范文一:利用图示法求边际密度函数
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利用图 示莹求边不:玄习之巡 际密度函数
文,袁媛
求解有关二维连续随机变量(x,Y)的题目,其类 型主要为概率计算,判, ,: 断变量x与Y是否独立,以及求 随机变量的数学期望和方差等。而对于这些题目而言 ’2 一般都可通过先求出边际密度函数,然后再求相应的 结果。由此可见边际密度函数在求解二维连续随机变 歹 量的题目时起了很重要的作用( —- 蓼我们知道,如果二维连续随机变量(x,Y)的联合 尹 。 0 l 2 x 密度函数为p(x,y),则它所对应的边际密度函数为: ,+一 圃1Px(x)=』 p(x,y)dy
,+- 理解0?x 域,或者是找错。本文给出一种图示法,根据图示法的步 8xydy=4x一4x3 而当o?x?1时,Px(x)=J pky)dy=f 骤可以快速地找出(下面通过具体例题来说明。 例l:设二维连续随机变量(X,Y)的联合密度函数 所帆怍?砖。雩嚣 为 (2)求Py(y):当y<0或y>l时,有Py(y)=0( , 、 f8xy,0?x Px(x)时,知道x的取值范围为【O,1】,而在求积分时将的积 图示法使用说明:先根据题目要求画出p(x,y)的定 义域,然后按下述步骤找积分区域(例如在求px(x) 时:分区域也看作是,这当然是错误的,显然他没有很好地 2。呱6?觥 5喀诩 万方数据 ——实证分析’; 唯一,则需要根据在直角坐标系中计算二重积分的方法。先将积分区域 转化为x一型区域或Y一型区域,然后再求解。 (y , 、 根据这个图示法,我们可以快速地找出x和y的取 值范围,以及求积分时所对应的积分区域。下面我们用 2 这个方法再求一例( 例2:设二维随机变量(x,Y)的联合密度函数为扩 1 勿 ’水边环p(x,y):f!’竖荨<><><1,求边际密度函数px(x)和一( p【x,yj_io,其他="" ‘?="" 多="">1,求边际密度函数px(x)和一(> 苗J芰凼双Px?布u 0 1 2 x Py(y) , 解:先根据题目要求画出p(x,y)的定义域,如图2的 阴影部分所示 ?从图l上可以看出,x的取值范同为【 o,1】; (1)求Px(x):当x?0或x?l时,有Px(x)=O( ?在x E(0,1)范围内,任意作一条直线垂直于x轴 (如图1实线),则这条直线与p(x,y)的定义域有两个交 而当o<><1时,px(x)=j p(x,y)dy="I,6dy=6x一点," 6x2="" j一-="" j="" r="" 这两个交点为:x和l,它们就是在求关于y积分时的下限="" 与上限(从下到上)。="" 所以?="馐嘉叭“1" (2)求py(y):当y?0或y?1或时,有pyo)="0(" 如果是求py(y),则为:="" l。="" (。?="" 图l上可以看出,y的取值范围为【="" 0,l】;="">1时,px(x)=j> 2—6y而当o<><1时,py(y)=j(pky)dx=f。6dx=6y y?(o,1)范围内,任意作一条直线垂直于="" y轴f="" 毒="" (如图1虚线),则这条直线与p(x,y)的定义域有两个交点,="" 所以py(y)="">1时,py(y)=j(pky)dx=f。6dx=6y><><1 这两个交点为:o和y(它们就是在求关于x积分时的下限="" 【0,其他="" 与上限(从左到右)。="">1> 注:如果所作的直线(在x或y的取值范围内)与定义域的交点形式不 (作者单位:马鞍山师范高等专科学校) 将**??******??*?{*??**?{**}{*??}????{**?{*****?;**?{******?{*?????{*?{********??*}{**?{}?*?{*?{? 人均国民总收入的概念 及世 界银行国别收入分组标准 个人所得。而人均收入只包括居民个人所得。 一、什么是人均国民总收入 二、世界银行的国别收入分组标准 国民总收入(GNI)是指国内生产总值(GDP)加上 世界银行是按人均周民总收入,对世界各国经济 来自国外的要素收入再减去对国外的要素支出。用公 式表示为: 发展水平进行分组。通常把世界各国分成四组,即低收 国民总收入=国内生产总值+(来自国外的要素 入国家、中等偏下收入国家、中等偏上收入国家和高收 收 入国家。但以上标准不是同定不变的,而是随着经济的 入一对国外的要素支出) 发展不断进行调整。按世界银行公布的数据,2008年 国其中,来自国外的要素收入是指本国常住单位从 外获得的劳动者报酬、利息、红利等。 的最新收入分组标准为:低于975美元为低收入国 在976至3855美元之间为中等偏下收入国家,在家, 人均国民总收入是指国民总收入除以年均人口, 与人均国民生产总值(GNP)相等,与人均国内生产总 至11905美元之间为中等偏上收入国家,高于3856 11906 美元为高收入国家。 值(GDP)大致相当。 人均国民总收入和人均收入是两个不同的概念。划分标准人均国民总收入分组 国民总收入是一个国家所有常住单位在一定时期内 低收入国家 975美元以下 976至3855美元(通常是1年)获得的劳动者报酬、生产税、补贴、固定 中等偏下收入国家 中等偏上收入国家 3856至119rJ5美元资产折旧、营业盈余和财产收入等原始收入总额。人均 高收入国家 11906美元以上 国民总收入既包括企业所得和政府所得,也包括居民 万方数据 鲥m审2?( 6 总第 240 期 计算机与数字工程 Vol. 37 No. 10 2009 年第 10 期 Computer & Digital Engineering 41 3 Laplace 逼近在边际密度函数中的应用 王玉琢 ()海军工程大学 武汉 430033 摘 要 将鞍点逼近法应用到统计学中 ,给出了二维边际密度函数的逼近式 ,称为 Laplace 逼近式 。与用定义法计算 边际密度函数相比较 ,此方法避免了大量的换元和积分的计算过程 ,计算方法简洁直观 。文章以二维正态分布为例 ,说明逼 近效果较精确 ,令人满意 。 关键词 鞍点逼近 边际概率密度函数 中图分类号 O211. 6 Practical L aplace App roxi mations i n t he Ma rgi nal De nsities Wa ng Yuzhuo ()Naval University of Engineering , Wuhan 430033 Abs t rac t In t his article , t he Sadllep oint app roximations is applied t o get t he app roximation of t he marginal densi2 ties , na med L aplace app roximation. Comp ared wit h t he define met hod , t his met hods can simplif y t he calculation , a nd t he result of t he app roximation is exact . Ke y w ords laplace app roximation , marginal de nsities Class Nu m ber O211. 6 ( ) Laplace 逼近 。其中 ^x 满足 h′^x= 这个变换称为 1 引言 [ 1 ] ( ) 0 , h″^x< 0="" 。证明。="" 鞍点逼近是做渐近分析的一个非常有用的工="" (="" )="" 我们考虑若="" f="" x可以写成="" 具="" ,它的优点在于="" :="" 公式简洁="" ,计算速度快捷="" ,逼近=""> 效果准确 。当我们已知某个分布的密度函数的准 )( ) ( ) (f x= m x , tdt 2 ?确的表达式 ,但这个分布函数和密度函数难以计算 ( ) 这样的形式 , 就可以对式 2做 Laplace 逼近得到 时 ,我们就可以运用鞍点逼近法来简化计算 ,得到 ( ) 密度函数的逼近式 。本文将此法应用到统计学中 , 概率密度函数 f x的逼近式 。具体步骤如下 : 给出了边际密度函数的 Laplace 逼近式 ,并以二维 ( ) ( ) 定义 k x , t= log m x , t, 则 正态分布为例 ,说明运用 Laplace 逼近法的简便性 ( ) ( ) f x= m x , tdt 和精确性 。为了实现这项工作 ,我们先介绍一些准 ?2 2 ( ( ) ) ( )t - ^t x5 k x , t 备工作 ,包括一些定义及定理的推导证明。 ( ( ) ) ? exp k x ,^t x+ | dt ( )^t x 2 ? 2 5 t 2 定义及定理 1/ 2 π - 2 ( ( ) )= m x ,^t x ()3 ( ( ) )2. 1 定义 1 : Laplace 逼k″x ,^t x 近 假设 X, X, , X是 n 个独立同分布的随机 1 2 n ( ) ( ) , 对任意一个 x ,^t x满足5 k x , t/ 5 t = 0 并且 其中 ( ) ( ) ( ) 2 2 变量 ,密度函数为 f x已知 。令 hx= log f x,则 π 2( ) 5k x , t/ 5< 0="" 。="" (="" )="" (="" )="" f="" xd="" x?exp{="" h^x}="" -="" 1/="" 2="" )1="" ″)="" 由以上推导过程我们可以看出="" :1最大值="" ^t="" 是="" (="" )h^x=""> 3 收稿日期 :2009 年 5 月 17 日 ,修回日期 :2009 年 6 月 25 日 作者简介 :王玉琢 ,女 ,硕士研究生 ,助教 ,研究方向 :概率论与数理统计 。 42 王玉琢 :Laplace 逼近在边际密度函数中的应用 第 37 卷 ( ) ) 依赖于 x 的函数 , 故记为 ^t x; 2若要得到密度函 x - ay - ar 1 2 ( ) 1 5lo g f x , y = =-则2 2 y () σσ()5 2 1 - r12 1 - r ( ) ( ) 数 f x的逼近式 , 关键在于函数 m x , t。 σ2 σ2 r( ( )( )) 2. 2 推论 1 :边际密度函数的 Laplace 逼5lo g f x , y = 0 , 得 ^y x= x - a + a, 即2 令近 1 σ 15 y 由于边际密度函数的定义是对密度函数求积 为鞍点。 分 , 故很自然地想到可以用 Laplace 逼近法来逼近 2 1 ( )5 lo g f x , y =。则利用推论 1 , 可 ( ) ( ) 边际密度函数 。以二维为例 , 设 X , Y, f x , y, 再求22 2(1 - r)σ5 y 2 ( ) 则 f x , y的关于 X 的边际密度函数 ( ) 得 f x , y的关于 X 的边际分布密度函数的 La2 2 - 1/ 2 ( )5log f x , y place 逼近 ?f ( x) 为X 2 f ( x) = f ( x , y) dy ? 2πf ( x ,^y)X 5y 1 ?1 π2 ×exp - ?f ( x) =X 2 ()4 ()2 1 - r 2 2πσσ1 - 12r ( ) lo g f x , y 5rσ2 = 0 且为最大值。 22 2( ) 其中 , ^y = ^y x满足 2σr2 2 r( x - a)( x - a)( x - a) 1 1 1 ? ( x - a) 5 y 1 σ 2 1σ1 +2 σσ - 12 σ[ 3 ] 2 2 σ 证明。 1 1 - 3 对二维正态分布的边际密度函2 1 2 2×(1 - r)σ 2 数 的 Laplace 逼近 2( ) x - a 1 - 1 2σ 化简上式 , 得 ?f ( x) = e X 2 1 。 3. 1 定义 2 :二维正态分布的概率密度函2πσ 1数 可以看到 ,对于二维正态分布而言 ,Laplace 逼 1 1 ( ) f x , y=xp - e ) 22(2 1 - r 2πσσ1 - r12 近的表达式与准确的密度函数是完全一致的 。而 2 2 ( x - a) 2 r ( x - a) ( y - a)1 1 2 ( y - a) 2 + ? - 从计算过程上来讲 ,Laplace 逼近显然要简洁 、直观 2 2 σσσσ 1 122 得多 。因此当密度函数高于二维时 ,用定义法计算 ()5 量相当大 , 换元和积分也不易实现。而这时 La2 其中 a, a,σ,σ, r 为常数 σ,> 0 ,σ> 0 , | r| < 1="" 。1="" 2="" 1="" 2="" 1="" 2="" place="" 逼近法的作用就可以更大地展现出来="" 。而且="" [="" 2="" ]3.="" 2="" 定义法计算="" 逼近的效果也仍然保持着比较精确。="" x="" -="" a1="" 我们="" 仅列出="" f="" (="" x="" )="" 的="" 求法="" 。由="u" ,="" x="" 故用="" laplace="" 逼近法来得到近似的边际密度="" σ="" 1=""> 函数 ,这对于减少计算时的工作量和复杂程度是很 y - a 2 则有帮助的。 = v , σ2 + ? + ? 1 f ( x) = f ( x , y) dy = X ??2 - ? - ?参 考 文 献 2πσ1 - r2 1 2 2 [ 1 ]Constantino Go utis , Geo rge Casella. Explaining the ?exp -?[ u- 2 ruv + v] dv 2 ()2 1 - r 2 + ? Saddlepoint Approximation [J ] . The American Statistician. 1 e u2 1 - ()2 53 3 : 213,224 = - ? ? π()2πσ 21 - r 1 [ 2 ]李贤平. 概率论基础[ M ] . 北京 :高等教育出版社 , 2 2 2 r u - 2 r u v + v 2 2002 ?exp - dv()2 1 - r 2 2 + ? ( ) v- ru [ 3 ] S. Huzuibazar. Practical Saddlepoint Approxima2 1 e dv ?e2u2 () 2 1 - r 1 - :225,232 ()= 2 tions. The American Statistician ,1999 ,53 3 ? - ? π()21 - r πσ21 () [ 4 ] Kao , E. P. C. 随机过程导论 英文版[ M ] . 北京 :机 2( ) 2 x - a -1 1 u2 械工业出版社 ,2003 , 7 2 σ2 e 1 2 e 1 = 2πσπσ 1[ 5 ]邓永录 ,梁之舜. 随机点过程及其应用[ M ] . 北京 : = 2 1 我们看到计算过程中涉及到了大量的换元和 科学出版社 ,1992 积分过程 。下面我们给出 f ( x) 的 Laplace 逼近。x [ 6 ]李述山 ,王秀芬. 利用鞍点逼近与 Bootstrapping 方 ()法估计统计量的分布[J ] . 山东理工大学学报 ,18 5 3. 3 二维正态分布的 Laplace 逼近 [ 7 ]任哲 ,陈明华. L2统计量的 Edgeworth 展开和 Boot2 1 1 ( ) 首先 log f x , y= log- 2 )(2 1 - r ()2 st rap 逼近[J ] . 应用概率统计 ,16 5 2πσσ 1 - 12r22 [ 8 ]王巍 ,郑祖康. 污染分布的 Edgeworth 展开[J ] . 数 ( y - a) 2 ( x - a) 2 r ( x - a) ( y - a)1 1 2 + ? - 2 σσ 2 12学年刊 ,20 σσ1 2 利润是厂商出售产品得到的总收入(即总收益)和生产这些产品的总成本之间的差额。设R 表示总收益,总收益等于出售产品的数量x 和产品价格p 的乘积,故R (x )=px 是产品数量x 的函数,设C 表示总成本,则 C =C (x ) 也是产品数量x 的函数。因此,利润 P (x )=R (x )-C (x ) (11..1) 也是产品数量x 的函数。 在实际经济生活中。利润是影响企业家行为的非常重要的因素,厂商决策的原则之一被假定是获取尽可能多的利润,也就是说,厂商的目的之一是最大化利润。经济学家根据各种可选择的机会对厂商利润的作用来预测厂商的行为,他们首先研究各种机会对利润的作用,然后预测长撒好难过将选择可产生最大利润的那种可选择方案,以利润最大化假定为基础的理论,所得出的大量预测与观察到的现实基本上是一致的。本课题将探讨微观经济学中的利润最大化基本法则的数学原理。 首先我们先引入边际收益和边际利润的概念。 收益函数R (x )的导数称为边际收益函数,它表示收益函数的变化率。 问题11.1 假设某种音响系统的单价 p (单位:元) 与它的需求量x 之间的关系为 p =-0.2x +4000 (0≤x ≤20000) (1) 求收益函数R 和边际收益函数R '; (2) 求R '(2000),并对结果加以解释。 利润函数P (x )的变化率(即导数)称为边际利润函数,它表示已经卖出x 个产品,再卖出第x +1个产品的实际利润(或亏损)的近似值。 问题11.2 在问题11.1的假设下,再设该种音响系统的成本函数为 C (x )=1000x +2000000 (1) 求利润函数P 和边际利润函数 P '; (2) 求P '(2000)并对结果加以解释 下面介绍微观经济学中利润最大化的两个基本法则: (1) 法则1. 利润最大化的第一个条件是产出量x 的边际收益等于其边际 成本,即 dR dC =; dx dx (2) 法则2. 利润最大化的第二个条件是边际成本曲线穿过边际效益曲 线。 问题11.3 (1)对问题11.2的实例验证上述的法则1和法则2成立 (2)试述利润最大化的基本法则的数学原理。 问题解答: 问题11.1 (1) R (x )=px =x (-0.2x +4000) =-0.2x 2+4000x (0≤x ≤20000), R '(x )=-0.4x +4000. (11.2) (2)R '(2000)=-0.4(2000)+4000=3200, 它表示卖出第2001个音响系统的实际收益约为3200元 问题11.2 (1)由R (x )=-0.2x 2+4000x 得 P (x )=R (x )-C (x )=(-0.2x 2+4000x )-(1000x +2000000) =-0.2x 2+3000x -2000000 (11.3) P '(x )=-0.4x +3000. (2)P '(2000)=-0.4(2000)+3000=2200, 它表示卖出第2001个音响系统的实际利润约为2200元。 问题11.3 (1)由(11.3)式,容易求得,利润函数P 的最大值点为x M =7500,且由C '(x )=1000和(11.2)式,得 即对该实例,法则1 成立。 dR dx x =x M =1000=dC dx x =x M , 显然,边际成本曲线y =C '(x )=1000从由边际收益曲线 y =R '(x )=-0.4x +4000 (11.4) 所划分的坐标平面穿过直线(11.4)到上半平面,即对该实例,法则2也成立。 (2)设x =x 0是使利润最大化的最大利润点,法则1的条件:产出 量x 0的边际收益等于其边际利润最大,最大值为P (x 0),即dR dx dP dx x =x 0=x =x 0dC dx dR =dx x =x 0, -dC dx 这x =x 0条件等价于 x =x 0=0. (11.5) ?dR 由法则1的条件 ?dx x =x 0=dC dx ?以及法则2的条件知,在x =x 0x =x 0?,? 处,边际成本曲线的斜率必须大于边际收益曲线的斜率,即?dR ?' ??dx ??dC ?' ??dx ?x =x 0x =x 0,这等价于 ?dR ?' x =x 0= ??dx ??dC ?'- ??dx ?d 2P 2dx x =x 0x =x 0 0. (11.6) (11.5)和(11.6)合起来恰好是判定x =x 0是利润函数P (x )的最大值点的一个充分条件,因而法则1和法则2的两个条件合起来恰好是判定利润最大化的充分条件,在微观经济学中将这两个法则作为厂商的行为法则。 五 . 结论:从以上的例题解决的实际问题中可以看到,由于微积分是研究变化规律的方法, 因此只要与变化、运动有关的研究都要与微积分有关, 都需要运用微积分的基本原理和方法, 从这个意义上说, 微积分的创立对人类社会的进步和人类物质文明的发展都有极大的推动作用,在我们现实生活中具有重要意义,利用好微积分能帮助我们得到问题的最优化解决。在我们平时认真接受数学知识本身的同时,应当更加深刻理解数学知识真正的内涵,与实际生活相联系,发挥它最大的效用。更如本文微积分这一有用的数学工具,在学习之余更要善于发现它在现实生活中的作用,帮助我们更好地解决问题,让微积分,让数学不再是我们学习的包袱,而成为我们最好的助手,让生活变得更加丰富,更加精彩。 边际函数 在经济问题中,常常会使用变化率的概念,变化率又分为平均变化率和瞬时变化率.平均变化率就是函数增量与自变量增量之比,即函数y =f (x ) 在(x 0,x 0+?x ) 内的平均变化率为?y ,如我们常用到年产量的平均变化率、成本的平均变化率、利润的平均变化率等.瞬?x 时变化率就是函数对自变量的导数,即当自变量增量趋于零时平均变化率的极限: f (x 0+?x ) -f (x 0) lim =f '(x 0) . ?x →0?x 在经济学中,一个经济函数f (x ) 的导数f '(x ) 称为该函数的边际函数.f (x ) 在点x =x 0处的导数f '(x ) 称为f (x ) 在点x =x 0处的变化率,也称为f (x ) 在点x =x 0处的边际函数值.它 表示f (x ) 在点x =x 0处的变化速度. 现设y =f (x ) 是一个可导的经济函数,于是当?x 很小时,f (x +?x ) -f (x ) =f '(x ) ?x +o (?x ) ≈f '(x ) ?x . +1-) f (x ≈') 特别地,当?x =1或?x =-1时,分别给出f (x f (x ) -f (x -1) ≈f '(x ) . 0f 或(x ) 因此边际函数值f '(x 0) 的经济意义是:经济函数f (x ) 在点x =x 0处,当自变量x 再增加1个单位时,因变量y 的改变量的近似值,或近似于经济函数值f (x 0) 与f (x 0-1) 之差.但在应用问题中解释边际函数的具体意义时,常略去“近似”两字. 例 设函数y =x 2,试求y 在x =5时的边际函数值. 解:因为y '=2x ,所以y '|x =5=10.该值表明:当x =5时,x 改变一个单位(增加或减少一个单位),y 约改变10个单位(增加或减少10个单位). 下面介绍经济学中常用的几个边际概念. 1.边际成本 某产品的总成本是指生产一定数量的产品所需的全部经济资源投入(劳动力、原料、设备等)的价格或费用总额.它由固定成本和可变成本两部分组成. 平均成本是生产一定量产品,平均每单位产品的成本. 边际成本是总成本的变化率. 在生产技术水平和生产要素的价格固定不变的条件下,成本是产量的函数. 设总成本函数C =C (Q ) ,Q 为产量, 则平均成本函数为C =C (Q ) =C (Q ) , Q 生产Q 个单位产品时的边际成本函数为C '=C '(Q ) . C '(Q 0) 称为当产量为Q 0时的边际成本.西方经济学家对它的解释是:当生产Q 0个单位产品前最后增加的那个单位产品所花费的成本或生产Q 0个单位产品后增加的那个单位产品 所花费的成本.这两种理解均算正确. 2.边际收益和边际利润 总收益是生产者出售一定量产品所得到的全部收入. 平均收益是生产者出售一定量产品,平均每单位产品所得到的收入,即单位商品的售价. 边际收益为总收益的变化率. 总收益、平均收益、边际收益均为销售量的函数. 设P 为价格,Q 为销售量,则总收益函数为: R =R (Q ) =Q ·P , ·P (Q ) , 若需求函数为P =P (Q ) ,则总收益函数为R =R (Q ) =Q R (Q ) Q ·P (Q ) ==P (Q ) , 故平均收益函数为R =R (Q ) =Q Q 即价格P (Q ) 可视作从需求量(这里需求量即为销信量)Q 上获得的平均收益.边际收 ·P (Q )) '=Q ·P '(Q ) +P (Q ) . 益为R '=R '(Q ) =(Q R '(Q 0) 的经济意义为:R '(Q 0) 表示销售量为Q 0个单位时,多销售一个单位产品或少销 售一个单位产品时收益的改变量. 由经济学知识,总利润是总收益与总成本之差,设总利润为L ,则总利润函数为L =L (Q ) =R (Q ) -C (Q ) (其中Q 为商品量), 那么边际利润函数为L '=L '(Q ) =R '(Q ) -C '(Q ) . 它的经济意义是:L '(Q 0) 表示销售量为Q 0单位时,再销售一个单位商品时利润的改变 量. 卡盟排行榜 www.km97.cn 嵂吀夻 dQ dL解:(1)劳动的边际产量函数MP= L d10KL,,,,,dLKL,,, 1010KKLKL,,,,,2KL,,, 210K,2KL,,, QAR,LL劳动的平均产量函数 101KL,KLL, 10K,KL, (2)生产函数边际技术替代率指产量不变条件下一种生产要素增加的投入量与另一种生产 ,KdK,,,LdL要素相应减少的投入量之比,即或。为此,需要从生产函数中先求得K和L之 dK dL间的关系,然后从这一关系中求得。 10KLQ,KL,由生产函数 得 QK+QL=10KL K(Q-10L)=-QL ,QLK,QL,10 dKMRTS,,LKdL则边际技术替代率 ,,d,QL,,,,d10LQL,,, QQLQL,,,,1010,,,,,2QL,10,, 2Q,2QL,10,, 要知道边际技术替代率函数的增减性,只要对MRTS求偏导,即 2Q,22QLQL,,102010,,,,,MRTSQ202,,,Q43,,LLQLQL,,1010,,,, ,QLK,QL,10已知从生产函数中得到。可见,此式中分母(Q-10L)<> 2,MRTSQ20,3,LQL,10,,32和资本都大于零),因此,(-10)<0,而20>0,因此,<0。 lkqlq所以,该生产函数的边际技术替代率函数为减函数。="">0。> 210KLMP,2KL,,,(3)因为 2,,dd10KMP,,,L2ddLLKL,,,,,,,所以 2,,,102KKL,,,4KL,,, 220K,,3KL,,, <0>0> 转载请注明出处范文大全网 » 利用图示法求边际密度函数范文二:Laplace逼近在边际密度函数中的应用
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