范文一:刻划直线倾斜程度的量及其关系(尹桂云)
刻划直线倾斜程度的量及其关系
尹桂云
【知识梳理】
教材分析:学生在高二时已学习了刻划一条直线倾斜程度的量---直线的方向向量,直线的法
直线的倾斜角及斜率.概念复习方面,要顺应学生从对形的观察到代数度量自然转换,帮助向量,
学生经历“几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素.使学生体会“数形结合”的思想方法。注意学生自我构建知识与方法的内化过程,充分发挥学生的主体作用,教师起到组织、引导、启发的作用,真正使学生将学过的内容恢复记忆,并且使之更加系统化,网络化,综合化. 教学过程:
教师提问:在平面直角坐标系内刻划一条直线的倾斜程度的量有那些?
学生答:有直线的方向向量,法向量,倾斜角和斜率.
教师提问: 直线的方向向量,法向量,倾斜角和斜率分别是如何定义的?
学生答:
1.直线的方向向量:与直线平行的非零向量.
2.直线的法向量:与直线垂直的非零向量.
3.倾斜角:直线与轴的交点为P,将轴正方向绕点P逆时针旋转至与直线重合时所成的最xxll小正角叫直线的倾斜角. 规定直线与轴平行或重合时,直线的倾斜角为。所以倾斜角的xll0范围. ,,,[0,)
,,4.斜率: 当倾斜角时,称为直线的斜率。当倾角时,斜率不存在; ,,k,tan,l,,22
教师问:既然这四个量都是用来刻划一条直线的倾斜程度的量,它们之间必然可以相互转化.那么直线的倾斜角,斜率,直线的方向向量与法向量是如何转化的呢?让学生填写表格.(表格中的量为已知)
方向向量 法向量 dn斜率 倾斜角
(,)uv
(,)ab
k
斜率不存在
,
1
yy,12教师提醒注意:经过两点的直线的斜率。 PxyPxyxx(,),(,)(),k,11122212xx,12【基础练习】(学生独立完成)直接回答结果:
,,1.直线的倾斜角为 x,tan25
23232.直线与向量平行,则的斜率=____,倾斜角=___. d,,(3,2),,,llk,arctan33
,3.直线与向量垂直,则的斜率=_不存在_,倾斜角=____ n,(3,0),llk2
444.直线的斜率=__,倾斜角=_.法向量为_______,方向向量4520xy,,,,,,k,arctan55为_________
115.经过两点的直线的斜率=___,倾斜角=____. 法向量为AB(2,2),(5,3),,karctan77______,方向向量为______. (1,7),(7,1)
16. 已知直线的斜率是,直线的倾斜角是的倾斜角的2倍,则的斜率是____ llll12122
7.求经过下面两点的直线的斜率和倾斜角
3,,(1) (答案:) (2)(答案:) (2,0),(5,3),,,(2,43),(2,0),3,1,34
2,,(3) (答案:) (4)(答案:) (0,0),(1,3),,(3,2),(2,3),,1,3,43
,例题讲解:例1 求直线,的倾斜角。 lyx:cot1,,,,,(,),,2
分析:要求倾斜角,而此直线的斜率从方程中易知为,只需根据斜率的正负确定倾斜角的大cot,
小.引导学生发现此直线的斜率为负,故其倾斜角必为钝角.且此钝角的正切值恰为. cot,
3,,3,,解:斜率 ,?,,,,(,),,(,)kcottan(),,,,,,,2222
3,所以所求直线的倾斜角为. ,,2
此题难点在于诱导公式的合理运用.
例2 若直线的斜率,求直线的倾斜角的取值范围。 k,,[1,4),ll
arctan,(0)kk,,此题意图强化学生掌握倾斜角是斜率的分段函数,注意分类讨论,且,,,,,,arctan,(0)kk,
2
每一段倾斜角均为斜率的增函数..
3,时, ,当时,. 解:当k,[0,4),,,arctan[0,arctan4)kk,,[1,0),,,arctan[,)k,,,4
3,所以所求直线的倾斜角的取值范围是. ,l[0,arctan4)[,),4
2例3 求经过相异两点的直线的斜率和倾角的范围。 AB(0,1),(cos,sin),,
教师问:此直线的斜率有否可能不存在.从而引导学生题设中相异两点的含义.
2,sin1,,解: 由A,B两点不重合知,因此斜率, ,,,nn(Z)k,,,cos,,,2cos,
,,,3由知其范围是,对应的倾斜角的范围是. [1,0)(0,1],,,,,nn(Z),(0,][,),,,244例4 已知直线过点,且与以、为端点的线段相交,求直线的斜P(1,2),A(2,3),,B(3,0)ll
y率和倾斜角的取值范围。 ,k, P 2此题意图:强化数形结合的数学思想.
B,, x 由图教师引导学生关注直线的倾斜角可取.所以斜率有Ol ,23 ,12
可能不存在.
l
,,,2(3)201A , ,3解:由图及kk,,,,, 5,PAPB,,,,,1(2)132
1所以或斜率不存在. k,,,,,,(,][5,)2
1,1当时,; ,,,,k,,,,(,]arctan(,arctan]k,,,222
,当时,; k,,,[5,),,arctan[arctan5,)k,2
,1当斜率不存在时,.综上倾斜角的取值范围是. ,,,,[arctan5,arctan],22
1,注意:学生很可能求出斜率的范围是;倾斜角很可能忽略. [,5],22
,例5 已知两条直线和,其中为实数,当这两条直线的夹角在内laxy:0,,lyx:,a(0,)1212变动时,求实数的取值范围。 a
,此题意图:强化数形结合的数学思想,注意到直线与均过原点,且的倾斜角为,引导学生发lll1214
,,,,现的倾斜角的范围是,便可求出直线的斜率的取值范围. ll(,)(,),a226443
,,,,,解: 显然都过原点, 且的倾斜角为,则的倾斜角的范围是, ll,ll(,)(,),121246443
3
3而实数a是的斜率, 因此取值范围是. la,,(,1)(1,3)23
课堂小结:本课复习了运用代数方法研究了直线的倾斜程度, 沿着“直线的倾斜程度”------“直线的方向向量”-------“直线的法向量”-----“直线的倾斜角”-----“直线的斜率,
y,y21()”----“直线斜率的计算公式k,”这样一条鲜明的主线实现了我们对直k,tan,x,x21
线倾斜程度刻化与度量的研究目标。同学们不仅要准确的理解概念,更为重要的是要学会运用代数的方法研究图形性质的思维方式,并将所学知识形成知识的网络,相互转化,融会贯通,归纳出解决这一类问题的一般方法。
【巩固练习】
3,1(设直线的倾斜角为,且,则 axbyc,,,0,,,sincos0,,,,42(将直线l沿x轴负方向平移1个单位,再沿y轴正方向平移2个单位后,又回到原来位置,那么直线l的斜率是 -2
,3(函数的一条对称轴方程是, 则直线的倾斜fxaxbxab()sincos(0),,,axbyc,,,0,x4
3,角为___ 4
4(若是三角形中最大内角,则直线的倾斜角的范围是( D ) xymcos0,,,,,
,,,21,,1 (A) (B) (C) (D) [0,),,[0,)[,)(arctan,)[0,)[arctan,),,,4432442
5. 直线的倾斜角是( C ) axbyabab,,,,,0(0,0)
aaaa,(A) (B) (C) (D) arctan(),,arctan,,arctan,,arctanbbb2b
6(如果直线的斜率为,直线的倾斜角的平分线的斜率为,那么间满足的关mm(0),mn,nll
系式是( A )
2222(A) (B) (1)1,,,mnm(1)1,,,mnn
2222(C) (D) (1)1,,,nm(1)1,,,mn
7(已知两点、,直线的倾斜角是直线AB倾斜角的一半,求直线的斜率。 A(1,5),,B(3,2),ll
1答案: 3
8(已知直线经过两点、,求直线的倾斜角和斜率。 A(2,1)Bm(,2),llk
,1略解:不存在;,当时m,,2,,km,2mk,,2,,2m,2
4
11;当时 ,,,,,,,,,m,2k0,arctankk0,arctanarctan,,2mm2
(已知直线经过点,且不过第一象限,求直线的倾斜角和斜率的取值范围。 9P(1,2),,llk
, k,,,,2,[,arctan2],,2
210(直线上有两点,求直线的倾斜角的取值范围。 MtNttt(1,2),(3,44),,,,ll
2(2)21t,,2解: 直线l的斜率为,显然,当时, 对应的k,,,(,1]k,,,(,0)kt,,,,,[(2)2]tt,,,3(1)2
,,倾斜角的范围是;当时, 对应的倾斜角的范围是,综上所述, 倾斜角的取值k,[0,1](,)[0,],24
,,范围是. [0,](,),,42
教学反思:
1( 概念复习方面,要顺应学生从对形的观察到代数度量自然转换,帮助学生经历“几
何问题代数化,用代数的语言描述几何要素,从而解决直线倾斜程度的几何问题”。
使学生体会“数形结合”的思想方法。注意学生自我构建知识与方法的内化过程,
充分发挥学生的主体作用,教师起到组织、引导、启发的作用,真正实现学生对学
过知识的回忆、再现、加深理解、形成网络。
2( 能力培养方面,本设计方案以探究的方式,创设情境,提出问题,逐步推进,力求
培养学生从现象到本质,从具体到一般的抽象思维能力,注意发展学生思维的深刻
性。
3( 在习题训练方面,注意训练学生对概念的理解到具体应用之间相互联结的强化,利
用好题组与变式设置,遵从行为主义的“刺激--反应—联结”的规律,使学生达到
解、掌握、运用程度。 对概念的理
5
范文二:1、 直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的,由于直线的
1、 直线的倾斜角和斜率是描述直线倾斜程度的,由于直线的倾斜程度在初中研究一次函数图像的时候已经作过分析,建议让学生回忆这些内容,为后面研究直线方程和一次函数的关系奠定基础。在学习过程中,一方面要注意有关概念之间的区别,另一方面要突出它们之间的联系,要充分利用图像进行具体分析,让学生注意斜率的变化和倾斜角的关系,特别是当直线的倾斜角为直角时,直线的斜率不存在的情况,进一步强调:有斜率必有倾斜角与之对应;反之,有倾斜角必有斜率与之对应是不够确切的。在这节的学习中,要让学生体会“数”与“形”相互转化的思想,培养学生分析、联想、抽象、概括的能力。 2、一、引导学生提出问题,强化参与意识
在数学的学习活动中,只有学生有强烈的问题意识,有好奇心时,学生就会提出各种各样的问题,进行高级思维活动,进而主动学习。在课堂教学中教师要创设情景,让学生产生好奇心,“学”贵在于“问”,好课应当越讲问题越多。能够引起学生的好奇心,才能有真正的启发式教学,才可能有探究式学习。例如:在讲平面与平面平行判定定理时,传统做法是教师讲授,学生练习,我们可以尝试如下教法:先让学生阅读本节内容,然后讨论,看能否提出如下问题:(1)面面平行从定义的角度去证明有困难,有简单的判定方法吗,
a,,,a//,,//,(2)参照线面平行的判定,若满足,能推出吗,(3)若一条直线平行需要几条,对位置关系有要求吗,
这样引导学生提出问题,解决问题,强化了学生参与意识,活跃了课堂气氛,让学生对这一问题的理解更加深刻、全面,提高了分析问题、解决问题的能力。 二、利用激励原则,引发积极参与的心理倾向
在教学中我们要运用各种手段,激发参与者的热情,调动参与者的积极性、主动性,发挥创造精神和潜能,使其向期望的目标努力。目前,我们大部分课堂对这一点重视不够,激励性语言积累少,激发学生积极探索的热情手段少,教师在评价时轻描淡写,或在一定程度上抑制学生的主动参与的积极性,因此要让学生积极参与课堂,教师的极力评价必须实现从形式到实质的飞跃,力求激励评价能震撼学生心灵,唤起共鸣,激发上进。有的学生对数学本来就存在畏难情绪,缺乏兴趣,如果他们的积极性和自信心再受到挫折,那么他们的课堂参与的意识就荡然无存,这就提醒我们在数学教学中一定要设法运用激励原则,为学生积极参与创造心理条件,提高参与意识。例如:在平面与平面平行的判定与性质一节,有一道练习:已知正方体中,面对角线上分别有两ABCD,ABCDAB,BC111111E,FEF//平面ABCDE,F点且。求证:。当时,很多同学用过分别作BE,CFBB111
AB,BCG,HGHEF//GH的平行线,分别交于,连接,证明,从而证明EF//平面ABCD。于是,我问还有不同解法,当时,我叫了一位平时不太喜欢回答问题
EFG//平面ABCD的同学,他说:可以过,证明平面,通过面E作EG//AB,连接GF
面平行的线面平行,当时,我对他的做法给于了肯定,进行了表扬,并由此进行线面平行
的方法的总结。看着该生的高兴、自信的表情,我感觉老师不要太吝啬自己的表扬,不能忽略学生的闪光点。也许,老师一个肯定的眼神,一句表扬就可以给学生以鼓励,给他信心。
三、创设思维情景,营造积极参与的氛围
在课堂教学中创设思维情景,可使学生在学习过程中,保持注意力高度集中,思维处于活跃的状态。课堂教学中要为学生营造积极参与的氛围,让学生积极参与教学活动,不断探索。例如:在讲圆与圆的位置关系时,在一开始播放一小段日食视频,该视频是2009年7月22日,在长江流域一带发生了几百年难得一见的日食现象,这是一种奇妙的自然景观,视频播放的是日食产生的简单原理,如果从数学的角度,就是圆与圆的位置关系。上述问题,创设了良好的问题情景,使学生最大限度的参与解决问题的全过程,从而逐步掌握解决问题的思维方法。
四、加强方法指导,引导学生积极参与
新课程的宗旨是让学生学会怎样学习,因此,让学生学会学习是学生积极参与课堂教学的重要前提。例如帮助学生做好课前预习工作,让学生带着问题走进课堂,由此形成强烈的参与意识,课堂效率也会显著提高,又如,引导学生养成解题后的反思习惯,反思自己的思维过程,反思知识点和解题方法,反思多种解法的优劣,展开联想引申,看一看题目条件减弱,结论能否加强,问题能否推广。
范文三:梯子的倾斜程度
北师大版九年级下册第一章第一节
《从梯子的倾斜程度谈起》
一、教材分析
本节的直角三角形边角之间的关系,是现实生活应用广泛的关系之一,锐角三角函数在解
决现实问题中有着重要的作用. 而本节首先从梯子的倾斜程度谈起,引出第一个三角函数——正切. 因为相比之下,正切是生活中用得最多的三角函数概念, 如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等往往用到正切、正弦和余弦的概念,也是类比正切的概念得到的,所以学好本节就为学好全章打下一个良好的基础.
二、教学目标
1、知识目标:(1)经历探索直角三角形中边角关系的过程.
(2)理解正切概念.
(3)能根据直角三角形中的边角关系进行简单计算.
2、过程与方法:学生通过观察、猜想等教学活动过程,发展推理能力,从而得到正切的概念.
3、情感态度与价值观:积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲,形成实事求是的态度
以及独立思考的习惯.
三、教学重难点:
重点:从现实情境中探索直角三角形的边角关系,理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义.
难点:理解正切的意义,并用它来表示两边的比.
四、教学方法:引导发现法、讨论法
五、教具、学具:
教具:多媒体课件
学具:三角板
六、教学过程:
(一)创设问题情境,引入新课
师:(FLASH 课件动画演示本章的章头图,提出问题)你能用数学知识和适当的途径得到我们学
校旗杆的实际高度吗?通过本章的学习,相信大家一定能够解决. 这节课我们就从梯子的倾斜程度谈起. 展示目标(1)探索直角三角形的边角关系. 展示图形, 提出问题:在图中梯子AB 和EF 哪个更陡? 你是怎
样判断的? 你有几种判断方法? 得到什么启示? 活动(一):在独立探索的基础上, 学生分组交流与研讨, 选出代表, 说出自己的想法和理由.
图1
生答:梯子AB 比梯子EF 更陡. 方法1:从图中很容易发现∠ABC>∠EFD, 所以梯子AB 比梯子EF 陡.
方法2:图中AC=ED,所以只要比较BC 与FD 的长度, 即可知道哪个梯子陡, 所以梯子AB 比梯子EF 陡.
生得启示:图1中梯子的垂直高度即AC 和ED 是相等的, 而水平宽度BC 和FD 不一样长, 由此我想到梯子
的垂直高度与水平宽度的比值越大, 梯子应该越陡.
活动(二):在图(2)中, 哪个梯子更陡? 你又是怎样判断的?
图(2)
学生在教师引导下, 先独立思考, 然后分组展开讨论, 各小组获取多种方法, 选合适方法让一名代表
说明.
师关注:(1)学生能否类比图(1)的方式解决问题.
(2) 学生能否采用不同的方法.
生: 方法(一) 用量角器量∠ ABC<∠>∠>
方法(二) AC/BC=4/1.5=8/3
ED/FD=3.5/1.3=35/13
因为 8/3<35/13
所以梯子EF比梯子AB陡
(二)引申思考,培养创新(多媒体演示:想一想)
师:你们都很聪明,做到了学以致用. 我们知道了可以用梯子的垂直高度与水平宽度的比, 描述梯子的倾斜程度, 即用倾斜角对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度. 我们再来讨论小明和小亮的做法.
活动(三):探究当倾斜角确定时, 其对边与邻边的比值随之确定. B1
思考:(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?
B2 (2)B1C 1/AC1和B 2C 2/AC2有什么关系?
(3)如果改变B 2位置呢?由此得到什么结论?
学生结合思考题进行讨论,并把讨论后的结果进行交流C 1 发现1:Rt△AB 1C 1和Rt △AB 2C 2是相似的,因为∠B 2C 2A=∠B 1C 1A=90度, ∠B 2AC 2=∠B 1AC 1根据相似的条件得Rt △AB 1C 1∽Rt △AB 2C 2
发现2:B 2C 2⊥AC 2,B 1C 1⊥AC 1,B 2C 2∥B 1C 1, Rt△ AB1C 1∽Rt △AB 2C 2
发现3:B 1C 1/B2C 2=AC1/AC2即B 1C 1/AC1=B2C 2/AC2如果改变B 2位置,总可以得到:Rt △ AB2C 2∽Rt △AB 1C 1, 得到B 1C 1/AC1=B2C 2/AC2
得出结论:∠A 的对边与邻边的比只与∠A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关,也就是说,当直角三角形的一个锐角确定后,它的对边与邻边的比也随之确定。所以小明与小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度,但从安全角度考虑,小亮的做法更切实际.
展示目标(2)理解正切的意义,并会简单运用.
师: 由于直角三角形中的锐角A 确定以后,它的对边与邻边也随之确定,因此得到正切定义。 活动(四):理解正切的意义
思考:(1)∠B 的正切如何表示?它的数学意义是什么?
(2)梯子的倾斜程度与tan`B有关系吗?
学生结合思考题进行讨论,并把讨论后的结果进行交流。
发现1:∠B 的正切记作tan`B,表示∠B 的对边与邻边的比值,即tanB=∠B 的对边/∠B 的邻边 发现2:用梯子的倾斜角的对边与邻边比值刻画了梯子的倾斜程度.
得出结论: 在图1-3中 tan`A的值越大梯子越陡, 反过来, 梯子越陡tan`A的值越大.
师: 正切在日常生活中的应用广泛, 经常用来描述山坡的坡度, 堤坝的坡度.(多媒体演示)
(三) 实际应用, 优势互补
展示目标(3)能根据直角三角形中的边角关系进行简单计算
活动(五) :正切的实际应用
生:独立完成课本例1
活动(六):巩固提高.
生:完成课本随堂练习1,2
(四) 概括存储
学生自己归纳总结:
1: 探索完成了直角三角形中的边角关系
2: 得出了在直角三角形中的锐角确定以后, 它的对边与邻边的比值也随之确定, 并以此为基础在“Rt △”中定义了tan`A=∠A 的对边/∠A 的邻边
3: 得到梯子的倾斜程度、工程中的问题、坡度和正切的关系
(五)作业:1. 习题1.1第1、2题
2.观察你们学校、你家或附近的楼梯,哪个更陡?
七 教学反思:
1、教的转变
本节可课教师的角色从传授者转变为学生学习的组织者、引导者、合作者与共同研究者,激发了学生自觉探究数学问题,体验了发现的乐趣.
2、 学的转变
学生的角色从学会转变为会学. 本节课学生不是停留在学会课本知识层面,而是站在研究者的角度深入其境.
3、 课堂氛围的改变
整节课以“流畅、开放、合作、‘隐’导”为基本特征,教师对学生的思维减少干预,教学过程呈现一种比较流畅的特征. 整节课学生与学生,学生与教师之间以“对话”、“讨论”为出发点,以111
互助合作为手段,以解决问题为目的,让学生在一个比较宽松的环境中自主选择获得成功的方向,判断发现的价值.
范文四:直线的倾斜角
直线的倾斜角、斜率与直线方程(学案
)
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的斜率的计算公式. 2.掌握确定直线位置的几何要素.
3.掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式和一般式),了解斜截式与一次函数的关系
.
:
重点:理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的斜率的计算公式及直线方程的
几种形式.
难点:掌握直线方程的几种形式
.
一、知识梳理:(阅读必修2第82-99页内容)
1.倾斜角:一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做直线的倾斜角,范围为 。规定:当直线与l轴平行或重合时,它的倾斜角为 。
2.斜率:当直线的倾斜角不是90时,则称其正切值为该直线的斜率,即k= ;当直线的倾斜角等于90时,直线的斜率 。
注:直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象帮助解决;
3、过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式:k= (若x1=x2,则直线P1P2的斜率 ,此时直线的倾斜角为 )。
4、直线方程的五种形式:确定直线方程需要有两个互相独立的条件,确定直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。
1.直线的倾斜角?与斜率k之间是一一对应关系,这种说法正确吗?如何正确认识倾斜角与斜率的关系?
2.过点(x0,y0)的直线是否一定可设为y?y0?k(x?x0)?
考点1:直线的倾斜角与斜率
例1:已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1,1)和Q(2,2),若直线l:x?my?m?0与线段PQ有交点,求实数m的取值范围.
变式训练:(2010年山东潍坊)直线xcos??y?2?0的倾斜角的范围是( ) A.?
??????5??????5??
,???,? B.?0,???,?? ?62??26??6??6?
C.?0,
?5????5??
D.,? ??666????
考点2:直线的方程
例2:等腰直角三角形ABC的直角顶点C和顶点B都在直线2x?y?6?0上,顶点A的坐标是(1,-1),求边AB,AC所在的直线方程.
变式训练:已知点A(3,4),
(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等的直线方程为: ; (2)经过点A且与两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程为: ; (3)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为: ; (4)经过点A且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程为: .
考点3:直线方程的综合应用
例3:过P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴与A,B两点,求使?AOB面积最小时l的方程.
变式训练:已知条件同上例:(1)求|PA|·|PB|最小时l的方程. (2)求|OA|+|OB|最小时l的方程.
1.(2013·郑州月考)直线l1:3x-y+1=0,直线l2过点(1,0),且它的倾斜角是直线
l1的倾斜角的2倍,则直线l2的方程为( )
A.y=6x+1 3
C.y=x-1)
4
B.y=6(x-1) 3
D.y=-(x-1)
4
2.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sinα+cosα=0,则a、b满足( ) A.a+b=1 C.a+b=0
B.a-b=1 D.a-b=0
2
3.(2013·淄博月考)直线l经过A(2,1)、B(1,m)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜角的取值范围是( )
A.[0,π)
?π?3π,π? B.?0,∪??4??4???π?π?D.?0,∪?,π?
4??2??
?πC.?0
4??
2
4.(2013·金华调研)若直线(2m+m-3)x+(m-m)y=4m-1在x轴上的截距为1,则实数m等于( )
A.1 1
C2
B.2 1
D.2或-
2
2
5.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,且截距之和最小,则直线的方程为( )
A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0
6.已知点A(2,3),B(-5,2),若直线l过点P(-1,6),且与线段AB相交,则直线l倾斜角的取值范围是 .
7.(2013·芜湖调研)已知两点A(-1,2),B(m,3). (1)求直线AB的方程; (2)已知实数m∈?-
??3?
13-1?,求直线AB的倾斜角α的取值范围. 3?
范文五:直线的倾斜角
一:直线的倾斜角和斜率
一、教学目标 (一)知识教学点
知道一次函数的图象是直线,了解直线方程的概念,掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式.
(二)能力训练点
通过对研究直线方程的必要性的分析,培养学生分析、提出问题的能力;通过建立直线上的点与直线的方程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系,培养学生的知识转化、迁移能力.
(三)学科渗透点
分析问题、提出问题的思维品质,事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想. 二、教材分析
1.重点:通过对一次函数的研究,学生对直线的方程已有所了解,要对进
一步研究直线方程的内容进行介绍,以激发学生学习这一部分知识的兴趣;直线的倾斜角和斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的,是研究两条直线位置关系的重要依据,要正确理解概念;斜率公式要在熟练运用上多下功夫.
2.难点:一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难
点.由于以后还要专门研究曲线与方程,对这一点只需一般介绍就可以了.
3.疑点:是否有继续研究直线方程的必要? 三、活动设计
启发、思考、问答、讨论、练习. 四、教学过程
(一)复习一次函数及其图象
已知一次函数y=2x+1,试判断点A(1,2)和点B(2,1)是否在函数图象上. 初中我们是这样解答的: ∵A(1,2)的坐标满足函数式,
∴点A在函数图象上.
∵B(2,1)的坐标不满足函数式, ∴点B不在函数图象上.
现在我们问:这样解答的理论依据是什么?(这个问题是本课的难点,要给足够
的时间让学生思考、体会.)
讨论作答:判断点A在函数图象上的理论依据是:满足函数关系式的点都在函
数的图象上;判断点B不在函数图象上的理论依据是:函数图象上的点的坐标应满足函数关系式.简言之,就是函数图象上的点与满足函数式的有序数对具有一一对应关系.
(二)直线的方程
引导学生思考:直角坐标平面内,一次函数的图象都是直线吗?直线都是一次函数的图象吗?
一次函数的图象是直线,直线不一定是一次函数的图象,如直线x=a连函数都不是. 一次函数y=kx+b,x=a都可以看作二元一次方程,这个方程的解和它所表示
的直线上的点一一对应.
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解.这时,这个方程就叫做这条直线的方程;这条直线就叫做这个方程的直线.
上面的定义可简言之:(方程)有一个解(直线上)就有一个点;(直线上)有一个
点(方程)就有一个解,即方程的解与直线上的点是一一对应的.
显然,直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念. (三)进一步研究直线方程的必要性
通过研究一次函数,我们对直线的方程已有了一些了解,但有些问题还没有完全解决,如y=kx+b中k的几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线的方程、
怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系等都有待于我们继续研究.
(四)直线的倾斜角
一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角,叫做这条直线的倾
斜角,如图1-21中的α.特别地,当直线l和x轴平行时,我们规定它的倾斜角为0°,因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
直线倾斜角角的定义有下面三个要点:(1)以x轴正向作为参考方向(始边);(2)
直线向上的方向作为终边;(3)最小正角.
按照这个定义不难看出:直线与倾角是多对一的映射关系. (五)直线的斜率
倾斜角不是90°的直线.它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜
率常用k表示,即
直线与斜率之间的对应不是映射,因为垂直于x轴的直线没有斜率. (六)过两点的直线的斜率公式
在坐标平面上,已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),由于两点可以确定一条直
线,直线P1P2就是确定的.当x1≠x2时,直线的倾角不等于90°时,这条直线的斜率也是确定的.怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的斜率?
P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2,再作P1Q⊥P2M,垂足分别是M1、M2、Q.那
么:
α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙
)
综上所述,我们得到经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点的直线的斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点:(1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线
的斜率不存在,倾斜角为90°;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到.
(七)例题
例1 如图1-23,直线l1的倾斜角α1=30°,直线l2⊥l1,求l1、l2的斜
率.
∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°,
本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的,可由学生课堂练习,学生演板.
例2 求经过A(-2,0)、B(-5,3)两点的直线的斜率和倾斜角.
∴tgα=-1. ∵0°≤α<180°, ∴α=135°.
因此,这条直线的斜率是-1,倾斜角是135°.
讲此例题时,要进一步强调k与P1P2的顺序无关,直线的斜率和倾斜角可通过
直线上的两点的坐标求得.
(八)课后小结
(1)直线的方程的倾斜角的概念. (2)直线的倾斜角和斜率的概念.
(3)直线的斜率公式. 五、布置作业
1.(1.3练习第1题)在坐标平面上,画出下列方程的直线: (1)y=x (2)2x+3y=6 (3)2x+3y+6=0 (4)2x-3y+6=0
作图要点:利用两点确定一条直线,找出方程的两个特解,以这两个特解为坐标描点连线即可.
2.(1.4练习第2题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角: (1)C(10,8),D(4,-4);
解:(1)k=2 α=arctg2.
(3)k=1,α=45°.
3.(1.4练习第3题)已知:a、b、c是两两不相等的实数,求经过下列每两
个点的直线的倾斜角:(1)A(a,c),(b,c);(2)C(a,b),D(a,c);(3)P(b,b+c),Q(a,c+a).
解:(1)α=0°;(2)α=90°;(3)α=45°.
4.已知三点A(a,2)、B(3,7)、C(-2,-9a)在一条直线上,求实数a的值.
∵A、B、C三点在一条直线上, ∴kAB=kAC.
六、板书设计
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