范文一:一元二次方程的几何解法及其教学意义
一元二次方程的几何解法总结及其教学应用
摘要:在当代的数学教育中,一元二次方程的几何解法已经很少受到大家的关注了。在整个中学数学教学中,也很少介绍用诸如几何方法来解答一元二次方程。目前中学数学教材中,也仅仅是针对几何解法对一元二次方程的意义进行一下说明。因为对当代教育体制而言,人们更关注即时教学效果,过分强调工具实用价值,不注重数学理论系统的完整性和基础性学习。而在一元二次方程解法中,学生只需要记住求根公式就可以解方程了,这对于数学基础教学而言是一个很大的损失。了解一元二次方程的几何解法有助于学生深入了解一元二次方程问题产生的根源,通过学习我们平时学习中接触较少的几何解法,我们可以沟通学习两种基础知识之间的联系与区别,教学还原数学整体知识体系的面貌,有助于激发形成学生思维的灵活性和开阔性。从这一层面上看来,一元二次方程的几何解法是非常值得我们深入探讨和研究的。
本文根据有关的文献资料,对历史上较为有名的六种一元二次方程的几何解法进行了整理,其中包括“欧几里得的方法”,“卡莱尔的方法”,“斯陶特的方法”,“用抛物线 = 2解 2+bx+c=O”,“用等轴双曲线xy= 1解答一元二次方程”等方法并从中分析一元二次方程与曲线和几何图形的紧密联系,并研究其潜在的数学教学意义,为以后在数学教学中推广一元二次方程的几何解法学习打下良好的基础。 关键字:一元二次方程,几何解法,中学数学教学
(很好,很强大,总得来说还是很不错的,但文中可能有些地方被你不小心打错了,如:红色标记的部分;另外,数学符号尽量用公式编辑器完成;可以再加上花拉子米和斐波纳契的方法。参考我发给你的那篇文献,太难的方法可以不用写,写简单一点就可以)
阿尔 花拉子米 斐波那契 的方法很简单
构造个正方形就可以解
可以写下这两种方法
写正文时 方法由简到难
范文二:关于一元二次方程在复数范围内的根的几何意义
关于一元二次方程在复数范围内的根的几何意义
孟祥溪
,化学学院 分子科学与工程专业 0914038,
摘 要:本文提出了利用一种空间直角坐标系描绘定义在复数集上的实值一元二次函数的方法~并以此为基础探讨了一元二次方程复数根的几何意义。利用该理论可以解释一元二次方程实根和虚根的分布特点~并在更高层次上认识一元二次方程的判别式~求根公式等一般结论。 关键词:一元二次方程,根的几何意义,复变函数图形
1 问题的提出
2一元二次方程一般形式(为常实数,且)的求根公式的推广: a,b,cax,bx,c,0a,0
bΔ,b,Δ,,x,x,, 122a2a
2xx其中,且当时,一元二次方程有实数根、,时,若令,,b,4ac,,0,,012
,1,i,则求根公式求出的结果是对应一元二次方程的虚数根。
,,,,,,bΔibΔi,,xx证明:当时,证明略。当时,将,代入,,0,,0122a2a
2f(x),0,i,1,2xx方程,有。根据方程的根的定义,、为f(x),ax,bx,c,i,1,2i12iii【】21方程的两个根。又由代数方程基本定理,一元二次方程的复数根有且仅有ax,bx,c,0
xx、。 12
从以上推导中可以发现:一元二次方程虚数根与实数根之间存在某种内在联系,具有形式上的相似性。而探讨这种相似性产生的具体原因,或更普遍的,探讨一元二次方程虚数根的产生机制,从根的几何意义角度入手相对简便。
2 一元二次方程实数根的几何意义
对于二次方程
2ax,bx,c,0,(a,b,c为常实数,且) (*) a,0
xy,f(x)当在实数范围内变化时,方程根的几何意义如下:构造函数,
2f(x),ax,bx,cy,f(x)y,0,则与直线的交点代表(*)方程的根。满足上述几何意
2xf(x)义的点的横坐标代入必使其为0,即。此时的取值使(*)方程两边变ax,bx,c,0
元相等,反之亦然。
xy,f(x)反映在图形上,在笛卡尔平面直角坐标系中,函数的图形与轴若有交点,则交点的横坐标的集合为(*)方程的解集;若无交点,则称一元二次方程“无实根”,可证明,此时该一元二次方程必有两虚数根。
3 复变二次函数与三维坐标系的引入
在复数范围内讨论一元二次方程的根的几何意义,如果参照实数范围内一元二次方程根的
xf(x)f(x),0几何意义,则需要建立函数,使为是(*)方程的根的充要条件。对于方程有
xf(x)f(x)虚数根的情况,为虚数,所以必须扩展函数的定义域到复数域。此时的是一种复
1
数域?复数域的映射。
几何意义是建立在函数图形基础上的。而复变函数是复数域?复数域的映射,在描绘图形时需要构造分别表示自变量和函数值的两组复平面。因此在使用一个坐标系表示时至少需要在四个维度的空间上建立正交坐标轴,十分困难。因此我们必须降低维度。对于(*)方程,具体方法是:
2f(x),ax,bx,cx1)构造一个复变函数,其中为复数。
2)构造一个复系数的二元实值函数,其定义域为全部使为实数的有序实g(m,n)g(m,n)
x,m,ni(m,n)f(x)数对,且对于定义域内任意一个有序实数对,都存在,使得取实000000
g(m,n),f(x)数值,并且此时。将称为的图形函数。 g(m,n)f(x)000
原因是,在探讨(*)方程的几何意义时,我们只关心的特殊情况。而0属于实f(x),0
数,故可以只考虑函数值为实数的情况。实际上只是的一个侧面,因此可以在三g(m,n)f(x)
维空间内描绘这个函数。
mn要描绘函数的图形,必须体现三个量,即、、,之间的关系。因此可以y,g(x)y
构造一个空间直角坐标系,三个坐标轴如图,依次为轴。其中,平面相当于复m,n,ymOn平面,该平面上的点与复数一一对应;y表示函数值,与实轴对应。这个坐标系称作m,n,y坐标系。如图1。
图1 坐标系示意图 m,n,y
4 复变二次函数的图形描绘
y,f(x)对于(*)方程,在复数范围内,其根的几何意义如下:构造函数,
2f(x),ax,bx,cy,g(m,n)g(m,n)。再构造其图形函数。下面以的定义域为线索展开讨论。
2g(m,n),a(m,ni),b(m,ni),c由定义,代入,有,整理得x,m,ni
22g(m,n),am-an,bm,c,2amni,bnig(m,n)。因为是实值函数。故有
。则: 2amni,bni,0
2g(m,0),am,bm,cmg(m,n)1),只与一个变量有关,。 n,0
2b4acb,b2g(,,n),,an,nm,,g(m,n)2),只与一个变量有关,,。 n,02a4a2a
y,g(m,n)因此在坐标系内,函数的图形是分段的。 m,n,y
2
将一种情形绘图如下:
图2 一个典型的图形函数
5 一元二次方程根的几何意义与分布特点的关系
mn(*)方程复数根的几何意义为:图形函数y,g(m,n)与平面y,0的所有交点的,坐
,,,,,,m,nx|x,m,ni,j,1,2,j,1,2标所代表的有序实数对的集合所对应的复数集合,jjjj即为(*)方程的解集。
(*)方程复数根的分布情况为:由推广的求根公式,(*)方程的根为
b,2x,,,,i,1,2,其中。因此当时,(*)方程有两相异的实数,,b,4ac,,0i2a2a
根;当时,(*)方程有两相同的实数根;当时,(*)方程无实数根,而有两相异,,0,,0
xx的虚数根,并且这两个虚数根共轭,并且此时两根、为: 12
bΔ,b,Δ,,x,x,, 122a2a
下面我们通过对图形函数的特点的探讨,来解释一元二次方程的根的分布特点。
讨论实系数二元一次方程
2a(x,p),q,0(为常实数,且) a,p,qa,0
的图形函数特点。
2y,f(x)y,g(m,n)构造函数,。再构造其图形函数。下面以f(x),a(x,p),qggg
g(m,n)的定义域为线索展开讨论。 g
222y,g(m,n)代入,整理,得。因为g(m,n),am-an,ap-2amp,q,2amni-2apnigg
2amni-2apni,0是实值函数。故有。则:
3
21) , g(m,0),a(m,p),qn,0g
22) ,则, m,pg(p,n),,an,qn,0g
当时,函数图形分为两段抛物线: a,0
1)当时,函数图形在平面内,是一条开口向轴正方向的抛物线。抛物线的mOnyn,0
m,p,,,对称轴为 ,顶点为,函数对应坐标的取值范围是,。 p,0,qq,,,yn,0
2)当时,函数图形在平面内,是一条开口向轴负方向的抛物线。抛物线的m,pn,0y
m,p,,,,对称轴为 ,顶点为p,0,q,函数对应坐标的取值范围是,,,q。 yn,0
所以当时,整个图形函数的图形是由有一个公共点的两条抛物线组成的,这两条抛a,0
物线有公共对称轴和公共顶点,相同的开口大小并且处于两个正交平面内。当时,函数y,q
b内;当时,函数图形在平面内。因此两平面的交线即为两条图形在平面m,,y,qn,02a
抛物线的公共对称轴。当时,情况类似。 a,0
图3 图形函数的空间对称性
可以证明该图形有很强的对称性。首先,它是一种4阶的图形。除恒等变换外,对称操作
m,pCkπ(k,Z)和对称元素包括:绕公共对称轴旋转,说明公共对称轴 是轴;同时,以2n,0
k,,p,0,q公共对称轴为反演-旋转轴,每旋转并做以为中心的反演可使等同部分变换,说明,2
S公共对称轴为轴;关于平面和平面反映,说明和为镜面。 m,pm,pn,0n,04
由此我们可以看出,经典的二次函数图形——抛物线,仅是我们图形函数图形的“一部分”,
mOy和图形函数图形在平面内的一支相对应。易证,对实变量一元二次函数,若自变量为实
x数,则函数值必为实数。那么,经典二次函数图形的轴、轴就分别与我们的空间直角坐标y
mm系的轴、轴对应,而轴上的点和实数一一对应。这样首先可以将一元二次方程的实数根y
的几何意义划归到这一体系内。
以下对的情况进行说明。 a,0
,,mOyp,0,qy,0q,0当点位于平面下方时,有,此时函数图形在平面内的一支与平
m,,p,0,qy,0面必有两交点,此时两交点都在轴上,即(*)方程有两不相等的实数根。当
,,p,0,0q,0y,0y,0点位于平面上时,有,则函数图形与平面的交点即为点,此时(*)
4
,,方程有两相等实根。当点位于平面上方时,有,此时函数图形在平面p,0,qq,0y,0p
bC内的一支与平面必有两交点,又因为图形函数图形关于轴对称,两交点关m,,y,022a
24acb,mq,于轴对称,故对应的根共轭。可以用待定系数法求得。又因为,所以a,04a
2可以替代成为根的情况的判据。的情况同理可求。由以上对图形特点的,,b,4acqa,0
说明还可以看出:
1. 任意一个实系数的一元二次方程,在考虑重根的情况下,必有两复数根。
2. 一个一元二次方程若存在一个实数根,则另一根必为实数根;若存在一个虚数根,则
另一根必为虚数根且与之共轭。
实数范围内一元二次方程根的分布定理。 3.
对于一元二次方程实根和虚根的相似性,该方法的解释如下:对于一切复数根,在复平面
zzCCxzz内都可以用两复数、表示。反映轴的位置,反映根到轴的距离。于是两根、1212221
mCx可以分别表示为x,z,z,x,z,z。对于实数根,由于轴到两根的向量与轴21122122
2b,4acbz,mC平行,所以z,,对于虚数根由于轴到两根的向量与轴垂直,,,2212a2a
2,b4acbz,iz所以,。 ,,212a2a
6 复变二次函数的其他处理方法
以上说明了采用图形函数描绘复变二次函数的一部分,从而解决一元二次方程复数根的几何意义,进而解释一元二次方程复数根产生机制和实数根与复数根之间内在联系的方法。
由于复数具有特殊的三角性质,所以可以参照上述方法采用另一种空间柱坐标系来描绘。
22,i,i此时的图形函数的一般形式(a,b,c为参数,且)。 g(r,,),are,bre,ca,0gp
对于复变函数的图形的描绘,习惯上采用以两个空间直角坐标系分别表示函数值的实部与虚部和自变量间的关系。那么,此时图形函数所表示的是函数值的实部在其虚部为0时的情况,是其中一种图形的局部。可以研究函数值的虚部为特殊值时其实部的图形,抑或反之,以之作为通过更改维度的方法对经典复变函数图形的进一步研究手段。
7 应用前景
关于二次方程复数根的几何意义的解释,最直接的应用,如前文所述,是进一步理解二次方程和复变二次函数。笔者认为,这一解释有一定的普遍意义和普适性,为其它复变函数的描绘提供了一种简易的解决方法。
复变二次函数的函数图形是一种比较有特点的空间立体图形,有着典型的对称性,是群论的研究对象,且对函数解析式蕴含的空间对称性和点群间的联系的研究或许会产生更普遍的意义。这种对多个伸展方向的函数用控制定义域的单一解析式的表述方法与传统的用多个坐标系刻画相比有着形式上的简洁性,对构造类似的函数有一定的借鉴意义。
参考文献:
[1] 华罗庚~高等数学引论,第一册,~高等教育出版社~2009~23
5
范文三:一元二次方程与几何问题
已知线段AB的长为a,以AB为边在AB的下方作正方形ACDB(取AB边上一点E,以AE为边在AB的上方作正方形AENM(过E作EF丄CD,垂足为F点(若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等,則AE的长为?
如图,矩形ABCD的周长是20cm,以AB,CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH,若正方
2形ABEF和ADGH的面积之和68cm,那么矩形ABCD的面积是,
如图,将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开,再把?ABC沿着AD方向平移,得
2到?A′B′C′,若两个三角形重叠部分的面积为1cm,则它移动的距离AA′等于,
如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是BC、CD上的点,且?AEF是等边三角形,则BE的长为,
一个正方体物体沿斜坡向下滑动,其截面如图所示(正方形DEFH的边长为2米,坡角?A=30?,?B=90?,BC=6米(当正方形DEFH运动到什么位置,即当AE为多少米时,有222DC=AE+BC(
如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止(已
2知在相同时间内,若BQ=xcm(x?0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=xcm(
(1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形,如果能,求x的值;如果不能,请说明理由(
如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发,沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止、
2已知在相同时间内,若BQ=xcm(x?0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=xcm, (1)当x为何值时,点P、N重合;
(2)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形(
如图,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P( (1)能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C,若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由;
(2)再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2 cm,若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由(
如图,Rt?ABC中,?B=90?,AC=10cm,BC=6cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以2cm/s的速度,沿AB向终点B移动;点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动,其中一点到终点,另一点也随之停止(连接PQ(设动点运动时间为x秒( (1)用含x的代数式表示BQ、PB的长度;
(2)当x为何值时,?PBQ为等腰三角形;
2(3)是否存在x的值,使得四边形APQC的面积等于20cm,若存在,请求出此时x的值;若不存在,请说明理由(
如图,?ABC中,?C=90?,AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/S的速度运动,另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/S的速度运动,P,Q两点同时出发,运动时间为t(s)(
1(1)当t为几秒时,?PCQ的面积是?ABC面积的, 4
(2)?PCQ的面积能否为?ABC面积的一半,若能,求出t的值;若不能,说明理由(
如图所示,甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发,甲由C向D运动,乙由B向C运动,甲的速度为1km/min,乙的速度为2km/min;若正方形广场的周长为40km,问几分钟后,两人相距210km,
如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,当点P到达B点或点Q到达C点时,两点停止移动,如果P、Q分别是从A、B同时出发,t秒钟后,
(1)求出?PBQ的面积;
(2)当?PBQ的面积等于8平方厘米时,求t的值(
(3)是否存在?PBQ的面积等于10平方厘米,若存在,求出t的值,若不存在,说明理由(
例1、如图,在?ABC中,?B,90?,BC,12cm,AB,6cm,点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果P、Q分别
2C , 从A、B同时出发,几秒后?PBQ的面积等于8cm
Q
?
A B ? P 学生练习、在?ABC中,?B=90?,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,(1)多长时间后,点P、Q的距离等于 cm, 42
(2)如果点P到点B后,又继续在边BC上前进,点Q到点C后,又继续在边CA上前进,
2C 经过多长时间后,?PCQ的面积等于12.6 cm?
Q
B A P
例2、如图,在?ABC中,?B,90?,BC,12cm,AB,6cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动(不与B点重合),动直线QD从AB开始以2cm/s速度向上平行移动,并且分别与BC、AC交于Q、D点,连结DP,设动点P与动直线QD同时出发,运动时间为t秒,
(1)试判断四边形BPDQ是什么特殊的四边形,如果P点的速度是以1cm/s, 则四边形BPDQ还会是梯形吗,那又是什么特殊的四边形呢,
(2)求t为何值时,四边形BPDQ的面积最大,最大面积是多少,
C
Q D
? A B ? P
学生练习:某海关缉私艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只,测得它正以60km/h的速度向正东方向航行,缉私艇随即以75km/H的速度在B处拦截,问缉私艇从C处到B处需航行多长时间?
A B
C
例3、如图,A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB,16cm,BC,6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止;点Q以2cm/s的速度向点B移动,经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?
D C
Q
B A P
例4、如图,在平面直角坐标系内,已知点A(0,6)、点B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒, (1)当t为何值时,?APQ与?AOB相似,
24(2)当t为何值时,?APQ的面积为个平方单位, 5y
A
P Q
O x B
例5、有一边为5cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR,PQ,PR,5cm,QR,8cm,点B、C、Q、R在同一直线l上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动,
(1)t秒后正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为5,求时间t; (2)当正方形ABCD与等腰三角形PQR重合部分的面积为7,求时间t;
A D
P
l Q C R B
例6、如图所示,在平面直角坐标中,四边形OABC是等腰梯形,CB?OA,OA=7,AB=4,?COA=60?,点P为x轴上的—个动点,点P不与点0、点A重合(连结CP,过点P作PD交AB于点D,(1)求点B的坐标;(2)当点P运动什么位置时,?OCP为等腰三角形,求这时点P的坐标;(3)当点P运动什么位置时,使得?CPD=?OAB,
BD5,,求这时点P的坐标; 且BA8
y
C B
D
x P A O
1、如图,小刚在C处的船上,距海岸AB为2km,划船的速度为4km/h,在岸上步行时的速度为5km/h,小刚要在1.5h到达距A点6km的B处,问小刚登陆点D应在距B点多远
C 的地方?
A D B
2、矩形ABCD中,AB,6cm,BC,12cm,点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动;同时,点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动,问几秒后?PBQ的面积等于
28cm; A D
P
Q
B C
3、在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10. 点E在下底边BC上,点F在腰AB上. (1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示?BEF的面积; (2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分,若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1?2的两部分,若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
4、如图,直角坐标系中,已知点A(2,4),B(5,0),动点P从B点出发沿BO向终点O运动,动点Q从A点出发沿AB向终点B运动(两点同时出发,速度均为每秒1个单位,
y 设从出发起运动了xs,
A (1)Q点的坐标为( , );(用含x的代数式表示)
(2)当x为何值时,?APQ是一个以AP为腰的等腰三角形?
(3)记PQ的中点为G(请你探求点G随点P,Q运动所形成的图形,
并说明理由; Q
O B P x ?
轴向原点方向匀速滚来,机器人立5、如图,机器人在点A处发现一个小球自点B处沿x
即从A处匀速直线前进去截小球(点A的坐标为(2,),点B的坐标为(10,0), 5
(1)若小球滚动速度与机器人的行驶速度相等,问机器人最快可在何处截到小球, (2)若小球滚动速度是机器人行走速度的两倍,那么机器人最快在哪里截住小球,
y
A
x O B
6、如图,在矩形ABCD中,AB,6米,BC,8米,动点P以2米/秒的速度从点A出发,沿AC向点C移动,同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发,沿CB向点B移动,设P、Q两点
2移动t秒(0<><5)后,四边形abqp的面积为s米,(1)求面积s与时间t的关系式;(2)在p、q两点移动的过程中,四边形abqp与?cpq的面积能否相等,若能,求出此时点p的位置;若不能,请说明理由; a="" d="" p="">5)后,四边形abqp的面积为s米,(1)求面积s与时间t的关系式;(2)在p、q两点移动的过程中,四边形abqp与?cpq的面积能否相等,若能,求出此时点p的位置;若不能,请说明理由;>
C B Q
7、如图?,有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起(点A与点E重合),已知AC=8cm,BC=6cm,?C=90?,EG=4cm,?EGF=90?,O是ΔEFG斜边上的中点,如图?,若整个ΔEFG从图?的位置出发,以1cm/s的速度沿射线AB方向平移,在ΔEFG
ΔEFG的顶点G出发,以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动,平移的同时,点P从
当点P到达点F时,点P停止运动,ΔEFG也随之停止平移,设运动时间为x(s),FG的延
2cm)(不考虑点P与G、F重合的情况), 长线交AC于H,四边形OAHP的面积为y(
(1)当x为何值时,OP//AC,
(2)求y与x之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围;
(3)是否存在某一时刻,使四边形OAHP面积与ΔABC面积的比为
13:24,若存在,求出x的值;若不存在,说明理由;
22222(参考数据: 114,12996,115,13225,116,13456或4.4,19.36,4.5,20.25,
2) 4.6,21.16
范文四:一元二次方程与几何问题1
一元二次方程与几何问题
1.如图,Rt?ABC中,?B=90?,AC=10cm,BC=6cm,现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发,其中点P以2cm/s的速度,沿AB向终点B移动;点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动,其中一点到终点,另一点也随之停止(连接PQ(设动点运动时间为x秒( (1)用含x的代数式表示BQ、PB的长度;
(2)当x为何值时,?PBQ为等腰三角形;
2(3)是否存在x的值,使得四边形APQC的面积等于20cm,若存在,请求出此时x的值;若不存在,请说明理由(
2.如图,矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动,当点P到达B点或点Q到达C点时,两点停止移动,如果P、Q分别是从A、B同时出发,t秒钟后, (1)求出?PBQ的面积;
(2)当?PBQ的面积等于8平方厘米时,求t的值(
(3)是否存在?PBQ的面积等于10平方厘米,若存在,求出t的值,若不存在,说明理由(
3.如图,在矩形ABCD中,BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时,运动即停止(已
2知在相同时间内,若BQ=xcm(x?0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=xcm( (1)当x为何值时,以PQ,MN为两边,以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形;
(2)当x为何值时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形;
(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形,如果能,求x的值;如果不能,请说明理由(
4.如图,在?ABC中,?B,90?,BC,12cm,AB,6cm,点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动(不与B点重合),动直线QD从AB开始以2cm/s速度向上平行移动,并且分别与BC、AC交于Q、D点,连结DP,设动点P与动直线QD同时出发,运动时间为t秒, (1)试判断四边形BPDQ是什么特殊的四边形,如果P点的速度是以1cm/s, 则四边形BPDQ还会是梯形吗,那又是什么特殊的四边形呢,
(2)求t为何值时,四边形BPDQ的面积最大,最大面积是多少,
C
Q D
? A B ? P
5.在等腰梯形ABCD中,AB=DC=6,AD=4,?B=60o. 点E在下底边BC上,点F在腰AB上. (1)若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为x,试用含x的代数式表示?BEF的面积; (2)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分,若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
(3)是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1?2的两部分,若存在,求出此时BE的长;若不存在,请说明理由;
6.有一边为5cm的正方形ABCD和等腰直角三角形PQR,PQ,PR,5cm,?QPR=90o,点B、C、Q、R在同一直线l上,当C、Q两点重合时,等腰三角形PQR以1cm/s的速度沿直线l按箭头方向匀速运动,当点R与点C重合时停止运动。
(1)t秒后正方形ABCD与三角形PQR重合部分的面积为4,求时间t; (2)当正方形ABCD与三角形PQR重合部分的面积为10,求时间t;
A D
P
l Q R C B
范文五:一元二次方程应用 运动几何问题
一元二次方程应用 运动几何问题 5、如图(a)、(b)所示,在?ABC中?B=90?,AB=6cm,学习目标:根据实际问题列方程,并解出符合要求的解 BC=8cm,点P从点A?开始沿AB边向点B以1cm/s的学习过程: 速度运动,点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的1、某辆汽车在公路上行驶,它行驶的路程s(m)和时速度运动(
2间t(s)?之间的关系为:?s=10t+3t,那么行驶200m (1)如果P、Q分别从A、B同时出发,经过几秒
2需要多长时间? =8cm( 钟,使S?PBQ
C
Q
A PB(a) 2、一辆汽车以20m/s的速度行驶,司机发现前方路面有www.czsx.com.cn
2情况,?紧急刹车后汽车又滑行25m后停车(s=20t-4t
(1)从刹车到停车用了多少时间?
(2)?从刹车到停车平均每秒车速减少多少?
(3)刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间(精
确到0.1s)?
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发,并且P到B后
又继续在BC边上前进,Q到C?后又继续在CA边上前
进,经过几秒钟,使?PCQ的面积等于
C
QD3、东西方向有A、C两地相距10千米,甲以16千米/P
时的速度从A地出发向正东方向前进,乙以12千米,A2B(b)12.6cm( 时的速度由C地出发向正南方向前进,问最快经过多少www.czsx.com.cn
小时后甲,乙两人相距六千米,
4、如图,在Rt?ACB中,?6、如图,某海军基地位于A处,在其正南方向200海A
C=90?,AC=8m,CB=6m,点P、里处有一重要目标B,?在B的正东方向200海里处有PQ同时由A,B?两点出发分别沿一重要目标C,小岛D位于AC的中点,岛上有一补给
AC、BC方向向点C匀速移动,它码头:?小岛F位于BC上且恰好处于小岛D的正南方BCQ www.czsx.com.cn们的速度都是1m/s,?几秒后?向,一艘军舰从A出发,经B到C匀速巡航,一般补
PCQ?的面积为Rt?ACB面积的一半 给船同时从D出发,沿南偏西方向匀速直线航行,欲将
一批物品送达军舰(
(1)小岛D和小岛F相距多少海里?
7、AO=BO=50厘米,OC是一条射线,OC垂直于AB,
A一只蚂蚁有A以2cm/s的速度,向B爬行,同时另一只
蚂蚁由O点以3cm/s的速度向C爬行,问:多长时间后D两只蚂蚁与O点组成的三角形面积等于450平方厘米
BEFC www.czsx.com.cn
(2)已知军舰的速度是补给船的2倍,军舰在由B
到C的途中与补给船相遇于E处,?那么相遇时补给船
航行了多少海里?(结果精确到0.1海里)
9、在梯形ABCD中,AD平行于BC,AD垂直于AB,
AB=8,,AD=2,BC=8,试在AB边上确定一点K,使A、K、
D为顶点的三角形与以B、K、C为顶点的三角形相似。
6(某军舰以20海里的速度由西向东航行,一艘电子侦
察船以30?海里的速度由南向北航行,它能侦察出周
围50海里(包括50海里)范围内的目标(如图,当
该军舰行至A处时,电子侦察船正位于A处正南方向
的B处,且AB=90海里,?如果军船和侦察船仍按原
速度沿原方向继续航行,那么航行途中侦察船能否侦
察到这艘军舰?如果能,?最早何时能侦察到?如果不
能,请说明理由(
北
A东
B
www.czsx.com.cn
转载请注明出处范文大全网 » 一元二次方程的几何解法及其教