范文一:三棱台体积公式的延伸
作者:钱敏
中学数学 2002年03期
T:波利亚说过“一个好教师应该懂得,而且使他的学生也懂得,没有一个问题是一经解决就算是完全做完了的。一个问题解出之后,常常总还留下一些事情可做:
经过充分的研究和观察,我们可能改善任何解答;
而在任何情形之下,我们总能增进我们对解答的了解”。
我们已经得出了三棱台的体积公式:如图
3 发现之三:从位置关系出发
T;这一组结论是通过观察公式的结构,经过计算而发现的, 能否通过其他途径而得出这些结论呢,比如通过观察三个几何体的位置关系?
S[,5]:先观察几何体①与③,分别把A[,1]与C看作顶点。这时,它们等高;底面积比为1∶a[2]。
所以 V[,3]=a[2]V[,1]。
S[,6]:再观察几何体①与②将C看作它们共同的顶点,则其底面都在平面AA[,1]B[,1]B上,因它们的高相等,故底面积的比为1∶a,
得 V[,2]=aV[,1]。
T:我们继续观察①与②,还可以发现什么?
S[,7]:它们有共同的底面A[,1]BC,从而可推知它们的高的关系亦为1∶a,,即A、B[,1]到平面A[,1]BC的距离的比为1∶a。
T:能直接推求出高的关系吗?
S[,7]:如图3,A、B到平面a的距离比,等于线段AB 被平面分得的线段比。由此,连结(图1)AB[,1]交A[,1]B于O,则A、B[,1]到平面A[,1]BC的距离比为:AO∶OB=AB∶A[,1]B[,1]=1∶a,
所以 V[,2]=aV[,1]。
4 小结与例题
引导学生自己做小结:
延伸的方向与内容方面的小结:
(1)将公式“分割”研究,可发现些什么结论?
(2)用计算方法研究诸几何体间的体积关系。
(3)观察两几何体的位置关系,由此推导出其体积关系。
[主持人评注 上“××公式(定理)的延伸”这样的课有意义吗?对这个问题,当前一定会有两种截然相反的意见。
多数人会认为:上这样的课,意思不大,因为高考很少考一个公式或定理的引伸问题。
也会有人认为:有意义。因为数学的研究与发展的过程中,数学家们经常是这么在做的。波利亚肯定是支持后者的意见的,而且能培养学生的创造思维。
然而,一个怪现象是:数学考试总是考“新编的”堆砌式的所谓综合题——把几个问题像叠罗汉般地一个个堆接起来,而数学家们几乎从来不搞这一类问题,你说怪吗?恰是事实!
数学考试如何与现实世界接轨,少考一点堆砌式的“综合题”,应该是一个有意义的研究课题吧!]
作者介绍:钱敏,四川蓬溪县任隆中学
范文二:直角三棱锥的几个性质
?直角三棱锥的几个性质
有一类特殊的?三棱锥,它的经过同一?顶点的三条棱?两两垂直,我们不妨把这?种三棱锥称作?直角三棱锥,从结构上看,它是平面的直?角三角形在空?间的扩展。循着直角三角?形的一些重要?性质对直角三?棱锥进行探究?,我们能得到直?角三棱锥的有?趣的相应性质?。
我们已经学习?过的直角三角?形的性质有:
性质1:RtΔ的垂心?就是直角顶点?。
性质2:RtΔ的两个?锐角互余。
性质3:RtΔ两直角?边的平方和等?于斜边的平方?。
性质4:RtΔ中,斜边上的高是?两条直角边在?斜边上的射影?比例中项;每条直角边是?它在斜边上的?射影和斜边的?比例中项;由此,RtΔ两条直?角边的平方比?等于它们在斜?边上的射影比?。
性质5:RtΔ两直角?边的乘积,等于斜边与斜?边上高的乘积?。
性质6:RtΔ斜边上?的中线等于斜?边的一半。
(所以RtΔ的?外接圆半径R?,c,)。
性质7:RtΔ的内切?圆半径r,,(a,b,c)。
现在我们来探?究一下直角三?棱锥的性质。如图所示,在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA?、PB、PC两两垂直?,设PA,a,PB,b,PC,c。
性质1:直角三棱锥的?底面是锐角三?角形。
证明:?PA、PB、PC两两垂直?, ?PA?面PBC,PB?
面PCA,PC?面PAB, ?面PAB、面PBC、面PCA两两?垂直。
作PH?面ABC于H?,连CH并延长?并交AB于D?,连PD,则
PH?AB,PH?CD,面PCD?面ABC;而PC?面PABPC??AB,
所以AB?面PCD,?AB?PD,AB?CH。同理,AH?BC,BH
?CA。
由AB?面PCD知C?D?AB,而PD?AB且?APB,
90?,??ABC、?CAB为锐角?。同理,?BCA也是锐?角,
性质2:直角三棱锥顶?点在底面的射?影是底面三角?形的垂心。 证明:由AB?CH,AH?BC,BH?CA易知,H是ΔABC?的垂心,由此可得: 性质3直角三?棱锥顶点到底?面的距离为h?则,,,。
证明:在RtΔPA?B中,PD?AB,PA?PBPD,;在RtΔPC?D中,CD,PD,PC,(),c,;在RtΔPC?D中,PH?CD,?PD?PC,CD?PHPH,
,,,?,,
,,。
性质4:直角三棱锥三?条侧棱与底面?所成角的正弦?值的平方和等?于1。(三条侧棱与底?面所成角,和三个侧面与?底面所成角互?为余角。)
证明:因PH?面ABC, ?侧棱PC与底?面ABC所成?角为?PCH,α,则有sin?PCH,sinα,
,,。 同理,侧棱PB与底?面ABC所成?角为?PBH,β,sin?PBH,sinβ,,侧棱PA与底?面ABC所成?角为?PAH,γ,sin?PBH,sinγ,,所以sinα?,sinβ,sinγ,1。因此, 性质5:直角三棱锥三?个侧面与底面?所成角的余弦?值的平方和等?于1。
由AB?PD,AB?CD,?侧面PAB与?底面ABC所?成角为?PDC,θ,由PC?PD知θ,α,90?,?sinα,sin(90?,θ),cosθ。类似推理,由sinα,sinβ,sinγ,1。易得:sinθ,sinδ,sin,1。
性质6:?底面内任一点?到顶点距离的?平方,等于它到三个?侧面距离的平?方和。
如图,Q为底面ΔA?BC内任一点?,作点Q到面P?AB的距离为?RQ,,到面dPBC的?距离为RT,d,到面PCA的?距离为RS,d,容易
得到:PQ,RQ,RP,RQ,
RT,RS,d,d,d
性质7:直角三棱锥底?面三角形的面?积S,。
底面三角形的?面积S,AB?CD,?,证明:
,
性质8:直角三棱锥三?个侧面面积的?平方和,等
于底面面积?的平方。
证明
把S,S?S;S,S?S;S
,S?S;这三个式子相?加,得S,S,S,
S。
性质9:直角三棱锥外?接球的半径R?,。
证明:将直角三棱锥?补成长方体,则直角三棱锥?的外接球也是?长方体的外接?球,其球心是长方?体的中心,半径为长方体?对角线的一半?。因此有
性质10:直角三棱锥内?切球的半径r?,。
证明:设直角三棱锥?内切球半径为?r,球心为,,连OA,OB,OC,则把直角三棱?锥分成四个小?三棱锥,? V,V,V,V,V,
? S,,? ×ab×c,×ab×r,×bc×r,×ca×r,×××r ,
? r,。
范文三:直角三棱锥的几个性质
直角三棱锥的几个性质
高中课本《立体几何(必修)》总复习参考题第5题是:“将正方形截去一个角,求证截面是锐角三角形(”本题研究的对象实际上是一种特殊的三棱锥——经过同一顶点的三条棱两两垂直的三棱锥(我们不妨把这种三棱锥称作直角三棱锥(从结构上看,直角三棱锥是平面的直角三角形在空间内的扩展(循着直角三角形的一些重要性质对直角三棱锥进行探究,我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质(
循着直角三角形的射影定理探究直角三棱锥可以得到:
在三棱锥V,ABC中,VA、VB、VC两两垂直,那么?VAB、?VBC、 性质1
?VCA的面积分别是它们在面ABC内的射影的面积和?ABC的面积的比例中项:
证明:如图,作VH?面ABC,垂足是H,连AH、BH,则?HAB是?VAB在面ABC内的射影,连CH并延长之交AB于D,连VD(
?VC?VA,VC?VB,
?VC?面VAB,
?VC?AB,VC?VD(
由三垂线定理的逆定理得CD?AB,
又由三垂线定理得VD?AB(
?VH?面ABC,?VH?CD(
2 在Rt?VCD中,由射影定理得VD = HD?CD,
循着直角三角形的勾股定理探究直角三棱锥可以得到(
性质2 在三棱锥V,ABC中,VA、VB、VC两两垂直,那么它的四个面
(由性质1可直接推出性质2,证明从略()
222 设直角三角形的两个锐角为α、β,由二者互余有sinα,sinβ = 1和 cosα,
2cosβ = 1(循此对直角三棱锥进行探究可以得到:
性质3 在三棱锥V,ABC中,VA、VB、VC两两垂直(
若VA、VB、VC与面ABC所成的角分别是α、β、γ,则
222 sinα,sinβ,sinγ = 1;
略证:(1)如图,作VH?面ABC,垂足是H,连AH并延长之交BC于E,连VE,则?VAE就是VA与面ABC所成的角,故?VAE = α(仿性质1的证明可得
VA?VE,VE?BC,AE?BC,
根据性质2得
由VE?BC、AE?BC知?VEA是面VBC与面ABC所成二面角的平面
性质4 在三棱锥V,ABC中,VA、VB、VC两两垂直且其长度分别为a、b、c,那么,
(1)这个三棱锥的外接球的半径为
(2)这个三棱锥的内切球的半径为
(对于(1),可将直角三棱锥补成长方体后加以推证;对于(2),可将内切球的球心与三棱锥的各顶点相连把三棱锥分割成四个小三棱锥后利用体积进行推证(证明从略()
范文四:直角三棱锥的性质综述
直角三棱锥的性质综述
摘要:本文定义三个侧面两两互相垂直的三棱锥称为直角三棱锥,笔者通过深入探究,给出直角三棱锥的若干性质,并证明这些性质结论的正确性,供同行教学参考.
关键词:直角三棱锥;定义;性质;证明
定义:三个侧面两两互相垂直的三棱锥,称为直角三棱锥
直角三棱锥在高三复习立体几何时经常遇到,学生非常熟悉它的一些基本性质:三条侧棱两两互相垂直,相对棱互相垂直;其中一条侧棱垂直于另外两条侧棱所在侧面;顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心;底面三角形为锐角三角形;体积等于侧棱长乘积的;外接球半径的平方等三条侧棱长的平方和的. 除此之外,本文再介绍一些棱长与高,侧面积与底面积,侧面或侧棱与底面所成的角,内切球半径等之间的关系.
如图1,记直角三棱锥p,abc的侧棱pa=a,pb=b,pc=c,顶点p在底面?abc内的射影为o,高po=h,内切球半径为γ,?pab,?pbc,?pac,?abc的面积分别是s1,s2,s3和s.
图1
性质1:=++.
证明:如图1,易证pd?ab,po?dc,pc?pd. 于是po=,pd=,从而==,因此=++.
性质2:s+s+s=s2.
证明:如图1,s=abcd=
=
=
=,
于是s2=s+s+s.
:=+++. 性质3
,vp-abc=abc=s1γ+s2γ+s3γ+sγ,整理得=.又 证明:如图1
s2=s+s+s=2+2+2,故2s=. 于是==+++=+++.
性质4:s=ss?aob,s=ss?boc,s=ss?aoc.
证明:如图1,s=ab2pd2,s?aob=abdo,s=abdc.
又pd?pc,po?dc,所以pd2=dodc. 于是s=ss?aob.
同理可证,s=ss?boc,s=ss?aoc.
性质5:直角三棱锥的侧面与底面所成角的余弦的平方和等于1.
证明:如图1,不妨设侧面pab,pbc,pac与底面abc所成角分别为α,β,γ,则cosα=,cosβ=,cosγ=. 于是cos2α+cos2β+cos2γ=++=++==1.
推论:如果直角三棱锥的侧棱长相等,则侧面与底面所成角的余弦值均为.
性质6:直角三棱锥的底面与其中一侧面所成角的正切的平方等于底面每一条边与该侧面所成角的正切的平方和.
证明:如图1,不妨设底面abc与侧面pab所成的角为θ,边ca,cb,ab与侧面pab所成的角分别为θ1,θ2,θ3,易证?pdc=θ,?cap=θ1,?cbp=θ2,θ3=0. 因为pdab=papb,ab2=pa2+pb2,
所以pd2==. 于是tan2θ===+=tan2θ1+tan2θ2. 又因为tanθ3=tan0=0,从而tan2θ=tan2θ1+tan2θ2+tan2θ3.
性质7:设点q是直角三棱锥p,abc的底面上一点,则
(1)pq的平方等于点q到各侧面的距离的平方和;
(2)pq与侧棱所成角的余弦的平方和等于1;
pq与侧面所成角的余弦的平方和等于2. (3)
分析:当q在底边上时,易证结论成立;当q不在底边上时,过点q作三个平面分别平行三个侧面,它们与三个侧面围成一个长方体,且qp为长方体的对角线,从而由长方体的性质即可获证.
性质8:直角三棱锥的侧棱与底面所成角的余弦的平方和等于2.
分析:如图1,设侧棱pa,pb,pc与po所成的角依次为α′,β′,γ′,与底面abc所成角依次为φ1,φ2,φ3,由性质7(2)知,cos2α′+cos2β′+cos2γ′=1. 又由于φ1,φ2,φ3分别与α′,β′,γ′互余,故可得cos2φ1+cos2φ2+cos2φ3=2.
性质9:直角三棱锥的底面每一条边与三条侧棱所成的角的余弦的平方和等于1,与三个侧面所成角的余弦平方和等于2.
分析:如图1,底面边ab与侧棱pa,pb所成的角为rt?pab的两锐角,又由ab?pc,易证结论成立.
性质10:设直角三棱锥p,abc内任一点m到平面pbc,pac,pab,abc的距离分别为d1,d2,d3,d4,则+++=1.
证明:如图1,因为==,所以同理可得=,=,=.
于是+++===1.
范文五:三棱锥等的性质
正三棱柱是上下底面是全等的两正三角形,侧面是矩形,侧棱平行且相等的棱柱,并且上下底面的中心连线与地面垂直。
正三棱柱不一定有内切球
如果正三棱柱有内切球,则正三棱柱的高一定是球的直径
正三棱柱一定有外接球,但一定不是正三棱柱的高
直径为根号(h^2+4a^2/3),其中h为三棱柱的高,a为底面边长
正三棱锥:底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥(正三棱锥不等同于正四面体,正四面体必须每个面都是正三角形)
正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱。
正四棱锥:
底面为正方形,且顶点在底面的射影为底面中心的四棱锥。正四棱锥的底面是正方形,其对角线的一半的平方+你所要求的距离的平方=正四棱锥的侧棱的长的平方
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