范文一:参数方程的互化
《参数方程与普通方程的互化》学案
教学过程:
一、知识回顾
1) 填空。下列方程是直角坐标方程的是 ;是极坐标方程的是 ; 是参数方程的是 。 (填序号即可 )
○ 10532=++y x ○ 2θρcos 4= ○ 3) b y a x 为参数 ???(sin cos ?
??== 2) 极坐标与直角坐标的互化关系式:
3) 三角函数公式: =+x x 22sin cos ; =x 2cos = =
二、新知学习
1) 为什么要进行互化?参数方程与普通方程只是不同表达方式, 其形式及分析方法各具特点又 互相补充。实现互化,方能灵活运用,发挥其长处。
2) 基本思想:
● 总结方法一:
1) (t 为参数 ) 2) (t 为参数 ) 3) (t 为参数 )
● 总结方法二: 4)
???-=+-=t y t x 4324???+==22t y t x ???????+=+=2211t t y t t x ?????=+=???==x
y y x y x 22?????-==42y x
总结方法三:
5) 6)
三、巩固练习
将下列曲线方程化为普通方程 1) ?????-=+=t y t x 21
1
(t 为参数 ) 2) ???==θθsin 4cos 5y x (θ是参数 )
3) ??
?????+=+-=
22
1411t t
y t t x (t 为参数 )
) (2sin 31cos 3为参数 θθθ???+=-=y x )
(2cos ,
sin 为参数 θθθ???==y x
范文二:参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化
教学目标
1.理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的. 2.基本掌握消去参数的方法.
3.培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力.即在“互化”训练中,提高学生解决数学问题的转化能力.
教学重点与难点
使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则,明确新旧知识之间的联系,掌握消去参数的基本方法.
教学过程
师:前面的课程里,我们学习了参数方程,下面请看这样一个问题:(放投影片)
由圆外一点Q(a,b) 向圆x 2+y2=r2作割线,交圆周于A 、B 两点,求AB 中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5) .
分析 割线过点Q(a,b) ,故割线PQ 方程为:
此斜率k 可作为参数.(投影)
解 设过点Q 的直线方程是y-b=k(x-a),则圆心O 与AB 中点P 的
即为所求点P 的轨迹的参数方程.
师:你能根据点P 的参数方程说出点P 的轨迹吗? 生:(无言以对) 看不出来. (启发学生猜想,培养参与意识.)
师:你通过题目中点P 符合的条件,多画几个点,猜想一下它的形状. (学生在纸上画,讨论.)
生:点P 的轨迹(1)过坐标原点,也就是已知圆的圆心.(2)轨迹不是直线. 师:参数方法是研究曲线和方程的又一种方法,是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法.也就是说,参数方程里的参数可以协调x 、y 的变化.基于这点理论,有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质,需要把参数方程化为普通方程.即想办法消去参数k ,把参数方程转化为我们熟知的普通方程,再去研究它的几何性质就容易了.
把(3)代入(2)得:x 2-ax+y2-by=0.(4)
方程(4)证实了我们的猜想是正确的,具体地说:点P 的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x 2+y2=r2的内部) .
师:以上事例说明,有时为了判定曲线的类型,研究曲线的几何性质,确实需要把参数方程化为我们认知的普通方程.这节课我们就来学习把参数方程化为普通方程的法则.
例1 炮弹从点(0,0) 以初速度v 0向倾斜角为α的方向发射,问:(1)在时刻t 的高度和水平距离如何?(2)炮弹描绘的(弹道) 是一条什么样的曲线?
(学生通过物理知识,很容易解决这个问题.)
解 (1)设炮弹发射后的位置在点M(x,y)(如图3-6) ,因为炮弹在Ox 方向是以v 0cos α为速度的匀速直线运动,在Oy 方向是以v 0sin α为初速度的竖直上抛运动,所以按匀速直线运动的公式知:炮弹在时刻t 的水平距离是x=v0cos α·t ,按竖直上抛运动的位移公式知:炮弹在时
即弹道曲线的参数方程上看不出来,那么怎么办呢?
生:消去参数t ,转化成为普通方程后,就可看出曲线的形状了.
故炮弹描绘的曲线是一条抛物线.(含顶点在内的一部分.因为二次项系数是负值,所以这是开口向下的抛物线,与实际问题相吻合.)
例2 把参数方程
即3x+5y-11=0是所求的普通方程,它的轨迹是一条直线.
师:这个同学理解了消参的基本方法——代入消参法.这正与解方程组中代入消元法相类似.他用学过的知识解决了新问题.你认为他的解题过程有问题吗?
生:挺好的.我与他解的一样,没问题.
师:同学们在解题时注意参数t 的取值范围了吗? 生:t 为不等于-1的实数,即t ≠-1.
师:答案是否有何不妥?
生:没觉得哪儿不妥,轨迹确实是一条直线.
师:普通方程是相对于参数方程而言的,它反映了坐标变量x 与y 之间的直接关系,而参数方程是通过参数反映坐标变量x 与y 之间的间接关系.如能消去参数(不是所有的参数方程都能化为普通方程) ,参数方程就转化为普通方程,所以普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同的表达形式.为此,在化参数方程为普通方程时,必须注意变数的范围不应扩大或缩小,也就是对应曲线上的点不应增加也不应减小.这就要求参数方程和消去参数后的普通方程等价.请修正一下你的答案.
生:3x+5y-11=0(x≠-3) 是所求的普通方程,它的轨迹是一条直线(去掉点(-3,4)) .
师:观察一下方程(1)、(2)的形式与你学过的知识中哪个式子类似?(提供类比,用以理解直线的参数方程形式不只一种,它与选定的参数相关.
)
至此,想必学生悟到t 的几何意义:动点P 分P 1P 2所成的比,即
t=
解 过点(2,1) ,(-3,4) 的直线方程是:
化简,得3x+5y-11=0.
师:这个事实说明,据参数的几何意义,也能达到消参的目的.
师:例2表明,直线的参数方程的形式不只一种.那么对同一个参数方程来说,指定的参数不同,会带来曲线的形状不同吗?你试试看.(激发学生探索问题的兴趣
)
生:对同一个参数方程来讲,由于指定的参数不同,会带来曲线形状的变化. 例4 化下列参数方程为普通方程.
(让学生按小组讨论求解,然后在投影仪上打出答案.) 略解 (1)(x+1)2+y=sin2θ+cos2θ, 所以 (x+1)2+y=1,(0≤y ≤1) .
所以x 2-y 2=4.
师:消去参数的方法常用的有哪些?转化过程中应注意什么? (学生讨论后教师板书)
消去参数的方法常用的有以下两种:
(1)代入法:先求出参数的表达式,然后代入另一个方程中去(如例1) . (2)利用代数或三角函数中的恒等式消去参数.(如例4)
转化过程中应注意参数的范围不能扩大也不能缩小.也就是对应曲线上的点,不应增加也不应减少,保证参数方程和消参后的普通方程等价.
师:方程组中有3个变量,其中的x 和y 表示曲线上点的坐标;θ是参变量.参数方程之所以能描绘出动点的轨迹,是由于当给出一个参数值时,就能唯一地求出相应的x 与y 的值,因而也就确定了这时点所在的位置.所以问题可转化为讨论当θ为何值时,点P 到直线的距离最小问题.
因为tan θ、cot θ同号,
又|tanθ+2cotθ+2|≥|tanθ+2cotθ|-|2|,
从例5的结论知道,参数θ不是问题的主要对象,却能牵动主要对象的根本性质.这个问题的解决再一次说明:参数方程能明确地揭示点的运动规律,对解决某些问题有不可替代的优越性.
师:这节课我们学习了参数方程化为普通方程的法则.
首先通过问题的提出,我们知道有时为了判定曲线的类型,研究曲线的几何性质,需要把参数方程化为普通方程.又在将参数方程化为普通方程的过程中,掌握了消去参数的常用方法,并且理解了参数方程和消去参数后所得的普通方程为什么要等价.
家庭作业:
一、把下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线.
二、关于t 的方程t 2+(2+i)t+4xy+(2x-y)i=0(x,y ∈R ,i 是虚数单位) 有实根,求动点P(x,y) 的轨迹的普通方程.
下面是作业题略解. 一、(1)(x-x0) 2+(y-y0) 2=t2, 以(x0,y 0) 为圆心,|t|为半径的圆.
(2)y-y0=tanθ(x-x0) ,过点(x0,y 0) ,斜率是tan θ的直线. (3)2x+y-5=0(0≤x <3) ,缺一个端点的线段. (4)y2-x 2=4(y≥2) ,双曲线的上支. 二、已知方程整理为:
(t2+2t+4xy)+i(2x-y+t)=0 因为x ,y ,t ∈R ,
得4x 2+y2+4x-2y=0为所求. 设计说明
参数方程与普通方程的互化,应该是两课时,这是第一课时的内容:参数方程化为普通方程.对这一问题课本仅用3/2页的篇幅介绍了互化的方法共3个例题.纵观全章《参数方程、极坐标》也只是对参数方程进行了初步研究.而事实上,参数方程也是解析几何的重要内容之一,是继续学习数学知识的基础,在生产实践中也有广泛的应用.我们知道,参数方程与带有参数的问题固然不同,但是学习参数方程对于熟练参数的运用却很有帮助.更有一类问题,看来不是参数方程,而实质上是参数方程问题.
这就是所求轨迹的方程,轨迹是双曲线.
这解法有些使人莫名其妙,实际上这是参数方程.本来我们应该先把对应直线的交点求出来:
这就是所求轨迹的参数方程.为了求x 、y 的方程而消t 的话,可以照这样进行:
数学中的参数好像是一种活泼的元素,有它的时候可以添一些麻烦,但这麻烦却多半是有趣的现象.它能使一些问题化繁为简.故活用参数,
问题,常规解法是:
这一问题也可巧用参数,把它转化成求过动点(cosθ,sin θ) 和定点(1,2) 直线的斜率取值范围问题.动点P(cosθ,sin θ) 的轨迹是以坐标原点为圆心,1为半径的圆(挖去(1,0) 点) .如图3-7知:
(北京市陈经纶中学
纪小华)
范文三:参数方程与普通方程的互化
课题:参数方程与普通方程的互化
【学习目标】
1. 掌握参数方程化为普通方程的几种常用方法. 2. 选取适当的参数化普通方程为参数方程.
3. 利用辩证地观点认识参数方程与普通方程之间的关系, 通过观察、探索、发现的创造性过程, 培养创新意识.
【重点难点预测】
重点:参数方程与普通方程的互化 难点:参数方程与普通方程的互化
【学法指导】
小组合作、讨论交流
【导学流程】 一、创设情境
下列参数方程与方程y 2=x 表示同一曲线的是哪一个?
①??x =t 4(?x =sin 2t ?y =t 2
t 为参数); ②??y =sin t (t 为参数);
③???1-cos 2t ?x =t ?t 为参数); ④??x =?1+cos 2t (t 为参数). ?y =?y =tan t
二、课前预习导学
问题1:参数方程化为普通方程的步骤
(1)消去参数方程中的参数. 消去参数的常用方法有:①代入消去法;②加减消去法;③乘除消去法;④三角恒等式消去法.
(2)写出定义域(x的范围).
问题2:普通方程化为参数方程的步骤
只要适当选取参数t , 确定x =?(t ) , 再代入普通方程求得y =f (t ) , 即可化为参数方程??
x =?(t )
?y =f (t )
问题3:是否所有参数方程与普通方程都可以进行互化? 若能互化, 在互化过程中要遵守什么原则?
不是所有的参数方程都可以化为普通方程. 普通方程化为参数方程时, 选择的参数不同, 其参数方程 .
, 在互化过程中要遵守参数方程与普通方程的 原则, 即两种方程中x , y 的范围一致.
问题4:参数方程和普通方程在研究问题时各有什么优势?
三、基础学法交流
1. 直线y=x-2的参数方程可以为( ).
?22
x =21A. ??x =2+sin θ=sin θ B.?x =2+t
C. ??y 2??y =t
2
?x =2+t ??+t
?y =t D.? ???
y =1
t 2. 若曲线??x =2+cos 2θ(θ为参数), 则点(x , y ) 的轨迹是( ). ?y =sin 2
θ
A. 直线x +2y -2=0 B. 以(2,0)为端点的射线
C. 圆(x -1) 2+y 2=1 D. 以(2,0)和(0,1)为端点的线段
3. 将参数方程??x =1+cos 2θ
?y =2sin θ
(θ为参数) 化为普通方程为 .
4.P 为曲线C ?x =2+cos θ
) 上一点, 求它到直线C ?x =1+2t 1:?(θ为参数?y =sin θ2:??y =2(t 为参数) 的距离的最小
值.
四、展示提升:
把参数方程化为普通方程
?2-t 例一、化参数方程??x =?1+t
(t 是参数) 为普通方程, 并画出方程的曲线?2t .
??
y =1+t
把普通方程化为参数方程
例二、把直线方程+y +2-=0化为参数方程.
参数方程与普通方程的等价性
例三、已知两曲线参数方程分别为???x =θ?,(0?x =52?≤θ<π)和?y =sin="">π)和?y>
(t ∈R ) , 求它们的
??y =t
交点坐标.
【当堂检测】
?1. 参数方程为?
?x =t +1t (t 为参数) 表示的曲线是( ).
??y =2
A. 一条直线 B. 两条直线 C.一条射线 D. 两条射线
?
2. 已知某条曲线的参数方程为??x =11?
2(a +a
) (a 为参数) , 则该曲线是( ). ???
y =112(a -a ) A. 线段 B. 圆 C. 双曲线的一部分 D. 圆的一部分
3. 若直线??x =1-2t
?y =-2+2t (t 为参数) 与直线4x +ky =1垂直, 则常数k = .
?
4.
设直线的参数方程为??
x =1?
22
(t 为参数) (t为参数), 它与椭圆4x ?9+y 9=1的交点为A 和B,
??y =-2
求线段AB 的长度.
【达标测评】
1、参数方程??x =sin 2θ
?y =sin θ+cos θ
(θ为参数) 表示的曲线的普通方程是 .
2、设y =tx (t 为参数) , 则圆x 2+y 2-4y =0的参数方程为 .
3、在平面直角坐标系xOy 中, 曲线C 1和C 2
的参数方程分别为
?
???
x =θ,(θ为参数,0≤θ≤π?x =1-)
和??2??y =θ
2?(t 为参数) , 则曲线C 1与C 2
的交点坐标
??y =为 .
?x =4、已知曲线C ?
1
的参数方程是?(t 为参数) . 以坐标原点为极点,x ?
y =轴的正半轴为极轴建立
?极坐标系, 曲线C 2的极坐标方程是ρ=2, 则C 1与C 2交点的直角坐标为 .
【知识清单】 【自主反思】
范文四:【参数方程和普通方程的互化】
【参数方程和普通方程的互化】
例1 求曲线(为参数)与曲线(为参数)的交点(
解:把代入
得:两式平方相加可得
? (舍去)
于是即所求二曲线的交点是(,,)(
说明:在求由参数方程所确定的两曲线的交点时,最好由参数方程组求解,如果化为普通方程求交点时要注意等价性(如该例若化为普通方程求解时要注意点(,,)是增解(
例2化直线的普通方程为参数方程(其中倾斜角满足且
)
解法一:因,,故
?
设。取为参数,则得所求参数方程
解法二:如图,()为直线上的定点,为直线上的动点(因动点M与的数量一一对应(当M在的向上方向或正右方时,;当M在的下方或正左方时,;当M与重合时,),故取为参数(
过点M作y轴的平行线,过点作轴的平行线,两直线相交于点Q(如图)(则有
?
即为所求的参数方程。
说明:?在解法二中,不必限定,,即不必限定,(由此可知,无论中任意值时,所得方程都是经过(),倾斜角为的直线的参数方程(可称它是直线参数方程的“点角式”或“标准式”(
?要充分理解解法二所示的参数的几何意义,这对解决某些问题较为方便(
?如果取为参数,则得直线参数方程
一般地,直线的参数方程的一般形式是
(,为参数)
但只有当且仅当,且时,这个一般式才是标准式,参数才具有上述的几何意义(
例3 求椭圆的参数方程(
分析一:把与对比,不难发现,可设,也可设
解法一:设(为参数),则
?
故
因此,所得参数方程是
(?)或 (?)
由于曲线(?)上的点(,),就是曲线(?)上的点(,
),所以曲线(?)上的点都是曲线(?)上的点(
显然(椭圆的参数方程是
分析二:借助于椭圆的辅助圆,可明确椭圆参数方程中的几何意义(
解法二:以原点O为圆心,为半径作圆,如图(设以轴正半轴为始边,以动半径OA为终边的变角为,过点A作轴于N,交椭圆于M,取为参数,则点M()的横坐标(以下同解法一)(
由解法二知,参数是点M所对应的圆半径OA的转角,而不是OM的转角,因而称为椭圆的离角((如果以O为圆心,为半径作圆,过M作,交圆于B,由可知也是半径OB的转角)(
例4 用圆上任一点的半径与x轴正方向的夹角为参数,把圆化为参数方程。
分析:由圆的性质及三角函数的定义可把圆上任意一点化为的参数形式。
解:如图所示,圆方程化为,设圆与x轴正半轴交于A,为圆上任一点,过P作轴于B,OP与x轴正半轴所成角为,,则:
又中,
?
?此圆的参数方程为
例5 设(为参数)把普通方程化为以为参数的参数方程。
解:把代入原方程,得,
解得
?参数方程为 (为参数)
?与表示的是同一曲线,所以它们是等价的,可以省略一个。
?所求参数方程
例6 化双曲线为参数方程。
解:设,代入为,得
?的参数方程为(为参数,)
这是同学中较为常见的解法,这种解法是错误的,那么错在哪里呢,请你找出来。
错误在于,双曲线上x的取值范围是不等于零的一切实数,错解中得到的参数方程中x的取值范围仅仅,故错解中得到的参数方程只表示双曲线上一部分,不符合普通方程与参数方程的等价性要求,普通方程化为参数方程时关键是选择适当的参数,注意使所得参数方程与原普通方程中变量x、y的允许值范围要保持一致。
下面给出正确解法:设,代入得。
?的参数方程为:(为参数,)
例7 化参数方程
(为参数)为普通方程。
分析一:用代入消元法,从已知方程中解出参数,代入后消去参数。
解法一:?
? 即
将它代入(1),并化简得
()
分析二:用整体消参法。注意表达式的分母相同,而分子的平方和恰为原来相同的分
母。
解法二:得
又? ?
于是得所求普通方程为
即
分析三:因为,所以。从表达式可联想万能公式。于是可用三
角变换,然后利用三角公式再消参。
解法三:?,
? 可令(,)
又?
于是得
得
即
?,()
?()
即,?
?普通方程是()
说明:解法一是用代入法消参,解法二是整体消参法,解法三是运用万能公式,三角变换
消参,三种解法中都应注意的限制条件,使参数方程化为普通方程时保持等价性。 例8将下列参数方程(其中,为参数)化为普通方程。 (1) (2) (3) 解:(1)?
? ()为所求。
(2)由,得()
将它代入,并化简得()
另解:?
并整理得
()
(3)?
且 ?所求普通方程为
说明:(1)小题是用三角公式变形后用代入法消参,(2)是用代入(消元)法消参变形
后整体消参,(3)小题是通过代数变换法消参。但都应特别注意等价性。 例9 对于方程(a,b为常数) (1)当为常数,为参数时,方程表示何种曲线; t
(2)当t为参数,为常数时,方程表示何种曲线 解:(1)当t为常数,原方程可变形为
两式平方相加得 即
这是以(a,b)为圆心,为半径的圆。
(2)当为常数时,
由第一式得代入第二式得 即
这是过点(a,b),斜率为的一条直线
小结:同一参数方程,由于参数不同,所表示的曲线也不同,消去参数化为普通方程后,
曲线的类型也就显现出来。
例10 已知直线过点P(2,0),斜率为。直线和抛物线相交于A、B两点,
线段AB的中点为M。求:
(1)线段PM的长;
(2)M点的坐标;
(3)线段AB的长
解:如图。
(1)由直线过点P(2,0),斜率为。设其倾斜角为,则有
可得直线的标准参数方程为:
(其中为参数)
设直线上两点A、B分别对应参数、,
由方程组:
消去可得:
有 , 由M为AB的中点,
?
(2)设M点对应参数为,则有
? M点坐标为:
?M点坐标为(,)
(3)由
分别代入, 可得
点拨:利用直线的标准参数方程中参数的几何含义,在解决诸如直线上的两点距离、某两点的中点以及与此相关的一些问题时,显得很方便和简捷。
例11 已知椭圆上的一个点P(),求的最值。
解:设椭圆的参数方程为:
(为参数,)
?
,(其中)
?
?
即的最大值是,最小值是,。
点拨:这个题虽然很简单,但它说明了一个道理:曲线的参数方程不仅表示了曲线,同时也表示了曲线上的点的坐标(当曲线的参数方程表示曲线上的点的坐标时,实际上起到了消元的作用,即用一个参数表示了 、,因此,在求某些几何量的最值时,参数方程可以起到一元化即消元的作用(
例12 过点M(2,1)作曲线(为参数)的弦AB,若M为AB的三等分点,求直线方程。 AB
解:设AB的方程为(t为参数),将x,y代入曲线(为参数)即,
整理、化简得,
?
?
?点M在AB的内部 ?
?。
将?、?代入上式有。
解得,
则AB的方程为
小结:本题是首先设出过定点的参数方程,然后和椭圆方程联立,再利用韦达定理及直线
参数方程中t的意义,求得斜率,用点斜式写出直线方程。
例13 圆O内一定点A,过A任作两互相垂直的弦,求证这两弦长的平方和为定值。 证明:以圆心O为原点,OA所在的直线为x轴建立直角坐标系, 设圆的方程,过定点互相垂直的两弦PQ、RS的方程分别为
即
分别代入圆方程,得,其二根为、,
,其二根为、,故有
?两弦平方和为定值
小结:涉及圆的弦长问题,可利用直线参数方程来解。
例14 已知是抛物线的一动弦,O为原点。当恒为直角
时,如图求弦的中点P的轨迹方程。
分析 点P是的中点,点P的坐标与,的坐标,,、相关,如果
选取,,、作为参数,则要列出,,,、有关的五个方程,最后消
去参数,,、就可以得到P点的轨迹方程。
解 设P(),(,),(,) ?P是的中点
??
?
?,在抛物上
??
?
又?恒为直角,即
??
由?×?:
?
由?,?:
?
把?、?式代入得:
? P点的轨迹方程是
说明 此题的解法是利用参数求点的轨迹方程,参数的个数可以是一个,也可以是几个,所
之间的方程的个数要比参数个数多一个,最后消去参数,得出轨迹列出的参数与点的坐标
方程(解决这类问题的关键是如何选取参数(此题还有一种选取参数的方法(
设直线的斜率为,根据
则的方程是,
的方程是。
由解得
由解得
设,根据P是的中点
?(1)
(2)
由
把(1)代入:
?P点的轨迹方程是:
范文五:参数方程与普通方程的互化
2009届高三数学第一轮复习学案
参数方程与普通方程的互化
姚建新 【学习目标】 1(参数方程与普通方程的互化
2(掌握化参数方程为普通方程的几种方法
3(培养严谨的数学思维品质
【学习难点和重点】等价变形
【课堂讲解】
参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式,它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的,故在一般情况下,它们可以相互转化。将曲线的参数方程化为普通方程,可借助于以熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等;而将普通方程化为参数方程,可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标,从而给研究曲线的有关问题带来方便。
例1:将下列曲线的参数方程化为普通方程:
一、代入法:先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y表示),在代入另一个方程从而消去参数t,注意等价变形
x,1,2t, (1) (t,R),y,2,t,
2,x,1,t, (2) ,2,yt,9,,1,
二、三角法:利用一些三角恒等式来消去参数,注意等价变形
x,cos,sin,,,5,, (3) (,,),,y,cos,sin44,,,
x,,1cos2,,,,,(4) ,(0,),,2,,2y,,54sin,,,,
,x,5cos,(5) (0,,,2,),y,4sin,,
三、平方作差法:先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方,然后相减,即可消去参数,注意等价变形
1,x,2t,,,t (6) (t,0),1,y,t,,2t,
1,2x,t,2,,t(7) (t,0),12,y,t,2,t,
第1页
2009届高三数学第一轮复习学案
四、线段型:通过观察,普通方程是一条直线,注意等价变形
1,x,t,,(8)为参数) (tt,
,y,3,
x,1,(9)为参数) (,,y,2,cos,,
点评:参数方程化为普通方程的基本思想是“消去参数”,消去参数t的方法有时是从方程组的一个式子解出t代入另一式;有时是利用三角、代数的恒等式进行消元。
22例2:设x=2cos,将曲线的普通方程x+y-4y=0化为参数方程 ,(0,,,2,)
点评:把曲线的普通方程化为参数方程的关键是选择参数 。一般可设x=f(t)(或y=g(t)),
x,f(t),将x(或y)代入F(x,y)=0解出y=g(t)(或x=f(t)),即可得参数方程:是参数) (t,y,g(t),
22y xy例3:点M为椭圆(a>b>0)在第一象限内线段AB,,122abB M 弧上的动点,求四边形OAMB的面积S的最大值
x O 【课后反馈】 A 1. 将下列曲线的参数方程化为普通方程:
2,,,x,cosx,,t,1,,(1) (2) (,,R)(t,0),,2,y,sin,,y,2t,1,,
1,x,a(t,),x,1,sint,,t(3) (4) (a,b,0,t,0,t是参数)(t,R),,1y,cos2t,,y,b(t,),t,
x,1,(5) (,,R),y,2,sin,,
,,,x14cos,2. 椭圆的长轴上两个顶点的坐标是__________ ,y,2,3sin,,
,,,,x22tan,3. 双曲线的两条渐进线的夹角大小为___________ ,,,y223sec,,
,x,2cos,4. 直线x+y-4=0和圆的位置关系是( ) ,2,)3(0,,,y,2sin,,
第2页
2009届高三数学第一轮复习学案 (A)相交但不过圆心 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离
2,x,3t,4,5.参数方程所表示的曲线是( ) (0,t,3),2,y,t,2,
(A) 一支双曲线 (B) 线段 (C) 圆弧 (D) 射线
226(按下列条件,把x+y-2rx=0(r>0)化为参数方程
(1) 以曲线上的点与圆心的连线和x轴正方向的夹角为参数 ,
(2) 以曲线上的点与原点的连线和x轴正方向的夹角为参数 ,
,,,x2tcos,7(根据下列条件研究参数方程表示何种曲线 ,y,,1,tsin,,
(1)为参数,t为常数 ,
(2)为常数,t为参数 ,
,,,x13cos,48.已知直线l经过点P(-3,3)、倾斜角为arccos(且与曲线相交于A,B两,),y,3sin,5,点,求|AB|的值
,x,vtcos,0,9(已知炮弹运动轨迹的参数方程是,设v是定值, 可(0,t,t),0,102,y,vtsin,gt0,2,
以变动,为何值时,炮弹的射程最大,最大值是多少, ,
10(设排球场总长为18米,网高为2米,运动员站在离网3米远的线上正对网竖直跳起,
把球水平向前击出,如果击球点高度为2.5米,问球水平向前击出时,速度在什么范围内才
能使球既不触网也不出界。
22xy11(椭圆(a>b>0)上任意一点M(除短轴端点外)与短轴两个端点B,B的连线交,,11222ab
2x轴于点N和K,长轴右端点为A,求证: |ON|,|OK|,|OA|【学习体会】
第3页
2009届高三数学第一轮复习学案
第4页