范文一:差函数的等价无穷小替换
差函数的等价无穷小替换
这里介绍一些求极限等问题的特殊技巧,基本上可以涵盖所有的求极限题目,因为,我们所学的初等函数有五类,反三角函数,对数函数,幂函数,三角函数,指数函数,简称反对幂三指,以下是这五类函数的无穷小代换。以下x均趋近于0
常见代换:x~sin x~tan x~arctan x~arcsin x
幂函数代换:(1+x)λ~λx+1 λ可以取整数也可以取分数
指数函数代换:ex ~ x + 1 ax ~ lna ·x----- + 1
对数代换: ln(1+x) ~ x loga(1+x) ~ x/lna
差代换:1.二次的:1-cos x ~ x-------2/2 x-ln(1+x) ~ x-------2/2
2三次的:(1)三角的:x - sin x ~ x3/6 tan x - x ~ x3/3 tan x -sin x ~ x3/2
(2)反三角的:arcsin x - x ~ x3/6 x -arctan x ~ x3/3 arcsin x - arctan x ~ x3/2
下面来举几个例子简单的说一下这些技巧怎么用
例如:求:当x→0时,lim(arcsin x-arctan x)/ x3的值。
当求这个极限的值的时候,如果用洛必达法则,计算量则会很大,这里不再赘述运用洛必达法则如何求解,只介绍如何使用上述技巧。
lim(arcsin x-arctan x)/ x3=lim(1/2 x3)/ x3=1/2
大家可以自己做一下洛必达法则的方法,对比一下两者之间的差别。
需要注意的是,等价无穷小的运用往往不止一次,只要发现运用洛必达法则运算困难,则可以尝试等价无穷小代换。
范文二:等价无穷小替换应用的总结
2009年第15期(总第127期)
现代企业文化
MODERNENTERPRISECUU’URE
NO.15,2009
(CumulativetyNO.127)
等价无穷小替换应用的总结
周宏辉
(湖南城建职业技术学院,湖南长沙410015)
摘要:文章就多种类型的未定型极限。求极限时可用无穷小等价替换,所求的极限值不变,回答了在有加减的情况下有条件地使用等价无穷小替换来求极限。
关键词:等价无穷小;未定型极限;等价替换;泰勒公式中图分类号:G649
文献标识码:A
文章编号:1674—1145(2009)15-0168-02
等价无穷小替换是计算未定型极限的常用方法,它可以使求极限问题化繁为简,化难为易。
一、等价无穷小的概念及性质
定义:极限为零的变量称为无穷小量,简称无穷小。如果,l~ima、x)2o'就称口p)为当z一%时的无穷小。
当limE。=1,则称。与腥等价无穷小,记作cr,一p。
无穷小的性质有:
定理l:若口∽t2'1,∥”∥l,FIlira崩tel=4(或∞),
则m罢=缸盖=4(或∞)
证:lira_a:litnf—a.!L.旦1
卢
h届曼/
=‰詈‘№云‘‰鲁。硒云2卢
A(或∞)
、
’
q
届
届
定理告诉我们,在求未定型“≯0、
“i00”的极限时,式中
的无穷小可用等价的无穷小来替换,其极限篮不变。
定理可作如下推广:
推论1:设,(x)是任意函数,口(x)一q(x).且hmp(x)?,(x)]存
在,贝ⅡIim[口(x)?厂(x)]一lim[q(x)?厂(x)]
例1:求l…irax‘COS2X
解:此极限是“0、oD”型,由推论1,可碍
l,immMot2x=l。i。rax?_Ltan2x=l:i。mx.tan2x
,mxmx“
土2x=喜
2
在求其他类型的未定型“00”、“∞o”、“矿”、“1一’的极限时,也可直接利用等价无穷小进行替换,其求的极限值不变。
推论2:设口一q,∥一届。-耳.1imat4存在,则有
limczp=liraqP,
证明:liraata:limep¨
一=
奠“一。娜卜岫P
L
q
J=P
L
q
j
:口叫l“云+扣t]
=ehAh1。l=lima.A
例2:求…lira(、8inx)…。
解:由推论2及x_0+、sin
x”x、arcsin舻x可得
一168一
万方数据
lira
fsinJl甜8…’=lim
xx=1
J_+0+、
,}o.
定理2:若户=o(a1,则a+芦一口i费13:求linl!!!兰;!:
,_O
X’
解:由泰勒公式
c。sx=l一西X.2+酉X4一…+(一1y丽X2n+(一oo<x<-4-oo)。一手:l一生+三一…
。妯:生:主二半兰杰:
#—町
,
善
一二X4+……
.
:Iilll
12::一二
龇求啤舍等
解:由泰勒公式
∥“小(,一x)+去(^x)+i:、Xt--X广+厨
;l+:1I叫2)+
012+..…
nm———;===}2岫Iinl£:!筌兰:liIIIx“1-√1一,x-,O
柏兰尘:二:鼍尘:二坐二…
三+—兰一+…。
一工。+一+……3,一一2x3
一她乞广手一;,
定理3:若d一%,夕一属,当Iim音=定理3:2若d4‘至%,夕。屈,当Iim舌:C(或hm-荔-万=。)
(或2。)砌m坐钏m丝:生llllt---I-1:坐且c≠-1,则口+夕一q+磊
试m鬻“m白2丽乞2志
当lim
T“=l洒暑“≠_l
贝1]lira嚣鲁2藩乱
同理:若lim冬:o。,则im匕=0lira盈;hm鱼.旦.旦:1×0×1;0
籍.j兰瓣蛳
生咄
地
以
生心
兰|Ⅲ因此a+fl—q+层
考理4:若a一口t,∥嵋,当lim芳。c=
且C≠
I
,舛fibu!一∥一I—p。(或lint
a
)a
oo副im等油筹乩m暴2辜
9
9
B。9
p。‘
当lim旁叫m万at;c≠1
则li。!=旦:壁:盟:l
a1一屈lim
a_L—l
C—l‘
同理:若lim旦:竺,则lim卫:o
liIn丛:hm堕.旦.三:1。o×1;o
胁糟粕妥-硫差幽錾百1-0。
因此口一∥一q一层
在应用定理3与定理4时一定要注意它们的条件。
二、等价无穷小替换的应用常用的等价无穷小有:当x哼0
x∽ffmx”a,rcffmx,-,、tanx¨arctanx一1n(1+J)Ⅵ矿一1
1-COSX”妄x2盯再一l+三
例5.'求lmal+sinx-eosx.
解1:该极限为未定型(詈)型,可用洛比达法则求解,也
蜘卫J—o
里譬三型妞竺坚之掣三洛比达法则。4一
1
J—柚
2e“
2
、’H’u。‘二’‘、一1
7
解2:lim盐唑半=lim
x--。O
P“一l
x---O
si'nx+,(1-cosx).:Ⅱm—X+上--:一1
e砧一1
l_o
2x
2
此处运用J叶0
sin工+(1一cosx)一善+÷
骶卿等磐
解1:该极限为未定型,用洛比达法则
原式2…
l川iml再莞爵广22e“一;(1+了)-j5i
解2:运用等价无穷小的性质
赋:螈譬鬈掣;慨百2X--lX毛
此处运曩了。哼o(g“一1)一(掣菇一1)一2x一号工觚l。i。ra芋
X+锄X们X+X‘
解1:此极限为未定型,用洛比达法则
枷
蚴竺去≠坚5枷Jim三甜豢2l枷ira-。x+3c30∥sJ枷
2.xsinx3x‘-瞄‘工
枷6xcos。x+3∥.
2。¥OSX丽-sin
f
xl
:ljm?型竖翌!兰一;Iim——!!璺三苎?一_’.02工cos善一2x2sin工x-*04xcosx一4x2sinx
万方数据
。烛石忑鬲耳蕊2
co厣s2x磊i丽
=lim,枷
触芋=。—等解,.塑兰垒坚:—坚兰smxlim上Iim_1-cosx
.』lim
:lim
』—O
X
’40COSX
x--+O
名。
12
:姆手=三
此处不能运用芏寸o,tan
z—sin
x—x—x,凶蚴tsain__n坚zx=l
tanx=工+Tx-+o(x3)sin石=工一可x-+o(∥)
limtanx-sinx。,im壹:坠[=:垫当舶幽;三
。
叫
!
::I!!
:J
椰:求姆摇舞
解1:原式2,一.”"—scc2(sin—x)cosx
!!!!!竺:2竺!三
。.
2x/sin(tarx)
(洛比达法则)
‘。’’1——■●■■■■■■■■■■■■■■■一
2,,/tan(sinx)
:lim竺粤娑生lim
』_.旷¥Og。lsInJlcosJ,_0’
黑
,............——.s.e,.c—z—.(;s;;i;n;;x。;;)。c::o;;s;—x—
;lim≤!竺!!竺兰:hm!型!竺f!兰生
“+√sin(tallx)。“cos(tanx)seez
x
:抵竺擎尝lim—.瓜t—anx)
2小in(tanx)
“”。05(’觚x)∞一Xx’O"、/tan(sinx)
;lim逛丝!竺兰
””√tan(siII工)
出现循环,用洛比达法则求不出结果,用等价无穷小替换。
x哼0.x”sinx”tan工
一
原式=Km半,1
由此可看到洛比达法则并不是万能,它有它的局限性,只参考文献
【1】同济大学才教学教研室主编.高等数学【M】.高等教育出
【21候风波主编.高等数学p川.高等教宵出版牡出版。【3】王晓宏主编.高等数学【M】.科学出版社出版.
~169一
可用等价无穷小的性质求解。”
要充分地掌握好等价无穷小的性质,这些原本复杂的问题就会变得非常简单。
版社出版.
等价无穷小替换应用的总结
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
周宏辉
湖南城建职业技术学院,湖南,长沙,410015现代企业文化
MORDEN ENTERPRISE CULTURE2009,
参考文献(3条)
1.同济大学才教学教研室 高等数学2.候风波 高等数学3.王晓宏 高等数学
相似文献(4条)
1.期刊论文 周宏辉 等价无穷小在求未定型极限中的应用 -中国校外教育(理论)2008,
在求未定型极限的运算中,如能灵活运用等价无穷小的性质,则能达到洛比达法则所不能取代的作用,能使这些原本复杂的问题简单化.
2.期刊论文 郑国彪 等价无穷小代换定理的一个结论及其应用 -青海师专学报(教育科学版)2004,24(5)
未定型极限是极限问题中的重点和难点之一.等价无穷小代换定理及其推论1、2为计算x→x0时0/0型的极限带来了方便.但推论2不一定总是成立,如果只从形式上套用该推论,而对其成立的条件不加分析与判断,便会造成错误.本文给出推论2之补充结论,从而弥补这一不足.
3.期刊论文 施达 巧解1∞型极限 -成都大学学报(自然科学版)2003,22(4)
本文充分利用等价无穷小量的代换,归纳出1∞未定型极限的几种巧妙方法,与教材中的常用方法相比,这些方法更简洁实用.
4.期刊论文 刘小平 剖析极限的求法和技巧 -中国校外教育(基教版)2009,
极限问题是整个微积分学的基础,是高等数学基础概念与核心内容之一,熟练掌握一些解题技巧是非常必要的.本文将从变形法求极限的技巧以及巧解1∞型极限这两类求极限的技巧进行探讨,变形法作为求极限的一种常用的方法,变化很多,本文力图对其中的变化技巧作出归纳,提出了5种方法;本文充分利用等价无穷小量代换,归纳出1∞未定型极限的几种巧妙方法,以便形成常规思路.
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范文三:等价无穷小替换的实质
等价无穷小替换的实质
陈玉发
(河南 郑州 郑州职业技术学院 450121)
摘要:在利用等价无穷小替换进行极限运算时,出现了“悖论”.产生悖论的原因是因为使用者没有
真正理解等价无穷小替换的实质.可以从代数变换的角度理解等价无穷小替换的实质,也可以从函数的幂级数逼近理解等价无穷小替换.理解了替换的实质,在运算中就可以避免出错.
关键词:不定式 极限 等价无穷小替换 代数变换 幂级数
(作者简介:陈玉发,男,河南省荥阳市人.汉族,出生于1969年5月.工作单位:郑州职业技术学院,副教授,硕士.从事数学教育研究.邮编:450121.E-mail:cyf01969@sina.com.)
两个无穷小(大)量之比的极限,可能存在,也可能不存在,因此我们把两个无穷小量
0?【】
型或型的不定式极限1.除0?
0?
此之外,还有其它5种类型的不定式极限,最终都是通过适当的代数变换,转化为型或
0?
或两个无穷大量之比的极限统称为不定式极限,分别记为型的不定式极限.
在计算不定式极限时,等价无穷小替换是一种简化运算的有效手段.但是,任何方法都有它的局限性,等价无穷小替换也不例外.
1.等价无穷小替换的“悖论”
ex?e2x?
例1.计算极限 lix?0n
解Ⅰ 用罗比达法则:
原式?
?enx1
x
).
lime
x?0
1
lixx?0
ex?e2x??enxxln()
n
1
?e
x
ex?e2x??enxx
limln()x?0n
lnex(?2ex??lixx?0
en?x)
1
lnn
?e?e
2x
ex?e??enn
?e
)
1
lie?e?x?0
(ex?22ex?x?e
?nnex)
)
1nn?(
n2
1)
?e
1
(?1?2?nn
?e
?e
n?12
. (1)
解Ⅱ 利用等价无穷小替换:
ex?e2x?ln(
n
?enx
1)x
原式?
lime
x?0
?e
ex?e2x?
limln(x?0n
?enx
1
)x
?e
?e(1?e)??x
1?e??limln??x?0n????
1
?nx?x
xnx
1?x
?e
?e(1?elimln??x?0?n(1?ex)???
xnx
1
)?x
?e
?elimln??x?0?n?x???
x
(在x?0时,ex?1~x,enx?1~nx
?e
x?0
limln
??
1
xxe
?e
x?0
limlne
?e . (2)
于是,(1)和(2)形成了“悖论”.解Ⅰ的过程没有问题.解Ⅱ的问题在于运用等价无穷小替换时,没有理解等价无穷小替换的实质.下面就讨论一下等价无穷小替换的实质.
2.从代数变换的角度看等价无穷小替换
我们先看一下等价无穷小替换法则:
设在x?x0时,f(x)与g(x)是等价无穷小即,lim
x?x0
f(x)
?1. g(x)
(1)lim
x?x0
f(x)
?A(或?); h(x)
(2)limf(x)h(x)?A(或?).
x?x0
则 (1)lim
x?x0
f(x)g(x)
?lim?A(或?); h(x)x?x0h(x)
【2】
(2)limf(x)h(x)?limg(x)h(x)?A(或?)
x?x0
x?x0
.
等价无穷小替换的实质是代数变换中的恒等变换,即
x?x0
lim
?f(x)g(x)?g(x)f(x)g(x)f(x)
?lim?lim?lim?A. ?lim???x?xx?xx?xx?x0h(x)0g(x)0h(x)0h(x)?h(x)g(x)?
另外,极限的运算法则中,函数乘积的极限等于极限的乘积,这个法则仅适用于有限多个函数,对于无限多个函数乘积的极限,这个法则不适用.例如
1
lim(1?)?1, n??n1111
lim(1?)?(1?)??(1?)?lim(1?)n?e n??nnnn??n
n个
不等于
11lim(1?)?lim(1?)?n??nn??n
n个
1
?lim(1?)?1. n??n
在上面的解Ⅱ中,仅考虑了lim了错误的结果.事实上,在解Ⅱ中
e?1?(e?1)?
?1,而忽略了lim???1,因而导致x?0x?0nx?nx?
nx
nx
1
x
?e(1?e)?limln?? xx?0n(1?e)??
nx??xnx
e(e?1)????limln?
x?0x?x
?n(e?1)??
x??
1
x
xnx
1x
?
1?x
??e?nx?x
?limln???x?0nx???
??
?e?1?
????x??e?1????x?
nx
1x
???? ???
1
??nxx??e?1??1????? ?lim?ln(ex)x?ln?xx?0e?1???????
x??????
?e?1???
?1?limln?x?
x?0e?1??
???x?
?e?1??e?1?
?1?limln??limln???. x?0x?0
?nx??x?
而
1x
nx
1x
nx
1x
x
1x
?e?1?1limln??lim[ln(enx?1)?lnnx] ?x?0x?0x?nx?
[ln(enx?1)?lnnx] ?lim
x?0x
nx
nenx1?lim(nx?) x?0e?1x
nenx?x?enx?1?lim[] nxx?0x(e?1)
(nx?1)enx?1nx?lim(这里仍用等价无穷小替换:x?0时,e?1~nx) 2x?0nxnenx?n(nx?1)enx?lim x?02nxenx?(nx?1)enx?lim x?02x
?
n. 2
在limln?
x?0
?e?1?
?中,n?1,所以 x??
x
1
x
x
1x
?e?1?1
. limln???x?02?x?
于是
?e(1?e)?n1n?1
limln??1???, ?xx?0n(1?e)222??
xnx
1
x
所以,原式?e
n?12
.
从代数变换的角度看,等价无穷小替换的实质是:在算式中,为了使算式恒等,乘以一个与其等价的无穷小,再除以一个与其等价的无穷小,实质上相当于乘了一个极限为“1”的变量.当被替换的变量的次数有限时,根据极限的运算法则可知,这样的变换不影响极限运算的结果.如果被替换的变量的次数是“?”时,如例1,因为极限是“1”的变量的无穷大次幂不再是1,因此,此时要慎用等价无穷小替换.
3.从函数的幂级数逼近的角度看等价无穷小替换
从函数逼近的角度来看,等价无穷的实质为:若?(x),r(x)均是无穷小量,且 r(x)??(x)??1(x)??1(x)?其中?i(x)(i?1,2,
??n(x),
,n)是?(x)的高阶无穷小,则r(x)~?(x).
x?x0
x?x0
如果在x?x0时,limf(x)?limg(x)?0,且f(x)?g(x)?(f(x)),这时,在极限运算中,可以用f(x)替换g(x)或用g(x)替换f(x).其实,我们常见的等价无穷小,都是函数的幂级数逼近,如:
x3x5x7
sinx?x????
3!5!7!x2x4x6
1?cosx????
2!4!6!x2x3
e?1?x???
2!3!
x
?x?(x) x2
??(x2) 2!
?x?(x)
x2x3
ln(1?x)?x???
23
?x?(x)
在极限运算中,我们就是用以上函数的幂级数展开式中的第一项来替换原函数,达到简化极限运算的目的.后边的余项是比第一项高阶的无穷小.但是,无穷小的阶的高低是相对的,如果在算式中,有无穷大因子,那么,在使用等价无穷小替换时就要特别注意.
例2.求极限lim?
?e?1?
? x?0nx??
nx
1x
错解:因为在x?0时,e?1~nx,所以
nx
?nx?
?lim1x?1 原式?lim??x?0nxx?0
??
事实上,
?elimln??x?0?nx???
nx1
?1?x
1x
1
原式?e而
?e
1?enx?1?limln??x?0x?nx???
e?1
?nx
nx
1?nx?
1
(nx)2?(x2)?1
1?1?nx?(x)
nx2!
enx?111
ln?ln[1?nx?(x)]~nx?(x)
nx2!2!
所以
1?enx?1?limln??x?0x?nx???
11
lim[nx?(x)]x?0x2!
n2
e?e?e
nx
在例2中,出错的原因是因为在进行代换时,仅取了函数e?1的幂级数的第一项,把后边的项忽略了,导致了比较大的误差.可见,在利用等价无穷小代换进行极限运算时,涉及到无穷次幂时,一定要考虑余项的阶数.
比较例2的解法和前面的计算方法可以看出,在计算不定式极限时,等价无穷小替换在简化不定式极限的计算方面还是非常有效的.
一般地,在不定式极限的运算中,对于“1”类型的极限运算,若要利用等价无穷小进行替换,一定要谨慎.对于此类极限一般是借助于指数与对数的关系,转换为“0??”类型的极限.由于在算式中有无穷大因子,因此,用幂级数逼近函数时,要注意余项是比无穷大因子的倒数高阶的无穷小.
?
参考文献:
【1】华东师范大学数学系.数学分析(上册)(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2006.5.第127页.
【2】王向东.数学分析的概念与方法【M】.上海:上海科学技术文献出版社,1989.10,第196页.
范文四:极限的等价无穷小替换研究
极限的等价无穷小替换研究 第2O卷第3期
2011年9月
河南教育学院(自然科学版)
JournalofHenanInstituteofEducation(NaturalScienceEdition)
V01.20No.3
Sep.2011
doi:10.3969/j.issn.1007—0834.201I.03.002
极限的等价无穷小替换研究
尤晓琳,吴振芬
(鹤壁职业技术学院基础部,河南鹤壁458030)
摘要:将数学分析中等价无穷小替换定理做了补充,给出了和,差函数极限的无穷小,上限函数极限的等价无
穷小,级数敛散中的等价无穷小和1型函数极限的等价无穷小. 关键词:函数;极限;等价无穷小;替换
中图分类号:O171文献标识码:A文章编号:1007—0834(2011)03—0004—03 等价无穷小替换是求极限的重要方法之一,在求和,差函数的极限,积分上限函数极限,1型函数
的极限,判断级数敛散性等方面,等价无穷小替换具有很好的性质,掌握并充分利用好它的性质,往往会使一
些复杂的问题简单化,起到事半功倍的效果.本文对等价无穷小替换定理做了补充,给出了和,差函数极限的
无穷小,上限函数极限的等价无穷小,级数审敛中的等价无穷小和1型函数极限的等价无穷小.扩大了等价
无穷小在极限运算中的范围,推广了相关结论.
1和,差函数极限的无穷小
,/,
定理1设),(),g(),g.()为一‰时的无穷小量,且),(),g(),g.(),若lim今=-+0\,
k,贝U:(1)当k?1时,/)一g()-f,()一g();(2)当|]2?一1时,/)+g(),()+g.().
证明由无穷小量的性质易知,-厂(z)?g(),()?g()都是—.时的无穷小量. (1)当,?吼…
lim
.JIg1
=
00\,一,…
(2)当Ii}=?时'
…
lim
.篇=…limJ1gl.0,一/…0
末=lim/gg/g/g藉1=k1()()一()()()()一一''
誊=lim1-0g/f(10())一())一'
所以有)一g()-f,()一g.().同理可证(2).
注当_+0时,等价无穷小替换有,sin,tan,arcsin,arctan,ln(1+),e一1,1一
COS一
2
5-,(1+)一(>0).
例1求极限lira—
-0
解因为tan:,2,l—c.s,z/2,(_?0),且1im:2?1,所以lim: .
,
/21—一
'
例2求极限lime--+~.
解因为当—o时,e一1,2,一1,?,sin,,lim:6?1,lim?:1?一1,所 0一.?14-3t"一1.sin
以lim!::二互:lim!::二二(互二!:lim二:5/6. 注若定理中的k=?1,则上述定理不真,可以利用泰勒展开式的方法求解.
收稿日期:2011—03—15
作者简介:尤晓琳(1972一),女,河南鹤壁人,鹤壁职业技术学院基础部副教授,主要
研究方向:基础数学教学
第3期尤晓琳等:极限的等价无穷小替换研究5 2上限函数极限的等价无穷小
定理2设(),卢()为—.时的无穷/l~!it,()一卢(),且a()与()在[0,】上连续,则有
Jf.x(t)d,卢(t)dt.
证明因为:一,一删r.xlimor(x)x,硼鼬一-l'删)d.. f)出'
.I?n'
Iln(1+,)dt
例3求lim_===一.
.l+X4—1
解由于当一0时,一1,'/2,In(1+),,
tnn^lan'
l
…
im:l
—
im:l
—
im堂:l
—
im:114/22x2xCOS.———一:一:::.—o
,/i_—一一o—o—o'
定理3~:lim.
f()=A(A?0),)与g()在[0,]上连续,则J).g(,)dtJA'g(f)dt?
证明
警
(Iln(2+t)dt)
例4求lim—-——一.
一.ffe2cdt
J0
解因为n(2+)=ln2.1i.+
m
.
e
h
=l,所以当--,o~f,ln(2+t)d,ln2df=ln2,,
0_+0JnJnI
tdt==
注当一0时,常用的变上限积分的等价无穷小有蹦t,sintd,一tan,d,,arcsindt,
arctan,-n(-+t),(e?)dt,手,[(-+t)一-]d,号2,I一-)dt,?n.(.> 0,n?1),J.(1一…t)df,.
定理4设,(),g()为?时的同号无穷小量,且)g(),则当n_+oo时,n)与 n
?=l
g(n
证明(1)当?,(n)为正项级数时,由,(n)一g(n)lim(f(n)/g(凡))=1j对占=1/2,存在着正?…
整数?,当凡>?时,有l一8<告<1+,即()<n)<寻g(n),由正项级数比较审敛法知耋n)
与g(n)同敛散'
(2)当n)为负项级数时,注意到,(n)/g(n)=If(n)I/Ig(n)I,立即得出定理的结论? 6河南教育学院(自然科学版)2011卑
例5判断级数?(一1)的敛散性.
解令)=e一1,g()=1/x,当一+?时,),g(),由定理,当n—oo~j-,?(一1)与 1同敛散,因为发散,故
n
?=
l
(一)发散?
例6判断级数主}的敛散性.
解令)=}等,g()=,当一+?时,)一g(),由定理,当n一?时导与+Zn+ 耋4同敛散,因为n主ffiln收敛,所以耋+_收敛.
41型函数极限的等价无穷小
定理5设在同一个变化过程中,"(),(),U.(),.()都是无穷小,并且u()一".(),()一 .
(),则在z的这种趋向下,极限lim[1+"()】"=lim【1+".()】."'. 证明lim【1+"()】=liraexp{In[1+"()】/v())=exp{limIn【1+11,()】/v()).又由于 u()一"1(),(),】(),有In【1+"()】一U(),"l()一In【1+"l()】.于是,exp{limIn【1+ H()】/v()}=exp{limIn【1+"l()】/vl())=lim【1+il,l()】/vl(). 例7求极限lim【In(e+e2sin2x)】?".
解因为lim【In(e+esin2x)1】'卜":lim{In[e(1+esin2x)】)'卜"= lim【1+In(1+esin2x)】,
当-+0时,有In(1+esin2x),esin2x,2ex,又1一COS—X2/2,因此 lim【In(e+e2sin2x)】'卜…'=lim【1+2ex】一x2/2=e—x2/2=e". 参考文献
[1]同济大学.高等数学[M].北京:高等教育出版社,2002. [2】盛祥耀.高等数学辅导[M】.北京:清华大学出版社,200I. [3]肖亚兰.高等数学解题常见错误剖析[M].上海:同济大学出版社,2001. [4]同济大学数学教研窒.高等数学[M].4版.北京:高等教育出版社,2000 ResearchonSubstitutionofEquivalentInfinitesimalofLimit
YOUXiao—lin.WUZhen—fen
(DepartmentofBasic,HebiVocationalandTechnicalCollege,Hebi458030,China)
Abstract:Supplementedsubstitutiontheoremofequivalentinfinitesimalinmathematicalanalysis,andprovidedin—
finitesimaloflimitofsumfunctionanddifferencefunction,equivalentinfinitesimaloflimitofupperlimitfunction,
equivalentinfinitesimalofseriesdivergenceandconvergence,andequivalentinfinitesimaloffunctionlimitof
type1.
Keywords:function;limit;equivalentinfinitesimal;substitution
范文五:等价无穷小替换,极限的计算
无穷小 极限的简单计算
【教学目的】
1、理解无穷小与无穷大的概念;
2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限; 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】
1、无穷小与无穷大; 2、无穷小的比较;
3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换; 4、求极限的方法。 【重点难点】
重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。
【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟),在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟),课堂练习(15分钟)。 【授课内容】
一、无穷小与无穷大
1.定义
前面我们研究了n??数列xn的极限、x??(x???、x???)函数f?x?的极限、x?x0(x?x0、x?x0)函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用
?
?
x?*表示上述七种的某一种趋近方式,即
*?n??
?
x??x???x???x?x0x?x0
?
?
x?x0
?
定义:当在给定的x?*下,f(x)以零为极限,则称f(x)是x?*下的无穷小,即
limf?x??0。
x?*
例如, ?limsinx?0, ?函数sinx是当x?0时的无穷小.
x?0
?lim
11
?0, ?函数是当x??时的无穷小. x??xx
(?1)n(?1)n
是当n??时的无穷小. ?lim?0, ?数列n??nn
【注意】不能把无穷小与很小的数混淆;零是可以作为无穷小的唯一的数,任何非零常量都
不是无穷小。
定义: 当在给定的x?*下,f?x?无限增大,则称f?x?是x?*下的无穷大,即
limf?x???。显然,n??时,n、n2、n3、?都是无穷大量,
x?*
【注意】不能把无穷大与很大的数混淆;无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的,在不同的极限形式下,同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大,如
lime?0, lime??? ,
x???
x???
xx
所以e当x???时为无穷小,当x??? 时为无穷大。
2.无穷小与无穷大的关系:在自变量的同一变化过程中,如果f?x?为无穷大,
x
则
11为无穷小;反之,如果f?x?为无穷小,且f?x??0,则为无穷大。 fxfx小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量,任何非零常量都不是无穷小,谈及无穷大量、无穷小量之时,首先应给出自变量的变化趋势。
3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?
x?x0
x
f(x)A+?(x),其中?(x)是自变量在同一变化过程
x?x0(或x??)中的无穷小.
证:(必要性)设limf(x)=A,令?(x)=f(x)-A,则有lim?(x)=0,
x?x0
x?x0
?f(x)?A??(x).
(充分性)设f(x)=A+?(x),其中?(x)是当x?x0时的无穷小,则
xx0
limf(x)=lim(A+?(x)) ?A?lim?(x) ?A.
x
x0
x?x0
【意义】
(1)将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);
(2)给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)?A,误差为?(x). 3.无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
11
但n个之和为1不是无穷小. 例如,n??时,是无穷小,
nn
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如:lim(?1)
n??
n
111
?0,limxsin?0,limsinx?0
x?0x??xnx
推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
二、无穷小的比较
例如,当x?0时,x,x,sinx,xsin
2
2
1
都是无穷小,观察各极限: x
x2lim?0,x2比3x要快得多; x?03x
sinx
?1,sinx与x大致相同;
x?0x
1x2sin
?limsin1不存在.不可比. lim
x?0x?0xx2lim
极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.
1.定义: 设?,?是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且?10.
?
=0,就说?是比?高阶的无穷小,记作?=o(?); ??
(2)如果lim?C(C?0),就说?与?是同阶的无穷小;
??
特殊地如果lim=1,则称?与?是等价的无穷小,记作?~?;
??
(3)如果limk=C(C?0,k0),就说?是?的k阶的无穷小.
?
(1)如果lim
例1 证明:当x?0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.
tanx34xtan3x
?4lim()?4,故当x?0时,4xtan3x为x的四阶无穷小证:lim. 4x?0x?0xx
例2 当x?0时,求tanx?sinx关于x的阶数. 解?lim
x?0
tanx?sinxtanx1?cosx1?lim(?)?,?tanx?sinx为x的三阶无穷小. x?0x3xx22
2.常用等价无穷小:当x?0时,
(1)sinx~x; (2)arcsinx~x; (3)tanx~x;
x
(4)arctanx~x; (5)ln(1?x)~x; (6)e?1~x
x2x
(7)1?cosx~ (8)(1?x)??1~?x (9)a-1~lna*x
2
用等价无穷小可给出函数的近似表达式:
?lim
?????1,?lim?0,即????o(?),于是有????o(?). ??
12
x?o(x2). 2
例如sinx?x?o(x),cosx?1?
3.等价无穷小替换
定理:设?~??,?~??且lim
?????存在,则lim?lim. ?????
证:lim
?????????????
???)?lim?lim?lim?lim.
?????????????
2
tan22xex?1
.; (2)lim例3 (1)求lim
x?01?cosxx?0cosx?1
12(2x)2
解: (1)当x?0时,1?cosx~x,tan2x~2x. 故原极限=lim= 8
x?02x2
21x2
?(2)原极限=lim= 2x?02x?2
例4 求lim
x?0
tanx?sinx
. 3
sin2x
错解: 当x?0时,tanx~x,sinx~x.原式?lim
x?x
=0
x?0(2x)3
13x, 2
正解: 当x?0时,sin2x~2x,tanx?sinx?tanx(1?cosx)~
13x
1. 故原极限=lim3?
x?0(2x)16
【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷
小替换。
例5 求lim
tan5x?cosx?1
.
x?0sin3x
12
x?o(x2). 2
12o(x)1o(x2)2
5x+o(x)+x+o(x)5??x?
?5. 原式=lim?lim
x?0x?03x+o(x)3
3?
x
解: ?tanx?5x?o(x),sin3x?3x?o(x),1?cosx?
三、极限的简单计算
1. 代入法:直接将x?x0的x0代入所求极限的函数中去,若f?x0?存在,即为其极
2x5?3x4?2x?12
?;若f?x0?不存在,我们也能知道属于哪种未定式,限,例如lim3x?193x?2x?40x2?9
便于我们选择不同的方法。例如,lim就代不进去了,但我们看出了这是一个型
x?3x?30
未定式,我们可以用以下的方法来求解。
2. 分解因式,消去零因子法
x2?9
?lim?x?3??6。 例如,lim
x?3x?3x?3
3. 分子(分母)有理化法 例如,lim
x?2
x2?5?32x?1?5
?lim
x?2
x2?5?32x?1?
2x?1??
2x?1?5x?5?3x2?5?3
2
x2?4
?lim
x?22x?4
?lim
?x?2??x?2? x?22x?2
?2 又如,lim
x???
x
2
2
?1?x?lim
?
1x?1?x
2
x???
?0
4. 化无穷大为无穷小法
1
-3x+x-7例如,lim=limx2x2-x+4x1
2-+
x
3+
无穷大量。由此不难得出
7
=3,实际上就是分子分母同时除以x2这个42x2
?a0
,n?m?b
a0xm?a1xm?1???am?0lim??0,n?m x??bxn?bxn?1???b01n??,n?m
??
又如,lim
?xx?2
?
?lim
x???
x???
1x
?1,(分子分母同除x)。 2?
x
?2????1nn
2?5?5?n
?lim??1,再如,limn(分子分母同除5)。 nnn??3?5n??
?3????1?5?
5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限
n
例如,lim
xarctan?x?1??0,(无穷小量乘以有界量)。 x??3x2?x?1
4x?1
. 又如,求lim2
x?1x?2x?3
解:?lim(x?2x?3)?0,商的法则不能用
x?1
2
x2?2x?30
又?lim(4x?1)?3?0,?lim??0.
x?1x?134x?1
由无穷小与无穷大的关系,得lim
x?1
4x?1
??. 2
x?2x?3
再如,等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。 6. 利用两个重要极限求极限(例题参见§1.4例3—例5) 7. 分段函数、复合函数求极限 例如,设f(x)??
?1?x,x?0
,求limf(x). 2x?0x?1,x?0?
解: x?0是函数的分段点 ,两个单侧极限为
2
limf(x)?lim(1?x)limf(x)?lim(x?1)?1, ?1,????
x?0
x?0x?0x?0
左右极限存在且相等, 故limf(x)?1.
x?0
【启发与讨论】 思考题1:当x?0时,y
11
sin是无界变量吗?是无穷大吗?
xx
解:(1)
取x0?
12k??
2
(k?0,1,2,3,?)
2
1
(2)取x0?
2k?
y(x0)?2k??
?
, 当k充分大时,y(x0)?M.无界,
(k?0,1,2,3,?)
当k充分大时,xk??, 但y(xk)?2k?sin2k? ?0?M.不是无穷大.
结论:无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.
思考题2:若f(x)?0,且limf(x)?A,问:能否保证有A?0的结论?试举例说明.
x???
解:不能保证. 例f(x)?
111
?x?0, f(x)??0 limf(x)? lim?A?0.
x???x???xxx
1sinx
,g(x)?都是无穷小量 xx
思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗?
解:不能.例如当x???时f(x)?但lim
x???
g(x)
?limsinx不存在且不为无穷大,故当x???时f(x)和g(x)不能比较. f(x)x???
【课堂练习】求下列函数的极限
ex?cosx
(1)lim;
x?0x
ex?cosxex?11?cosx
?lim?lim?1 解:原极限=lim
x?0x?0x?0xxx1
(2)求lim
x?0(1?cosx)ln(1?x)
3sinx?x2cos
【分析】 “
”型,拆项。 0
1?1???22
?3sinx?xcos??3sinxxcos?3
?=lim??= ?解:原极限=lim?
x?0?2x2x?2?x?0?2x????????
5x5?4x4?3x2
(3)lim ; 5x??2x?4x?1
【分析】“抓大头法”,用于
?
型 ?
5??355x55解:原极限=lim=,或原极限=lim5= x??222?x2x4?5
xx
(4)lim(x?x?x);
x??
2
【分析】分子有理化
解:原极限=lim
xx2?x?x
x???
=lim
x???
1 2?x?1
1
=
x21
?) (5)lim(2
x?2x?4x?2
【分析】???型,是不定型,四则运算法则无法应用,需先通分,后计算。
x?13x2?x?2x21
lim?)=lim解:lim(2== x?2x?2x?2x?44x?2x?2x2?4
(6)lim
x?0
x2x?9?3
2
【分析】“
”型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因子。 0
解:原极限=lim
x?0
x2
x
2
?9?3
x2
=6
(7)求lim(
n??
12n????). n2n2n2
解: n??时,是无穷小之和.先变形再求极限.
1
n(n?1)12n1?2???n111lim(2?2???2)?lim?lim(1?)?. ?lim2n??nn??n??n??nnn22n2n
【内容小结】
一、无穷小(大)的概念
无穷小与无穷大是相对于过程而言的. 1、主要内容: 两个定义;四个定理;三个推论. 2、几点注意:
(1) 无穷小( 大)是变量,不能与很小(大)的数混淆,零是唯一的无穷小的数; (2) 无穷多个无穷小的代数和(乘积)未必是无穷小. (3) 无界变量未必是无穷大. 二、无穷小的比较:
1.反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较。高(低)阶无穷小; 等价无穷小; 无穷小的阶。
2.等价无穷小的替换:
求极限的又一种方法, 注意适用条件.
三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法);
a.多项式与分式函数代入法求极限; b.消去零因子法求极限; c.无穷小因子分出法求极限; d.利用无穷小运算性质求极限; e.利用左右极限求分段函数极限.
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