范文一:初二上学期一次函数精选解答题(人教版)
初二上学期一次函数精选解答题(人教版)
1、在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定(在其下端悬挂物体,下面是测得的弹簧的长度与所挂物体质量的一组对应值,
所挂质量x/kg 0 1 2 3 4 5
弹簧长度y/cm 18 20 22 24 26 28
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系,哪个是自变量,哪个是因变量, (2)当所挂物体重量为3千克时,弹簧多长,不挂重物时呢,
(3)若所挂重物为7千克时(在允许范围内),你能说出此时的弹簧长度吗,
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2. 某居民小区按照分期付款的方式购房,购房时,首付(第1年)付款30000元,以后每年付款见下表:
年 份 第2年 第3年 第4年 第5年 第6年 交付房款(元) 15000 20000 25000 30000 35000
(1)表中反映了哪两个量之间的关系,
(2)根据表格推算,第7年应付款多少元,
(3)小明家购得一套住房,到第8年恰好付清房款,问他家购买这套住房,共花了多少元,
3. 随着我国人口出生速度的减慢,小学入学儿童数量有所减少(下表中的数据近似地呈现了某地区入学儿童人数的变化趋势(试用你所学的知识解决下列问题:
年份(x) 2000 2001 2002 …
入学儿童人数(y) 2520 2330 2140 …
(1)上表反映了哪两个量之间的关系,哪个是自变量,哪个是因变量,
(2)根据表中的数据,你能谈谈该地区入学儿童人数的变化趋势吗,
(3)若该地区的入学儿童人数y(人)与年份x(年)的关系是y=-190x+382520,你能预测该地区从哪一年起入学儿童的人数不超过1000人,
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4. 一辆小车由静止开始从光滑的斜面上向下滑动,通过观察记录小车滑动的距离S(m)与时间t(s)的数据如下表:
选师无忧:http://51xuanshi.com/
时间t(s) 1 2 3 4
距离s(m) 2 8 18 32 …
(1)写出这一变化过程中的自变量,因变量(
(2)写出用t表示s的关系式(
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5. 当你用温度计测量水的温度时,温度计水银柱的高度是随温度的变化而如何变化的,当你坐在匀速行驶的客车上时,汽车行驶的路程是随时间的增加而怎样变化的,在我们的生活中,变化无时不在(在报纸或电视上,你见过以下图形吗,
图甲是某次比赛中四位选手的得分情况,图乙是某种股票某月内的收盘价的变化情况(请你想一想:
(1)以上例子中都有一个变化过程,在这个变化过程中有几个变量,它们有关系吗, (2)图甲中,你能知道每个选手的得分吗,
(3)图乙中,你能知道这个月内每一天的收盘价吗,哪一天的收盘价最高,哪一天的收盘价最低,收盘价是10元的有几天,
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6. 小明做观察水的沸腾实验,所记录的部分数据如下表:
时间/分 0 1 2 3 4 5 6 7 8
温度/? 20 25 30 35 40 45 50 55 60
(1)此表反映了哪两个变量之间的关系,哪个是自变量,哪个是因变量, (2)在0-8分钟这段时间内,水的温度是怎么随着时间的变化而变化的, (3)若时间记作t,温度记作w,请写出w和t之间的关系式(
(4)你预计第几分钟时水将沸腾(水的温度达到100?),
选师无忧:http://51xuanshi.com/
答案
1、
解:(1)弹簧长度与所挂物体质量之间的关系;其中所挂物体质量是自变量,弹簧长度是
因变量;
(2)24厘米;18厘米;
(3)32厘米。
2、
(1)交付房款与年份之间的关系;
(2)观察发现,后一年比前一年的房款多5000元, 所以第7年应付款35000+5000=40000元;
(3)依题意可知第8年应付房款为45000元, 30000+15000+20000+25000+30000+35000+40000+45000, =240000(元),
答:小明家购买这套住房共花了240000元(
3、
解:(1)反映了年份和入党儿童人数之间的关系,其中年份是自变量,入学儿童数是因变
量;
(2)该地区入学儿童人数随年份的增加而减少;
(3)由题意得,-190x+382520?1000,
解得x?2008,
所以从2008年起,入学儿童的人数将不超过1000人( 解析:
(1)根据表格信息可得出答案;
(2)从表格数据可发现该地区入学儿童人数随年份的增加而减少; (3)入学儿童人数不超过1000人,即y?1000,解出x的值,即可得出答案(
4、
解:(1)根据图表可得,距离随时间的变化而变化, 所以自变量是时间t,因变量是距离s;
2(2)设t表示s的关系式为s=at,
2则s=a×1=2,
解得a=2,
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2?s=2t(
2故t表示s的关系式为:s=2t(
解析: (1)根据距离随时间的变化而变化,确定自变量与因变量;
2(2)根据物理知识列出函数表达式s=at,代入数据计算即可得到关系式(
5、
解:(1)在每一个变化过程中都有两个变量,它们中的一个变量随另一个变量的变化而改变(
(2)从图甲中可以读出每位选手的得分(
(3)从图乙中可以得知这个月中每天的收盘价,这个月20日的收盘价最高,2日的收盘价最低,收盘价是10元的这个月中有六天(
解析: (1)分别根据常量与变量的关系进行解答;
(2)从图甲中可知4位选手的分数分别是:80、55、78、52;
(3)从图一中横纵坐标的交点即可解答(
6、
解:(1)上表反映了水的温度与时间的关系,时间是自变量,水的温度是因变量; (2)水的温度随着时间的增加而增加;
(3)w=20+5t
(4)当w=100时,100=20+5t,t=16,
答:预计第16分钟时水将沸腾(水的温度达到100?)(
解析: (1)在函数中,给一个变量x一个值,另一个变量y就有对应的值,则x是自变量,y是因变量,据此即可判断;
(2)根据表格中数据得出水的温度变化即可;
(3)根据表格中数据得出每增加1分钟水的温度就增加5?,由此得出w和t之间的关系式;
(4)第几分钟时水将沸腾(水的温度达到100?)即求出w=100是的t的值即可;
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范文二:二次函数解答题
09年中考各地数学试题汇编——二次函数(能力)
1、(09安徽芜湖)如图,在平面直角坐标系中放置一直角三角板,其顶点为A (-1将此三角板绕原点O ,
0) ,B (0,O (0,0) ,顺时针旋转90°,得到△A 'B 'O . (1)如图,一抛物线经过点
3、(09福建莆田)已知,如图抛物线y =ax 2+3ax +c (a >0) 与y 轴交于C 点,与x 轴交于A 、B 两点,A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1,0),OC=30B. (1)、抛物线的解析式;
(2)、点D 是线段AC 下方抛物线上的动点,求四边形ABCD 面积的最大值:
(3)、点E 在x 轴上,点P 在抛物线上。是否存在以A 、C 、E 、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形? 若存在,求点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
A 、B 、B ',求该抛物线解析式;
(2)设点P 是在第一象限内抛物线上一动点,求使四边形PBAB '的面积达到最大时点P 的坐标及面积的最大值.
2、(09甘肃庆阳)如图18,在平面直角坐标系中,将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC 放在第二象限,且斜靠在两坐标轴上,直角顶点C 的坐标为(y =ax 2+ax -2上.
4、(09福建宁德)(本题满分13分)如图,已知抛物线C 1:
y =a (x +2)-5的顶点为P ,与x 轴相交于A 、B 两点(点
2
A 在点B 的左边),点B 的横坐标是1. (1)求P 点坐标及a 的值;(4分)
(2)如图(1),抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称,将抛物线C 2向右平移,平移后的抛物线记为C 3,C 3的顶点为M ,当点P 、M 关于点B 成中心对称时,求C 3的解析式;(4分) (3)如图(2),点Q 是x 轴正半轴上一点,将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线C 4.抛物线C 4的顶点为N ,与x 轴相交于E 、F 两点(点E 在点F 的左边),当以点P 、N 、F 为顶点的三角形是直角三角形时,求点Q 的坐标.(5分)
,点-1,0)
B 在抛物线
(1)点A 的坐标为 ,点B 的坐标为 ; (2)抛物线的关系式为 ;
(3)设(2)中抛物线的顶点为D ,求△DBC 的面积; (4)将三角板ABC 绕顶点A 逆时针方向旋转90°,到达△AB 'C '的位置.请判断点B '、C '是否在(2)中的抛物线上,并说明理由.
5、(09甘肃兰州)(本题满分9分)如图17,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM 为12米. 现以O 点为原点,OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系. (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标; (2)求这条抛物线的解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB,使C 、D 点在抛物线上,A 、B 点在地面OM 上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
6、(09广东深圳)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB .
(1)求点B 的坐标;
(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;
(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由. (4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△P AB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△P AB
图14(1) 图14(2) 图14(3)
(2)设抛物线的面积;
(3)在x 轴下方的抛物线上是否存在一点D ,使四边形ABDC 的面积最大?若存在,请求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由; (4)在抛物线
7、(09福建漳州)如图1,已知:抛物线y =1x 2+bx +c 与x 轴
2
交于A 、B 两点,与
y 轴交于点C ,经过B 、C 两点的直线是
y =
1
x -2,连结AC . 2
(1)B 、C 两点坐标分别为B ( , )、C ( , ),抛物线的函数关系式为 ; (2)判断△ABC 的形状,并说明理由;
(3)若△ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFC (顶点
D 、E 、F 、G 在△ABC 各边上)?若能,求出在AB 边上的矩
形顶点的坐标;若不能,请说明理由.
2
[抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点坐标是?-b , 4ac -b ?]
?
?2a
4a
?
8、(09甘肃定西)如图14(1),抛物线y =x 2-2x +k 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-3).[图14(2)、图14(3)为解答备用图] (1)k
图1
(第26题)
图2(备用)
=
,点A 的坐标为 ,点B 的坐
标为 ;
y =x 2-2x +k 的顶点为
M ,求四边形ABMC
y =x 2-2x +k 上求点
Q ,使△BCQ 是以BC
为直角边的直角三角形.
9、(09广东广州)如图13,二次函数
11、(09广西河池)如图
y =x 2+px +q (p <0)>0)>
于A 、B 两点,交
y 图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C (0,-1),ΔABC 的面积为
5
。 4
E ,点B 的坐标为((1(2)在平面直角坐标系请说明理由;
(3)连结CA 点M ,使得直线CM 若存在,请求出直线(1)求该二次函数的关系式;
(2)过y 轴上的一点M (0,m )作y 轴上午垂线,若该垂线与ΔABC 的外接圆有公共点,求m 的取值范围;
(3)在该二次函数的图象上是否存在点D ,使四边形ABCD 为直角梯形?若存在,求出点D 的坐标;若不存在,请说明理由。
10、(09广西贵港)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 的交x 轴于点A 和点B (-2,0) ,与y 轴的负半轴交于点C ,且线段OC 的长度是线段OA 的2倍,抛物线的对称轴是直线x =1. (1) 求抛物线的解析式;
(2) 若过点(0,-5) 且平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点,以线段MN 为一边抛物线上与M 、N 不重合的任意一点P (x ,y ) 为顶点作平行四边形,若平行四边形的面积为S ,请你求出S 关于点P 的纵坐标y 的函数解析式; (3) 当0<x ≤
10
时,(2) 中的平行四边形的面积是否存在最大3
12、(09广西柳州)如图,已知抛物线y =ax 2-2ax -b (a >0)与x 轴的一个交点为B (-1,0) ,与y 轴的负半轴交于点C ,顶点为D .
(1)直接写出抛物线的对称轴,及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标;
(2)以AD 为直径的圆经过点C . ①求抛物线的解析式;
值?若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.
②点
E
在抛物线的对称轴上,点
F
在抛物线上,且以
求点F 的B ,A ,F ,E 四点为顶点的四边形为平行四边形,
坐标.
图11
(09广西钦州)如图,已知抛物线y =
32
x +bx +c 与坐标轴4
(09贵州安顺)如图,已知抛物线与x 交于A(-1,0) 、E(3,0) 两点,与
y 轴交于点B(0,3) 。
交于A 、B 、C 三点, A 点的坐标为(-1,0),过点C 的直线y =
(1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线顶点为D ,求四边形AEDB 的面积; (3) △AOB 与△DBE 是否相似?如果相似,请给以证明;如果不相似,请说明理由。
3
x -3与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一4t
个动点,过P 作PH ⊥OB 于点H .若PB =5t ,且0<t <1. (1)填空:点C 的坐标是 ,b = ,c = ; (2)求线段QH 的长(用含t 的式子表示);
(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使以P 、H 、Q 为顶点的三角形与△COQ 相似?若存在,求出所有t 的值;若不存在,说明理由.
(09广西梧州)如图(9)-1,抛物线y =ax 2-3ax +b 经过A (-1,0),C (3,-2)两点,与点B .
(1)求此抛物线的解析式; (2)若直线
(09贵州黔东南)已知二次函数y =x 2+ax +a -2。
(1)求证:不论a 为何实数,此函数图象与x 轴总有两个交点。
(2)设a<0,当此函数图象与x>0,当此函数图象与x>
(3)若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点,在函数图象上是否存在点P ,使得△PAB 的面积为3,若存在求出P 点坐
2
标,若不存在请说明理由。
y 轴交于点D ,与x 轴交于另一
y =kx +1(k ≠0) 将四边形ABCD 面积二等分,求
k 的值;
(3)如图(9)-2,过点E (1,1)作EF ⊥x 轴于点F ,将△AEF 绕平面内某点旋转180°得△MNQ (点M 、N 、Q 分别与点A 、E 、F 对应),使点M 、N 在抛物线上,作MG ⊥x 轴于点G ,若线段MG ︰AG =1︰2,求点M ,N 的坐标.
(09湖北黄冈) 新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机,及时调整投资方向,瞄准光伏产业,建成了太阳能光伏电池生产线.由于新产品开发初期成本高,且市场占有率不高等因素的影响,产品投产上市一年来,公司经历了由初期的亏损到后
来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次).公司累积获得的利润y (万元)与销售时间第x (月)
之间的函数关系式(即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上.该图象从左至右,依次是线段OA 、曲线AB 和曲线BC ,其中曲线AB 为抛物线的一部分,点A 为该抛物线的顶点,曲线BC 为另一抛物线
图(9)-1
图(9)-2
y =-5x 2+205x -1230的一部分,且点A ,B ,C 的横坐标分
别为4,10,12
(1)求该公司累积获得的利润y (万元)与时间第x (月)之间的函数关系式;
(2)直接写出第x 个月所获得S (万元)与时间x (月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程);
(3)前12个月中,第几个月该公司所获得的利润最多?最多利润是多少万元?
(09湖北黄冈) (满分14分) 如图, 在平面直角坐标系xoy 中, 抛物线
(09湖北十堰) 如图①, 已知抛物线
(09湖北荆州) 一开口向上的抛物线与x 轴交于A (m -2,0) ,B (m +2,0) 两点,记抛物线顶点为C ,且AC ⊥BC . (1)若m 为常数,求抛物线的解析式;
(2)若m 为小于0的常数,那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点?
(3)设抛物线交y 轴正半轴于D 点,问是否存在实数m ,使得△BCD 为等腰三角形?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由.
y =
124
x -x -10与x 轴的交点为点B , 过点B 作x 轴的平行189
y =ax 2+bx +3(a ≠0)
与x 轴交于点A (1,0) 和点B (-3,0) ,与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3) 如图②,若点E 为第二象限抛物线上一动点,连接BE 、CE ,求四边形BOCE 面积的最大值,并求此时E 点的坐标.
线BC , 交抛物线于点C , 连结AC .现有两动点P ,Q 分别从A,C 两点同时出发, 点P 以每秒4个单位的速度沿OA 向终点A 移动, 点Q 以每秒1个单位的速度沿CB 向点B 移动, 点P 停止运动时, 点Q 也同时停止运动, 线段OC , PQ 相交于点D , 过点D 作DE ∥OA , 交CA 于点E , 射线QE 交x 轴于点F .设动点P ,Q 移动的时间为t (单位:秒)
(1)求A,B,C 三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;
(2)当t 为何值时, 四边形PQCA 为平行四边形? 请写出计算过程;
9(3)当0<t <时, △PQ F 的面积是否总为定值? 若是, 求出此定值,
2
若不是, 请说明理由;
(4)当t 为何值时, △PQF 为等腰三角形? 请写出解答过程.
(09湖北武汉) 如图,抛物线y =ax 2+bx -4a 经过A (-1,0) 、
(09湖南湘西) 在直角坐标系xoy 中,抛物线
y =x 2+bx +c 与
C (0,4) 两点,与x 轴交于另一点B . (1)求抛物线的解析式;
(2)已知点D (m ,m +1) 在第一象限的抛物线上,求点D 关于直线BC 对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连接BD ,点P 为抛物线上一点,且
x 轴交于两点A 、B ,与y 轴交于点C ,其中A 在B 的左侧,B 的坐标是(3,0).将直线长度后恰好经过点B 、C . (1) (2) (3) (4)
求k 的值;
求直线BC 和抛物线的解析式; 求△ABC 的面积;
设抛物线顶点为D ,点P 在抛物线的对称轴上,且
y =kx 沿y 轴向上平移3个单位
∠DBP =45°,求点P
∠APD =∠ACB ,求点P 的坐标.
(09山东德州)如图,已知抛物线两点,与
y =x 2-1与x 轴交于A 、B
y 轴交于点C .
(1)求A 、B 、C 三点的坐标.
2
(09湖北仙桃) )如图,已知抛物线y =x +bx +c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ,AB 平行于x 轴,对角线BD 与抛物线交于点P ,点A 的坐标为(0,2) ,AB =4(1)
求抛物线的解析式; (2)若S △APO =
(09湖南娄底) 已知关于x 的二次函数y =x -(2m -1)x +m +3m + (1)探究m 满足什么条件时,二次函数y 的图象与x 轴的交点的个数.
(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A (x 1,0),B (x 2,0),且x +x =5,与y 轴的交点为C ,它的顶点为M ,求直线CM 的解析式.
2
1
22
2
2
(2)过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ,求四边形ACBP 的面积.
(3)在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ,过M 作MG ⊥
x
轴于点G ,使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相
(09湖南益阳) 20. 阅读材料:
如图12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ) ,中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h ) ”. 我们可得出一种计算三角形面积的新方法:似.若存在,请求出M 点的坐标;否则,请说明理由.
3
,求矩形ABCD 2
S ?ABC =
一半.
1
ah ,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的2
解答下列问题:
如图12-2,抛物线顶点坐标为点C (1, 4), 交x 轴于点A (3, 0) ,交y 轴于点B .
(1)求抛物线和直线AB 的解析式;
(2)点P 是抛物线(在第一象限内) 上的一个动点,连结P A ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及S ?CAB ; (3)是否存在一点P ,使S △P AB =若不存在,请说明理由.
1
O
1
A
x
图12-2
(09吉林长春)如图,在直角坐标系中,矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上,点A 、C 的坐标分别为(0,1)、(2,4).点P 从点A 出发,沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动,到点
(m >0),AC =BC , 点A 、C 在x 轴上,点B 坐标为(3,m )线段AB 与点B 、D .
(1)求点A 的坐标(用m 表示); (2)求抛物线的解析式;
(3)设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点,连结PQ 并延长交BC 于点E ,连结 BQ 并延长交AC 于点F ,试证明:FC (AC +EC ) 为定值.
(09浙江绍兴)
9
S △CAB ,若存在,求出P 点的坐标;8
y B
(09湖南株洲) 如图,已知?ABC 为直角三角形,∠ACB =90?,
C 停止;点Q 在x 轴上,横坐标为点P 的横、纵坐标之和.抛物线y =-
y 轴相交于点D ,以P (1,0)为顶点的抛物线过
12
x +bx +c 经过A 、C 两点.过点P 作x 轴的垂4
线,垂足为M ,交抛物线于点R .设点P 的运动时间为t (秒),△PQR 的面积为S (平方单位).
(1)求抛物线对应的函数关系式.(2分) (2)分别求t=1和t=4时,点Q 的坐标.(3分)
(3)当0<t ≤5时,求S 与t 之间的函数关系式,并直接写出S 的最大值.(5分)
【参考公式:抛物线
4ac -b 2
4a
?.】
??
y =ax 2+bx +c 的顶点坐标为?-
b , ?2a
(09江西省)如图,抛物线y =-x 2+2x +3与x 轴相交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),与D .
(1)直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴; (2)连接BC ,与抛物线的对称轴交于点E ,点P 为线段BC 上的一个动点,过点P 作PF ∥DE 交抛物线于点F ,设点P 的横坐标为m ;
①用含m 的代数式表示线段PF 的长,并求出当m 为何值时,四边形PEDF 为平行四边形?
②设△BCF 的面积为S ,求S 与m 的函数关系式.
(09内蒙包头)已知二次函数y =ax 2+bx +c (a
(09山东济南)已知:抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为
与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于点x =-1,
C 其中
y 轴相交于点C ,顶点为
A (-3,0)、C (0,-2).
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P ,使得△PBC 的周长最小.请求出点P 的坐标.
(3)若点D 是线段OC 上的一个动点(不与点O 、点C 重合).过点D 作DE ∥PC 交x 轴于点E .连接PD 、PE .设CD 的长为m ,求S 与m 之间的函数关系式.试△PDE 的面积为S .说明S 是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,
请说明理由.
(第
24
(第24题图)
≠0)的图
(09山东威海)如图,在直角坐标系中,点A ,B ,C 的坐标分别为(-1过A ,B ,C 三点的抛物线的对称轴为直,,,,,0) (30) (03) ,线l ,D 为对称轴l 上一动点. (1)、求抛物线的解析式;
(2)、求当AD +CD 最小时点D 的坐标; (3)、以点A 为圆心,以AD 为半径作
象经过点A (1,-2) ,直线x =m (m >2)0) ,C (0,0) ,B (2,与x 轴交于点D . (1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x =m (m >2)上有一点E (点E 在第四象限),使得E 、D 、B 为顶点的三角形与以A 、O 、C 为顶点的三角形相似,求E 点坐标(用含m 的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F ,使得四边形ABEF 为平行四边形?若存在,请求出m 的值及四边形
A .
A 相切.
①证明:当AD +CD 最小时,直线BD 与 ②写出直线BD 与
ABEF 的面积;若不存在,请说明理由.
A 相切时,D 点的另一个坐标:_________.
(09
的圆心O 在坐标原点,点.抛物线
09浙江台州)如图,已知直线y =-1x +1交坐标轴于A ,B 两
2
y =ax 2+bx 点,以线段AB 为边向上作正方形ABCD ,过点A ,D ,C 的抛物线与直线另一个交点为E . 1)请直接写出点C , D 的坐标; 2)求抛物线的解析式;
3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB 下滑,直至顶点D 落在x 轴上时停止.设正方形落在x 轴下方部分的面积为S ,求S 关于滑行时间t 的函数关系式,并写出相应自变量t 的取值范围;
y =x 交于点M 、N ,且
点C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)抛物线的对称轴交x
O 于F ,求EF 的长.
(3)过点B 作圆O 的切线交否在抛物线上,说明理由.
(09山东烟台)如图,抛物线y 点,与
4)在(3)的条件下,抛物线与正方形一起平移,同时D 停止,求抛物线上C , E 两点间的抛物线弧所扫过的面积. y
x
1
y =-x +1
2
(第24题)
y 轴交于
C
x =1,顶点是M .
(1(2)经过C,M 两点作直线与在这样的点P ,使以点明理由;
(3)设直线y =-x +3与y 点E (不与B ,D 重合)于点F ,试判断△AEF (4)当E 是直线y =-x +3
09浙江湖州)已知抛物线
y =x 2-2x +a (a <0)与y>0)与y>
相交于点A ,顶点为M . 直线y =1x -a 分别与x 轴,
2交于B ,C 两点,并且与直线AM 相交于点N.
y 轴相
填空:试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标,则
M ( , ),N ( , );
如图,将△NAC 沿
y 轴翻折,若点N 的对应点N ′恰好落在
抛物线上,AN ′与x 轴交于点D ,连结CD ,求a 的值和四边形ADCN 的面积;
在抛物线y =x 2-2x +a (a <0)上是否存在一点p ,使得以p="" ,a="" ,c="" ,n="">0)上是否存在一点p>
P 点的坐标;若不存在,试说明理由.
第(2)题
(第24题)
备用图
(09天津)已知函数y 1=x ,y 2=x 2+bx +c ,α,β为方程
且t
>0,tan ∠BAC =3,抛物线经过A 、B 、C 三点,点
y 1-y 2=0的两个根,点M (1,T )在函数y 2的图象上.
(Ⅰ)若α=1,β=1,求函数
32
P (2,m ) 是抛物线与直线l :y =k (x +1) 的一个交点. (1)求抛物线的解析式;
(2)对于动点Q (1,n ) ,求PQ +QB 的最小值;
(3)若动点M 在直线l 上方的抛物线上运动,求△AMP 的边AP 上的高h 的最大值.
三
(09四川南充)如图9,已知正比例函数和反比例函数的图象都
y 2的解析式;
y 1与y 2的图象的两个交点为
时,求t 的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若函数
A ,B ,当△ABM 的面积为1
(Ⅲ)若0<><><><>
12
<1时,试确定t>1时,试确定t>
者之间的大小关系,并说明理由.
(09四川遂宁)如图,二次函数的图象经过点D(0,
7
3) ,且9
经过点A (3,3) .
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线O A 向下平移后与反比例函数的图象交于点B (6,m ) ,求m 的值和这个一次函数的解析式; (3)第(2)问中的一次函数的图象与x 轴、
顶点C 的横坐标为4,该图象在x 轴上截得的线段AB 的长为6.
⑴求二次函数的解析式;
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P ,使PA+PD最小,求出点P 的坐标;
⑶在抛物线上是否存在点Q ,使△QAB 与△ABC 相似?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由.
y 轴分别交于C 、
D ,求过A 、B 、D 三点的二次函数的解析式;
(4)在第(3)问的条件下,二次函数的图象上是否存在点E ,使四边形O ECD 的面积S 1与四边形O ABD 的面积S 满足:
S 1=
(09四川内江)如图所示,已知点A (-1,0) ,C (0,t ) ,0) ,B (3,
2?若存在,求点E 的坐标;若不存在,请说明理由. S
3
(09四川眉山)如图,已知直线y =1x +1与
2
y 轴交于点A
,与
抛物线y =1x 2+bx +c 与直线交于A 、E 两点,x 轴交于点D ,
(09四川成都)在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧) ,与y 轴交于点C ,其顶点为M, 若直线MC 的函数表达式为N ,且
(2)在此抛物线上是否存在异于点C 的点P ,使以N 、P 、C 为顶点的三角形是以NC 为一条直角边的直角三角形?若存在,求出点P 的坐标:若不存在,请说明理由;
(3)过点A 作x 轴的垂线,交直线MC 于点Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ 总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度? 向下最多可平移多少个单位长度
?
2
与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (1,0) 。 ⑴求该抛物线的解析式;
⑵动点P 在轴上移动,当△PAE 是直角三角形时,求点P 的坐标P 。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M ,使|AM -MC |的值最大,求出点M 的坐标。
(09四川泸州)如图12,已知二次函数y =-1x 2+bx +c (c <>
y =kx -3, 与x 轴的交点为
2
的图象与x 轴的正半轴相交于点A 、B ,与y 轴相交于点C ,且OC =OA ?OB . (1)求c 的值;
(2)若△ABC 的面积为3,求该二次函数的解析式; (3)设D 是(2)中所确定的二次函数图象的顶点,试问在直线AC 上是否存在一点P 使△PBD 的周长最小? 若存在,求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
第11页
2
(09陕西省)如图,在平面直角坐标系中,OB ⊥
OA ,且
,2) . OB =2OA ,点A 的坐标是(-1
(1)求点B 的坐标;
(2)求过点A 、O 、B 的抛物线的表达式;
(3)连接AB ,在(2)中的抛物线上求出点P ,使得
S △ABP =S △ABO .
范文三:函数导数解答题
1. (2010期中)(本小题满分13分)已知函数f (x ) =ax 3+bx 2+4x 的极小值为-8,其导函数y =f '(x )
的图象经过点(-2,0) ,如图所示. (Ⅰ)求f (x ) 的解析式;
(Ⅱ)若函数y =f (x )-k 在区间[-3,2]上有两个不同的零点,
求实数k 的取值范围.
x 2+a 2. (2010期末)(本小题满分13分) 已知函数f (x ) =(其中a ∈R ).
x +1
1
(Ⅰ)若函数f (x ) 在点(1,f (1))处的切线为y =x +b ,求实数a , b 的值;
2
(Ⅱ)求函数f (x ) 的单调区间.
3. (2010一模)(本小题满分13分)已知函数f (x ) =x +a ln x , 其中a 为常数,且a ≤-1. (Ⅰ)当a =-1时,求f (x ) 在[e,e2](e=2.718 28…)上的值域; (Ⅱ)若f (x ) ≤e -1对任意x ∈[e,e2]恒成立, 求实数a 的取值范围.
4. (2010二模)(本小题满分13分)已知函数f (x ) =(2ax -x 2)e ax ,其中a 为常数,且a ≥0. (Ⅰ)若a =1,求函数f (x ) 的极值点;
(Ⅱ)若函数f (x ) 在区间上单调递减,求实数a 的取值范围.
1. 解:(Ⅰ)f '(x ) =3ax 2+2bx +4, 且y =f '(x ) 的图象过点(-2,0) ,
所以-2为3ax 2+2bx +4=0的根,代入得:3a -b +1=0 …① -----------2分 由图象可知,f (x ) 在x =-2时取得极小值,即f (-2) =-8
得 b =2a …② ---------------------- 4分 由①②解得 a =-1, b =-2
∴f (x ) =-x 3-2x 2+4x . ---------------------- 6分 (Ⅱ)由题意,方程f (x ) =k 在区间[-3, 2]上有两个不等实根, 即方程-x 3-2x 2+4x =k 在区间[-3, 2]上有两个不等实根. f '(x ) =-3x 2-4x +4,令f '(x ) =0,解得x =-2或x =
2
--------------- 8分 3
可列表:
----------------------11分
由表可知,当k =-8或-3
40
时,方程-x 3-2x 2+4x =k 在区间[-3, 2]上有两个不等实根,27
------13分
即函数y =f (x )-k 在区间[-3, 2]上有两个不同的零点.
x 2+2x -a x 2+a
2. 解:由f (x ) =,可得f '(x ) =.
(x +1) 2x +1
……………….2分
(Ⅰ)因为函数f (x ) 在点(1,f (1))处的切线为y =1?'
f (1)=??2
?
1?f (1)=+b
??2
1
x +b ,得: 2
……………….5分
?a =1?
……………….4分 解得 ?1
b =??2
(Ⅱ)令f '(x ) >0,得x 2+2x -a >0… ① ……………….6分
当?=4+4a ≤0,即a ≤-1时,不等式①在定义域内恒成立,所以此时函数f (x ) 的单调递增区间为
(-∞, -1) 和(-1, +∞) . ……………….8分
当?=4+4a >0,即a >-1时,不等式①的解为x >-1+x <>
……………….10分
又因为x ≠-1,所以此时函数f (x
) 的单调递增区间为(-∞, -1
和(-1+∞) ,单调递
减区间为(-1-
1) 和(-1, -1.
. ……………….12分
所以,当a ≤-1时,函数f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1) 和(-1, +∞) ;
当a >-1时,函数f (x
) 的单调递增区间为(-∞, -1
和(-1+∞) ,
单调递减区间为(-1-
1) 和(-1, -1.
3. 解:(Ⅰ)当a =-1时,f (x ) =x -ln x ,
. ……………….13分
1
得f '(x ) =1-,
x 令f '(x ) >0,即1-
………………2分
1
>0,解得x >1,所以函数f (x ) 在(1,+∞) 上为增函数, x
………………4分
据此,函数f (x ) 在[e,e2]上为增函数,
而f (e)=e -1,f (e2) =e 2-2,所以函数f (x ) 在[e,e2]上的值域为[e-1,e 2-2]
………………6分
a a
(Ⅱ)由f '(x ) =1+, 令f '(x ) =0,得1+=0, 即x =-a ,
x x
当x ∈(0,-a ) 时,f '(x ) <0,函数f (x="" )="" 在(0,-a="" )="">0,函数f>
当x ∈(-a , +∞) 时,f '(x ) >0,函数f (x ) 在(-a , +∞) 上单调递增; ……………7分 若1≤-a ≤e ,即-e ≤a ≤-1,易得函数f (x ) 在[e,e2]上为增函数,
此时,f (x ) max =f (e2) ,要使f (x ) ≤e -1对x ∈[e,e2]恒成立,只需f (e2) ≤e -1即可,
-e 2+e -1
所以有e +2a ≤e -1,即a ≤
2
-e 2+e -1-(e2-3e +1) -e 2+e -1而-(-e) =<><-e>-e>
222
2
………………8分
若e <-a>-a> ?f (e)≤e -1? 要使f (x ) ≤e -1对x ∈[e,e]恒成立,只需?,即?-e 2+e -1, 2 ?f (e) ≤e -1?a ≤ ?2 2 -e 2+e -1-e 2+e +1-e 2+e -1e 2+e -12由-(-1) =<0和-(-e )="">0 2222 -e 2+e -12 得-e 2 若-a ≥e 2,即a ≤-e 2,易得函数f (x ) 在[e,e2]上为减函数, 此时,f (x ) max =f (e),要使f (x ) ≤e -1对x ∈[e,e2]恒成立,只需f (e)≤e -1即可, 所以有e +a ≤e -1,即a ≤-1,又因为a ≤-e 2,所以a ≤-e 2. ……………12分 ……………13分 -e 2+e -1 综合上述,实数a 的取值范围是(-∞, ]. 2 4. 解法一:(Ⅰ)依题意得f (x ) =(2x -x 2)e x ,所以f '(x ) =(2-x 2)e x , 令f '(x ) = 0,得x = . ………………………1分 . ………………………2分 ' 由上表可知,x =f (x ) 的极小值点,x =是函数f (x ) 的极大值点. ……5分 (Ⅱ) f '(x ) =[-ax 2+(2a 2-2) x +2a ]eax , . ………………………6分 由函数f (x ) 在区间上单调递减可知:f '(x ) ≤0对任意x ∈恒成立,……7分 当a =0时,f '(x ) =-2x ,显然f '( x ) ≤0对任意x ∈恒成立; .…………………8分 当a >0时,f '(x ) ≤0等价于ax 2- (2a 2-2) x -2a ≥0, 22a 2-2 因为x ∈,不等式ax -(2a -2) x -2a ≥0等价于x -≥, ……9分 x a 2 令g (x ) =x -, x ∈, x 2 2 则g '(x ) =1+ 2 ,在上显然有g '(x ) >0恒成立,所以函数g (x ) 在单调递增, 2x . ………………………11分 所以g (x ) 在上的最小值为g =0, 22a 2-2 由于f '(x ) ≤0对任意x ∈恒成立等价于x -≥对任意x ∈恒成立, x a 2a 2-22a 2-2 需且只需g (x ) min ≥,即0≥,解得-1≤a ≤1,因为a >0,所以0 a a 综合上述,若函数f (x ) 在区间上单调递减,则实数a 的取值范围为0≤a ≤1. …13分 解法二:(Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)f '(x ) =[-ax 2+(2a 2-2) x +2a ]eax , . ………………………6分 由函数f (x ) 在区间上单调递减可知:f '(x ) ≤ 0对任意x ∈恒成立, 即ax 2-(2a 2-2) x -2a ≥ 0对任意x ∈恒成立, …………………7分 当a =0时,f '(x ) =-2x ,显然f '(x ) ≤ 0对任意x ∈恒成立; …………………8分 a 2-1 当a >0时,令h (x ) =ax -(2a -2) x -2a ,则函数h (x ) 图象的对称轴为x =,…………9分 a a 2-1若≤0,即0 0对任意x ∈恒成立,需 a 2 2 且只需h ≥0,解得-1≤a ≤1,所以0 a 2-1 若>0,即a >1时,由于函数h (x ) 的图象是连续不间断的,假如h (x ) ≥ 0对任意x ∈恒成 a 立,则有h ≥0,解得-1≤a ≤1,与a >1矛盾,所以h (x ) ≥ 0不能对任意x ∈恒成立. 综合上述,若函数f (x ) 在区间上单调递减,则实数a 的取值范围为0≤a ≤1. ……13分 函数解答题 1. 已知函数f (x ) =x +bx +c ,且方程f (x ) =x 的两个实根x 1, x 2满足x 2-x 1>2。 (1)求证:x 1, x 2是方程f (f (x )) =x 的两个根; (2)若x 3, x 4是f (f (x )) =x 的另外两个根,且x 4>x 3,试判断这四个根的大小关系。 2. (2010北京大学自主招生)0<><> 2,求证:sin α<> 3.1已知Roll 中值定理去证Lagrange 中值定理。 [Roll(罗尔)中值定理:设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内可导,若f (a ) =f (b ) ,则?ξ∈(a , b ) ,使f '(ξ) =0;Lagrange (拉格朗日)中值定理:设f (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内可导,则?ξ∈(a , b ) ,使f (b ) -f (a ) =f '(ξ) ;柯西中值定理:设函数b -a f (x ) 、g (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内可导,且g '(x ) 恒不为0,则?ξ∈(a , b ) ,使f (b ) -f (a ) f '(ξ) ] =g (b ) -g (a ) g '(ξ) 3.2设b >a >e ,求证:a >b [提示:不等式两边取对数后,直接套用Lagrange 中值定理即可;同理,上述第3题可以套用Lagrange 中值用来快速论证;这些论证结果尽可能熟记于心,以作为定理来处理怪题] b a x 2x 3x n ++???+4. (2012华约)记f n (x ) =1+x +,n =1, 2, 3.... 。证明:当n 是偶数时,2! 3! n ! f n (x ) =0没有实根;当n 是奇数时,f n (x ) =0有唯一实根θn >θn +2。 5. f (x ) 为(-∞, +∞) 的连续函数,?x , y ∈R , f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,求证:存在c ,使得f (x ) =cx 。 6. (2000上海交通大学)函数f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) +xyf (x +y ) ,。f '(0) =1,则f (x ) 解析式是_______; 7. (2006清华大学)已知函数f (x ) 满足:对任意实数a , b 有f (ab ) =af (b ) +bf (a ) ,且f (x ) ≤1。求证:f (x ) 在R 上恒为零。(可用“无穷小函数与有界函数之积仍为无穷小函数”) 8. (2008上海交通大学冬令营)已知函数f (x ) =ax +bx +c (a ≠0) , f (x ) =x 没有实根,那么f (f (x )) =x 是否有实根?并证明你的结论。 9. (1)若f (x ) 是以2π为周期的连续函数,则在任何一个周期内存在ξ∈R ,使得2f (ξ+π) =f (ξ) ; (2)已知函数f (x ) 在圆周上有定义,并且连续,证明:可以找到一条直径,使得其两个端点A , B 满足f (A ) =f (B ) 。 10. 证明:若f (x ) ∈C (-∞, +∞) , f (f (x )) =x ,则存在ξ∈(-∞, +∞) ,使得f (ξ) =ξ。 11. 证明:平面上,沿任一方向作平行直线,总存在一条直线,将给定的三角形分成面积相等的两部分。 n 12. 若f (x ) =2nx (1-x ) ,求:(1)M n =max {f (x )};(2)lim M n ; x ∈[0, 1]n →∞ 13. 设函数f (x ) 在区间[a , b ]满足f (x ) -f (y ) ≤M x -y , ?x , y ∈[a , b ]。其中α M >0, α>1是常数。证明:f (x ) 在[a , b ]上恒为常数。 14. 已知a 0+ 实根。 15. (2007上海交通大学)设f (x ) =(1+a ) x +x -(3a +2) x -4a 。试证明:对任意实数a ,(1)方程f (x ) =0总有共同实根;(2)存在x 0,恒有f (x 0) ≠0。 16. (2002上海交通大学)函数f (x ) =lg x ,有0 (1)求a , b 满足的关系;(2)证明:存在这样的b ,使3 17. (2011全国数学竞赛)设f (x ) =lg(x +1) ,实数a , b 满足f (a ) =f (-432a a 1a 2++???+n =0,证明:a 0+a 1x +a 2x 2+???+a n x n =0至少有一23n +1a +b ) 。 2b +1) ,b +2f (10a +6b +21) =4lg 2,求a , b 值。 18. 已知集合A ={a 1, a 2,..., a k }(k ≥2) ,其中a i ∈Z (i =1, 2,..., k ) ,由A 中的元素构成两个形影的集合:S ={(a , b ) |a ∈A , a +b ∈A },T ={(a , b ) |a ∈A , b ∈A , a -b ∈A }, 其中(a , b ) 是有序实数对,集合S 和T 中的元素个数分别为m , n 。若对于任意的a ∈A , 总有 -a ?A ,则称集合A 具有性质P 。 (1) 检验集合{1, 2, 3}与{-1, 2, 3}是否具有性质P ,并对其中具有性质P 的集合,写 出相应的集合S 和T ; (2) 对任何具有性质P 的集合A ,证明:n ≤k (k -1) ; 2 (3) 判断m 和n 的大小关系,并证明你的结论。 19. (2009北京大学)存不存在0 2使得sin x , cos x , tan x , cot x 为等差数列; 20. (浙江大学)已知A , B , C 为三角形ABC 的三个内角,求证:cos B +cos C + 2sin A A ≥4sin [作为定理记下] sin B +sin C 2 21. (2009清华大学)已知f (x ) 是三次项系数为 为(1, 2) 。 ⑴若f '(x ) +7a =0仅有一解,求f '(x ) 表达式; ⑵若f (x ) 在R 上单调递增,求实数a 的取值范围。 22. 设函数f (x ) 定义域为(-∞, 0) ?(0, +∞) ,且满足af (x ) +bf () = 常数,a ≠b 。证明:f (x ) 为奇函数。[作为定理记下] 23. (集训试题) 已知a >0,函数f (x ) =ax -bx ; (1)当b >0时,若对任意x ∈R 都有f (x ) ≤1,证明:a ≤2b ; (2)当b >1时,证明:对任意x ∈[0, 1], f (x ) ≤1的充要条件是:b -1≤a ≤2; (3)当0 24. (06重庆卷) 已知定义域为R 的函数f (x ) 满足f 2a 的三次函数,并且f '(x ) -9x <0的解集31x c="" ,其中a="" ,="" b="" ,="" c="" 均为x="" (f="" (x="" )="" -x="" 2+x="" )="f" (x="" )="" -x="" 2+x="" .="" (i="" )若f="" (2)="3,求f" (1);="" 又若f="" (0)="a" ,求f="" (a="" )="">0的解集31x> (II )设有且仅有一个实数x 0,使得f (x 0) =x 0,求函数f (x ) 的解析表达式。金脸题 25. (2006陕西赛区预赛)(20分) 设P (x +a , y 1) 、Q (x , y 2) 、r (2+a , y 3) 是函数 x f (x ) =2+a 的反函数图象上三个不同点,且满足y 1+y 3=2y 2的实数x 有且只有一个,试求实数a 的取值范围。 -2x +b 26. (06重庆卷) 已知定义域为R 的函数f (x ) =x +1是奇函数。(Ⅰ)求a , b 的值;(Ⅱ)2+a 22若对任意的t ∈R ,不等式f (t -2t ) +f (2t -k ) <0恒成立,求k>0恒成立,求k> 2 27. (200 6天津)已知α、β是关于x 的二次方程2x -tx -2=0的两个根,且α<β,f (α)="" -f="" (β)="" 4x="" -t="" .(ⅰ)求的值;(ⅱ)对任意的正数x="" 1、x="" 2,求2α-βx="">β,f> x α+x 2βx β+x 2α) -(1) |<2|α-β|. 证:|f="">2|α-β|.> x 1+x 2x 1+x 2若函数f (x ) = 二次函数解答题 1. (2015? 四川凉山州第 28题 12分)如图,已知抛物线 y =x 2﹣(m +3) x +9的顶点 C 在 x 轴正半 轴上,一次函数 y =x +3与抛物线交于 A 、 B 两点,与 x 、 y 轴交于 D 、 E 两点. (1)求 m 的值. (2)求 A 、 B 两点的坐标. (3)点 P (a , b )(﹣ 3 考点:二次函数综合题. 分析: (1)抛物线的顶点在 x 轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根 ,根据判别式等于 0可求得 m 的值; (2)由(1)可求得抛物线解析式,联立一次函数和抛物线解析式可求得 A 、 B 两点的坐标 (3)分别过 A 、 B 、 P 三点作 x 轴的垂线,垂足分别为 R 、 S 、 T ,可先求得△ ABC 的面积,再 利用 a 、 b 表示出△ P AB 的面积,根据面积之间的关系可得到 a 、 b 之间的关系,再结合 P 点在 抛物线上,可得到关于 a 、 b 的两个方程,可求得 a 、 b 的值. 解答:解: (1)∵抛物线 y =x 2﹣(m +3) x +9的顶点 C 在 x 轴正半轴上, ∴方程 x 2﹣(m +3) x +9=0有两个相等的实数根, ∴(m +3) 2﹣ 4×9=0,解得 m =3或 m =﹣ 9, 又抛物线对称轴大于 0,即 m +3>0, ∴ m =3; (2)由(1)可知抛物线解析式为 y =x 2﹣ 6x +9,联立一次函数 y =x +3, 可得 ,解得 或 , ∴ A (1, 4), B (6, 9); (3)如图,分别过 A 、 B 、 P 三点作 x 轴的垂线,垂足分别为 R 、 S 、 T , ∵ A (1, 4), B (6, 9), C (3, 0), P (a , b ), ∴ AR =4, BS =9, RC =3﹣ 1=2, CS =6﹣ 3=3, RS =6﹣ 1=5, PT =b , RT =1﹣ a , ST =6﹣ a , ∴ S △ ABC =S 梯形 ABSR ﹣ S △ ARC ﹣ S △ BCS =×(4+9) ×5﹣ ×2×4﹣ ×3×9=15, S △ P AB =S 梯形 PBST ﹣ S 梯形 ABSR ﹣ S 梯形 ARTP =(9+b )(6﹣ a )﹣ (b +4)(1﹣ a )﹣ ×(4+9 ) ×5=(5b ﹣ 5a ﹣ 15), 又 S △ P AB =2S △ ABC , ∴ (5b ﹣ 5a ﹣ 15) =30,即 b ﹣ a =15, ∴ b =15+a , ∵ P 点在抛物线上, ∴ b =a 2﹣ 6a +9, ∴ 15+a =a 2﹣ 6a +9,解得 a =, ∵﹣ 3 ∴ a =, ∴ b =15+ =. 点评: 本题主要考查二次函数的综合应用,涉及待定系数法、二次函数与一元二次方程的 关系、函数图象的交点及三角形的面积等知识点.在(1)中由顶点在 x 轴的正半轴上把问 题转化为二元一次方程根的问题是解题的关键,在(2)中注意函数图象交点的求法,在( 3)中用 P 点坐标表示出△ P AB 的面积是解题的关键.本题涉及知识点较多,计算量较大, 有一定的难度. 2. (2015? 四川攀枝花第 24题 12分)如图,已知抛物线 y =﹣ x 2+bx +c 与 x 轴交于 A (﹣ 1, 0)、 B (3, 0)两点,与 y 轴交于点 C ,抛物线的对称轴与抛物线交于点 P 、与直线 BC 相交于点 M ,连接 P B . (1)求该抛物线的解析式; (2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D ,使得 △ BCD 的面积最大?若存 在,求出 D 点坐标及△ BCD 面积的最大值;若不存在,请说明理由. (3)在(1)中的抛物线上是否存在点 Q ,使得△ QMB 与△ PMB 的面积相等?若存在,求 出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 考点:二次函数综合题. 分析: (1)把 A (﹣ 1, 0)、 B (3, 0)两点代入 y =﹣ x 2+bx +c 即可求出抛物线的解析式, (2)设 D (t ,﹣ t 2 +2t +3),过点 D 作 DH ⊥ x 轴,根据 S △ BCD =S 梯形 OCDH +S △ BDH ﹣ S △ BOC = ﹣ t 2+t ,即可求出 D 点坐标及△ BCD 面积的最大值, (3)设过点 P 与 BC 平行的直线与抛物线的交点为 Q ,根据直线 BC 的解析式为 y =﹣ x +3,过 点 P 与 BC 平行的直线为 y =﹣ x +5,得 Q 的坐标为(2, 3),根据 PM 的解析式为:x =1,直线 BC 的解析式为 y =﹣ x +3,得 M 的坐标为(1, 2),设 PM 与 x 轴交于点 E ,求出过点 E 与 BC 平 行的直线为 y =﹣ x +1,根据 得点 Q 的坐标为(,﹣ ),(,﹣ ). 解答: 解:(1)由 得 ,则抛物线的解析式为 y =﹣ x 2+2x +3, (2)设 D (t ,﹣ t 2 +2t +3),过点 D 作 DH ⊥ x 轴, 则 S △ BCD =S 梯形 OCDH +S △ BDH ﹣ S △ BOC =(﹣ t 2+2t +3+3) t +(3﹣ t )(﹣ t 2+2t +3)﹣ ×3×3 =﹣ t 2+t ∵﹣ <0, ∴当="" t="">0,> =时, D 点坐标是(, ),△ BCD 面积的最大值是 ; (3)设过点 P 与 BC 平行的直线与抛物线的交点为 Q ∵ P 点的坐标为(1, 4),直线 BC 的解析式为 y =﹣ x +3, ∴过点 P 与 BC 平行的直线为 y =﹣ x +5, 由 得 Q 的坐标为(2, 3), ∵ PM 的解析式为 x =1,直线 BC 的解析式为 y =﹣ x +3, ∴ M 的坐标为(1, 2), 设 PM 与 x 轴交于点 E , ∵ PM =EM =2, ∴过点 E 与 BC 平行的直线为 y =﹣ x +1, 由 得 或 ∴点 Q 的坐标为(,﹣ ),(,﹣ ), ∴使得△ QMB 与△ PMB 的面积相等的点 Q 的坐标为(2, 3),(,﹣ ),( ,﹣ ). 点评: 此题考查了二次函数综合,用到的知识点是二次函数的图象与性质、三角形梯形的 面积、直线与抛物线的交点,关键是作出辅助线,求出符合条件的所有点的坐标. 3. (2015? 四川遂宁第 25题 12分)如图,已知抛物线 y =ax 2+bx +c 经过 A (﹣ 2, 0), B (4, 0 ), C (0, 3)三点. (1)求该抛物线的解析式; (2)在 y 轴上是否存在点 M ,使△ ACM 为等腰三角形?若存在,请直接写出所有满足要求 的点 M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点 P (t , 0)为线段 AB 上一动点(不与 A , B 重合),过 P 作 y 轴的平行线,记该直线 右侧与△ ABC 围成的图形面积为 S ,试确定 S 与 t 的函数关系式. 考点:二次函数综合题. 分析: (1)把 A (﹣ 2, 0), B (4, 0), C (0, 3)代入抛物线 y =ax 2+bx +c ,求解即可; (2)作线段 CA 的垂直平分线,交 y 轴于 M ,交 AC 与 N ,连结 AM 1,则△ AM 1C 是等腰三角形 ,然后求出 OM 1得出 M 1的坐标,当 CA =CM 2时,则△ AM 2C 是等腰三角形,求出 OM 2得出 M 2的坐标,当 CA =AM 3时,则△ AM 3C 是等腰三角形,求出 OM 3得出 M 3的坐标,当 CA =CM 4时 ,则△ AM 4C 是等腰三角形,求出 OM 4得出 M 4的坐标, (3)当点 P 在 y 轴或 y 轴右侧时,设直线与 BC 交与点 D ,先求出 S △ BOC ,再根据△ BPD ∽△ B OC ,得出 =() 2, =() 2,求出 S =S △ BPD ;当点 P 在 y 轴左侧时,设 直线与 AC 交与点 E ,根据 =() 2,得出 =() 2,求出 S =S △ ABC ﹣ S △ APE =9﹣ ,再整理即可. 解答:解:(1)把 A (﹣ 2, 0), B (4, 0), C (0, 3)代入抛物线 y =ax 2+bx +c 得: , 解得:, 则抛物线的解析式是:y =﹣ x 2+x +3; (2)如图 1,作线段 CA 的垂直平分线,交 y 轴于 M ,交 AC 与 N ,连结 AM 1,则△ AM 1C 是等 腰三角形, ∵ AC ==, ∴ CN =, ∵△ CNM 1∽△ COA , ∴ =, ∴ =, ∴ CM 1=, ∴ OM 1=OC ﹣ CM 1=3﹣ =, ∴ M 1的坐标是(0, ), 当 CA =CM 2=时,则△ AM 2C 是等腰三角形, 则 OM 2=3+, M 2的坐标是(0, 3+), 当 CA =AM 3=时,则△ AM 3C 是等腰三角形, 则 OM 3=3, M 3的坐标是(0,﹣ 3), 当 CA =CM 4=时,则△ AM 4C 是等腰三角形, 则 OM 4=﹣ 3, M 4的坐标是(0, 3﹣ ), (3)如图 2,当点 P 在 y 轴或 y 轴右侧时, 设直线与 BC 交与点 D , ∵ OB =4, OC =3, ∴ S △ BOC =6, ∵ BP =BO ﹣ OP =4﹣ t , ∴ =, ∵△ BPD ∽△ BOC , ∴ =() 2, ∴ =() 2, ∴ S =S △ BPD =t 2﹣ 3t +6(0≤ t <> 当点 P 在 y 轴左侧时, 设直线与 AC 交与点 E , ∵ OP =﹣ t , AP =t +2, ∴ =, ∵ =() 2, ∴ =() 2, ∴ S △ APE =, ∴ S =S △ ABC ﹣ S △ APE =9﹣ =﹣ t 2﹣ 3t +6(﹣ 2 点评: 此题考查了二次函数的综合,用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形 的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等,关键是根据题意画出图形,作 出辅助线,注意分类讨论,数形结合的数学思想方法. 4.(8分)(2015? 宁夏)(第 24题)已知点 A (, 3)在抛物线 y =﹣ x 的图象 上,设点 A 关于抛物线对称轴对称的点为 B . (1)求点 B 的坐标; (2)求∠ AOB 度数. 43.(10分)(2015? 宁夏)(第 25题)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将 该产品按拟定的价格进行试销,通过对 5天的试销情况进行统计,得到如下数据: (1)计算这 5天销售额的平均数(销售额 =单价 ×销量); (2)通过对上面表格中的数据进行分析,发现销量 y (件)与单价 x (元 /件)之间存在一 次函数关系,求 y 关于 x 的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围); (3)预计在今后的销售中,销量与单价仍然存在(2)中的关系,且该产品的成本是 20元 /件.为使工厂获得最大利润,该产品的单价应定为多少? 5.(12分)(2015? 桂林)(第 26题)如图,已知抛物线 y =﹣ x 2+bx +c 与坐标轴分别交于 点 A (0, 8)、 B (8, 0)和点 E ,动点 C 从原点 O 开始沿 OA 方向以每秒 1个单位长度移动, 动点 D 从点 B 开始沿 BO 方向以每秒 1个单位长度移动,动点 C 、 D 同时出发,当动点 D 到达原 点 O 时,点 C 、 D 停止运动. (1)直接写出抛物线的解析式:y =﹣ x 2 (2)求△ CED 的面积 S 与 D 点运动时间 t 的函数解析式;当 t 为何值时,△ CED 的面积最大? 最大面积是多少? (3)当△ CED 的面积最大时,在抛物线上是否存在点 P (点 E 除外),使△ PCD 的面积等 于△ CED 的最大面积?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,请说明理由. 考点: 二次函数综合题. 分析: (1)将点 A (0, 8)、 B (8, 0)代入抛物线 y =﹣ x 2 +bx +c 即可求出抛物线的解析式 为:y =﹣ x 2 +3x +8; (2)根据题意得:当 D 点运动 t 秒时, BD =t , OC =t ,然后由点 A (0, 8)、 B (8, 0),可 得 OA =8, OB =8,从而可得 OD =8﹣ t ,然后令 y =0,求出点 E 的坐标为(﹣ 2, 0),进而可 得 OE =2, DE =2+8﹣ t =10﹣ t ,然后利用三角形的面积公式即可求△ CED 的面积 S 与 D 点运动 时间 t 的函数解析式为:S =﹣ t 2 +5t ,然后转化为顶点式即可求出最值为:S 最大 =; (3) 由 (2) 知:当 t =5时, S 最大 = , 进而可知:当 t =5时, OC =5, OD =3, 进而可得 CD = , 从而确定 C (0, 5) , D (3, 0)然后根据待定系数法求出直线 CD 的解析式为:y =﹣ x +5, 然后过 E 点作 EF ∥ CD ,交抛物线与点 P ,然后求出直线 EF 的解析式,与抛物线联立方程 组解得即可得到其中的一个点 P 的坐标, 然后利用面积法求出点 E 到 CD 的距离为:, 然后过点 D 作 DN ⊥ CD , 垂足为 N , 且使 DN = ,然后求出 N 的坐标,然后过点 N 作 NH ∥ CD ,与抛物线交与点 P ,然后求出直线 NH 的解析式,与抛物线联立方程组求解即可 得到其中的另两个点 P 的坐标. 解答: 解:(1)将点 A (0, 8)、 B (8, 0)代入抛物线 y =﹣ x 2 +bx +c 得: , 解得:b =3, c =8, ∴抛物线的解析式为:y =﹣ x 2 +3x +8, 故答案为:y =﹣ x 2 +3x +8; (2)∵点 A (0, 8)、 B (8, 0), ∴ OA =8, OB =8, 令 y =0,得:﹣ x 2+3x +8=0, 解得:x 18, x 2=2, ∵点 E 在 x 轴的负半轴上, ∴点 E (﹣ 2, 0), ∴ OE =2, 根据题意得:当 D 点运动 t 秒时, BD =t , OC =t , ∴ OD =8﹣ t , ∴ DE =OE +OD =10﹣ t , ∴ S =? DE ? OC =? (10﹣ t ) ? t =﹣ t 2+5t , 即 S =﹣ t 2+5t =﹣ (t ﹣ 5) 2+, ∴当 t =5时, S 最大 =; (3)由(2)知:当 t =5时, S 最大 =, ∴当 t =5时, OC =5, OD =3, ∴ C (0, 5), D (3, 0), 由勾股定理得:CD =, 设直线 CD 的解析式为:y =kx +b , 将 C (0, 5), D (3, 0),代入上式得: k =﹣ , b =5, ∴直线 CD 的解析式为:y =﹣ x +5, 过 E 点作 EF ∥ CD ,交抛物线与点 P ,如图 1, 设直线 EF 的解析式为:y =﹣ x +b , 将 E (﹣ 2, 0)代入得:b =﹣ , ∴直线 EF 的解析式为:y =﹣ x ﹣ , 将 y =﹣ x ﹣ ,与 y =﹣ x 2+3x +8联立成方程组得: , 解得:, , ∴ P (,﹣ ); 过点 E 作 EG ⊥ CD ,垂足为 G , ∵当 t =5时, S △ ECD ==, ∴ EG =, 过点 D 作 DN ⊥ CD ,垂足为 N ,且使 DN =,过点 N 作 NM ⊥ x 轴,垂足为 M ,如图 2, 可得△ EGD ∽△ DMN , ∴ , 即:, 解得:DM =, ∴ OM =, 由勾股定理得:MN = =, ∴ N (, ), 过点 N 作 NH ∥ CD ,与抛物线交与点 P ,如图 2, 设直线 NH 的解析式为:y =﹣ x +b , 将 N (, ),代入上式得:b =, ∴直线 NH 的解析式为:y =﹣ x +, 将 y =﹣ x +,与 y =﹣ x 2+3x +8联立成方程组得: , 解得:, , ∴ P (8, 0)或 P (, ), 综上所述:当 △ CED 的面积最大时,在抛物线上存在点 P (点 E 除外) ,使 △ PCD 的面积等 于 △ CED 的最大面积,点 P 的坐标为:P (,﹣ )或 P (8, 0)或 P (, ) 点评:此题考查了二次函数的综合题, 主要涉及了以下知识点:用待定系数法求函数关系 式,函数的最值问题,三角形的面积公式及用二元一次方程组求交点问题等.解决(3)用 到的知识点是两条平行线间的距离处处相等. 6. (12分)(2015? 毕节市)(第 25题)某商场有 A , B 两种商品,若买 2件 A 商品和 1件 B 商 品,共需 80元;若买 3件 A 商品和 2件 B 商品,共需 135元. (1)设 A , B 两种商品每件售价分别为 a 元、 b 元,求 a 、 b 的值; (2) B 商品每件的成本是 20元,根据市场调查:若按(1)中求出的单价销售,该商场每 天销售 B 商品 100件;若销售单价每上涨 1元, B 商品每天的销售量就减少 5件. ①求每天 B 商品的销售利润 y (元)与销售单价(x )元之间的函数关系? ②求销售单价为多少元时, B 商品每天的销售利润最大,最大利润是多少? 考点:二次函数的应用;二元一次方程组的应用. 分析:(1)根据题意列方程组即可得到结论; (2)①由题意列出关于 x , y 的方程即可; ②把函数关系式配方即可得到结果. 解答:解:(1)根据题意得:, 解得:; (2)①由题意得:y =(x ﹣ 20)【 100﹣ 5(x ﹣ 30)】 ∴ y =﹣ 5x 2+350x ﹣ 5000, ②∵ y =﹣ 5x 2+350x ﹣ 5000=﹣ 5(x ﹣ 35) 2+1125, ∴当 x =35时, y 最大 =1125, ∴销售单价为 35元时, B 商品每天的销售利润最大,最大利润是 1125元. 点评: 此题主要考查了二次函数的应用以及用配方法求出最大值,准确分析题意,列出 y 与 x 之间 的二次函数关系式是解题关键. 7. (16分)(2015? 毕节市)(第 27题)如图,抛物线 y =x 2+bx +c 与 x 轴交于 A (﹣ 1, 0), B (3, 0)两点,顶点 M 关于 x 轴的对称点是 M ′ . (1)求抛物线的解析式; (2)若直线 AM ′ 与此抛物线的另一个交点为 C ,求△ CAB 的面积; (3)是否存在过 A , B 两点的抛物线,其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q ,使得四边形 APBQ 为 正方形?若存在,求出此抛物线的解析式;若不存在,请说明理由. 考点:二次函数综合题. 分析:(1)根据待定系数法,可得函数解析式; (2)根据轴对称,可得 M ′ 的坐标,根据待定系数法,可得 AM ′ 的解析式,根据解方程组, 可得 B 点坐标,根据三角形的面积公式,可得答案; (3)根据正方形的性质,可得 P 、 Q 点坐标,根据待定系数法,可得函数解析式. 解答:解:(1)将 A 、 B 点坐标代入函数解析式,得 , 解得 , 抛物线的解析式 y =x 2﹣ 2x ﹣ 3; (2)将抛物线的解析式化为顶点式,得 y =(x ﹣ 1) 2﹣ 4, M 点的坐标为(1,﹣ 4), M ′ 点的坐标为(1, 4), 设 AM ′ 的解析式为 y =kx +b , 将 A 、 M ′ 点的坐标代入,得 , 解得 , AM ′ 的解析式为 y =2x +2, 联立 AM ′ 与抛物线,得 , 解得 , C 点坐标为(5, 12). S △ ABC =×4×12=24; (3)存在过 A , B 两点的抛物线,其顶点 P 关于 x 轴的对称点为 Q ,使得四边形 APBQ 为正方 形, 由 ABPQ 是正方形, A (﹣ 1, 0) B (3, 0),得 P (1,﹣ 2), Q (1, 2),或 P (1, 2), Q (1,﹣ 2), ①当顶点 P (1,﹣ 2)时,设抛物线的解析式为 y =a (x ﹣ 1) 2﹣ 2, 将 A 点坐标代入函数解析式,得 a (﹣ 1﹣ 1) 2﹣ 2=0, 解得 a =, 抛物线的解析式为 y =(x ﹣ 1) 2﹣ 2, ②当 P (1, 2)时,设抛物线的解析式为 y =a (x ﹣ 1) 2+2,将 A 点坐标代入函数解析式,得 a (﹣ 1﹣ 1) 2+2=0, 解得 a =﹣ , 抛物线的解析式为 y =﹣ (x ﹣ 1) 2+2, 综上所述:y =(x ﹣ 1) 2﹣ 2或 y =﹣ (x ﹣ 1) 2+2,使得四边形 APBQ 为正方形. 点评: 本题考查了二次函数综合题,(1)利用待定系数法求函数解析式;(2)利用轴对称的性 质得出 M ′ 的解析式,利用待定系数法得出 AM ′ 的解析式,利用解方程组得出 B 点坐标是解题 关键;(3)利用正方形的性质得出 P 、 Q 点坐标是解题关键,又利用待定系数法求函数解 析式,注意要分类讨论,以防遗漏. 8.(12分)(2015? 黔南州)(第 25题)为了解都匀市交通拥堵情况,经统计分析,都匀 彩虹桥上的车流速度 v (千米 /小时)是车流密度 x (辆 /千米)的函数,当桥上的车流密度达 到 220辆 /千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0千米 /小时;当车流密度为 20辆 /千米时,车 流速度为 80千米 /小时.研究表明:当 20≤ x ≤220时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)求彩虹桥上车流密度为 100辆 /千米时的车流速度; (2)在交通高峰时段,为使彩虹桥上车流速度大于 40千米 /小时且小于 60千米 /小时,应控 制彩虹桥上的车流密度在什么范围内? (3)当车流量(辆 /小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,即:车流量 =车流速 度 ×车流密度.当 20≤ x ≤220时,求彩虹桥上车流量 y 的最大值. 考点 :二次函数的应用. 分析: (1)当 20≤ x ≤220时,设车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式为 v =kx +b ,根据题意的数量关 系建立方程组求出其解即可; (2)由(1)的解析式建立不等式组求出其解即可; (3)设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y =vx ,当 20≤ x ≤220时表示出函数关系,由函数的性质就 可以求出结论. 解答:解:(1)设车流速度 v 与车流密度 x 的函数关系式为 v =kx +b ,由题意,得 , 解得:, ∴当 20≤ x ≤220时, v =﹣ x +88, 当 x =100时, v =﹣ ×100+88=48(千米 /小时); (2)由题意,得 , 解得:70 ∴应控制大桥上的车流密度在 70 (3)设车流量 y 与 x 之间的关系式为 y =vx , 当 20≤ x ≤220时, y =(﹣ x +88) x =﹣ (x ﹣ 110) 2+4840, ∴当 x =110时, y 最大 =4840, ∵ 4840>1600, ∴当车流密度是 110辆 /千米,车流量 y 取得最大值是每小时 4840辆. 点评: 本题考查了车流量 =车流速度 ×车流密度的运用,一次函数的解析式的运用,一元一次不等 式组的运用,二次函数的性质的运用,解答时求出函数的解析式是关键. 9(12分)(2015? 黔南州)(第 26题)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y =﹣ x 2+bx +c 过点 A (0, 4)和 C (8, 0), P (t , 0)是 x 轴正半轴上的一个动点, M 是线段 AP 的中点 ,将线段 MP 绕点 P 顺时针旋转 90°得线段 PB ,过点 B 作 x 轴的垂线,过点 A 作 y 轴的垂线,两 直线交于点 D . (1)求 b 、 c 的值; (2)当 t 为何值时,点 D 落在抛物线上; (3)是否存在 t ,使得以 A , B , D 为顶点的三角形与△ AOP 相似?若存在,求此时 t 的值; 若不存在,请说明理由. 考点 :二次函数综合题. 分析: (1)将 A 、 C 两点坐标代入抛物线 y =﹣ x 2+bx +c ,运用待定系数法即可求出 b , c 的值; (2)先求得 M 的坐标,进而求出点 D 的坐标,然后将 D (t +2, 4)代入(1)中求出的抛物 线的解析式,即可求出 t 的值; (3)由于 t =8时,点 B 与点 D 重合,△ ABD 不存在,所以分 0 ∴ , 解得 . 故所求 b 的值为 , c 的值为 4; (2)∵∠ AOP =∠ PEB =90°,∠ OAP =∠ EPB =90°﹣∠ APO , ∴△ AOP ∽△ PEB 且相似比为 ==2, ∵ AO =4, ∴ PE =2, OE =OP +PE =t +2, 又∵ DE =OA =4, ∴点 D 的坐标为(t +2, 4), ∴点 D 落在抛物线上时,有﹣ (t +2) 2+(t +2) +4=4, 解得 t =3或 t =﹣ 2, ∵ t >0, ∴ t =3. 故当 t 为 3时,点 D 落在抛物线上; (3)存在 t ,能够使得以 A 、 B 、 D 为顶点的三角形与△ AOP 相似,理由如下:①当 0 若△ POA ∽△ ADB ,则 PO :AD =AO :BD , 即 t :(t +2) =4:(4﹣ t ), 整理,得 t 2+16=0, ∴ t 无解; 若△ POA ∽△ BDA ,同理,解得 t =﹣ 2±2(负值舍去); ②当 t >8时,如图 2. 若△ POA ∽△ ADB ,则 PO :AD =AO :BD , 即 t :(t +2) =4:(t ﹣ 4), 解得 t =8±4(负值舍去); 若△ POA ∽△ BDA ,同理,解得 t 无解. 综上可知,当 t =﹣ 2+2或 8+4时,以 A 、 B 、 D 为顶点的三角形与△ AOP 相似. 点评: 本题考查了待定系数法求函数的解析式,二次函数图象上点的坐标特征,旋转的性质,相 似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,综合性较强,难度较大.由相似三角形的判定 与性质求出点 D 的坐标是解决(2)小题的关键;进行分类讨论是解决(3)小题的关键. 10. (14分)(2015? 铜仁市)(第 25题)如图,关于 x 的二次函数 y =x 2+bx +c 的图象与 x 轴 交于点 A (1, 0)和点 B 与 y 轴交于点 C (0, 3),抛物线的对称轴与 x 轴交于点 D . (1)求二次函数的表达式; (2)在 y 轴上是否存在一点 P ,使△ PBC 为等腰三角形?若存在.请求出点 P 的坐标); (3)有一个点 M 从点 A 出发,以每秒 1个单位的速度在 AB 上向点 B 运动,另一个点 N 从 点 D 与点 M 同时出发,以每秒 2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点 M 到达点 B 时, 点 M 、 N 同时停止运动,问点 M 、 N 运动到何处时,△ MNB 面积最大,试求出最大面积. 11.(2015? 甘肃庆阳,第 29题, 12分)如图,在平面直角坐标系中.顶点为(﹣ 4,﹣ 1) 的抛物线交 y 轴于点 A (0, 3),交 x 轴于 B , C 两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)已知点 P 是抛物线上位于 B , C 两点之间的一个动点,问:当点 P 运动到什么位置时, 四边形 ABPC 的面积最大?并求出此时四边形 ABPC 的面积. (3)过点 B 作 AB 的垂线交抛物线于点 D ,是否存在以点 C 为圆心且与线段 BD 和抛物线的对 称轴 l 同时相切的圆?若存在,求出圆的半径;若不存在,请说明理由. 考点 :二次函数综合题. 分析:(1)利用待定系数法求函数的解析式即可; (2)由题意可知当 P 点移动到抛物线的顶点是△ PBC 的面积最大,根据四边形 ABPC 的面积 的最大值为:S △ ABC +S △ PBC 求得即可; (3)已知∠ ABD 是直角,若连接圆心和切点(暂定为 E ),不难看出 Rt △ OAB 、 Rt △ EBC 相似,可据此求出⊙ C 的半径,再将该半径与点 C 到对称轴 l 的距离进行比较即可. 解答:解:(1)根据题意,可设抛物线的解析式为 y =a (x +4) 2﹣ 1, 把点 A (0, 3)代入得:3=16a ﹣ 1, 解得 a =, 所以此抛物线的解析式为 y =(x +4) 2﹣ 1; (2)令 y =0,则 0=(x +4) 2﹣ 1; 解得 x 1=﹣ 2, x 2=﹣ 6, ∴ B (﹣ 2, 0), C (﹣ 6, 0), ∴ BC =4, ∵ S 四边形 ABPC =S △ ABC +S △ PBC , S △ ABC =BC ? OA =×4×3=6, ∴要使四边形 ABPC 的面积最大,则△ PBC 的面积最大, ∴当 P 点移动到抛物线的顶点是△ PBC 的面积最大, ∴四边形 ABPC 的面积的最大值为:S △ ABC +S △ PBC =6+×4×1=6+2=8; (3)如图,设⊙ C 与 BD 相切于点 E ,连接 CE ,则∠ BEC =∠ AOB =90°. ∵ A (0, 3)、 B (﹣ 2, 0)、 C (﹣ 6, 0), ∴ OA =3, OB =2, OC =6, BC =4; ∴ AB ==, ∵ AB ⊥ BD , ∴∠ ABC =∠ EBC +90°=∠ OAB +90°, ∴∠ EBC =∠ OAB , ∴△ OAB ∽△ EBC , ∴ =,即 = ∴ EC =. 设抛物线对称轴交 x 轴于 F . ∵抛物线的对称轴 x =﹣ 4, ∴ CF =2≠ , ∴不存在以点 C 为圆心且与线段 BD 和抛物线的对称轴 l 同时相切的圆. 点评: 此题是二次函数的综合题,主要考查的是利用待定系数法确定函数解析式、相似三 角形的判定和性质、直线与圆的位置关系以及四边形的面积等重要知识点. 12.(2015? 甘肃天水,第 23题, 8分)天水 “ 伏羲文化节 ” 商品交易会上,某商人将每件进 价为 8元的纪念品,按每件 9元出售,每天可售出 20件.他想采用提高售价的办法来增加利 润,经实验,发现这种纪念品每件提价 1元,每天的销售量会减少 4件. (1)写出每天所得的利润 y (元)与售价 x (元 /件)之间的函数关系式. (2)每件售价定为多少元,才能使一天所得的利润最大?最大利润是多少元? 考点:二次函数的应用. 分析: (1)根据题中等量关系为:利润 =(售价﹣进价) ×售出件数,根据等量关系列出函数关 系式; (2)将(1)中的函数关系式配方,根据配方后的方程式即可求出 y 的最大值. 解答:解:(1)根据题中等量关系为:利润 =(售价﹣进价) ×售出件数, 列出方程式为:y =(x ﹣ 8) [20﹣ 4(x ﹣ 9) ], 即 y =﹣ 4x 2+88x ﹣ 448(9≤ x ≤14); (2)将(1)中方程式配方得: y =﹣ 4(x ﹣ 11) 2+36, ∴当 x =11时, y 最大 =36元, 答:售价为 11元时,利润最大,最大利润是 36元. 点评: 本题考查的是二次函数的应用,熟知利润 =(售价﹣进价) ×售出件数是解答此题的关键. 13.(2015? 甘肃天水,第 26题, 12分)在平面直角坐标系中,已知 y =﹣ x 2+bx +c (b 、 c 为 常数)的顶点为 P ,等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0,﹣ 1),点 C 的坐标为(4, 3),直角顶点 B 在第四象限. (1)如图,若抛物线经过 A 、 B 两点,求抛物线的解析式. (2)平移(1)中的抛物线,使顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离为 时,试证明 :平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点. (3)在(2)的情况下,若沿 AC 方向任意滑动时,设抛物线与直线 AC 的另一交点为 Q ,取 BC 的中点 N ,试探究 NP +BQ 是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明 理由. 考点:二次函数综合题. 分析:(1)先求出点 B 的坐标,然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式; (2)如答题图 2,设顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离 时,到达 P ′ ,作 P ′ M ∥ y 轴, PM ∥ x 轴,交于 M 点,根据直线 AC 的斜率求得△ P ′ PM 是等腰直角三角形,进而求得抛物线 向上平移 1个单位,向右平移 1个单位,从而求得平移后的解析式,进而求得与 x 轴的交点, 与直线 AC 的交点,即可证得结论; (3)如答图 3所示,作点 B 关于直线 AC 的对称点 B ′ ,由分析可知,当 B ′ 、 Q 、 F (AB 中点) 三点共线时, NP +BQ 最小,最小值为线段 B ′ F 的长度. 解答: 解:(1)∵等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为(0,﹣ 1), C 的坐标为(4, 3) ∴点 B 的坐标为(4,﹣ 1). ∵抛物线过 A (0,﹣ 1), B (4,﹣ 1)两点, ∴ , 解得:b =2, c =﹣ 1, ∴抛物线的函数表达式为:y =﹣ x 2+2x ﹣ 1. (2)如答题图 2,设顶点 P 在直线 AC 上并沿 AC 方向滑动距离 时,到达 P ′ ,作 P ′ M ∥ y 轴, PM ∥ x 轴,交于 M 点, ∵点 A 的坐标为(0,﹣ 1),点 C 的坐标为(4, 3), ∴直线 AC 的解析式为 y =x ﹣ 1, ∵直线的斜率为 1, ∴△ P ′ PM 是等腰直角三角形, ∵ PP ′=, ∴ P ′ M =PM =1, ∴抛物线向上平移 1个单位,向右平移 1个单位, ∵ y =﹣ x 2+2x ﹣ 1=﹣(x ﹣ 2) 2+1, ∴平移后的抛物线的解析式为 y =﹣(x ﹣ 3) 2+2, 令 y =0,则 0=﹣(x ﹣ 3) 2+2, 解得 x 1=1, x =52, ∴平移后的抛物线与 x 轴的交点为(1, 0),(5, 0), 解 ,得 或 ∴平移后的抛物线与 AC 的交点为(1, 0), ∴平移后的抛物线与直线 AC 交于 x 轴上的同一点(1, 0). (3)如答图 3,取点 B 关于 AC 的对称点 B ′ ,易得点 B ′ 的坐标为(0, 3), BQ =B ′ Q ,取 AB 中 点 F , 连接 QF , FN , QB ′ ,易得 FN ∥ PQ ,且 FN =PQ , ∴四边形 PQFN 为平行四边形. ∴ NP =FQ . ∴ NP +BQ =FQ +B ′ Q ≥ FB ′==2. ∴当 B ′ 、 Q 、 F 三点共线时, NP +BQ 最小,最小值为 2. 点评: 本题为二次函数中考压轴题,考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、几 何变换(平移,对称)、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等知识点 ,考查了存在型问题和分类讨论的数学思想,试题难度较大. 14.(2015? 湖南湘西州,第 26题, 14分)如图,已知直线 y =﹣ x +3与 x 轴、 y 轴分别交于 A , B 两点,抛物线 y =﹣ x 2+bx +c 经过 A , B 两点,点 P 在线段 OA 上,从点 O 出发,向点 A 以 1个单 位 /秒的速度匀速运动;同时,点 Q 在线段 AB 上,从点 A 出发,向点 B 以 个单位 /秒的速度 匀速运动,连接 PQ ,设运动时间为 t 秒. (1)求抛物线的解析式; (2)问:当 t 为何值时,△ APQ 为直角三角形; (3)过点 P 作 PE ∥ y 轴,交 AB 于点 E ,过点 Q 作 QF ∥ y 轴,交抛物线于点 F ,连接 EF ,当 EF ∥ PQ 时,求点 F 的坐标; (4)设抛物线顶点为 M ,连接 BP , BM , MQ ,问:是否存在 t 的值,使以 B , Q , M 为顶点 的三角形与以 O , B , P 为顶点的三角形相似?若存在,请求出 t 的值;若不存在,请说明理 由. 考点:二次函数综合题. 分析: (1)先由直线 AB 的解析式为 y =﹣ x +3,求出它与 x 轴的交点 A 、与 y 轴的交点 B 的坐标, 再将 A 、 B 两点的坐标代入 y =﹣ x 2+bx +c ,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式; (2)由直线与两坐标轴的交点可知:∠ QAP =45°,设运动时间为 t 秒,则 QA =, P A =3﹣ t ,然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于 t 的方程求解即可; (3)设点 P 的坐标为(t , 0),则点 E 的坐标为(t ,﹣ t +3),则 EP =3﹣ t ,点 Q 的坐标为( 3﹣ t , t ),点 F 的坐标为(3﹣ t ,﹣(3﹣ t ) 2+2(3﹣ t ) +3),则 FQ =3t ﹣ t 2, EP ∥ FQ , E F ∥ PQ ,所以四边形为平行线四边形,由平行四边形的性质可知 EP =FQ ,从而的到关于 t 的 方程,然后解方程即可求得 t 的值,然后将 t =1代入即可求得点 F 的坐标; (4)设运动时间为 t 秒,则 OP =t , BQ =(3﹣ t ) ,然后由抛物线的解析式求得点 M 的坐 标,从而可求得 MB 的长度,然后根据相似相似三角形的性质建立关于 t 的方程,然后即可 解得 t 的值. 解答:解:(1)∵ y =﹣ x +3与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 B , ∴当 y =0时, x =3,即 A 点坐标为(3, 0), 当 x =0时, y =3,即 B 点坐标为(0, 3), 将 A (3, 0), B (0, 3)代入 y =﹣ x 2+bx +c , 得 ,解得 ∴抛物线的解析式为 y =﹣ x 2+2x +3; (2)∵ OA =OB =3,∠ BOA =90°, ∴∠ QAP =45°. 如图①所示:∠ PQA =90°时,设运动时间为 t 秒,则 QA =, P A =3﹣ t . 在 Rt △ PQA 中, ,即:,解得:t =1; 如图②所示:∠ QP A =90°时,设运动时间为 t 秒,则 QA =, P A =3﹣ t . 在 Rt △ PQA 中, ,即:,解得:t =. 综上所述,当 t =1或 t =时,△ PQA 是直角三角形; (3)如图③所示: 设点 P 的坐标为(t , 0),则点 E 的坐标为(t ,﹣ t +3),则 EP =3﹣ t ,点 Q 的坐标为(3﹣ t , t ),点 F 的坐标为(3﹣ t ,﹣(3﹣ t ) 2+2(3﹣ t ) +3),则 FQ =3t ﹣ t 2. ∵ EP ∥ FQ , EF ∥ PQ , ∴ EP =FQ .即:3﹣ t =3t ﹣ t 2. 解得:t 1=1, t 2=3(舍去). 将 t =1代入 F (3﹣ t ,﹣(3﹣ t ) 2+2(3﹣ t ) +3),得点 F 的坐标为(2, 3). (4)如图④所示: 设运动时间为 t 秒,则 OP =t , BQ =(3﹣ t ) . ∵ y =﹣ x 2+2x +3=﹣(x ﹣ 1) 2+4, ∴点 M 的坐标为(1, 4). ∴ MB = =. 当△ BOP ∽△ QBM 时, 即:,整理得:t 2﹣ 3t +3=0, △ =32﹣ 4×1×3<> 当△ BOP ∽△ MBQ 时, 即:,解得 t =. ∴当 t =时,以 B , Q , M 为顶点的三角形与以 O , B , P 为顶点的三角形相似. 点评: 本题主要考查的是二次函数、锐角三角函数、平行四边形、相似三角形的综合应用 ,利用含字母 t 的式子表示出相关线段的长度,根据图形的性质建立关于字母 t 的方程是解题 的关键. 15.(2015? 江苏镇江,第 28题, 10分)如图,二次函数 y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过点 (0, 3),且当 x =1时, y 有最小值 2. (1)求 a , b , c 的值; (2)设二次函数 y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c )(k 为实数),它的图象的顶点为 D . ①当 k =1时,求二次函数 y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c )的图象与 x 轴的交点坐标; ②请在二次函数 y =ax 2+bx +c 与 y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c )的图象上各找出一个点 M , N , 不论 k 取何值,这两个点始终关于 x 轴对称,直接写出点 M , N 的坐标(点 M 在点 N 的上方) ; ③过点 M 的一次函数 y =﹣ x +t 的图象与二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象交于另一点 P ,当 k 为何 值时,点 D 在∠ NMP 的平分线上? ④当 k 取﹣ 2,﹣ 1, 0, 1, 2时,通过计算,得到对应的抛物线 y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c ) 的顶点分别为(﹣ 1,﹣ 6,),(0,﹣ 5),(1,﹣ 2),(2, 3),(3, 10),请问:顶点的横、纵坐标是变量吗?纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的? 考点 :二次函数综合题. 分析:(1)利用顶点式的解析式求解即可; (2))①当 k =1时, y =﹣ x 2+4x ﹣ 1,令 y =0,﹣ x 2+4x ﹣ 1=0,解得 x 的值,即可得出图象与 x 轴的交点坐标; ② y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c )当经 x =﹣ 1时, y =ax 2+bx +c 与 y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c )的 图象上点 M , N ,不论 k 取何值,这两个点始终关于 x 轴对称,可得 M (﹣ 1, 6), N (﹣ 1, ﹣ 6); ③由 y =﹣ +t ,经过(﹣ 1, 6),可得 t 的值,由 MN ⊥ x 轴,可得 E 点的横坐标为﹣ 1,可得 出 AE , ME , MA 的值.设 MD 交 AE 于点 B ,作 BC ⊥ AM 于点 C ,设 BC =x ,则 AB =8﹣ x ,显然 △ ABC ∽△ AMN ,可求出 x 的值,即可得出 MD 的函数表达式为 y =﹣ 2x +4.再把点 D 代入, 即可求出 k 的值; ④观察可得出当顶点的横坐标大于﹣ 1时,纵坐标随横坐标的增大而增大,当顶点的横坐标 小于﹣ 1时,纵坐标随横坐标的增大而减小. 解答:解:(1)设 y =a (x ﹣ 1) 2+2,将(0, 3)代入,得 a =1, ∴ y =(x ﹣ 1) 2+2,即 y =x 2﹣ 2x +3, ∴ a =1, b =﹣ 2, c =3; (2)①当 k =1时, y =﹣ x 2+4x ﹣ 1,令 y =0,﹣ x 2+4x ﹣ 1=0,解得 x =2±,即图象与 x 轴的交 点坐标(2+, 0),(2﹣ , 0); ② y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c )当经 x =﹣ 1时, y =ax 2+bx +c 与 y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c )的 图象上点 M , N ,不论 k 取何值,这两个点始终关于 x 轴对称, ∴ M (﹣ 1, 6), N (﹣ 1,﹣ 6), ③ y =﹣ +t ,经过(﹣ 1, 6),得 t =, ∴ y =﹣ x +,则 A (7, 0), ∵ MN ⊥ x 轴, ∴ E 点的横坐标为﹣ 1, ∴ AE =8, ∵ ME =6, ∴ MA =10. 如图 1,设 MD 交 AE 于点 B ,作 BC ⊥ AM 于点 C , ∵ MD 平分∠ NMP , MN ⊥ x 轴, ∴ BC =BE ,设 BC =x ,则 AB =8﹣ x ,显然△ ABC ∽△ AME , ∴ =,则 x =3.得点 B (2, 0), ∴ MD 的函数表达式为 y =﹣ 2x +4. ∵ y =ax 2+bx +c 与 y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c ) =﹣ [x ﹣(k +1) ]2+(k +1) 2+2k ﹣ 3. 把 D (k +1, k 2+2k +1+2k ﹣ 3),代入 y =﹣ 2x +4.得 k =﹣ 3±, 由 y =k (2x +2)﹣(ax 2+bx +c )有意义可得 k =﹣ 3+, ④是. 当顶点的横坐标大于﹣ 1时,纵坐标随横坐标的增大而增大, 当顶点的横坐标小于﹣ 1时,纵坐标随横坐标的增大而减小. 点评: 本题主要考查了二次函数,涉及二次函数的解析式的求法,一次函数的知识及相似 三角形,解题的关键是把二次函数图象与其它函数图象相结合解决问题. 16. (2015? 黄石第 23题 8分)大学毕业生小王响应国家 “ 自主创业 ” 的号召,利用银行小额无 息贷款开办了一家饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件 4 0元,售价为每件 60元,每月可卖出 300件.市场调查反映:调整价格时,售价每涨 1元每月 要少卖 10件;售价每下降 1元每月要多卖 20件.为了获得更大的利润,现将饰品售价调整为 60+x (元 /件)(x >0即售价上涨, x <0即售价下降),每月饰品销量为 y="" (件),月利润="" 为="" w="">0即售价下降),每月饰品销量为> (1)直接写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)如何确定销售价格才能使月利润最大?求最大月利润; (3)为了使每月利润不少于 6000元应如何控制销售价格? 17. (2015·湖北省随州市,第 23题 8分)如图,某足球运动员站在点 O 处练习射门,将足球 从离地面 0.5m 的 A 处正对球门踢出(点 A 在 y 轴上),足球的飞行高度 y (单位:m )与飞行 时间 t (单位:s )之间满足函数关系 y =at 2+5t +c ,已知足球飞行 0.8s 时,离地面的高度为 3.5 m . (1)足球飞行的时间是多少时,足球离地面最高?最大高度是多少? (2)若足球飞行的水平距离 x (单位:m )与飞行时间 t (单位:s )之间具有函数关系 x =10 t ,已知球门的高度为 2.44m ,如果该运动员正对球门射门时,离球门的水平距离为 28m ,他 能否将球直接射入球门? 18. (2015·湖北省随州市,第 25题 12分)如图,已知抛物线 y =(x +2)(x ﹣ 4)与 x 轴交 于点 A 、 B (点 A 位于点 B 的左侧),与 y 轴交于点 C , CD ∥ x 轴交抛物线于点 D , M 为抛物线 的顶点. (1)求点 A 、 B 、 C 的坐标; (2)设动点 N (﹣ 2, n ),求使 MN +BN 的值最小时 n 的值; (3) P 是抛物线上一点,请你探究:是否存在点 P ,使以 P 、 A 、 B 为顶点的三角形与△ ABD 相似(△ P AB 与△ ABD 不重合)?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. 第 41 页 共 70 页 19. (2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第 25 题 12分)已知抛物线经过 A (﹣ 3, 0), B (1, 0), C (2, )三点,其对称轴交 x 轴于点 H ,一次函数 y =kx +b (k ≠0)的图象经过点 C ,与抛物线交于另一点 D (点 D 在点 C 的左边) ,与抛物线的对称轴交于点 E . (1)求抛物线的解析式; (2)如图 1,当 S △ EOC =S △ EAB 时,求一次函数的解析式; (3)如图 2,设∠ CEH =α,∠ EAH =β,当 α>β时,直接写出 k 的取值范围. 第 42 页 共 70 页 第 43 页 共 70 页 第 44 页 共 70 页 第 45 页 共 70 页 20.(2015? 恩施州第 24题 12分)矩形 AOCD 绕顶点 A (0, 5)逆时针方向旋转,当旋转到 如图所示的位置时,边 BE 交边 CD 于 M ,且 ME =2, CM =4. (1)求 AD 的长; (2)求阴影部分的面积和直线 AM 的解析式; (3)求经过 A 、 B 、 D 三点的抛物线的解析式; (4)在抛物线上是否存在点 P ,使 S △ P AM =?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明 理由. 第 46 页 共 70 页 第 47 页 共 70 页 第 48 页 共 70 页 第 49 页 共 70 页 21. (2015? 济南 , 第 28题 9分)抛物线 y =ax 2+bx +4(a ≠0)过点 A (1,﹣ 1) , B (5,﹣ 1) , 与 y 轴交于点 C . (1)求抛物线的函数表达式; (2)如图 1,连接 CB ,以 CB 为边作 ? CBPQ ,若点 P 在直线 BC 上方的抛物线上, Q 为坐 标平面内的一点,且 ? CBPQ 的面积为 30,求点 P 的坐标; (3)如图 2,⊙ O 1过点 A 、 B 、 C 三点, AE 为直径,点 M 为 上的一动点(不与点 A , E 重 合) ,∠ MBN 为直角,边 BN 与 ME 的延长线交于 N ,求线段 BN 长度的最大值. 第 50 页 共 70 页 转载请注明出处范文大全网 » 初二上学期一次函数精选解答题范文四:函数解答题
范文五:二次函数解答题