范文一:】小挠度曲线微分方程
小挠度曲线微分方程
忽略剪力对变形的影响,梁平面弯曲的曲率公式 为:
(a) 式(a)表明梁轴线上任一点的曲率 横截面上的弯矩 度 与该点处
成正比,而与该截面的抗弯刚
成反比。如图 7-2 所示。 而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程 之间
存在下列关系:
(b) 将上式代入式(a),得到
(c)
小挠度条件下,
,式(c)可简化为:
(d)
在图 7-3 所示的坐标系中,正弯矩对应
着
的正值(图 7-3a),负弯矩对应
着
的负值(图 7-3b),故式(d)
左边的符号取正值
(7-1) 式(7-1)称为小挠度曲线微分方程,简称小挠度微分方程。显然,小挠度微分方程仅适 用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
用积分法求梁的位移
将式(7-1)分别对 x 积分一次和二次,便得到梁的转角方程和挠度方程:
(a)
(b)
其中 C、D 为积分常数,由边界条件和连续条件确定。 对于载荷无突变的情形,梁上的弯矩可以用一个函数来描述,则式(a)和(b)中 将仅有两个积分常数,由梁的边界条件(即支座对梁的挠度和转角提供的限制)确定。 两种典型的边界条件如图 7-4 所示。
对于载荷有突变(集中力、集中力偶、分布载荷间断等)的情况,弯矩方程需要分段描述。 对式(a)和(b)必须分段积分,每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一 连续光滑曲线,在分段点处,相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多 提供两个确定积分常数的条件,这就是连续条件。
【例 7-1】 悬臂梁受力如图 7-5 所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角 和最大挠度 。 坐标系.因为在 范围内无载荷突变,故梁全长
【解】首先建立如图所示之 上的弯矩方程为
(a) 挠度曲线微分方程为
(b) 将上式积分一次,得 图 7-5 (c) 再积分一次,得
(d) 利用约束条件,可确定上述方程中的积分常数 C、 对于固定端截面, D。 其转角和挠度均为零, 即
将其代入方程(c)和(d),解得 C=0, D=0 于是该梁的转角方程和挠度方程分别为
(e) (f) 挠曲线的形状如图 7-5 中虚线所示。 即 与 均发生在自由端处,由式(e)、(f)求得
即
所得的 下。
为负值,说明截面 B 作顺时针方向转动;
为负值,说明截面 B 的挠度向
【例 7-2】简支梁在左端支座处承受集中力偶作用,如图 7-6 所示.求梁的转角方程和挠 度方程,并确定 【解】建立 和 。
坐标系,并写出梁的弯矩方程
可以发现,它与上例中梁的弯矩方程 完全相同,因此在 的范围
内,梁的挠度曲线微分方程及其积分 也必然相同.于是有
(a) (b)
图 7-6
所不同的是,二者的约束条件不同。因而,积分常数与上例也有
所区别。 本例中,A、B 两处分别为铰支座和辊轴支座,两处的挠度均为零,但截面的转角不为 零。于是有
将其代入(a)、(b)二式,解得 C= D=0
于是,得到梁的转角方程和挠度方程分别为 (c) (d) 挠曲线的大致形状如图 7-6 中的虚线所示. 将 和 分别代入式(c),便得到 A、B 两支座处截面的转角分别为
故
=
,发生在 A 支座处。 ,由此解得 ,此即最大挠度截面的位置.将其代入式(d),
为求最大挠度,可令 求得
而梁跨度中点的挠度为
比较最大挠度
和跨中挠度
,可以看出,两者的位置相差
,而两者挠度值仅相差
3%。故工程中为简化计算,常以跨中挠度代替最大挠度。
比较上面两例中的梁,不难发现,因二者的受力(弯矩)和抗弯刚度都完全相同,故它 们的挠曲线形状也相同,但由于约束条件不同,二者挠曲线的最终位置便不完全相同。这是 因为弯矩和抗弯刚度只决定了挠度曲线的形状, 而梁的位移还要取决于梁的约束条件。 约束 条件对挠曲线的影响是通过积分常数体现的。
【例 7-3】简支梁 AB 受力如图 7-7 所示(图中 a > b)。求梁的转角方程和挠度方程,并 确定挠度的最大值。 【解】梁的支座反力及所选 坐标系均示于图中。 由于集中力 加在两支座之间,弯矩方程在 AC、 两段中互不相同, CB 所以应 分段建立挠度曲线微分方程。 AC 段 图 7-7
(a) CB 段
(b) 将上述(a)、(b)式积分后得 (c)
(d)
(e)
(f) 确定四个积分常数( 提供的约束条件为 、 、 、 )需要四个边界条件。在支座 A 和 B 处可
(g) 在弹性范围内加载时,梁的挠曲线是一条连续光滑的曲线。因此,在 AC 和 CB 段的分段处 ,两段的挠度与转角必须对应相等,即 (h) 此即连续条件。将(g)和(h)式代入(c)、(d)、(e)、(f)各式,求得
于是梁 AC 和 CB 段的转角和挠度曲线方程分别为 (i)
(j)
(k)
(l) 为求 ,令 (由于假设 a>b,可以判断出 将发生在 AC 段内),解得 (m)
将
值代入式(k)得
由式(m)可以看出,当载荷 P 无限靠近支座 B 时,即 b
时,则
这说明,即使在这种极限情况下,梁最大挠度的所在位置仍与梁的中点非常接近.因此可以近 似地用梁中点处的挠度来代替梁的实际最大挠度。以 为 代入式(k),求得梁中点处的挠度
以
代替
所引起的误差不超过 3%。 ,则有
若载荷 P 作用在跨度中点,即
顺便指出,对式(b)积分时,没将 续条件时,可以得到 ,
的括号打开,而直接对 ,使计算过程得以简化。
积分。这样,在利用连
范文二:】小挠度曲线微分方程[教育]
小挠度曲线微分方程
忽略剪力对变形的影响,梁平面弯曲的曲率公式
为:
(a) 式(a)表明梁轴线上任一点的曲率与该点处
横截面上的弯矩成正比,而与该截面的抗弯刚
度成反比。如图7-2所示。
而梁轴线上任一点的曲率与挠曲线方程之间
存在下列关系:
(b) 将上式代入式(a),得到
(c)
小挠度条件下,,式(c)可简化为:
(d)
在图7-3所示的坐标系中,正弯矩对应
着的正值(图7-3a),负弯矩对应
着 的负值(图7-3b),故式(d)
左边的符号取正值
(7-1) 式(7-1)称为小挠度曲线微分方程,简称小挠度微分方程。显然,小挠度微分方程仅适 用于线弹性范围内的平面弯曲问题。
用积分法求梁的位移
将式(7-1)分别对x 积分一次和二次,便得到梁的转角方程和挠度方程:
(a)
(b)
其中C、D为积分常数,由边界条件和连续条件确定。
对于载荷无突变的情形,梁上的弯矩可以用一个函数来描述,则式(a)和(b)中将仅有两个积分常数,由梁的边界条件(即支座对梁的挠度和转角提供的限制)确定。两种典型的边界条件如图7-4所示。
对于载荷有突变(集中力、集中力偶、分布载荷间断等)的情况,弯矩方程需要分段描述。对式(a)和(b)必须分段积分,每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线,在分段点处,相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件,这就是连续条件。
【例7-1】 悬臂梁受力如图7-5所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定最大转角
和最大挠度。
【解】首先建立如图所示之坐标系.因为在范围内无载荷突变,故梁全长上的弯矩方程为
(a)
挠度曲线微分方程为
(b)
将上式积分一次,得
(c) 图7-5 再积分一次,得
(d)
利用约束条件,可确定上述方程中的积分常数C、D。对于固定端截面,其转角和挠度均为零,即
将其代入方程(c)和(d),解得
C=0, D=0
于是该梁的转角方程和挠度方程分别为
(e)
(f)
挠曲线的形状如图7-5中虚线所示。与均发生在自由端处,由式(e)、(f)求得
即
即
所得的为负值,说明截面B作顺时针方向转动;为负值,说明截面B的挠度向下。
【例7-2】简支梁在左端支座处承受集中力偶作用,如图7-6所示.求梁的转角方程和挠度方程,并确定和 。
【解】建立坐标系,并写出梁的弯矩方程
可以发现,它与上例中梁的弯矩方程完全相同,因此在
的范围内,梁的挠度曲线微分方程及其积
分也必然相同.于是有
(a)
图7-6
(b)
所不同的是,二者的约束条件不同。因而,积分常数与上例也有所区别。
本例中,A、B两处分别为铰支座和辊轴支座,两处的挠度均为零,但截面的转角不为零。于是有
将其代入(a)、(b)二式,解得
,, ,,,
于是,得到梁的转角方程和挠度方程分别为
(c)
(d)
挠曲线的大致形状如图7-6中的虚线所示.
将和分别代入式(c),便得到A、B两支座处截面的转角分别为
故=,发生在A支座处。
为求最大挠度,可令,由此解得,此即最大挠度截面的位置.将其代入式(d),
求得
而梁跨度中点的挠度为
比较最大挠度和跨中挠度,可以看出,两者的位置相差,而两者挠度值仅相差3%。故工程中为简化计算,常以跨中挠度代替最大挠度。
比较上面两例中的梁,不难发现,因二者的受力(弯矩)和抗弯刚度都完全相同,故它们的挠曲线形状也相同,但由于约束条件不同,二者挠曲线的最终位置便不完全相同。这是因为弯矩和抗弯刚度只决定了挠度曲线的形状,而梁的位移还要取决于梁的约束条件。约束条件对挠曲线的影响是通过积分常数体现的。
【例7-3】简支梁AB受力如图7-7所示(图中a > b)。求梁的转角方程和挠度方程,并确定挠度的最大值。
【解】梁的支座反力及所选坐标
系均示于图中。由于集中力加在两支
座之间,弯矩方程在AC、CB两段中
互不相同,所以应分段建立挠度曲线
微分方程。
AC段
图7-7
(a)
CB段
(b)
将上述(a)、(b)式积分后得
(c)
(d)
(e)
(f)
确定四个积分常数(、、、)需要四个边界条件。在支座A和B处可提供的约束条件为
(g) 在弹性范围内加载时,梁的挠曲线是一条连续光滑的曲线。因此,在AC和CB段的分段处
,两段的挠度与转角必须对应相等,即
(h)
此即连续条件。将(g)和(h)式代入(c)、(d)、(e)、(f)各式,求得
于是梁AC和CB段的转角和挠度曲线方程分别为
(i)
(j)
(k)
(l)
为求,令(由于假设a>b,可以判断出将发生在AC段内),解得
(m)
将值代入式(k)得
由式(m)可以看出,当载荷P无限靠近支座B时,即b时,则
这说明,即使在这种极限情况下,梁最大挠度的所在位置仍与梁的中点非常接近.因此可以近似地用梁中点处的挠度来代替梁的实际最大挠度。以代入式(k),求得梁中点处的挠度为
以代替所引起的误差不超过3%。
若载荷P作用在跨度中点,即,则有
顺便指出,对式(b)积分时,没将的括号打开,而直接对积分。这样,在利用连续条件时,可以得到, ,使计算过程得以简化。
范文三:柱体限制失稳形态的统一挠度曲线方程
柱体限制失稳形态的统一挠度曲线方程 第39卷第6期
2011年6月
同济大学(自然科学版)
JOURNALOFTONGJIUNIVERSITY(NATURALSCIENCE)
Vo1.39No.6
Jun.2011
文章编号:0253—374X(2011)06—0798—04DOI:10.3969/j.issn.0253—374x.2011.06.002
柱体限制失稳形态的统一挠度曲线方程
武秀根,郑百林,贺鹏飞,刘曙光
(1.同济大学土木工程学院,上海200092;2.同济大学航空航天与力学学院,上海200092)
摘要:在大变形框架下,基于点接触和线接触状态,分析轴向
受压失稳柱在不同接触状态下的挠度曲线方程.将柱整体的
失稳形态分解为多个典型柱的变形,引入各个典型柱反弯点
处的截面转角作为变量,推导得到了相应典型柱的挠度曲线
表达式.结果表明,柱的限制失稳形态可用统一的挠度曲线
方程描述,截面转角变量的不同取值范围决定了柱与限制失
稳构件之间不同的接触状态.
关键词:限制失稳;大变形;点接触;线接触;截面转角
中图分类号:O317文献标识码:A
DeflectionGoverningEquationofConstrained BucklingonColumn
WUXiwen,INgTgGBailin.,HEPatgfei.,删Shuguang
(1.CollegeofCivilEngineering,TongjiUniversity,Shanghai200092
China;2.CollegeofAerospaceEngineeringandAppliedMechanics
TongjiUniversity,Shanghai200092,China)
Abstract:Theconstitutiveequationofpost—bucklingcolumn
isderivedbasedonlargedeformationpostulationtodescribe pointcontactandlinecontactrespectively.Thedeformationof columncanberegardedasthecombineddeformationsof differenttypicalsmallcolumns.Theangleofrotationofthe middlepointintypicalcolumnisintroducedintheconstitutive equationsofdifferenttypicalcolumns.Theresultsshowthat theconstitutiveequationsindifferentcontactstateobeythe sameformulation,andthecontactstatedependsonthevalue ofnewintroducedvariable.
Keywords:constrainedbuckling;largedeformation;point contact;linecontact;angleofcrossrotation
工程结构中,为提高轴向受压柱的极限承载力,
常常在失稳柱的外围布置限制其失稳波形发展的限
制构件l1],失稳位移受到限制,因而能继续承载.
轴向受压柱的限制失稳问题,属于后屈曲的范
畴,其承载能力和后屈曲形态有极大的关系.
Chateau等[3]对存在单侧限制的弹性结构的分岔和
稳定性问题进行了一般意义上的研究,采用能量原
理建立平衡方程.吕和祥等[4]引入拉格朗日乘子,采
用数学规划法计算了外部受限制结构的临界载荷.
Domokos等l_5]在1997年研究了压柱在两平行,刚
性,光滑的约束面之间的后屈曲行为,分析了柱与刚
性面之间的不同接触状态.HerzlChaiE]采用聚碳酸
酯材料制作细长的受压柱,使受压柱在刚性面之间
发生限制失稳,观察细柱的失稳波形及其演化.申波
,外弹性 等[_7研究了双钢管构件在受轴向压力时,内
变形构件之间由点接触状态到线接触状态之间的连
续过渡过程中,接触力等变量的连续变化.
本文根据点接触和线接触的概念,在大变形框
架下,引入截面转角作为统一变量,推导了点,线接
触状态下的受压柱失稳形态方程.结果表明,不同的 接触状态下,柱的失稳形态具有相同的方程形式,根 据截面转角变量的不同取值范围区分不同的接触
状态.
1分析模型
以一平面轴向受压柱为研究对象.柱受压发生
欧拉失稳后,两侧的失稳变形受到约束,进入后屈曲 阶段,如图1所示.图中,P为柱所受的轴向力,L为
柱的原始长度,h为柱未受压时,距离两侧约束壁面 的距离.
收稿日期:2010—03—09
基金项目:国家自然科学基金资助项目(11002101) 第一作者:武秀根(1981一),男,工学博士,博士后,主要研究方向为结构稳定性.E—
mail:wuxiugen@tongji.edu.cn 通讯作者:郑百林(1966一),男,教授,工学博士,博士生导师,主要研究方向为计算力
学和复合材料力学.
E—mail:blzheng@tongji.edu.cn 第6期武秀根,等:柱体限制失稳形态的统一挠度曲线方程 .
三三==三『]餮
————
三二V
图1轴向受压柱的限制失稳
Fig.1Constrainedbucklingofcolumnunder
axialcompressedload
为计算及分析方便,做量纲一化处理,各种变
量的量纲一化约定如下:
M:.F:.s:羔
7了
其中,F为力,M为弯矩,为位移;EI为抗弯刚度.相 应的无上划线的变量为其量纲一量.
该量纲一化公式里的变量并不代表后续分析中 的具体变量,仅规定了当具体模型的变量类型为力, 弯矩和位移时应分别采用的量纲一化方法. 由于两端约束的对称性,因此柱的各段失稳挠 曲线也具有对称性或反对称性,因此可以选择具有 代表性的部分挠度曲线进行分析,然后根据对称性 或反对称得到整个柱的后屈曲挠度曲线. 2挠度曲线方程的求解
2.1点接触过程
点接触过程中,存在两典型柱段的变形:靠近端 部的柱的挠度和中间部分柱的挠度.
分别在两典型柱段的反弯点建立局部坐标系, 如图2,图4所示.根据对称性,取典型柱段的一半 ,一,,^,
分析,C为AB段的反弯点,也即中点,D为BE段的反 弯点,也即中点.点B,E为柱与约束壁面之间的接 触点,坐标系Y为在C点建立的局部坐标系, 坐标系DxzYz为在D点建立的局部坐标系.分别用 /,/,
瓦,b表示AB,BE的水平距离.
A
圭垫一__卜—正
图2点接触过程局部分析坐标系的建立 Fig.2Establishmentoflocalanalysiscoordinateunder
pointcontactstate
图3中,8为C到B点的弧长,则的长度为 2s,在反弯点处的量纲一剪力记为,在8=0(即C 点处)柱截面转角为.,端点B的坐标为(a/2,h/2),
为量纲一轴向力.图4中,8为D点到B点的弧 ,
长,则B目的弧长为2s,在8=0(即D点处)柱截面转 角为b,端点B在2DY2处的坐标为(b/2,).2为 D点处量纲一剪力.
1
1
广_
l
五Jr
—
图3AB段的局部坐标系
/,
Fig.3LocalanalysiscoordinateofAB
2
B
J
@(s),(s))\
地
1rJ
lD
图4BE的局部坐标系
Fig.4LocalanalysiscoordinateofBE
2.1.1端部挠度曲线
对CD部分,按照图3所示的坐标系进行分析. 量纲一平衡微分方程]:
+1COS=0?
令:一,依据文献[8]类似的推导过程,得 2
f
ds)=丽[志sin+
——,
cosl(2
~/1+;.J
令tana=r1,=一a,贝40=?一a. 令sin(sin(詈)一sin()sin声=
P1sin[.],式(2)化为
1(do)=2,1研pcoS2(3) 同济大学(自然科学版)第39卷 显然,当s0时,号,由式(3)得
s=————一EK(p)一F((s),P1)](4)
,/2(1+r1)1/4
其中,K(P)为第一类完全椭圆积分,F((8),P)
为第一类不完全椭圆积分l8], r罢1
K(P1)=I_二二兰二d声,~/ 1一P{sin.
r(s)1
F(声(8),P1)=I_二二ld声.
,/1一Pisin2
因为:JCOS(0(8))ds,Y=JCOS(0(8))ds,又 =一a,故由式(4)可得
1(p1)一
2刚,一
K(P1)+F(,P1)一2pl1COS](5) 11E2p
1COS声+
1(2E(P1)一2E(?,P1)一K(P1)+F(,P1))] (6)
其中,E(p1)=I~/1一p~sin2声de,E(,P)= f藕d,K(P1):f专二1_一de,
..J1一p~sin2d
F(,P1)=I_===lde
~/1一p~sin2?
E(P)为第二类完全椭圆积分,E(,P)为第二类 不完全椭圆积分.
2.1.2中间部分挠度曲线分析
采用相同的方法,可以推导得到中间段变形挠 度曲线BE的弧长和直角坐标表达式,8为其长度. 令2:一_t"_2,tan=2,=一卢,P2=
sin()'Sin(詈)=Pzsin8=82时.
:
f一——L——Lde8(7)=l一————(/) 专(1+)/郦
一
去[2z,一
K(P2)+F(,P2)一2p2r2cos](8) 去2"z2Ec一
2.2线接触过程
柱与约束面之间的线接触过程,柱的挠度可分 为三部分典型的变形(图5):靠近固定端的端部柱的 /—,,一\
挠度AB,柱与约束面之间的直线接触段BE,中间部 /,
分柱的挠度EF.依据与点接触相同方法,可以建立
线接触过程各部分的挠度曲线方程.
A
图5线接触过程,局部分析坐标系的建立 Fig.5Establishmentoflocalanalysiscoordinateunder
pointlinecontactstate 3点接触和线接触过程挠度曲线方程
的比较
可以发现,虽然推导过程不同,但点接触过程与 线接触过程中的长度以及直角坐标的表达式在形式 上存在着统一性.
以端部挠曲线为例,点接触过程中,长度以直角 坐标的表达式分别为式(4),(6).线接触过程,相应 的计算式分别为式(7),(9).
可以发现,点接触过程和线接触过程中,长度以 及直角坐标的计算式在形式上完全相同,当8=0 时,都存在:.区别在于点接触过程中,P= sin():sin(),其中为反弯点处截面转
角.而线接触过程中,P=sin(导);s=s时,点接 触过程,(s)=声一詈?声?詈,而线接触过 程,(81)=一妄.
反弯点截面转角.和参数(8)随轴向载荷的 变化曲线见图6和图7.
从点接触,线接触的计算公式比较可以看出,线 接触的计算公式可以退化到点接触.当式(7),(8)和 (9)中的(s)>一时,为点接触计算表达式,当 (8)=一_兰_时,为线接触计算表达式.中间部分典 第6期武秀根,等:柱体限制失稳形态的统一挠度曲线方程801
型柱的挠度曲线方程存在着同样的特点,点接触和 线接触过程的挠度曲线方程均相同,依靠参数(8)
的不同取值确定不同的接触状态.
或(2?
兀
2
图6反弯点处截面转角0的变化示意图
Fig.6Relationshipbetweenaxialloadand0n (s?)
图7接触点处参数(s)变化示意图
Fig.7Relationshipbetweenaxialloadand(s1) 4结论
本文在大变形框架下,通过合理的建立局部分
析坐标系,引入典型柱反弯点的截面转角作为变量,
得到了失稳柱的挠度曲线方程.引入反弯点处的截
面转角作为变量后,点接触和线接触状态下的挠度
曲线方程可以采用统一的表达式形式,而截面转角
不同的取值即决定了柱的不同接触状态.
采用统一的表达式形式描述柱在不同接触状态
下的限制失稳波形,不仅可以简化分析过程,减少分
析变量,而且对进一步研究柱失稳形态的连续变化
过程和截面转角大于临界值,导致发生失效等极限
失稳状态提供了便利.
参考文献:
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范文四:曲线和方程典型例题
典型例题一
C例1 如果命题“坐标满足方程的点都在曲线上”不正确,那么以下正,,fx,y,0
确的命题是
C(A)曲线上的点的坐标都满足方程( ,,fx,y,0
CC(B)坐标满足方程的点有些在上,有些不在上( ,,fx,y,0
C(C)坐标满足方程的点都不在曲线上( ,,fx,y,0
C(D)一定有不在曲线上的点,其坐标满足方程( ,,fx,y,0
C分析:原命题是错误的,即坐标满足方程的点不一定都在曲线上,易知,,fx,y,0
答案为D(
典型例题二
ly,1例2 说明过点且平行于轴的直线和方程所代表的曲线之间的关系( xP(5,,1)
分析:“曲线和方程”的定义中所列的两个条件正好组成两个集合相等的充要条件,二者缺一不可(其中“曲线上的点的坐标都是方程的解”,即纯粹性;“以方程的f(x,y),0
解为坐标的点都是曲线上的点”,即完备性(这是我们判断方程是不是指定曲线的方程,曲线是不是所给方程的曲线的准则(
llP解:如下图所示,过点且平行于轴的直线的方程为,因而在直线上的点xy,,1
ly,1y,1y,1的坐标都满足,所以直线上的点都在方程表示的曲线上(但是以这个
llly,1方程的解为坐标的点不会都在直线上,因此方程不是直线的方程,直线只是方程y,1所表示曲线的一部分(
说明:本题中曲线上的每一点都满足方程,即满足纯粹性,但以方程的解为坐标的点不都在曲线上,即不满足完备性(
典型例题三
例3 说明到坐标轴距离相等的点的轨迹与方程所表示的直线之间的关系( y,x
分析:该题应该抓住“纯粹性”和“完备性”来进行分析(
解:方程所表示的曲线上每一个点都满足到坐标轴距离相等(但是“到坐标轴距y,x
离相等的点的轨迹”上的点不都满足方程,例如点到两坐标轴的距离均为3,y,x(,3,3)
但它不满足方程(因此不能说方程就是所有到坐标轴距离相等的点的轨迹方程,y,xy,x
到坐标轴距离相等的点的轨迹也不能说是方程所表示的轨迹( y,x
说明:本题中“以方程的解为坐标点都在曲线上”,即满足完备性,而“轨迹上的点的坐标不都满足方程”,即不满足纯粹性(只有两者全符合,方程才能叫曲线的方程,曲线才能叫方程的曲线(
典型例题四
22k例4 曲线与直线有两个不同的交点,求的取值范y,k(x,2),4x,(y,1),4
围(有一个交点呢,无交点呢,
分析:直线与曲线有两个交点、一个交点、无交点,就是由直线与曲线的方程组成的方程组分别有两个解、一个解和无解,也就是由两个方程整理出的关于的一元二次方程的判x
,,0,,0,,0,别式分别满足、、(
y,k(x,2),4,,解:由 ,22xy,(,1),4.,
222得 (1,k)x,2k(3,2k)x,(3,2k),4,0
2222? ,,4k(3,2k),4(1,k)[(3,2k),4]
2 ,,4(4k,12k,5)
,,4(2k,1)(2k,5)
15,,0,k,?当即,即时,直线与曲线有两个不同的交点( (2k,1)(2k,5),022
15,,0k,k,当即,即或时,直线与曲线有一个交点( (2k,1)(2k,5),022
15,,0k,k,当即(2k,1)(2k,5),0,即或时,直线与曲线没有公共点( 22
说明:在判断直线与曲线的交点个数时,由于直线与曲线的方程组成的方程组解的个数
yx与由两方程联立所整理出的关于(或)的一元方程解的个数相同,所以如果上述一元方程是二次的,便可通过判别式来判断直线与曲线的交点个数,但如果是两个二次曲线相遇,两曲线的方程组成的方程组解的个数与由方程组所整理出的一元方程解的个数不一定相同,所
以遇到此类问题时,不要盲目套用上例方法,一定要做到具体问题具体分析(
典型例题五
例5 若曲线与有两个公共点,求实数的取值范围( y,axay,x,a(a,0)
分析:将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”,从而研究一元二次方
程的解的个数问题(若将两条曲线的大致形状现出来,也许可能得到一些启发(
,y,ax解法一:由得: y,ay,a,y,x,a,
222?,?, y,0y,a(y,a)
2234即( (a,1)y,2ay,a,0
要使上述方程有两个相异的非负实根(
,642,,,4a,4a(a,1),0
,32a,则有: ,0,2a,1,4,a,0,2a,1,
a,0又?
a,1?解之得:(
?所求实数的范围是( a(1,,,)
y,x,ay,axy解法二:的曲线是关于轴对称且顶点在原点的折线,而表示斜率
a,1为1且过点的直线,由下图可知,当时,折线的右支与直线不相交(所以两曲(0,a)
a,1线只有一个交点,当时,直线与折线的两支都相交,所以两条直线有两个相异的交点(
说明:这类题较好的解法是解法二,即利用数形结合的方法来探求(若题设条件中a,0a,R“”改为呢,请自己探求(
典型例题六
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,AOBAOB例6 已知,其中,,,则角平分线的方程是A(6,0)O(0,0)B(0,3)
(如下图),对吗, y,x
分析:本题主要考查曲线方程概念掌握和理解的程度,关键是理解三角形内角平分线是一条线段(
,AOBOC解:不对,因为内角平分线是一条线段,而方程的图形是一条直线(如y,x
,AOBAOB点坐标适合方程,但点P不在内角的平分线上( y,xP(8,8)
AOB综合上述内角平分线为:( y,x(0,x,2)
说明:判断曲线的方程或方程的曲线,要紧扣定义,两个条件缺一不可,关键是要搞清楚曲线的范围(
典型例题七
2例7 判断方程所表示的曲线( y,,x,2x,1
分析:根据方程的表面形式,很难判断方程的曲线的形状,因此必需先将方程进行等价变形(
2解:由原方程可得: y,,x,2x,1
,x,1(x,1),,y,y,,x,1,即 ,x,1(x,1),,
2方程?的曲线是两条射线,如图所示: y,,x,2x,1
x,1,y,2说明:判断方程表示的曲线,在化简变形方程时要注意等价变形(如方程
22x,1等价于且,即,原方程的曲线是抛物线一部分( (x,1),y,2y,(x,1),2(x,1)
典型例题八
例8 如图所示,已知、是两个定点,且,动点到定点的距离是4,ABMAAB,2
l线段的垂直平分线交线段于点,求动点的轨迹方程( MBMAPP
P分析:本题首先要建立适当直角坐标系,动点满足的条件(等量关系)题设中没有明显
PB给出,要从题意中分析找出等量关系(连结,则PM,PB,由此
PABPA,PB,PA,PM,AM,4,即动点到两定点,距离之和为常数(
OABAB解:过,两点的直线为轴,,两点的中点为坐标原点,建立直角坐标系 x
ABAB,2?,?,两点坐标分别为,( (,1,0)(1,0)
lPBBM连结(?垂直平分线段,
PM,PB?,
PA,PB,PA,PM,AM,4(
设点,由两点距离公式得 P(x,y)
2222(x,1),y,(x,1),y,4,
化简方程,移项两边平方得(移项)
222(x,1),y,4,x(
两边再平方移项得:
22xyP,,1,即为所求点轨迹方程( 43
PAB说明:通过分析题意利用几何图形的有关性质,找出点与两定点,距离之和为4常数,是解本题的关键(方程化简过程也是很重要的,且化简过程也保证了等价性(
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典型例题九
例9 过点作两条互相垂直的直线,,若交轴于,交轴于,求ABy,,P2,4lllll22111
线段中点的轨迹方程( ABM
解:连接,设,则,y PM,,,,Mx,yA2x,0
P ( ,,B0,2y
B
? l,l12
M ? ,PAB为直角三角形(
由直角三角形性质知 A x O
1PM,AB 2图, 即
12222,,,,x,2,y,4,4x,4y 2
M化简得的轨迹方程为
x,2y,5,0
说明:本题也可以用勾股定理求解,还可以用斜率关系求解,因此本题可有三种解法(用
斜率求解的过程要麻烦一些(
典型例题十
222PA,PB,kkABP例10 求与两定点、满足(是常数)的动点的轨迹方程(
分析:按求曲线方程的方法步骤求解(
ABABAB解法一:如图甲,取两定点和的连线为轴,过的中点且与垂直的直线为x
y轴建立坐标系(
222222PA,(x,a),yPB,(x,a),yA(,a,0)B(a,0)P(x,y)设,,,则:,(
222222222PA,PB,k据题意,,有得( 4ax,k,,,,(x,a),y,(x,a),y,k
2kka,0由于是常数,且,所以为动点的轨迹方程,即动点的轨迹是一条平P,x4a
行于轴的直线( y
解法二:如图乙,取与两点连线为轴,过点且与垂直的直线为轴建立ABAAByx
坐标系(
222222PA,x,yPB,(x,a),y设,,,则:,( A(0,0)B(a,0)P(x,y)
22222222PA,PB,k,有, 据题意,,,,,x,y,(x,a),y,k
2222akak,,Pxx得,,即动点的轨迹方程为,,它是平行于轴的一条直线( y2a2a
解法三:如图丙建立坐标系,设,,,则 A(x,y)B(x,y)P(x,y)1122
222222PA,(x,x),(y,y)PB,(x,x),(y,y),( 1122
222PA,PB,k据题意,,有
22222,,,,, (x,x),(y,y),(x,x),(y,y),k1122
P整理后得到点的轨迹方程为:
22222,它是一条直线( 2(x,x)x,2(y,y)y,x,y,x,y,k,021211122
说明:由上面介绍的三种解法,可以看到对于同一条直线,在不同的坐标系中,方程不
同,适当建立坐标系如解法一、解法二,得到的方程形式简单、特性明显,一看便知是直线(而
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解法三得到的方程烦琐、冗长,若以此为基础研究其他问题,会引起不必要的麻烦(因此,在求曲线方程时,根据具体情况适当选取坐标系十分重要(另外,也要注意到本题所求的是轨迹的方程,在作解答表述时应强调曲线的方程,而不是曲线(
典型例题十一
例11 两直线分别绕着定点和()在平面内转动,且转动时保持相互垂直,ABAB,2a
求两直线的交点的轨迹方程( P
分析:建立适当的直角坐标系,利用直角三角形的性质,列出动点所满足的等式(
O解:取直线为轴,取线段的中点为原点建立直角坐标系,则: ABABx
222,,C,PPA,PB,AB,,属于集合( PA(,a,0)B(a,0)
22222222设,则,化简得( P(x,y)(x,a),y,(x,a),y,(2a)x,y,a
这就是两直线的交点P的轨迹方程(
说明:本题易出现如下解答错误:
O取直线ABAB为轴,取线段的中点为原点建立直角坐标系,则: x
,,,,P,,交点属于集合C,PPA,PB,Pk,k,,1( A(,a,0)B(a,0)PAPB
yyk,k,设,则,, P(x,y)(x,,a)(x,a)PAPBx,ax,a
yy222x,,a,,,1故,即()( x,y,ax,ax,a
PA,x要知道,当轴且另一直线与轴重合时,仍有两直线互相垂直,此时两直线交x
PB,xA点为(同样轴重合时,且另一直线与轴仍有两直线互相垂直,此时两直线交点x
B为(因而,与应为所求方程的解( A(,a,0)B(a,0)
x,,aPAPB纠正的方法是:当或的斜率不存在时,即时,和也A(,a,0)B(a,0)
222P在曲线上,故所求的点的轨迹方程是( x,y,a
求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还必须对以方程的解为坐标的点作考察,既要剔除不适合的部分,也不要遗漏满足条件的部分(
典型例题十二
Rt,ABCbABax例12 如图,的两条直角边长分别为和(a,b),与两点分别在轴
Cy的正半轴和轴的正半轴上滑动,求直角顶点的轨迹方程(
,ACB,AOB分析:由已知是直角,和两点在坐标轴上滑动时,也是直角,由AB
CO,ABC,,AOCC平面几何知识,、、、四点共圆,则有,这就是点满足的几AB
C何条件(由此列出顶点的坐标适合的方程(
CCO,ACB,,AOB,90:O解:设点的坐标为,连结,由,所以、、、AB(x,y)
C四点共圆(
bybyb,AOC,,ABCtan,ABC,tan,AOC,从而(由,,有,即y,x( ,axxaa
b注意到方程表示的是过原点、斜率为AB的一条直线,而题目中的与均在两坐标轴a
bC的正半轴上滑动,由于、为常数,故点的轨迹不会是一条直线,而是直线的一部分(我a
CAB与两点在坐标轴上的极端位置,确定点坐标的范围( 们可考察
A如下图,当点与原点重合时,
11ab22S,AB,x,a,b,xx,,所以( ,ABC2222a,b
Cx,BDB如下图,当点与原点重合时,点的横坐标(
2a2222a,bBC,BD,ABx,a,x,a,b由射影定理,,即,有(由已知,22a,b
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2aba所以( ,2222a,ba,b
2ababC故点的轨迹方程为:()( ,x,y,x2222aa,ba,b
说明:求出曲线上的点所适合的方程后,只是形式上的曲线方程,还必须对以方程的解
为坐标的点作考察,剔除不适合的部分(
典型例题十三
例13 过点作两条互相垂直的直线、,若交轴于,交轴于,ABylllxlP(3,2)2211
M在线段AB上,且,求M点的轨迹方程( AM:BM,1:3
分析:如图,设,题中几何条件是,在解析几何中要表示垂直关系的l,lM(x,y)12
M代数关系式就是斜率乘积为,1,所以要求的轨迹方程即、之间的关系,首先要把、yxl1
AB的斜率用、表示出来,而表示斜率的关键是用、表示、两点的坐标,由题yylxx2
MABABM可知是、的定比分点,由定比分点坐标公式便可找出、、坐标之间的关系,
ABM进而表示出、两点的坐标,并求出点的轨迹方程(
解:设,, M(x,y)A(a,0)B(0,b)
MABAM:BM,1:3?在线段上,且(
1MAB?分所成的比是, 3
a,x,,11,,4,3,a,x,,由,得, 3,1,b,,b,4y3,y,,1,1,,3,
4?、 A(x,0)B(0,4y)3
4y,22又?,?的斜率,的斜率( k,k,llP(3,2)22114,33,x3
24y,2?,?( l,l,,,1124,33,x3
化简得:( 4x,8y,13,0
99说明:本题的上述解题过程并不严密,因为需在x,时才能成立,而当x,时,k144
91x,3,的方程为(所以的方程是(故,可求得M(,),而llA(3,0)y,2B(0,2)214291(,)也满足方程(故所求轨迹的方程是(这类题在解4x,8y,13,04x,8y,13,042
答时应注意考虑完备性和纯粹性(
典型例题十四
AB例14 如图,已知两点,以及一直线,设长为2的线段P(,2,2)Q(0,2)l:y,x
lPAM在直线上移动(求直线和的交点的轨迹方程( QB
ABAB,2分析1:设,题中的几何条件是,所以只需用表示出、M(x,y)(x,y)
AAM两点的坐标,便可求出曲线的方程,而要表示点坐标可先找出、两点坐标的关系,PAMAMA显然、、三点共线(这样便可找出、坐标之间的关系,进而表示出的坐标,
B同理便可表示出的坐标,问题便可以迎刃而解(
解法一:设M(x,y)、A(a,a)、B(b,b)(b,a)(
a,2y,2,PAMPAMP由、、三点共线可得:(利用与斜率相等得到) a,2x,2
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2x,2y?( a,x,y,4
b,2y,2,由、、三点共线可得( BMQbx
2x?( b,x,y,2
2又由得( AB,22(a,b),2
2x2x,2yb,a,1?,?( ,,1x,y,2x,y,4
22化简和所求轨迹方程为:( x,y,2x,2y,8,0分析2:此题也可以先用PAMA、、三点共线表示出点坐标,再根据表AB,2
BBM示出点坐标,然后利用、、三点共线也可求得轨迹方程( Q
, 解法二:设M(x,y)A(a,a)
BBA由且在直线上且在的上方可得: y,xAB,2B(a,1,a,1)
2x,2y由解法一知, a,x,y,4
3x,y,43x,y,4? B(,)x,y,4x,y,4
BM又由、、三点共线可得: Q
3x,y,4,2y,2x,y,4,( 3x,y,4x
x,y,4
22化简得所求轨迹方程为:( x,y,2x,2y,8,0
ABy,xAB,2解法三:由于且在直线上 所以可设A(a,a),B(a,1,a,1)(
AP(a,2)(y,2),(a,2)(x,2)则直线的方程为:
直线的方程为: BQ(a,1)(y,2),(a,1)x
2,x,a,,1,,a由上述两式解得 (a,0),2,y,a,,1,a,
4,22(x,1),a,,42,,a? ,422,(y,1),a,,42,a,
22?, (x,1),(y,1),,8
22即( x,y,2x,2y,8,0
a,0而当AP时,直线与平行,没有交点( BQ
22?所求轨迹方程为( x,y,2x,2y,8,0说明:本题的前两种方法属于直接法,相对较繁,而后一种方法,事实上它涉及到参数
的思想(为参数),利用交点求轨迹方程(一般先把交点表示为关于参数的坐标,然后消去a
参数,这也反映出运动的观点(
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范文五:双曲线标准方程典型例题
1
(一)双曲线的标准方程典型例题
例 1 讨论
19252
2=-+-k
y k x 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 分析:由于 9≠k , 25≠k ,则 k 的取值范围为 9
解:(1) 当 9 , k b -=92 , 162 2 2 =-=b a c , 这些椭圆有共同的焦点(-4, 0) , (4, 0) . (2) 当 259 , k b -=92 , 16222=+=b a c ,这些双曲线也有共同的焦点(-4, 0) , ) (4, 0) . (3) k>25, 9=k , 25=k 时,所给方程没有轨迹. 例 2 已知双曲线 116 92 2=-y x 的右焦点分别为 1F 、 2F ,点 P 在双曲线上的左支上且 3221=PF PF ,求 21PF F ∠. 解:∵点 P 在双曲线的左支上, ∴ 621=-PF PF , ∴ 362212221=-+PF PF PF PF , ∴ 1002 221=+PF PF ∵ () 1004412222 2 1=+==b a c F F ,∴ 9021=∠PF F 例 3 已知 1F 、 2F 是双曲线 1422 =-y x 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 9021=∠PF F ,求 21PF F ?的面积 . 解:∵ P 为双曲线 14 22 =-y x 上的一个点且 1F 、 2F 为焦点.∴ 4221==-a PF PF , 2221==c F F ∵ 902 1=∠PF F ,∴在 21F PF Rt ?中, 202 2122 21==+F F PF PF ∵ () 162212 2212 21=-+=-PF PF PF PF PF PF ,∴ 1622021=-PF PF ,∴ 221=?PF PF ∴ 12 1 2121=?= ?PF PF S PF F 例 4在 ABC ?中, 2=BC ,且 A B C sin 2 1 sin sin = -,求点 A 的轨迹 . 解:以 BC 所在直线为 x 轴,线段 BC 的中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系,则 ()01, -B , ()01, C . 设 ()y x A , ,由 A B C sin 21sin sin = -及正弦定理可得:12 1 ==-BC AC AB ∵ 2=BC , ∴点 A 在以 B 、 C 为焦点的双曲线右支上设双曲线方程为:()00122 22>>=-b a b y a x , ∴ 12=a , 22=c , ∴ 21=a , 1=c , ∴ 43222=-=a c b , ∴所求双曲线方程为 13 4422 =- y x ∵ 01>=-AC AB , ∴ 2 1 > x , ∴点 A 的轨迹是双曲线的一支上挖去了顶点的部分 2 5. 在周长为 48的直角三角形 MPN 中, ?=∠90MPN , 4 3 tan = ∠PMN ,求以 M 、 N 为焦点, 且过点 P 的双曲线方程. 解:∵ MPN ?的周长为 48,且 4 3tan =∠PMN , ∴设 k PN 3=, k PM 4=,则 k MN 5=. 由 48543=++k k k ,得 4=k .∴ 12=PN , 16=PM , 20=MN 以 MN 所在直线为 x 轴,以∴ MN 的中点为原点建立直角坐标系, 设所求双曲线方程为 12222=+b y a x ) 0, 0(>>b a .由 4=-PN PM ,得 42=a , 2=a , 42 =a . 由 20=MN ,得 202=c , 10=c .由 962 2 2 =-=a c b ,得所求双曲线方程为 196 42 2=-y x . 例 6求下列动圆圆心 M 的轨迹方程: (1)与⊙ ()2222=++y x C :内切,且过点 ()02, A (2)与⊙ ()112 2 1=-+y x C :和⊙ ()412 22=++y x C :都外切. (3)与⊙ ( )93 221=++y x C :外切,且与⊙ ()13222=+-y x C :内切 . 解:设动圆 M 的半径为 r (1)∵⊙ 1C 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外 ∴ 2-=r MC , r =, 2=-MC MA ,∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,且有: 2 2=a , 2=c , 27222=-=a c b , ∴双曲线方程为 () 2172222 -≤=- x y x (2)∵⊙ M 与⊙ 1C 、⊙ 2C 都外切, ∴ 11+=r MC , 22+=r MC , 112=-MC MC ∴点 M 的轨迹是以 2C 、 1C 为焦点的双曲线的上支,且有:21= a , 1=c , 4 32 22=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为:??? ? ?≥=-43134422 y x y (3)∵⊙ M 与⊙ 1C 外切,且与⊙ 2C 内切, ∴ 31+=r MC , 12-=r MC , 421=-MC MC ∴点 M 的轨迹是以 1C 、 2C 为焦点的双曲线的右支,且有:2=a , 3=c , 52 2 2 =-=a c b ∴所求双曲线方程为:()215 42 2≥=-x y x 3 例 7 P 是双曲线 136642 2=-y x 上一点, 1F 、 2F 是双曲线的两个焦点,且 171=PF ,求 2PF 的值. 解:在双曲线 136 642 2=-y x 中, 8=a , 6=b ,故 10=c .由 P 是双曲线上一点,得 1621=-PF PF . ∴ 12=PF 或 332=PF .又 22=-≥a c PF ,得 332=PF . 说明:本题容易忽视 a c PF -≥2这一条件,而得出错误的结论 12=PF 或 332=PF . 例 8 若椭圆 122=+n y m x ) 0(>>n m 和双曲线 12 2=-t y s x ) 0, (>t s 有相同的焦点 1F 和 2F , 而 P 是这两条曲线的 一个交点,则 21PF PF ?的值是 ( ) . A . s m - B . ) (2 1 s m - C . 22s m - D . s m - 解:因为 P 在椭圆上,所以 m PF PF 221=+. 又 P 在双曲线上,所以 s PF PF 221=-. 两式平方相减,得 ) (4421s m PF PF -=?,故 s m PF PF -=?21.选 (A). 例 9. A 、 B 、 C 是我方三个炮兵阵地, A 和 B 正东 6千米, C 在 B 正北偏西 30°,相距 4千米, P 为敌炮阵地, 某时刻 A 处发现敌炮阵地的某种信号,由于 B 、 C 两地比 A 距 P 地远,因此 s 4后, B 、 C 才同时发现这一信号, 此信号的传播速度为 1, A 若炮击 P 地,求炮击的方位角. 分析:点 P 到 B 、 C 距离相等,因此点 P 在线段 BC 的垂直平分线上. 又 4=-PB ,因此 P 在以 B 、 A 为焦点的双曲线的右支上. 由交轨法可求 P 的坐标,进而求炮击的方位角. 解:如图,以直线 BA 为 x 轴,线段 BA 的中垂线为 y 轴建立坐标系,则 ) 0, 3(-B 、 ) 0, 3(A 、 ) 32, 5(-C . 因为 PC PB =,所以点 P 在线段 BC 的垂直平分线上. 因为 -=BC k , BC 中点 ) , 4(-D ,所以直线 ) 4(1 3+- =-x y D :. ① 又 4=-PB ,故 P 在以 A 、 B 为焦点的双曲线右支上. 设 ) , (y x P ,则双曲线方程为 15 42 2=-y x ) 0(≥x . ② 联立①、②式,得 8=x , 35=y 所以 ) 5, 8(P .因此 3 83 5=-= PA k . 故炮击的方位角为北偏东 ?30. 转载请注明出处范文大全网 » 】小挠度曲线微分方程