范文一:球坐标系中的速度和加速度
球坐标系中的速度和加速度
1.球坐标系
,,x,rsincos,
,,,y,rsinsin, ,z,rcos,,
,,,,,
r,re,rsin,cos,e,rsin,sin,e,rcos,e rxyz2(单位矢量
,,r
,,,,,re,,sin,cos,e,sin,sin,e,cos,e,rxyz ,r
,r
,,r
,,,,,,e,,cos,cos,e,cos,sin,e,sin,e,,xyz ,r
,,
,,r
,,,,,e,,,sin,e,cos,e,,xy ,r
,,
,,,,,,
ee(,,,), ee(,,,), ee(,), ,,,所以: rr,,,,单位矢量的导数
,,,e,r,,,esin,,,,,,e,,r,,e,,,e,,,,,,,,ecos,,,,,, ,,e,,,,e,,,r,e,,,,,,,,e,e,,sin,cos,r,,,,
,,,,,,,,,e,e,,,rr,,,,,,,sine,,,e,e,r,,,,,,,,,,,,,,e,e,,,,,,,,,,e,,,,e,cose,,,,,,,, ,,,,,,,de,,,,e,sin,,ecos,,e,,,,,r,,d,,
3(球坐标系中的速度与加速度(请自行推导)
,,,,,,,,,,,,,v,r,re,re,re,r,e,rsin,,e rrr,,
,,,,,,
avaeaeae,,,, rr,,,,
222,,,,,,,,arrrsin,,,r
,2,,,,,,,,,,ar2rrsincos,,,,,
,,,,,,,a,rsin,2r,sin,2r,,cos,,,,,,
范文二:常用坐标系中速度和加速度推导的矩阵方法
COLLEGE PHYSICS
1999年 第18卷 第6期 Vol.18 No.6 1999
常用坐标系中速度和加速度推导的矩阵方法
谢元喜
摘要 采用矩阵方法对常用坐标系中质点的速度和加速度表达式作了统一推导.
关键词 矩阵;速度;加速度
分类号 O 311.1
DERIVATION OF VELOCITIES AND ACCELERATIONS IN USUAL
COORDINATES BY MEANS OF MATRIX
Xie Yuanxi
(Department of Physics,Loudi Teacher's College,Loudi,Hunan,417000,China)
Abstract Expressions of velocities and accelerations in usual coordinates are derived by means of matrix. Key words matrix;velocity;acceleration
本文从数学角度,采用矩阵方法对常用坐标系中质点的速度和加速度作统一推导.
直角坐标系中的速度和加速度的推导很简单,在此不再赘述.本文只推导其它常用坐标系(如柱坐 标系、极坐标系、球坐标系等)的速度和加速度.注意到这些坐标系都是正交曲线坐标系,为此,考虑 一个任意正交的三维曲线坐标系,设其单位矢量分别为e 1、e 2、e 3、则有
r=x1e 1+x2e 2+x3e 3
(1)
为了推导简便起见,不妨将式(1)改写成矩阵形式,令
则式(1)变为 r=xe
(2)
设直角坐标系的单位矢量矩阵为
显然,I为常矢量矩阵,则e与I之间有下列两个关系:
e=AI
(3) I=A-1e
(4)其中A为坐标变换矩阵,A -1为A的可逆矩阵.将式(3)代入式(2),得
r=xAI
(5)
根据速度的定义,有
(6)
将式(4)代入式(6),得
(7)
令
,则式(7)变为
(8)上式就是一般正交曲线坐标系中速度的统一表达式.为了求加速度,利用式(3)将式(8)变形为
(9)
根据加速度的定义,有
(10)上式就是一般正交曲线坐标系中加速度的统一表达式.
下面我们利用上面的结果来求几种常用坐标系中速度和加速度的具体表达式.
1 柱坐标系中的速度和加速度表达式
对于柱坐标系,由数学知识易知:
则有
将
、xB、e代入式(8)并整理,得
上式就是柱坐标系中的速度表达式.
将
代入式(10)并整理,得
上式就是柱坐标系的加速度表达式.
2 平面极坐标系的速度和加速度表达式
只要令柱坐标系的速度和加速度表达式中的z等于零,就易于得到平面极坐标系的速度和加速度
表达式分别如下:
3 球坐标系中的速度和加速度表达式
对于球坐标系,由数学知识易知:
则有
将
、xB代入式(8)并整理得
上式就是球坐标系中的速度表达式.
将
代入式(10)并整理,得
上式就是球坐标系中的加速度表达式.
对于其它正交曲线坐标系中的速度和加速度表达式,只要找出相应的x、e、A便可仿照上面类似 的方法求得.
作者单位:娄底师范专科学校物理系,湖南娄底 417000
4 参考文献
[1]蒋德翰.理论力学.兰州:兰州大学出版社,1990.15~17
[2]周衍柏.理论力学教程.北京:人民教育出版社,1979.11~13
常用坐标系中速度和加速度推导的矩阵方法
作者:谢元喜 , Xie Yuanxi
作者单位:娄底师范专科学校物理系,湖南娄底,417000
刊名:
大学物理
英文刊名:COLLEGE PHYSICS
年,卷(期):1999,18(6)
被引用次数:1次
1. 周衍柏 理论力学教程 1979
2. 蒋德翰 理论力学 1990
1. 罗兴垅 . 罗颖 球坐标系中速度与加速度的转动参考系求法 [期刊论文]-赣南师范学院学报 2002(3)本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_dxwl199906006.aspx
范文三:速度和加速度在不同坐标系中的表达式
速度和加速度在不同坐标系中的表达式
第26卷第2期
2006年5月
承德民族师专学报
JournalofChengdeTeachersCollegeforNationafities
Vo1.26No.2
May.2006
速度和加速度在不同坐标系中的表达式
殷中伟,邢霖,孙文祥
(承德民族师专物理系,河北承德067000)
摘要:物理学中一般用速度和加速度表示物体的宏观机械运动特征.在不同坐标系中的表示
方法不同,作者定
量分析质点在直角坐标系,极坐标系,自然坐标系,柱面坐标系和球面坐标系中速度和加速度
的表达式.
关键词:速度;加速度;坐标系;变换
中图分类号:O311.1文献标识码:A文章编号:1005—1554(2006)02--OO46一O1
运动是绝对的.但物体的位置只能相对地确定.在研究
宏观物体机械运动中.首先找出另外一个物体或物体系作为
参考,这个物体或物体系叫作参考系.在其上面适当地建立
坐标系,便于描述物体的相对位置.速度和加强度是力学研
究的重要内容,反映质点运动的基本特征和规律.在不同参
照系下.质点的速度和加速度的表示形式也不相同.该物体
运动与否以及运动的快慢并不由坐标系决定,但在不同的坐
标系中,表示的方法不同.下面将物体简化为质点.在几种常
用的坐标系中分析阐述它们的表达式和各坐标轴上的分量
式.
速度和加速度的变换及表达式.’
1直角坐标系中速度和加速度的表达式
一
个质点P在直角坐标系中的坐标为(,Y.),用位置矢量r
表示为r—xi+yJ+zk
i,j,k分别为该坐标系X,y,z轴的单位矢量.
在直角坐标系下的速度
V=
dr
一
i+j+鲁k—Vi+V,j+Vk
其分rj
其分量形式:径向速度vr=dr
,横向速度ve—r
收稿日期:2OO5一O9—1O
作者简介:殷中伟(1958一),男,辽宁省葫芦岛人,承德
民族师专物理系副教授.
一
46一
在极坐标系中的加速厦
a=一[翥一r(dO).3i+(r+2亲)_.
其分量形式:径向速度a=d2r—
r().,
横向加速度a.=r舞+2亲
3柱面坐标系中速度和加速度的表达式
若在平面极坐标系加上垂直方向的z坐标,就形成柱面
坐标系.设空间质点的坐标为(r,e).三个单位矢量分别为
i.j,k(k为z坐标轴的单位矢量).则质点的位置矢量r=ri+
zk.在自然坐标系中的速度和加速度与平面极坐标的不同之
处是多了一个z方向的分量v及a分量形式径向速度vr=
dr
.
横向速度v.=dO
,
垂直速度v=dz
.在自然坐标系中
的加速度分量形式:径向加速度a=嚣一r).横向加速
度a.一r舞+2鲁dO.垂直加速度a=熹.
4自然坐标系中速度和加速度的表达式
当质点只做平面运动.依据质点运动轨道本身的特点,
取沿着轨道切线方向并指向运动一方的单位矢量为i,沿轨
道的法线方向并指向曲线凹侧一方的单位矢量为j.建立平
面自然坐标系.显然.i,j都随曲线变化.满足嵩一j,ddAe=一
i在自然坐标系中速度沿轨道的切向;v=vi=亲i(式中s是
质点沿曲线运动的路程)在自然坐标系中加速度a=一
i+詈j(p是曲线的曲率半径)其加速度分量形式:切向加
速度ar:dv
.
法向加速度a一詈.
若质点作空间运动时.a,仍是切向加速度.a是密切平
面上的法向加速度,再取垂直于密切平面的另一条法线,称
为副法线方向b,构成空间自然坐标系.质点在副法线方向的
加速度分量a一0.
5球面坐标系中速度和加速度的表达式
在球面坐标系中,质点P的坐标为(r.0,).r是原点O
到P点的距离.其方向由原点O指向P点,用i表示;0叫方向
第26卷第2期
2006年5月
承德民族师专学报
JournalofChengdeTeachers’CollegeforNationalities
Vo1.26No.2
May.2006
杠杆定理在金属学中的应用
刘晓红
(承德信息工程技术学校理工系,河北承德067000)
摘要:力学中的杠杆定理可以推广应用在金属学中.用来分析相图,求合金中各相的相对含
量,预测合金性能.
关键词:杠杆定理;合金相图;相对含量;机械性能
中图分类号:D344文献标识码:A文章编号:1005—1554(2006)02--0047--02
古希腊伟大的数学家,力学家阿基米德(前287一前
212)曾说过:”只要给我一个支点.我就能使地球移动.”杠杆
定理成为应用最广泛,最普遍的力学定理而被人们所熟知.
但在材料科学领域中,杠杆定理的应用恐怕是鲜为人知的.
在工业上.除少数要求特殊物理性能(如导电性)的材料
之外.使用的金属材料大多数是合金.合金具有良好的机械
性能,其强度可以超过基本金属的几倍乃至几十倍,并且可
以通过化学成分和组织结构的调整.以满足各种使用性能的
要求如:耐蚀性,耐热性等.而合金的性能与其成分和内部的
组织结构有密切的关系.因此,研究合金的性能必须把握合
金成分和组织结构的变化规律,而描写这一规律的即是相
图.相图是表示在平衡状态下.合金的组织结构与成分和温
度之间关系的图形.从相图中可以分析不同成分合金在不同
温度下所含合金相的种类,求出各相的相对数量.并且通过
相图可以预测合金性能.为研究开发新型材料提供依据.那
么.具体到如何求合金中各相的相对含量,如何预测合金性
能.就要借助与杠杆定理了.
1杠杆定理可用于分析相图.求出任意成分合金冷却
收稿日期:2005—12—20
作者简介:刘晓红(1968一),女,河北承德市人,承德信
息工程技术学校理工系讲师.
至任意温度各相的相对含量
正确确定相图中杠杆的支点和两个端点的位置.是正确
运用杠杆定理的关键.在合金系中的两相区中使用杠杆定
理,杠杆的支点确定在合金的成分点上.该两相的成分点即
为杠杆定理的两端点.请看例1:(图1)
Sn%(重量)
图1Pb—Sn相图
求含40Sn的合金冷却至200C时L相与a相的相对量
解:利用杠杆定理:
以40Sn为支点(0.点).以L含Sn量60(B.点)及
a含Sn量18(C.点)为两端点得:
L一(Cl0l/C】B1)×100
一
[(40—18/(60—18)]×100
?52.4
用,共l力I口J足蛆1息垂且_开瑁I司u瑁大一万.,用J农不;口H
极角,其方向是过P点垂直i和j并指向j2『增大一方,用k表
示.质点的位置矢量r:ri
j,j,k随曲线的变化关系满足:翕一k,吾一sinj2『j.翕
=一
j.碧=一c.sj2『j,鲁:一sinj2『j—c.sj2『k
球面坐标系中速度v:一害i++rsinj2『j+k
其速度分量:vr一dr
,v.一rsinj2『,v=r
球面坐标系中a—ari+aoj+ak’
其加速度分量:ar=d2r—
r()z—r()zsinzj2『,
ae一
?(r)一r()zsinj2『c.sj2『.a一1杀(rz
nzj2『)
可见.在不同坐标系中.质点的运动速度和加速度的表达式
不同.在研究物体运动状态时,适当的选择好坐标系,对问题
的讨论可以大大的简化.
参考文献:
[13四川大学高等数学教研室,高等数学[M].北京:高等教
育出版社.1990
[2]周衍柏.理论力学教程IN].北京;高等教育出版社,
2003
[3]冯麟保,阎凤利,张波.理论力学基础[M].保定:河北大
学出版社,1996
[4]朱广才(译).理论力学IN].商务出版社,1954
—
47—
范文四:01-2自然坐标系--切向加速度和法向加速
第二讲
2-0 回顾 2-1自然坐标系:切向加速度和 法向加速度
2-2 相对运动
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
2-0 回顾
矢量性 r(t) r(t t) r(t) dr d r r r (t ) a v 瞬时性 dt dt t 0 r dr 叠加性 r r(t ) x(t )i y(t ) j x x(t ) 运动方程 y y(t ) dy dr dx v i j 消去时间t dt dt dt d r d x d y a i j 轨迹方程 dt dt dt r r (t ) v or a a a (t ) v or r 两类问题:( x x(t ) v or a ) (a a (t ) v or x)
2 2
相对性:参照系、坐标系
直角坐标
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
2-1 自然坐标系
问题的提出:
d r d 2x d 2 y 直角坐标系 a 2 2 i 2 j dt dt dt
2
由速度大小变化产生的加速度?
由速度方向变化产生的加速度?
引入自然坐标系来描写。 1.自然坐标系:切向加速度和法向加速度 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上 的,有两个坐标轴,切向坐标和法向坐标。
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
v (t t ) 切向坐标 : v (t ) 2 n 法向坐标: 1 n2 n1 v vn v lim lim lim n Δ t 0 t Δ t 0 Δ t 0 t t dv dv dvn n dt dt dt
a
v(t )
O
v
vn
b
v
c v(t t )
v ac cb vn v vn n v
速度大小变化
a a an n
速度方向变化
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
dv a dt
dv dv dvn n dt dt dt
切向加速度
a
v(t )
O
v
vn
b
v
c v(t t )
速度大小变化产生的加速度
dv n an dt
法向加速度
速度方向变化产生的加速度
v ac cb vn v vn n v
速度大小变化
速度方向变化
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
2. 特例:圆周运动
圆周运动的角速度和角加速度 角坐标 (t ) y d (t ) 角速度 (t )
dt
B
v lim s r lim t0 t t0 t v ds , v (t ) r (t ) dt d 角加速度 dt
速率
r
o
A
x
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
圆周运动的切向加速度和法向加速度 ds v(t t ) v v r
dt
2
切向加速度
v(t )
dv a r d r dt dt
vn an t 0 t 0 | v (t ) | lim lim t t
o
v2 | v (t ) | r
2r
v (t t ) v v vn
r
1
v (t )
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
圆周运动加速度
a a ann
an tan a
1
an 0 0 π dv r a dt
2 2 a a an
a
0, 0 π , v 增大 2 0, π , v 常量
2
a
y
v
n o a a
x
0, π π , v 减小 2
加速度指向曲线凹的一侧!
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
试一试:
ds v v
dt
dv v d dt dt
2
由加速度的定义有
dv a dt
v r n r
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
推广:对任意二维曲
线,有:
dv a dt
ds 其中 d
an
v2
曲率半径 .
有兴趣的同学可以试一试! 挑战三维曲线!!
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
讨论一:试判断下列几种运动情况
1.
a 0 , a n 0
匀速直线运动; 匀变速直线运动;
匀速率圆周运动; 变速曲线运动;
2. a C , a n 0
3. a 0 , a n C
4.
a 0 , a n 0
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
讨论二:匀速率圆周运动和匀变速率圆周运动
1 匀速率圆周运动:速率 常量 .
v 和角速度 都为
a 0
2 a an n r n
2 匀变速率圆周运动 如
常量
比一比: 匀变速直线运动
t 0 时, 0 , 0 0 t 0 0t 1t 2
2 2 02 2 ( 0 )
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
3、刚体及其运动
刚体:在外力作用下,形状和大小都不发生变 化的物体 . (任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组) 刚体的运动形式:平动、转动 . 平动:若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同, 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
刚体平动
质点运动
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
转动:刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运 动. 转动又分定轴转动和非定轴转动 .
刚体的平面运动 .
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
刚体的定轴转动
刚体定轴转动(一 维转动)的转动方向可 以用角速度的正负来表 示. 角加速度
z
z
d dt
0
0
定轴转动的特点 1) 每一质点均作圆周运动,圆面为转动平面;
2) 任一质点运动 , , 均相同,但 v, a 不同;
3) 运动描述仅需一个坐标 .
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
例1 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解(1)因飞机作匀变速率 运动所以 和 为常量 . vA A
a
vB v A 2 a 23.3m s t 第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
o
r a n
B
at
dv a dt
a
vB
分离变量有
vB
vA
dv a dt
0
t
在点 B 的法向加速度
A
an
2 vB
vA
B
r
2
106 m s
2 n
2
在点 B 的加速度
a a arctan 12.4 o an 所转过的角度 为 (2)在时间 t 内矢径 r 1 2 At t
vB
飞机经
过的路程为
1 2 s r v At a t 2
r a n
at
a a a 109m s a 与法向之间夹角 为
2
2
1722m
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
例2:手球运动员以初速度v0与水平方向成α0 角抛出一球,如图所示。当球到达M点处,与水平 线夹角为θ,求(1)球在M点速度的大小;(2)球在M 点处的切向加速度和法向加速度大小;(3)M点处 的曲率半径。 解:(1)水平方向
vx v0 cos v cos
v0 cos v cos
v0
v
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
(2) 将g分解可得:
a g sin
a
an g cos
(3) 因为 an 故有:
v0
v
2
g
an
v
2
v cos v 3 an g cos
2 2 0
想一想:何处曲率半径 最大?何处最小? 试一试:用其它方法求 曲率半径?
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
2-2 相对运动
1.时间与空间
A 和点 B . 地面上人测得车通过 A、B 两点间的距 离和时间与车上的人测量结果相同 .
小车以较低的速度 v 沿水平轨道先后通过点
v
B A
在两个相对作直线运动的参考系中, 时间的测量 是绝对的,空间的测量也是绝对的, 与参考系无关, 时间和长度的的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础 .
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
2.运动描述的相对性
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
3. 伽利略坐标变换
在绝对时空观的条件下,有
r r R
y
y'
v
P
或有:
r r R r vt t t
x x vt y y z z t t
z
r
o
伽利略坐标变换式
R
z'
o'
r
x x'
在t=0时刻坐标原点重合
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
v K、v K 分别表示质点在两个坐标系中的速度 dr dr vK y y' v d t d t d(r v t ) P vK v dt r vK vK v 即 r o' o 在直角坐标系中写成分量形式 x x' R vK x vK x v z vK y vK y z' vK z vK z
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
4.
伽利略速度变换
为了便于记忆将
vK vK v
y y'
改写为:
vPK vPK vK ' K
注意: 低速运动
的物体满足速度变换式, 并且可通过实验证实, 对于高速运动的物体, z 上面的变换式失效。
v
P
r
o
R
z'
o'
r
x x'
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
设K‘系相对于K系作匀加速直线运动,加速度 a 0 沿x方向: t 0, v v0 '系相对于K系的速度 y y' K v v v 0 a0t P vK vK v 又 r d vK ' d vK d v r o' o dt dt dt x x' R aK ' aK a0 z z' aK aK 当a0 0时,
表明质点的加速度相对于作匀速运动的各个参考系不变。
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
5.
加速度变换
例3: 某人骑摩托车向东前进,其速率为10m.s-1 时觉得有南风,当其速率为15m.s-1 时,又觉得 有东南风,试求风速度。
解:取风为研究对象
(A),骑车人(K’)和 地 面 (K) 作 为 两 个 相 对运动的参考系。
y(北)
v AK
45
10ms-1 15ms-1
1 1 v v A K v AK ' v K 'K 2 2 v v A K v AK ' v K 'K
2 2
O
x(东)
5 arctg 2634 10
11.2(m / s ) 东偏北2634' v 10 5
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
例4:一货车在行驶过程中,遇到5m/s竖直下 落的大雨,车上仅靠挡板平放有长为l=1m的木 板。如果木板上表面距挡板最高端的距离h=1m, 问货车以多大的速度行驶,才能使木板不致淋 雨? h
解:对车上的观察者,挡 板最上端处的雨应飘落在 木板的最左端的左方。
l
45
v车 v地车
v雨地 5(m/s)
45
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
v雨车
v地车
v雨地
作业: 2A-1, 2A-2, 2A-3,2A-4, 2A-5
第二讲 自然坐标系:切向加速度和法向加速度、相对运动
范文五:速度和加速度在不同坐标系中的表达式
速度和加速度在不同坐标系中的表达式
殷中伟, 邢 霖, 孙文祥
(承德民族师专 物理系,河北 承德 067000)
摘要:物理学中一般用速度和加速度表示物体的宏观机械运动特征,在不同坐标系中的表示方法不同,作者定量分析质点在直角坐标系、极坐标系、自然坐标系、柱面坐标系和球面坐标系中速度和加速度的表达式。
关键词:速度;加速度;坐标系;变换
中图分类号:O311.1 文献标识码:A 文章编号:1005-1554(2006)02-0046-01
运动是绝对的,但物体的位置只能相对地确定。在研究宏观物体机械运动中,首先找出另外一个物体或物体系作为参考,这个物体或物体系叫作参考系。在其上面适当地建立坐标系,便于描述物体的相对位置。速度和加强度是力学研究的重要内容,反映质点运动的基本特征和规律。在不同参照系下,质点的速度和加速度的表示形式也不相同。该物体运动与否以及运动的快慢并不由坐标系决定,但在不同的坐标系中,表示的方法不同。下面将物体简化为质点,在几种常用的坐标系中分析阐述它们的表达式和各坐标轴上的分量式。
速度和加速度的变换及表达式。1 直角坐标系中速度和加速度的表达式
一个质点P在直角坐标系中的坐标为(x,y,z),用位置矢量r表示为r=xi+yj+zk
i、j、k分别为该坐标系x、y、z轴的单位矢量。在直角坐标系下的速度
=i+j+k=vxi+vyj+vzkdtdtdtdt
dxdydz
其分量形式:vx2=,vy=,vz=
dtdtdt
2
dvdrd2xd2yd2z
在直角坐标系下加速度a===i+j+k
dtdt2dt2dt2dt2
=axi+ayj+azkv=
dvxdvydvz222=,A==,A==yzdtdt2dtdt2dtdt2
2 平面极坐标系中速度和加速度的表达式其分量形式:Ax=
在平面极坐标中质点P的位置用极坐标(r,H)表示,取沿矢径方向的单位矢量径向i和垂直矢径方向并指向角度H增大一方为横向的单位矢量j,质点的位置矢量r=ri。dtdj
=j,=-dHdH
drdrdi
在极坐标系中的速度v==i+r=
dtdtdtdr
其分量形式:径向速度vr=,横向速度vH=
dti和j的方向随曲线变化,满足 收稿日期:2005—09—10
作者简介:殷中伟(1958—),男,辽宁省葫芦岛人,承德民族师专物理系副教授。
i。drdHi+rjdtdtdHrdt
在极坐标系中的加速度
dvd2rdHd2HdrdH=[2-r()2]i+(r2+2)jdtdtdtdtdtdt
d2rdH2
其分量形式:径向速度ar=),2-r(dtdt
d2HdrdH
横向加速度aH=r2+2dtdt
dt
3 柱面坐标系中速度和加速度的表达式a=
若在平面极坐标系加上垂直方向的z坐标,就形成柱面坐标系。设空间质点的坐标为(r,H,z),三个单位矢量分别为i,j,k(k为z坐标轴的单位矢量)。则质点的位置矢量r=ri+zk。在自然坐标系中的速度和加速度与平面极坐标的不同之处是多了一个z方向的分量vz及az分量形式径向速度vr=,横向速度vH=r,垂直速度vz=。在自然坐标系中dtdtdt22
)。横向加速2-r(dtdt
d2HdrdHd2z
度aH=r2+2,垂直加速度az=。
dtdtdtdt2
4 自然坐标系中速度和加速度的表达式的加速度分量形式:径向加速度ar=
当质点只做平面运动,依据质点运动轨道本身的特点,取沿着轨道切线方向并指向运动一方的单位矢量为i,沿轨道的法线方向并指向曲线凹侧一方的单位矢量为j,建立平=j,=-dHdHds
i在自然坐标系中速度沿轨道的切向:v=vi=i(式中s是
dv
质点沿曲线运动的路程)在自然坐标系中加速度a==
dt
dvv2
i+j(Q是曲线的曲率半径)其加速度分量形式:切向加dt面自然坐标系。显然,i、j都随曲线变化,满足
2速度Ar=,法向加速度An=。
若质点作空间运动时,aS,仍是切向加速度,an是密切平面上的法向加速度,再取垂直于密切平面的另一条法线,称为副法线方向b,构成空间自然坐标系。质点在副法线方向的加速度分量ab=0。
5 球面坐标系中速度和加速度的表达式
在球面坐标系中,质点p的坐标为(r,H,á)。r是原点o到P点的距离,其方向由原点o指向P点,用i表示;H叫方向
杠杆定理在金属学中的应用
刘晓红
(承德信息工程技术学校 理工系,河北 承德 067000)
摘要:力学中的杠杆定理可以推广应用在金属学中,用来分析相图,求合金中各相的相对含量,预测合金性能。关键词:杠杆定理;合金相图;相对含量;机械性能
中图分类号:D344 文献标识码:A 文章编号:1005-1554(2006)02-0047-02
古希腊伟大的数学家、力学家阿基米德(前287-前212)曾说过:“只要给我一个支点,我就能使地球移动。”杠杆定理成为应用最广泛、最普遍的力学定理而被人们所熟知。但在材料科学领域中,杠杆定理的应用恐怕是鲜为人知的。
在工业上,除少数要求特殊物理性能(如导电性)的材料之外,使用的金属材料大多数是合金。合金具有良好的机械性能,其强度可以超过基本金属的几倍乃至几十倍,并且可以通过化学成分和组织结构的调整,以满足各种使用性能的要求如:耐蚀性、耐热性等。而合金的性能与其成分和内部的组织结构有密切的关系。因此,研究合金的性能必须把握合金成分和组织结构的变化规律,而描写这一规律的即是相图。相图是表示在平衡状态下,合金的组织结构与成分和温度之间关系的图形。从相图中可以分析不同成分合金在不同温度下所含合金相的种类,求出各相的相对数量,并且通过相图可以预测合金性能,为研究开发新型材料提供依据。那么,具体到如何求合金中各相的相对含量,如何预测合金性能,就要借助与杠杆定理了。
1 杠杆定理可用于分析相图,求出任意成分合金冷却
图1 Pb-Sn相图
求 含40%Sn的合金冷却至200℃时L相与A相的相对量
解:利用杠杆定理:
以40%Sn为支点(O1点),以L含Sn量60%(B1点)及A含Sn量18%(C1点)为两端点得:
收稿日期:2005—12—20
作者简介:刘晓红(1968-),女,河北承德市人,承德信息工程技术学校理工系讲师。
角,其方向是过P点垂直i并指向H增大一方,用j表示;á叫极角,其方向是过P点垂直i和j并指向á增大一方,用k表示。质点的位置矢量r=ri
5i5i5ki、j、k随曲线的变化关系满足:=k,=sináj,
5j5j
=-i,=-cosáj,=-sinái-cosák
dridrdHdá
球面坐标系中速度v==i++rsináj+rk
dtdtdtdtdrdHdá
其速度分量:vr=,vH=rsiná,vá=r
dtdtdt
球面坐标系中a=ari+aHj+aák其加速度分量:Ar=AH=
drdá2dH
)-r()2sin2á,2-r(drdtdt
1d2dádH1d2
(r)-r()2sinácosá,A(rá=rdtdtdtrsinádt
2
至任意温度各相的相对含量
正确确定相图中杠杆的支点和两个端点的位置,
是正确运用杠杆定理的关键。在合金系中的两相区中使用杠杆定理,杠杆的支点确定在合金的成分点上,该两相的成分点即为杠杆定理的两端点,请看例1:(图1)
L%=(C1O1/C1B1)×100%
=[(40-18/(60-18)]×100%
≈52.4%
dH
)sin2á)可见,在不同坐标系中,质点的运动速度和加速度的表达式不同。在研究物体运动状态时,适当的选择好坐标系,对问题的讨论可以大大的简化。
参考文献:
[1]四川大学高等数学教研室,高等数学[M].北京:高等教育出版社,1990
[2]周衍柏.理论力学教程[M].北京:高等教育出版社,2003
[3]冯麟保,阎凤利,张波.理论力学基础[M].保定:河北大学出版社,1996
[4]朱广才(译).理论力学[M].商务出版社,1954
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