言之,熵值越低,有序程度越大。随着熵增加,有序程度越来越低,最后完全变成无序状态。过去人们认为,对一个生物系统而言,熵增加原理应该自发地由有序变为无序,最后达到平衡态,也就是死亡。而生物进化论告诉我们,生物是进化的,可以由简单到复杂,有序程度可以越来越高。熵增加原理的应用是有条件的、有限的。
1.2.2熵在微观上表征系统内粒子的混乱程度
在统计物理中,由玻尔统计理论或量子统计理论都有如下关系式[10]
S=klnΩ
这就是著名的玻尔兹曼关系式。k是玻尔兹曼常数,Ω是系统的微观状态数。在宏观条件不变的情况下,系统具有大量的微观状态。当系统处于平衡时,微观态数越多,系统越混“乱”,熵就越大;否则,熵就越小。从微观意义上讲,熵是物质系统无序性和混乱度的量度。
平衡态体系内微观粒子无规则运动与非平衡态粒子运动相比混乱度更大,即当粒子无规则运动最乱、最无序时,才能使体系内部各处的温度、密度等性质达到均匀一致,以致最后趋向于平衡态,所以熵增加的过程,即孤立。系统由非平衡态趋向平衡态的过程,正是体系内微观粒子无规则运动由不太乱变得更加乱的过程。由此可见,熵的物理意义在微观上正是粒子无规则运动混乱程度(或无序程度)的量度,熵增加就是从有序向无序发展的过程。
1.2.3熵在宏观上表征能量分布的均匀程度
能量都是由于从非均匀分布倾向于均匀分布的过程中转化做功的,即要能量成为可利用能,即将能量用于作功,必须在一定的空间中造成能量密度的差异,使能量从高密度区流向低密度区,就可以获得功。能量分布越不均匀,有序度越高,则熵就越小,能量转化为功的效率越高。若能量分布已完全均匀,熵达到最大,这时不可能再发生能量从这一区转到另一区的宏观流,也就不能获得功。熵增加在宏观上,表征不可利用能的增加,即意味着有效能量的减小,时间永远向前运动,能量只能沿有效状态转化为无效状态的耗散方
向转化[11]。因此,我们说热力学第二定律(即熵增原理)是能量转化的“质”的定律,熵是时光之箭。
1.2.4熵在热力学中的“导演”作用
孤立系统的任何自发过程都是由非平衡态向平衡态,达到平衡态便不再变化了,因此平衡态时熵最大。熵函数极大值又可作为判定自发过程进行限度的准则,由此可以导出系统处于平衡态时的各种判据:
T、V一定时,dF≤0(自由能判据);
T、P一定时,dG≤0(吉普斯判据);
S、V一定时,dU≤0;
S、P一定时,dH≤0;
H、P一定时,dS≤0;
F、V一定时,dS≥0;
F、V一定时,dT≤0;
U、S一定时,dV≤0;
F、T一定时,dV≤0。
等号对应可逆过程,不等号对应不可逆过程。
2 熵变的计算 只有与外界交换能量而不能交换物质的系统,我们称为封闭系统。设封闭系统经过一无穷小过程,则热力学第二定律的数学表达式为
dQds≥ T
其中 ds是系统在过程中的熵变, T是系统所接触的热源的温度,dQ是系统在过程中从热源吸收的热量。等号对应于可逆过程,不等号对应于不可逆过程。
若过程是绝热的,则dQ=0,ds≥0
可见,当系统经绝热过程由一态到达另一态,它的熵永不减少;熵在可逆绝热过程中不变,在不可逆过程中增加。这个结论就是通常的熵增加原理[12]。
由熵增加原理可以推知:在绝热过程中,若熵不变,则过程可逆;若熵增加,则过程不可逆。因此,通过计算绝热过程的熵差,就可判断该过程是否可逆。但对于不绝热过程,这种方法就失效了,于是通常就把热源和所研究的系统结合在一起考虑,构成一个大的绝热系统,其中发生的过程就是绝热过程,然后通过计算大系统的总熵差来判断该过程是否可逆。具体计算方法:按定义,只有沿着可逆过程的热温熵总和才等于体系的熵变。当过程为不可逆时,则根据熵为一状态函数,体系熵变只取决于始态与终态而与过程所取途径无关;可设法绕道,找出一条或一组始终态与之相同的可逆过程,由它们的熵变间接地推
算出来。孤立系统的选择方法,如果非封闭系统,可以将环境和物体共同看成封闭系统。下面通过对不同的热力学过程的熵变的计算,找出熵变的计算规律。
2.1绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变
(1)问题提出一:
温度为0oC的1kg水与温度为100oC的恒温热源接触后,水温达到100oC。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变,应如何使水温从0oC升至100oC? 已知水的比热容为4.18J?g-1?K-1
问题分析:因为题中的热传导过程是不可逆过程,要计算水和热源的熵变,则必须设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算。
所以要计算水从0oC吸热升温至100oC时的熵变,我们设想一个可逆的等压过程:
373mCdT373水?S水=?=mC水ln=1000?4.18?0.312=1304.6J?K-1 273T273
对于热源的放热过程,可以设想一个可逆的等温过程:
?S热源=-Q放T=-1000?4.18?(373-273)=-120.6J?K-1 373
?S总=?S水+?S热源=184J?K-1
在0oC和100oC之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源,令水依次与这些温度递增的无限多个热源接触,由0oC吸热升温至100oC,这是一个可逆过程,可以证明。
?S热源=-?S水,故?S总=?S水+?S热源=0
问题提出二:
试计算热量 Q 自一高温热源T2直接传递至另一低温热源T2所引起的熵变。
问题分析:从题意可以看出这是一不可逆热传递过程,应设想另一组始终态相同的可逆过程替代它,才能由它们的热温商计算体系的熵变。为此,可以设想另一变温过程由无数元过程所组成,在每一元过程中体系分别与一温度相差极微的热源接触,热量是经由这一系列温度间隔极微的热[(T2-dT),(T2-2dT),(T2-3dT), ,(T2+2dT),(T2+dT), ]传递到环境去。这样的热传递过程当dT愈小时,则愈接近于可逆,则
?Q??Q?QQ ? ?+ ?S=-+- ? ??T2-dTT2??T2-2dTT2-dT?
?Q??QQQ??+ ?+ -- ? ??T1+dTT1+2dT??T1T1+dT?
?2-1?QQ?=-=Q ?T1T2?T1T2?
T2>T1,Q为正值
∴?S>0
可见若二热源直接接触并于外界隔离(绝热),则在此二热源间的热传导过程为一自发过程。
(2)结论:由以上两种实例,可以看出绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变计算:首先设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算,然后可采用假设一可逆过程求热温比积分的方法,对每一小部分依次与温差非常小的恒温热源接触,温差无限小的热传导过程可视为可逆过程。所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
2.2孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变
(1)问题提出一: 1均匀杆的温度一端为T1另一端为T2。 试计算达到均匀温度(T1+T2)后的熵增。 2
问题分析:当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时,其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算,这是因为熵是态函数。而本问题中,杆是从一非平衡态经历了热传导的不可逆过程,而到达一个平衡态。因此,设想下述可逆过程:把杆当作是无数无限薄的小段组成,每一个小段的初温各不相同,但都将具有相同的终温。我们再设想所有的小段互相绝热,并保持同样的压力,然后使每小段连续地跟一系列热源接触,这些热源地温度由各段的初温度至共同的终温度。这样就定出无数个可逆的等压过程,用来使该杆由初始的非平衡态变化到平衡态的终态。
我们考虑长为L的均匀杆,位于x处的体积元的质量为
dm=ρAdx
其中ρ及A分别为杆的密度及截面积,该段的热容量为
Cpdm=CpρAdx
最初的温度分布是线性分布的,而使x处的初温为
T-TTi(x)=T1-12x L
若无热量损失,并且为了方便起见,假设各小段的热传导率、密度和热容量都保持不变,则终温
Tf=T1+T2
2 该体积元的熵增为
TfTfdTCpρAdx?=CpρAdxln=CpρAdxlnTiTTi
沿整个杆积分,得熵的总变化等于 TfTT-T=-VpρAdx1-12x) T1-T2TfLTfT1-xL
利用积分公式 TT-T?S=-CpρA?1-1Lx)dx 0TfLTfL
?ln(a+bx)dx=
经积分并化简后,得到
?S=mCp(1+lnTf+1(a+bx)[ln(a+bx)-1] bT2T1T+TTlnT1-T2lnT2lnT2-lnT1)=mCp(ln12-+1). T1-T2T1-T22T1-T2
(2)结论:由以上实例,可以看出孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变计算:当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时,其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算,所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
2.3绝热系统内功热转化过程的熵变
(1)问题提出一:
10A的电流通过一个25Ω的电阻器,历时1s。①若电阻器保持为室温27oC,试求电阻器的熵增。②若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为27oC,电阻器的质量为10g,比热容cp为0.84J?g?K-1计算电阻器的熵增。
问题分析:①若电阻器保持一定温度,则它的状态不变,而熵是状态的函数,故知电阻器熵增为零,即?S=0。我们也可以这样考虑,电功转变为热,传人电阻器,同时此热量又由电阻器流入恒温器(比如是实验室)。因此,传入电阻器的净热量为零,故有?S=0。
②在这过程中,有电功转变为热,是不可逆过程。因为熵是态函数,我们设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。
电阻器终态的温度为Tτ,有Q=mCp(Tτ-Ti)
?S=?TTfiQ=0.24I2Rt=0.24?102?25?1=600(cal) 600+300=600(K) 得 Tf=10?0.2mCpdTTf600=mCpln=10?0.2?ln=1.386(K) TTi300
(2)结论:由以上实例,可以看出绝热系统内功热转化过程的熵变计算:物质的温度不变,则它的状态不发生改变,因为熵是状态函数,所以当电器的温度保持不变时,电器的净热量为零,故电器的熵增也为零。在这绝热系统内功热转化过程中,有电功转变为热,是不可逆过程。因为熵是态函数,应设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。
2.4不可逆过程和环境的熵变计算
如计算隔离体系的熵变,则需涉及环境,按原则,环境亦必须在可逆条件下吸热或放
热,常设想环境由一系列温度不同的热源组成,或称理想化环境,当体系放热时,则环境吸热;而体系吸热时则环境放热,故有如下关系:
δQ环境=-δQ体系
dS环境=δQ环境T环境=-δQ体系 T环境
?S环境=∑
(1)问题提出一: δQ环境T环境=-∑δQ体系T环境
试计算下列情况下,273.2K、2 摩尔理想气体由 2Xpθ压力降低至pθ压力时的体系熵变、环境熵变、隔离体系熵变——①可逆等温膨胀;②恒温恒外压膨胀,pe =pθ ;③自由膨胀。 问题分析:①可逆等温膨胀
?S体系=QRVp=nRln2=nRln1TV1p2
?pθ=2?8.314?lnθp
=11.53J?K-1
?S环境=QR环境T环境=-QRQ=-RT环境T
?S隔离=-11.53J?K-1=?S体系+?S环境
=11.53+(-11.53)
=0 ②恒温恒外压膨胀
QVp?S体系=R=nRln2=nRln1=11.53J?K-1TV1p2
(理想气体等温过程)
Q环境=-(Q体系)T=(W体系)T=-p2(V2-V1)
=-p2(nRTnRT-)p2p1
p2-1)p1 =nRT(
?S环境=Q环境TnRT(=2-1)p1p=nR(2-1)Tp1
而?S隔离1=2?8.314?(-1)2=-8.314J?K-1=?S体系+?S环境
=11.58-8.314
=3.22J?K-1>0 ③自由膨胀
?S体系=
?S环境QR=11.53J?K-1TQ0=环境==0T环境T
?S隔离=+?S环境
=11.58+0
=3.22J?K-1>0
三例比较,体系始终态相同,?S体系 为一恒值(11.53J?K-1)。在可逆情况下,体系将
热转变为功的效率达到最大;而当不可逆程度(不平衡情况)愈大时,热量的利用率愈低,转化为做功的能量愈少(也称有效能)。能量继续以热的形式留于隔离体系中的愈多,相应地隔离体系的熵值增加得愈多。(应该注意:本例属等温过程,在变温过程中熵值的变
δQR化应根据dS=决定!) T
问题提出二:
试计算在 101.325KPa 压力下,2 摩尔液态氨由 233.2K 转变为 473.2K 的氨气时体系的熵变。
问题分析:氨的正常沸点(101.325KPa 压力下的沸点)为 239.7K,在正常沸点下的摩尔汽化热?VapHm=23.26kJ?mol-1;液态和气态氨的摩尔平均热容分别为
Cp,m(NH3,l)=74.9J?mol-1?K-1和Cp,m(NH3,g)=25.89+33.00?10-3T-3.05?10-6T2(J?mol-1?K-1) 此过程为不可逆,计算体系熵变时必须由一组始终态相同的可逆过程替代之:
S(不可逆)NH3(液,101.325KPa,233.2K)??????→NH(气,101.325KPa,473.2K) 3
可逆↓?S1 可逆↓?S3
S(可逆)2NH3(液,101.325KPa,239.7K)?????→NH(气,101.325KPa,239.7K) 3
而体系熵变:
123
?S1=n?T2Cp,m(l)
TT1=nCp,m(l)ln
239.7
233.2T2T1=2?74.9?ln
=4.12J?K-1
2?23260=194.1J?K-1
T239.7
?vapHm2?23260?S2===194.1J?K-1
T239.7
473.2Cm,p(g)?S3=n?dT239.7T -3-62473.2(25.89+33.00?10T-3.05?10T)=2??dT239.7T
1.2=2?[25.89lnT+33.00?10-3T-?3.05?10-6T2]473
239.72
473.21=2?[25.89ln+33.00?10-3(473.7-239.7)-?3.05?10-6(473.72-239.72)]239.72
=2?[17.6+7.7-0.3]?S2==?vapHm
=50.0J?K-1
?S=4.12+194.1+50.0
=248.2J?K-1
(2)结论:由以上两种实例,可以看出不可逆过程和环境的熵变计算:首先设想环境由一系列温度不同的热源组成,当体系放热时,则环境吸热;而体系吸热时则环境放热,如果此过程为不可逆,计算体系熵变时可以由一组始终态相同的可逆过程替代,所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
3 总结
经过对上述例子的分析,我们可以得到以下计算规律:
第一,绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变计算:首先设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算,然后可采用假设一可逆过程求热温比积分的方法,对每一小部分依次与温差非常小的恒温热源接触,温差无限小的热传导过程可视为可逆过程。所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
第二,孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变计算:当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时,其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算,所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
第三,绝热系统内功热转化过程的熵变计算:物质的温度不变,则它的状态不发生改 - 10 -
变,因为熵是状态函数,所以当电器的温度保持不变时,电器的净热量为零,故电器的熵增也为零。在这绝热系统内功热转化过程中,有电功转变为热,是不可逆过程。因为熵是态函数,应设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。
第四,不可逆过程和环境的熵变计算:首先设想环境由一系列温度不同的热源组成,当体系放热时,则环境吸热;而体系吸热时则环境放热,如果此过程为不可逆,计算体系熵变时可以由一组始终态相同的可逆过程替代,所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
总之,在绝热过程中,若熵不变,则过程可逆;若熵增加,则过程不可逆。 因此,通过计算绝热过程的熵差,就可判断该过程是否可逆。 但对于不绝热过程,这种方法就失效了,于是通常就把热源和所研究的系统结合在一起考虑,构成一个大的绝热系统,其中发生的过程就是绝热过程,然后通过计算大系统的总熵差来判断该过程是否可逆。对于孤立系统熵变的一般计算方法:按定义,只有沿着可逆过程的热温熵总和才等于体系的熵变。当过程为不可逆时,则根据熵为一状态函数,体系熵变只取决于始态与终态而与过程所取途径无关;可设法绕道,找出一条或一组始终态与之相同的可逆过程,由它们的熵变间接地推算出来。孤立系统的选择方法,如果非封闭系统,可以将环境和物体共同看成封闭系统。所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
[参考文献]:
[1] 冯端,冯少彤. 熵的世界[M]. 科学出版社, 2005.
[2] 郭奕玲,沈慧君. 物理学史[M]. 清华大学出版社, 1993.
[3] 吴必栋,斯颂乐. 热学[M]. 上海科学技术出版社, 1983.
[4] 刘有菊. 熵概念的进一步深化[J]. 保山师专学报,2005(5).
[5] 张玉龙. 熵的讨论[J]. 浔阳师范高等专科学校学报,2005(6).
[6] 陈宜生, 刘书声. 谈谈熵[M]. 湖南教育出版社,1996.
[7] 王敬修. 论熵的物理意义[J]. 北京化工学院学报,1994(3).
[8] 李椿,章立源,钱尚武. 热学[M]. 高等教育出版社, 1978.
[9] 陈光旨. 热力学统计物理基础[M]. 广西师范大学出版社,1989.
[10] 汪志成. 热力学统计物理(第二版)[M]. 高等教育出版社,1978.
[11] 秦允豪. 热学[M]. 高等教育出版社,2002.
[12] 李昆. 熵增原理·负熵原理·人类演化[J]. 百科知识,1990(2).
- 11 -
范文四:不可逆过程和环境的熵变计算举例
关于不可逆过程熵变的计算规律的探讨
在多年的热力学统计物理的教学中,发现有关不可逆过程的熵变的计算始终是学生感觉比较难以接受的知识点,本人通过学习发现不可逆过程熵变的计算有一定的规律性,就把其进行了归纳,希望能被初学者借鉴。
对于孤立系统熵变的一般计算方法:按定义,只有沿着可逆过程的热温熵总和才等于体系的熵变。当过程为不可逆时,则根据熵为一状态函数,体系熵变只取决于始态与终态而与过程所取途径无关;可设法绕道,找出一条或一组始终态与之相同的可逆过程,由它们的熵变间接地推算出来。孤立系统的选择方法,如果非封闭系统,可以将环境和物体共同看成封闭系统。
不同的具体过程有不同的规律,大致分为: 1、绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变
⑴ 温度为0oC的1kg水与温度为100oC的恒温热源接触后,水温达
到100oC。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变,应如何使水温从0oC升至100oC? 已
-1-1
4.18J?g?K. 知水的比热容为
【答:?S
水
=1304.6J?K,?S
-1
热源
-1
=-1120.6J?K,?S
总
=
184J?K-1.】
解:题中的热传导过程是不可逆过程,要计算水和热源的熵变,则必
须设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算。
要计算水从0oC吸热升温至100oC时的熵变,我们设想一个可逆的等压过程:
?S水=?
373
mC水dTT
273
=mC水ln
373
=1000?4.18?0.312=1304.6J?K-1273
对于热源的放热过程,可以设想一个可逆的等温过程:
?S热源=-
Q放T
=-
1000?4.18?(373-273)
=-120.6J?K-1
373
o
?S总=?S水+?S热源=184J?K-1
o
在0C和100C之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源,令水依次与这些温度递增的无限多个热源接触,由0oC吸热升温至100oC,这是一个可逆过程,可以证明
?S热源=-?S水,故?S总=?S水+?S热源=0
〔2〕 试计算热量 Q 自一高温热源 T2 直接传递至另一低温热源 T1 所引起的熵变。
〔解〕 从题意可以看出这是一不可逆热传递过程,应设想另一组始终态相同的可逆过程替代它,才能由它们的热温商计算体系的熵变。为此,可以设想另一变温过程由无数元过程所组成,在每一元过程中体系分别与一温度相差极微的热源接触,热量是经由这一系列温度间隔极微的热源〔(T2-dT),(T2-2dT),(T2-3dT),……,(T1+2dT),(T1+dT),……〕传递到环境去。这样的热传递过程当 dT 愈小时,则愈接近于可逆,则
可见若二热源直接接触并于外界隔离(绝热),则在此二热源间的热传导过程为一自发过程。
2、孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变
均匀杆的温度一端为T1,另一端为T2. 试计算达到均匀温度
1
(T1+T2)2后的熵增。
解:当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态 时,其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算,这是因为熵 是态函数。而本问题中,杆是从一非平衡态经历了热传导的不可逆过 程,而到达一个平衡态。因此,设想下述可逆过程:把杆当作是无数 无限薄的小段组成,每一个小段的初温各不相同,但都将具有相同的 终温。我们再设想所有的小段互相绝热,并保持同样的压力,然后使 每小段连续地跟一系列热源接触,这些热源地温度由各段的初温度至 共同的终温度。这样就定出无数个可逆的等压过程,用来使该杆由初 始的非平衡态变化到平衡态的终态。
我们考虑长为L的均匀杆,位于x处的体积元的质量为 dm=
ρAdx
其中ρ及A分别为杆的密度及截面积,该段的热容量为
Cpdm=CpρAdx
最初的温度分布是线性分布的,而使x处的初温为
Ti(x)=T1-
T1-T2
xL
若无热量损失,并且为了方便起见,假设各小段的热传导率、密度和热容量都保持不变,则终温
该体积元的熵增为
CpρAdx?
TfTi
Tf=
T1+T22
TfdT
=CpρAdxln=CpρAdxlnTTi
TfTT-T
=-VpρAdxln(1-12x)
T-TTfLTfT1-12x
L
T1T-TL
-1x)dxTfLTf
沿整个杆积分,得熵的总变化等于
?S=-CpρA?ln(
0L
利用积分公式
1
ln(a+bx)dx=(a+bx)[ln(a+bx)-1]?b
经积分并化简后,得到 T2T1T1+T2T1lnT1-T2lnT2
?S=mCp(1+lnTf+lnT2-lnT1)=mCP(ln-+1).
T1-T2T1-T22T1-T2
3、绝热系统内功热转化过程的熵变
10A的电流通过一个25Ω的电阻器,历时1s. (i) 若电阻器保持为室温27oC,试求电阻器的熵增。(ii) 若电阻器被一绝热壳包
-1
装起来,其初温为27oC,电阻器的质量为10g,比热容cp为0.84J?g?K,
问电阻器的熵增为何?
解:(1) 若电阻器保持一定温度,则它的状态不变,而熵是状态的函 数,故知电阻器熵增为零,即?S=0.我们也可以这样考虑,电功转变
为热,传人电阻器,同时此热量又由电阻器流入恒温器(比如是实验 室)。因此,传入电阻器的净热量为零,故有?S=0.
(2) 在这过程中,有电功转变为热,是不可逆过程。因为熵是态 函数,我们设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。 电阻器终态的温度为Tf,有Q=mCp(Tf-Ti), 及
22
Q=0.24IRt=0.24?10?25?1=600(cal)
得
Tf=
600
+300=600(K)
10?0.2
Tf
?S=?
mCpdTT
Ti
=mCpln
TfTi
=10?0.2?ln
600
=1.386(cal/K)300
4、不可逆过程和环境的熵变计算
如计算隔离体系的熵变,则需涉及环境,按原则,环境亦必须在可逆条件下吸热或放热,常设想环境由一系列温度不同的热源组成,或称理想化环境,当体系放热时,则环境吸热;而体系吸热时则环境放热,故有如下关系:
〔例1〕 试计算下列情况下,273.2K、2 摩尔理想气体由 2X降低至
压力
压力时的(a)体系熵变;(b)环境熵变;(c)隔离体系熵变
;(3)自由膨胀。
--(1)可逆等温膨胀;(2)恒温恒外压膨胀,pe=
〔解〕:
(1)
(2)
(3)
三例比较,体系始终态相同,ΔS体系 为一恒值(11.53J·K-1)。在可逆情况下,体系将热转变为功的效率达到最大;而当不可逆程度(不平衡情况)愈大时,热量的利用率愈低,转化为做功的能量愈少(也称有效能)。能量继续以热的形式留于隔离体系中的愈多,相应地隔离体系的熵值增加得愈多。(应该注意:本例属等温过程,在变温过程中熵值的变化应根据决定!)
〔例2〕 试计算在 101.325KPa 压力下,2 摩尔液态氨由 233.2K 转变为 473.2K 的氨气时体系的熵变。
氨的正常沸点(101.325KPa 压力下的沸点)为 239.7K,在正常沸点下的摩尔汽化热 Δ
Vapm
H=23.26kJ·mol1 ;液态和气态氨的
摩尔平均热容分别为 Cp,m(NH3,l)=74.9J·mol-1·K-1 和
Cp,m(NH3,g)=25.89+33.00x10-3T-3.05x10-6T2(J·mol-1·K-1) 。
〔解〕 此过程为不可逆,计算体系熵变时必须由一组始终态相同的可逆过程替代之:
而体系熵变:
范文五:关于不可逆过程熵变的计算规律的探讨(改)
毕 业 论 文
论 文 题目:关于不可逆过程熵变的计算规律的探讨 年级、专业: 2006级 物理学
姓 名: 辛立君 学 号: 2006631112 指 导 教师: 邱敏 职称: 教授 时 间:
黑河学院理化系
目 录
目 录 .......................................................................................................................................... I 中文摘要 ........................................................................................................................................ II 英文摘要 ....................................................................................................................................... III 前 言 ....................................................................................................................................... IV 1 熵 .......................................................................................................................................... - 1 -
1.1熵概念的引入 ................................................................................................................... - 1 -
1.1.1“熵”的定义 ................................................................................................................. - 1 -
1.1.2“熵”的命名 ................................................................................................................. - 2 -
1.2熵变的意义 ....................................................................................................................... - 2 -
1.2.1熵增原理是热力学第二定律的数学表达式 ............................................................ - 2 -
1.2.2熵在微观上表征系统内粒子的混乱程度 ................................................................ - 3 -
1.2.3熵在宏观上表征能量分布的均匀程度 .................................................................... - 3 -
1.2.4熵在热力学中的“导演”作用 .................................................................................... - 4 - 2 熵变的计算 .......................................................................................................................... - 4 -
2.1绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变 ............................................................... - 5 -
2.2孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变 ................................................................... - 6 -
2.3绝热系统内功热转化过程的熵变 ................................................................................... - 7 -
2.4不可逆过程和环境的熵变计算 ....................................................................................... - 7 - 3 总结 ................................................................................................................................. - 10 - 参考文献 .................................................................................................................................. - 11 - 致谢 .......................................................................................................................................... - 12 -
关于不可逆过程熵变的计算规律的探讨
摘要 “熵”这个概念容易让人感觉晦涩难懂,而一些常见热力学过程中熵变的计算更是让人无从着手。本文从绝热孤立系统的角度浅析了不可逆过程熵的计算方法,还根据熵的可加性计算了几个典型的相变过程和热传导过程热力学系统的熵增,并对计算结果进行了讨论。对于一些实际的不可逆过程,尤其是热传导过程,熵增可采用假设一可逆过程求热温比积分的方法,对每一小部分依次与温差非常小的恒温热源接触,温差无限小的热传导过程可视为可逆过程,进而总结出不可逆过程的计算规律。
关键词 熵变 孤立系统 绝热过程 可逆过程 不可逆过程
With regard to the irreversible process of the calculation of entropy
change of the law
Abstract "Entropy" concept easy to make people feel that obscure, but some of the common thermodynamic entropy calculation of the process is even more people to know where to begin。 In this paper, adiabatic isolated system analysis point of view of the irreversible process of entropy calculation, but also can be added according to the entropy calculation for several typical phase-change heat transfer process and the process of thermodynamic system, entropy increase, and the calculation results are discussed. For some real irreversible process, in particular the process of heat conduction, the entropy can be used by assuming a thermo-reversible process of seeking ways than the points, for each small part of the order with the temperature difference between a very small temperature heat source contacts infinitesimal temperature thermal conductivity process can be as a reversible process. Thus conclude that the calculation of the irreversible process of law.
Keyword Entropy increment Isolated system Adiabatic process Reversible process Irreversible process
前 言
熵概念的提出迄今为止已有近百年的历史,在这段时间里,大量的物理学家如克劳修斯、玻尔兹曼、普里高京等对熵理论的发展、应用等都作出了巨大的贡献,也正是因为他们的兴趣和努力使得熵理论得到了蓬勃的发展,至今仍有很强的生命力,其概念及理论正在一步步朝前发展,而且日益广泛地渗透到了许多的科技领域及日常生活中,成为现在的物理工作者们的研究热点。
熵概念是1865年克劳修斯在研究卡诺定理的基础上给出了克劳修斯不等式从而引入的,熵等于热温比,反映的是热量传递方向问题,熵增加原理说明的是能量退化规律。后来玻尔兹曼又从分子运动理论的角度,用统计的方法推导出熵的公式,确定熵是反应物质粒子混乱程度的物理量。
在热力学以至整个物理学中,熵是一个很重要的物理概念。它对于透彻理解和深入掌握热力学第二定律,以及了解物质世界演化过程都非常重要。但由于它比较抽象,一向以难懂而闻名于世。就连美国著名物理学家P ·W · Atkin也说:“科学对解放人类精神的贡献没有任何部分象热力学第二定律那样大,同时科学的其他部分也几乎没有这样高深莫测。”他称熵是“永远难以透彻了解的熵。”可见熵的概念是不易理解的,而一些常见热力学过程中熵增的计算更是让人无从着手,对初学者来说尤其如此[1]。
对于不可逆过程热力学,可由热力学第二定律给出在不同的外界条件下,系统内部不可逆过程进行方向的判别标准。如果不可逆过程的初态和终态是平衡态,则可根据热力学关系求过程的总效应。平衡态热力学不能讨论过程进行的速率,而不可逆过程热力学能够讨论过程进行的速率问题。在客观世界中,非平衡的热力学系统(系统可以是物理的、化学的、生物学的和社会学的)与不可逆的热力学过程是大量存在的,非平衡态热力学在热传导、扩散、化学变化、天体演化、生物的物理和化学过程直至社会经济的变化过程的研究中都有着非常重要的作用。 因此对不可逆过程热力学的研究是非常重要的。
1 熵
1.1熵概念的引入
1.1.1“熵”的定义
1854 年克劳修斯[2]在《论热的动力理论的第二原理的另一形式》论文中根据热力学第 一定律和理想气体的状态方程得出:在循环过程中发生的所有转化的等效值是积分
dQ
dT 他指出:对于可逆循环过程: 可逆dQdT=0 对于不可逆循环过程:
不可逆dQdT<>
其中dQ是系统从热力学温度为T 的热源中所吸收的热量[3]。
1865 年在《关于热的动力理论的主要公式的各种应用上的方便的形式》一文中克劳修斯提出了熵的概念[4]。关于可逆过程,克劳修斯指出:“如果物体从任意一个初态开始 连续地经过任意的一系列状态又回到初态时,积分
dQdT那么积分号里的表示式
dQ
dTdQdT=0 必定是一个量的全微分,这个量只与物体当时所处的状态有关而与物体到达这个状态所经过的过程无关。如果用S 表示这个量,则可以规定:ds=” 克劳修斯把他引入的这一新的函数S 称为系统的熵,表示系统的‘转变含量
(transformation content)’,以表示对热的转化程度的测度[5]。由于S 是一个态函数,所以dS 沿任意可逆过程的积分等于S 的末态B 与初态 A之值的差,即:
B
?S=SB-SA=?
A可逆dQT
如果是对于不可逆循环过程,则可证明:
B
?S=SB-SA=?
A不可逆dQT
即对于任意一个过程总满足:
B
?S=SB-SA≥?
AdQT
其中,等号对应于可逆过程,不等号对应于不可逆过程。在一切孤立系统中,物质与外界的热交换不存在,即 dQ
=0,故有:
?S≥0
这就是著名的熵增加原理,也是热力学第二定律的定量的数学表达式,该式表明:对于一个孤立系统而言,可逆过程则熵值不变,不可逆过程则熵要增加。它的实质是阐明了热力学系统的不可逆性,如热传递的不可逆性或功热转换的不可逆性等。由此可见,熵是热力学系统自发变化的一个宏观描述量。
克劳修斯所引入的熵也称为“热力学熵”,对于系统给定的一个状态而言,谈论热力学熵S 的绝对值没有意义,但它从一个状态到另一个状态间的转变,却可以用来判断这种转变的正或负以及转变量的大小。热力学熵S 可以表示一个物质系统中能量的衰竭程度,是用以判别事物自发过程的一个状态函数,通过比较事物不同状态下系统的熵值大小,可以辩别出系统的转化方向。
1.1.2“熵”的命名
克劳修斯在选择“熵”这个名称时,曾写道:“在确定一些重要的科学量的名称时,我宁愿求助于古代的文字,这样做的目的是为了使这名称能在现有各种文字中表示同样的意思。”为熵S 命名时[6] ,他选用字义为“转变”的希腊语“τροπη” ,还要求熵S 在发音和字形上要与德文的能量“Energie”(英文为 Energy)相似,因此就用“Entropie”(英文为 Entropy)来命名熵。 其字根‘-tropy’源于希腊文‘转变’,前缀‘en-’取自‘能量’。
而 entropy 的中文译名源自著名物理学家胡刚复教授:1923 年德国物理学家普朗克(I·R·Planck)来中国南京讲学,胡教授为其翻译时,首次将其译为熵,渊源于 entropy 这个概念太复杂,况且这个词是克劳修斯所造,不容易找到一个与此贴切的字。鉴于此,胡 先生就想到根据公式dS=dQ
T,认为S为热量与温度之商,而且此概念与火(象征着热)有
关,于是在商字上加火字旁,构成一个新字“熵”。胡先生利用汉字以偏旁来表达字义的特色,贴切而又形象地表达了态函数“Entropy”的物理概念,从而使“熵”被广泛采用[2]。
1.2熵变的意义
在热力学中,熵是平衡态热力学的一个态函数,它的定义为
2
S=?
(可逆)1dQT+S0
其中,1和2是两个平衡态,积分路径沿着任意可逆过程,T为热源温度,dQ是某一微小过程中系统吸收的热量,这样定义的物理熵有以下几方面的意义[7]。
1.2.1熵增原理是热力学第二定律的数学表达式
系统由一种状态到另一种状态,在此过程中,必然伴随着熵值的改变。在热力学理论中,人们所指的熵变一般是指熵增加[8]。我们知道,可逆过程发生后,所产生的后果可以
完全消除而令一切恢复原状;而不可逆过程发生后,则用任何曲折复杂的方法都不可能令一切恢复原状。这一事实说明,过程是否可逆实际上是由初态和终态的相互关系决定的。而熵函数在初态和终态的数值可以用来判断过程是否可逆或不可逆,判断不可逆过程的自发方向,熵增加原理可以对过程的性质及方向进行判断。
熵增加原理:任何物理过程中各个参与者的总熵必定是要么增加,要么保持不变,熵不会减少,即?S孤≥0。
熵增加原理实际上预言了大多数过程是不可逆的——不能向相反方向进行[9],过程必定朝熵增加而不是熵减少的方向进行。这一原理告诉我们,在没有外界干预的条件下,系统自发地由有序趋于无序,最后达到热平衡。换言之,熵值越低,有序程度越大。随着熵增加,有序程度越来越低,最后完全变成无序状态。过去人们认为,对一个生物系统而言,熵增加原理应该自发地由有序变为无序,最后达到平衡态,也就是死亡。而生物进化论告诉我们,生物是进化的,可以由简单到复杂,有序程度可以越来越高。熵增加原理的应用是有条件的、有限的。
1.2.2熵在微观上表征系统内粒子的混乱程度
在统计物理中,由玻尔统计理论或量子统计理论都有如下关系式[10]
S=klnΩ
这就是著名的玻尔兹曼关系式。k是玻尔兹曼常数,Ω是系统的微观状态数。在宏观条件不变的情况下,系统具有大量的微观状态。当系统处于平衡时,微观态数越多,系统越混“乱”,熵就越大;否则,熵就越小。从微观意义上讲,熵是物质系统无序性和混乱度的量度。
平衡态体系内微观粒子无规则运动与非平衡态粒子运动相比混乱度更大,即当粒子无规则运动最乱、最无序时,才能使体系内部各处的温度、密度等性质达到均匀一致,以致最后趋向于平衡态,所以熵增加的过程,即孤立。系统由非平衡态趋向平衡态的过程,正是体系内微观粒子无规则运动由不太乱变得更加乱的过程。由此可见,熵的物理意义在微观上正是粒子无规则运动混乱程度(或无序程度)的量度,熵增加就是从有序向无序发展的过程。
1.2.3熵在宏观上表征能量分布的均匀程度
能量都是由于从非均匀分布倾向于均匀分布的过程中转化做功的,即要能量成为可利用能,即将能量用于作功,必须在一定的空间中造成能量密度的差异,使能量从高密度区流向低密度区,就可以获得功。能量分布越不均匀,有序度越高,则熵就越小,能量转化为功的效率越高。若能量分布已完全均匀,熵达到最大,这时不可能再发生能量从这一区转到另一区的宏观流,也就不能获得功。熵增加在宏观上,表征不可利用能的增加,即意味着有效能量的减小,时间永远向前运动,能量只能沿有效状态转化为无效状态的耗散方
向转化[11]。因此,我们说热力学第二定律(即熵增原理)是能量转化的“质”的定律,熵是时光之箭。
1.2.4熵在热力学中的“导演”作用
孤立系统的任何自发过程都是由非平衡态向平衡态,达到平衡态便不再变化了,因此平衡态时熵最大。熵函数极大值又可作为判定自发过程进行限度的准则,由此可以导出系统处于平衡态时的各种判据:
T、V一定时,dF≤0(自由能判据);
T、P一定时,dG≤0(吉普斯判据);
S、V一定时,dU≤0;
S、P一定时,dH≤0;
H、P一定时,dS≤0;
F、V一定时,dS≥0;
F、V一定时,dT≤0;
U、S一定时,dV≤0;
F、T一定时,dV≤0。
等号对应可逆过程,不等号对应不可逆过程。
2 熵变的计算 只有与外界交换能量而不能交换物质的系统,我们称为封闭系统。设封闭系统经过一无穷小过程,则热力学第二定律的数学表达式为
ds≥dQ
T
其中 ds是系统在过程中的熵变, T是系统所接触的热源的温度,dQ是系统在过程中从热源吸收的热量。等号对应于可逆过程,不等号对应于不可逆过程。
若过程是绝热的,则dQ=0,ds≥0
可见,当系统经绝热过程由一态到达另一态,它的熵永不减少;熵在可逆绝热过程中不变,在不可逆过程中增加。这个结论就是通常的熵增加原理[12]。
由熵增加原理可以推知:在绝热过程中,若熵不变,则过程可逆;若熵增加,则过程不可逆。因此,通过计算绝热过程的熵差,就可判断该过程是否可逆。但对于不绝热过程,这种方法就失效了,于是通常就把热源和所研究的系统结合在一起考虑,构成一个大的绝热系统,其中发生的过程就是绝热过程,然后通过计算大系统的总熵差来判断该过程是否可逆。具体计算方法:按定义,只有沿着可逆过程的热温熵总和才等于体系的熵变。当过程为不可逆时,则根据熵为一状态函数,体系熵变只取决于始态与终态而与过程所取途径无关;可设法绕道,找出一条或一组始终态与之相同的可逆过程,由它们的熵变间接地推
算出来。孤立系统的选择方法,如果非封闭系统,可以将环境和物体共同看成封闭系统。下面通过对不同的热力学过程的熵变的计算,找出熵变的计算规律。
2.1绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变
(1)问题提出一:
温度为0oC的1kg水与温度为100oC的恒温热源接触后,水温达到100oC。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变,应如何使水温从0oC升至100oC? 已知水的比热容为4.18J?g-1-1?K
问题分析:因为题中的热传导过程是不可逆过程,要计算水和热源的熵变,则必须设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算。
所以要计算水从0oC吸热升温至100oC时的熵变,我们设想一个可逆的等压过程:
373
?S水=?mC水dTT273=mC水ln373273=1000?4.18?0.312=1304.6J?K-1
对于热源的放热过程,可以设想一个可逆的等温过程:
?S热源=-Q放T=-1000?4.18?(373-273)
373=-120.6J?K
-1-1 ?S总=?S水+?S热源=184J?K
在0oC和100oC之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源,令水依次与这些温度递增的无限多个热源接触,由0oC吸热升温至100oC,这是一个可逆过程,可以证明。
?S热源=-?S水,故?S总=?S水+?S热源=0
问题提出二:
试计算热量 Q 自一高温热源T2直接传递至另一低温热源T2所引起的熵变。
问题分析:从题意可以看出这是一不可逆热传递过程,应设想另一组始终态相同的可逆过程替代它,才能由它们的热温商计算体系的熵变。为此,可以设想另一变温过程由无数元过程所组成,在每一元过程中体系分别与一温度相差极微的热源接触,热量是经由这一系列温度间隔极微的热[(T2-dT),(T2-2dT),(T2-3dT), ,(T2+2dT),(T2+dT), ]
传递到环境去。这样的热传递过程当dT愈小时,则愈接近于可逆,则
?QQ?? ?+ ?S=- ? -dTT2??T?T2
?Q+ - +dT?T1
=Q-
1Q2-2dT-QT2??+ -dT??T??Q?+ -? +2dT1??T1QT??+dT?1?QQTT
T2?-1?2 ?=Q ??T1T2?
,Q为正值 T2>1
∴?S>0
可见若二热源直接接触并于外界隔离(绝热),则在此二热源间的热传导过程为一自发过程。
(2)结论:由以上两种实例,可以看出绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变计算:首先设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算,然后可采用假设一可逆过程求热温比积分的方法,对每一小部分依次与温差非常小的恒温热源接触,温差无限小的热传导过程可视为可逆过程。所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
2.2孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变
(1)问题提出一:
均匀杆的温度一端为T1另一端为T2。 试计算达到均匀温度
12
(T1+T2)后的熵增。
问题分析:当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时,其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算,这是因为熵是态函数。而本问题中,杆是从一非平衡态经历了热传导的不可逆过程,而到达一个平衡态。因此,设想下述可逆过程:把杆当作是无数无限薄的小段组成,每一个小段的初温各不相同,但都将具有相同的终温。我们再设想所有的小段互相绝热,并保持同样的压力,然后使每小段连续地跟一系列热源接触,这些热源地温度由各段的初温度至共同的终温度。这样就定出无数个可逆的等压过程,用来使该杆由初始的非平衡态变化到平衡态的终态。
我们考虑长为L的均匀杆,位于x处的体积元的质量为
dm=ρAdx
其中ρ及A分别为杆的密度及截面积,该段的热容量为
Cpdm=CpρAdx
最初的温度分布是线性分布的,而使x处的初温为
Ti(x)=T1-
T1-T2
L
x
若无热量损失,并且为了方便起见,假设各小段的热传导率、密度和热容量都保持不变,则终温
Tf=
T1+T2
2
该体积元的熵增为
CpρAdx
T
?
f
dTT
Ti
=CpρAdxln
T
f
Ti
=CpρAdxln
T1-
T
f
T1-T2
L
=-VpρAdxln(x
T1T
f
-
T1-T2LT
f
x)
沿整个杆积分,得熵的总变化等于
利用积分公式
?S=-CpρA?ln(
0L
T1Tf
-
T1-TLLT
f
x)dx
?
T2T1-T2
ln(a+bx)dx=
1b
(a+bx)[ln(a+bx)-1]
经积分并化简后,得到
?S=mC
p
(1+lnT
f
+
lnT2-
T1T1-T2
lnT1)=mC
p
(ln
T1+T2
2
-
TlnT1-T2lnT2
T1-T2
+1).
(2)结论:由以上实例,可以看出孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变计算:当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时,其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算,所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
2.3绝热系统内功热转化过程的熵变
(1)问题提出一:
10A的电流通过一个25Ω的电阻器,历时1s。①若电阻器保持为室温27oC,试求电阻器的熵增。②若电阻器被一绝热壳包装起来,其初温为27oC,电阻器的质量为10g,比热容cp为0.84
J?g?K
-1
计算电阻器的熵增。
=0
问题分析:①若电阻器保持一定温度,则它的状态不变,而熵是状态的函数,故知电阻器熵增为零,即?S
。我们也可以这样考虑,电功转变为热,传人电阻器,同时此热
=0
量又由电阻器流入恒温器(比如是实验室)。因此,传入电阻器的净热量为零,故有?S电阻器等压加热的过程来计算熵增。 电阻器终态的温度为Tτ,有Q
=mC
2
。
②在这过程中,有电功转变为热,是不可逆过程。因为熵是态函数,我们设想一个是
2
p
(Tτ-Ti)
Q=0.24IRt=0.24?10?25?1=600(cal)
得 Tf
=
60010?0.2
+300=600(K)
?S
=
?
Tf
mC
p
dT
Ti
T
=mC
p
ln
TfTi
=10?0.2?ln
600300
=1.386(calK)
(2)结论:由以上实例,可以看出绝热系统内功热转化过程的熵变计算:物质的温度不变,则它的状态不发生改变,因为熵是状态函数,所以当电器的温度保持不变时,电器的净热量为零,故电器的熵增也为零。在这绝热系统内功热转化过程中,有电功转变为热,是不可逆过程。因为熵是态函数,应设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。
2.4不可逆过程和环境的熵变计算
如计算隔离体系的熵变,则需涉及环境,按原则,环境亦必须在可逆条件下吸热或放
热,常设想环境由一系列温度不同的热源组成,或称理想化环境,当体系放热时,则环境吸热;而体系吸热时则环境放热,故有如下关系:
δQ环境=-δQ体系
dS
环境
=
δQ环境
T环境
=-
δQ体系
T环境
?S环境=
∑
δQ环境
T环境
=-∑
δQ体系
T环境
(1)问题提出一:
试计算下列情况下,273.2K、2 摩尔理想气体由 2Xpθ压力降低至pθ压力时的体系熵变、环境熵变、隔离体系熵变——①可逆等温膨胀;②恒温恒外压膨胀,pe =pθ ;③自由膨胀。
问题分析:①可逆等温膨胀
?S体系=
QRT
=nRln
V2V1
=nRln
θθ
p1p2
=2?8.314?ln=11.53J?K
-1
?pp
?S环境=
QR环境T环境
=
-QRT环境
-1
=-
QRT
=-11.53J?K
?S隔离=?S体系+?S环境
=11.53+(-11.53)=0
②恒温恒外压膨胀
?S体系=
QRT
=nRln
V2V1
=nRln
p1p2
=11.53J?K
-1
(理想气体等温过程)
Q环境=-(Q体系)T=(W体系)=-p2(V2-V1)T
=-p2(
nRTp2p2p1
-nRTp1
)
=nRT(-1)
?S环境=
Q环境T
nRT(=
12
-1
p2p1T-1)
-1)
=nR(
p2p1
-1)
=2?8.314?(=-8.314J?K
而?S隔离=?S体系+?S环境
=11.58-8.314=3.22J?K
-1
>0
③自由膨胀
?S体系=?S环境=
QRTQ环境T环境
=11.53J?K
0T
-1
==0
?S隔离=+?S环境
=11.58+0=3.22J?K
-1
>0
J?K
-1
三例比较,体系始终态相同,?S体系 为一恒值(11.53
)
。在可逆情况下,体系将
热转变为功的效率达到最大;而当不可逆程度(不平衡情况)愈大时,热量的利用率愈低,转化为做功的能量愈少(也称有效能)。能量继续以热的形式留于隔离体系中的愈多,相应地隔离体系的熵值增加得愈多。(应该注意:本例属等温过程,在变温过程中熵值的变 化应根据dS
=
δQR
T
决定!)
问题提出二:
试计算在 101.325KPa 压力下,2 摩尔液态氨由 233.2K 转变为 473.2K 的氨气时体系的熵变。
问题分析:氨的正常沸点(101.325KPa 压力下的沸点)为 239.7K,在正常沸点下的摩尔汽化热?Vap
C
p,m
H
m
=23.26kJ?mol
-1
-1
;液态和气态氨的摩尔平均热容分别为
p,m
(NH
3
,l)=74.9J?mol?K
-1
和C(NH
3
,g)=25.89+33.00?10
-3
T-3.05?10
-6
T(J?mol
2-1
?K
-1
)
此过程为不可逆,计算体系熵变时必须由一组始终态相同的可逆过程替代之:
NH
3
(液,101.325KPa,233.2K)?????→NH(气,101.325KPa,473.2K)3
可逆↓?S1 可逆↓?S3
?S(不可逆)
NH
2(液,101.325KPa,239.7K)????→NH(气,101.325KPa,239.7K) 33
?S(可逆)
而体系熵变:
?S=?S1+?S2+?S3?S1=n?
T2
C
p,m
(l)
T1
T
=nC239.7233.2
p,m
(l)ln
T2T1
=2?74.9?ln=4.12J?K?S2=
?S2=
?
vap
-1
?
vap
H
m
T=
=
2?23260239.7
=194.1J?K
-1
-1
H
m
2?23260239.7dT
T
473.2
=194.1J?K
?S3=n?
Cm,p(g)
T
239.7
473.2
-3
=2?
?
(25.89+33.00?10T-3.05?10
12
-6
T
2
)
239.7
T
-3
dT
2
=2?[25.89lnT+33.00?10T-?3.05?10
-6
T
]239.7
2
473.2
=2?[25.89ln
473.2239.7
+33.00?10
-3
(473.7-239.7)-
12
?3.05?10
-6
(473.7-239.7)]
2
=2?[17.6+7.7-0.3]=50.0J?K
-1
-1
?S=4.12+194.1+50.0
=248.2J?K
(2)结论:由以上两种实例,可以看出不可逆过程和环境的熵变计算:首先设想环境由一系列温度不同的热源组成,当体系放热时,则环境吸热;而体系吸热时则环境放热,如果此过程为不可逆,计算体系熵变时可以由一组始终态相同的可逆过程替代,所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
3 总结
经过对上述例子的分析,我们可以得到以下计算规律:
第一,绝热孤立系统内物体间的热传递过程的熵变计算:首先设想一个初态和终态分别与题中所设过程相同的可逆过程来进行计算,然后可采用假设一可逆过程求热温比积分的方法,对每一小部分依次与温差非常小的恒温热源接触,温差无限小的热传导过程可视为可逆过程。所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
第二,孤立的绝热物体自身的热传递过程的熵变计算:当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时,其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进行计算,所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
第三,绝热系统内功热转化过程的熵变计算:物质的温度不变,则它的状态不发生改
变,因为熵是状态函数,所以当电器的温度保持不变时,电器的净热量为零,故电器的熵增也为零。在这绝热系统内功热转化过程中,有电功转变为热,是不可逆过程。因为熵是态函数,应设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。
第四,不可逆过程和环境的熵变计算:首先设想环境由一系列温度不同的热源组成,当体系放热时,则环境吸热;而体系吸热时则环境放热,如果此过程为不可逆,计算体系熵变时可以由一组始终态相同的可逆过程替代,所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
总之,在绝热过程中,若熵不变,则过程可逆;若熵增加,则过程不可逆。 因此,通过计算绝热过程的熵差,就可判断该过程是否可逆。 但对于不绝热过程,这种方法就失效了,于是通常就把热源和所研究的系统结合在一起考虑,构成一个大的绝热系统,其中发生的过程就是绝热过程,然后通过计算大系统的总熵差来判断该过程是否可逆。对于孤立系统熵变的一般计算方法:按定义,只有沿着可逆过程的热温熵总和才等于体系的熵变。当过程为不可逆时,则根据熵为一状态函数,体系熵变只取决于始态与终态而与过程所取途径无关;可设法绕道,找出一条或一组始终态与之相同的可逆过程,由它们的熵变间接地推算出来。孤立系统的选择方法,如果非封闭系统,可以将环境和物体共同看成封闭系统。所以不论这个过程是否可逆,都可以设计一个可逆过程来计算熵变。
[参考文献]:
[1] 冯端,冯少彤. 熵的世界[M]. 科学出版社, 2005. [2] 郭奕玲,沈慧君. 物理学史[M]. 清华大学出版社, 1993. [3] 吴必栋,斯颂乐. 热学[M]. 上海科学技术出版社, 1983. [4] 刘有菊. 熵概念的进一步深化[J]. 保山师专学报,2005(5). [5] 张玉龙. 熵的讨论[J]. 浔阳师范高等专科学校学报,2005(6). [6] 陈宜生, 刘书声. 谈谈熵[M]. 湖南教育出版社,1996. [7] 王敬修. 论熵的物理意义[J]. 北京化工学院学报,1994(3). [8] 李椿,章立源,钱尚武. 热学[M]. 高等教育出版社, 1978. [9] 陈光旨. 热力学统计物理基础. 广西师范大学出版社,1989. [10] 汪志成. 热力学统计物理(第二版)[M]. 高等教育出版社,1978. [11] 秦允豪. 热学[M]. 高等教育出版社,2002.
[12] 李昆. 熵增原理·负熵原理·人类演化[J]. 百科知识,1990.
致谢:
在这篇论文顺利完成之际,我衷心地感谢所有指导、关心和帮助过我的人们!首先要感谢的是我的指导老师邱敏教授。从论文提纲的草拟到论文的写作和修改,至始至终她都在百忙之中加以悉心的指导。正是在邱老师的指导和帮助下,我的论文才得以顺利完成。在此表示我最诚挚和深切的谢意!
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