范文一:高斯公式的证明
设向量场F =Pi +Qj +Rk 在闭合曲面∑上以及所封闭的区域内连续可微的,则有 ?P ?Q ?R Pdydz +Qdzdx +Rdxdy -------1???∑?x +?y +?z ) dv = ??∑ (其中等式左边可改写为???(??F ) dv ∑ 右边可改写为 F ?ds =(F ?? ???n ) ds = ??(Pi +Qj +Rk ) ?(cosαi +cos βj +cos γk ) ds ) (
∑∑∑
证明:
z 2(x , y ) ?R (x , y , z ) ?R =??(?) dxdy ???z 1(x , y ) ?z ?z ΩDxy
=
=Dxy ??(?z 2(x , y ) z 1(x , y ) dR (x , y , z )) dxdy 21
Dxy ??R (x , y , z (x , y )) dxdy -??R (x , y , z (x , y )) dxdy Dxy
21
Dxy Dxy ??Rdxdy =??R (x , y , z (x , y )) dxdy -??R (x , y , z (x , y )) dxdy Ω
?R v = Rdxdy ??????z ΩΩ
同理得:???Ω?P ?Q dv = Pdydz ; = Qdzdx ????????x ?y ΩΩΩ
三式相加即可得到高斯公式
范文二:高斯公式的应用
高斯公式的应用
摘要:
高斯公式是重积分中一个极其重要的公式, 揭示了空间区域的三重积分与其边界面上的曲面积分之间的关系[1-2] . 然而在教学实践中, 却有不少学生被发可现不能正确恰当用高斯公式, 原因在于其对于高斯公式应用的条件理解不够准确透彻和对解决此类问题的方法、技巧掌握不够灵活. 现通过积分区域S 的不同情况时,对高斯公式的应用进行讨论,更深入的了解高斯公式的应用条件以及应用技巧。
关键词:第二型曲面积分;高斯公式;应用技巧。 Abstract:
Gaussian formula is an extremely important formula of re-integration, reveals the relationship between the surface integral of the triple integral of it boundary surface of the region of space [1-2] in the teaching practice, however, there are a lot of students are sent can be is not correct and appropriate use Gauss formula, as understood in its application conditions for the Gaussian formula not thorough and accurate method to solve such problems, not flexible enough to master skills through the integration region S, the Gaussian formula discussions, a deeper understanding of the Gaussian formula conditions and application skills.
Keywords: surface integral; Gaussian equation; application skills.
1. 预备知识[3]
定理1 设求第二型曲面积分,一般是将它投影到平面化为二重积分来积分. R 是定义在光滑曲面S :z =z (x , y ), (x , y )∈D xy 上的连续函数,以S 的上侧为正侧(这时S 的法线方向与z 轴正向成锐角), 则有??R (x , y , z )dxdy =
S
D xy
??R (x , y , z (x , y ))dxdy
定理2 设空间区域V 由分片光滑的双侧封闭曲面S 围成. 若函数P, Q, R 在V 上连续, 且有一阶连续偏导数
(1)其中S 取外侧. (1)
?P ?Q ?R ++) dxdydz =Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ?x ?y ?z S
???(
v
式称为高斯公式。
注意 该公式的适用条件有两个:(1)为曲面S 为一个封闭的曲面,并且S 是有方向的,一般外则为正向. (2)函数P ,Q ,R 在封闭曲面S 所围成的空间区域V 上连续且有一阶连续偏导数.
下面通过对曲面S 进行不同的分类以及函数P, Q, R 在V 上连续情况,讨论不同条件下高斯公式的应用方式及应用技巧. 2. 高斯公式的应用
2.1封闭曲面直接应用高斯公式
当涉及到的曲面时一个封闭的曲面时 ,可以直接利用高斯公式将封闭曲面的二重积分 化成相应的三重积分,但要注意曲面S 的方向.
例1[4] 求第二型曲面积分xdxdy +cos ydzdx +dxdy , 其中S :x 2+y 2+z 2=1
S
的外侧.
解 因为题目中的条件满足高斯公式的两个条件,其中P=x Q=cos y ,R=1 由高斯公式得,所求积分I=xdxdy +cos ydzdx +dxdy
S
=???2
x
??P ?Q ?R ? ?++dv ?+y 2+z 2≤1 ?x ?y ?z ??
=
???
(1-sin y )dv x +y +z ≤1
2
2
2
=
???
x +y +z ≤1
222
dv -???2
x +y +z ≤1
22
sin ydv
由于x 2+y 2+z 2≤1,关于平面y=0对称, sin y 为y 的奇函数,故
4
, 所以I= sin y =0???x 2+y 2+z 2≤13
例2. 求第二型曲面积分, 其中S 为且其外法线方向与x 坐标轴的夹角为钝角. 分析:由S 的外法线方向与x 坐标轴的夹角为钝角,知取S 的内侧,不满足高斯公式应用的条件,所以不能直接使用 高斯公式,但是因为,其中为S 的反向,即为S 的外侧,可以利用该结论对题目进行转化进而利用高斯公式. 解 ∵xdxdy +cos ydzdx +dxdy =-xdxdy +cos ydzdx +dxdy ,
-
S
s 其中P=x Q=cos y R=1
∴I=xdxdy +cos ydzdx +dxdy =-xdxdy +cos ydzdx +dxdy
-
S
s
∵S -为S 的外侧,∴xdxdy +cos ydzdx +dxdy 满足高斯公式的应用条件
-s
??P ?Q ?R ?
由高斯公式得,I=- ???x 2+y 2+z 2≤1 ?x +?y +?z ??dv
??
=-
???
(1-sin y )dv
x +y +z ≤1
2
2
2
=-
???
x 2+y 2+z 2≤1
dv +???2
x +y 2+z 2≤1
sin ydv
4
由于x 2+y 2+z 2≤1,关于平面y=0对称, sin y 为y 的奇函数,故, 所以I=-
3
2.2构造封闭曲面在运用高斯公式
当题目中所涉及的曲面不封闭时,这时要利用高斯公式来计算第二型曲面积分,则需要添加辅助面,一般为平行于坐标平面的辅助平面,构成封闭曲面. 例3[5]. 计算J=??zdxdy +ydzdx +xdydz , 其中S 为圆柱面x 2+y 2=1被z=0,z=3
S
截的部分外侧.
解 分别补充圆柱面x 2+y 2=1与z=0,z=3的交平面S 1下,s 2上,其中
S 1下: z =0, (x , y )∈x 2+y 2≤1 ,S 2上 : z =3, (x , y )∈x 2+y 2≤1合起来为一个封
{}{}
闭的曲面,记P=x Q=y R=z J=??zdxdy +ydzdx +xdydz
S
=
S +S 1下+S 2上
zdxdy +ydzdx +xdydz -I -I 12其中I 1=
s 1下
??zdxdy +ydzdx +xdydz , I
2
=
s 2上
??zdxdy +ydzdx +xdydz
由高斯公式得
S +S 1下+S 2上
π=9π zdxdy +ydzdx +xdydz =3???dv =3?3
V
而S 1下垂直xoz 平面, yoz 平面,S 2上垂直xoz 平面,yoz 平面 ∴I 1=0, I 2=??22dxdy =3π
x +y ≤1从而J=9π-3π=6π
2.3曲面封闭但存在有限个奇点
2.3.1 当在封闭的曲面内有奇点(即被积函数不连续或偏导数不存在的点),当这个奇点为良性奇点(不妨把使被积函数P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z )满足等式
?P ?Q ?R ++=0的奇点定义为良性奇点,反之则定义为非良性奇点) 一般会?x ?y ?z
用小圆或小椭圆来挖掉这个奇点,从而使这个小圆或小椭圆和原来的曲面共同
构成一个封闭的复连通区域,则在这个复连通区域内可以利用高斯公式,是小圆还是小椭圆要根据所给的被积函数的形式. 例4[6]. 计算Gauss 曲面积分I =S
cos (n , r )dS , 其中S 是封闭光滑曲面,原点r 2
不在S 上, r是S 上动点至原点的距离,(n , r )动点处外法线方向n 与径向量r 的夹角.
解 =(x , y , z )表示动点(x , y , z )的径向量,则模r=x 2+y 2+z 2, =(cos α, cos β, cos γ),表示S 在动点的外法线单位向量.
x y z
则cos (n , r )=?n =?cos α+?cos β+?cos γ
r r r r
题目分两种情况:
1 若原点位于S 之外部区域,则函数 P=
x
=r
x x +y +z
2
2
2
Q=
y =r
y x +y +z
2
2
2
R=
z =r
z x +y +z
2
2
2
在S 内部区域
直到边界S 上有连续偏导数. 因此可应用高斯公式 I==S
cos (n , r )y z ?x ?
dS =cos α+cos β+cos γ ?dS 333r 2r r r ?S ?
=S
x y z
+dzdx +dxdy 333r r r ???x ???y ???z ??
3?+ 3?+ 3??dV ?x ???r ??y ?r ??z ?r ??
=???
V
注意
?x ?
=?x r 3?x
x
x
2
+y +z
22
x
3
=
y 2+z 2-2x 2
2
+y +z
22
5
13x 2=3-5 r x
由轮换对称性得
?x ?y ?z 3?3x 23y 23z 2?
+5+5?+ + = 3- =0 5333 x x ??x r ?x r ?x r r ?x ?
故I=???0dxdydz =0
V
2 若原点位于S 的内部区域. 这时P 、Q 、R 在原点处不连续,不能直接在S 的内部区域上应用高斯公式公式. 今以原点为中心,以ε>0(充分小)为半径,作一球面δε,使得δε全位于S 的内部区域. 以V 表示S 与δε之间的区域. 则V 内部不含原点可以应用1 中已得结论. 因此原积分I=
cos (n , r )=cos (n , r )-cos (n , r )
dS dS S r 2S +δεr 2δεr 2dS
cos π
dS
=???0dxdydz -V
δε
ε
2
=
1
ε
2
dS δ
ε
=
1
ε
2
?4πε2
= 4π
?0,当远点位于S 得外部区域
总之 I=?
?4π,当远点位于S 得内部区域
因为该例题中涉及被积函数的分母中x 2+y 2+z 2有这种球面形式形式,所以利用用充分小的球体去挖掉这个奇点. 例5[7]. 计算曲面积分I =S
xdydz +ydzdx +zdxdy
ax
2
+by 2+cz
23
, (a >0, b >0, c >0)其中S 是
球面x 2+y 2+z 2=1,取外侧.
解 记
P =
x
ax
2
+by 2+cz
23
Q =
y
ax
2
+by 2+cz
23
R =
z
ax
2
+by 2+cz
23
,
则在不包含原点的任何区域上有
?P ?Q ?R ++=0,对充分小的ε>0,作封闭?x ?y ?z
曲面S ε:(x , y , z )∈{ax 2+by 2+cz 2=ε2},取内侧,用充分小的椭球体来挖掉奇点(0, 0, 0), 因为S 与S ε构成复连通区域,设S 1=S +S ε, 在S 1围成的封闭区域应用高斯公式得I =??
S
xdydz +ydzdx +zdxdy
ax
2
+by +cz
2
23
=S 1
xdydz +ydzdx +zdxdy
ax
2
+by +cz
2
23
-S ε
xdydz +ydzdx +zdxdy
ax
2
+by +cz
2
23
=0-S ε
xdydz +ydzdx +zdxdy
ax
2
+by 2+cz
23
而在曲面S ε上有ax 2+by 2+cz 2=ε2,则
-S ε
xdydz +ydzdx +zdxdy
ax
2
+by +cz
2
23
=
S ε-
xdydz +ydzdx +zdxdy
ax
2
+by 2+cz 2
3
其中S ε表示曲面S ε的外侧
-
S ε-
xdydz +ydzdx +zdxdy
ax
1
2
+by +cz
2
23
=
1
ε
3
S ε-
xdydz +ydzdx +zdxdy 再利用一次高斯公式得
1
I=
ε
3
S ε-
xdydz +ydzdx +zdxdy =
ε
3
???3dxdydz
V 1
其中V 1为椭球体ax 2+by 2+cz 2≤ε2,则I=
1
ε3
?3?
4π34π
ε=
3abc abc
因为该题中涉及到的被积函数的分母中ax 2+by 2+cz 2是这种椭球体形式,所以用充分小椭球体来挖掉(0,0,0)这个奇点.
2.3.2 当被积函数个有无数奇点,且为非良性奇点,这时计算第二型曲面积分,一般用投影化成二重积分.
111x 2y 2z 2
例7. 计算+dzdx +dxdy ,其中S 为椭球面2+2+2=1, 方向取
x y z a b c S
外侧.
分析:因为x 轴,y 轴,z 轴上的点都为被积函数的奇点,且为非良性的,所以只能用将椭球面分别投影到三个坐标平面, 从而化成三个二重积分来计算.
x 2y 2
解 首先将椭球面将投影到xoy 平面,得D xy :2+2≤1
a b x 2y 21
先计算,因为在椭球面上有z =±c -2-2
z a b S
1
所以I==??
z S D xy
1c 1-
x y
-a 2b 2
2
2
-
-D xy
??
-c -
1x y -a 2b 2
2
2
dxdy
?x =ar cos θ
dxdy 利用广义的极坐标变换令? =2?? 22y =br sin θ?x y D xy
c -2-2
a b
1
2π
所以I=2?d θ?
1
abr c -r 2
=
14πbc 4πab
,由轮换对称的性质得=,
x a c S
14πac 1114π222222
=+dzdx +dxdy ,所以=a b +b c +a c y b x y z abc S S
()
2.4曲面不封闭,构造辅助平面时产生奇点
当需要求的曲面积分中涉及到的曲面不是封闭的曲面,要用高斯公式,则首先需要添加辅助平面,而恰好在添加的平面上有奇点,则要用通过小椭球体或小球体绕过这个奇点.
xdydz +ydzdx +zdxdy
例6. 求曲面积分I=??
S
x
2
+y 2+z 2
3
(y -1)上侧. z (x -2)+, S :1-=
5169
2
2
分析:因为S 不封闭,添加辅助平面:z=0,但仅仅构造这个平面之后,带来奇点(0,0,0), 所以构造的平面不符合要求. 要绕过(0,0,0)构造辅平面. 解 设S 1=S 2+S 3, 其中
S 2={(x , y , z )|z =0, x +y ≥a
2
2
2
((y -1)≤1取外侧 x -2)且+
2
169
S 3={(x, y, z )|z =a 2-y 2-z 2} 取下侧,a 为足够小的常数,使上半球面S 3与
积分曲面S 不相交,而S 与S 1构成复连通区域,在该区域上可直接应用高斯公式,则有
S +S 1
xdydz +ydzdx +zdxdy
x x
2
2
+y 2+z 2
3
??P ?Q ?R ?=??? ?x +?y +?z ??dxdydz =0
?V ?
xdydz +ydzdx +zdxdy
因此I=??
S
xdydz +ydzdx +zdxdy
+y +z
2
23
=0-??
S 1
x x 2
+y +z
2
23
=-??
S 2
xdydz +ydzdx +zdxdy
x
2
+y 2+z
23
-??
S 3
xdydz +ydzdx +zdxdy
2
+y 2+z
23
而在S 2上z =0, 有
??
S 2
xdydz +ydzdx +zdxdy
x
2
+y +z
2
23
=0,故I=-??
S 3
xdydz +ydzdx +zdxdy
x
2
+y +z
2
23
在S 3上,有r=x 2+y 2+z 2=a , 故I=-
1
a 3
??xdydz +ydzdx +zdxdy
S 3
再补充平面S 0:z =0, x 2+y 2≤a 2,取下侧,则S 0与S 3构成封闭的半球
V 1:x 2+y 2+z 2≤a 2,所以在V 1上应用高斯公式得
??xdydz +ydzdx +zdxdy =-??xdydz +ydzdx +zdxdy
S 3
S 3-
=-
xdydz +ydzdx +zdxdy + ??xdydz +ydzdx +zdxdy
S 0下+S 3
-
S 0下
=-3???dxdydz +
V 1
S 0上
??xdydz +ydzdx +zdxdy ,由曲面积分得知识得
S 0上
??xdydz +ydzdx +zdxdy =0
13
所以I=-
??xdydz +ydzdx +zdxdy =-1
?(-3???dxdydz ) 3a S 3
=-
12π3
a
3
?(-3a ) =2π(文献[8] [9] [10] [11]
a V 1
)
参考文献:
[1] 马知恩. 工科数学分析基础[ M] . 北京: 高等教育出版社, 1998: 150.
[2] 吉林大学数学系. 数学分析: 中册[M] . 北京: 人民教育出社,1978:146.
[3] 华东师范大学数学系. 数学分析:下册 第三版[M].高等教育出版社,2001:286-292.
[4] 钱吉林. 数学分析题解精粹第二版[M].湖北长江出版集团 崇文书局,2009:576.
[5] 钱吉林. 数学分析题解精粹第二版[M].湖北长江出版集团 崇文书局,2009:572.
[6] 裴礼文. 数学分析中典型问题与方法第二版[M].高等教育出版社,2006:987.
[7] 谢惠民. 数学分析习题课讲义下册[M]. 高等教育出版社,2004:348.
[8] 李菊. 运用高斯公式应注意的一个问题[J].高等数学研究,2000, (3):13-14.
[9] 邓东皋,伊晓玲. 数学分析简明教程[M].北京:高等教育出版社,2002.44-59,292-358.
[10]吕淑婷,积分问题浅浅析[J].渭南师范学院学报,2011(2).
[11]李菊娥,应用高斯公式应注意的一个问题[J].高等数学研究,2000(3).
谢 词
衷心的感谢我的论文导师彭文华老师! 他耐心的指导和严谨的治学精神深深的感染着我,在此谨向彭老师致以诚挚的谢意和祟高的敬意。
代水芹 2013年5月4日
范文三:高斯公式的应用
1、高斯公式在普通物理中的应用
数学中的高斯公式是场论中的一个基本公式。它建立了空间某一区域v上的体积分与其边界曲面S上的面积分之间的关系,即
,,,P,Q,R ,,,,dxdydz,pdydz,Qdzdx,Rdxdy(1),,,,,,,,x,y,z,,ys
,,,divFdv,F,ds在物理学中,常用它的矢量形式: ,,,,,vs
,,,,
式中 F,Pi,Qj,Rk
在普通物理学中,应用高斯公式可以简洁明了地证明某些重要的结论。下面我们就用它来推证著名的阿基米德浮力定律和静电场中的高斯定理。 (1)高斯公式推证阿基米德浮力定律
在普通物理的教科书中,一般对阿基米德浮力定律都不作严格的数学证明,仅对它作一个说明。但是我们可以根据重力场中静止流体的压强分布,应用高斯公式给出一个证明。
一物体浮在液面上,液体表面的平面把浮体表面的封闭曲面S分为两部分和,也把整个浮体分为两部分。其中浮在液面上的那部分为,浸没在液SSV121体中的那部分为。建立坐标系,取液体表面为x o y平面,Z轴的方向取为竖V2
直向下。作用在曲面上的压强就是大气压,而作用在曲面上的压强则为 PSS012
P,P,,gz0
式中P为液体的密度,z为曲面上某点处位于液面下的深度。作用在物S2
体上的浮力就是由于作用在物体下部的压强大于作用在物体上部的压强而产生的,我们来具体计算一下。 ,n因为作用在物体表面上任一面元上的压力总是与面元的法向矢量方向相反,所以有: ,,,F,,Pds,,P,ds,n浮,,,,ss,,,,,,,,,,P,cosi,cosj,xcosk,ds,,s ,,,,,iP,ds,cos,,jP,ds,cos,,kP,ds,cos,,,,,,,sss,,,,,,,,,,,i(pi),ds,j(pj),ds,k(pk),ds,,,,,,sss
,n式中,,,为与三个坐标轴的夹角,应用在高斯公式,上式可化 为体积分:
,,,,,,,F,,i,,(pi)dv,j,,(pj)dv,k,,(pk)dv浮,,,,,,,,,vvv,,,,,,,,,,,idv,jdv,kdv,,,,,,,,,,x,y,zvvv,,,,,,,,,(),,i,j,kdv,,,,x,y,zv
,,,Pdv0,,, v
,,,Pdv,,Pdv,,,,,,vv12
,,,,Pdv,,(P,gz)dv00,,,,,,vv12,,0,,gkdv,,,v2,,,,vgk2
上式即为我们所熟知的阿基米德浮力定律的数学表达式,它表 明:浸在液体里的物体受到向上的浮力,浮力的大小等于物体所排开的液体的重量。
(2)高斯公式推证静电场中的高斯定理
,1,静电场中的高斯定理: ,,E,ds,qe,i,,,(S)0s内
在一般的普通物理教科书中,对高斯定理都不作严格的证明,而是利用电力线的概念加以说明,也有少数书中是采用引进“立体角”的概念来证明的。其实,应用高斯公式可以很简洁地证明高斯定理,而且不需要引进“立体角”的概念。
我们先讨论单个点电荷的情况。在闭合曲面S内有一点电荷q,它所产生的
,,,,,qrds,qrEds,,,,E场强为,则穿出S的电通量为 ,e33,,,,4,,r4,,r00ss
注意,现在我们还不能利用高斯公式把上式中的面积分化为体积分。 因为
,
,,E高斯公式成立的条件要求在闭合曲面S所包围的区域V内是连续函数。但
,,qr,,E,,,显然在区域V内r=0处(即点电荷q处)不连续。我们可在闭34,,r0
'S曲面S内作一个以点电荷q为中心,以R为半径的小球面的方向和S一样都取
,'r,0,S,,E为外法线方向。那么,在闭合曲面 S 和之间的区域中,,满足连
,续的条件,于是我们可利用高斯公式来计算通过区域的边界曲面的电通量。
,,,qr,,,E,ds,,,Edv,,,dv 3,,,,,,,,e,4,,r0,,,
,r,,0由直接计算可得,,所以。 ,,,0(r,0)3e,r
,,在面积分E,ds,曲面的外法线方向在曲面S处与S的外法线方向相,,,
,
''同,而在曲面处则与的外法线方向相反。于是有SS
,,,,,,E,ds,E,ds,E,ds,,,0 ,,,,,,e,'ss,
,,,,E,ds,E,ds所以 ,,,,ss'
这说明通过包含点电荷的任意闭合曲面的电通量都与通过以该点电荷为中
心的任一球面的电通量相等。而通过球面的电通量很容易算出:
,qrqqq,'2,,,,,,,4, dsdsRe322,,,,,,,,,,,444rRR0000s's'
q所以 ,,e,0
r,0当点电荷q不在闭合曲面S内时,则在S所包含的V区域内,,可直
接利用高斯公式求出:
,,,qr,,,E,ds,,,Edv,,,dv,0 e3,,,,,,,,,,4r0svv
对于由一组点电荷所组成的带电体系来说,它们在空 间所产生qq??q12n
,的总场强是各点电荷单独存在时所产生的场强的迭加: E
,,,,
E,E,E,??,E12n那么通过任意闭合曲面的电通量为:
,,,,,,,,??,,E,ds,E,ds,E,ds,,E,dsn12,,,,,,,,ssss
??,,,,,,,eee12n
,、,??,式中是各个点电荷的电场通过闭合曲面S的电通量。由上eee12n
述关于单个点电荷的结论可知:
qig,,当在S内时 iei,0
,,0g当在S外时 eii
1所以 ,,,,q,,eeii,(S)0内
这样就证明了高斯定理。
2、高斯公式与散度
设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成,若函数P( x,y,z),,,
Q( x,y,z)与R( x,y,z) 在上具有一阶连续偏导数,则有高斯公式(散度公,
式):
,P,Q,Q(是的整个边界曲面的外,(,,)dv,Pdydz,Qdzdx,Rdxdy,,,,,,,x,y,z,,
侧)
在日常生活中,我们经常见到如图1用榔头钉钉子,图2灯 泡或太阳向四周辐射光线,图3点燃的烟花向周围爆炸等现象。对这 些现象进行对比观察,发现都具向四周散射的效果。
我们不妨对钉子受力会被钉进桌面的现象进行受力分析,如 图4,钉子受到榔头的力A=(P,Q,R) 作用,P,Q,R 分别是 力A 在x,y,z 三个坐标轴方向上的分力,力A 的作用效果(变 化率)等效于分力P,Q,R 在坐标轴方向上的作用效果(变化 率),从而我们可用度量A的(散射)作用效果,并称之为散度。因此,我们可以把高斯公式理解成:向量场(包含力场)A=(P,Q,R) 通过闭曲面流向外侧的
,P,Q,RPdydz,Qdzdx,Rdxdy通量(流量或辐射量),等于A 的散度,,在,,,x,y,z,
闭曲面所围闭区域上的积分。
图1 图2
图3 图4
范文四:利用高斯--波涅公式所能解决的问题
高斯—波涅公式的应用
邢家省,王拥军
(北京航空航天大学数学与系统科学学院,数学、信息与行为教育部重点实验室, 北京100191)
摘 要: 考虑曲面上高斯—波涅公式的应用问题,对有关结果给予直接的证明, 并列举了一些实例.
关键词: 高斯—波涅公式,高斯曲率,测地曲率中图分类号: O186. 11 文献标识码: A
The Application of the Gauss–Bonnet Formula
Xing Jiasheng Wang Yongjun
(Department of Mathematics, LMIB of the Ministry of Education, Beihang University ,Beijing 100191,China)
Abstract: Using the Gauss –Bonnet t heorem , we give a direct proof of some
relevant results and listed some examples.
Keywords : Gauss –Bonnet formula , Gauss curvature,
geodesic curvature
高斯—波涅公式是微分几何中的重要定理
[1-4]
,它描述了曲面上多边形的内角和
与曲面的高斯曲率及边界曲线上的测地曲率之间的关系. 对该定理的证明和推广引起了人们持续不断的兴趣,定理结果的应用也被人们发掘出来
[1-4]
. 我们对常见的能解决
的问题结果给出整理,给予直接的证明,列举了一些实例,丰富高斯—波涅公式的应用. 微分几何中其它相关问题的研究可见文献[5-12].收稿日期:
基金项目:国家自然科学基金资助项目(11171013),
北京航空航天大学教改项目基金资助
作者简介:邢家省(1964--)男,河南泌阳人, 博士,副教授, 研究方向:偏微分方程、微分几何.
1. 光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet 公式的应用
设曲面S
:r =r (u , v ) 是C 3类正则曲面. 曲面S 上的高斯曲率为K ,曲面上
的曲线的测地曲率为k g ,曲面上的面积微元为d A ,曲线的弧长微分为ds . 区域
D 的边界记为?D .
定理1(Gauss-Bonnet 公式) 是一条光滑曲线,
则有
[1-4]
设区域D 是曲面S 上的一个单连通区域,如果?D
??
D
K dA +
?
?D
k g ds =2π, (1)
推论1
[1-4]
设区域
D 是曲面S 上的一个单连通区域,如果?D 是一条光滑曲
线,并且?D 是曲面上的测地线,即曲线?D 上的测地曲率k g =0,
则有??KdA =2π .
D
推论2
[1-4]
设曲面S 是一个单连通的封闭曲面,则有
??
S
K dA =4π .
证明 用一条光滑的封闭曲线C 把曲面S 分成两个部分S 1和S 2, 利用定理1,有
????
S 1
K dA +K dA +
?
?S 1
k g ds =2π, k g ds =2π,
S 2
?
?S 2
由于?S 1和?S 2的定向相反,k g |S =-k g |S ,
1
2
把上两式相加后,得到??K dA =4π.
S
例1
[1-4]
设S 是半径为R 的球面,此时有K =
1R
2
,
自然成立??K dA =4π .
S
例2 设S 是椭球面
x a
22
+
y b
22
+
z c
22
=1,曲面上的高斯曲率为K ,求??KdA .
S
解 由于椭球面S 是一个封闭地曲面,利用推论2,则有??K dA =4π .
S
推论3
[1-4]
在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不存在光滑的闭测地线.
证明 设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面, 若其上存在一条光滑的闭测地线
C , 则C 的测地曲率k g
=0, 设C 在曲面S 所围的区域为D ,
由Gauss-Bonnet 公式(1),知??KdA =2π,这与
D
S
上的高斯曲率K ≤0 矛盾.
注 推论3 中必须要求C 所围成的区域是单连通的, 否则命题不成立. 例如在旋转单叶双曲面上(它的高斯曲率K <0 )存在着一条光滑闭测地线,="">0>
2 分段光滑边界单连通区域上的Gauss-Bonnet 公式的应用
定理2 (Gauss-Bonnet公式) 组成的简单封闭曲线, 它由的外角为θi (i 那么成立
n
n
C i
[1-4]
设C 是有向曲面S 上的一条由n 段光滑的曲线
n
段光滑曲线C 1, , C n 所组成, 而这些光滑曲线段在交接处
=1, , n ) , 曲线C 所包围的区域D 是曲面S 上的一个单连通区域,
????
D
K dA +
∑?
i =1
k g ds +
∑θ
i =1
i
=2π,
n
D
K dA +
?
?D
k g ds +
∑θ
i =1
i
=2π, (2)
若用αi (i =1, , n ) 表示这些光滑曲线段在交接处的内角,则有
n
??
D
K dA +
?
?D
k g ds +
∑(π
i =1
-αi ) =2π , (3)
推论4
[1-4]
如果曲线C 中每段光滑曲线C i 是测地线, 则在由测地线段所围成边形区域D 中, 成立如下公式
的单连通测地
n
n
i
??
D
K dA +
∑θ
i =1
=2π ; (4)
若用αi 表示测地
n
n
边形的外角θi 所对应的内角, 则有
∑α
i =1
i
=(n -2) π+
??
D
K dA , (5 )
例3 当曲面S 是平面时, 因为K =0 , 于是(5 )式即平面几何中多边形内角之和的公式. 如当 n =3时就得到: 三角形三内角之和等于π. 推论5形,
3
[1-4]
如果?D 是曲面S 上的一个测地三角形, 即三条测地线所围成的三角
则有 ∑αi =π+
i =1
??
D
K dA , (6)
例4
[1-4]
若曲面S 上的高斯曲率是常数K ,则曲面S 上的一个测地三角形?三内
角之和为
α1+α2+α3=π+
??
?
KdA =π+KA ,
其中A 是这个测地三角形?的面积.
进而, 当S 是正常曲率曲面(如球面) 时, K >0 , 所在正常曲率曲面上的测地三角形三内角之和大于π; 而当S 是负常曲率曲面(如伪球面) 时, K <0,>0,>
例5
[1-4]
在单位球面上若两条大圆相交于南北极且相交处的内角为α, 试求其所围
区域的面积.
解 由K =1,利用(5)式,得 2α=(2-2) π+
??
D
KdA =σ(D ) ,
于是所围面积为2α
推论6
[1-4]
设D 是曲面S 上的一个四边形区域,其内角为αi (i =1, 2, 3, 4) ,边界
?D 由光滑四边C i (i =1, 2, 3, 4) 构成,
4
4
则有??K dA +∑
D
i =1
?
C i
k g ds =
∑α
i =1
i
-2π
定理3
[1-4]
设有定了向的封闭曲面S ,且 S 能被剖分成几个四边形,而且各顶点正
S
好聚集四个四边形,则成立 ??K dA =0.
证明 设曲面S 被剖分成n 个四边形D i (i =1, 2, , n ) ,曲面四边形D i 的边界由四边
C ij (j =1, 2, 3, 4) 组成,内角为αij (j =1, 2, 3, 4) ,利用推论6,可得
4
4
C ij
??K dA +
D i
n
∑?
j =14
k g ds =
∑α
j =1
ij
-2π,(i =1, 2, , n ) ,
n
C ij
4
由条件可知∑
i =1n
∑?
j =1
k g ds =0,∑
i =1
∑α
j =1
ij
=2n π,
于是有∑
i =1
??
D i
K dA =0,即成立 ??K dA =0.
S
例6 设环面∑
:r =((b +a sin ?) cos θ, (b +a sin ?) sin θ, a cos ?) ,
≤θ, ?≤2π
。
其中a
||r θ?r ?||=
K =
LN -M EG -F
22
=a (b +a sin ?)
,
=
, a (b +a sin ?)
=
sin ?
H =
LG -2M F +NE 2(EG -F )
2
, 2a (b +a sin ?)
b +2a sin ?
∑
对环面∑具有定理上的条件, 利用定理3,可得到??K dA =0,
直接验证??KdA =
∑
??
2π2π
K ?d θ=
??
2π2π
sin ?d ?d θ=0 .
例7
[1-4]
证明:在高斯曲率非正的单连通曲面上, 不能有两条测地线交于两点.
证明 设曲面S 是一高斯曲率非正的单连通曲面,
若其上存在两条测地线交于两点,设内角为α1, α2,所围区域为D ,
n
利用公式∑αi =(n -2) π+
i =1
??
D
K dA ,当n =2时,
则有??KdA =α1+α2>0,
D
(若α1=0或α2=0,这与过一点及一个方向的测地线的唯一性矛盾. ) 这与S 上的高斯曲率K ≤0 矛盾.
注:在曲面S 的高斯曲率为正的单连通曲面, 可以存在两条测地线交于两点. 例如 球面上的任两个大圆,都是测地线,相交于两点.
[4]
. 例8
设曲面S 上的高斯曲率是正函数,且S 单连通的封闭曲面,证明曲面S 上的任何
两个闭测地线至少有一个交点.
证明 用反证法. 假若曲面S 上的存在两条不相交的封闭测地线C 1和C 2,
设C 1和C 2所围曲面上的区域为D ,用一条曲线段C 3将曲线C 1和C 2连接起来,
可看成一个四边形,其中C 3被正向、方向各利用一次,利用推论6的结果,可得
4
??
D
K dA =
∑α
i =1
i
-2π=2π-2π=0,
而这与高斯曲率K >0矛盾,所以原结论成立.
例9
[1-3]
利用高斯—波涅公式证明:若曲面S 上存在两族夹角为定角的测地线,则它的
高斯曲率处处为零,从而曲面为可展曲面.
证明 在曲面上任取由两组测地线所围的曲边四边形D ,由条件知,此种四边形的内角
4
n
和为∑αi =2π, 利用公式∑αi =(n -2) π+
i =1
i =1
??
D
K dA ,
当n =4时,则得??K dA =0,于是必有
D
K =0.
假若存在某点不妨设
P
,有K (P ) ≠0,
的一个邻域G ,在G 上,
K (P ) >0,存在P K >0;
在G 内取一个四边是测地线弧段四边形D , 显然??K dA >0,矛盾.
D
故此曲面上的高斯曲率处处为零.
定理4 ( Jacobi, 1842 ) 设 r =r (s ) 是曲率处处不为零的空间正则闭曲线,
其中s 为弧长参数, 如果它的主法线球面标线r 1=r 1(s ) =β(s ) 是单位球面S 上的一
[3]
条简单光滑闭曲线. 则这条主法线的球面标线必定平分S 的面积.
证明 设
s 1 是C :r =r (s ) 的弧长参数, k
1
1
1
g
是C 作为S 上曲线的测地曲率, D 是
S 上由C 围成的区域之一.
我们首先证明k g =由Frenet 公式, 得
dr 1ds 1
=d β =d βds
d ds
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
.
ds 1
ds
,
=(-k β+τγ)
ds ds 1ds 1
故有
ds ds 1
=
,
因为r 1(s 1) 在球面S 上, 故沿C , S 的单位法向量n
于是
=r 1(s ) =β(s ) ,
2 d β(s ) d β(s )
k g =(n , r 1'(s 1), r 1''(s 1)) =(β(s ), , ) 2
ds 1ds 1
=(-τk '(s ) +k τ'(s ))(
ds ds 1
) =
3
d ds
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
,
因此?k g ds 1=
C ?
d ds
C
(arctan
τ
k ds 1
)
ds
ds 1
=
?
d
C
ds
(arctan
τ
k
) ds =0,( 因为C 是闭曲线).
再由Gauss-Bonnet 公式得( 因为球面 S 的总曲率K ≡1 )
S (D ) =
??
D
dA =
??
D
K dA =2π-
?
C
k g ds 1=2π,
即区域D 的面积为2π, 又因为S 的面积为4π , 故 C 平分S 的面积.
参考文献:
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2008,158-171.
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河南科学,2012,30(10):1407-1410.
范文五:关于高斯公式添加的辅助平面的法向量问题
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在利用高斯公式解题时,添加的辅助平面的法向量的方向怎么确定啊,有时候向上有向下,我很晕,请帮忙结合下面例题解释一下[ 本帖最后由 冰点111 于 2007-9-28 12:34 PM 编辑 ]
晕了~~~~~~
晕了,,,看不懂啊
请明白的同学讲解一下啊
俺的理解是这个样子的[s:5] [s:5] [s:5]
关键是能构成一个封闭的面,法向量的方向都指向封闭区域外或都向内
回复 #6 arthurtt 的帖子谢谢解答,不过我不明白的是添加的辅助面什么时候指向内,什么时候指向外,怎么区分啊
如果使用高斯变换,那么变成的三重积分的结果是体积的整个封闭外表面然后再根据题目要求,如果是内表面则要在三重积分加负号如果所求的曲面不是封闭的话就再减去某些面,上面的题目都是这种大概就是这个样子,关键还是自己总结下,这样说也很难说清楚加油~
晕 第一个题目那个2重积分前面是个+ 由于放大的原因模糊变成-了
第一个题目,因该减去圆锥的底面,底面的内侧关与Z正向是+ 底面的外侧关于Z正向是-
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