范文一:有关于合理膳食问题的数学模型
有关于合理膳食问题的数学模型
摘 要 本文对平衡膳食问题进行了研究并建立该问题的数学模型。这是一个有关于平衡膳食的食谱类的数学模型,我运用lingo软件进行求解,求出了结果并进行了灵敏度分析,通过价格的变动的出来结论。约束优化,然后可应用Lingo软件中的函数模型来进行模型的建立,我们知道Lingo中一个完整的模型由集合定义、数据段、目标函数、和约束条件等组成。本文的合理膳食题也是一个与最优化问题差不多的问题,将其优化成为一个线性规划,以每日人们摄取营养物质最少来满足最低需求,营养物质每日的摄取量以题目给出的摄取量为约束条件来进行计算,以花费最少和摄取营养物质最高为目标函数。对这个多目标函数,我采用了熵值法将多个目标组合成了一个目标,通过表格的各种约束条件一一罗列出来,然后再进行求解。将模型优化为一个线性规划,最后讲求的结果再进行分析,最终得出结论。
关键词:线性规划,lingo软件,目标函数
一、问题重述
某疗养院营养师要为某类病人拟订一周的菜单。可供选择的蔬菜及其费用和所含营养成分的数量以及这类病人每周所需各种营养成分的最低数量如表1.2所示。另外,为了口味的需要,规定一周内所用卷心菜不多于2份,其他蔬菜不
。建立数学模型回答下列问题: 多于4份
(1)若病人每周需要14份蔬菜,问选用每种蔬菜各多少份,可使生活费用最小。
(2)当市场蔬菜价格发生怎样波动时,你的模型仍然适用。
表一所需费用营养物质
每份蔬菜所含营养成分 费用 蔬菜 (元/份) 铁(mg) 磷(mg) VA(单位) VC(mg) 烟酸(mg) 青豆 0.45 10 415 8 0.3 1.5 胡萝卜 0.45 28 9065 3 0.35 1.5 花菜 1.05 50 2550 53 0.6 2.4 卷心菜 0.4 25 75 27 0.15 0.6 甜菜 0.5 22 15 5 0.25 1.8 土豆 0.5 75 235 8 0.8 1.0 每周营养 6.0 325 17500 245 5.0 最低需求量
表述:
这就是一个线性规划问题。现在随着人们社会生活水平的提高,进行合理搭配膳食也是越来越受到人们的重视,人类的食物是多种多样的。各种食物所含的营养成分不完全相同。除母乳外,任何一种天然食物都不能提供人体所需的全部
1
营养素.平衡膳食必须由多种食物组成,才能满足人体各种营养需要,达到合理营养、促进健康的目的,因而要提倡人们广泛食用多种食物。只要对食物合理搭配,也就是每天膳食合理了,人体摄入的营养就会均衡了,也就是充分发挥了食物中的营养成份。人的营养需求就会合理的。因此本课题就是需要对人体摄取营养物质进行合理搭配。有题目可以运用lingo或者单纯形法都可以进行分析解答。
二:问题分析:
该问题是数学模型中的线性规划问题,根据题目所给的表格我们可以清晰的分析出一种最优化的方案。要求为了口味的需要,规定一周内所用卷心菜不多于2份,其他蔬菜不多于4份,这是本题目一个最基本的要求。再就是对表格具体进行分析,既要满足人们每周一个最合理的营养搭配,又要搭配这些食物的时候要花费的费用最小。在费用方面我们要求把每种蔬菜的价格以及所需量X相乘并进行相加,然后在需要的硬要物质方面,在把所有营养物质想家的时候一定要大于最低所需求的营养物质,对于x1,x2,x3,x4,x5,x6变量有一个具体的要求范围,进行合理的计算,如果在费用方面,在营养物质摄取方面计算的不合理就会导致费用超额,所以建立模型的过程当中就要慎重考虑这些问题,这是不可忽视的,也是建模过程能否成功的关键。在建立模型过程中我们需要引入一些变量,我们要注意变量值要为非负。
三、模型假设:
1:假设每周营养物质供应充足,剩余部分并不能在供应。
2:假设各类蔬菜不会出现疯狂的涨价和跌价情况出现,保证费用的合理。 3:假设各类蔬菜所含的营养物质不会受到外界的影响,所含的营养物质不会变。 4:保证每一周的费用够用,不会出现费用短缺。
四、符号约定
假设各种蔬菜所需要的总费用为S
青豆所需要的份数为X1;
胡萝卜所需要的份数为X2;
花菜所需要的份数为X3;
卷心菜所需要的份数为X4;
甜菜所需要的份数为X5;
土豆所需要的份数为X6;
蔬菜的量为Bi
单价为Ci
总费用为ai
6,,minz,cixbi,,,s.t ,,i,1
,,cixbi,ai,,
2
表二
蔬菜 所需量 总费用
青豆 X1
胡萝卜 X2
花菜 X3 S 卷心菜 X4
甜菜 X5
土豆 X6
五、模型建立
所求的值就是MIN,也就是最优化结果。
求解:
食谱问题的数学模型为:
Mins=1.5*x1+1.5*x2+2.4*x3+0.6*x4+1.8*x5+1.0*x6;
0.45x1,0.45x2,1.05x3,0.4x4,0.5x5,0.5x6,,6.0,,
,,10x1,28x2,50x3,25x4,22x5,75x6,,325,,
,,415x1,9065x2,2550x3,75x4,15x5,235x6,,17500
,,8x1,3x2,53x3,27x4,5x5,8x6,,245,,S.t= ,,0.3x1,0.35x2,0.6x3,0.15x4,0.25x5,0.8x6,,5.0,,
,,x4,,2,,x1,x2,x3,x5,x5,,4,,
,,x1,x2,x3,x4,x5,x6,14,,
解释各个条件:
第一个公式是铁的含量大于等于
6.0mg0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>=6.0;
第二个公式是磷的含量大于等于325mg
10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>=325 第三个公式是VA的含量大于等于17500
415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>=17500;
第四个公式是VC的含量大于等于245
8*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>=245; 第五个公式是烟酸的含量大于等于5.0
0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+0.8*x6>=5.0;
第六个公式是卷心菜不多于2份其他各个蔬菜的份数小于等于4份
x4<><><><><><=4; 第七个公式是各个蔬菜的总份数加起来等于14="">=4;>
x1+x2+x3+x4+x5+x6=14;
3
六、模型求解
将以下公式输入到Lingo工作界面:
min=1.5*x1+1.5*x2+2.4*x3+0.6*x4+1.8*x5+1.0*x6; 0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>=6.0;
10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>=325; 415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>=17500; 8*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>=245; 0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+0.8*x6>=5.0;
x4<><><><><><=4; x1+x2+x3+x4+x5+x6="14;">=4;>
表三结果
Variable Value Reduce cost Slack or Dual price
surplus
X1 4.0 0 19.27 -1.0
X2 1.7 0 1.78 0
X3 2.3 0 227.6 0
X4 2.0 0 6525.5 0
X5 0 0.264 0 -0.18E-0.1
X6 4.0 0 1.675 0
最后我们可以得到各种费用以及所需营养物质的量情况如下表所示:
表四结果
蔬菜 所需量 总费用
青豆 4
胡萝卜 1.7
花菜 2.3 19.270 卷心菜 2
甜菜 0
土豆 4
七、结果分析
依据结果分析可知:
1:目标函数为19.27,即最优化方案所需要的费用为19.27.具体的情况为
每周每种蔬菜所需要的份数X1,X2,X3,X4,X5,X6分别为4,1.7,2.3,2,0,4合计共14份,可使成本达到最小,最小成本为19.27
2:“Reduced cost”表示当变量有微小变动时,目标函数的变化率。其中当基变量的reduced cost值应为0,对于非基变量Xj,相应的reduced cost值表示当
4
某一个变量Xj增加一个单位时目标函数的增加量。变量X5对应的reduced cost
值应为0.264,表示当非基变量X1的值从0变为1时(此时假设其他非基变量
保持不变,但为了满足约束条件,基变量显然会发生变化),最有目标函数
=19.27+0.264=19.514
3:“Slack or surplus”给出松弛变量的值:可以看出当X2,X3,X4都增加
的时候,费用减少一元。
4:“Dual price”(对偶价格)表示当对应约束有微小变动时,目标函数的变
化率
其他的结果经推理都较合理。输出结果中对应于每一个约束有一个对偶价
格,若其数值为P,表示对应约束中不等式右边若增加一个单位,目标函数增加
P个单位。显然,如果在最优解处取等号(也就是“紧约束”也成为有效约束或
者其作用约束),对偶价格才可能不是0.
八.灵敏度分析
Ranges in which the basis is unchanged:
Objective Coefficient Ranges:
Current Allowable Allowable
Variable Coefficient Increase Decrease
X1 1.500000 0.9000000E-01 INFINITY
X2 1.500000 0.2750000 0.1000000
X3 2.400000 6.600000 0.9000000
X4 0.6000000 1.332000 INFINITY
X5 1.800000 INFINITY 0.2640000
X6 1.000000 0.5900000 INFINITY
Righthand Side Ranges:
Current Allowable Allowable
Row RHS Increase Decrease
2 6.000000 1.780000 INFINITY
5
3 325.0000 227.6000 INFINITY
4 17500.00 6525.500 INFINITY
5 245.0000 50.08058 115.0000
6 5.000000 1.675000 INFINITY
7 2.000000 1.113035 2.000000
8 4.000000 0.8158405 2.555556
9 4.000000 INFINITY 2.300000
10 4.000000 INFINITY 1.700000
11 4.000000 INFINITY 4.000000
12 4.000000 0.7978847 2.555556
13 14.00000 2.169811 0.6900982
(1)系数价格分析
目标函数X1价格原来是1.5,允许增加到无穷大,或者允许减少
=0.9000000E-01 ,说明它在[0,+?]范围变化时,最优基本保持不变,由于此
时约束没有变化,所以最优基本保持不变的意思就是最优解不变。
对于X2来说,原来费用系数为1.5,允许增加到无穷大,或者允许减,0.275,
说明它在【1.5-0.275,+?)=【1.225,+?)范围变化时,最优基本保持不变
(2)约束中右端变化的分析
第二行约束中右端原来为6,当它在【6+1.78,6-1.78】=【7.78,4.22】范围变化
时,最优基本保持不变,以下几行都是这样,不过由于此时约束发生变化,最
优基即使不变,最优解、最优值也会发生变化。
八、模型的评价和改进
1:优点:模型简单明了,具有相当的可推广性,该模型具有较大的生存空
间,只需要改动少许数值便可进行推广应用,营养类和费用问题只需要进行合理
的搭配,一般不会对结果造成影响,可移植性较好,运用比较灵活。
2:缺点:模型考虑的影响因素较少,模型中有很多问题可以进行考虑,可
以是模型更加的完善,例如每个人其实每周所需要的营养物质的量是不同的,本
题目忽略了这个问题,还有问题当中的数值要一一输入,比较麻烦。
6
3:后续工作:本例题其实还可以用单纯型法和图解法等方法进行求解,一样可以达到很好的效果。尤其是使用图解法可以是整个文变得更加清晰明了,更加直观。
参 考 文 献
1 数学建模方法与范例,寿纪麟等编,西安交通大学出版社,1993 2 数学模型,濮定国、田蔚文主编,东南大学出版社,1994
3 郎艳怀,经济数学方法教程.上海:上海财经大学出版社,2004
7
附录:min=1.5*x1+1.5*x2+2.4*x3+0.6*x4+1.8*x5+1.0*x6;
0.45*x1+0.45*x2+1.05*x3+0.4*x4+0.5*x5+0.5*x6>=6.0;
10*x1+28*x2+50*x3+25*x4+22*x5+75*x6>=325;
415*x1+9065*x2+2550*x3+75*x4+15*x5+235*x6>=17500;
8*x1+3*x2+53*x3+27*x4+5*x5+8*x6>=245;
0.3*x1+0.35*x2+0.6*x3+0.15*x4+0.25*x5+0.8*x6>=5.0;
x4<><><><><><=4;>=4;>
x1+x2+x3+x4+x5+x6=14;
Global optimal solution found.
Objective value: 19.27000
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 5
Model Class: LP
Total variables: 6
Nonlinear variables: 0
Integer variables: 0
Total constraints: 13
Nonlinear constraints: 0
Total nonzeros: 48
Nonlinear nonzeros: 0
Variable Value Reduced Cost
X1 4.000000 0.000000
X2 1.700000 0.000000
X3 2.300000 0.000000
X4 2.000000 0.000000
X5 0.000000 0.2640000
X6 4.000000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 19.27000 -1.000000
2 1.780000 0.000000 3 227.6000 0.000000
4 6525.500 0.000000
5 0.000000 -0.1800000E-01
6 1.675000 0.000000
1
7 0.000000 1.332000
8 0.000000 0.9000000E-01
9 2.300000 0.000000
10 1.700000 0.000000
11 4.000000 0.000000
12 0.000000 0.5900000
13 0.000000 -1.446000
2
范文二:用于系统评价的数学模型有哪些
用于系统评价的数学模型有哪些
, 1)建模准备
数学建模是一项创新活动,它所面临的课题是人们在生产和科研中为了使认识和实践进一步发展必须解决的问题。“什么是问题,问题就是事物的矛盾,哪里有没解决的矛盾,哪里就有问题”。因此发现课题的过程就是分析矛盾的过程贯穿生产和科技中的根本矛盾是认识和实践的矛盾,我们分析这些矛盾,从中发现尚未解决的矛盾,就是找到了需要解决的实际问题,如果这些实际问题需要给出定量的分析和解答,那么就可以把这些实际问题确立为数学建模的课题,建模准备就是要了解问题的实际背景,明确建模的目的,掌握对象的各种信息,弄清实际对象的特征,情况明才能方法对。 (2)建模假设
作为课题的原型都是复杂的、具体的,是质和量、现象和本质、偶然和必然的统一体,这样的原型,如果不经过抽象和简化,人们对其认识是困难的,也无法准确把握它的本质属性。建模假设就是根据实际对象的特征和建模的目的,在掌握必要资料的基础上,对原型进行抽象、简化,把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来,简化掉那些非本质的因素,使之摆脱原型的具体复杂形态,形成对建模有用的信息资源和前提条件,并且用精确的语言作出假设,是建模过程关键的一步。对原型的抽象、简化不是无条件的,一定要善于辨别问题的主要方面和次要方面,果断地抓住主要因素,抛弃次要因素,尽量将问题均匀化、线性化,并且要按照假设的合理性原则进行,假设合理性原则有以下几点:
?目的性原则:从原型中抽象出与建模目的有关的因素,简化掉那些与建模目的无关的或关系不
大的因素。
?简明性原则:所给出的假设条件要简单、准确,有利于构造模型。
?真实性原则:假设条件要符合情理,简化带来的误差应满足实际问题所能允许的误差范围。 ?全面性原则:在对事物原型本身作出假设的同时,还要给出原型所处的环境条件。 (3)模型建立
在建模假设的基础上,进一步分析建模假设的各条件首先区分哪些是常量,哪些是变量,哪些是已知量,哪些是未知量;然后查明各种量所处的地位、作用和它们之间的关系,建立各个量之间的等式或不等式关系,列出表格、画出图形或确定其他数学结构,选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征,构造出刻画实际问题的数学模型。 在构造模型时究竟采用什么数学工具,要根据问题的特征、建模的目的要求以及建模者的数学特长而定 可以这样讲,数学的任一分支在构造模型时都可能用到,而同一实际问题也可以构造出不同的数学模型,一般地讲,在能够达到预期目的的前提下,所用的数学工具越简单越好。 在构造模型时究竟采用什么方法构造模型,要根据实际问题的性质和建模假设所给出的建模信息而定,就以系统论中提出的机理分析法和系统辨识法来说,它们是构造数学模型的两种基本方法。机理分析法是在对事物内在机理分析的基础上,利用建模假设所给出的建模信息或前提条件来构造模型;系统辨识法是对系统内在机理一无所知的情况下利用建模假设或实际对系统的测试数据所给出的事物系统的输入、输出信息来构造模型。随着计算机科学的发展,计算机模拟有力地促进了数学建模的发展,也成为一种构造模型的基本方法,这些构模方法各有其优点和缺点,在构造模型时,可以同时采用,以取长补短,达到建模的目的。 (4)模型求解
构造数学模型之后,再根据已知条件和数据分析模型的特征和结构特点,设计或选择求解模型的数学方法和算法,这其中包括解方程、画图形、证明定理、逻辑运算以及稳定性讨论,特别是编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包,并借助计算机完成对模型的求解。 (5)模型分析 根据建模的目的要求,对模型求解的数字结果,或进行变量之间的依赖关系分析,或进行稳定性分析,或进行系统参数的灵敏度分析,或进行误差分析等。通过分析,如果不符合要求,就修改或增减建模假设条件,重新建模,直到符合要求;通过分析如果符合要求,还可以对模型进行评
价、预测、优化等。 (6)模型检验
模型分析符合要求之后,还必须回到客观实际中去对模型进行检验,用实际现象、数据等检验模型的合理性和适用性,看它是否符合客观实际,若不符合,就修改或增减假设条件,重新建模,循环往复,不断完善,直到获得满意结果 目前计算机技术已为我们进行模型分析、模型检验提供了先进的手段,充分利用这一手段,可以节约大量的时间、人力和物力。 (7)模型应用 模型应用是数学建模的宗旨,也是对模型的最客观、最公正的检验 因此,一个成功的数学模型,必须根据建模的目的,将其用于分析、研究和解决实际问题,充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用。 以上介绍的数学建模基本步骤应该根据具体问题灵活掌握,或交叉进行,或平行进行,不拘一格地进行数学建模则有利于建模者发挥自己的才能。
关于软件有matlab lindo 等
, dongxianweia | 2009-12-26 00:17:05
, 二十世纪六十年代,产生了模糊数学这门新兴学科。
模糊数学的产生
现代数学是建立在集合论的基础上。集合论的重要意义就一个侧面看,在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。一组对象确定一组属性,人们可以通过说明属性来说明概念(内涵),也可以通过指明对象来说明它。符合概念的那些对象的全体叫做这个概念的外延,外延其实就是集合。从这个意义上讲,集合可以表现概念,而集合论中的关系和运算又可以表现判断和推理,一切现实的理论系统都一可能纳入集合描述的数学框架。
但是,数学的发展也是阶段性的。经典集合论只能把自己的表现力限制在那些有明确外延的概念和事物上,它明确地限定:每个集合都必须由明确的元素构成,元素对集合的隶属关系必须是明确的,决不能模棱两可。对于那些外延不分明的概念和事物,经典集合论是暂时不去反映的,属于待发展的范畴。
在较长时间里,精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中,获得显著效果。但是,在客观世界中还普遍存在着大量的模糊现象。以前人们回避它,但是,由于现代科技所面对的系统日益复杂,模糊性总是伴随着复杂性出现。
各门学科,尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中心地位。更重要的是,随着电子计算机、控制论、系统科学的迅速发展,要使计算机能像人脑那样对复杂事物具有识别能力,就必须研究和处理模糊性。
我们研究人类系统的行为,或者处理可与人类系统行为相比拟的复杂系统,如航天系统、人脑系统、社会系统等,参数和变量甚多,各种因素相互交错,系统很复杂,它的模糊性也很明显。从认识方面说,模糊性是指概念外延的不确定性,从而造成判断的不确定性。
在日常生活中,经常遇到许多模糊事物,没有分明的数量界限,要使用一些模糊的词句来形容、描述。比如,比较年轻、高个、大胖子、好、漂亮、善、热、远??。在人们的工作经验中,往往也有许多模糊的东西。例如,要确定一炉钢水是否已经炼好,除了要知道钢水的温度、成分比
例和冶炼时间等精确信息外,还需要参考钢水颜色、沸腾情况等模糊信息。因此,除了很早就有涉及误差的计算数学之外,还需要模糊数学。
人与计算机相比,一般来说,人脑具有处理模糊信息的能力,善于判断和处理模糊现象。但计算机对模糊现象识别能力较差,为了提高计算机识别模糊现象的能力,就需要把人们常用的模糊语言设计成机器能接受的指令和程序,以便机器能像人脑那样简洁灵活的做出相应的判断,从而提高自动识别和控制模糊现象的效率。这样,就需要寻找一种描述和加工模糊信息的数学工具,这就推动数学家深入研究模糊数学。所以,模糊数学的产生是有其科学技术与数学发展的必然性。
模糊数学的研究内容
1965年,美国控制论专家、数学家查德发表了论文《模糊集合》,标志着模糊数学这门学科的诞生。
模糊数学的研究内容主要有以下三个方面:
第一,研究模糊数学的理论,以及它和精确数学、随机数学的关系。察德以精确数学集合论为基础,并考虑到对数学的集合概念进行修改和推广。他提出用“模糊集合”作为表现模糊事物的数学模型。并在“模糊集合”上逐步建立运算、变换规律,开展有关的理论研究,就有可能构造出研究现实世界中的大量模糊的数学基础,能够对看来相当复杂的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。
在模糊集合中,给定范围内元素对它的隶属关系不一定只有“是”或“否”两种情况,而是用介于0和1之间的实数来表示隶属程度,还存在中间过渡状态。比如“老人”是个模糊概念,70岁
1,40岁的人肯定不算老人,它的从属程度为 0,按照查德给的肯定属于老人,它的从属程度是
出的公式,55岁属于“老”的程度为0.5,即“半老”,60岁属于“老”的程度0.8。查德认为,指明各个元素的隶属集合,就等于指定了一个集合。当隶属于0和1之间值时,就是模糊集合。
第二,研究模糊语言学和模糊逻辑。人类自然语言具有模糊性,人们经常接受模糊语言与模糊信息,并能做出正确的识别和判断。
为了实现用自然语言跟计算机进行直接对话,就必须把人类的语言和思维过程提炼成数学模型,才能给计算机输入指令,建立和是的模糊数学模型,这是运用数学方法的关键。查德采用模糊集合理论来建立模糊语言的数学模型,使人类语言数量化、形式化。
如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1,那么,其他文法稍有错误,但尚能表达相仿的思想的句子,就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“正确句子”的隶属程度。这样,就把模糊语言进行定量描述,并定出一套运算、变换规则。目前,模糊语言还很不成熟,语言学家正在深入研究。
人们的思维活动常常要求概念的确定性和精确性,采用形式逻辑的排中律,既非真既假,然后进行判断和推理,得出结论。现有的计算机都是建立在二值逻辑基础上的,它在处理客观事物的确定性方面,发挥了巨大的作用,但是却不具备处理事物和概念的不确定性或模糊性的能力。
为了使计算机能够模拟人脑高级智能的特点,就必须把计算机转到多值逻辑基础上,研究模糊逻辑。目前,模糊罗基还很不成熟,尚需继续研究。
第三,研究模糊数学的应用。模糊数学是以不确定性的事物为其研究对象的。模糊集合的出现是数学适应描述复杂事物的需要,查德的功绩在于用模糊集合的理论找到解决模糊性对象加以确切化,从而使研究确定性对象的数学与不确定性对象的数学沟通起来,过去精确数学、随机数学描述感到不足之处,就能得到弥补。在模糊数学中,目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊语言学、模糊逻辑学等分支。
模糊数学的应用
模糊数学是一门新兴学科,它已初步应用于模糊控制、模糊识别、模糊聚类分析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。在气象、结构力学、控制、心理学等方面已有具体的研究成果。然而模糊数学最重要的应用领域是计算机职能,不少人认为它与新一代计算机的研制有密切的联系。
目前,世界上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊计算机,1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机,它的推理速度是1000万次/秒。1988年,我国汪培庄教授指导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机,它的推理速度为1500万次/秒。这表明我国在突破模糊信息处理难关方面迈出了重要的一步。
模糊数学还远没有成熟,对它也还存在着不同的意见和看法,有待实践去检验。 参考资料:http://zhidao.baidu.com/question/1697051.html
范文三:数学模型的分类
数学模型是近?些年发展起来?的新学科,是数学理论与?实际问题相结?合的一门科学?。它将现实问题?归结为相应的?数学问题,并在此基础上?利用数学的概?念、方法和理论进?行深入的分析?和研究,从而从定性或?定量的角度来?刻画实际问题?,并为解决现实?问题提供精确?的数据或可靠?的指导。
根据研究目的?,对所研究的过?程和现象(称为现实原型?或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的?数学语言,概括地、近似地表达出?来的一种结构?,所谓“数学化”,指的就是构造?数学模型(通过研究事物?的数学模型来?认识事物的方?法,称为数学模型?方法(简称为MM方?法。
数学模型是数?学抽象的概括?的产物,其原型可以是?具体对象及其?性质、关系,也可以是数学?对象及其性质?、关系。数学模型有广?义和狭义两种?解释(广义地说,数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为?数学模型,狭义地说,只有反映特定?问题和特定的?具体事物系统?的数学关系结?构方数学模型?大致可分为二?类:(1)描述客体必然?现象的确定性?模型,其数学工具一?般是代效方程?、微分方程、积分方程和差?分方程等,(2)描述客体或然?现象的随机性?模型,其数学模型方?法是科学研究?相创新的重要?方法之一。在体育实践中?常常提到优秀?运动员的数学?模型。如经调查统计?(现代的世界级?短跑运动健将?模型为身高1?.80米左右、体重70公斤?左右,100米成绩?10秒左右或?更好等。
用字母、数字和其他数?学符号构成的?等式或不等式?,或用图表、图像、框图、数理逻辑等来?描述系统的特?征及其内部联?系或与外界联?系的模型。它是真实系统?的一种抽象。数学模型是研?究和掌握系统?运动规律的有?力工具,它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统?的基础。数学模型的种?类很多,而且有多种不?同的分类方法?。
静态和动态模?型 静态模型是指?要描述的系统?各量之间的关?系是不随时间?的变化而变化?的,一般都用代数?方程来表达。动态模型是指?描述系统各量?之间随时间变?化而变化的规?律的数学表达?式,一般用微分方?程或差分方程?来表示。经典控制理论?中常用的系统?的传递函数也?是动态模型,因为它是从描?述系统的微分?方程变换而来?的(见拉普拉斯变?换)。
分布参数和集?中参数模型 分布参数模型?是用各类偏微?分方程描述系?统的动态特性?,而集中参数模?型是用线性或?非线性常微分?方程来描述系?统的动态特性?。在许多情况下?,分布参数模型?借助于空间离?散化的方法,可简化为复杂?程度较低的集?中参数模型。
连续时间和离?散时间模型 模型中的时间?变量是在一定?区间内变化的?模型称为连续?时间模型,上述各类用微?分方程描述的?模型都是连续?时间模型。在处理集中参?数模型时,也可以将时间?变量离散化,所获得的模型?称为离散时间?模型。离散时间模型?是用差分方程?描述的。
随机性和确定?性模型 随机性模型中?变量之间关系?是以统计值或?概率分布的形?式给出的,而在确定性模?型中变量间的?关系是确定的?。
参数与非参数?模型 用代数方程、微分方程、微分方程组以?及传递函数等?描述的模型都?是参数模型。建立参数模型?就在于确定已?知模型结构中?的各个参数。通过理论分析?总是得出参数?模型。非参数模型是?直接或间接地?从实际系统的?实验分析中得?到的响应,例如通过实验?记录到的系统?脉冲响应或阶?跃响应就是非?参数模型。运用各种系统?辨识的方法,可由非参数模?型得到参数模?型。如果实验前可?以决定系统的?结构,则通过实验辨?识可以直接得?到参数模型。
线性和非线性?模型 线性模型中各?量之间的关系?是线性的,可以应用叠加?
原理,即几个不同的?输入量同时作?用于系统的响?应,等于几个输入?量单独作用的?响应之和。线性模型简单?,应用广泛。非线性模型中?各量之间的关?系不是线性的?,不满足叠加原?理。在允许的情况?下,非线性模型往?往可以线性化?为线性模型,方法是把非线?性模型在工作?点邻域内展成?泰勒级数,保留一阶项,略去高阶项,就可得到近似?的线性模型。
范文四:SARS传播的数学模型
图 5:改进后的预测曲线
图 6:提前 5天采取措施的预测曲线
若卫生部门提前 5天采取严格的隔离措施, 预测将会出现图 4的情况:累计 病例总数为 1958人,到第 100天就可实现零增长。
若滞后 5天才采取严格的隔离措施, 预测曲线如图 5所示, 疫情将延迟至第 121天才能基本消除,届时累计病例总数将达到 4487人。
若卫生部门的隔离措施滞后 15天才得到全面实施,将出现图 6的情况,到 第 139天疫情才能基本消除, 累计病例数将增至 10208人 , 比原来增长了约 8000多名患者。
图 7:滞后 5
天的预测曲线
图 8:滞后 15天的预测曲线
若社会及政府等相关部门加大宣传力度, 人们警觉性提高, 使有效接触率降 低, 设 k=0.8, 得到预测曲线图 7, 预计到第 92天疫情解除, 累计病例 2395人。
若卫生部门实施严格隔离措施,加大对与自由携带者相接触的人群的控制 力,设可控率提高到 7. 0=β, 3. 0=α。得到预测曲线图 8,预计到第 80天疫情
解除,累计病例 2545人。
以上预测结果表明, 加大宣传力度, 可以明显减少感染总数; 而加大控制力 度,可以显著减少疫情延续的时间。
根据以上预测结果,对 SARS 疫情的控制提出以下建议:
1、应尽早采取有效的控制措施。提早采取严格的隔离措施,将会使疫情提 早得到控制或解除。
2、 隔离和宣传并重。 一方面加大控制力度, 提高接触病源的人群的可控率, 提前结束疫情; 另一方面加大宣传力度, 提高全民健康意识, 切断传染途径, 从 而减少自由携带者的有效接触人数。 这样即使防范措施晚了一些, 出现了高峰期, 仍然能够在一定的时间内解除疫情。
四、 模型的评价和改进方向
(一)模型的评价:
1、附件 1的模型中,未能明确指出自由携带者和已确症患者之间的区别, 未能考虑到潜伏期不具备传染力的情况。 而在本文中的两个模拟模型, 对各个时 期的带菌者作了严格的界定, 认为只有未受控 (未被隔离及入院就诊) 的带菌者 在病发后的 1~2天内才具有传染能力, 之后会立即入院治疗。 符合实际情况, 揭 示了传染的主要途径和传播机理。
2、改进后的模拟模型对潜伏期和带菌者被发现的时间按照实际规律,作了 正态模拟,具有明确的实际意义。
3、 模拟模型是完全依照北京市 5月 10日以前的数据拟合得到的, 不需要借 鉴其他城市的数据, 可以预测首发城市的疫情发展, 且结果与实际情况符合的很 好。
4、正是由于我们模型逻辑的准确性,如果经过深入调查获取实际数据,再 对模型进行一定的修改, 就可立即用于建立前期的预测模型, 而不需要等待疾病 的发展来获得大量数据进行拟和。
(二)理想模型建立的方案及困难
要真正建立能够预测以及能为预防和控制提供可靠, 足够的信息的模型。 要 怎样做,以及困难。
事实上, 真正情况要比我们的模型复杂的多, 比如, 由于初期传播机理不明,
医护人员为收到好的保护, 很多受到传染。 而传播率事实上也是按照某种趋势变 化的,他与人们的警惕心理等因素有关。
要建立这样的模型,我们认为:
1、要不断的研究传染病理,完善模型。
2、 建立实时反馈机制, 不断修改模型参数, 以求更准确的预测以后的数据。
3、尽量以实际的研究数据建模,力求准确反映事件的实质。这样,当人为修改 参数进行模拟预测时,可以为采取什么措施效果最好做出较准确的建议。
4、研究各种措施实际对疾病传播的影响。
要做到这些, 也恰恰是建模的难点, 因为当涉及到新的传染病的时候, 以上 数据或参数都必须通过长期的研究或拟合才能得到的。 比如措施对疾病传播的影 响,是要统计大量实际数据才能获得的。以上也可以看作我们模型的改进方向。
五、 参考文献
[1]范学工 龙云铸, 严重急性呼吸综合征——非典型性肺炎讨论, 中国 现代医学杂志,第 13卷第 8期, 1-4页, 2003年 4月
[2] 济南市卫生局 /机构设置 /疾病控制处, SARS 传染能力及超级传染 者揭秘,传染性非典型肺炎防治, 2003-6-2
[3] 中国科学院研究生院管理学院“SARS”管理与控制研究小组, 对各 种措施的效果分析和结论,研究简报,第 1期
附件
确定型模拟程序
function logi(N)
%default:N=40
%脚本程序:(下一行)
%N=40;logi(N);t=a(find(a>0.1)),sum(t),plot(1:length(t),t,'g')
clear
f=zeros(1,200); %f表示自由的带菌者数
a=zeros(1,200); %a表示新增病例数
b=zeros(1,200); %b表示被隔离的人数
%f(1:7)=[60,70,80,100,143,106,105];
f(1:7)=[1,2,3,4,5,6,7];
%f(1)的起点:
beta=.5;k=1.35;T=5;l=.01;
for i=1:N
a(i+6)=f(i)+a(i+6);
b(i+8)=(7*T*l+2*k)*beta*f(i)/3+b(i+8);
b(i+9)=(7*T*l+2*k)*beta*f(i)/3+b(i+9);
b(i+10)=(7*T*l+2*k)*beta*f(i)/3+b(i+10);
a(i+11)=2*beta*k*f(i)/3+a(i+11);
a(i+11)=2*beta*k*f(i)/3+a(i+11);
a(i+11)=2*beta*k*f(i)/3+a(i+11);
f(i+5)=(1-beta)*k*f(i)+f(i+5);
f(i+6)=(1-beta)*k*f(i)+f(i+6);
end
beta=.7;k=.8;
for i=N:180
a(i+6)=f(i)+a(i+6);
b(i+8)=(7*T+2*k)*beta*f(i)/3+b(i+8);
b(i+9)=(7*T+2*k)*beta*f(i)/3+b(i+9);
b(i+10)=(7*T+2*k)*beta*f(i)/3+b(i+10);
a(i+11)=2*beta*k*f(i)/3+a(i+11);
a(i+11)=2*beta*k*f(i)/3+a(i+11);
a(i+11)=2*beta*k*f(i)/3+a(i+11);
f(i+5)=(1-beta)*k*f(i)+f(i+5);
f(i+6)=(1-beta)*k*f(i)+f(i+6);
end
%N=40;logi(N);t=a(find(a>0.1)),sum(t),plot(1:length(t),t,'g')
AA=[60,70,80,100,143,106,105,81,103,111,126,85,148,93,113,83,105,62,9 4,63,89,87,41,50,38,... 39,43,23,18,17,15,14,3,7,0,12,9,25,9,5,8,2,3,3,1,1,0,0,0,0,0,1,-1,0,0 ,1,0,-1,0,0,-1,0,0,...
0,0,0,0,0];
figure;
plot(37:36+length(AA),AA,'r:');hold;
plot(1:100,a(1:100),'b--');hold
legend('实际 ',' 拟和 ')
%以 a<>
% N=40: 2448-------------- 103天
%提前 5天:1811----------------97天
%滞后 5天:3274----------------111天
%滞后 15天:5741------------ 125
%差值:1462
范文五:彩票的数学模型
彩票的数学模型
参赛队员:黄政权 符 华 龚智华
指导教师:数模组
一、摘要
本道题目给出了现在常见的包含有"传统型"和"乐透型"两种对奖形式的29种销售规则及相应的奖金设置方案。我们通过排列组合的方法求出了各种奖项出现的可能性,进而得出了各个奖项的单注中奖金额。并由各种奖项出现的可能性和各个奖项的单注中奖金额为参数建立一个吸引力函数。通过吸引力函数分别计算出29种方案中每种方案的吸引力,用这些数据建立表格并排序,找出吸引力和方案的联系,同时还评价了各方案的合理性.结合吸引力和合理性建立一个综合评价模型,由模型我们提出了一种比现在流行的方案"更好"的方案,还附上了方案相应的算法,由此对彩票管理部门提出了几点中肯的建议。在对彩票管理部门提建议的同时,我们还把分析过程中遇到的对彩民有帮助意义的部分发布出来。
二、问题重述
目前流行的彩票主要有“传统型”,“乐透型”两种类型。
“传统型”采用“10选6+1”方案:先从6组0—9号球中摇出6个基本号码(号码可重复),每组摇出一个,然后从0-4中选出一个特别号码,构成一注,根据单注号码与中奖号码在按照号码顺序相同情况下相符的个数多少来确定中奖等级。
“乐透型”有多种不同的形式,比如“33选7”的方案:先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号,再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案,先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号,再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注(不可重复),根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级,不考虑号码顺序。
以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%,投注者单注金额为2元,单注只发放其所中的最高级别的奖,不可以兼得。
一般低等奖项的奖金金额是固定的,高项奖的奖金分配按比例分配,其公式为:
[(当期销售总额*总奖金比例)-低项奖金总额]*单项奖比例
现在有一些实际方案,我们需从各种奖金的可能性,奖项和奖金金额的设置以及对彩民的吸引力等多方面来评价这些方案的合理性。并根据所得结果,设计出一种更好的方案以及算法。
三、符号说明
P(i) i 等奖的z中奖概率
H 高项奖奖金总额
n 总注数
L 低项奖奖金总额
第1页,共18页
S(i) 低项奖奖金数额设定
J(i) 高项奖平均单项获奖金额
h 吸引力
Q 合理性
F 综合评价度
四、模型假设
(1) 彩民在投注时,每注选号时都是独立的,除彩票规则外,不受其
他任何因素影响。
(2) 在规则范围内,每次开奖号码均为随机号码。
(3) 投注号码均服从均匀分布。
五、题目分析
本道题目要用数学的方法对现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案进行分析,在分析过程中可以认为投注者投每注和选择每个号码的时候都是独立的,除了彩票规则外,不受其他影响,这时候所投的注符合均匀随机分布.而题目只是给出常见的销售规则及相应的奖金设置方案,这也提示我们该从彩票管理者的角度,用概率的方法去分析,而不用过多的加入实际情况中出现的偶然情况。对彩票管理者而言,发行彩票就是想获得更多的资金,所以最重要的是评价彩票对彩民的吸引力,建立吸引力函数来评价.同时题目要求评价各方案的合理性.结合吸引力和合理性推出一种"更好"的方案并完成相应的算法。最后还要完成一篇供彩民参考的短文.
六、模型的建立与求解
首先,我们假设投注的情况均匀。在此前提下计算出各个方案的各个奖项的概率P(i) 和高项奖的平均单注获奖金额J(i),计算公式为:
P(i) = 满足中奖条件的投注选法的个数 / 投注选法总数
H = 2* n ×50% — L
L = S4 × P4 × n + S5 × P5× n + S6 × P6 × n + S7 × P7 × n
J(i)= H × B(i) ? (P(i) × n),(其中 i , ,、, 、,)
各奖项的概率计算方法如下:
(1) 传统型 10 选 6 + 1
投注选法总数:6 个基本号码中,每个号码都有 10 种可能,特别号码有 5 种可能,所以总共有 10 ^ 6 * 5 = 5000000 种可能
一等奖的投注选法个数:6 个基本号码、特别号码都要选中,只有一种可能。
二等奖的投注选法个数:选中 6 个基本号码,特别号不中,有4种可能。
第2页,共18页
依此类推可得其他等奖的注选法个数。
(2) 乐透型 N 选 m
投注选法总数:等于从N 个不同的元素中选出 m 个元素的所有的组合,所以
总数是: C(N, m)
一等奖的投注选法个数:6 个基本号码都要选中,只有一种可能。
二等奖的投注选法个数:m 个基本号码要选中 m-1 个,1个特别号码要选中,
有C(m, m-1) 种可能。
三等奖的投注选法个数:m 个基本号码要选中 m-1 个,N- m-1个不中的号
码要选中1个,共有 C(m, m-1) * C(N-m-1, 1) 种、可能。
依此类推可得其他等奖的注选法个数。
乐透型 N 选 m+1的概率的计算方法类似。
计算的结果如下:
表一:各奖项的出现概率
序号 一 二 三 四 五 六 七
1 2.00e-007 8.00e-007 1.80e-005 2.60e-004 0 0 0 2 2.00e-007 8.00e-007 1.80e-005 2.61e-004 3.42e-003 4.20e-002 0 3 2.00e-007 8.00e-007 1.80e-005 2.61e-004 3.42e-003 4.20e-002 0 4 2.00e-007 8.00e-007 1.80e-005 2.61e-004 3.42e-003 4.20e-002 0 5 6.41e-007 4.48e-006 9.42e-005 2.83e-004 2.83e-003 4.71e-003 0 6 6.41e-007 1.41e-005 8.46e-005 8.88e-004 2.22e-003 1.48e-002 0 7 4.91e-007 3.44e-006 7.56e-005 2.27e-004 2.38e-003 3.97e-003 2.65e-002 8 4.91e-007 3.44e-006 7.56e-005 2.27e-004 2.38e-003 3.97e-003 2.65e-002 9 4.91e-007 3.44e-006 7.56e-005 2.27e-004 2.38e-003 3.97e-003 2.65e-002 10 3.80e-007 2.66e-006 6.12e-005 1.84e-004 2.02e-003 3.37e-003 2.36e-002 11 3.80e-007 2.66e-006 6.12e-005 1.84e-004 2.02e-003 3.37e-003 0 12 2.97e-007 2.08e-006 4.99e-005 1.50e-004 1.72e-003 2.87e-003 0 13 2.97e-007 2.08e-006 4.99e-005 1.50e-004 1.72e-003 2.87e-003 0 14 2.97e-007 2.08e-006 4.99e-005 1.50e-004 1.72e-003 2.87e-003 0 15 2.34e-007 1.64e-006 4.10e-005 1.23e-004 1.47e-003 2.46e-003 0 16 2.34e-007 1.64e-006 4.10e-005 1.23e-004 1.47e-003 2.46e-003 1.88e-002 17 1.86e-007 1.30e-006 3.38e-005 1.01e-004 1.27e-003 2.11e-003 0 18 1.86e-007 1.30e-006 3.38e-005 1.01e-004 1.27e-003 2.11e-003 1.69e-002 19 1.49e-007 1.04e-006 2.81e-005 8.43e-005 1.10e-003 1.83e-003 0 20 1.49e-007 1.04e-006 2.81e-005 8.43e-005 1.10e-003 1.83e-003 1.52e-002 21 1.49e-007 1.04e-006 2.81e-005 8.43e-005 1.10e-003 1.83e-003 1.52e-002 22 1.49e-007 1.04e-006 2.81e-005 8.43e-005 1.10e-003 1.83e-003 1.52e-002 23 1.49e-007 2.91e-005 1.18e-003 1.71e-002 1.07e-001 0 0 24 1.20e-007 3.47e-006 2.08e-005 2.92e-004 7.30e-004 6.57e-003 8.75e-003 25 1.20e-007 3.47e-006 2.08e-005 2.92e-004 7.30e-004 6.57e-003 0 26 1.20e-007 8.39e-007 2.35e-005 7.04e-005 9.51e-004 1.58e-003 1.37e-002 27 9.71e-008 6.80e-007 1.97e-005 5.92e-005 8.28e-004 1.38e-003 0 28 2.61e-007 1.56e-006 5.16e-005 1.29e-004 2.06e-003 2.75e-003 0 29 1.83e-007 9.16e-007 4.94e-005 9.89e-005 2.62e-003 0 0
表二:各方案的总中奖率:
方案编号 总中奖率
1 2.8000e-004
2 4.5739e-002
3 4.5739e-002
4 4.5739e-002
5 7.9166e-003
6 1.8008e-002
7 3.3137e-002
第3页,共18页
8 3.3137e-002
9 3.3137e-002
10 2.9208e-002
11 5.6359e-003
12 4.7940e-003
13 4.7940e-003
14 4.7940e-003
15 4.0983e-003
16 2.2942e-002
17 3.5200e-003
18 2.0436e-002
19 3.0366e-003
20 1.8261e-002
21 1.8261e-002
22 1.8261e-002
23 1.2483e-001
24 1.6366e-002
25 7.6117e-003
26 1.6366e-002
27 2.2880e-003
28 4.9969e-003
29 2.7696e-003
30 2.5841e-002
表三:各方案的高项奖的平均单注获奖金额 (单位:万元 )
方案编号 一等奖 二等奖 三等奖
1 246.7375 24.6737 1.6449
2 192.9315 16.0776 0.7146
3 209.0091 12.0582 0.7146
4 225.0867 12.0582 0.5359
5 75.5658 3.5984 0.1714
6 65.9268 1.2486 0.1249
7 76.1459 2.5103 0.1521
8 94.5350 1.9293 0.1754
9 108.5640 2.0679 0.1410
10 79.5285 2.8403 0.2058
11 170.3512 3.2448 0.2116
12 177.2846 5.8445 0.3247
13 190.9219 3.8964 0.3247
14 204.5592 3.8964 0.2435
15 246.1234 5.0229 0.4018
16 239.0286 4.5529 0.2732
17 314.1850 10.3577 0.5312
18 303.9339 7.6622 0.4912
19 428.7111 13.1238 0.4861
20 337.6446 6.8907 0.5104
21 322.0721 6.1347 0.3408
22 438.7996 7.8357 0.2902
23 428.1870 0.2000 0.0020
24 420.5385 1.9335 0.4834
25 477.8064 2.0595 0.3433
26 486.5826 9.9303 0.7093
27 547.3210 16.7547 0.5777
28 299.2688 6.0827 0.1475
第4页,共18页
29 292.2127 19.4808 0.3608
各方案对彩民的吸引力是由很多因素组成的,由各等奖的概率、奖项和金额的设置、各奖项的平均每注获奖金额等组成。所以我们建立如下的吸引力量度函数:
7aaaak123h=qJP,qJP,qJP,q(JP)/m ,kk1112223334k,4
其中, (k=1,2,3,4) 分别表示一等奖、二等奖、三等奖、低项奖的权重, qk
(k=1,2,3,4,5,6,7)表示各获奖金额的影响力指数,m 表示低项奖的项数。 ak
因为我们认为,获奖金额的增加对彩民的吸引力也增加,但增加的趋势不是线性的,而是近似指数函数的关系。开始时获奖金额的增加会很大地增大对彩民的吸引力,但当获奖金额增大到一定程度后,吸引力的增长速度变慢了,获奖金额和吸引力的关系可用以下的图形来表示(其中横坐标表示获奖金额,纵坐标表示吸引力):
1.75
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
1234
由于不同的人对彩票的期望不一样,有人看重高项奖的获奖金额,有人看重低项奖获奖概率,由此决定此函数的各权重的选取。所以高项奖获奖金额的影响力指数取大些,低项奖获奖金额的影响力指数取小些。 权重系数也由各奖项对吸引力的影响的大小取值:
= 0.4、 = 0.3、 = 0.2、 = 0.1 qqqq3124
= 0.9、= 0.6、= 0.5 、= 0.1, aaaa3124
函数的表达式为:
7ak0.90.60.50.4JP,0.3JP,0.2JP,0.1(JP)/mh= ,kk112233k,4
计算结果如下:
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表四:各方案的吸引力
方案编号 吸引力
1 4.6213e-002
2 3.8742e-002
3 4.1404e-002
4 4.4054e-002
5 5.1870e-002
6 4.6787e-002
7 4.0666e-002
8 4.8938e-002
9 5.5107e-002
10 3.2961e-002
11 6.2921e-002
12 5.1212e-002
13 5.4562e-002
14 5.7908e-002
15 5.3925e-002
16 5.2952e-002
17 5.3375e-002
18 5.2172e-002
19 5.6269e-002
2.0 4.5880e-002
21 4.3934e-002
22 5.7676e-002
23 6.3901e-002
24 4.5030e-002
25 5.0164e-002
26 5.1134e-002
27 4.5758e-002
28 7.1135e-002 29 4.9489e-002
吸引力排在前8名的方案为:28,23,11,14,22,19,9,13
彩票能够正常运行的一个条件是每期的投入的注数必须大于某一个数值x,才
能保证一等奖的保底金额。能保证一注的一等奖保底金额的最小的 x ,称为“最
低运行数”,由此我们可以列出不等式
[x - ?J(i)*P(i)*x ]*S(1) ? 600000
依此不等式可以估计出各个方案的最低运行数。例如方案一,我们可列出
(x - 50*2.60e-004*x) * (50 / 100 )? 600000
解得
x ? 121.58 *10 ^ 4
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我们认为,合理的方案应该满足以下条件:
(1) 获奖金额的单调性:奖项越高,获得的金额越大。
(2) 获奖概率的单调性:奖项越高,获得的概率越小
(3) 保底的金额恰当:保底的金额太小,对彩民的吸引力就变小;保底的金额太大,彩票部门就无法运营下去。
从的表一和表三来看;这29种方案都满足(1)、(2)
吸引力函数我们是用中奖概率,中奖金额做参量来衡量的;而合理性评价又与中奖金额、中奖概率、以及吸引力有关,所以吸引力与合理性有一定的联系。
但是这吸引力和合理性不可以说哪个对哪个有决定因素,只可以说互有影响。所以我们分析各个方案的优劣时候要同时考虑吸引力和合理性。所以我们定义一个综合评价函数
F = h * Q
其中 h 表示吸引力,Q 表示合理性。Q 的取值只有两种:0 或 1。当方案合理时,Q = 1;
反之,Q = 0。
在这29 中方案中,都有一定的合理性,所以我们定义着 29 种方案的 Q = 1。这样,我们以吸引力来代表综合评价。
七、新方案模型
maxh
,,,pp...p,127,,,, s.t.JJ...J,127
,,
从28选7到50选7的方案
由于解这个规划难度太大,我们认为,一个好的方案既要有高额的一等奖奖金,也要有高的低等奖的中奖概率,这样可以吸引不同彩民。所以为了提高中奖概率,我们设立7 个奖项,相应需要开奖号码的个数为7个,其中,为提高头等奖的吸引力,将其资金比例调为一等奖80%,二等奖10%,三等级10%。通过对29组常见的彩票运行方案的评价我们发现,乐透型N选7的综合评价比N选6+1的综合评价要高,乐透型的综合评价比传统型的高,我们通过编程用计算机模拟寻找出综合评价最高的方案:32 选 7。其综合评价度是最高的h=7.52:
类型:32选 7
奖金比例分配、金额分配: 一等:80% 二等: 10% 三等: 10%
四等: 200 元 五等:50 元 六等: 10 元 七等: 2 元
八、模型检验
1 各个单项中奖概率检验
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(1)我们建立一个程序,利用随机函数来模拟出一期彩票的投注情况以及中奖号码。程序详见附录。
因为模拟投注所需要的模拟的投注数目比较大,所以一次模拟需要很多时间。我们只对29中彩票运行方案中的一种方案进行了模拟。
我们选定的是37选7的方案。对方案进行了三次模拟,分别令其投注数目为100万,100万和1000万。模拟的结果(各等奖中奖注数)分见下表:(单位:注)
一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 100万 0 0 14 51 813 1425 100万 0 0 14 56 856 1431 1000万 1 5 203 596 8156 13972
模拟的结果符合上文表一中37选7方案所计算出来的理论概率值。
(2)参见本地彩票发行方案,其中也有37选7这个方案。采集近几期的数据,
发现起中奖概率也符合上文表一的结果。
所以对29种彩票运行方案的各种奖项出现的可能性的计算是正确的。 2 单项奖单注奖金金额检验
而在上文的运算中,单项奖单注奖金金额的确定只有概率一个未知量,所以上文表三中单项奖单注奖金金额的计算也是正确的。
3 吸引力函数的检验
吸引力函数是由各个单项中奖概率的乘幂与单项奖单注奖金金额的乘幂的乘积的和来确定的,所以1和2成立,吸引力公式自然没有问题。 4 综合评价模型的检验
综合评价模型是由吸引力函数和合理性函数的乘积构成的,合理性函数为阶跃
函数,合理为1,不合理为0,所以可以认为在合理性保证的情况下就等同于
吸引力函数。所以其正确性也可以保证。
、
九、对彩票部门的建议
(1) 从合理性分析可以证明从一等奖到最后等奖,单注中奖金额单调递减,而中奖率则是单调递增.
彩票对彩民的吸引力起主要作用的也就是单注中奖金额和中奖率.所以彩票运行方案最好是在增加一等奖金额或是增加末等奖中奖率方向进行.此时可以削减的是中间奖项的金额.如我们提出的新方案。
(2) 通过对29种现在常见的彩票销售规则及相应的奖金设置方案的分析和评价,发现每种方案都是各有优劣,用来区分的标准有很大的认为因素.比如我们的吸引力函数,可以通过调节权重q(i)来分别突出大奖或是中奖金额对吸引力的影响.不是所有的彩民都是全部为了最后的大奖,所以为了充分调动所有彩民的积极性,建议可以考虑多种销售规则及相应的奖金设置方案并存.每种方案侧重不同人群. (3) 另从人的心理上来说,什么东西都有个过程,要是熟悉了,也就会相应减少兴趣.而我们的彩票方案不可以常常调整,也就是说不可以从整体销售规则及相应的奖金设置方案上给彩民新鲜感.我们的建议是在特别的节假日用增开彩票对奖期数.甚至是可以把增开彩票只是作为节日回馈,也就是说彩民不用额外买彩票,在正常发行期数中离这个活动最近的一期不中的号码,在进行另号对奖,奖金数目可以少些,
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就是为了庆贺国家节假日或是为了纪念彩票发行的某个纪念日,增加中奖概率.(这个方案参考了很多商家在店庆降价利民的方式)
(4) 从报刊评价和大奖中奖概率分析可以知道,中大奖对人们的心理冲击是最大的,所以为了增加销售额,在某些时候也可以用提高返奖率(总奖金在销售总额的比例率),来刺激彩民的热情.但是因为这样是在每注收益减小的情况下,刺激以提高销售额,所以不可以常常使用,只是用来做为一种调剂.所用时候一般多是在如(3)表示的节日,或是因为连续几期的高项奖金额不高,用来提高单注奖金额.
十、给彩民的短文
对于广大彩民朋友来说,首先要明确的是,彩票是有风险的,收益率非常低。假设某彩民在连续几期中都购买了固定数量的某种彩票,在这个购买彩票的时间
1,,tk段里可以获得的k张中奖票的概率(见文献(4)) (为彩票P(t),e**(,t),kk!
中奖的概率)。如果一彩民在连续20期内持续购买,该彩票中奖率为,0.002那,
1,0.002*20,2么获得得一张中奖彩票的概率为,五P(12),e,,(0.0028*20),3084*1011!
1,0.045,10张中奖票的概率是。可见买彩票对大多数彩P(12),e,,(0.04),8.2,1055!
民而言,投资越大,损失越大,所以把彩票作为一种投资获利的手段是不明智的。对于社会上的选号预测等更是荒谬,按概率理论,任何一期的号码都是独立的,与历史号码完全没有关系。于是用预测号码是没有多大意义的,正如一个著名数学教授说过的:"彩票的号码是随机产生的,是不可预测的,如果可以预测,那就是有人作弊!"
那还为什么买彩票呢,其中的一点是从有获得巨额的奖金的可能中得道消遣和娱乐。因为虽然个体中奖概率小,但参与地人多中大奖是必然发生的。也就有了一不小心成了百万富翁的传奇故事,这是每个彩民心中的目标吧。可买彩票要抱着一种平和心态为好,知道彩票对社会的公益作用,中与不中都为公共事业出了一分力,正有人因为你而被帮助,这有何尝不是一种满足呢。
十一、参考文献
(1)彩票指南--严峰 韩玉芬编著 中国人民出版社1993年6月第一版
(2)MATLAB5.3实用教程--王炳武编著 中国水利水电出版社2000年7月第一版
(3)概率论与数理统计教程--魏宗舒编著 高等教育出版社1983年10月第一版
(4)韦原奉,抽奖问题中一类概率微分模型,
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十一、附录
1(文件 main.m
FangAn = [
10 6 1 % 1
10 6 1 % 2
10 6 1 % 3
10 6 1 % 4
29 7 0 % 5
29 6 2 % 6
30 7 0 % 7
30 7 0 % 8
30 7 0 % 9
31 7 0 % 10
31 7 0 % 11
32 7 0 % 12
32 7 0 % 13
32 7 0 % 14
33 7 0 % 15
33 7 0 % 16
34 7 0 % 17
34 7 0 % 18
35 7 0 % 19
35 7 0 % 20
35 7 0 % 21
35 7 0 % 22
35 7 3 % 23
36 6 2 % 24
36 6 2 % 25
36 7 0 % 26
37 7 0 % 27
40 6 0 % 28
60 5 0 % 29
32 7 0 % 30 自己设计的方案 ];
第10页,共18页
SheDing = [
0.50 0.20 0.30 50 0 0 0 % 1
0.60 0.20 0.20 300 20 5 0 % 2
0.65 0.15 0.20 300 20 5 0 % 3
0.70 0.15 0.15 300 20 5 0 % 4
0.60 0.20 0.20 300 30 5 0 % 5
0.60 0.25 0.15 200 20 5 0 % 6
0.65 0.15 0.20 500 50 15 5 % 7
0.70 0.10 0.20 200 50 10 5 % 8
0.75 0.10 0.15 200 30 10 5 % 9
0.60 0.15 0.25 500 50 20 10 % 10
0.75 0.10 0.15 320 30 5 0 % 11
0.65 0.15 0.20 500 50 10 0 % 12
0.70 0.10 0.20 500 50 10 0 % 13
0.75 0.10 0.15 500 50 10 0 % 14
0.70 0.10 0.20 600 60 6 0 % 15
0.75 0.10 0.15 500 50 10 5 % 16
0.65 0.15 0.20 500 30 6 0 % 17
0.68 0.12 0.20 500 50 10 2 % 18
0.70 0.15 0.15 300 50 5 0 % 19
0.70 0.10 0.20 500 100 30 5 % 20
0.75 0.10 0.15 1000 100 50 5 % 21
0.80 0.10 0.10 200 50 20 5 % 22
1.00 2000 20 4 2 0 0 % 23
0.75 0.10 0.15 500 100 10 5 % 24
0.80 0.10 0.10 500 100 10 0 % 25
0.70 0.10 0.20 500 50 10 5 % 26
0.70 0.15 0.15 1500 100 50 0 % 27
0.82 0.10 0.08 200 10 1 0 % 28
0.60 0.20 0.20 300 30 0 0 % 29
0.80 0.10 0.10 200 50 10 2 % 30 自己设计的方
案
];
imax = size(FangAn,1);
tableJ = zeros(imax,7);
tableP = zeros(imax,8);
n = 1e8;
q = [ 0.4 0.3 0.2 0.1 ];
PingJia = zeros(1,imax);
for i = 1 : imax;
[JinE,P] = js(FangAn(i,:), SheDing(i,:), n);
tableJ(i,:) = JinE;
tableP(i,:) = [P sum(P)];
pj = q(1)*JinE(1)^0.9*P(1) + q(2)*JinE(2)^0.6*P(2) + q(3)*JinE(3)^0.5*P(3);
tmp = 0;
pjt = 0;
for j = 4 : 7;
第11页,共18页
if SheDing(i,j) >= 1;
pjt = pjt + q(4)*JinE(j)^0.1 * P(j);
tmp = tmp + 1;
end;
end;
pj = pj + pjt / tmp;
PingJia(i) = sum(pj); end;
tableJ
tableP
PingJiaJieGuo = mysort( [[1:imax]' PingJia'],2 )
2. 文件 C.m
function Res = C( n , m )
% 计算组合数 C(n,m) = n! / m! / (n-m)!
if n < 0="" |="" m="">< 0="" |="" m=""> n;
Res = 0;
return;
end;
k = n - m;
if k < m;="">
m = k;
end;
Res = 1;
i = 1;
while i <= m;="">=>
Res = Res * n / i;
n = n - 1;
i = i + 1;
end;
3.文件 mysort.m
function Res = mysort ( Arr, col )
% 对一个矩阵按指定的列排序
%
% 输入参数:
% Arr -- 矩阵
% col -- 要排序的列的序号
%
第12页,共18页
% 输出参数:
%
% Res -- 排序后的矩阵
row = size(Arr,1);
for i = 1 : row-1;
for j = i+1 : row;
if Arr(i,col) > Arr(j,col)
temp = Arr(i,:);
Arr(i,:) = Arr(j,:);
Arr(j,:) = temp;
end;
end;
end;
Res = Arr;
4. 文件 js.m
function [JinE,P] = js( FangAn, SheDing ,n )
% 计算在等概率情况下,方案的各个奖项的各注的金额和概率
%
% 输入:
% FangAn -- 方案
% SheDing -- 各等奖的的比例以及金额设定
% n -- 总注数
%
% 输出:
% JinE -- 各奖项的每注的平均金额
% P -- 各奖项的概率
[num,den] = calP( FangAn(1), FangAn(2), FangAn(3) );
JinE = SheDing;
P = num / den;
total = n * 2 * ( 50 / 100 );
for j = 2 : 7;
if SheDing(j) >= 1;
total = total - SheDing(j) * P(j) * n;
end;
if SheDing(j) == 0;
P(j) = 0;
end;
end;
for j = 1 : 3;
第13页,共18页
if SheDing(j) > 0 & SheDing(j) <= 1;="">=>
JinE(j) = total * SheDing(j) / (P(j) * n);
end;
end;
5. 文件 calP.m
function [num,den] = calP ( N, m, kind )
% 计算某方案各个奖项的概率
%
% 输入
% N -- 总号码数
% m -- 基本号码个数
% kind -- 类型:
% 1 传统型 10 选 6 + 1 方案 (按序)
% 0 乐透型 N 选 m 方案
% 2 乐透型 N 选 m + 1 方案
% 其他 乐透型 N 选 m 没有特别号 方案
%
% 输出
% num -- 一个数组,其元素分别表示符合各等奖条件的不
同的的注的总数
% den -- 所有投注的选法的数目
if kind == 1; % 传统型 10 选 6 + 1 方案 (按序)
num = [ 1 4 5*[9+9 9*10+9*9+10*9
9*10*10+9*9*10+10*9*9+10*10*9
9*10*10*10-9+9*9*10*10+10*9*9*10+10*10*9*9-9*9+10*10*10*9-10*9-9*9]
0 ];
den = 5e6;
elseif kind == 0; % 乐透型 N 选 m 方案
r = N - m - 1;
num = [ 1 C(m,m-1) C(m,m-1)*C(r,1) C(m,m-2)*C(r,1)
C(m,m-2)*C(r,2) C(m,m-3)*C(r,2) C(m,m-3)*C(r,3) ];
den = C(N, m);
elseif kind == 2; % 乐透型 N 选 m + 1 方案
r = N - m - 1;
num = [ 1 C(r,1) C(m,m-1)*C(r,1) C(m,m-1)*C(r,2)
C(m,m-2)*C(r,2) C(m,m-2)*C(r,3) C(m,m-3)*C(r,3) ];
den = C(N, m+1);
else % 乐透型 N 选 m 没有特别号 方案
r = N - m;
num = [ 1 C(m,m-1)*C(r,1) C(m,m-2)*C(r,2) C(m,m-3)*C(r,3)
第14页,共18页
C(m,m-4)*C(r,4) C(m,m-5)*C(r,5) C(m,m-6)*C(r,6) ];
den = C(N, m);
end;
6. 文件 moni.m
% 模拟投注
N = 37;
m = 7;
n = 1e8;
ZhongJiangZhuShu = zeros(1,7); MuBiao = YiZhu(N,m,1);
for i = 1: n;
P = YiZhu(N,m,0);
k = isZhong(MuBiao,P,m,1);
if k > 0 & k < 8="">
ZhongJiangZhuShu(k) = ZhongJiangZhuShu(k) + 1;
end;
end;
ZhongJiangZhuShu
7. 文件 calcS.m
function JiangJin = calcS (SheDing, n,zhu)
% 计算某方案下已经知道总注数和中各等奖的注数下,各等奖的金额
%
% 输入参数:
% SheDing -- 各奖项的概率、金额的设定
% n -- 总注数
% zhu -- 各等奖中的注数
%
% 输出参数:
% JiangXian -- 各等奖的金额
T = n * 2 * ( 50 / 100 );
L = 0;
JiangJin = SheDing;
for i = 2 : 7
if SheDing(i) >= 1;
L = L + zhu(i) * SheDing(i);
end;
end;
第15页,共18页
H = T - L;
for i = 1 : 3
if zhu(i) > 0 & SheDing(i) > 0 & SheDing(i) <= 1;="">=>
JiangJin(i) = H * SheDing(i) / zhu(i);
end;
if zhu(i) == 0;
JiangJin(i) = 0;
end;
end;
if JiangJin(1) < 6e5;="" %="" 一等奖单注奖金保底="" 60="" 万元="">
JiangJin(1) = 6e5;
end;
if JiangJin(1) > 5e6 % 一等奖单注奖金封顶 500 万元
JiangJin(1) = 5e6;
end;
8. 文件 isZhong.m
function Res = isZhong( MuBiao, zhu, base, kind )
% 判断一注是中几等奖
%
% 输入参数
% MuBiao -- 中奖号码,最后一个是特别号码(如果有的话)
% zhu -- 一注的号码,以位置数组表示
% base -- 每注基本号码数
% kind -- 彩票的类型: 1 -- N 选 m + 1 型; 0 --
N 选 m 型
len = length(MuBiao);
b = 0;
p = 0;
for i = 1 : len;
if zhu(i) == 1;
if MuBiao(i) == 1;
b = b + 1;
end;
if MuBiao(i) == 2;
p = 1;
end;
end;
end;
第16页,共18页
Res = 2 * (base - b) + 2 - p - kind;
9. 文件 YiZhi.m
function Res = YiZhu( N, m, spc)
% 随机出一注不重复的号码
%
% 输入参数:
% N -- 总号码数
% m -- 每注号码数
% spc -- 为一时表示抽特别号(模拟摇奖)
% 输出参数:
% Res -- 随机抽出的一注,以位置数组表示,数组元素为 0 表示
此元素的对应的号码不抽,为 1 时表示为基本号码,为 2 时表示是特别号码
Res = zeros(1,N);
k = floor(rand * N) + 1;
Res(k) = 1;
for i = 2: m
k = floor(rand * N) + 1;
while Res(k) == 1;
k = floor(rand * N) + 1;
end;
Res(k) = 1;
end;
if spc == 1
k = floor(rand * N) + 1;
while Res(k) == 1;
k = floor(rand * N) + 1;
end;
Res(k) = 2;
end;
10. 文件 findbesst.m
imax = 23;
SheDing = [0.80 0.10 0.10 500 100 30 2];
tableJ = zeros(imax,7);
tableP = zeros(imax,8);
n = 1e8;
QuanZhong = [ 0.4 0.1 0.1 0.4 ]; PingJia = zeros(1,imax);
PingJ = zeros(imax,4);
res = zeros(1,2);
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for i = 1 : imax;
[JinE,P] = js( [i+27 6 1], SheDing, n);
tableJ(i,:) = JinE;
tableP(i,:) = [P sum(P)];
pj =
QuanZhong(1)*JinE(1)^0.7*P(1)+QuanZhong(2)*JinE(2)^0.6*P(2)+QuanZhong(3)*Jin
E(3)^0.5*P(3);
tmp = 0;
pjt = 0;
for j = 4 : 7;
if SheDing(j) >= 1;
pjt = pjt + QuanZhong(4)*JinE(j)^0.1 * P(j);;
tmp = tmp + 1;
end;
end;
pj = pj + pjt / tmp;
PingJ(i,:) = pj;
if pj > 6.3652e-002;
res = [i+27 6 1 ];
break;
end;
end;
tableJ
tableP
PingJiaJieGuo = mysort( [[1:imax]' PingJia'],2 )
PingJ
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