范文一:1小学奥数数列问题
数列问题
牢记重要公式,
数列和=,首项+末项,×项数?2 项数=,末项-首项,?公差+1 末项=首项+,项数-1,×公差 首项=末项-,项数-1,×公差 公差=,末项-首项,?,项数-1,
例题1. 39个连续奇数的和是1989,其中最大的一个奇数是多少? 答,因为39个连续奇数之和为1989,所以中间一个数是这39个数的平均数,1989?39=51,比51大的另外19个奇数为:53,55,57,…,87,89.或用51+19×2=51+38=89.所以其中最大的一个奇数为89.
例题2. 在1~200这二百个数中能被9整除的数的和是多少? 答,在1~200这二百个数中能被9整除的数构成了一个以9为首项,公差为9的等差数列:9,18,27,36,…,189,198,一共有(198-9)?9+1=22项.它们的和为:
(9+198)×22?2
=207×22?2
=2277.
例题3. 若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈人数依次少4人.如果最内圈有32人,共有多少?
答,先求最外圈有多少人?
32+(8-1)×4
=32+28
=60(人).
共有人数:
(32+60)×8?2
=92×8?2
=368(人).
例题4. 有一列数:1,1993,1992,1,1991,1990,1,…,从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差,求从第一个起到1993个数这1993个数之和. 答,仔细观察这一数列,若把1抽出,则正好成为一个等差数列:1993,1992,1991,1990,…;在原数列中三个数一组出现一个1,则1993个数1993?3=664…1.可分为664组一个1,即665个1,其余是1993到666这664×2=1328个数.
所以前1993个数之和为:
1×665+(666+1993)×1328?2
=665+2659×1328?2
=665+1765576
=1766241.
练习题,
1. 学校进行乒乓球选拔赛,每个参赛选手都要和其他所有选手赛一场,一共进行了78场比赛,有多少人参加了选拔赛?
2. 求193+187+181+…+103的值.
3. 某市举行数学竞赛,比赛前规定,前15名可以获奖,比赛结果第一名1人;第二名并列2人;第三名并列3人;……;第十五名并列15人.用最简便方法计算出得奖的一共有多少人?
4. 某剧院有25排座位,后一排比前一排多两个座位,最后一排有70个座位.这个
剧院一共有多少个座位?
5. 小明从一月一日开始写大字,第一天写了4个,以后每天比前一天多写相同数
量的大字,结果全月共写589个大字,小明每天比前一天多写几个大字?
范文二:小学奥数07数列问题
1.5数列问题
1.5.1相关概念
按一定次序排列的一列数称为数列。数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,a(n+1),…简记为,an,。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项。最后一个数叫末项。
通项公式:数列的第N项a与项的序数n之间的关系可以用一个公式表示,这个公式n
就叫做这个数列的通项公式。
1.5.2等差数列
1.5.2.1等差数列的定义
如果一个数列从第二项开始,每一项与它前一项的差都相等,我们把这样的数列称之为等差数列。前后两项的差叫做等差数列的公差,常用字母d表示。
1.5.2.2公式
首项=和×2?项数-末项 a=2 s?n,a 1nn
末项=首项+(项数-1)×公差=和×2?项数-首项 a=a+(n-1)×n1d=2 s?n,a n1
n=(a 项数,(末项-首项)?公差,1 ,a)?d,n11
和,(首项,末项)×项数?2=首项×项数+项数×(项数-1)×公差?2 s=(a+a)×n1nn/2=na+n(n-1)d/2 1
1.5.2.3等差中项
如果在a和b中间插入一个数A,使a、A、b成等差数列,那么A叫做a和b的等差中项。如a、b、c三项成等差数列,则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。 1.5.2.4等差数列的性质
aanmd,,,()(1)任意两项有. aa,nmnm
aaaa,,,mnkl,,,(2)对于任意正整数,若,则.反之不行(常数列). mnkl,,,mnkl
{},{}ab{}cadb,(3)若均是等差数列,则也是等差数列.(c、d均为自然数) . nnnn
1.5.3等比数列
1.5.2.1等比数列的定义
如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都相等,这个数列就叫做等比数列。前后两项的比值叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示。
1.5.2.2公式
n,1 通项公式: . aaq,n1
naq(1),,1,n项和公式:. 前S,naq(1),,n1(1)q,,1,q,
a1无穷等比数列的和:S,(|q|,1且q,0) 1,q
1.5.2.3等比中项
如果在a和b中间插入一个数G,使a、G、b成等差数列,那么G叫做a和b的等差
G,,ab(a,0,b,0取正值,a,0,b,0取负值),中项。如a、G、b三项成等差数列,则
这是等差中项的基本性质。
1.5.2.4等比数列的性质
nm, (1)任意两项有. aa,aaq,nmnm
aaaa,(2)对于任意正整数mnkl,,,,若,则. mnkl,,,nmkl
1.5.4斐波那契数列
斐波那契数列因数学家列昂纳多?斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”。 一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子,我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下:
第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对;
两个月后,生下一对小兔民数共有两对
三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对;
??
依次类推可以列出下表:
经过月数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
幼仔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144
成兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233
总体对数 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点,那是:从第三项开始,每一项都等于前两项之和。
11,51,5nna,[(),()]n通项公式为:22(又叫“比内公式”,是用无理数表示有5
理数的一个范例。) 有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。而且当n无穷大时an-1/an越来越逼近黄金分割数0.6180339887?? 。
从第二项开始,每个奇数项的平方都比前后两项之积多1,每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。(注:奇数项和偶数项是指项数的奇偶)
范文三:小学奥数数列问题讲解
第一讲 数列
一、八个基本数列
1、自然数列:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10……
求和:1+2+3+4+5+……+n=n(n+1)/2
2、奇数列:1,3,5,7,9,11,13,15,17……
求和:1+3+5+7+9+……+(2n-1)=n×n
3、偶数列:0,2,4,6,8,10,12,14,16……
求和:2+4+6+8+……+2n=n(n+1)
4、等差列公式:1,4,7,10,13,16,19,22……
(1)和=(首项+末项)×项数?2 =中间数×项数
(2)项数=(末项-首项)?公差+1
(3)末项=首项+(项数-1)×公差
5、等比数列:1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024…… 6、斐波那契数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144…… 7、自然数平方数列:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100……
222222求和:1+2+3+4+5+……+n=n(n+1)(2n+1)/6 8、自然数立方数列:1,8,27,64,125,216,343,,512,729,1000…… 333333221+2+3+4+5+……+n=n(n+1)/4
二、两个形数
1、正方形数:1,4,9,16,25,36,49,64,81,100…… 2、三角形数:1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78……
典型习题:
1.有一等差数列,相邻的两项的差是2,第10项是37,试求出它的第5项是多少。
2. 已知一个等差数列的首相是4,公差是5,问84这个数是这个等差数列的第几项,
3(2003×2+2001×2+???+3×2+1×2=
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4、.
5、求值:? 6+11+16+…+501.? 101+102+103+104+…+999.
6、1000+999-998+997+996-995+???106+105-104+103+102—101=
7、如果每一对兔子每月能生一对新兔子,而每一对新兔子在出生后的第三个月里开始生一对新兔子,在不发生死亡的情况下,一对初生的兔子1年能繁殖到多少对,
8、邮局门前共有10级台阶.若规定一步只能登上一级或两级台阶,问上这个台阶共有多少种不同的上法,
1,2,2,3,3,4,4,5,?,9,109、
1,3,4,6,7,9,10,12,13,?,66,67,69,7010、计算: 11、 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1
13、 有一列数:1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少,
30,29,28,27,26,25,?,3,2,1,14、计算:__________。
15、按规律排列的一串数:2,5,9,14,20,27,……………,这串数的第2008 个数是多少,
16、求:152 +162 +172 +……+ 212 =,
222215,16,17?,2117、
18、求从1到2000的自然数中,所有偶数之和与所有奇数之和的差. 19、连续九个自然数的和为54,则以这九个自然数的末项作为首项的九个连续自然数之和是多少,
20、 把210拆成7个自然数的和,使这7个数从小到大排成一行后,相邻两个数的差都是5,那么,第1个数与第6个数分别是多少,
21、 把27枚棋子放到7个不同的空盒中,如果要求每个盒子都不空,且任意两个盒子里的棋子数目都不一样多,问能否办到,若能,写出具体方案,若不能,说明理由.
22、100到200之间不能被3整除的数之和是多少,
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六、例题讲解
例1 1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70 解析:对于数列求和一定先观察规律,根据所找规律就有相应的解题方法。 法一:看出是一双重等差数列,则分别求两个等差数列的和,再加起来就可以了。
则原式=(1+4+7+……+70)+(3+6+9+……+69)=1680 法二:将3+4 看为一组,6+7 看为一组……
原式=1+7+13+19+……+139=(1+139)×24?2=1680 法三:原数列补上2,5,8……,68 后则为一自然数列
则原式=(1+2+3+……+70)-(2+5+8+……+68)=1680 例2 2004×2003-2003×2002+2001×2000-2001×2000+……+2×1 铺垫:乘法分配律的应用
(100+4)×25=100×25+4×25=2500+100=2600 37×28+63×28=(37+63)×28=100×28=2800 303×217-302×217=(303-302)×217=217
10×9 - 9×8 + 8×7 - 7×6 + 6×5 - 5×4 + 4×3 - 3×2 + 2×1 =(10-8)×9+(8-6)×7+(6-4)×5+(4-2)×3+2×1 =2×9+2×7+2×5+2×3+2×1
=2×(9+7+5+3+1)
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=2×25
=50
例2 与上题规律一样
原式=2×2003+2×2001+2×1999+……+2×1
=2×(2003+2001+1999+……+1)
=2×10022 …… 连续奇数求和公式
=2008008
例3 有一列数:1,2,4,7,11,16,22,29……这列数第101 个数是多少, 解析:对于数列问题,找出规律是第一步。
法一:a2=1+1
a3=1+1+2
a4=1+1+2+3
……
a101=1+1+2+3+……+100=1+5050=5051 法二:递推归纳。发现数列中的差是有规律的,那么把各个差表示出来 a2-a1=1
a3-a2=2
a4-a3=3
……
a101-a100=100
再把所有的等式相加,大多数项都抵消了。最后左边剩下a101-a1,右边=1+2+3+……+100
2010 年四年级秋季班 第一讲 整数与数列 程雪
四年级秋季班(七级下) 1.4
即a101-a1 =1+2+3+……+100=5050, a101=5050+ a1=5051。 拓展 (2009 迎春杯中年级决赛题)有一个数列,从第三项起,每一项都是它前面两项的和,
已知第二项是39,第十项是2009,求前8 项的和。
解析:从第三项开始,就有了规律,把规律表示出来如下 a3=a2+a1
a4=a3+a2
a5=a4+a3
……
a10=a9+a8
a3+a4+a5+ …+a10= (a2+a3+a4+ …+a9)+(a1+a1+a3+ …+a8) (a3+a4+a5+ …+a10)-(a2+a3+a4+ …+a9)= (a1+a1+a3+ …+a8) a10-a2 = (a1+a1+a3+ …+a8)
所以(a1+a1+a3+ …+a8)=2009-39=1970 例4 有一数列1,4,9,16,25,36……,问第1990 个数与第1991 个数相差多少, 解析:本题为平方数列,第几项就是几的平方,那么,第1990 个数就是19902 第1991 个数就是19912
两数的差就是 19912 - 19902 = 1991+1990=3981(两数相差为1,其平方差就是两数和)
拓展 314159262 - 31415925×31415927
解析:31415925×31415927 显然可以改写为平方差的形式=(31415926-1)×(31415926+1)
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=314159262-1
原式=314159262-(314159262-1)=1
例5 12 - 22 + 32 - 42 + 52 - 62 + 72 - 82 + 92 - 102 + 112 解析:看见这么多平方数,且中间还有减号连接,自然想到平方差公式,但12 - 22 不够减,
则考虑从后减起。
原式=112- 102 + 92 - 82 + 72- 62 + 52 - 42 + 32 -22 + 12 =(11+10)+(9+8)+(7+6)+(5+4)+(3+2)+1 =66
例6 (22+42+62+……+1002)-(12+32+52+……+992) 解析:同上,看见平方数,又有减号,联想到平方差公式。故拆括号,配对去减。
原式=22-12+42-32+62-52+……+1002-992
=(2+1)+(4+3)+(6+5)+……+(100+99) =1+2+3+4+5+6+……+100
=5050
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范文四:小学二年级奥数数列问题
小学二年级奥数数列问题
1 如 5, 10, 15, 20, , 35, 40, 45
2 找规律:1, 2, 4, 8,
, 128, 256
3找规律填空:1, 2, 4, 7 , 29, 37
4, 一辆公共汽车有 78个座位,空车出发,第一站上 1位乘客,第二站上 2位乘 客,第三站上 3位,依次下去,多少站以后,车上坐满乘客?(在坐满以前没有 人下车) (数列求和?)
5, 爸爸给小明 100块糖, 又给他 10个盒子, 要求小明往第一个盒子里放 2块糖, 第二个盒子里放 4块糖,第三个盒子里放 8块糖,第四个 ……… . 照这样下去, 要放满这 10个盒子,你说这 100块糖够不够?
页码中共出现了多少次? (所有的情况都写出来, 例如, 分类讨论 1在个位上的 时候, 1在十位上的时候, 1在百位上的时候)
7,在 1至 100的奇数中,数字“ 3”出现了多少次?
8, 像 11, 12, 13这三个数, 它们的数位上的各个数字相加之和是 (1+1) +(1+2) +(1+3) =9。问自然数列的前 20个数的数字之和是多少?
10 猜一猜,第 3组的空白处应该填什么图?
11. 按照下面的图形发展趋势, 第四个图中应该如何填涂?第十个又是什么样子 的呢?
1 2 3 4
5
学会从一般中找出规律, 从而可以计算出任意的选项。 通常可以写出 1到
4或者 5,看出结果和这些数字的关系,是否有数列的关系,发现后可以写出通式。 1我们知道,如果一段线段上,加一个点,可以得到三个线段:
如果一段线段上,加 2个点,可以得到 6个线段:
如果一段线段上,加 3个点,可以得到多少个线段呢?加 10个点呢?
2 两条直线相交,最多有 1个交点, 3条直线相交,最多三个交点, 5条呢? 10条呢?
(方法:一一列举出来,从前几个数字中找到规律,写出普通的规律式) 3 如图:一张大饼,切一刀最多切成 2块,切 2刀最多切成 4块,切 3刀最多切 成 7块, …… . 问切 10刀最多可以切成多少块?
范文五:小学五年级奥数 数列问题
第一讲 等差数列(一)
数列: 若干个数按一定规律排成一列,称为数列。
首项:数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项
末项:最后一项称为末项。
项数:数列中数的个数称为项数。
等差数列:
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
计算等差数列的相关公式:
通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差
项数公式:项数=(末项-首项)?公差+1
求和公式:总和=(首项+末项)×项数?2
在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。
例题1 有一个数列:4、7、10、13、…、25,这个数列共有多少项,
1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。
2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项?
3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项?
例题2 有一等差数列:2,7,12,17,…,这个等差数列的第100项是多少,
,这个等差数列的第3O项。 1、求1,5,9,13,…
2、 求等差数列2,5,8,11,…的第100项。
3、 一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?
例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。
1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。
2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。
3、计算100+99+98+…+61+60的和
例题4 计算(1+3+5+…+l99l)-(2+4+6+…+1990)
提示:仔细观察算式中的被减数与减数,可以发现它们都是等差数列相加,根据题意可以知道首项、末项和公差,但并没有给出项数,这需要我们求项数,按照这样的思路求得项数后,再运用求和公式即可解答。
1、计算(1+3+5+7+…+2003)-(2+4+6+8+…+2002)
2、计算(2+4+6+…+100)-(1+3+5+…+99)
例题5 已知一列数:2,5,8,11,14,…,80,…,求80是这列数中第几个数。 提示:仔细观察这列数可以发现,后项与其相邻的前项之差等于3,所以这是一个以2为首项,以公差为3的等差数列,求80是这列数中第几个数,实际上是求该数列的项数。
1、 有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。
2、 有一列数是这样排列的:2,11,20,29,38,47,56,…,求785是第几个数。
3、在等差数列6,13,20,27,…中,从左到右数第几个数是1994?
例6、在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石子。如果第一格放入2粒,第二格放入4粒,第3格放入6粒,第四格放入8粒……依次类推,放满64格,一共要放入多少粒石子,
丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了16个。丽丽在这些天中共学会了多少个单词,
课后练习:
1、已知数列2、5、8、11、14……,47应该是其中的第几项,
2、有一个数列,4、10、16、22……52,这个数列有多少项,
3、一个等差数列,首项是3,公差是2,项数是10。它的末项是多少,
4、求等差数列1、4、7、10……,这个等差数列的第30项是多少
5、有一家电影院,共有30排座位,后一排都比前一排多两个位置,已知第一排有28个座位,那么这家电影院共可以容纳多少名观众,
学生自我评价
这节课我表现__________(很好,一般,很差),下次课我会________________________,我觉得老师讲的这些内容还没有听懂:___________________________________________________。我相信我会学好奥数的~