范文一:中考数学动点问题(含答案)
中考数学之 动点问题
一、选择题:
1. 如图,在矩形 ABCD 中,动点 P 从点 B 出发,沿 BC 、 CD 、 DA 运动至点 A 停止,设点 P 运动的路程为 x , △ ABP 的面积为 y ,如果 y 关于 x 的函数图象如图 2所示,则△ ABC 的面积是( )
9
4x
y
O
P
D
A、 10 B、 16 C、 18 D、 20
二、填空题:
1. 如上右图, C 为线段 AE 上一动点 (不与点 A , E 重合) , 在 AE 同侧分别作正三角形 ABC 和正三角形 CDE 、 AD 与 BE 交于点 O , AD 与 BC 交于点 P , BE 与 CD 交于点 Q , 连结 PQ. 以下五个结论:① AD=BE; ② PQ ∥ AE ; ③ AP=BQ;④ DE=DP;⑤∠ AOB=60°.
恒成立的结论有 _______________________(把你认为正确的序号都填上)。
三、解答题:
1.(2008年大连)如图 12,直角梯形 ABCD 中, AB ∥ CD ,∠ A = 90°, CD = 3, AD = 4, tan B = 2,过 点 C 作 CH ⊥ AB ,垂足为 H .点 P 为线段 AD 上一动点,直线 PM ∥ AB ,交 BC 、 C H 于点 M 、 Q .以 PM 为斜边向右作等腰 Rt △ PMN , 直线 MN 交直线 AB 于点 E , 直线 PN 交直线 A B 于点 F . 设 PD 的长 为 x , EF 的长为 y . ⑴求 PM 的长 (用 x 表示 ) ;
⑵求 y 与 x 的函数关系式及自变量 x 的取值范围 (图 13为备用图 ) ; ⑶当点 E 在线段 AH 上时,求 x 的取值范围 (图 14为备用图 ) .
B
E
D C
A
2. (2008年福建宁德) 如图 1, 在 Rt △ ABC 中, ∠ C =90°, BC =8厘米, 点 D 在 AC 上, CD =3厘米. 点 P 、 Q 分别由 A 、 C 两点同时出发,点 P 沿 AC 方向向点 C 匀速移动,速度为每秒 k 厘米,行完 AC 全
程用时 8秒;点 Q 沿 CB 方向向点 B 匀速移动,速度为每秒 1厘米.设运动的时间为 x 秒 ()80
<><, △="" dcq="" 的面积为="" y="" 1平方厘米,△="" pcq="" 的面积为="" y="" 2平方厘米.="" ⑴求="" y="" 1与="" x="" 的函数关系,并在图="" 2中画出="" y="">,>
⑵如图 2, y 2的图象是抛物线的一部分,其顶点坐标是(4, 12),求点 P 的速度及 AC 的长;
⑶在图 2中,点 G 是 x 轴正半轴上一点(0
①说出线段 EF 的长在图 1中所表示的实际意义; ②当 0
í? 13
í? 14
í? 12
A
H
B
C D
A H
B
C D
H
Q
P D C
B
A
3. (2008年白银)如图,在平面直角坐标系中,四边形 OABC 是矩形,点 B 的坐标为(4, 3).平行于 对角线 AC 的直线 m 从原点 O 出发, 沿 x 轴正方向以每秒 1个单位长度的速度运动, 设直线 m 与矩形 OABC 的两边 .. 分别交于点 M 、 N ,直线 m 运动的时间为 t (秒). (1) 点 A 的坐标是 __________,点 C 的坐标是 __________; (2) 当 秒或 MN=
2
1
AC ; (3) 设 △ OMN 的面积为 S ,求 S 与 t 的函数关系式;
(4) 探求 (3)中得到的函数 S 有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,要说明理由.
图 2
图 1
C Q → B
参考答案
一、选择 A
二、填空:(1)(2)(3)(5) 三、解答:
2、解:⑴∵ CD CQ S DCQ ??=
?2
1
, CD =3, CQ =x , ∴ x y 2
31=
. 图象如图所示.
⑵方法一:CP CQ S PCQ ??=
?2
1
, CP =8k -xk , CQ =x , ∴ ()kx kx x kx k y 42
1
82122+-=?-?=.
∵抛物线顶点坐标是(4, 12),
∴ 124442
1
2=?+?-
k k . 解得 2
3
=k .
则点 P 的速度每秒 2
3
厘米, AC =12厘米.
方法二:观察图象知,当 x=4时,△ PCQ 面积为 12. 此时 PC =AC -AP =8k -4k =4k , CQ =4.
∴由 CP CQ S PCQ ??=?21,得 12244=?k .解得 2
3
=k .
则点 P 的速度每秒 2
3
厘米, AC =12厘米.
方法三:设 y 2的图象所在抛物线的解析式是 c bx ax y ++=2
. ∵图象过(0, 0),(4, 12),(8, 0),
∴ ??
?
??=++=++=. 0864124160c b a c b a c , , 解得 ???
?
???==-=. 0643c b a , , ∴ x x y 6432
2+-
=. ① ∵ CP CQ S PCQ ??=?21
, CP =8k -xk , CQ =x ,
∴ kx kx y 42
12
2+-=. ②
比较①②得 23
=k .
则点 P 的速度每秒 2
3
厘米, AC =12厘米.
⑶①观察图象,知
线段的长 EF =y 2-y 1,表示△ PCQ 与△ DCQ 的面积差(或△ PDQ 面积). ②由⑵得 x x y 64
322+-=. (方法二, x x x x y 643
232382122+-=???? ??-??=)
∵ EF =y 2-y 1, ∴ EF =x x x x x 2
9
432364322+-=-+-
,
∵二次项系数小于0,
∴在 60<><范围,当 3="x" 时,="">范围,当>
27
=
EF 最大. 3、解:(1)(4, 0),(0, 3); ··············································································· 2分 (2) 2, 6; ···················································································································· 4分 (3) 当 0
ON
OA OM =
, ∴ ON =
t 43, S=28
3
t . ·
········································ 6分 当 4
如图,∵ OD =t,∴ AD = t-4. 方法一:
由 △ DAM ∽△ AOC ,可得 AM =
) 4(43-t ,∴ BM =6-t 43
. ·
······························· 7分 由 △ BMN ∽△ BAC ,可得 BN =BM 3
4
=8-t,∴ CN =t-4. ······································· 8分
S=矩形 OABC 的面积 -Rt △ OAM 的面积 - Rt△ MBN 的面积 - Rt△ NCO 的面积
=12-) 4(23-t -21(8-t )(6-t 43
) -) 4(23-t =t t 38
3
2+-. ······································································································ 10分
方法二:
易知四边形 ADNC 是平行四边形,∴ CN =AD =t-4, BN =8-t. ······································· 7分 由 △ BMN ∽△ BAC ,可得 BM =BN 43=6-t 4
3
,∴ AM =) 4(43-t . ·
··················· 8分 以下同方法一. (4) 有最大值.
方法一: 当 0
∵ 抛物线 S=2
8
3t 的开口向上,在对称轴 t=0的右边, S 随 t 的增大而增大, ∴ 当 t=4时, S 可取到最大值 248
3
?=6; ······················································ 11分
当 4
32
+-
的开口向下,它的顶点是(4, 6),∴ S<6. 综上,当="" t="4时," s="" 有最大值="" 6.="" ··············································································="" 12分="">6.>
∵ S=2
23048
33488
t t t t t ?<>?, ≤="">??,>
∴ 当 0
说明:只有当第(3)问解答正确时,第(4)问只回答 “ 有最大值 ” 无其它步骤,可给 1分;否则, 不给分.
范文二:动点问题(含答案)
动点问题
一、选择题:
1. 如图,在矩形ABCD中,动点P从点B出发,沿BC、CD、DA运动至点A停止,设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y,如果y关于x的函数图象如图2所示,则△ABC的面积是( )A
D
P
y
B
DC
E
O
49
x
P
A
A、10 B、16 C、18 D、20
二、填空题:
1. 如上右图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.
恒成立的结论有_______________________(把你认为正确的序号都填上)。
三、解答题:
1.(2008年大连)如图12,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A = 90°,CD = 3,AD = 4,tanB = 2,过点C作CH⊥AB,垂足为H.点P为线段AD上一动点,直线PM∥AB,交BC、CH于点M、Q.以PM为斜边向右作等腰Rt△PMN,直线MN交直线AB于点E,直线PN交直线AB于点F.设PD的长为x,EF的长为y. ⑴求PM的长(用x表示);
⑵求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围(图13为备用图); ⑶当点E在线段AH上时,求x的取值范围(图14为备用图).
B
MC
H
D
图 12
A
B
C
H
D
图 13
B
C
H
D
图 14
A
2.(2008年福建宁德)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8厘米,点D在AC上,CD=3厘米.点P、Q分别由A、C两点同时出发,点P沿AC方向向点C匀速移动,速度为每秒k厘米,行完AC全程用时8秒;点Q沿CB方向向点B匀速移动,速度为每秒1厘米.设运动的时间为x秒?020,不符合题意.
故点Q与点M不能重合.
所以所求x的值为 -1.
(2)由(1)知,点Q只能在点M的左侧,
①当点P在点N的左侧时,
由20-(x+3x)=20-(2x+x2),
解得x1=0(舍去),x2=2.
当x=2时四边形PQMN是平行四边形.
②当点P在点N的右侧时,
由20-(x+3x)=(2x+x2)-20,
解得x1=-10(舍去),x2=4.
当x=4时四边形NQMP是平行四边形.
所以当x=2或x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.
(3)过点Q,M分别作AD的垂线,垂足分别为点E,F.
由于2x>x,
所以点E一定在点P的左侧.
若以P,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形,
则点F一定在点N的右侧,且PE=NF,
即2x-x=x2-3x.
解得x1=0(舍去),x2=4.
由于当x=4时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形,
所以以P,Q,M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形.
5.解答:
解:(1)∵MD∥NC,当MD=NC,即15-t=2t,t=5时,四边形MNCD是平行四边形;
(2)作DE⊥BC,垂足为E,则CE=21-15=6,当CN-MD=12时,即2t-(15-t)=12,t=9时,四边形MNCD是等腰梯形 6.分析:
(1)若过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形,得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知:s= PM×QB=96-6t;
(2)本题应分三种情况进行讨论,①若PQ=BQ,在Rt△PQM中,由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,将各数据代入,可将时间t求出;
②若BP=BQ,在Rt△PMB中,由PB2=BM2+PM2,BP=BQ,将数据代入,可将时间t求出; ③若PB=PQ,PB2=PM2+BM2,PB=PQ,将数据代入,可将时间t求出.
解答:
解:(1)过点P作PM⊥BC于M,则四边形PDCM为矩形.
∴PM=DC=12,
∵QB=16-t,
∴s= ?QB?PM= (16-t)×12=96-6t(0≤t≤
(2)由图可知,CM=PD=2t,CQ=t,若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形,可以分三种情况 ).
: ①若PQ=BQ
,在Rt△PMQ中,PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得 ; ②若BP=BQ,在Rt△PMB中,PB2=(16-2t)2+122,由PB2=BQ2得(16-2t)2+122=(16-t)2,此方程无解,∴BP≠PQ.
③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16-2t)2+122得
综上所述,当 或 ,t2=16(不合题意,舍去). 时,以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.
7.分析:
(1)分别令y=0,x=0,即可求出A、B的坐标;
(2))因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,进而可求出点Q由O到A的时间是8秒,点P的速度是2,从而可求出,
当P在线段OB上运动(或0≤t≤3)时,OQ=t,OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动(或312×3×6∴点P在AB上 当S= 485时,- 35t2+245t= 485
∴t=4
∴PD= 48-6×45= 245,AD=16-2×4=8
AD= 82-(245)2= 325
∴OD=8- 325= 85
∴P( 85, 245)
M1( 285, 245),M2(- 125, 245),M3( 125,- 245)
范文四:2016最新中考二次函数动点问题(含答案)
1
二次函数的动点问题
1. 如图①,正方形 ABCD 的顶点 A B , 的坐标分别为 ()()01084, ,, ,顶点 C D , 在第一象 限.点 P 从点 A 出发,沿正方形按逆时针方向匀速运动,同时,点 Q 从点 ()40E , 出发, 沿 x 轴正方向以相同速度运动.当点 P 到达点 C 时, P Q , 两点同时停止运动,设运动的 时间为 t 秒.
(1)求正方形 ABCD 的边长.
(2)当点 P 在 AB 边上运动时, OPQ △ 的面积 S (平方单位)与时间 t (秒)之间的函数 图象为抛物线的一部分(如图②所示) ,求 P Q , 两点的运动速度.
(3)求(2)中面积 S (平方单位)与时间 t (秒)的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标.
(4)若点 P Q , 保持(2)中的速度不变,则点 P 沿着 AB 边运动时, OPQ ∠ 的大小随着 时间 t 的增大而增大; 沿着 BC 边运动时, OPQ ∠ 的大小随着时间 t 的增大而减小. 当点 P 沿着这两边运动时,使 90OPQ = ∠ 的点 P 有 个.
(抛物线 ()2
0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是 2424b ac b a a ??-- ???
.
[解 ] (1)作 BF y ⊥轴于 F .
()()01084A B , , , ,
86FB FA ∴==, .
图①
图②
2
10AB ∴=.
(2)由图②可知,点 P 从点 A 运动到点 B 用了 10秒.
又 1010101AB =÷= ,
. P Q ∴, 两点的运动速度均为每秒 1个单位.
(3)方法一:作 PG y ⊥轴于 G ,则 PG BF ∥ .
GA AP FA AB ∴
=,即 610
GA t =. 3
5
GA t ∴=.
3
105OG t ∴=-.
4OQ t =+ ,
()113410225S OQ OG t t ?
?∴=??=+- ??
?.
即 2319
20105
S t t =-
++. 19
19323
210b a -=-=???- ???
,且 190103≤ ≤ , ∴当 19
3t =
时, S 有最大值. 此时 476331
1051555
GP t OG t ==
=-=, , ∴点 P 的坐标为 7631155??
???
.
(8分)
方法二:当 5t =时, 1637922
OG OQ S OG OQ ===
= , , . 设所求函数关系式为 2
20S at bt =++.
抛物线过点 ()63102852??
???
, , ,
1001020286325520. 2
a b a b ++=??∴?++=??,
3
31019. 5a b ?=-??∴??=??, 2319
20105
S t t ∴=-
++. 19
19323
210b a -=-=???- ???
,且 190103≤ ≤ , ∴当 19
3t =
时, S 有最大值. 此时 7631155
GP OG ==, , ∴点 P 的坐标为 7631155??
???
.
(4) 2.
[点评 ]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识,是近年来较为流行的试题,解题的关 键在于结合题目的要求动中取静,相信解决这种问题不会非常难。
. 2. 如图①, Rt ABC △ 中, 90B ∠=
, 30CAB ∠=
.它的顶点 A 的坐标为 (100) , ,顶点
B
的坐标为 (5, 10AB =,点 P 从点 A 出发,沿 A B C →→的方向匀速运动,同
时点 Q 从点 (02) D , 出发, 沿 y 轴正方向以相同速度运动, 当点 P 到达点 C 时, 两点同时停 止运动,设运动的时间为 t 秒. (1)求 BAO ∠的度数.
(2)当点 P 在 AB 上运动时, OPQ △ 的面积 S (平方单位)与时间 t (秒)之间的函数图 象为抛物线的一部分, (如图②) ,求点 P 的运动速度.
(3)求(2)中面积 S 与时间 t 之间的函数关系式及面积 S 取最大值时点 P 的坐标. (4)如果点 P Q , 保持(2)中的速度不变,那么点 P 沿 AB 边运动时, OPQ ∠的大小随 着时间 t 的增大而增大;沿着 BC 边运动时, OPQ ∠的大小随着时间 t 的增大而减小,当点
P 沿这两边运动时,使 90OPQ ∠= 的点 P 有几个?请说明理由.
4
解 : (1) 60BAO = ∠ .
(2)点 P 的运动速度为 2个单位 /秒. (3
) (10) P t -(05t ≤ ≤ )
1
(22)(10) 2
S t t =
+- 2
9121
24t ??=--+
???
. ∴当 92t =
时, S 有最大值为 1214
,
此时 112P ?
??
. (4)当点 P 沿这两边运动时, 90OPQ = ∠ 的点 P 有 2个. ①当点 P 与点 A 重合时, 90OPQ < ∠="">
当点 P 运动到与点 B 重合时, OQ 的长是 12单位长度,
作 90OPM =
∠ 交 y 轴于点 M ,作 PH y ⊥轴于点 H ,
由 OPH OPM △ ∽△
得:11.5OM =
=, 所以 OQ OM >,从而 90OPQ > ∠ .
所以当点 P 在 AB 边上运动时, 90OPQ = ∠ 的点 P 有 1个. ②同理当点 P 在 BC
边上运动时,可算得 1217.8OQ =+
=. (第 29题图①)
x t 第 29题图①
5
而构成直角时交 y
轴于 0?
??
, 20.217.83
=>, 所以 90OCQ < ∠="" ,从而="" 90opq="∠" 的点="" p="" 也有="" 1个.="" 所以当点="" p="" 沿这两边运动时,="" 90opq="∠" 的点="" p="" 有="">
3. (本题满分 14分)如图 12,直线 43
4
+-
=x y 与 x 轴交于点 A ,与 y 轴交于点 C ,已知 二次函数的图象经过点 A 、 C 和点 ()0, 1-B .
(1)求该二次函数的关系式;
(2)设该二次函数的图象的顶点为 M ,求四边形 AOCM 的面积; (3)有两动点 D 、 E 同时从点 O 出发,其中点 D 以每秒
2
3
个单位长度的速度沿折线 OAC 按 O → A → C 的路线运动,点 E 以每秒 4个单位长度的速度沿折线 OCA 按 O → C → A 的路线运动, 当 D 、 E 两点相遇时, 它们都停止运动 . 设 D 、 E 同时从点 O 出发 t 秒 时, ODE ?的面积为 S .
①请问 D 、 E 两点在运动过程中,是否存在 DE ∥ OC ,若存在,请求出此时 t 的值; 若不存在,请说明理由;
②请求出 S 关于 t 的函数关系式,并写出自变量 t 的取值范围; ③设 0S 是②中函数 S 的最大值,那么 0S =
.
解:(1)令 0=x ,则 4=y ;
令 0=y 则 3=x .∴ ()30A , . ()04C , ∵二次函数的图象过点 ()04C , , ∴可设二次函数的关系式为
42++=bx ax y
6
又∵该函数图象过点 ()30A , . ()10B -, ∴ 093404a b a b =++??
=-+?,
.
解之,得 34-
=a , 3
8=b . ∴所求二次函数的关系式为 43
8
342++-
=x x y (2)∵ 43
8
342++-
=x x y =()3
161342+--x
∴顶点 M 的坐标为 1613??
???
过点 M 作 MF x ⊥轴于 F
∴ AFM AOCM FOCM S S S =+△ 四边形 梯形
=()1013164213161321=???
? ??+?+?-? ∴四边形 AOCM 的面积为 10 (3)①不存在 DE ∥ OC
∵若 DE ∥ OC , 则点 D , E 应分别在线段 OA , CA 上, 此时 12t <, 在="" rt="" aoc="" △="" 中,="" 5ac="">,>
设点 E 的坐标为 ()11x y , ∴ 5
4
43
1-=
t x ,∴ 512121-=t x ∵ DE OC ∥ ,
∴
t t 2
3
51212=- ∴ 38=t
∵ 3
8
=t >2,不满足 12t <>
∴不存在 DE OC ∥ .
②根据题意得 D , E 两点相遇的时间为
1124
42
3543=
+++(秒) 现分情况讨论如下: ⅰ)当 01t <≤ 时,="">≤>
4322
S t t t =
?= ; ⅱ)当 12t <≤ 时,设点="" e="" 的坐标为="" ()22x="" y="">≤>
7
∴
()5
4454
2--=
t y ,∴ 516362t y -=
∴ t t t t S 5
27
5125163623212+-=-??=
ⅲ)当 2
16363t
y -=
设点 D 的坐标为 ()44, y x
∴ 5
3344
-=t y , ∴ 5
12
64-=t y
∴ AOE AOD S S S =-△ △
512632151636321-??--??=
t t =572533+-t ③ 80243
0=S
47. 关于 x 的二次函数 22(4) 22y x k x k =-+-+-以 y 轴为对称轴, 且与 y 轴的交点在 x 轴 上方.
(1)求此抛物线的解析式,并在下面的直角坐标系中画出函数的草图;
(2) 设 A 是 y 轴右侧抛物线上的一个动点, 过点 A 作 AB 垂直于 x 轴于点 B , 再过点 A 作
x 轴的平行线交抛物线于点 D , 过点 D 作 DC 垂直于 x 轴于点 C , 得到矩形 ABCD . 设矩
形 ABCD 的周长为 l ,点 A 的横坐标为 x ,试求 l 关于 x 的函数关系式;
(3)当点 A 在 y 轴右侧的抛物线上运动时,矩形 ABCD 能否成为正方形.若能,请求出 此时正方形的周长;若不能,请说明理由.
参考资料:抛物线 2
(0) y ax bx c a =++≠的顶点坐标是 2424b ac b a
a ??
-- ???,对称轴是直线
2b
x a
=-
. 解:(1)据题意得:2
40k -=,
2k ∴=±.
8
当 2k =时, 2220k -=>. 当 2k =-时, 2260k -=-<>
又抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方, 2k ∴=.
∴抛物线的解析式为:22y x =-+.
函数的草图如图所示. (只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可) (2)解:令 220x -+=
,得 x =
不 0x
112A D x =, 2112A B x =-+,
211112() 244l A B A D x x ∴=+=-++.
当 x >
222A D x =,
2
2
22(2) 2A B x x =--+=-. 2
22222() 244l A D A B x x ∴=+=+-.
l ∴关于 x 的函数关系是:
当 0x <2244l x="" x="">2244l>
当 x >
2244l x x =+-.
(3
)解法一:当 0x
1111A B A D =,
得 2
220x x +-=.
解得 1x =-
,或 1x =-
将 1x =-代入 2
244l x x =-++,
得 8l =.
当 x >
2222A B A D =,得 2220x x --=.
解得 1x =
,或 1x =
将 1x =2
244l x x =+-
,得 8l =.
综上, 矩形 ABCD 能成为正方形,
且当 1x =
时正方形的周长为 8;
当 1
x =
(第 26题)
9
时,正方形的周长为 8.
解法二:当 0x
1x =-.
∴
正方形的周长 11488l A D x ===.
当 x >
1x =
∴
正方形的周长 22488l A D x ===.
综上, 矩形 ABCD 能成为正方形,
且当 1x =
时正方形的周长为 8;
当 1x =
时,正方形的周长为 8.
解法三: 点 A 在 y 轴右侧的抛物线上,
0x ∴>,且点 A 的坐标为 2(2) x x -+, .
令 AB AD =,则 2
22x x -+=.
∴222x x -+=, ①或 222x x -+=- ②
由①解得 1x =-
,或 1x =-;
由②解得 1x =
,或 1x = 又 8l x =,
∴
当 1x =-
时 8l =;
当 1x =
8l =.
综上, 矩形 ABCD 能成为正方形,
且当 1x =
时正方形的周长为 8;
当 1x =
时,正方形的周长为 8.
5. 已知抛物线 y =ax 2+bx +c 与 x 轴交于 A 、 B 两点,与 y 轴交于点 C ,其中点 B 在 x 轴的正 半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,线段 OB 、 OC 的长(OB
(1)求 A 、 B 、 C 三点的坐标; (2)求此抛物线的表达式;
(3)连接 AC 、 BC ,若点 E 是线段 AB 上的一个动点(与点 A 、点 B 不重合) ,过点 E 作 EF ∥ AC 交 BC 于点 F ,连接 CE ,设 AE 的长为 m ,△ CEF 的面积为 S ,求 S 与 m 之间 的函数关系式,并写出自变量 m 的取值范围;
10
(4)在(3)的基础上试说明 S 是否存在最大值,若存在,请求出 S 的最大值,并求出 此时点 E 的坐标,判断此时△ BCE 的形状;若不存在,请说明理由.
解:(1)解方程 x 2-10x +16=0得 x 1=2, x 2=8
∵点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,且 OB
第 26题图 (批卷教师用图 )
第 26题图
?
?
?
0=36a -6b +8
0=4a +2b +8 解得 ?
????
a =-
2
3
b =-
83
∴所求抛物线的表达式为 y 23x 2-8
3x +8
(3)依题意, AE =m ,则 BE =8-m , ∵ OA =6, OC =8,∴ AC =10 ∵ EF ∥ AC ∴△ BEF ∽△ BAC ∴
EF =BE 即 EF 108-m
8
∴ EF =40-5m 4
过点 F 作 FG ⊥ AB ,垂足为 G ,则 sin ∠ FEG =sin ∠ CAB =4
5
∴
FG =45 ∴ FG =45〃 40-5m 4
8-m ∴ S =S △ BCE -S △ BFE =128-m )×8-1
28-m ) (8-m )
=128-m ) (8-8+m )=128-m ) m =-1
22+4m 自变量 m 的取值范围是 0
理由:∵ S =-122+4m =-12m -4) 2
+8 且-12
0,
∴当 m =4时, S 有最大值, S 最大值 =8
∵ m =4,∴点 E 的坐标为(-2, 0) ∴△ BCE 为等腰三角形.
6. (14分)如图:抛物线经过 A (-3, 0) 、 B (0, 4) 、 C (4, 0)三点 . (1) 求抛物线的解析式 .
(2) 已知 AD = AB(D 在线段 AC 上) , 有一动点 P 从点 A 沿线段 AC 以每秒 1个单 位长度的速度移动;同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动,经过 t 秒
的移动,线段 PQ 被 BD 垂直平分,求 t 的值;
(3)在(2)的情况下,抛物线的对称轴上是否存在一点 M ,使 MQ+MC的值最小? 若存在,请求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由。 (注:抛物线 2y ax bx c =++的对称轴为 2b x a
=-
)
(1)解法一:设抛物线的解析式为 y = a (x +3 )(x - 4)
因为 B (0, 4)在抛物线上,所以 4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得 a= -1/3 所以抛物线解析式为 2111
(3)(4) 4333
y x x x x =-+-=-
++ 解法二:设抛物线的解析式为 2(0) y ax bx c a =++≠,
依题意得:c=4且 934016440a b a b -+=??++=? 解得 13
13a b ?=-????=??
所以 所求的抛物线的解析式为 211
433
y x x =-++
(2)连接 DQ ,在 Rt △ AOB
中, 5AB =
=
所以 AD=AB= 5, AC=AD+CD=3 + 4 = 7, CD = AC - AD = 7 – 5 = 2
因为 BD 垂直平分 PQ ,所以 PD=QD, PQ ⊥ BD ,所以∠ PDB=∠ QDB 因为 AD=AB,所以∠ ABD=∠ ADB ,∠ ABD=∠ QDB ,所以 DQ ∥ AB 所以∠ CQD=∠ CBA 。∠ CDQ=∠ CAB ,所以△ CDQ ∽ △ CAB
DQ CD AB CA = 即 210
, 577
DQ DQ == 所以 AP=AD – DP = AD – DQ=5 –
107=257 , 2525
177
t =÷=
所以 t 的值是
257
(3)答对称轴上存在一点 M ,使 MQ+MC的值最小 理由:因为抛物线的对称轴为 122
b x a =-
= 所以 A (- 3, 0) , C (4, 0)两点关于直线 1
2
x =对称 连接 AQ 交直线 1
2
x =
于点 M ,则 MQ+MC的值最小 过点 Q 作 QE ⊥ x 轴,于 E ,所以∠ QED=∠ BOA=900 DQ ∥ AB ,∠ BAO=∠ QDE , △ DQE ∽△ ABO
QE DQ DE BO AB AO == 即 10
453
QE DE
== 所以 QE=87, DE=67,所以 OE = OD + DE=2+67=207,所以 Q (207, 8
7
)
设直线 AQ 的解析式为 (0) y kx m k =+≠
则 20
87730
k m k m ?+=???-+=? 由此得 841
2441
k m ?
=???
?=?? 所以直线 AQ 的解析式为 8244141y x =+ 联立 12
8244141x y x ?
=????=+??
由此得 12
8244141
x y x ?
=????=+?? 所以 M 128(,
) 241 则:在对称轴上存在点 M 128
(, ) 241
,使 MQ+MC的值最小。
7. 如图 9,在平面直角坐标系中,二次函数 ) 0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为 D 点, 与 y 轴交于 C 点,与 x 轴交于 A 、 B 两点, A 点在原点的左侧, B 点的坐标为(3, 0) ,
OB =OC , tan ∠ ACO =
3
1. (1)求这个二次函数的表达式.
(2)经过 C 、 D 两点的直线,与 x 轴交于点 E ,在该抛物线上是否存在这样的点 F ,使 以点 A 、 C 、 E 、 F 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点 F 的坐标;若不存
在,请说明理由.
(3)若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M 、 N 两点,且以 MN 为直径的圆与 x 轴相 切,求该圆半径的长度.
(4)如图 10,若点 G (2, y )是该抛物线上一点,点 P 是直线 AG 下方的抛物线上一 动点,当点 P 运动到什么位置时,△ APG 的面积最大?求出此时 P 点的坐标和△ APG 的最大面积 .
(1
将 A 、 B 、 C 三点的坐标代入得
?
?
?
?
?
-
=
=
+
+
=
+
-
3
3
9
c
c
b
a
c
b
a
…………………… 2分
解得:
?
?
?
?
?
-
=
-
=
=
3
2
1
c
b
a
…………………… 3分 所以这个二次函数的表达式为:3
2
2-
-
=x
x
y …………………… 3分 方法二:由已知得:C (0,-3) , A (-1, 0) ……………………… 1分 设该表达式为:) 3
)(1
(-
+
=x
x
a
y …………………… 2分 将 C 点的坐标代入得:1
=
a …………………… 3分 所以这个二次函数的表达式为:3
2
2-
-
=x
x
y …………………… 3分 (注:表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分)
(2)方法一:存在, F 点的坐标为(2,-3) …………………… 4分 理由:易得 D (1,-4) ,所以直线 CD 的解析式为:3
-
-
=x
y
∴ E 点的坐标为(-3, 0) …………………… 4分 由 A 、 C 、 E 、 F 四点的坐标得:AE =CF =2, AE ∥ CF
∴以 A 、 C 、 E 、 F 为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点 F ,坐标为(2,-3) …………………… 5分
方法二:易得 D (1,-4) ,所以直线 CD 的解析式为:3--=x y
∴ E 点的坐标为(-3, 0) ……………………… 4分 ∵以 A 、 C 、 E 、 F 为顶点的四边形为平行四边形
∴ F 点的坐标为(2,-3)或(― 2,― 3)或(-4, 3) 代入抛物线的表达式检验,只有(2,-3)符合
∴存在点 F ,坐标为(2,-3) ……………………… 5分 (3)如图,①当直线 MN 在 x 轴上方时,设圆的半径为 R (R>0) ,则 N (R+1, R ) , 代入抛物线的表达式,解得 2
1+=
R ………… 6
②当直线 MN 在 x 轴下方时,设圆的半径为 r (r>0) , 则 N (r+1,-r ) , 代入抛物线的表达式,解得 2
1+-=
r ……… 7∴圆的半径为 21+或 2
1+-. …………… 7(4)过点 P 作 y 轴的平行线与 AG 交于点 Q ,
易得 G (2,-3) ,直线 AG 为 1--=x y .…………… 设 P (x , 322--x x ) ,则 Q (x ,-x -1) , PQ 22++-=x x .
3) 2(2
1
2?++-=
+=???x x S S S GPQ APQ APG …………………… 9分 当 2
1
=
x 时,△ APG 的面积最大 此时 P 点的坐标为 ??
?
??-
415, 21, 827的最大值为 APG
S ?. …………………… 10分 8. (本小题 12分)解:(1)解方程 x 2-10x +16=0得 x 1=2, x 2=8
∵点 B 在 x 轴的正半轴上,点 C 在 y 轴的正半轴上,且 OB
∴ A 、 B 、 C 三点的坐标分别是 A (-6, 0) 、 B (2, 0) 、 C (0, 8) (2)∵点 C (0, 8)在抛物线 y =ax 2+bx +c 的图象上
∴ c =8,将 A (-6, 0) 、 B (2, 0)代入表达式 y =ax 2+bx +8,得
?
?
?
0=36a -6b +8
0=4a +2b +8 解得 ?
????
a =-
2
3
b =-
83
∴所求抛物线的表达式为 y 23x 2-8
3x +8
(3)∵ AB =8, OC =8
∴ S △ ABC =1
2
8×8=32
(4)依题意, AE =m ,则 BE =8-m , ∵ OA =6, OC =8, ∴ AC =10 ∵ EF ∥ AC ∴△ BEF ∽△ BAC ∴
EF =BE 即 EF 108-m 8 ∴ EF 40-5m 4
过点 F 作 FG ⊥ AB ,垂足为 G ,则 sin ∠ FEG =sin ∠ CAB =45
∴
FG =45 ∴ FG =4540-5m 4
8-m ∴ S =S △ BCE -S △ BFE =128-m )×8-1
28-m ) (8-m )
=128-m ) (8-8+m )=128-m ) m =-1
22+4m 自变量 m 的取值范围是 0
∵ S =-122+4m =-12m -4) 2+8 且-1
20,
∴当 m =4时, S 有最大值, S 最大值 =8
∵ m =4,∴点 E 的坐标为(-2, 0) ∴△ BCE 为等腰三角形.
9. (12分) 已知:如图 14, 抛物线 2334y x =-+与 x 轴交于点 A , 点 B , 与直线 3
4
y x b =-+相交于点 B ,点 C ,直线 3
4
y x b =-
+与 y 轴交于点 E . (1)写出直线 BC 的解析式. (2)求 ABC △ 的面积.
(3) 若点 M 在线段 AB 上以每秒 1个单位长度的速度从 A 向 B 运动 (不与 A B , 重合) , 同时,点 N 在射线 BC 上以每秒 2个单位长度的速度从 B 向 C 运动.设运动时间为 t 秒, 请写出 MNB △ 的面积 S 与 t 的函数关系式,并求出点 M 运动多少时间时, MNB △ 的面 积最大,最大面积是多少?
解:(1)在 2
334
y x =-
+中,令 0y = 23
304
x ∴-+=
12x ∴=, 22x =-
(20) A ∴-, , (20) B ,
1分
又 点 B 在 3
4
y x b =-
+上 3
02b ∴=-+
32
b =
BC ∴的解析式为 33
42
y x =-+
2分
(2)由 2334
3342y x y x ?
=-+????=-+??,得 11194x y =-???=??2220x y =??
=? 4分
914C ?
?∴- ??
?, (20) B ,
4AB ∴=, 9
4
CD =
5分 1994242
ABC
S ∴=??=△ 6分
(3)过点 N 作 NP MB ⊥于点 P
EO MB ⊥
NP EO ∴∥ BNP BEO ∴△ ∽△ 7分 BN NP
BE EO
∴
= 8分
由直线 3342y x =-
+可得:302E ?? ???
∴在 BEO △ 中, 2BO =, 32EO =
,则 5
2
BE = 25322t NP
∴
=
, 65NP t ∴= 9分 16
(4) 25S t t ∴=-
2312
(04) 55S t t t =-+
10分 2312(2) 55
S t =--+
11分
此抛物线开口向下, ∴当 2t =时, 12
5
S =
最大 ∴当点 M 运动 2秒时, MNB △ 的面积达到最大,最大为
125
. 12分
范文五:中考数学动点问题专题练习(含答案)
动点专题
一、应用勾股定理建立函数解析式
例 1(2000年·上海 ) 如图 1, 在半径为 6, 圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上 , 有一个动点 P,PH ⊥ OA, 垂足为 H, △ OPH 的重心为 G.
(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 , 线段 GO 、 GP 、 GH 中 , 有无长度保持不变的线段 ? 如果有 , 请指出这样的线 段 , 并求出相应的长度 .
(2)设 PH x =,GP y =, 求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域 (即自变量 x 的取值范围 ).
(3)如果△ PGH 是等腰三角形 , 试求出线段 PH 的长 .
二、应用比例式建立函数解析式
例 2(2006年·山东)如图 2, 在△ ABC 中 ,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC 上运动 . 设 BD=, x CE=y . (1)如果∠ BAC=30°, ∠ DAE=105°, 试确定 y 与 x 之间的函数解析式;
(2)如果∠ BAC 的度数为 α, ∠ DAE 的度数为 β, 当 α, β满足怎样的关系式时 ,(1)中 y 与 x 之间的函 数解析式还成立 ? 试说明理由 .
C
B 图 2
H
M P
A
图 1
x y
C
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式
例 4(2004年·上海)如图 , 在△ ABC 中 , ∠ BAC=90°,AB=AC=22, ⊙ A 的半径为 1. 若点 O 在 BC 边上 运动 (与点 B 、 C 不重合 ), 设 BO=x , △ AOC 的面积为 y .
(1)求 y 关于 x 的函数解析式 , 并写出函数的定义域 .
(2)以点 O 为圆心 ,BO 长为半径作圆 O, 求当⊙ O 与⊙ A 相切时 , △ AOC 的面积 .
一、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题.
1.(09年徐汇区) 如图, ABC ?中, 10==AC AB , 12=BC ,点 D 在边 BC 上,且 4=BD , 以点 D 为顶点作 B EDF ∠=∠,分别交边 AB 于点 E ,交射线 CA 于点 F . (1)当 6=AE 时,求 AF 的长;
(2)当以点 C 为圆心 CF 长为半径的⊙ C 和以点 A 为圆心 AE 长为半径的⊙ A 相切时,
求 BE 的长; (3) 当以边 AC 为直径的⊙ O 与线段 DE 相切时, 求 BE
的长.
C
O 图 8
H
C
l
A ′
(二)线动问题
2, 在 矩形 ABCD 中, AB =3,点 O 在对角线 AC 上,直线 l 过点 O ,且与 AC 垂直交 AD 于点 E.(1)若 直线 l 过点 B ,把△ ABE 沿直线 l 翻折,点 A 与矩形 ABCD 的对称中心 A '重合,求 BC 的长; (2)若直线 l 与 AB 相交于点 F ,且 AO =
4
1AC ,设 AD 的长为 x ,五边
形 BCDEF 的面积为 S. ①求 S 关于 x 的函数关系式,并指出 x 的取值范 围;
②探索:是否存在这样的 x ,以 A 为圆心,以
x 4
3长为半径的圆与
直线 l 相切,若存在,请求出 x 的值;若不存在,请说明理由.
解决动态几何问题的常见方法有 :
一、 特殊探路,一般推证
例 2:(2004年广州市中考题第 11题)如图,⊙ O1和⊙ O2内切于 A , ⊙ O1的半径为 3,⊙ O2的半径为 2,点 P 为⊙ O1上的任一点(与点 A
不重合),直线 PA 交⊙ O2于点 C , PB 切⊙ O2于点 B ,则 PC BP
的值为
(A )
2 (B ) 3 (C ) 23
(D ) 26
二、
动手实践,操作确认
例 4(2003年广州市中考试题)在⊙ O 中, C 为弧 AB 的中点, D 为弧 AC 上任一点(与 A 、 C 不重 合),则
(A ) AC+CB=AD+DB (B) AC+CB
(C) AC+CB>AD+DB (D) AC+CB与 AD+DB的大小关系不确定
A
例 5:如图, 过两同心圆的小圆上任一点 C 分别作小圆的直径 CA 和非直径的弦 CD , 延长 CA 和 CD 与大圆分别交于点 B 、 E ,则下列结论中正确的是( * ) (A ) AB DE = (B ) AB DE >
(C ) AB DE <(d )="" ab="" de="" ,="">(d>
三、
建立联系,计算说明
例 6:如图, 正方形 ABCD 的边长为 4, 点 M 在边 DC 上, 且 DM=1, N 为对角线 AC 上任意一点,则 DN+MN的最小值为 .
例 1. 在 Rt ABC ?中, AC =5, BC =12,∠ ACB =90°, P 是 AB 边上的动点(与点 A 、 B 不重合), Q 是 BC 边上的动点 (与点 B 、 C 不重合) , 当 PQ 与 AC 不平行时, △ CPQ 可能为直角三角形吗?若有可能, 请求出线段 CQ 的长的取值范围;若不可能,请说明理由。(03年广州市中考)
例 2. 如图 2,直角梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,∠ B =90°, AD +BC
,使 AP ⊥
BP ,则这样的点有多少个?
M
D C
B
A
中考动点专题答案
一、应用勾股定理建立函数解析式
1. 解 :(1)当点 P 在弧 AB 上运动时 ,OP 保持不变 , 于是线段 GO 、 GP 、 GH 中 , 有长度保持不变的线段,这条线段是 GH=
3
2NH=
2
1
32?OP=2. (2)在 Rt △ POH 中 , 2
2
2
36x
PH
OP
OH -=-=, ∴ 2
362
12
1x
OH MH -=
=
.
在 Rt △ MPH 中 ,
.
∴ y =GP=
3
2MP=
2
3363
1x
+ (0
(3)△ PGH 是等腰三角形有三种可能情况 : ① GP=PH时 ,
x x
=+2
33631, 解得 6=
x . 经检验 , 6=x 是原方程的根 , 且符合题意 .
② GP=GH时 ,
23363
1
2
=+x , 解得 0=x . 经检验 , 0=x 是原方程的根 , 但不符合题意 .
③ PH=GH时 , 2=x .
综上所述 , 如果△ PGH 是等腰三角形 , 那么线段 PH 的长为 6或 2.
二、应用比例式建立函数解析式
2. 解 :(1)在△ ABC 中 , ∵ AB=AC,∠ BAC=30°, ∴∠ ABC=∠ ACB=75°, ∴∠ ABD=∠ ACE=105°. ∵∠ BAC=30°, ∠ DAE=105°, ∴∠ DAB+∠ CAE=75°, 又∠ DAB+∠ ADB=∠ ABC=75°, ∴∠ CAE=∠ ADB, ∴△ ADB ∽△ EAC, ∴
AC
BD CE
AB =,
∴
1
1x y
=
, ∴ x
y 1=
.
(2)由于∠ DAB+∠ CAE=αβ-, 又∠ DAB+∠ ADB=∠ ABC=2
90α
-?, 且函数关系式成立 ,
∴ 2
90α
-
?=αβ-, 整理得 =-
2
α
β?90. 当 =-
2
α
β?90时 , 函数解析式 x
y 1=
成立 .
三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例 4 解 :(1)过点 A 作 AH ⊥ BC, 垂足为 H.
∵∠ BAC=90°,AB=AC=22, ∴ BC=4,AH=2
1BC=2. ∴ OC=4-x .
∵ AH OC S AOC ?=
?2
1, ∴ 4+-=x y (40
(2)①当⊙ O 与⊙ A 外切时 ,
在 Rt △ AOH 中 ,OA=1+x ,OH=x -2, ∴ 2
22
) 2(2)
1(x x -+=+. 解得 6
7=
x .
2
2
2
2
2
3362
14
19x
x
x MH
PH
MP +=
-
+=+=C
B
图 2
C
B C
l
A ′
此时 , △ AOC 的面积 y =6
176
74=
-.
②当⊙ O 与⊙ A 内切时 ,
在 Rt △ AOH 中 ,OA=1-x ,OH=2-x , ∴ 2
22
) 2(2) 1(-+=-x x . 解得 2
7=
x . 此时 , △ AOC 的面积 y =2
12
74=
-. 综上所述 , 当⊙ O 与⊙ A 相切时 , △ AOC 的面积为
6
17或
2
1.
一、以动态几何为主线的压轴题 (一)点动问题.
1. 解:(1) 证明 CDF ?∽ EBD ?∴
BE
CD BD
CF =
,代入数据得
8=CF ,∴ AF=2
(2) 设 BE=x , 则 , 10==AC d , 10x AE -=利用(1) 的方法 x
CF 32=
,
相切时分外切和内切两种情况考虑: 外切, x
x 321010+
-=,
24=x ;
内切, x
x 3210--=, 210±=x . 100<>
∴当⊙ C 和⊙ A 相切时, BE 的长为 24或 210-. (3)当以边 AC 为直径的⊙ O 与线段 DE 相切时, 3
20=BE .
(二)线动问题 [ 略解 ]
(1)∵ A ’ 是矩形 ABCD 的对称中心∴ A ’ B =AA ’ =
2
1AC
∵ AB =A ’ B , AB =3∴ AC =6 33=BC (2)① 92
+=
x AC , 94
12
+=
x AO , ) 9(12
12
+=
x AF ,
x
x AE 492
+=
∴ AF 2
1?=
?AE S AEF x
x 96) 9(2
2+=
, x
x x S 96) 9(32
2+-
=x
x x 9681
2702
4-+-=
(
333
②若圆 A 与直线 l 相切,则 94
1432
+=-x x , 01=x (舍去 ) , 5
82=
x ∵ 35
82<>
x ∴不存在这样的 x ,
使圆 A 与直线 l 相切.
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