范文一:层次结构模型
1、 学生对自己的评价:
学生对自己的满意度,既体现学生的主动学习意识也包括学生的学习积极性。
( i∈[1,16])
(Q 表示学生自评的得分
Pi 表示学生对自己各项符合度而打的分数
Di 表示对学生自评要求各项所加给的权重)
2、 教师对学生的评价:
表明以学习为主体,体现了模型的客观性,公平、公开的原则。
= =A(U,V)
( U 为评价的主要因素,
V 为评价因素分等。
Ci 为学生对教师的各项评价要求所付的权重
N 为填写有效调查表的人数)
3、 由教师组成通过课堂听讲,课后作业对学生的评价:
表明教师对学生指导性,帮助提高其水平。体现了评价的权威性,真实性。
(1)建立综合评价矩阵
(2)综合评价
B=A⊕R=(b1,b2,……,bm)
M(∧,∨)----主因素决定型
Bj=max{(ai rij),1<><>
分别载1.2.3中加权进行如下计算以表明确定得分的有效性,超出的、这个范围就意味着无
效。范围0.75<><>
(0.75<><=1.25为学生的分的有效性 q="">=1.25为学生的分的有效性>
W 为教师评判的总分
R 为其它学生评价的总分 )
模型的缺点和推广
优点:
(1)采用模糊数学建模,充分考虑许多因素。评价尽量客观,真实,全面
(2)采用加权,分等。使学生之间互相的竞争,同时也保护了学生的积极性
(3)模型分为三个方面进行建模,以学生自我评价的主要方面,综合评议。真正体现评价的发展性、引导性和促进性。
不足
(1)没有大量的数据来调整模型的系数,使模型更加贴进现实。
(2)对于结果有效性范围的确定不是很准确,采用人为划定。
(3)如果这次评价无效,其后的处理方法不太详细。
推广:
模型可以用于创新性,科技类公司的人员测评,对于复杂型劳动的公司人员的管理有极大的帮助。
范文二:层次分析法模型
二、模型的假设
1、假设我们所统计和分析的数据,都是客观真实的;
2、在考虑影响毕业生就业的因素时,假设我们所选取的样本为简单随机抽样,具有典型性和普遍性,基本上能够集中反映毕业生就业实际情况;
3、在数据计算过程中,假设误差在合理范围之内,对数据结果的影响可以忽略.
三、符号说明
四、模型的分析与建立
1、问题背景的理解
随着我国改革开放的不断深入,经济转轨加速,社会转型加剧,受高校毕业生总量的增加,劳动用工管理与社会保障制度,劳动力市场的不尽完善,以及高校的毕业生部分择业期望过高等因素的影响,如今的毕业生就业形势较为严峻.为了更好地解决广大学生就业中的问题,就需要客观地、全面地分析和评价毕业生就业的若干主要因素,并将它们从主到次依秩排序.
针对不同专业的毕业生评价其就业情况,并给出某一专业的毕业生具体的就业策略.
2、方法模型的建立 (1)层次分析法
层次分析法介绍:层次分析法是一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分析方法,它用来帮助我们处理决策问题.特别是考虑的因素较多的决策问题,而且各个因素的重要性、影响力、或者优先程度难以量化的时候,层次分析法为我们提供了一种科学的决策方法.
通过相互比较确定各准则对于目标的权重,及各方案对于每一准则的权重.这些权重在人的思维过程中通常是定性的,而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法.
我们现在主要对各个因素分配合理的权重,而权重的计算一般用美国运筹学
家T.L.Saaty教授提出的AHP法. (2)具体计算权重的AHP 法
AHP法是将各要素配对比较,根据各要素的相对重要程度进行判断,再根据计算成对比较矩阵的特征值获得权重向量Wk.
Step1. 构造成对比较矩阵
假设比较某一层k 个因素C1,C2,?,Ck对上一层因素?的影响,每次两个因素Ci 和Cj,用Cij 表示Ci和Cj 对?的影响之比,全部比较结果构成成对比较矩阵C,也叫正互反矩阵.
C?(Cij)k*k,
Cij?0,Cij?
1
C
,Cii? 1.
ji
若正互反矩阵C元素成立等式:Cij*Cjk? Cik ,则称C一致性矩阵.
标度Cij
1
含义
Ci与Cj的影响相同 Ci比Cj的影响稍强 Ci比Cj的影响强 Ci比Cj的影响明显地强 Ci比Cj的影响绝对地强
Ci与Cj的影响之比在上述两个相邻等级之间
3 5
7 9 2,4,6,8
11
,?, 29
Ci与Cj影响之比为上面aij的互反数
Step2. 计算该矩阵的权重 通过解正互反矩阵的特征值,可求得相应的特征向量,经归一化后即为权重向量
Q = [q , q
k
1k
2k
,..., q ]T,其中的q就是Ci 对?的相对权重.由特征方程
kk
ik
A-?I=0,利用Mathematica软件包可以求出最大的特征值
?
max
和相应的特征向
量.
Step3. 一致性检验
1)为了度量判断的可靠程度,可计算此时的一致性度量指标CI :
?k CI?max
k?1
其中
?
max
表示矩阵C的最大特征值,式中k正互反矩阵的阶数,CI越小,说明
权重的可靠性越高.
2)平均随机一致性指标RI,下表给出了1-14阶正互反矩阵计算1000次得
?0.1时,(CR称为一致性比率,RI是通过大量数据测出来的RI
随机一致性指标,可查表找到)可认为判断是满意的,此时的正互反矩阵称之为一致性矩阵.进入Step4. 否则说明矛盾,应重新修正该正互反矩阵.转入Step2.
Step4. 得到最终权值向量
将该一致性矩阵任一列或任一行向量归一化就得到所需的权重向量. 计算出来的准则层对目标层的权重即不同因素的最终权重,这样一来,我们就可以按权重大小将进行排序了. (3)组合权向量的计算
成对比较矩阵显然非常好体现了我们研究对象——各个因素之间权重的比较状态,能够有效地全面而深刻地表现出有关的数据信息,显然也是矩阵数学模型的重要应用价值. 因素往往是有层次的,我们经常在进行决策分析时,要进行多方面、多角度、多层次的分析与研究,把我们的决策选择建立在深刻而广泛的分析研究基础之上的.一个总的指标下面可以有第一层次的各个方面的指标、因素、成份、特征性质、组成成分等等,而每个这种因素又有新的成份在里面.这就是决策分析的数学模型的真正的意义之所在.
定理1:对于三决策问题,假设第一层只有一个因素,即这是总的目标,决策总是最后要集中在一个总目标基础之上的东西,然后才能进行最后的比较.又假设第二层和第三层因素各有n、m个,并且记第二层对第一层的权向量(即构成成份的数量大小、成份的比例、影响程度的大小的数量化指标的量化结果、所拥有的这种属性的程度大小等等多方面的事情的量化的结果)为:
3)当CR?
(2)(2), ,w2,?,w(2)w?(w1n)
而第3层对第2层的全向量分别是:
T
(3)(3)(3)(3)
wk?(wk1,wk2,?,wkm),
这表示第3层的权重大小,具体表示的是第2层中第k个因素所拥有的面对下一层次的m个同类因素进行分析对比所产生的数量指标.那么显然,第三层的因素
(3)
相对于第一层的因素而言,其权重应当是:先构造矩阵,用 wk为列向量构造
(2)
T
一个方阵 W
(3)
?(w1,w2,?wn),
(3)(3)(3)
这个矩阵的第一行是第3层次的m个因素中的第1个因素,通过第2层次的n个
因素传递给第1层次因素的权重,故第3层次的m个因素中的第i个因素对第1层次的权重为 ?wk
k?1n
(2)
w
(3)ki
,从而可以统一表示为:
w
(1)
?W
(3)
w
(2)
,
它的每一行表示的就是三层(一般是方案层)中每一个因素相对总目标的量化指标.
定理2:一般公式
如果共有s层,则第k层对第一层(设只有一个因素)的组合权向量为
w
其中矩阵 W
(k)
(k)
?W
(k?1)
(k)
w
(k?1)
,k?3,4,?s,
的第i行表示第k层中的第i个因素,相对于第k?1层中每个
则表示的是第k?1层中每个因素关于第一层总
因素的权向量;而列向量 w
目标的权重向量.
于是,最下层对最上层的的组合权向量为:
(s)(s)(s?1)(3)(2)
w?WW?Ww,
实际上这是一个从左向右的递推形式的向量运算.逐个得出每一层的各个因素关于第一层总目标因素的权重向量. (4)灰色关联度综合评价法
灰色系统的关联分析主要是对系统动态发展过程的量化分析,它是根据因素之间发展态势的相似或相异程度,来衡量因素间接近的程度,实质上就是各评价对象与理想对象的接近程度,评价对象与理想对象越接近,其关联度就越大.关联序则反映了各评价对象对理想对象的接近次序,即评价对象与理想对象接近程度的先后次序,其中关联度最大的评价对象为最优.因此,可利用关联序对所要评价的对象进行排序比较.利用灰色关联度进行综合评价的步骤如下:
1)用表格方式列出所有被评价对象的指标. 2)由于指标序列间的数据不存在运算关系,因此必须对数据进行无量纲化处理.
3)构造理想对象,即把无量纲化处理后评价对象中每一项指标的最佳值作为理想对象的指标值.
4)计算指标关联系数.其计算公式为:
?
其中
i
(k)?
???(k)???
mini
i
maxmax
?
min
?minmin
i
k
i
x(k)?x(k),?
i
max
?maxmax
k
x(k)?x(k),?(k)=
i
i
x(k)?x(k),i?1,2,?n,k?1,2,?m.
式中n为评价对象的个数;m为评价对象指标的个数;?i(k)为第i个对象第k个指标对理想对象同一指标的关联系数;A表示在各评价对象第k个指标值与理想对象第k个指标值的最小绝对差的基础上,再按i?1,2,?,n找出所有最小绝对差
中的最小值;?max表示在评价对象第k个指标值与理想对象第k个指标值的最大绝对差的基础上,再按i?1,2,?,n找出所有最大绝对差中的最大值;?min为评价对象第k个指标值与理想对象第k个指标值的绝对差.?为分辨系数,?越小分辨力越大,一般?的取值区间[0,1],更一般地取?=0.5.
5)确立层次分析模型.
6)确定判断矩阵,计算各层次加权系数及加权关联度,加权关联度的计算公式为:????(k)?k,式中7为第i个评价对象对理想对象的加权关联度,
i
k
i
m
?
k
为
第k个指标的权重.
7)依加权关联度的大小,对各评价对象进行排序,建立评价对象的关联序,从而可以得出关联度较大的对象,关联度越大其综合评价结果也越好. (5)线性回归分析法
假如对象(因变量)y与p个因素(自变量)x1,x2,?,xp的关系是线性的,为研究他们之间定量关系式,做n次抽样,每一次抽样可能发生的对象之值为
y,y,?y
1
2
n
它们是在因素xi(i?1,2,?,p)数值已经发生的条件下随机发生的.把第j次观测的因素数值记为:
x,x
1j
2j
,?,xpj (j?1,2,?n)
那么可以假设有如下的结构表达式:
?y????x????x??10111p1p
?1??
?y2?0??1x21????px2p??2
?
?????????????????
??????xnp??3?p?y1?0?1xn1
其中,?,?,?,?是p?1个待估计参数,
1
p
?,?
1
2
,?,?n是n个相互独立且服
从同一正态分布N(0,?2)的随机变量.这就是多元线性回归的数学模型.
?y??1?1???y??12若令y???,x??????????1?y???n?
x
xx
1121
xxx
1222
????
?
n1
?
n2
????0??x1p???1????
???1??x2p,????,????2?
??????2???
??????????n???xnp?
????p?
则上面多元线性回归的数学模型可以写成矩阵形式:
y?x???
在实际问题中,我们得到的是实测容量为n的样本,利用这组样本对上述回归模型中的参数进行估计,得到的估计方法称为多元线性回归方程,记为
?y?????
bbx
11
1
bx
p
p
式中,b0,b1,b2,?,bp分别为?,?,?,?的估计值.
p
(6)主成分分析法
1)主成分的定义
设有p个随机变量x1,x2,?,xp,它们可能线性相关,通过某种线性变换,找到
p个线性无关的随机变量
T
z,z,?,z
1
2
p
p
,称为初始向量的主成分.设
??(?1,?2,?,?p)为p维空间R中的单位向量,并记所有单位向量的集
合为R0???|???1?,且记X=(X1,X2,?,Xp).
T
T
2)用相关矩阵确定的主成分
令Xi?
*
?E,rij?E(Xi,Xj),j?1,2,?,p.
T
**
X
*
**,则 =(X1,X*,?Xp)2
?1??rR?(rij)??21????rp1
rr
12
1?
p2
?r1p?
?
??
r
?
?*
?为X的协方程.类似地,我们可对R进行相应??1??
2p
的分析.
3)主成分分析的一般步骤 第一步、选择主成分
设X的样本数据经过数据预处理后计算出的样本相关矩阵为
T*1*R?()?(rij)??()XXn?1
?1
??r??21????rp1
rr
12
1?
p2
?r1p?
?
??
r
?
??. ??1??
2p
由特征方程R??I?0,求出p个非负实根,并按值从大到小进行排列:
???
1
2
????p?0.
i
将
?带入下列方程组,求出单位特征向量?
i
(R??iI)?i?0,i?1,2,?,m
确定m的方法是使前m个主成分的累计贡献率达到85%左右.
第二步、利用主成分进行分析
在实际分析时,通常把特征向量的各个分量的取值大小和符号(正负)进行对照比较,往往能对主成分的直观意义作出合理的解释.利用主成分可以进行以下分析:
a) 对原指标进行分类; b) 对原指标进行选择; c) 对样品进行分类; d) 对样品进行排序; e) 预测分析.
范文三:层次分析模型
§3 层 次 分 析 模 型
一 引 言
人们在日常生活中常常碰到许多决策问题:买一件衬衫,你要在棉的、丝的、涤纶的……及花的、白的、方格的……之中作出抉择;请朋友吃饭,要筹划是办家宴或去饭店,是吃中餐还是西餐或自助餐;假期旅游,是去风光绮丽的苏杭,还是去迷人的北戴河海滨,或者去山水甲天下的桂林.如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话,那么当你面临报考学校、挑选专业,或者选择工作岗位的时候,就要慎重考虑、反复比较,尽可能地作出满意的决策了.
从事各种职业的人也经常面对决策:一个厂长要决定购买哪种设备,上马什么产品;科技人员要选择研究课题;医生要为疑难病症确定治疗方案;经理要从若干应试者中选拔秘书;各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策.
人们在处理上面这些决策问题的时候,要考虑的因素有多有少,有大有小,但是一个共同的特点是它们通常都涉及到经济、社会、人文等方面的因素.在作比较、判断、评价、决策时,这些因素的重要性、影响力或者优先程度往往难以量化,人的主观选择(当然要根据客观实际)会起着相当主要的作用,这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难.
T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效地处理这样一类问题的实用方法,称层次分析法(Analytic Hierarchy Process,简记AHP),这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
二 层次分析法的基本步骤
1.几个步骤 层次分析法的基本思路与人对
一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是
一样的.不妨用假期旅游为例,假如有P1,P2,
P3 3个旅游胜地供你选择,
你会根据诸如景色、
费用和居住、饮食、旅途条件等一些准则去反复比较那3个候选地点.首先,你会确定这些准则在你的心目中各占多大比重,如果你经济宽绰、醉心旅游,自然特别看重景色条件,而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用,中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注.其次,你会就每一个准则将3个地点进行对比,譬如P1景色最好,P2次之;P2费用最低,P3次之;P3居住等条件较好等等.最后,你要将这两个层次的比较判断进行综合,在P1,P2,P3中确定哪个作为最佳地点。 上面的思维过程可以加工整理成以下几个步骤:
(1).将决策问题分解为3个层次,最上层为目标层,即选择旅游地,最下层为方案层,有P1,P2,P33个供选择地点,中间层为准则层,有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则,各层间的联系用相连的直线表示(图1).
(2).通过相互比较确定各准则对于目标的权重,及各方案对于每一准则的权重.这些权重在人的思维过程中通常是定性的,而在层次分析法中则要给出得到权重的定量方法.
(3).将方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重进行综合,最终确定方案层对目标层的权重.在层次分析法中要给出进行综合的计算方法.
层次分析法将定性分析与定量计算结合起来完成上述步骤,给出决策结果.下面我们来说明如何比较同一层各因素对上层因素的影响(或在其中的重要性),从而确定它们在上层因素中占的权重.
2.成对比较矩阵和权向量 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于,这些因素通常不易定量地量测.人们凭自己的经验和知识进行判断,当因素较多时给出的结果往往是不全面和不准确的,如果只是定性的结果,则常常不容易被别人接受.Saaty等人的作法,一是不把所有因素放在一起比较,而是两两相互对比,二是对比时采用相对尺度,以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难,提高准确度.
假设要比较某一层,2个因素C1,C2,…,Cn对上层一个因素O的影响,如旅游
决策问题中比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性.每次取两个因素Ci和CI,用aij表示Ci和CI对O的影响之比,全部比较结果可用成对比较矩阵
表示.由于(1)式给出的aij的特点,A称为正互反矩阵.显然必有aii=1.如用C1,…,C5依次表示景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则,设某人用成对比较法(做C52?5?4次对比)得到的成对比较阵(正互反阵)为
2
(2)中a12=1/2表示景色C1与费用C2对选择旅游地这个目标O的重要性之比为1∶2; a13=4表示景色C1与居住条件C3之比为4∶1;a23=7表示费用C2与居住条件C3之比为7∶1.可以看出此人在选择旅游地时,费用因素最重,景色次之,居住条件再次.怎样由成对比较阵确定诸因素C1,…,Cn对上层因素O的权重呢?
仔细分析一下(2)式给出的成对比较阵A可以发现,既然C1与C2之比为1∶2,C1与C3之比为4∶1,那么C2与C3之比应为8∶1而不是7∶1,才能说明成对比较是一致的。但是,n个因素要作n(n?1)次成对比较,全部一致的要求是太苛刻了.Saaty2
等人给出了在成对比较不一致的情况下计算各因素Cl,…,Cn对因素O的权重的方法,并且确定了这种不一致的容许范围,为了说明这点我们先看成对比较完全一致的情况.
设想把一块单位重量的大石头O砸成n块小石头Cl,…,Cn,如果精确地称出它们的重量为?1,…,?n,在作成对比较时令aij=?i/?j,那么得到
这些比较显然是一致的.n块小石头对大石头的权重(即在大石头中的重量比)可用向量w?(?1,?2,?,?n)表示,且
比例因子.
一般地,如果一个正互反阵A满足
T??i?1ni=1.显然,A的各个列向量与w仅相差一个 则A称为一致性矩阵,简称一致阵.(3)式给出的A显然是一致阵.容易证明,2阶一致阵A有下列性质(习题1).
(1).A的秩为l,A的惟一非零特征根为n;
(2).A的任一列向量都是对应于特征根,2的特征向量.
如果得到的成对比较阵是一致阵,像(3)式的A,自然应取对应于特征根n的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示诸因素C1,…,Cn对上层因素O的权重,这个向量称为权向量.如果成对比较阵A不是一致阵,但在不一致的容许范围内(下面将说明如何确定这个范围),Saaty等人建议用对应于A最大特征根(记作丸)的特征向量(归一化后)作为权向量w,即w满足
直观地看,因为矩阵A的特征根和特征向雩连续地依赖于矩阵的元素aij,所以当aij离一致性的要求不远时,A的特征根和特征向量也与一致阵的相差不大.
(5)式表示的方法称为由成对比较阵求权向量的特征根法.求?和w的简便算法和特征根法更深入的意义,以及其它求权向量的方法见本节第三小节.
3.比较尺度 当比较两个可能具有不同性质的因素Ci和CI对于一个上层因素O的影响,采用什么样的相对尺度aij较好呢?Saaty等人提出用1-9尺度,即 的取值范围
是1,2,…,9及其互反数1,1/2,…,1/9.
在进行定性的成对比较时,人们头脑中通常有5种明显的等级,用1-9尺度可以方便地表示如下
目前在层次分析法的应用中,大多数人都用l-9尺度,(2)式中的A就是这个尺度.关于不同尺度的讨论也一直存在着.
4.一致性检验 成对比较阵通常不是一致阵,但是为了能用它的对应于特征根又的特征向量作为被比较因素的权向量,其不一致程度应在容许范围内.怎样确定这个范围呢?
前面已经给出n阶一致阵的特征根是n,在本节第三小节将证明的一个重要定理表明,,I阶正互反阵A的最大特征根?≥n,而当?=n时A是一致阵.
根据这个定理和?连续地依赖于aij的事实可知,?比n大得越多,A的不一致程度越严重,用特征向量作为权向量引起的判断误差越大.因而可以用?—n 数值的大小来衡量A的不一黎程度.Saaty将
定义为一致性指标.CI=0时A为一致阵;CI越大A的不一致程度越严重.注意到A的n个特征根之和恰好等于n(为什么?),所以CI相当于除?外其余n-1个特征根的平均值.
为了确定A的不一致程度的容许范围,需要找出衡量A的一致性指标CI的标准.Saaty又引入所谓随机一致性指标RI,计算RI的过程是:对于固定的n,随机
地构造正互反阵A,(它的元素ai?j(i
如此构造相当多的A?,用它们的CI的平均值作为随机一致性指标.Saaty对于不同的n,用100--500个样本A?算出的随机一致性指标RI的数值如下*.
表中n=l,2时RI=0,是因为1,2阶的正互反阵总是一致阵.
对于,2≥3的成对比较阵A,将它的一致性指标CI与同阶(指n相同)的随机一致性指标RI之比称为一致性比率CR,当
时认为A的不一致程度在容许范围之内,可用其特征向量作为权向量.(7)式中0.1的选取是带有一定主观信度的.
对于A利用(6),(7)式和表2进行检验称为一致性检验.当检验不通过时, 要重新进行成对比较,或对已有的A进行修正.
对于(2)式给出的A可以算出*, ?=5.073,归一化的特征向量w= (0.263,0.475,
T0.055,0.099,0.110).由(6)式CI?5.073?5?0.018,在表2中查出RI=1.12.按5?1
(7)式计算,CR=0.018-0.016
5.组合权向量 在旅游决策问题中我们已经得到了第2层(准则层)对第1层 (目标层,只有一个因素)的权向量,记作w(2)?(?1(2),?,?5)T (即由(2)式的A算出的(2)
w).用同样的方法构造第3层(方案层,见图1)对第2层的每一个准则的成对比较阵,不妨设它们为
这里矩阵Bk(k=1,…,5)中的元素bij
费用等)的优越性的比较尺度.
由第3层的成对比较阵Bk计算出权向量wk(3)(k)是方案(旅游地)Pi与Pj对于准则Ck (景色、,最大特征根?k和一致性指标CIk,结果列入下表.
不难看出,由于n=3时随机一致性指标RI=0.58(表2),所以上面的CI是均可通过一致性检验.
下面的问题是由各准则对目标的权向量w(2)和各方案对每一准则的权向量
(3)wk(3)(k=1,…,5),计算各方案对目标的权向量,称为组合权向量,记作w
(3).对(3)于方案P它在景色等5个准则中-的权重用wk1,的第1个分量表示(表3中wk
(2)的第1行),而5个准则对于目标的权重又用权向量w
组合权重应为它们相应项的两两乘积之和,即
表示,所以方案P1在目标中的
同样可以算出P2,P3在目标中的组合权重为0.246和0.456,于是组合权向量
w(3)=(0.300,0.246,0.456)T.结果表明方案P3在旅游地选择中占的权重近于1/2,远大于P1,P2,应作为第l选择地点.
由上述计算可知,对于3个层次的决策问题,若第1层只有1个因素,第2,3层分别有n,m个因素,记第2,3层对第1,2层的权向量分别为
以wk(3)为列向量构成矩阵
则第3层对第l层的组合权向量为
更一般地,若共有5层,则第是层对第l层(设只有1个因素)的组合权向量满足
其中W是以第是层对第k-1层的权向量为列向量组成的矩阵.于是最下层 (第5层)对最上层的组合权向量为
6.组合一致性检验 在应用层次分析法作重大决策时,除了对每个成对比较阵进行一致性检验外,还常要进行所谓组合一致性检验,以确定组合权向量是否可以作为最终的决策依据.
组合一致性检验可逐层进行.若第户层的一致性指标为CI1
是第p-1层因素的数目),随机一致性指标为RI1(p)(p)(k),…,CIn(p) (n,…,RIn(p),定义
则第p层的组合一致性比率为
第p层通过组合一致性检验的条件为CR
定义最下层(第5层)对第l层的组合一致性比率为
对于重大项目,仅当CR*适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验. 在旅游决策问题中可以算出CI=0.00176,RI=0.58,CR=0.003前面已经有CR=0.016,于是CR*=0.019,组合一致性检验通过,前面得到的组合权向量w(2)(3)(3)(3)(p)(3)可以作为最终决策的依据.
7.层次分析法的基本步骤
(1).建立层次结构模型 在深入分析实际问题的基础上,将有关的各个因素按照不同属性自上而下地分解成若干层次.同一层的诸因素从属于上一层的因素或对上层因素有影响,同时又支配下一层的因素或受到下层因素的作用,而同一层的各因素之间尽量相互独立.最上层为目标层,通常只有1个因素,最下层通常为方案或对象层,中间可以有1个或几个层次,通常为准则或指标层.当准则过多时(比如多于9个)应进一步分解出子准则层.
(2).构造成对比较阵 从层次结构模型的第2层开始,对于从属于(或影响及)上一层每个因素的同一层诸因素,用成对比较法和l-9比较尺度构造成对比较阵,直到最下层.
(3).计算权向量并做一致性检验 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量(计算方法见本节第三小节),利用一致性指标,随机一致性指标和一致性比率做一致性检验.若检验通过,特征向量(归一化后)即为权向量;若不通过,需重新构造成对比较阵.
(4).计算组合权向量并做组合一致性检验 利用(10)式计算最下层对目标的组合权向量,并酌情作组合一致性检验.若检验通过,则可按照组合权向量表示的结果
进行决策,否则需重新考虑模型或重新构造那些一致性比率CR较大的成对比较阵.
三.层次分析法的广泛应用
层次分析法在T.LSaaty正式提出来之后,由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性,很快就在世界范围内得到普遍的重视和广泛的应用.二三十年来它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等等领域.从处理问题的类型看,主要是决策、评价、分析、预测等.这个方法在20世纪80年代初引入我国,也很快为广大的应用数学工作者和有关领域的技术人员所接受,得到了成功的应用.
从上面介绍的层次分析法的基本步骤看,建立层次结构模型是关键的一步,下面给出应用实例时即以这一步为主.构造成对比较阵是整个工作的数量依据,当然是重要的,应当由经验和知识丰富、判断力强的专家给出,还不妨采用群体判断的方式.至于第3,4步的计算工作,数学工作者是容易完成的.
例1 管理信息系统综合评价
当今任何部门每天都会接触到大量的信息,信息管理水平的高低直接关系着工作效率,甚至生存条件.财务、库存、销售、行政、……各种各样的管理信息系统(MIS)开发完成或准备推广时,通常要作全面的检查、测试和分析,AHP是进行综合评价的方法之一.
某一类管理信息系统的综合评价指标体系如下:
1.系统建设B1
·科学性C11 规划目标的科学性,经济、技术、管理上的可行性;
·实现程度C12 是否达到系统分析阶段提出的目标;
·先进性C13 融合了先进的管理科学知识,有较强的适应性;
·经济性C14 投资——功能比;
·资源利用率C15 对软硬件、信息资源的利用程度;
·规范性C16 遵循国际标准、国家标准或行业标准,易于使用、维护和扩充.
2.系统性能B2
·可靠性C21 主要是软硬件系统的可靠性;
·系统效率C22 系统响应时间、周转时间、吞吐量等;
·可维护性C23 确定、修正系统的错误所需的代价;
·可扩充性C24 系统结构、硬件设备、软件功能的可扩充程度;
·可移植性C25 将系统移植到另一种软硬件环境的代价;
·安全性C26 当自然或人为故障造成系统破坏时的有效对策.
3.系统应用B3
·经济效益C31 降低成本、增加利润、提高竞争力、改进服务质量等; ·社会效益C32 提高科技水平、合理利用资源、增进社会福利、保护生态环境等;
·用户满意度C33 人机界面友好、操作方便、容错性强、有帮助功能等;
·功能应用程度C34 是否达到预期的技术指标.
用以上各评价指标构造层次结构,形成目标层A、准则层B、子准则层C和方案层D,如图2.
由专家和用户组成的小组对3个MIS系统D1,D2,D3进行综合评价,将成对比较阵略去,得到的权向量及一致性检验的结果如下:
准则层B对目标层A的权向量w=(0.162,0.309,0.529),一致性指标CI=0.0056.子准则层C对B1,B2,B3的权向量分别为w
0.312,0.056,0.177),w(32)(2)(31)(2)T=(0.101,0.77,0.177,(33)=(0.350,0.126,0.230,0.126,0.043,0.126),W
(31)=(0.336,0.161,0.420,0.082),一致性指标分别为CI=0.0043,CI
(4) (32)=0.004 8,CI =0.0061. (4)(33)方案层D对子准则层C(共16个因素)的权向量wk
2,…,16)列人表4,其中C对A的权向量w(3)和一致性指标CIk (k= l,=W(3)(3)~(31),~(32),w(2),w而W是以语w
~(33)为列向量的16 ~(31)=(w(31),0,0,0,0,0,0,0,0,0,wx 3矩阵(见(8)式),w
~0),wT(32)= (0,0,0,0,0,0,w
(33)T(32)~,0,0,0,0),wT(33)=(0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,W).
以表4中的16个权向量wk
层A的组合权向量为w(4)(4)为列向量构成3x16矩阵W(4),则方案层D对目标=W(4)w(3)=(0.315,0.478,0.207)T.
各层的一致性检验及组合一致性检验全部通过,上面得到的组合权向量可以作为3个M工S系统综合评价的依据,即系统D2最优,D,次之.
例2 横渡江河、海峡方案的抉择
1970年南京长江大桥的建成结束了津浦铁路轮渡长江的历史,穿越英吉利海峡的隧道为英法两国的交通带来了巨大的方便,跨越琼州海峡、连接海南岛和雷州半岛的轮渡方案据说已经定夺,有人甚至在酝酿横越台湾海峡的海底隧道了.渡江越海的办法主要有建桥梁、修隧道、轮渡三种,进行抉择时不外乎要从效益和代价两方面考虑,这两方面又各有若干准则加以度量,用AHP方法处理应将效益和代价作为两个目标,分别建立层次结构,图3和图4中表述的是某部门对准则的选择,仅供参考,因为它们的含义都容易从字面上理解,这里就不一一解释了.
构造成对比较阵和计算权向量的部分从略.
例3 科技成果的综合评价
科技成果涉及的领域很广,种类很多,这里指的是直接应用于国民经济的某个生产部门后,可迅速转化为生产力,带来可定量计算的经济效益的那一类成果.评价准则先分为效益C1、水平C2、规模C3共3类,再在每类中确定若干具体指标,如此构造的层次结构由图5给出.
当对科技成果进行相对评价时,可直接利用层次分析法确定出它们对于综合评价的优劣顺序.当对科技成果进行绝对评价时,应先用层次分析法得到C11,C12,…各项具体指标在综合评价中的相对权重,再给出这些指标的等级标准,如对于C11,年经济效益在1000万元以上为1等(9分);100万元以上为2等(7分);……1万元以下为5等(1分).对于C23,达到国际水平为l等(9分);部分达到或全面接近国际水平为2等(7分);国内先进水平为3等(5分);国内水平为4等(3分);一般水平为5等(1分).当某项成果在各指标中的等级被主管部门认定后,将各个分值乘以各指标在综合评价中的权重并求和,即为这项成果的综合绝对评价的分值.
例4 工作选择
一个刚获得学位的大学毕业生面临选择工作岗位,他将要考虑的准则有:能够发挥自己的才干为国家作贡献;丰厚的收入;适合个人的兴趣及发展;良好的声誉;人际关系;地理位置等,于是他可以构造如图6的层次结构,用层次分析法确定可供选择的工作的优先顺序.
你认为这些准则合适吗?试给出准则层对目标的成对比较阵.
例5 国家实力分析
一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、日、德等大国的国家综合实力进行分析判断,层次分析法为其提供了一种手段.这里的关键是确定合适的准则及进行实事求是的对比.一个供参考的层次结构如图7所示.
通过以上列举的几个实例可以大体上看出层次分析法的应用模式和涉及范围.顺便指出,在这个方法提出和完善的20世纪70年代,Saaty等人曾用它解决 过一些国际或国家级的重大课题,如1985年世界石油价格的预测,苏丹运输系 统的研究,美国未来高等教育(1985—2000)的规划等.
四.层次分析法的若干问题
层次分析法问世以来不仅得到广泛的应用,而且在理论体系、计算方法以及建立更复杂的层次结构等方面都有很快的发展.
1.正互反阵最大特征根和对应特征向量的性质
成对比较阵是正互反阵.层次分析中用对应它的最大特征根的特征向量作为权向量,用最大特征根定义一致性指标(6)式进行一致性检验.这里人们首先碰到的问题是:正互反阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量;一致性指标的大小是否反映它接近一致阵的程度,特别,当一致性指标为零时,它是否就变为一致阵.下面两个定理可以回答这些问题.
定理1 对于正矩阵A(A的所有元素为正数),
1)A的最大特征根是正单根?;
2)?对应正特征向量w(侧的所有分量为正数); AkeT 3)limTk?w其中e=(1,l,…,1),w是对应?的归一化特征向量. k??eAe
定理的1),2)是著名的Perron(1907)定理的一部分,3)可通过将A化为标准形证
明(略).
定理2 n阶正互反阵A的最大特征根?≥n;当?=n时A是一致阵. 证明略
定理2和前面所述的一致阵的性质表明,n阶正互反阵A是一致阵的充要条件为,A的最大特征根?=n.
上述结论为特征根法用于层次分析提供了一定的理论依据.
2.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法
(1)幂法;(2)和法;(3)根法
3、为什么用成对比较阵的特征向量作为权向量
4.不完全层次结构中组合权向量的计算
5.成对比较阵残缺时的处理
6.递阶层次结构和更复杂的层次结构
范文四:层次分析模型
层次分析模型
人们在日常生活中常常碰到许多决策问题:买一件衬衫,要在布料、花色和款式之中抉择;请朋友吃饭,要筹划是办家宴或去饭店,是吃中餐还是西餐或自助餐;假期旅游,是去苏杭还是北戴河或桂林。如果以为这些日常小事不必作为决策问题认真对待的话,那么当你面临报考学校、挑选专业,或者选择工作岗位时,就要慎重考虑、反复比较,尽可能地作出满意的决策。
从事各种职业的人也经常面对决策:一个厂长要决定购买哪种设备,上马什么产品;科技人员要选择研究课题;医生要为疑难病症确定治疗方案;经理要从若干应试者中选拔秘书;各地区各部门的官员则要对人口、交通、经济、环境等领域的发展规划作出决策。 人们在处理上述决策问题时,要考虑的因素有多有少,有大有小,但一个共同的特点是它们通常都涉及经济、社会、人文等方面的因素。在作比较、判断、评价、决策时,这些因素的重要性、影响力或优先程度往往难以量化,人的主观选择(当然要根据客观条件)会起着相当主要的,这就给用一般的数学方法解决问题带来本质上的困难。 T.L.Saaty等人在20世纪70年代提出了一种能有效处理这类问题的实用方法,称为层次分析法,简记为AHP,这是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。
一、层次分析法的基本步骤
AHP的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大
体相同。以假期旅游为例,假如有P1,P2,P33个旅游胜地供你选择,你
会根据诸如景色、费用、居住、饮食和旅途条件等准则去反复比较那3个候选地点。首先,你会确定这些准则在你心目中各占多大比重,如果你经济宽绰、醉心旅游,自然特别看重景色,而平素俭朴或手头拮据的人则会优先考虑费用,中老年旅游者还会对居住、饮食等条件寄以较大关注。其次,你会就每一个准则对比3个地点,譬如P1景色最好,P2次之;P2费用最低,P3次之;P3居住条件较好等等。最后,
你要综合这两个层次的比较判断,确定这3个候选点哪个为最佳地点。
上述思维过程可加工整理成以下几个步骤:
将决策问题分解为3个层次,最上层为目标层,即选择旅游地,最下层为方案层,即3个候选点,中间层为准则层,有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则,各层间的联系用相连的直线表示(费用和饮食的连线从略),如下面的层次结构图所示。
2
、通过相互比较确定各准则对于目标的权重,及各方案对于每
个准则的权重。这些权重在人的思维过程中通常是定性的,而在AHP中则要给出得到权重的定量方法。
3、综合方案层对准则层的权重及准则层对目标层的权重,最终确定方案层对目标层的权重。在AHP中要给出进行综合的计算方法。
成对比较矩阵和权向量 涉及到社会、经济、人文等因素的决策问题的主要困难在于,这些因素通常不易定量地量测。人们凭自己的经验和知识进行判断,当因素较多时给出的结果往往不全面和不准确,如果只是定性的结果,则常常不易被别人接受。Saaty等人的作法,一是不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较,二是对比时采用相对尺度,以尽可能地减少性质不同的诸因素相互比较的困难,提高准确度。
用C1,C2,C3,C4,C5分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途,在比
较这5个准则在选择旅游地这个目标O中的重要性时,每次取两个因素Ci和Cj,用aij表示Ci和Cj对O的影响之比,共做C52次对比,全部
比较结果可表示为成对比较矩阵(正互反矩阵)
A??aij?n?n,aij?0,aji?1,aii?1 aij
设某人用成对比较法得到的成对比较矩阵为
1/2 4 3 3?? 1 ? 2 ?1 7 5 5??A??1/4 1/7 1 1/2 1/3? (1) ??1/3 1/5 2 1 1???1/5 3 1 1??1/3 ?
其中a12?1/2表示景色C1与费用C2对选择旅游地这个目标O的重要性
之比为1:2;a13?4表示景色C1与居住C3之比为4:1;a23?7表示费用C2与居住C3之比为7:1。由此可见费用因素最重,景色次之,居住再
次。
既然C1与C2之比为1:2,C1与C3之比为4:1,那么C2与C3之比应
为8:1,而不是7:1,才能说明成对比较矩阵是一致的。但n个因素要作Cn2次成对比较,全部一致的要求太苛刻。Saaty等人给出了在成
对比较不一致的情况下计算各因素C1,C2,?,Cn对因素O的权重的方法,且确定了这种不一致的容许范围。
先看成对比较完全一致的情况。设想把一块单位重量的大石头O砸成n块小石头C1,C2,?,Cn,如果精确地称出它们的重量为w1,w2,?,wn,在作成对比较矩阵时令aij?wi/wj,则得
? w1/wn?? w1/w1 w1/w2 ? w/w w/w ?? w/w21222n? A??? ?? ? ? ??? w/w w/w ? w/w n2nn??n1
这些比较显然是一致的。n块小石头对大石头的权重(即在大石头中的重量比)可用向量w??w1,w2,?,wn?表示,且?wi?1。显然A的各T
i?1n
个列向量与w仅相差一个比例因子 。
2,?,n,则一般地,若成对比较矩阵A满足aij?ajk?aik,i,j,k?1,
称A为一致性矩阵。显然(2)给出的矩阵为一致性矩阵。
易证:一致性矩阵的秩为1;唯一非零特征根为n;任一列向量都是对应于特征根n的特征向量。
如果得到的成对比较矩阵是一致性矩阵,自然应取对应于特征根
n的、归一化的特征向量(即分量之和为1)表示各因素C1,C2,?,Cn对上层因素O的权重,该向量称为权向量。若成对比较矩阵A不是一致性矩阵,但在不一致的容许范围内(后面将说明如何确定这个范围),Saaty等人建议用对应于A的最大特征根?的特征向量(归一化后)作为权向量w,即w满足
Aw??w (2)
直观地看,由于A的特征根和特征向量连续地依赖于其元素aij,故当aij离一致性的要求不远时,A的特征根和特征向量也与一致性矩阵的相差不大。(2)式表示的方法称为由成对比较矩阵求权向量的特征根法。
事实上,可证明:正矩阵(所有元素为正数)A的最大特征根?是
Ake?w,其正单根;?对应正特征向量w(所有元素为正数);limk??eTAke
中e??1,1,?,1?T,w是对应?的归一化特征向量。
比较尺度 Saaty等人建议,在比较两个可能具有不同性质的因素Ci和Cj对一个上层因素O的影响时,采用1-9尺度,即相对尺度aij的取值范围是1,2,?,9及其互反数1,1/2,?,1/9。理由如下。
1、在进行定性的成对比较时,人们头脑中通常有5种明显的等级,用1-9尺度可方便地表示如下表。
2、心里学家认为,进行成对比较的因素太多,将超出人的判断能力,最多大致在7?2范围。如以9个为限,用1-9尺度表示它们之间的差别正合适。
3、Saaty等人曾用1?3,1?5,?,1?17,?,?d?0.1???d?0.9??d?1,2,3,4?,1p?9p ?p?2,3,4,5?等共27种比较尺度,对在不同距离处判断某光源的亮度等实例构造成对比较矩阵,并算出权向量。把这些权向量与按照光强定律等物理知识得到的,或实际测量出的权向量进行对比发现,1-9尺度不仅在较简单的尺度中最好,且结果并不劣于较复杂的尺度。
(1) 式中的A就是这个尺度。
一致性检验 成对比较矩阵通常不是一致性矩阵,但为了能用其对应于最大特征根的特征向量作为被比较因素的权向量,其不一致程度应在容许范围内。
可证:n阶正互反矩阵A的最大特征根??n,当??n时,A为一致性矩阵,反之亦然。由此及?连续地依赖于aij,?比n大得越多,A的不一致程度越严重,用特征向量作为权向量引起的判断误差就越大。故可用??n数值的大小来衡量A的不一致程度。Saaty将
CI???n (3) n?1
定义为一致性指标。CI?0时为一致性矩阵,CI越大A的不一致程度越严重。由于A的n个特征根之和恰好等于n,故CI相当于除?外其余n?1个特征根平均值的绝对值。
为了确定A的不一致程度的容许范围,需找出衡量A的CI的标准。Saaty又引入所谓随机一致性指标RI。计算RI的过程是:对于固定的
?从1-9,1-1/9中随机取值,n,随机地构造正互反矩阵A?,其元素aij
计算A?的CI。可想而知,A?是非常不一致的,其CI相当大。如此构造相当多的A?,用它们的CI的平均值作为RI。Saaty对不同的n,用100-500个样本A?算出的RI的数值见下表。
n?1,2时A?总是一致性矩阵,故RI?0。
将n相同的CI与RI之比称为一致性比率CR。当
CR?CI ? 0.1 (4) RI
时认为A的不一致程度在容许范围内,可用其特征向量作为权向量。
(4)中0.1的选取带有一定主观信度。
对于A利用(3),(4)和RI数值表进行检验称为一致性检验。当检验通不过时,需重新构造A,或修正A。
由于计算高阶矩阵的特征根和特征向量相当困难,而成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的量化结果,不必对其作精确计算,完全可用简便的近似方法计算其特征根和特征向量。
1、幂法
(1)任取n维归一化初始向量w?0?;
~?k?1??Aw?k?,k?0,1,2,?; (2)计算w
~k?1/w~?k?1?,即令w?k?1??w(3)归一化w?~i?k?1?;
i?1n
(4)对预先给定的精度?,当wi?k?1??wi?k????i?1,2,?,n?时,w?k? 即为近似特征向量;否则返回(2);
(5)由Aw?k?~?k?1?1nw?k?1??k?~??w,即w?Aw,计算最大特征根???i
k。 ni?1wi?k?
Ake?w保证。w?0?可任选或取为下面方该迭代法的收敛性由limTkk??eAe
法得到的结果。
2、和法
~?a/a; (1)将A的每一列向量归一化得wijij?ij
i?1n
~?w~按行求和得w(2)对w?~ij; iij
j?1n
~为w?w~/w~,w??w,w,?,w?T即为近似特征向(3)归一化w?iiii12n
i?1n
量;
1n?Aw?i(4)由Aw??w,计算???,作为最大特征根的近似值。 ni?1wi
和法实际上是将A的列向量归一化后取平均值,作为A的特征向量。因为当A为一致性矩阵时,其每个列向量均为特征向量,故若A的不一致性不严重,则取A的列向量(归一化后)的平均值作为近似特征向量是合理的。
~按行3、根法 步骤与和法基本相同,只是将步骤(2)改为对wij
??~~?求积并开n次方,即wi????wij?。实际上是将和法中求列向量的算
?j?1?n术平均值改为求几何平均值。
当A为一致性矩阵时,aij与权向量w??w1,w2,?,wn?T的关系满足
aij?wiw。若A不是一致性矩阵,则权向量w的选取应使aij与i(对所wjwj有i,j)相差尽量小。可用最小二乘法确定w,即
?wi??? (5)min??aij? ??wwj?i?1j?1?nn2
由(5)式得到的权向量一般与特征根法得到的不同。因为(5)式导致求解关于wi的非线性方程组,计算复杂,且不能保证得到全局最优
解,不实用。
若改为对数最小二乘问题
?wmin???lnaij?lni?wwji?1j?1?nn?? (6) ??2
则化为求解关于lnwi的线性方程组。可验证,由(6)式得到的权向
量恰是根法计算的结果。
由上可知,用不同的方法确定的权向量是不同的,当然,若A为一致性矩阵,则用所有方法确定的权向量应相同。
对(1)式中的A用和法可算出,??5.073,归一化的特征向量
?T,CI?0,018,CR?0,016 ? 0,1,一致性w??0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110
检验通过,上述w可作为权向量。
组合权向量 在旅游决策问题中已得到第2层(准则层)对第1层(目标层,只有1个因素)的权向量,记作w?2???w1?2?,?,w5?2???T
T?0.263, 0.475, 0.055, 0.099, 0.110?。用相同方法构造第3层(方案层)对第
2层的每个准则的成对比较矩阵,不妨设它们为
1 3?1 1/4?? 1 2 3??1 1/3 1/8?? 1 ? 1 3 4??1 ?B??1 ?B??3 ?B?? 1 ?B??1/3 1 ?B1??1/2 1 21 1/31 311 1/44235??????????
?????1?1?1??1/4 1 ??1/3 1/2 1???8 3 ??1/3 1/3 1???4 4 ?
?k?其中Bk的元素bij是方案(旅游地)Pi与Pj对准则Ck(景色、费用等)
的优越性的比较尺度。
由Bk计算出权向量wk?3?,最大特征根?k和CIk,结果见下表。
n?3时,RI?0.58,故上表的CIk均可通过一致性检验。
?3??k?1,?,5?计算各方案对目标的权向量,由w?2?和wk称为组合权向
量,记作w?3?。方案P1在景色等5个准则中的权重用wk?3?的第1个分量
表示(上表中wk?3?的第1行),而5个准则对于目标的权重又用w?2?表示,故P1对目标的组合权重应为它们相应项的两两乘积之和,即
0.595?0.263?0.082?0.475?0.429?0.055?0.633?0.099?0.166?0.110?0.300。同样可算出P2,P3对目标的组合权重为0.246和0.456。故组合权向量
w?3???0.300, 0.246, 0.456?。结果表明P3在旅游地选择中占的权重近于T
1/2,远大于P1,P2,应作为第1选择地点。
对于3个层次的决策问题,若第1层只有1个因素,第2,3层分别有n,m个因素,记第2,3层对第1,2层的权向量分别为
?2???3??3?w?2??w1?2?,?,wn,k?1,2,?,n。以wk,wk?3??wk?3为列向量构成1,?,wkm??T??T
?3??。则第3层对第1层的组合权向量为 矩阵W?3???w1?3? ,?,wn
w?3??W?3?w?2? (7)
若共有s层,则第k层对第1层(设只有1个因素)的组合权向量满足
w?k??W?k?w?k?1? ,k?3 ,4 ,?,s (8)
其中W?k?是以第k层对第k?1层的权向量为列向量组成的矩阵。故第s层对第1层的组合权向量为
w?s??W?s?W?s?1??W?3?w?2? (9)
组合一致性检验 在应用AHP作重大决策时,除了对每个成对比较矩阵进行一致性检验外,还常要进行所谓组合一致性检验,以确定组合权向量是否能作为最终的决策依据。
组合一致性检验可逐层进行。若第k层的一致性指标为CI1?k?,?,?k?(n是第k?1层因素的数目),随机一致性指标为RI1?k?,?,RIn?k?,CIn
?k??k?1??w,RI?k???RI1?k?,?,RIn?k??w?k?1?,则第k层的组合定义CI?k???CI1?k?,?,CIn
一致性比率为
CR?k?CI?k?
?k, k?3,4,?,s (10) RI
当CR?k? ? 0.1时,第k层通过组合一致性检验。
定义最下层(第s层)对第1层的组合一致性比率为
CR??CR?k? (11) ?
k?2s
对于重大项目,仅当CR?适当地小时,才认为整个层次的比较判断通过一致性检验。
,RI?3??0.58 ,CR?3??0.003,在旅游决策问题中可算出CI?3??0.00176已
有CR?2??0.016,故CR??0.019,组合一致性检验通过,w?3?可作为最终的决策依据。
AHP的基本步骤
1、建立层次结构模型 在深入分析问题的基础上,将有关的各个因素按照不同的属性自上而下地分解成若干层次。同一层次的各因素从属于上一层因素或对上一层因素有影响,同时又支配下一层因素或受下一层因素的作用,而同一层的各因素之间尽量相互独立。最上层为目标层,通常只有一个因素,最下层为方案层或对象层,中间可以有一个或几个层次,通常为准则层或指标层。当准则过多时(如多于9个)应进一步分解出子准则层。
2、构造成对比较矩阵 从层次结构图的第2层开始,对从属于或影响及上一层每个因素的同一层各因素,用成对比较法和1-9比较尺度构造成对比较矩阵。
3、计算权向量并作一致性检验 计算每个成对比较矩阵的最大特征根及对应特征向量,并作一致性检验。若检验通过,则归一化后的特征向量即为权向量;否则需重新构造成对比较矩阵。
4、计算组合权向量并作组合一致性检验 计算最下层对目标的组合权向量,并酌情作组合一致性检验。若检验通过,则可按组合权
向量表示的结果进行决策;否则需重新构造层次结构图或重新构造那些CR较大的成对比较矩阵。
特征根法的优点 aij是Ci对Cj直接比较的强度,不妨称为1步强
?2?度。若记A??aij?,则aij??ais?asj,即aij是Ci通过Cs(s?1,2,?,n)2?2??2?n
s?1
对Cj比较的强度之和,称为2步强度,它已包含了1步强度(因为和
?2?式中包括s?i,j)。显然aij比aij更能反映Ci对Cj的强度。类似地,记
?k??k??k?Ak?aij,aij是k步强度,它包含了1至k?1步强度。k越大,aij越
?k?能全面反映Ci对Cj的强度。可认为aij体现了相互比较的多步累积效??
应。
更进一步可证明,对于正互反矩阵A和每一对?i,j?,存在k0,当
?k?k??k?k?k?k0时,或ais对所有s?1,2,?,n成立。这表明k足够大时,ais?a?
js?a?
js
Ak的第i行元素给出了Ci在全部因素中排序权重的信息。可用这行元
Ake素之和作为Ci的权重的度量,即以Tk为权向量,其中分母是归一eAe
化的需要。当k??时,该向量正是A的特征向量w,即
Akew?limTk (12) k??eAe
用级数理论可证
1mAkew?lim?Tk (13) m??meAek?1
由此可见,无论从全面反映因素间强度对比的多步累积效应的意义上((12)式),还是从各个多步累积效应的平均意义上((13)式),用特征向量作权向量优于用其他方法得到的权向量。
不完全层次结构中的组合权向量的计算
前述层次结构模型中,上一层的每个因素均支配着下一层的所有因素,或被下一层所有因素影响,这种层次结构称为完全层次结构。但也有的层次结构并非如此,这种层次结构称为不完全层次结构。出现在各准则层中的不完全性容易处理,只需将不支配的那些因素的权向量分量简单地置0,即可用完全层次结构的办法处理。而出现在准则层与方案层之间的不完全性,处理起来有些麻烦,如下例。
学校要评价教师的贡献,粗略地只考虑教学与科研两个指标,若
P4 只搞科研,P1,P2,P3,P44位教师中P1,P2只从事教学,P3则二者兼顾,
则层次结构模型如下图。
假设教学与科研的重要性相同,即C1,C2对目标的权向量w?2???1/2,1/2?T,4位教师不论从事教学或科研,能力均相同。若将不支配因素的权向量分量简单置0,则P1,P2,P3,P4对C1,C2的权向量分别为
?3?按(7)式得w?3???1/6,1/6,5/12,1/4? w1?3???1/3,1/3,1/3,0?,w2??0,0,1/2,1/2?。TTT
,不合理,公正的评价应是,被安排只搞教学或科研的P1,P2,P43
人的
贡献相同,而P3的贡献为他们的一倍。
若教师从事教学和科研完全由上级安排,在能力相同的条件下,承担双份工作的P3的贡献自然大一倍。因支配因素越多权重应越大,
~?2???3/2,2/2?T/2.5,按(7)故用支配因素的数量对w?2?加权,修正为w
式得w?3???1/5,1/5,2/5,1/5?T,与公正的评价吻合。
若教师从事教学和科研完全靠发挥个人的积极性,且上级希望每位教师均二者兼顾,并鼓励从事人数较少的那一类工作,则可用支配
~?2???1/6,1/4?T/?5/12?,按(7)式因素数量的倒数对w?2?加权,修正为w
得w?3???2/15,2/15,13/30,3/10?T。
AHP的广泛应用
AHP一经提出,由于其处理复杂决策问题的实用性和有效性,很快就在全球得到普遍重视和广泛应用。上世纪70年代,Saaty等人曾用它解决过一些国际或国家级的重大课题,如1985年世界石油价格的预测,苏丹运输系统的研究,美国未来高等教育(1985-2000)的规划等。其应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗、环境等领域。从处理问题的类型看,主要是决策、评价、分析、预测等。
下面给出的应用实例以建立层次结构模型这最关键的一步为主。构造成对比较矩阵是整个工作的数量依据,当然也重要,应由经验和知识丰富、判断力强的专家给出,还不妨采用群体判断的方式。至于计算和经验则容易完成。
1、管理信息系统综合评价
当今任何部门每天都会接触到大量信息,信息管理水平的高低直接关系着工作效率,甚至生存条件。财务、库存、销售、行政??各种各样的管理信息系统(MIS)开发完成或准备推广时,通常要作全面的检查、测试和分析,AHP是进行综合评价的方法之一。
某一类管理信息系统的综合评价指标体系如下:
系统建设B1
经济、技术、管理上的可行性; ?科学性C11 规划目标的科学性,
?实现程度C12 是否达到系统分析阶段提出的目标;
?先进性C13 融合了先进的管理科学知识,有较强的适应性;
?经济性C14 投资-功能比;
?资源利用率C15 对软硬件、信息资源的利用程度;
?规范性C16 遵循国际标准、国家标准或行业标准,易于使用、
维护和扩充。
系统性能B2
?可靠性C21 主要是软硬件系统的可靠性;
?系统效率C22 系统响应时间、周转时间、吞吐量等;
?可维护性C23 确定、修正系统的错误所需的代价;
?可扩充性C24 系统结构、硬件设备、软件功能的可扩充程度;
?可移植性C25 将系统移植到另一种软硬件环境的代价;
?安全性C26 当自然或人为故障造成系统破坏时的有效对策。
系统应用B3
?经济效益C31 降低成本、增加利润、提高竞争力、改进服务质
量等;
?社会效益C32 提高科技水平、合理利用资源、增进社会福利、
保护生态环境等;
?用户满意度C33 人机界面友好、操作方便、容错性强、有帮助
功能等;
?功能应用程度C34 是否到达预期的技术指标。
用以上各种评价指标构造层次结构,形成目标层A,准则层B,子准则层C和方案层D,如下图。
由专家和用户组成的小组对3个MIS系统D1,D2,D3进行综合评价,
将成对比较矩阵略去,得到的权向量及一致性检验的结果如下:
B对A的权向量w?2???0.162?T,CI?2??0.0056。C对B1, , 0.309 , 0.529
, 0.177 , 0.177 , 0.312 , 0.056 , 0.177?,
B2,B3的权向量分别为w1?3???0.101
?3?w2??0.350 , 0.126 , 0.230 , 0.126 , 0.043 , 0.126?,?3??3??3? w3??0.336, 0.161 , 0.420 , 0.082 ?,CI1?3??0.0043,CI2?0.0048,CI3?0.0061。
?4?D对C的16个权向量wk和一致性指标CIk?4?列入下表,其中
~?3?,w~?3?,w~?3?为列向量的16?3矩阵,w?3??W?3?w?2?,而W?3?是以w123
T~?3???0.101w , 0.177 , 0.177 , 0.312 , 0.056 , 0.177 , 0 ,0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0?, 1
T~?3???0 ,, ?w 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0.350 , 0.126 , 0.230 , 0.126 , 0.043 , 0.126 , 0 , 0 , 0 , 02
T~?3???0 ,w 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0.336, 0.161 , 0.420 , 0.082 ?。
3
以表中16个权向量wk?4?为列向量构成3?16矩阵W?4?,则D对A的组合权向量w?4??W?4?w?3???0.315各层的一致性检验及组?T。 , 0.478 , 0.207
合一致性检验均通过,w?4?可作为3个MIS系统综合评价的依据。
2、横渡江河、海峡方案的抉择
渡江越海的办法主要有建桥梁、修隧道、轮渡3种,进行抉择时不外乎要从效益和代价量方面考虑,这两方面又各有若干准则加以度量。用AHP处理应将效益和代价作为两个目标,分别建立层次结构,最后依据效益与代价的比值作抉择。下面两个图表述的是某部门对准则的选择,仅供参考。构造成对比较矩阵和计算权向量的部分从略。
3、科技成果的综合评价
科技成果涉及的领域很广,种类很多,这里指的是直接应用于国民经济的某个生产部门后,可迅速转化为生产力,带来可定量计算的经济效益的那一类成果。评价准则先分为效益C1,水平C2,规模C3共3类,再在每类中确定若干具体指标,如此构造的层次结构由下图给出。计算权向量时,可假设C3有子准则C31,而C31就是C3。
4、国家实力分析
一些高层研究人员要对美、俄、中、英、法、日、德等大国的国家综合实力进行分析判断,AHP为其提供了一种手段。这里的关键是确定合适的准则及进行实事求是的对比。一个供参考的层次结构如下图所示。
AHP的优点
1、系统性 AHP把研究对象作为一个系统,按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策,成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
2、实用性 AHP把定性和定量方法结合起来,能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题,应用范围很广。同时,这种方法将决策者与决策分析者相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策的有效性。
3、简洁性 具有中等文化程度的人即可了解AHP的基本原理和掌握其基本步骤,计算也非常简便,且所得结果简单明确,容易为决策者了解和掌握。
AHP的缺点
1、AHP只能从原有方案中选优,不能生成新方案。
2、AHP的比较、判断直到结果都是粗糙的,不适于精度要求很高的问题。
3、从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人的主观因素的作用很大,这就使得决策结果可能难以为众人接受。当然,采取专家群判断的办法是克服这个缺点的一种途径。
范文五:层次分析法模型
数学模型
层次分析模型
西安电子科技大学数学与统计学院李伟
参考书目:
杨启帆,谈之奕,何勇,数学建模,浙江大学出版社,1999
层次分析法(AHP)是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪70年代初,为美国国防部研究“根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时,应用网络系统理论和多目标综合评价方法,提出的一种层次权重决策分析方法。
这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的基础上,利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化,从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的决策方法。
是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。
?决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。日常生活中有许多决策问题。举例?1. 在海尔、新飞、容声和雪花四个牌号的电冰箱中选购一种。要考虑品牌的信誉、冰箱的功能、价格和耗电量。
?2. 在泰山、杭州和承德三处选择一个旅游点。要考虑景点的景色、居住的环境、饮食的特色、交通便利和旅游的费用。
?3. 在基础研究、应用研究和数学教育中选择一个领域申报科研课题。要考虑成果的贡献(实用价值、科学意义),可行性(难度、周期和经费)和人才培养。
一、层次分析法概述
二、层次分析法的基本原理
三、层次分析法的步骤和方法
四、层次分析法的广泛应用
五、应用层次分析法的注意事项
六、层次分析法应用实例层次分析法建模??????
一、层次分析法概述
?人们在对社会、经济以及管理领域的问题进行系统分析时,面临的经常是一个由相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法则为研究这类复杂的系统,提供了一种新的、简洁的、实用的决策方法。
?层次分析法(AHP法) 是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法。该方法将定量分析与定性分析结合起来,用决策者的经验判断各衡量目标能否实现的标准之间的相对重要程度,并合理地给出每个决策方案的每个标准的权数,利用权数求出各方案的优劣次序,比较有效地应用于那些难以用定量方法解决的课题。
?层次分析法是社会、经济系统决策中的有效工具。其特征是合理地将定性与定量的决策结合起来,按照思维、心理的规律把决策过程层次化、数量化。是系统科学中常用的一种系统分析方法。
?该方法自1982年被介绍到我国以来,以其定性与定量相结合地处理各种决策因素的特点,以及其系统灵活简洁的优点,迅速地在我国社会经济各个领域内,如工程计划、资源分配、方案排序、政策制定、冲突问题、性能评价、能源系统分析、城市规划、经济管理、科研评价等,得到了广泛的重视和应用。
二、层次分析法的基本原理层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标,将问题分解为不同的组成因素,并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合,形成一个多层次的分析结构模型,从而最终使问题归结为最低层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。
三、层次分析法的步骤和方法
运用层次分析法构造系统模型时,大体
1. 建立层次结构模型
2. 构造判断(成对比较)矩阵
3. 层次单排序及其一致性检验
4. 层次总排序及其一致性检验可以分为以下四个步骤:
1. 建立层次结构模型?
?
?
?
?将决策的目标、考虑的因素(决策准则)和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层,绘出层次结构图。最高层:决策的目的、要解决的问题。最低层:决策时的备选方案。中间层:考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层,称高层为目标层,低层为因素层。
下面举例说明。
目标层工作选择贡 准则层 献收发声入展誉工 作 环 境生 活 环 境方案层可供选择的单位P1’ P2 , Pn
例2. 选择旅游地目标层如何在3个目的地中按照景色、 费用、居住条件等因素选择.O(选择旅游地)准则层C1 景色C2 费用C3 居住C4 饮食C5 旅途方案层P1 桂林P2 黄山P3 北戴河
例3 科研课题的选择 某研究所现有三个 科研课题,限于人力 及物力,只能研究一 个课题。有三个须考 虑的因素:(1)科研成 果贡献大小(包括实用 价值和科学意义);(2) 人材的培养;(3)课题 的可行性(包括课题的 难易程度、研究周期 及资金)。在这些因素 的影响下,如何选择 课题?
层次分析法的思维过程的归纳将决策问题分为3个或多个层次: 最高层:目标层。表示解决问题的目的,即层次分析 要达到的总目标。通常只有一个总目标。 中间层:准则层、指标层、…。表示采取某种措施、 政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节; 一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。 最低层:方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、 政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素,层间元素的关系用相连直线表示。 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相 对权重问题,按此相对权重可以对最低层中的各种方案、 措施进行排序,从而在不同的方案中作出选择或形成选择 方案的原则。
2. 构造判断(成对比较)矩阵在确定各层次各因素之间的权重时,如果只是定性的结果, 则常常不容易被别人接受,因而Santy等人提出:一致矩阵法, 即: 1. 不把所有因素放在一起比较,而是两两相互比较 2. 对比时采用相对尺度,以尽可能减少性质不同的诸因 素相互比较的困难,以提高准确度。判断矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的 相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用Santy的1—9标 度方法给出。 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,即每层 不要超过9个因素。
判断矩阵元素aij的标度方法标度 1 3 5 7 9 2,4,6,8 倒数 含义 表示两个因素相比,具有同样重要性 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素稍微重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素明显重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素强烈重要 表示两个因素相比,一个因素比另一个因素极端重要 上述两相邻判断的中值因素i与j比较的判断aij,则因素j与i比较的判断aji=1/aij
目标层O(选择旅游地)准则层C1 景色C2 费用C3 居住C4 饮食C5 旅途设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性Ci : Cj ? aij选 择 旅 游 地C1 C2 C3 C4 C5? 1 ? 2 ? A = ? 1/ 4 ? ? 1/ 3 ? 1/ 3 ?C11 A = ( aij ) n×n , aij > 0, a ji = aijC2 C31/ 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 54 7 1 2 33 ? 5 5 ? ? 1 / 2 1 / 3? ? 1 1 ? 1 1 ? ? 3C4C5A~成对比较阵A是正互反阵稍加分析就发现上 述成对比较矩阵有 问题要由A确定C1,… , Cn对O的权向量
成对比较的不一致情况? 1 A=? 2 ? ? ???一致比较1/ 2 14 ?? 7 ?? ? ? ?不一致a21 = 2 (C2 : C1)a13 = 4 (C1 : C3 )允许不一致,但要确定不一致的允许范围a23 = 8 (C2 : C3 )
w1 ? w1 考察完全一致的情况 ?w w2 1 ? W ( = 1) ? w1 , w2 ,? wn 可作为一个排序向量 ? w 2 w2 ? w w2 = A 1 成对比较 ? 令aij = wi / w j ?? ? 满足 ? aij ? a jk = aik , i, j, k =1,2,?, n wn ?wn 的正互反阵A称一致阵。 w2 ? ? w1一致阵性质? ??w1 ? wn ? ? w2 ? wn ? ? ? ? wn ? wn ? ?? A的秩为1,A的唯一非零特征根为nAw = nw但允许范围是多大? 如何界定?? 非零特征根n所对应的特征向量归一化后可作为权向量对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A, Saaty等 人建议用对应于最大特征根λ的特征向量作为权向量w , 即Aw = λ w
3. 层次单排序及其一致性检验对应于判断矩阵最大特征根λmax的特征向量,经归一 化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。 W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对 重要性的排序权值,这一过程称为层次单排序。 能否确认层次单排序,需要进行一致性检验,所谓一 致性检验是指对A确定不一致的允许范围。定理:n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 定理:n 阶正互反阵A的最大特征根λ ≥n, 当且仅当λ =n 时A为一致阵
4. 层次总排序及其一致性检验
?计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值,称为层次总排序。
?这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。
Z
A1B1
A2
B2
A层m个因素A1,A2,?,Am,
对总目标Z的排序为
??
Am
a1,a2,?,am
B层n个因素对上层A中因素为Aj
Bn
的层次单排序为
b1j,b2j,?,bnj (j=1,2,?,m)
B
层的层次总排序为:
m
B1:a1b11+a2b12+?amb1mB2:a1b21+a2b22+?amb2m?
Bn:a1bn1+a2bn2+?ambnm
即B 层第i个因素对总目标的权值为:∑ajbij
j=1
AA1,A2,?,Am
a1,a2,?,am
m
B层的层次总排序
B1B2?Bb11b12b21b22??bn1bn2
b1mb2m?bnm
∑
j=1
ajb1j=b1ajb2j=b2ajbnj=bn
∑
j=1
m
∑
m
选择旅游地
记第2层(准则)对第1层(目标)的权向量为
w
(2)
=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)
方案层对C2(费用)的成对比较阵
…Cn
T
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量方案层对C1(景色)的成对比较阵
?1?B1=1/2???1/5
2
11/2
5??2?1??
?11/31/8?
??B2=311/3???1??83?
…Bn
最大特征根λ1=3.005 λ2 =3.002 … λ5=3.0 权向量
w1(3) w2(3) …w5(3)
=(0.595,0.277,0.129) =(0.082,0.236,0.682) =(0.166,0.166,0.668)
组合权向量w(2)
0.2630.595
第3层对第2层的计算结果0.4750.0820.2360.6823.0020.001
0.0550.4290.4290.14230
0.0900.6330.1930.1753.0090.005
0.1100.1660.1660.66830
wk
(3)
0.2770.129
λk
CIk
3.0050.003
RI=0.58 (n=3),CIk均可通过一致性检验
方案P1对目标的组合权重为0.595×0.263+ …=0.300方案层对目标的组合权向量为(0.300, 0.246, 0.456)T
层次分析法的基本步骤归纳如下1.建立层次结构模型
该结构图包括目标层,准则层,方案层。2.构造成对比较矩阵
从第二层开始用成对比较矩阵和1~9尺度。3.计算单排序权向量并做一致性检验
对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量,利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过,特征向量(归一化后)即为权向量;若不通过,需要重新构造成对比较矩阵。
四. 层次分析法的广泛应用
?应用领域:经济计划和管理,能源政策和分配,人才选拔和评价,生产决策,交通运输,科研选题,产业结构,教育,医疗,环境,军事等。?处理问题类型:决策、评价、分析、预测等。?建立层次分析结构模型是关键一步,要有主要决策层参与。
?构造成对比较阵是数量依据,应由经验丰富、判断力强的专家给出。
例1国家实力分析
国家综合实力
国民收入
军事力量
科技水平
对外贸易
社会稳定
美、俄、中、日、德等大国
例2 工作选择
贡献
收入
发展声誉关系
位置
供选择的岗位
例3横渡江河、海峡方案的抉择
节省时间1
B1收岸入间C2商
业3桥梁D1
当地商业4
建筑就业5
B2安全可靠6
交往沟通7隧道D2
(1)过河效益层次结构
环境效益B自豪感C8
舒适C9
进出方便10
美化C11
渡船D3
例3横渡江河、海峡方案的抉择
投入资金C1
经济代价B操作维护2
冲击渡船业3
冲击生活方式4
社会代价B交通拥挤5
居民搬迁6
环境代价B汽车排放物7
对水的污染8
对生态的破坏9
桥梁D隧道D渡船D(2)过河代价层次结构
例4 科技成果的综合评价
效益C1
科技成果评价
水平C规模C直接经济效益11
间接经济效益12
社会效益C13
学识水平C学术创新C22
技术水平C23
技术创新C24
待评价的科技成果
五、应用层次分析法的注意事项层次分析法的优点
系统性——将对象视作系统,按照分解、比较、判断、综合
的思维方式进行决策。成为成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具;实用性——定性与定量相结合,能处理许多用传统的最优
化技术无法着手的实际问题,应用范围很广,同时,这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通,决策者甚至可以直接应用它,这就增加了决策的有效性;简洁性——计算简便,结果明确,具有中等文化程度的人
即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤,容易被决策者了解和掌握。便于决策者直接了解和掌握。
层次分析法的局限
囿旧——只能从原有的方案中优选一个出来,没有办法得出
更好的新方案;粗略——该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗
糙的,不适用于精度较高的问题。;主观——从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵,人主
观因素对整个过程的影响很大,这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。
六、层次分析法应用实例
某单位拟从3名干部中选拔一名领导,选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用AHP方法对3人综合评估、量化排序。
⑴建立层次结构模型
目标层
准则层
方案层
选一领导干部
健业写口政工康务作才
策作状知能水作况识力
平风
P1P2P3
假设3人关于6个标准的判断矩阵为:
健康情况
业务知识
写作能力
B
(3)1
?11/41/2??11/41/4??131/3???(3)??(3)??=?413?B2=?411/2?B3=?1/311??21/31??52??311?1??????
口才
政策水平
工作作风
B
(3)
4
?11/35?117??179????????(3)(3)=?317?B5=?117?B6=?1/715??1/51/71?????1/71/71?????1/91/51?
由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。
各属性的最大特征值
特征值
健康情况业务知识写作能力口才
政策水平
工作作风
λmax
(3)
3.02 3.02 3.05 3.05 3.00 3.02
W
?0.140.100.320.280.470.77???=?0.630.330.220.650.470.17??0.240.570.460.070.070.05???
均通过一致性检验
⑶层次总排序及一致性检验
从而有
?0.140.=W(3)
W
(2)
=?10?0.630.33??0.240.57?0.40?W=??0.34???
?0.26??
即在3人中应选择A担任领导职务。
0.320.220.460.280.650.070.470.470.07??0.16?
0.77??0.19??
0.17????
0.19?
?0.05????0.05???0.12?
??0.30??
W
旅游问题(1)建模
A1
A2
A3
A4
A5
1
B2
B3
A1,A2,A3,A4,A5
分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途。
B1,B2,B3
分别表示苏杭、北戴河、桂林。
对成对比较矩阵B1,B2,B3,B4,B5可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验,结果如下:
12
3
4
5
ωk10.5950.0820.4290.6330.166
k20.2770.2360.4290.1930.166
ωk30.1290.6820.1420.1750.668
λk
CIkRIk
3.0053.00230
0.58
3.00930
0.58
0.0030.001
0.58
0.58
0.005
0.58
计算CRk可知B1,B2,B3,B4,B5通过一致性检验。
(4)计算层次总排序权值和一致性检验
B1对总目标的权值为:
0.595×0.263+0.082×0.475+0.429×0.055
+0.633×0.099+0.166×0.110=0.3
同理得,B2,B3对总目标的权值分别为:0.246, 0.456,决策层对总目标的权向量为:又
{0.3, 0.246, 0.456}
CR=(0.263×0.003+0.475×0.001
+0.055×0+0.099×0.005+0.110×0)/0.58=0.015
故,层次总排序通过一致性检验。