范文一:黏性流体的运动
*§3-6 黏性流体的运动 一、流体的黏性 (viscosity of fluid ) 黏性 作相对运动的两层流体之间的接触面 上,存在一对阻碍两流体层作相对运动的大小相 等而方向相反的摩擦力,这种摩擦力称为流体的黏 力,或内摩擦力。 由于黏性的存在 , 管道中流动的流体出现了分层 流动, 各层只作相对滑动而彼此不相混合, 这种现象 z 称为层流(laminar flow)。 v 图示为充满两个平行板之 间的流体的流动。两板之间 各流体层的速率梯度的大小 O 为 dv d z 。 1 y
2
一般情况下, 速率梯度的大小不是常量, z0 处速 率梯度的大小为
( dv dz ) z0
实验表明,流体内部相邻两流体层间黏力的大小 正比于接触面积,正比于该处速率梯度的大小,即
v F 的方向如图中的箭头。 比例系数 η 称为流体的黏度 z0
dv F = ± η ( ) z 0 ΔS dz
z
v F v F
或黏滞系数 , 是流体黏性的 量度,与温度有密切关系。
O
y
3
黏度单位(SI制):Pa·s(帕·秒),有时用P (Poise,泊)表示,1P=0.1Pa·s,黏度大小取决于 流体的性质。 不同的流体的黏度一般不同。 同种液体的黏度随着液体温度的升高而减小,而 气体的的黏度随着液体温度的升高而增加。
4
二、 黏性流体的运动规律 已知黏性流体作定常流动时,流体作用于流体块 前、后的压力所作的功
ΔA = ( p1 ? p2 )
Δm
ρ
Δm 黏性流体,黏性 ΔA ′ = ? w 力所作的功为: ρ
w是单位体积的流体块从截面S1流到截面S2黏力 作的功,称为黏性损耗。
5
根据功能原理,有 ΔE = ΔA + ΔA′ 整理后 1 1 2 2 p1 + ρ v1 + ρ gh1 = p 2 + ρ v 2 + ρ gh 2 + w 2 2 上式即黏性流体作定常流动时所遵从的规律。 也称做实际流体的伯努利方程。 如果黏性流体沿着粗细均匀的管道作定常流动
p1 + ρ gh1 = p2 + ρ gh2 + w
或
( p1 ? p2 ) + ρ g (h1 ? h2 ) = w
可见,由于黏力的存在, 要流体在管道中作定常 流动,须保证管道两端的压强差 (p1?p2) 或保证管道 两端的高度差 (h1?h2) 或者两者兼而有之。 6
三、湍流和雷诺数 (Turbulent flow) 粘滞液体在流速不大时分层流动,当液体流速超 过一定数值时,层流状态被破坏,外层液粒不断卷 入内层,形成紊乱的流动状态,甚至出现漩涡,整 个流动显得杂乱而不稳定,称为湍流。 物体与流体的相对速度大到一定程度时,物体附 近出现明显漩涡,流体由层流变为湍流,物体除受 粘滞阻力作用外,还受由湍流而产生的压差阻力。 压差阻力的出现,使阻力 突然增大,阻力将和速度的 平方或更高次方成正比,压 差阻力是主要的阻力。所以 造成流线型以消除。
7
8
发生湍流的临界流速与雷诺数Re相对应。 雷诺数 Re =
ρv r η
由层流过渡到湍流的雷诺数为临界
雷诺数Rec。 当流速的值使雷诺数Re处于临界值Rec时,此时 的流速就是临界流速,大小为
Re c η vc = ρr
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如果流速从低于vc增大到高于vc,那么流动将会 从层流转变为湍流。
四、斯托克斯黏性公式 (Stokes’ viscosity resistance formula) 当固体在黏性流体中作相对运动时,将受到流体 的阻力作用。 斯托克斯黏性公式 固体小球以不大的速率在流
体中运动时,所受黏性阻力大小为
F = 6πηrv
η 是流体黏度,r是小球半径,v是小球相对流体的
运动速率。
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若流体密度为ρ,小球密度为ρ′,半径为r,速率为 v,则小球所受的三个力平衡,即
4 3 4 3 r ρ ′g = 6 ? η rv + ? r ρ g ? 3 3
由此可得小球下落的速率
2r v = (ρ ′ ? ρ )g 9η
匀速下落时的速度为终极速度(terminal velocity) 或沉降速度(sedimentation velocity)。 假如测出速率v,可求液体的黏度η ; 若流体黏度 已知,v已测出,可求得小球(或液滴)的半径。
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2
范文二:流体运动的几类模型
流体运动的几类模型
摘要 流体力学是一门重要的学科, 描述流体运动通常有几种方法, 本文主要介绍了描述流体运动常用的几种数学模型, 分析了它们的原理, 并讨论了它们的优缺点。
关键词 流体力学; 连续介质; 分子动力学;Boltzmann 方程
流体力学是一门研究流体宏观运动的学科。虽然流体的微观运动在时间和空间上都非常复杂, 具有不均匀性、离散型、随机性, 但是流体的宏观运动一般总是呈现出均匀性, 连续性, 确定性。流体的宏观运动和其他性质是流体分子微观运动的平均结果。在连续介质假设基础上, 流体的宏观运动可以用Navier-Stokes 方程来描述, 尽管连续介质是一种假设, 但由于在很多情况下这一假设都可以成立。所以这种观点已经被流体力学广泛地采用, 并获得了很大的成功; 另一方面, 近些年, 人们提出从微观的角度来理解宏观流体力学的概念和现象, 能够深刻地揭示宏观现象的本质, 对于更好的认识这些现象具有重要的意义。
本文着重介绍下通常研究流体力学的几种数学模型, 分析一下它们的理论及优劣。
首先, 我们先来看大家所熟悉的流体运动的连续模型, 在这里, 流体可以看作是充满整个流场的连续介质, 可以在流场中的每一个空间点定义留意的密度、速度、温度, 压力等物理量, 并建立一系列的偏微分方程来描述流体的运动。连续介质假设是流体力学中的一个基本假设, 是对流体结构的一种近似, 当研究对象的尺度比粒子结构尺度大得多时, 这一假设就成立, 这一假设对于日常生活和工程中的绝大多数情况是合理的, 依赖于这一假设, 研究获得了很大的成功, 比如飞机在空气中的运动, 轮船在水中的运动, 由于其特征尺度远大于粒子的结构尺度, 所以, 空气和水都可以被认为是连续介质, 但是对于一些特殊情况, 比如血液在动脉中的运动, 高空稀薄气体中物体的运动时, 就不能当做连续介质。此外由于描述此运动的Navier-Stokes 方程的复杂性, 除了少数非常简单的情况, 一般情况是得不到方程的解析解, 所以, 以传统的解方程的方法来解决流体问题暂时是行不通的, 所以利用计算机利用数值方法找近似解是常见的方法, 这就是计算流体力学, 随着计算机技术和相关数学的发展, 计算流体力学的应用也越来越广泛, 现在很多工业部门及研究单位, 这是采用得比较普遍的一种方法, 而且随着计算机的发展, 相应的也出现了很多应用软件, 可以这样说, 以往通过理论和实验解决不了流体的问题, 现在很大程度上可以通过计算机去解决。
其次, 我们再来了解下从微观方面来描述流体运动的分子动力学模型, 因为从物理上来说, 流体是由分子构成的, 流体的宏观运动时微观分子热运动的平均结果, 如果我们知道了分子的微观运动, 通过统计平均这种方法就可以得到流体的宏观物理量。分子动力学模型可以是确定性的, 也可以是随机性的。在分子动力学模
范文三:粘性流体的运动
粘性流体的运动
实际流体都不同程度地具有粘滞性。气体和一些粘滞性小的液体在小范围内流动时,粘滞性作为次要因素可忽略不计,而粘滞性很大的流体、或粘滞性虽小,但由于远距离输送,粘滞性的影响却不能忽略不计。研究在流体中运动的物体受到阻力时,也必须考虑到流体的粘滞性。
粘性流体层流时,各层流动的速度不同。相邻两层之间存在着摩擦力,称为内摩擦力(或称为粘滞力),其大小与该处的速度梯度有关,与流体的粘滞系数有关,服从牛顿粘滞定律。流体的流动除层流外,还有湍流和过渡流的运动形式,流体处于那一种运动形式,由雷诺数决定。不可压缩的、粘滞流体在粗细均匀的水平圆管中层流时,圆管横截面上速度分布有一定的规律,通过管子的流量遵从泊肃叶定律。:不可压缩的粘性流体,稳定流动时,有粘性流体的运动规律,即对理想流体、稳定流动时的伯努利方程加一个修正项,表示粘性流体在流动过程中需克服内摩擦力做功,因而有自身的能量损失。在流体中运动的物体,由于其表面附着的流体与相临的流体有相对运动,而受到粘滞阻力。球形物体在流体中运动的速度很小时,其受到的粘滞阻力服从斯托克斯定律,物体在流体中上升或下降时,受到重力、浮力和到粘滞阻力。物体起初为变速运动,最终会达到匀速运动,此时的速度称为收尾速度。
内摩擦力(internal friction), 粘滞力(viscous force), 粘滞性(viscosity):
流体分层流动时,速度不同的各流层之间
存在着沿分界面的切向摩擦力,流速大的
一层给流速小的一层以拉力,流速小的一
层给流速大的一层以阻力。这种流体内部
的摩擦力,称为内摩擦力,或粘滞力。流 体的这种性质称为流体的粘滞性。
速度梯度(velocity gradient):流体中,在垂
直于流速方向上,单位距离的两流层的速度变
化量,称为速度梯度。
平均速度梯度:x—x+,x 范围内的平均速度梯度为:
速度梯度:x 附近的速度梯度为:
–1–1速度梯度的单位:秒(s)。
牛顿粘滞定律(Newton law of viscosity ):
粘性流体层流时,相邻两层之间的内摩擦力F与两流层的面积S成正比,与该处的速 度梯度 成正比,即
称为牛顿粘滞定律。式中比例系数,,称为为流体的粘滞系数。
粘滞系数(coefficient of viscosity),:流体粘滞性大小的量度。
流体具有粘滞性的原因:分子力和分子的无规则热运动。
滞系数的决定因素:粘滞系数大小由流体本身的性质、流体的温度决定。对液体来说:温度越高,粘滞系数越小;温度越低,粘滞系数越大。对气体来说:温度越高,粘滞系数越大;
温度越低,粘滞系数越小。
粘滞系数的单位:Pa?s
层流(laminar flow):流体分层流动、各层流动彼此不相混合、只作相对滑的流动,称为层流。
湍流(turbulent flow):流体不保持分层流动、各层之间相互混合、可出现旋涡的流动,称为湍流。
过渡流:流体的流动状态不稳定,可能层流,也可能湍流。
雷诺数(Reynold number)Re :流体的流动状态与流体的密度,、粘滞系数,、平均流速v,管道半径r有关。
定义:Re称为雷诺数。
Re<1000时,流体作层流;re>1500时,流体作湍流;1000<><1500时,流体作过渡流。>1500时,流体作过渡流。>
速度分布: 不可压缩的、粘滞系数为,的流体,在半径为R的水平圆管中层流时,若长度为L的流体两端的压强差为p-p,则圆管横截面上速度分布——流速随半径变化的关系为: 12
管壁处:r=R处,v=0; R
管中心处:r=0处,中心流速最大, ;
当R,, 一定时,v由 决定, 称为压强梯度。 r
泊肃叶定律(Poiseuille law):不可压缩的、粘滞系数为,的流体,在半径为R的水平圆管中层流时,若长度为L的流体两端的压强差为p-p,则 12
流量: ;称为泊肃叶定律。
平均流速 ,
-5-5流阻:定义 ,则R称为流阻。 单位:牛顿?秒?米(N?s?m), f
则流量有:
粘性流体的运动规律:不可压缩的粘性流体,稳定流动时有
粘性流体的伯努利方程:
其中w为单位体积流体从1处流到2处克服内摩擦力所做的功,或损失的能量。
能量损失:粘滞性流体,在半径相同的管道中稳定流动时,由粘性流体的伯努利方程:
(1) 高度相同时: w = p– p,又由泊肃叶定律可得: 12
此二式表明:
(a ) 该情况下流体损失的能量与流程成正比,故称为沿程能量损失,流体损失了压强;
(b) 即使在水平管中,也必须有一定的压强差,粘性流体才能作稳定流动。
(2) 压强相同时: w = ,gh– ,gh。此式表明:在外界压强相同的情况下,流体损失了重力12
势能,管道必须有一定的高度差,粘性流体才能保持速度。
在静止的粘滞系数为 的流体中运动时,斯托克斯定律(Stokes law):半径为r的球形物体,,若物体运动的速度v很小(Re<1),则物体所受的粘滞阻力为:>1),则物体所受的粘滞阻力为:>
注意:F与v成正比。物体和流体一定时,F随v的改变而改变。
收尾速度:半径为r、密度为,的小球,在密度为,'、粘滞系数为,的流体中下落(, >,' )时,达到匀速运动时的速度,称为收尾速度,用v 表示: T
流体的粘滞力
我们在日常生活中从玻璃杯中倒出来的水感觉非常容易,有一泻千里的感觉,但要从油漆桶里倒出油漆就怎么倒也倒不净,这就是流体的粘滞力不同带来
的结果。
什么是流体的粘滞力呢,当流体流动时,流体中各层间会发生相对滑动,由于流体的粘滞性,流层之间存在一种阻碍相对流动的粘滞阻力,又叫流体的内摩擦力。粘滞阻力到处存在,粘滞性是一切流体共有的重要特性,粘滞力只是大小不同。当你骑自行车飞奔的时候,也能感到空气的阻力,这实际上是空气的粘滞力(气体摩擦力)的作用。为了减少流体的粘滞力对物体的作用,人们将小汽车
做成了流线型;潜水艇也仿照海豚的形状做成梭形。
为了进一步加深对这种流体的粘滞力的理解,我做了一个实验。我在4个烧杯中放入不同的流体:第一杯是白开水、第二杯是纯牛奶、第三杯是花生油、第四杯是油漆,我把四杯液体分别倒出来,白开水哗的一下全部倒在了盆里;牛奶比白开水倒出的速度慢了一点点,因为牛奶比白开水浓一些;花生油一倒成了一个油柱,可不管你怎么倒油总是还有一些在杯子里,慢慢地滴着油滴;倒油漆可是个麻烦活儿,因为油漆在倒的时候就像果胶一样滴不下来,还好它终于滴出来
了,可见油漆对杯子的粘滞力真是太大了~
我在书里还找到了有关流体粘滞力的一件奇事,在海洋中有一片等温层,就是海水中的上面温度和下面的温度一样;如果有一条船或货轮误入了这片海,那么船身就不能动了,不管开多大马力也是白费力气,船也动不了,流体的粘滞力
还会让船身慢慢地沉入海底.
粘滞阻力并不是全都有害,有的甚至是不可或缺的。科学研究指出,平时感到速度很小的雨滴如果没有空气的粘滞力,它足以穿透一毫米厚的钢板,人体会被淋烂~从天外飞向地球的流星,如果没有空气的粘滞阻力,将会给地球带来灾
难。
通过认识我认识到流体的粘滞力有害也有益,只要我们利用好它就会给人类
带来意想不到的好处~
范文四:物在流体中的运动
第二部分:案例题(包括教案设计、资源准备、教学实施和教学评价)
教案设计(本部分共6个题,每题4分,满分24分)
在进行“在流体中的运动”一课的教案设计时,应进行学习者和教学环境分析,确定教学目标与教学内容,设计教学活动并选择合适的教学策略。请结合教案回答下面问题。 第9题 (单选题)在进行学习者分析时,教师考虑到学生已建立了力和压强的概念,这是对学习者( )的分析。 (4 分)
A.学习动机
B.认知风格
C.已有的知识基础
D.学习兴趣
教案设计
资源准备(本部分共4个题,每题4分,满分16分)
在“在流体中的运动” 这一课中,需要收集一些和本课相关的图片和视频资料,同时还要准备演示实验与小组实验器材。
第15题 (单选题)在本教学中所使用的教学媒体在课堂教学中发挥很多作用,以下关于教学媒体的作用中说法不正确的是( )。 (4 分)
A.支持协作
B.代替教师
C.创设情境
D.呈现内容
第16题 (单选题)幻灯片制作时,( )是错误的做法。 (4 分) A.注意画面的美观,各帧风格统一 B.构图要力求简明,图形、标题、文字标注三者并重 C.色彩搭配适宜 D.动画要多,声音要多,文字要多
第17题 (单选题)本设计中,下列教学资源中,属于数字化教学资源的是( )。 (4 分)
A.机翼挂图
B.水、纸张
C.自做多媒体演示文稿
D.电吹风、注射器和乒乓球
第18题 (单选题)若教师对科学家伯努利的图片进行放大,可采取( )方法。 (4 分)
A.在
B.点右键选中图片,进行图片的剪切并复制
C.在
D.点左键选中图片,然后拖动鼠标至要求图片规格
教学实施(本部分共5个题,每题4分,满分20分)
在完成教学规划和教学资源准备后,将进入教学方案实施阶段。在这一阶段,需要解决一些在课堂实施过程中可能遇到的问题,包括硬件设备的简单操作、教学资源的使用以及课堂活动的组织和管理。
第19题 (单选题)本教学实施中实现多种互动。下列属于本节课教学的互动方式有( )。 (4 分)
A.师生互动、人机互动
B.辩论竞赛、互相激励
C.竞争协同、团结协作
D.师生互动、生生互动
第20题 (单选题)教学活动设计时,若教师希望结合教学内容在实施课堂教学过程中能及时信息反馈,下面适合课堂及时信息反馈的硬件设施为( )。 (4 分)
A.计算机教学系统
B.录像机
C.电视机
D.幻灯机
第21题 (单选题)下列属于
A.进行该课的教案设计和教学实施
B.进行该课教学资源的准备和教学实施
C.进行该课的教案设计和教学评价
D.进行该课的教学资源的准备和教案设计
第22题 (单选题)教师若通过网上交流的形式开展对
A.师生之间、学生之间既可以进行同步交流,也可以进行异步交流
B.只能实现师生之间的同步交流
C.只能实现师生之间、学生之间的同步交流
D.只能实现学生之间的同步交流
教学评价(本部分共5个题,每题4分,满分20分)
在完成教学规划、教学资源准备和教学方案实施后,将进入教学评价阶段。在这部分中,需要评价已完成的课堂教学及学生的学习情况。
第24题 (单选题)本教学实施中,具备( )的教学环境才能满足教学需要。 (4 分)
A.计算机系统、投影设备、多媒体演示文稿、互联网和电源等硬件设施
B.计算机系统、投影设备和互联网
C.计算机系统、投影设备和挂图
D.计算机系统和电源等硬件设施
第23题 (单选题)本教学实施中多媒体的运用,主要意图是( )。 (4 分) A.降低教学成本 B.提高计算机的利用率 C.方便开展观摩教学 D.提高课堂教学效率
第25题 (单选题)在学生成绩录入后新建的Excel表中,若计算学生成绩总分、平均值,应该使用( )。 (4 分)
A.函数AVERAGE()和函数COUNT()
B.函数SUM()和函数RANK()
C.函数SUM()和函数AVERAGE()
D.函数SUM()和函数COUNT()
第26题 (单选题)若对本教学进行评价,评价的内容是
A.过程与方法
B.情感态度与价值观
C.知识与技能 D.所给的其他选项都不对
第27题 (单选题)实现
A.给定学生学习任务、提供必要的学习资源、提出学生自我监控方法、给出评价学生学习量规
B.给定学生学习任务、提供丰富的学习资源
C.提供丰富的学习资源、提出学生自我监控方法
D.提出学生自我监控方法、提出评价学生学习量规
第28题 (单选题)教学实施后,教师认为本课安排学生分组探究
A.教学过程
B.教学效率
C.教学资源
D.教学评价
范文五:Chapter5流体的涡旋运动
第四章 流体的涡旋运动
§5.1绪论
一、涡旋现象和涡旋运动的概念
自然界中的涡旋现象往往和灾难、神秘相关联。台风、龙卷风等大气涡旋会引发灾害。海洋中也有涡旋,例如神秘莫测的百慕大三角区的涡旋,冷、暖洋流交汇处出现的冷涡和暖涡等。绕流流动常出现尾涡,例如飞机、轮船后面的尾涡。涡旋运动往往伴随机械能的耗散,表现为被绕流物体所受阻力的增加。涡旋运动伴随机械能耗散的性质被水利工程所利用。例如在水坝泄洪口处设置消能坎,人为地制造涡旋以消耗水流动能,保护坝基。
流场的旋度????V,若全流场??0,则流动为无旋流动,若部分区域??0则为有旋流动。因为????0,所以涡旋场是无源场。
区分无旋运动和有旋运动是研究无粘流动时遵循的基本原则。Kelven速度环量守恒定理和Helmholtz关于涡量守恒的几个定理,为区分这两类流动提供了重要的理论基础。
二、涡旋运动的描述
1、几何描述
类似于速度场的流线、流面和流管,在涡量场中引入涡线、涡面和涡管。任意时刻t,在涡量场中画一系列曲线,曲线上任意点的切向为该点?方向,这些曲线就是涡线,因而涡线微分方程为 ?
dxdydz, ???x(x,y,z,t)?y(x,y,z,t)?z(x,y,z,t)(5-1)
其中t为参量。涡线上的流体微团的旋转(分)运动在该瞬时可描述为绕
各对应点的切线转动。过流场中的任意曲线(闭曲线)上各点作涡线,这
些涡线形成的曲面(管状曲面)就是涡面(涡管)。
2、两个基本物理量
在流场中取一曲面?,定义该曲面上的涡通量为
J?????ds。
? (5-2)
在流场中取一闭曲线L,定义该曲线上的速度环量为
???V?dl。
L (5-3)
若单连通的空间曲面?的边界曲线为L,曲面?的法向与曲线L的环绕方向成右手螺旋关系,据Stokes定理,
??V?ds?????ds, ?V?dl?????L (5-4-1)
即曲线L上的速度环量等于以该曲线为边缘线的曲面?上的涡通量。若空间曲面?是双连通曲面,如图所示,内、外边缘曲线分别为L1和L2,环绕方向如图所示,则 (5-4-2) ??ds?????L1?L2V?dl。 2
同轴圆柱间流体绕对称轴的旋转流动,其横截面就是双连通曲面。
§5.2 涡量方程
下面推导控制涡量变化的动力学方程。对N-S方程的如下形式
?V2??V?p????????V?F????2V??(??V) ?t?3?2?
两边同时取旋度,并记f???V?2?
3?(??V),可得
???p???(??V)???F???()???f ?t?
其中
??(??V)???(?c?V)???(??Vc)
??(??V)?(V??)??(???)V?V(???)。
考虑到????0,?????p?????p,最后得到 ???2????
d?????p?(???V)??(??V)???F????f。 dt?2 (5-5)
此即涡量满足的动力学方程。若流体无粘(f?0)、正压(
则得到Helmholtz 方程: ????p?2?0)且体力有势(??F?0),
d??????V?(???)V。 dt (5-6)
某时刻在流体中取一小段细涡管,为表述方便起见,以该涡管的涡量方向为z轴建立直角坐标系,对该涡管,
????V?(???)V???(??ui?vj??u?v?w?w ??)k??k???x?y?z?z?z
???V??u?v??(?)k ?z?x?y
其中V??ui?vj代表与局地涡量垂直的速度分量。以?S?代表该涡管横截面积,容易证明
?u?v1d?S?。 ???x?y?S?dt
可见??(?u?v?)k反映涡管横截面的胀、缩对于涡量的影响。在不考虑其它外界作用的情况下,组成?x?y
该微元涡管的流体微团垂直于旋转轴的膨胀或收缩必然由于引起转动惯量的改变进而改变涡量的大小。从另一个角度来看,由于涡管是物质管,由于涡管强度的守恒(设流体理想、正压、体力有势),?S?的变化必然伴随?的变化。对于不可压缩流体,?S?的增、减,必对应微元长度?l的减、增(??V?0?????u?v??),因而此时可认为涡量的变化由涡管沿轴向的伸缩所致,故称之为涡管的?z?x?y
伸缩效应。同样,?V?不为零必然导致涡管的扭曲,涡管扭曲引起涡量方向的改变。?z
这种由于涡线取向的改变而使涡度改变的机制称为涡线的翻转效应。
例5-1 理想不可压缩流体在重力场作用下的定常平面运动,证明沿流线涡量保持不变。
证明:满足诸条件时有
d??(???)V, dt
对于平面流动,?d??0,w?0,因而???k,(???)V?0,即?0。定常流动迹线即流线,故?zdt
沿流线涡量保持不变。涡量的保持性是对流体团而言的,是随体的,不是局地的。
§5.3环流变化定理
物质线上的速度环量反映张在该物质线上的物质面的涡旋运动性质,本小节我们研究流动过程中物质线上的速度环量所满足的动力学方程,了解那些动力学因素能够影响物质线的速度环量以及以何种形式影响。
物质线上的速度环量的变化率 d??dt
其中 ?LdV??r???dt?LdVd?r, ??r??V?dtdtL
d?ld?r??r?r?d?r??r?dr????V?r??r??V?r???V, dtdtdtdt
因V是单值函数, 2
?V2?V??V??????0, ??2?LL故有
d??dt
将N-S方程代入(5-7)式得 ?LdV??r。 dt (5-7)
d??dt
若体力有势则?F??r??LL?p???r????2V??r??LL?3?(??V)??r。 (5-8) ?F??r?0。若流体正压?L?p???r???P??r?0。若流体无粘,则(5-8)式最后两L
项消失。若流动同时满足这三个条件,则d??0,即物质线上的速度环量守恒,此即开尔文定理。 dt
§5.4涡旋运动的保持性
一、拉格朗日涡旋保持性定理
假设某时刻某部分流体内无旋,那么,该时刻这部分流体内的任意物质线的速度环量(也即张在该物质线上的物质面的涡通量)为零。若流体理想、正压且体力有势,根据开尔文定理,此前或此后该物质线的速度环量(也即张在该物质线上的物质面的涡通量)始终为零,即这部分流体中的任意物质面上恒有
??ds?0。 ???
由于曲面?是任意选取的(大小、形状、法向都任意),上式意味着该部分流体中处处恒有??0。上述内容即拉格朗日涡旋保持性定理。反过来说,若流体理想、正压且体力有势,如果某部分流体某时刻有旋,那么此前或此后该部分流体都有旋。
二、亥姆霍兹涡面及涡管保持定理
若流体理想、正压且体力有势,若某时刻某物质面是涡面(涡管),那么以前及以后的任意时刻该物质面都是涡面(涡管)。涡面和涡管跟随流体一起运动。证明如下:
某时刻t任取同时为涡面的物质面?,?上的涡通量等于零。由开尔文定理知,以前和以后任意时刻该物质面上的涡通量恒为零。考虑到该物质面t时刻是涡面,组成该物质面的各面元法向不是任意的,故只能得出?n?0,这说明该物质面始终是涡面。涡管是管状的涡面,因此此结论对构成涡管的物质管也成立。不仅涡面和涡管,涡线也同样具有保持性。某一时刻组成涡线的流体质点将永远组成涡线,涡线跟随物质线运动。
三、涡管强度保持定理。
若流体理想、正压且体力有势,根据开尔文定理,物质管截面上的涡通量守恒;另一方面,涡管具有保持性,即涡管随构成涡管的物质管一起运动;涡管强度即物质管截面上的涡通量,因此涡管强度守恒。
以上定理全面描述了在理想、正压、体力有势条件下涡旋的随体变化规律。首先,我们看到流体的涡旋运动性质是保持的。有旋的流体团永远有旋,无旋的流体团永远无旋。其次,对有旋运动,涡线、涡面、涡管保持定理成立,流体质点和所在涡线、涡面、涡管一起运动,并且在运动过程中物质面上的涡通量(对应物质线上的速度环量)以及涡管强度保持不变。
例5-2理想不可压缩流体在重力场作用下从静止开始的任何运动是否都是无旋的?
§5.5 涡旋的产生和扩散
一、流体斜压性引起的涡旋运动
设流体理想、体力有势,则
??p?d??p????p????dr????
????ds??ds。 ?2??
dt?????L?? (5-9)
考虑图中所描述的简单而有具代表性的情形。假设初始时刻密度和压力的分布如图,图中??和?p被描绘为位于曲面A内的常矢量。根据(5-9)式,这将会引起逆时针方向的环流。引起环流的过程可如下解释。在同一水平面上位于右边的较轻的单位体积流体和位于左边较重的单位体积流体一样受到相同的向上的压强梯度力(??p)。在没有其他因素的影响下,较轻的流体就会比较重的流体以更快的速度上升,平行于等压线的物质线逆时针转动,整个流体团逆时针转动,从而产生沿周线C的速度环量。这种运动将最终使等压面与等密度面趋于一致。再来看大气斜压性引起的环流。把地球近似看成圆的,大气等压面是以地心为球心的球面。由于日照的不同,大气等密度面不是球面,同一高度上赤道比北极温度高,造成同一高度上赤道比北极大气密度低,所以等密度面出现如图的倾斜。等密度面一旦发生倾斜,
根据(5-9)式,图中黄色物质线就会出现非零的?,于是就有了如图所示的经向环流。
二、无势体力引起的涡旋运动
设大气流动为理想流体流动,真实体力F?g,在地转参照系下,需考虑惯性力。惯性离心力是有势体力,科氏力会影响物质线速度环量。此时速度环量满足方程
d?????p????ds?2????Vr??dr。 2dt?ΣL (5-10)
以北半球信风为例,大气斜压性引起大气在地表自北向南流动,科氏力在地表引起纬向的环流(站在北极看是顺时针的),使得地表大气流向右偏,从而形成自东北向西南的信风。
三、粘性引起的涡量产生和扩散
放在转盘上的圆柱形水桶内装有水,初始圆盘静止,现在启动转盘,临近桶壁的流体瞬间被“搓”出涡旋,宏观上表现为桶壁附近流体的强剪切。这是粘性引起涡旋运动的一个例子。桶内的流动可看成不可压缩流体的二维流动,并且是轴对称的圆形流动,涡量方程化简为
?????2?。 (5-11) ?t
公式(5-11)是一个扩散方程 ,扩散系数为?。该方程表示有旋的流体在流动过程中涡量发生扩散, 涡量从涡量大的流体向涡量小的流体扩散。对桶内的上述流动而言,转盘启动瞬间桶壁处有旋,然后涡旋逐渐向桶中心扩散,直至达到涡量均匀分布,此时流体作类似于刚体的转动。对比热量扩散方程
?T???2T ?t
对应的热传导过程可以帮助我们了解涡量扩散的过程。涡量扩散过程和规律与热传导过程类似,最终要达到涡量的均匀分布。
1000时,流体作层流;re>