范文一:高数:如何证明极限不存在
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如何证明极限不存在
反证法
若存在实数L,使limsin(1/x)=L,
取ε=1/2,
在x=0点的任意小的邻域X内,总存在整数n,
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X,有sin[1/x1(n)]=1,
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X,有sin[1/x2(n)]=-1,
使|sin[1/x1(n)]-L|<1>1>
和|sin[1/x2(n)]-L|<1>1>
同时成立。
即|1-L|<1>1><1>1>
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
反证法:
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假设两数列之和{cn}的极限存在,那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和)
矛盾
所以原命题成立
令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1
两种情况极限值不同,故原极限不存在
2答案: 首先需要二项式定理:
(a+b)^n=∑ C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)
用数学归纳法证此定理:
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
? a+b
? 故此,n=1时,式一成立。
设n1为任一自然数,假设n=n1时,(式一)成立 ,即:
(a+b)^n1=∑ C(i=0 – i=n转载自百分网http://www.oh100.com,请保留此标记1)n1 i a^(n1-i) * b^i (式二)
则,当n=n1+1时:
式二两端同乘(a+b)
[(a+b)^n1]*(a+b)=[∑ C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
= (a+b)^(n1+1)= ∑ C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)
因此二项式定理(即式一成立)
下面用二项式定理计算这一极限:
(1+1/n)^n (式一)
用二项式展开得:
(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同,而系数为1,因此,最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约,得1,低次项与1/n的相应次方相约后,分子剩下常数,而分母总余下n的若干次方,当n - +∞,得0。因此总的结果是当n - +∞,二项展开式系数
项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约,得1。余下分母。于是式一化为:
(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n! (式二)
当n - +∞时,你可以用计算机,或笔计算此值。这一数值定义为e。
范文二:[辅导]高数:若何证实极限不存在
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如何证明极限不存在 反证法
若存在实数L,使limsin(1/x)=L,
取ε=1/2,
在x=0点的任意小的邻域X内,总存在整数n,
?记x1(n)=1/(2nπ+π/2)?X,有sin[1/x1(n)]=1,
?记x2(n)=1/(2nπ-π/2)?X,有sin[1/x2(n)]=-1,
使|sin[1/x1(n)]-L|<1 ,="">1>
和|sin[1/x2(n)]-L|<1 ,="">1>
同时成立。
即|1-L|<1>1><1 ,同时成立。="">1>
这与|1-L|+|-1-L|?|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
反证法:
一个数列{an}极限存在,另一个数列{bn}极限不存在
假设两数列之和{cn}的极限存在,那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数
列极限的和)
矛盾
所以原命题成立
令y=x, lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
=lim(x趋于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y
= lim(x趋于0) x^3-x^2/ x^2 =-1
两种情况极限值不同,故原极限不存在
2答案: 首先需要二项式定理:
(a+b)^n=? C(i=0 – i=n)n i a^(n-i) * b^i (式一)
用数学归纳法证此定理:
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此,n=1时,式一成立。
设n1为任一自然数,假设n=n1时,(式一)成立 ,即:
(a+b)^n1=? C(i=0 – i=n转载自百分网http://www.oh100.com,请保留此标记1)n1 i a^(n1-i)
* b^i (式二)
则,当n=n1+1时:
式二两端同乘(a+b)
[(a+b)^n1]*(a+b)=[? C(i=0 – i=n1)n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
= (a+b)^(n1+1)= ? C(i=0 – i=(n1+1))(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 据乘法分配律)
因此二项式定理(即式一成立)
下面用二项式定理计算这一极限:
(1+1/n)^n (式一)
用二项式展开得:
(1+1/n)^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + …
+[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同,而系数为1,因此,最高
次项与(1/n)的相应次方刚好相约,得1,低次项与1/n的相应次方相约后,分子剩下常数,而分母总余下n的若干次方,当n - +?,得0。因此总的结果是当n - +?,二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约,得1。余下分母。于是式一化为:
(1+1/n)^n =1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+ … + 1/n! (式二)
当n - +?时,你可以用计算机,或笔计算此值。这一数值定义为e。
范文三:证明极限不存在
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证明极限不存在
2
是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗,从哪儿入手呢,请高手指点
沿着两条直线 y=2x
y=-2x 趋于(0,0)时
极限分别为 -3 和 -1/3 不相等
极限存在的定义要求 延任何过(0,0)直线求极限时 极限都相等
所以极限不存在
3
lim (x 和y)趋向于无穷大 (x -5y ) / (x +3y )
证明该极限不存在
lim(x -5y ) / (x +3y )
=lim(x +3y ) / (x +3y ) - 8y / (x +3y )
=1-lim8 / [(x/y) +3]
因为不知道x、y的大校
所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x -5y ) / (x +3y )
极限不存在
4
如图用定义证明极限不存在~谢谢!!
反证法
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若存在实数L,使limsin(1/x)=L,
取ε=1/2,
在x=0点的任意小的邻域X内,总存在整数n,
?记x1(n)=1/(2nπ+π/2)?X,有sin[1/x1(n)]=1,
?记x2(n)=1/(2nπ-π/2)?X,有sin[1/x2(n)]=-1,
使|sin[1/x1(n)]-L| 和|sin[1/x2(n)]-L| 同时成立。
即|1-L| 这与|1-L|+|-1-L|?|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
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范文四:证明极限不存在
证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1[1]证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于
(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趋近于(0,0),则有l..
2
是因为定义域D={(x,y)|x不等于y}吗,从哪儿入手呢,请高手指点
沿着两条直线 y=2x
y=-2x 趋于(0,0)时
极限分别为 -3 和 -1/3 不相等
极限存在的定义要求 延任何过(0,0)直线求极限时 极限都相等
所以极限不存在
3
lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
证明该极限不存在
lim(x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2) / (x^2+3y^2) - 8y^2 / (x^2+3y^2)
=1-lim8 / [(x/y)^2+3]
因为不知道x、y的大校
所以lim (x 和y)趋向于无穷大 (x^2-5y^2) / (x^2+3y^2)
极限不存在
4
如图用定义证明极限不存在~谢谢!!
反证法
若存在实数L,使limsin(1/x)=L,
取ε=1/2,
在x=0点的任意小的邻域X内,总存在整数n,
①记x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈X,有sin[1/x1(n)]=1,
②记x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈X,有sin[1/x2(n)]=-1,
使|sin[1/x1(n)]-L|<1/3,
和|sin[1/x2(n)]-L|<1/3,
同时成立。
即|1-L|<1/2,|-1-L|<1/2,同时成立。
这与|1-L|+|-1-L|≥|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=L 成立的实数L不存在。
范文五:高数极限
极限(Limit)第二节
主要内容
?一、极限的概念
?二、无穷小量及其性质
?三、极限的运算
?四、两个重要极限
一、极限的概念
1、数列的极限
例:当n→1∞时,n
1
n
1
n→0:1n无限增大, |n?之间的距离可以任意小。10|的值无限接近于0, 即和0 n比如:若要若要?0<><1,只需要n100>100. >1000.
1[],使得当ε1,只需要n1000综上,对任意给定的ε>0,总存在一个正整数N=n>N时, 有1
n?0<>
定义(分析性定义):设{xn}n≥1是一数列. 如果存在常数A,满足对任意给定的ε>0,总存在正整数N,使得当n>N时,有xn?A<>
n→∞lim xn=A或xn→A(n→∞)
如果不存在这样的常数A,就说数列{xn}n≥1的极限不存在,或lim xn不存在(发散). n→∞“ε-δ”语言
定义(描述性定义) :当n无限增大时,xn无限趋近于一个常数A。此时, 称常数A是数列{xn}n≥1的极限。
例:证明xn=n的极限是1. n+1
例1-21:判断xn=1+(?1)n的极限是否存在. 2
小结:判断数列极限是否存在时,如果能找到两个子列分别趋近于不同的数,那这个数列的极限一定不存在。
2、x→∞时函数f(x)的极限
定义1-3(描述性定义) :当自变量x的绝对值无限地增大时,若函数f(x)无限地趋于一个常数A,则称当x趋于无穷时,函数f(x)以A为极限,记为
x→∞lim f(x)=A或f(x)→A(x→∞)
xn?fn, n≥1
定义(分析性定义):设f(x)是实数域上的函数。若存在常数A满足对任意给定的ε>0,总存在正数M,使得当|x|>M时,f(x)?A<>
注意:
1、若上述常数A不存在,就称x→∞时, f(x)的极限不存在。
2、对“x→∞”的理解:指x→+∞,按任意方式趋于∞例:判断fx=fx=sin x, fx=x, fx=arctan x, fx=e在x→∞时极限是否存在.
小结:在判断函数极限是否存在时,若能找到两种趋近方式使得函数的极限值不同,则该函数的极限不存在1, xx2
3、x→x0时函数f(x)的极限
定义1-4(描述性定义):设函数f(x)在点x0附近有定义. 当自变量x以任意方式无限趋近于定点x0时, 函数f(x)无限地趋近于一个常数A, 则称: 当x趋于x0时, 函数f(x)以A为极限,记为:
x→x0lim f(x)=A或fx→A(x→x0)
否则, 称其极限不存在.
定义1-5(分析性定义) :设函数f(x)在点x0附近有定义. 若存在常数A满足对任意给定的ε>0, 存在一个正数δ>0,使得当0<><δ时,>δ时,><>
函数极限的几何解释:
?ε>0, ?δ>0, 使得当0<><δ时,有x>δ时,有x>
A A A -ε
x )
x2?x?6例1-17:证明:lim x→3x?3=5.
例:证明lim x=4. x→2
1例:判断lim sin 是否存在. xx→02
小结:在判断函数极限是否存在时,若能找到两种趋近方式使得函数的极限值不同,则该函数的极限不存在
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