范文一:集合之间的关系教案
集合之间的关系教案
篇一:《集合间的基本关系》教学设计
1.1.2集合间的基本关系
一、设计理念
新课标指出:学生的数学学习活动不应只是接受、记忆、模仿、练习,教师应引导学生自主探究、合作学习、动手操作、阅读自学,应注重提升学生的数学思维能力,注重发展学生的数学应用意识。
二、教材分析
本节课选自人教版《普通高中课程标准实验教课书》必修1,第一章1.1.2集合间的基本关系。集合是数学的基本和重要语言之一,在数学以及其他的领域都有着广泛的应用,用集合及对应的语言来描述函数,是高中阶段的一个难点也是重点,因此集合语言作为一种研究工具,它的学习非常重要。本节内容主要是集合间基本关系的学习,重在让学生类比实数间的关系,来进行探究,同时培养学生用数学符号语言,图形语言进行交流的能力,让学生在直观的基础上,理解抽象的概念,同时它也是后续学习集合运算的知识储备,因此有着至关重要的作用。
三、学情分析
【年龄特点】:
假设本次的授课对象是普通高中高一学生,高一的学生求知欲强,精力旺盛,思维活跃,已经具备了一定的观察、分析、归纳能力,能够很好的配合教师开展教学活动。
【认知优点】
一方面学生已经学习了集合的概念,初步掌握了集合的三种表示法,对于本节课的学习有利一定的认知基础。
【学习难点】
但是,本节课这种类比实数关系研究集合间的关系,这种类比学习对于学生来说还有一定的难度。
四、教学目标
? 知识与技能:
1. 理解子集、V图、真子集、空集的概念。
2. 掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。
3. 能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。
? 过程与方法:
1. 通过类比实数间的关系,研究集合间的关系,培养学生类比、观察、
分析、归纳的能力。
2. 培养学生用数学符号语言、图形语言进行交流的能力。
? 情感态度与价值观:
1.激发学生学习的兴趣,图形、符号所带来的魅力。
2.感悟数学知识间的联系,养成良好的思维习惯及数学品质。
五、教学重、难点
重点:
集合间基本关系。
难点:
类比实数间的关系研究集合间的关系。
六、教学手段
PPT辅助教学
七、教法、学法
? 教法:
探究式教学、讲练式教学
遵循“教师主导作用与学生主体地位相结合的”教学规律,引导学生自主探究,合作学习,在教学中引导学生类比实数间关系,来研究集合
间的关系,降低了学生学习的难度,同时也激发了学生学习的兴趣,充分体现了以学生为本的教学思想。
? 学法:
自主探究、类比学习、合作交流
教师的“教”其本质是为了“不教”,教师除了让学生获得知识,提高解题能力,还应该让学生学会学习,乐于学习,充分体现“以学定教”的教学理念。通过引导学生类比学习,同学间的合作交流,让学生更好的学习集合的知识。
八、课型、课时
课型:新授课
课时:一课时
九、教学过程
(一)教学流程图
(二)教学详细过程
1..回顾就知,引出新知
问题一:实数间有相等、不等的关系,例如5=5,3,7,那么集合之间会有什么关系呢,
2.合作交流,探究新知
问题二:大家来仔细观察下面几个例子,你能发现集合间的关系吗,
(1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};
(2)设A为新华中学高一(2)班女生的全体组成集合;B为这个班学生的全体组成集合;
(3)设C={x?x是两条边相等的三角形},D={x?x是等腰三角形}
【师生活动】:学生观察例子后,得出结论,在(1)中集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,教师总结,这时我们说集合A与集合B 有包含关系。(2)中的集合也是这种关一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两集合有包含关系,称集合A为集合B 的子集,记作:A?B(B?A),读作A含于B或者B包含A.
在数学中我们经常用平面上封闭的曲线内部代表集合,这样上述集合A与集合B的包含关系,可以用下图来表示:
问题三:你能举出几个集合,并说出它们之间的包含关系吗,
【师生活动】:学生自己举出些例子,并加以说明,教师对学生的回答进行补充。
问题四:对于题目中的第3小题中的集合,你有什么发现吗,
【师生活动1】:在(3)由于两边相等的三角形是等腰三角形,因此集合C,D都是所有等腰三角形的集合,集合C中任意一个元素都是集合D的元素 ,同时集合D任意一个元素都是集合C的元素,因此集合C与集合D相等,记作:C=D。
用集合的概念对相等做进一步的描述:
如果集合A是集合B 子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A与集合B的元素一样,因此集合A与集合B 相等,记作A=B。
强调:如果集合A?B,但存在元素x?B, 且x?A,我们称集合A是集合B的真子集,记作:A?B
【师生活动2】:教师引导学生以(1)为例,指出A?B,但4?B, 4?A,教师总结所以集合A是集合B的真子集。
【师生活动】?,并规定空集是任何集合的
4.思维拓展,讨论新知
问题六:包含关系{a}?A与属于关系a?A有什么区别,请大家用具体例子来说明
【师生活动1】:学生以(1)为例{1,2}?A,2?A,说明前者是
集合之间的关系,后者是
问题七:经过以上集合之间关系的学习,你有什么结论,
【师生活动】:师生讨论得出结论:
(1)任何一个集合都是它本身的子集,即A?A
5.练习反馈,培养能力
例1写出集合{a,b}的所有子集,并指出哪些是真子集
例2用适当的符号填空
(1)a,{a,b,c}
(2){0,1},N
(3){2,1},{X?X2-3X+2=0}
6.课堂小结,布置作业
这节课你学到了哪些知识,
小结 知识上:
能力上:
情感上:
作业:必做题:P8,3
思考题:实数间有运算,那集合呢,
篇二:教案-集合之间的关系
第一章 集 合
1.2 集合之间的关系和运算
1.2.1 集合之间的关系
一、教学目标
1. 知识与技能
(1)理解集合之间的包含与相等的含义;
(2)能识别给定集合的自己
(3)能用韦恩图表达集合之间的关系
2. 过程与方法
(1)通过复习元素与集合之间的关系,对照实数的相等于不相等的关系,联系元素与集合之间的从属关系,探究集合之间的包含与相等关系
(2)初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程,体会集合语言,发展运用数学语言进行交流的能力
3. 情感、态度与价值观
(1)了解集合的包含、相等关系的含义,感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义
(2)探索直观图示对理解抽象概念的作用
二、教学重点、难点
(1)重点是子集的概念
(2)难点是元素与子集、属于与包含之间的区别
三、教学过程
1.复习回顾
回顾上节课的学习内容,提问学生集合都有什么表示方法,元素与集合的关系。
2.引入
元素与元素,元素与集合的关系阐述,引出集合与集合的关系
(元素与集合是两个级别的东西,比如人与班级,人从属于班级里。以前讨论数与数的比较,上节课讨论了元素与集合的关系,今天讨论集合与集合的关系) 例子:
(1)A={1,3},B={1,3,5,6}
(2)C={x| x是长方形},D={x| x是平行四边形}
(3)E={x|(x+1)(x+2)=0},F={-1,-2}
(4)G={x|0x5,x?N+},H={1,2,3,4}
(5)S={1,3,4},T={1,3,5,6}
(6)M={x|x3},N={x|x2}
(1)—(4)前面的集合的元素都在后面的集合里,引出子集
3.子集
子集:集合A中的元素都在集合B中,集合A称为B的子集,记作A?B或B?A “A包含于B”或“B包含A”。
P中存在元素不在Q中,则P不包含于Q或Q不包含P,记作P?Q或Q P注:A?A;规定:φ?A
0}例:φ___{
(1)(2)与(3)(4)有什么异同,前面的集合都是后面集合的子集,(1)(2)中后面集合还有其他元素,(3)(4)后面的集合没有其他元素,一类归为真子集,一类归为相等
4.真子集
若A?B,且?a?B,a?A,则称A为B的真子集,记作A?B或B?A
5.集合相等
?a?A都有a?B,反过来,?a?B都有a?A,则A与B相等,记作A=B。即:A?B,B?A?A=B
6.维恩图
常用封闭曲线的内部表示集合,这种图形叫做维恩图
使用维恩图表示集合A,A?B,A=B
例:
将上面的例子用维恩图表示
用维恩图表示集合N+,N,Z,Q,R
例:A?B,B?C则A___C
A?B,B?C则A___C(真子集)
例:用适当的符号填空
1,2,3,5} (2)5___{5}(3)a___{a,b,c} (4){a}_____{a,b,c} (1)3___{
b,c} (6)φ___{0} (7)φ____φ (8)φ___{φ} (5){a,b,c}___{
2,3,1} (10){(x,y)|2x-y=1,x+4y=5}___{(x,y)|y=x} (9){1,2,3}___{
例:用维恩图法表示下列集合以及他们之间的关系:
A={四边形},B={平行四边形},C={梯形},D={菱形},E={正方形},F={矩形} 例:(1)写出集合A={a,b,c}的所有子集和真子集,并计算子集个数
(2)计算集合{a},{a,b},{a,b,c},{a,b,c,d},{a,b,c,d,e}子集的个数?有什么规律,
(3)集合A元素个数为n,那么其子集个数为______
7.子集个数
集合A元素个数为n,那么其子集个数为2,非空子集个数2-1,真子集个数2-1,nnn
非空真子集个数2-2
例:(1)满足条件{a,b}真包含于M?{a,b,c,d,e}的集合M的个数是______
(2)已知{x|x2-1=0}真包含于A?{-1,0,1},集合A的子集的个数是______ (7,8)
例:已知集合A={x| x-1或x2},B={x| 4x+p0},当A?B时,求实数p的取值范围, 例:已知集合A={x|-2?x?5},B={x|m+1?x?2m-1}.
(1)若B?A,求实数m的取值范围;
(2)若x?Z,求A的非空真子集的个数
例:已知集合A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},若B?A,求实数a的取值范围.
n
篇三:1.1.2 集合间的基本关系教案 2
1.2子集 全集 补集
教学目的:
(1)使学生了解集合的包含、相等关系的意义;
(2)使学生理解子集、真子集(
(3)使学生理解补集的概念; (4教学重点:子集、补集的概念
教学难点:弄清元素与子集、属于与包含的关系 授课类型:新授课 课时安排:1课时 内容分析
在研究数的时候,通常都要考虑数与数之间的相等与不相等(大于或小于)关系,而对于集合而言,类似的关系就是“包含”与“相等”本节讲子集,先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系,并引出子集的概念,然后,对比集合的“包含”与“相等”本教学过程:
一、复习引入:
问题:观察下列两组集合,说出集合A与集合B的关系(共性) (1)A={1,2,3},B={1,2,3,4,5} (2)A=N,B=Q
(3)A={-2,4},B={x|x2-2x-8=0}
(集合A中的任何一个元素都是集合B的元素)二、讲解新课:
(一) 子集 1 定义:
(1)子集:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一 ((
个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集
合B,或集合B包含集合记作:A?B或B?A , 读作:A包含于B或B包含A
若任意x?A?x?B,则A?B
当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记
作A?/B或B?/A
注:A?B有两种可能
(1)A是B的一部分,;(2)A与B(2)集合相等:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集((
合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集((
合A等于集合B,记作(3)真子集:对于两个集合A与B,如果A?B,并且A?B,我们就说集合A
是集合B的真子集,记作:AB或B(4)A, 读作A真包含于B或B真包含
如A?B与B?A同义;A?B与A?B不同
(5)?A
A 若A?Φ,则ΦA?A
(6)易混符号
?“?”与“?”1?N,-1?N,N?R,Φ?R,{1}?{1,2,3}
?{0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集合,Φ 如 Φ?Φ={0},Φ?{0}
(7)根据子集的定义,可以得到它的性质:
?A?A;?Φ?A;?A?B,B?C,则A?C(传递性,在情况下,可以连写成A?B?C;?若A?B,B?A则A=B 思考:上面性质对真子集还成立吗,(除了?之外,其余成立)
三、讲解范例:
这种不一定
由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2 ,an}的所有子集的个数是多少个,,真子集解:
n
n
这样,含n个元素的集合{a1,a2 ,an}的所有子集的个数是,真子2集的个数是2-1,非空真子集数为2-n
练习:判断下列说法的正确与否。
?若A,则A?B()?若A?B则A?若A=B,则A?B( )?若A?B则A=B( ) ???× ???×
例2,教材P8例2
练习:1,教材P10___2(解答:?A?A=B ?A2,若数集{0,1,x+2}中,x不能取值的集合为A写出A的所有子集 答:A={-2,-1}故子集为?,{-1},{-2},{-1,-2} 观察例2的三个集合,它们之间有什么关系,
补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即A?S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作CSA,即
CSA={x|x?S,且x?A}
2、性质:CS(CSA)=A ,CSS=φ,CSφ=S
3、全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集,全集通常用U例3(1)若S={1,
2,3,4,5,6},A={1,3,5},求CSA (2)若A={0},求证:CNA=N*
3)求证:CRQ解(1)?S={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},
?由补集的定义得CSA={2,4,6}
证明(2)?A={0},N={0,1,2,3,4,?},N*={1,2,3,4,?}
?由补集的定义得CNA=N*
证明(3)? Q是有理数集合,R是实数集合?由补集的定义得CRQ例4 已知S,,x,,1?x,2,8,,A,,x,,2,1,x?1,,
B,,x,5,2x,1,11,,讨论A与CSB解:?S,,x|,3?x,6,,A,,x|0?x,3,, B,,x|3?x,6,
?CSB,,x|,3?x,3, ?A?CSB
三,总结:本节主要讲解了子集、补集、全集的概念及性质
四、作业:教材P9练习3,4,P10___1,3,4
第二课时子集全集补集综合习题选讲
目的:进一步熟悉子集全集补集的概念,掌握它们的应用 重点难点:应用 过程:
一,复习子集全集补集的概念和选择 二、典型例题
例1、已知{1,2}?A?{1,2,3,4},求满足条件的集合A
解:A中一定含有1,2,这样将A分成三类 仅有1,2时,A={1,2}
含有3,4中之一时,A={1,2,3}或{1,2,4} 3,4都含有时A={1,2,3,4}
总之,A={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}
说明:当分类多时,可以先说明分几种情况,再进行分类,以免计算时忘记了思路。 例2,已知集合A={x|x3},B={x|xa}
?若B?A,求实数a的范围;?A?B,求实数a的范围
?
解:?作图,a?3 ?A?B,a3
?
说明:利用图示也是解集合题的一种常见方法
例3,若集合A={x|-2?x?5},B={x|m+1?x?2m-1},若B?A,求实数m的范围 解:分B=?和B不空两类 B=?时,2m-1m+1,m2
范文二:集合之间的关系教案
§1.1.2集合间的基本关系
公孙龙是我国战国时期的诸子百家中的一位名家,他曾提出“白马非马”的论断,他的理由主要有三条,其中第一条是他认为“马”是一种动物,而“白”是一种颜色,“白马”则是一种动物与一种颜色的混合体,因此他认为“白马非马”.能过这种解释,你还认为白马是马吗?你认为所有白色的马组成的集合与所有马组成的集合之间有什么关系呢?
?研习教材重难点
研习点1. 集合的包含关系(重点)
1.子集
一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集(subset),记作A?A”).
其数学语言表示形式为:若对任意的x?是山东人}?{x|
B(或B?A),读作“A含于B”(或“B包含
A有x?B,则A?B.例如{1,2,3}?N,N?R,{x|x
x是中国人}等.
另外,在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.用Venn图表示
A?B(或B?A)如下:
根据子集的定义,我们可以知道对于空集?,我们规定?
A?A,也就是说任何集合都是它本身的一个子集.
?A,即空集是任何集合的子集.
【辨析·比较】 一些容易混淆的符号
1. “?”与“?”的区别:符号“?”表示元素与集合之间的从属关系,也就是个体与总体的关系,是指单个对象与对象的全体的从属关系;而符号“?”表示集合与集合之间的包含关系,也就是部分与总体的关系,是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系;
2.a与{a}的区别:一般地,a表示一个元素,而{a}表示含有一个元素的集合,因此有a?{a}.
典例1.分别写出集合{a},{a,b}和{a,b,c}的所有子集,并得出子集的个数.
【研析】集合{a}的所有子集是?,{a},共有2个子集;
集合{a,b}的所有子集是?,{a},{b},{a,b},共有4个即2个子集;
集合{a,b,c}的所有子集可以分成四类即○1空集:?;○2一元子集:{a},{;○3二元子集b},{c}
3
4三元子集{a,
b,c}.共有8个即2个子集. {a,b},{a,c},{b,c;}○
2
思考:由典例1,你可以发现什么结论?
探究:如果用Card(A)表示集合A的元素个数,则集合A共有2素,则集合A有2个子集.
n
Card(A)
个子集.即若集合
A中有n个元
A?B),且集合B是集合A的子集(B?A),此时,集合A与集合B
中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A?B.用Venn图表示A?B如下:
如果集合A是集合B的子集(
【梳理·总结】 集合相等的实质
集合相等的定义所表达的实质是:若集合A与集合B中中的元素完全相同,就称集合A与集合B相等,结合子集的定义,我们不难得到集合A与集合B相等的意思就是
A?B,且B?A.以上两点在证明两
个集合相等时经常用到,对于元素较少的有限集,可以将集合中元素全部列举来,说明两个集合中的元素完全相同,从而得到两个集合相等.另外由集合相等的概念不难得到,两个有限集相等,则一定会具有以下性质:○1两个集合的元素个数相等;○2两个集合的元素之和相等;○3两个集合的元素之积相等.这也是证明两个有限集相等常用的方法.而对于无限集,只需说明两个集合之间具有相互包含关系,就可以得到两个集合相等.
典例2. 已知集合A={a,a+b, a+2b},B={a,ac, ac2}.若A=B,求c的值.
【研析】要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式. 分两种情况进行讨论. (1)若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得:a+ac2-2ac=0,
a=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故a≠0.
∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解. (2)若a+b=ac2且a+2b=ac,消去b得:2ac2-ac-a=0, ∵a≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c =-1.
2
解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正.
如果集合A即如果
?B,但存在元素x?B,且x?A,我们称集合A是集合B的真子集(proper subset),
B(或B
A).例如{1,2,3}
A?B且A?B,那么集合A是集合B的真子集,记作AN
B
、
{a,b}{a,b,c}等等. 子集与真子集的区别在于“A?B”允许A?B或A
允许“
B,而A
是不
A?B”的,所以如果AB成立,则一定有A?B成立;但如果有A?B成立,AB不
一定成立.
【探究·发现】 子集、真子集、非空子集个数的求法
通过对子集、真子集和非空真子集概念的研究,我们很容易地可以总结出如何求子集、真子集和非空真子集的结论:集合A中有n个元素时,集合A有2个子集,2
n
n
?1个真子集,2n?2个非空真子集.因此
在求解子集、真子集和非空真子集的个数时,需要分成两步,即应当先确定集合的元素的个数,然后再利用公式进行计算集合的子集、、真子集和非空子集的个数.
研习点2.子集的有关性质(难点) 1.空集?
我们把不含有任何元素的集合叫做空集(empty set),记为?,并规定:空集是任何集合的子集.其
实空集还可以看作是含有0个元素的集合,从这种角度出发,往往能为我们研究集合的性质提供有条理性的帮助.
2.子集与真子集的性质
(1)任何集合是它本身的子集,即(2)对于集合(3)对于集合
A?A;
A、B、C,如果
A?
B,且B?C
,那么A?C; A、B、C,如果A
B,且B
C,那么AC;
(4)空集?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. 【探究·发现】 {0},?与{?}的区别 {0}是含有一个元素的集合,?是不含有任何元素的集合,因此应有?个元素?的集合,因此集合{?}的子集有?、{?}.
?{0};而{?}也是含有一
典例3.下列表述正确的是( )
A.??{0} B.??{0} C. ??{0} D. ??{0}
【研析】 B 由于空集?是不含有任何元素的集合,而集合{0}则是含有1个元素0的集合,从而选B.
?探究解题新思路
▲ 基础思维探究
题型一 子集概念的考查
典例1. 写出集合{a,b,c,d}的所有子集.
【研析】集合{a,b,c,d}的所有子集可以分为五类,即: (1)含有0个元素的子集,即空集?;
(2)含有一个元素的子集:{a},{b},{c},{d};
(3)含有二个元素的子集:{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}; (4)含有三个元素的子集:{a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}; (5)含有四个元素的子集:{a,b,c,d}.
反思领悟 本题的难点表现在分类讨论思想的运用上。第一次分类讨论是按集合A的子集含有的元素的
个数进行划分的,即集合A的子集含有的元素的个数依次是0,1,2,3,4;第二次分类讨论,是对a,b,c,d四个元素实施合理地搭配上.
典例2.设A??(x,y)|?
????y?x??y?2x?
,B?(x,y)|????,判断集合A是否是集合B的子
y?x?1y??2x?1?????
y?x
与
集,B?A成立吗?
y?x?1的图象都是直线,并且这两条直线互相平行,所以
【研析】由于正比例函数
??y?x?
A??(x,y)|??=?.
?y?x?1??
1?
x???y?2x?4,所以集合B??(x,y)|?y?2x??{(1,1)}
又?解得????
1y??2x?1y??2x?142?????y???2
从而知集合A是集合B的子集,但B?通常考虑该集合所表述的意义. 【拓展·变式】
1. 若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},试判断集合P与集合Q之间的包含关系.
A不成立.
推广引申 判断集合之间的关系之前,往往先将能化简的集合先化简,在考虑是否是子集或真子集时,
题型二 集合相等概念的考查
典例3(.1)设A?{x|2m1??x?x?3},B{?x?R|x1?0?}
(2)已知
2
,问m为何值时能使得A?B?
X?{x|x?2n?1,n?Z},Y?{y|y?4k?1,k?Z},求证:X?Y.
??,欲使A?B,必须且只需A??即可.
【研析】(1)显然B
由于2m?1?m?3可得m?4,此时综上可知,当m?4时,
A?{x|2m?1?x?x?3}=?.
A?B.
(2)设x?X,即x?(2n?1),n?Z. 当n
?2k时,有x?4k?1,x?Y;
?1时,有x?4k?1,x?Z
当n?2k从而
X?Y;
y?Y,即y?(4k?1),k?Z,因为4k?1是奇数,所以y?X
,即Y
另一方面,设综上可知,
?X
.
X?Y.
反思领悟 本题难点在于证明X?Y上,具体地说,难就难在论证x?2n?1具有4k?1的形式上. 【拓展·变式】
2. 设集合A={a|a=3n+2,n∈Z},集合B={b|b=3k-1, k∈Z},则集合A、B的关系是________.
题型三 空集?的作用
典例4.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若B
________.
A,则实数p的取值范围是
【研析】由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5. 欲使B
?2?p?1A,只须???3?p?3.∴ p的取值范围是-3≤p≤3. ?
?2p?1?5
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即B=?时,符合题设. 应有:①当B≠?时,即p+1≤2p-1由B
p≥2.
A得:-2≤p+1且2p-1≤5.由-3≤p≤3.∴ 2≤p≤3.
p<2.
②当B=?时,即p+1>2p-1由①、②得:p≤3.
探索发现 从以上解答应看到:解决有关A∩B=?、A∪B=?,A
现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题. 【拓展·变式】
3. 已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},若B
B等集合问题易忽视空集的情况而出
A,求实数m范围.
综合思维探究
题型一 学科内综合题
典例5. 设集合P={m|-1<m≤0},Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立},则下列关系中成
立的是( ) A.PQ
B.Q?P
C.P=Q
D.QP
【研析】〖解法一〗Q={m∈R|mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,对m分类:
①m=0时,-4<0恒成立;
②m<0时,需Δ=(4m)2-4×m×(-4)<0,解得m<0. 综合①②知m≤0,∴Q={m∈R|m≤0} 从而PQ,选A.
2
〖解法二〗显然m=0时,mx?4mx?4?0恒成立,故0∈Q,但0?P,故可排除B、C;另一方面,
当m
??2时,mx2?4mx?4??2x2?4x?4??2(x?1)2?2?0恒成立,故?2∈Q,又?2?P,
从而排除D,故只有A正确.
方法探究 该题以二次三项式恒成立为背景,综合考查集合间的包含关系、分类讨论的意识和简单推理与计算能力,体现数学的思辨性、缜密性,深层次地考查集合思想的运用. 集合Q中含有参数m,需要对参
【拓展·变式】
4. 已知集合A={x||x|≤2,x∈R},B={x|x≥a},且AB,则实数a的取值范围是____
题型二 易错辨析题
典例6. 若P={y|y=x2, x∈R},Q={(x,y)|y=x2 , x∈R},则必有( )
A. P
Q B.P=Q C.P
Q D.以上都不对
【错解】由于集合P与集合Q中的元素都满足性质y=x2,x∈R,从而知P=Q.从而选B.
【正解】错解的主要原因在于看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,集合P是变量而应选D.
y的取值集合,而集合Q是y=x2, x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.从
思维指南 由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什
么.事实上P、Q的元素是数而不是点,因此P是数集而不是点集,Q是点集而不是数集.再说集合是由元素构成的,因此认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x}、{y|y=x,x∈R}、{(x,y)|y=x,x∈R},这三个集合是不同的.
2
2
2
【拓展·变式】
5. 已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y| y=x+1,x∈R},试判断集合M与集合N之间的包含关系.
创新思维探究
题型一 开放探究题
典例7. 已知A?{x|x?3x?4?0},B?{x?R|(x?1)(x?3x?4)?0},求满足条件
A
2
2
P?B的集合P.
P知P??,此时即求满足条件的集合B的非空子集.
【研析】由P?B知P是B的子集,又由A
由于
A?{x|x2?3x?4?0}=?,B?{x?R|(x?1)(x2?3x?4)?0}?{?1,1,?4}.由A
P?B知
P?B且其元素全属于}、{?1,?4}、{1,?4}、B.因此满足条件的集合P为{1}、{?4}、{?1,1
{?1,1,?4}.
交流探讨 在写子集时,应有规律地进行书写,先写含有0个元素的集合,即空集?,再写含有1个元素、
含有两个元素,……,含有n个元素的子集. 【拓展·变式】 6. 求满足{2,3}?A
题型二 课标创新题
典例8. 集合S?{0,1,2,3,4,5},A是S的一个子集,当x?A时,若有x?1?A且x?1?A,
{2,3,4,5,6,7}的集合A的个数.
则称x为集合
A的一个“孤立元素”.写出集合S
中所有无“孤立元素”的4元子集.
【研析】依题意可得“孤立元素”x是没有与x相邻的,非“孤立元素”是指在集合中有与x相邻的元
素.因此所求问题的集合可分为以下两类:
(1)4个元素连续的有3个:{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5};
(3)4个元素分成两组,每组有两个相邻的,这样的集合也有3个:{1,0,3,4},{0,1,4,5},{1,2,4,5}.
理念链接 【拓展·变式】
7.已知集合A?{2,4,6,8,9},B?{1,2,3,5,8},又知集合C是这样的一个集合:若各元素都加上2
就变成集合A的一个子集;若各元素都减去2,就变成了集合B的一个子集这样的集合C存在吗?试写出你的判断.
题型3 奇思妙解题
典例9. 设集合A?{1,a,b},集合B?{a,a2,ab},且A?B,求实数a,b的值.
(1)?1?a?b?a?a2?ab?ab(a3?1)?0
【研析】〖解法一〗因为A?B,所以?,即?
2
(2)?1?a?b?a?a?ab?(a?1)(a?b?1)?0
因为元素的互异性,则a?0,a?1.由(1)得b从而a
?0,代入(2)式得a??1.
??1,b?0.
① 或?
?1?a2
〖解法二〗由集合相等的定义得?
?b?ab
1得解○
?1?ab
2
?b?a
②
?a?1?a??1?a?1
2或?;解○得? ?
b?Rb?0b?1???
??1,b?0.
由集合元素的互异性得a
理念链接 由集合相等的概念不难得到若两个有限集相等,则一定会具有以下性质:○1两个集合的元素
个数相等;○2两个集合的元素之和相等;○3两个集合的元素之积相等.解法一利用此种方法,实际上是一种对应的思想方法.另外,在考虑两个几何相等时,还应注意到集合中元素的互异性.
【拓展·变式】 8. 设集合M?{1,2,3,
,1000},对于M
的任一非空子集Z,令?Z表示Z集合Z中最大数与最小数
的和,那么所有这样的?Z的算术平均数是多少?
▲ 高考思维探究
集合是一个载体,它可以将许多问题联系在一起.子集问题又是集合中最常见的问题,几乎渗
透过高中代数全程的内容中,一直以来都是高考的热点内容.
典例10.(2007年上海卷)已知A?{?1,3,m},集合B?{3,4},若B?A,则实数m?___.
【研析】已知
A?{?1,3,m},集合B?{3,4},若B?A, 则实数m?4.
品思感悟 【拓展〃变式】
9.(2006年湖南卷改编)设函数f(x)?
x?a(x?1)?(x?a)
,集合M={x|f(x)?0},P={x|?0},x?1(x?1)2
若MP,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D. [1,+∞)
范文三:集合之间的关系教案
?1.2集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
【学习要求】
1.理解子集、真子集、两个集合相等的概念(
2.掌握有关子集、真子集的符号及表示方法,能利用Venn图表达集合间的关系(
3.会求已知集合的子集、真子集(
4.能判断两集合间的包含、相等关系,并会用符号准确地表示出来(
【学法指导】
通过使用基本的集合语言表示有关的数学对象,感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义;培养用集合的观点分析问题、解决问题的能力;学习用数学的思维方式解决问题、认识世界.
填一填:知识要点、记下疑难点
1.子集:一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作A?B或B?A,读作“A包含于B”,或“B包含A”(
2.子集的性质:?A?A(任意一个集合A都是它本身的子集);???A(空集是任意一个集合的子集)( 3.真子集:如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集 ,记作A B (或B A),读作“ A真包含于B ”,或“ B真包含A ”( 4.维恩图:我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合,这种图形通常叫做维恩(Venn)图 . 5.集合相等:一般地,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素,我们就说 集合A等于集合B ,记作A,B .用数学语言表示为:如果 A?B ,且 B?A ,那么A,B . 6.一般地,设A,{x|p(x)},B,{x|q(x)},如果A?B,则x?A?x?B,即 p(x)?q(x) .反之,如果p(x)?q(x),则 A?B
研一研:问题探究、课堂更高效
问题情境] 已知任意两个实数a,b,则它们的大小关系可能是ab,那么对任意的两个集合A,B,[
它们之间有什么关系,今天我们就来研究这个问题(
探究点一 子集与真子集的概念
导引 前面我们学习了集合、集合元素的概念以及集合的表示方法(下面我们来看这样三组集合:
(1)A,{1,3},B,{1,3,5,6};(2)C,{x|x是长方形},D,{x|x是平行四边形};(3)P,{x|x是菱形},Q,{x|x
是正方形}(
问题1 哪些集合表示方法是列举法,哪些集合表示方法是描述法,
答:集合A,B的表示是用列举法;集合C,D,P,Q的表示是用描述法(
问题2 这三组集合每组彼此之间有何关系,
答:集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,集合C中的任意一个元素都是集合D的元素,集合Q中的任意一个元素都是集合P的元素(
小结:一般地,如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,那么集合A叫做集合B的子集(记作:A?B或B?A,读作:A包含于B或B包含A.
问题3 类比表示两集合间子集关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处, 答:在实数中如果a大于或等于b,则a,b的关系可表示为a?b或b?a;
在集合中如果集合A是集合B的子集,则A,B的关系可表示为A?B(或B?A)(
所以这是它们的相似之处(
问题4 在导引中集合P与集合Q之间的关系如何表示,
答:集合P不包含于Q,或Q不包含P,分别记作P Q或Q P.
问题5 空集与任意一个集合A有什么关系,集合A与它本身有什么关系,
答:(1)空集是任意一个集合的子集;
(2)任何一个集合A是它本身的子集(
问题6 对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么集合A与C有什么关系,
答:A与C的关系为A?C.
问题7 “导引”中集合A中的元素都是集合B的元素,集合B中的元素不都是集合A的元素,我们说集合A是集合B的真子集,那么如何定义集合A是集合B的真子集,
答:如果说集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A叫做集合B的真子集,记作:A B(或B A),读作“A真包含于B”或“B真包含A”(
问题8 集合A,B的关系能不能用图直观形象的表示出来,
1 / 4
答:能(我们常用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合,这种图形通常叫做维恩(Venn)图( 问题9 如何用维恩(Venn)图表示集合A是集合B的真子集,
答:如图所示:
例1 写出集合A,{1,2,3}的所有子集和真子集(
分析:为了一个不漏地写出集合A,{1,2,3}的所有子集,可以分类写,即空集,含一个元素的子集,含两个元素的子集,含三个元素的子集(
解:集合A的所有子集是:?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}(
在上述子集中,除去集合A本身,即{1,2,3},剩下的都是A的真子集( 3小结:集合A,{1,2,3}中有三个元素,其子集的个数为8个,即2个,事实上,如果一个集合含有n个元素,则
n它的子集个数为2个(
跟踪训练1 写出满足{3,4} P?{0,1,2,3,4}的所有集合P.
解:由题意知,集合P中一定含有元素3,4并且是至少含有三个元素的集合(
此所有满足题意的集合P为{0,3,4},{1,3,4},{2,3,4},{0,1,3,4},{0,2,3,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4}( 探究点二 集合的相等
问题1 观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系吗,
(1)集合C,{x|x是两条边相等的三角形},D,{x|x是等腰三角形};
(2)集合C,{2,4,6},D,{6,4,2};
(3)集合A,{x|(x,1)(x,2),0},B,{,1,,2}(
答:可以看出每组的两个集合的元素完全相同,只是表达形式不同(
问题2 与实数中的结论“若a?b,且b?a,则a,b”相类比,在集合中,你能得出什么结论, 答:若A?B,且B?A,则A,B.
小结:一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的每一个元素都是集合B的元素,同时集合B的每一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A,B.即:如果A?B,且B?A,那么A,B. 例2 说出下列每对集合之间的关系:
(1)A,{1,2,3,4,5},B,{1,3,5}; 2(2)P,{x|x,1},Q,{x||x|,1};
(3)C,{x|x是奇数},D,{x|x是整数}(
解 (1)B A;
(2)P,Q;
(3)C D.
小结:在两个集合A,B的关系中,有一个集合是另一个集合的“子集”;或一个集合是另一个集合的“真子集”;或两个集合“相等”;另外还可能有“集合A不包含于B”或“集合B不包含于A”(
跟踪训练2 用适当的符号(?,?,,, , )填空:
(1)0______{0};0______?;?______{0};
22(2)?______{x|x,1,0,x?R}; {0}______{x|x,1,0,x?R};
(3)设A,{x|x,2n,1,n?Z},B,{x|x,2m,1,m?Z},C,{x|x,4k?1,k?Z},则A______B______C. 解析 (1)0?{0},0??,? {0};
22(2)?,{x|x,1,0,x?R},{0} {x|x,1,0,x?R};
(3)A,B,C均表示所有奇数组成的集合,?A,B,C.
探究点三 集合关系与其特征性质之间的关系
问题1 已知集合A的特征性质为p(x),集合B的特征性质为q(x)(“如果p(x),那么q(x)”是正确命题,试问集合A和B的关系如何,并举例说明(
答:集合A是集合B的子集,例如Q,{x|x是有理数},P,{x|x是实数},易知Q?P,
也容易判断命题“如果x是有理数,则x是实数”是正确命题(
这个命题还可以表述为:x是有理数?x是实数,符号“?”表示推出(
小结:一般地,设A,{x|p(x)},B,{x|q(x)},如果A?B,则x?A?x?B,即p(x)?q(x)(反之,如果p(x)?q(x),则A?B.
问题2 如果命题“p(x)?q(x)”和命题“q(x)?p(x)”都是正确的命题,那么怎样表示p(x),q(x)的关系, 答:p(x)?q(x),符号“?”表示相互推出(
例3 判定下列集合A与集合B的关系:
(1)A,{x|x是12的约数},B,{x|x是36的约数};
(2)A,{x|x>3},B,{x|x>5};
(3)A,{x|x是矩形},B,{x|x是有一个角为直角的平行四边形}(
解:(1)因为x是12的约数?x是36的约数,所以A?B;
2 / 4
(2)因为x>5?x>3,所以B?A;
(3)因为x是矩形?x是有一个角为直角的平行四边形, 所以A,B.
小结:当判定用特征性质描述法表示的两个集合关系时,一是可用赋值法,二是从两集合元素的特征性质p(x)入
手,通过整理化简,看是否是一类元素(
跟踪训练3 确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系: (1)A,{n|n,2k,1,k?Z}和B,{m|m,2l,1,l?Z}; **(2)C,{n|n,2k,1,k?N}和D,{m|m,2l,1,l?N}( 解 (1)当k?Z,l?Z时,n,2k,1?m,2l,1,
所以A,B; **(2)当k?N,l?N时,n,2k,1?m,2l,1,所以C?D. 练一练:当堂检测、目标达成落实处
1.下列命题:
?空集没有子集;
?任何集合至少有两个子集;
?空集是任何集合的真子集;
?若? A,则A??.
其中正确的个数是 ( )
A(0 B(1 C(2 D(3
解析:由于任何集合都是它本身的子集,故?错;
空集只有一个子集就是它本身,故?错;
空集是任何非空集合的真子集,故?错;
2.满足条件{1,2} M?{1,2,3,4,5}的集合M的个数是 ( ) A(3 B(6
C(7 D(8
解析:M中含三个元素的个数为3,M中含四个元素的个数也是3,M中含5个元素的个数只有1个,
因此符合题意的共7个(
3(若集合{2x,x,y},{7,4},则整数x,y分别等于__________(
,,2x,72x,4,,,,解:由集合相等的定义得或, ,x,y,4,x,y,7,,
7x,,舍,,,,2x,2,,?或. , 1,y,5, y,,,2
?x,y的值分别是2,5.
4.观察下面几组集合,集合A与集合B具有什么关系,
(1)A,{1,2,3},B,{1,2,3,4,5}(
(2)A,{x|x>3},B,{x|3x,6>0}(
(3)A,{正方形},B,{四边形}(
(4)A,{育才中学高一(11)班的女生},B,{育才中学高一(11)班的学生}( 解:通过观察就会发现,这四组集合中,集合A都是集合B的一部分,从而有A?B.
课堂小结:
1.能判断存在子集关系的两个集合,谁是谁的子集,进一步确定其是否为真子集;注意:子集并不是由原来集合中
的部分元素组成的集合(
2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集(
3.注意区别“包含于”,“包含”,“真包含”(
4.注意区分“?”与“?”的不同涵义.
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4 / 4
范文四:集合之间的关系教案
一 、教学内容分析
集合概念及其理论是近代数学的基石,集合语言是现代数学的基本语言,通过学习、使用集合语言,有利于学生简洁、准确地表达数学内容,高中课程只将集合作为一种语言来学习,学生将学会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象,发展运用数学语言进行交流的能力.
本章集合的初步知识是学生学习、掌握和使用数学语言的基础,是高中数学学习的出发点。本小节内容是在学习了集合的概念以及集合的表示方法、元素与集合的从属关系的基础上,进一步学习集合与集合之间的关系,同时也是下一节学习集合之间的运算的基础,因此本小节起着承上启下的重要作用.
本节课的教学重视过程的教学,因此我选择了启发式教学的教学方式。通过问题情境的设置,层层深入,由具体到抽象,由特殊到一般,帮助学生的逐步提升数学思维。
二、学情分析
本节课是学生进入高中学习的第3节数学课,也是学生正式学习集合语言的第3节课。由于一切对于学生来说都是新的,所以学生的学习兴趣相对来说比较浓厚,有利于学习活动的展开。而集合对于学生来说既熟悉又陌生,熟悉的是在初中就已经使用数轴求简单不等式(组)的解,用图示法表示四边形之间的关系,陌生的是使用集合的语言来描述集合
之间的关系。而从具体的实例中抽象出集合之间的包含关系的本质,对于学生是一个挑战。
根据上面对教材的分析,并结合学生的认知水平和思维特点,确定本节课的教学目标和教学重、难点如下:
三、教学目标:
知识与技能目标:
(1)理解集合之间包含和相等的含义;
(2)能识别给定集合的子集;
(3)能使用venn图表达集合之间的包含关系
过程与方法目标:
(1)通过复习元素与集合之间的关系,对照实数的相等与不相等的关系联系元素与集合之间的从属关系,探究集合之间的包含和相等关系;
(2)初步经历使用最基本的集合语言表示有关的数学对象的过程,体会集合语言,发展运
用数学语言进行交流的能力;
情感、态度、价值观目标:
(1)了解集合的包含、相等关系的含义,感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义;
(2)探索利用直观图示(venn图)理解抽象概念,体会数形结合的思想。
四、本节课教学的重、难点:
重点:(1)帮助学生由具体到抽象地认识集合与集合之间的关系——子集;
(2)如何确定集合之间的关系;
难点:集合关系与其特征性质之间的关系
五、教学过程设计
1.新课的引入——设置问题情境,激发学习兴趣
我们的教学方式,要服务于学生的学习方式。那我们来思考一下,在何种情况下,学生学得最好?我想,当学生感兴趣时;当学生智力遭遇到挑战时;当学生能自主地参与探索和创新时;当学生能够学以致用时;当学生得到鼓励与信任时,他们学得最好。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上,这样才能让学生体验到成就感,保持积极的兴奋状态。而集合的语言对于学生来说是陌生的,虽然比较容易理解,但是由于概念多,符号多,学生容易产生厌烦心理,如何让学生长时间兴趣盎然地投入到集合关系的学习中呢?我在整个教学过程中层层设问,不断地向学生提出挑战,以激发学生的学习兴趣。在引入的环节,我设计了下面的问题情境1:元素与集合有“属于”、
“不属于”的关系;数与数之间有“相等”、“不相等”的关系;那么集合与集合之间有什么样的关系呢?问题的抛出犹如一石激起千层浪,在这儿,答案并不重要,重要的是学生迫切寻求答案的愿望,激发学生的求知欲。在学生讨论的基础上提出这一节课我们来共同探讨集合之间的基本关系。(板书课题)
2.概念的形成——从特殊到一般、从具体到抽象,从已知到未知问题情境1的探究:
具体实例1: (1)a={1,2,3}; b={1,2,3,4,5};
(2)a={菱形}, b={平行四边形}
(3)a={x| x&2}, b={x| x&1};
此环节设置了三个具体实例,包含了有限集、无限集、数集(包括不等式)、图形的集合。
第一个例子为有限集数集,最为简单直观,对学生初步认识子集,理解子集的概念很有帮助;第二个例子是图形集合且是无限集,需要通过探究图形的性质之间的关系找出集合间的关系;第三个例子是无限数集,基于学生初中阶段已经学习了用数轴表示不等式的解集,启发学生可以通过数形结合的方式来研究集合之间的关系,从而引出venn图。对第一个例子,借助多媒体演示动画,帮助学生体会“任意”性。使学生在经历直观感知、观察发现的基础上建构子集的概念,并且我在教学的过程中特别注重让学生说,借此来学习运用集合语言进行交流,对于学生的创新意识和创新结果我都给予积极的评价。
3、概念的剖析
(1)a中的元素x与集合b的关系决定了集合a与集合b之间的关系,
(2)符号的表示,venn图的引入及其用venn图表示集合的方法。
这里引入了许多新的符号,对初学者来说容易混淆,是一个易错点,因此我在这里设置了一个填空小练习: 0 {0}, {正方形} {矩形},三角形 {等边三角形}
{梯形} {平行四边形},{x|-1
并引导学生类比数与数之间的“≤”“≥”符号来记忆“?”“?”符号。
4、概念的深化——集合的相等与真子集
问题情境2:如果集合a是集合b的子集,那么对于任意的x?a,有x?b;那么对于集合b中的任何一个元素,它与集合a之间又可能是什么关系呢?
具体实例2:(1)、a={x|x<-4或x&2},b={x|x<0或x&1}
(2)、a={x|-1
通过对具体例子的分析学生很容易归纳出集合相等与真子集的概念,对于子集、真子集和集合相等三者之间的关系也有了较为清晰的认识。
另外,从特殊实例到一般集合,从具体到抽象,对于集合a、b针对问题2我还渗透了分类讨论的思想,也即对于a ? b,对于任意的x?a,有x?b,而反过来若对于任意的x?b,也有x?a,即b ? a,则a=b;但对于任意的x?b,若x?a,即b?a,则a是b的真子集。
同时还通过具体例子给出了空集的定义并由集合间的基本关系得到了子集的相关性质,进而使学生在能力上有所提升。
例1、写出集合a={1,2,3}的所有子集,并指出有几个真子集是哪些?
功能:帮助学生认识子集、真子集的构成,认识空集是任何非空集合的真子集,
例2、集合a与集合b之间是什么关系?
a={x|x=4k+2,k∈z} b={x|x=2k,k∈z }
功能:加深对集合间的包含关系的理解,渗透从特殊到一般的研究方法,提升到对集合的特征性之间的关系的理解,为下一环节做准备,特别容易出错的地方是学生会认为这两个集合相等。
5.概念的提升
用特征性质之间的关系理解集合之间的关系,已经在前面具体实例的分析中逐渐渗透,最后将具体集合间的关系,抽象到两个一般集合间的关系,通过从具体到抽样的研究突破难点。
6.小结
回顾一节课我们留给学生的是什么?我认为更重要的应该是思考问题的方法,因此小结时引导学生从知识和方法两个方面进行反思。
范文五:集合之间的关系教案
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?1.1.2集合间的基本关系
公孙龙是我国战国时期的诸子百家中的一位名家~他曾提出“白马非马”的论断~他的理由主要有三条~其中第一条是他认为“马”是一种动物~而“白”是一种颜色~“白马”则是一种动物与一种颜色的混合体~因此他认为“白马非马”.能过这种解释~你还认为白马是马吗,你认为所有白色的马组成的集合与所有马组成的集合之间有什么关系呢,
,研习教材重难点
研习点1. 集合的包含关系(重点)
1(子集
一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包
AB,BA,含关系,称集合A为集合B的子集(subset),记作(或),读作“A含于B”(或“B包含A”).
AB,.NR,xA,xB,{1,2,3},N{|xx其数学语言表示形式为:若对任意的有,则例如,,
}{|,xx}是山东人是中国人等.
另外,在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.用Venn图表示
如下: A,B(或B,A)
A B
AA,根据子集的定义,我们可以知道,也就是说任何集合都是它本身的一个子集.
,A,,对于空集,我们规定,即空集是任何集合的子集.
【辨析?比较】 一些容易混淆的符号
1. “”与“”的区别:符号“”表示元素与集合之间的从属关系~也就是个体与总体的关系~,,,
是指单个对象与对象的全体的从属关系,而符号“”表示集合与集合之间的包含关系~也就是部分与总,
体的关系~是指由某些对象组成的部分与全部对象组成的全体之间的包含关系,
{}a{}aaa,{} 2(与的区别:一般地~表示一个元素~而表示含有一个元素的集合~因此有. aa
{},{,}aab{,,}abc典例1.分别写出集合和的所有子集,并得出子集的个数.
{}a,{}a【研析】集合的所有子集是,,共有2个子集;
22{,}ab,{},{},{,}abab集合的所有子集是,,共有4个即个子集;
{,,}abc,{},{},{}abc集合的所有子集可以分成四类即1空集:;2一元子集:;3二元子集???
32{,},{,},{,}abacbc{,,}abc;4三元子集.共有8个即个子集. ?
思考:由典例1,你可以发现什么结论,
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CardA()2CardA()探究:如果用表示集合A的元素个数,则集合A共有个子集.即若集合中有个元An
n2素,则集合A有个子集.
2(集合相等的概念
AB,BA,),且集合B是集合A的子集(),此时,集合A与集合B如果集合A是集合B的子集(
AB,.中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作用Venn图表示如下: AB,
AB()
【梳理?总结】 集合相等的实质
集合相等的定义所表达的实质是:若集合A与集合B中中的元素完全相同~就称集合A与集合B相等~
AB,BA,结合子集的定义~我们不难得到集合A与集合B相等的意思就是~且.以上两点在证明两个集合相等时经常用到~对于元素较少的有限集~可以将集合中元素全部列举来~说明两个集合中的元素完全相同~从而得到两个集合相等.另外由集合相等的概念不难得到~两个有限集相等~则一定会具有以下性质:1两个集合的元素个数相等,2两个集合的元素之和相等,3两个集合的元素之积相等.这也是证明???
两个有限集相等常用的方法.而对于无限集~只需说明两个集合之间具有相互包含关系~就可以得到两个集合相等.
2典例2. 已知集合A={,,b, ,2b},B={,c, c}(若A=B,求c的值( aaaaaa
【研析】要解决的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完c
全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式( 分两种情况进行讨论(
22(1)若,b=c且,2b=c,消去b得:,c,2c=0, aaaaaaa
=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故?0( aa
2?c,2c,1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解(
22(2)若,b=c且,2b=c,消去b得:2c,c,=0, aaaaaaa
21??0,?2c,c,1=0,即(c,1)(2c,1)=0,又c?1,故c =,( a2
解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正( 3(真子集
A,BxB,xA,如果集合,但存在元素,且,我们称集合A是集合B的真子集(proper subset),
AB,{1,2,3}N即如果且,那么集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).例如、AB,
AB,{,}ab{,,}abc等等. 子集与真子集的区别在于“”允许或AB,而AB是不AB,
AB,AB,允许“”的,所以如果成立,则一定有成立;但如果有成立,不AB,ABAB一定成立.
【探究?发现】 子集、真子集、非空子集个数的求法
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Beijing XueDa Century Education Technology 通过对子集、真子集和非空真子集概念的研究~我们很容易地可以总结出如何求子集、真子集和非空真子
nnn221,22,集的结论:集合A中有个元素时~集合A有个子集~个真子集~个非空真子集.因此n
在求解子集、真子集和非空真子集的个数时~需要分成两步~即应当先确定集合的元素的个数~然后再利用公式进行计算集合的子集、、真子集和非空子集的个数.
研习点2.子集的有关性质(难点)
1(空集 ,
我们把不含有任何元素的集合叫做空集(empty set),记为,并规定:空集是任何集合的子集.其,
实空集还可以看作是含有0个元素的集合,从这种角度出发,往往能为我们研究集合的性质提供有条理性的帮助.
2(子集与真子集的性质
AA,(1)任何集合是它本身的子集,即;
AC,CAB,,BC,,(2)对于集合、、,如果且那么; AB
CCC(3)对于集合、、,如果,且,那么; ABABBA
(4)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集. ,
{0},{},【探究?发现】 ~与的区别
{0},,,{0}{}, 是含有一个元素的集合~是不含有任何元素的集合~因此应有,而也是含有一
,{},,{},个元素的集合~因此集合的子集有、.
典例3.下列表述正确的是( )
,,{0},,{0},,{0},,{0}A( B. C. D.
,{0} 【研析】 B 由于空集是不含有任何元素的集合,而集合则是含有1个元素0的集合,从而选B.
,探究解题新思路
? 基础思维探究
题型一 子集概念的考查
{,,,}abcd典例1. 写出集合的所有子集.
{,,,}abcd【研析】集合的所有子集可以分为五类,即:
,(1)含有0个元素的子集,即空集,
{},{},{},{}abcd(2)含有一个元素的子集:;
{,},{,},{,},{,},{,},{,}abacadbcbdcd(3)含有二个元素的子集:;
{,,},{,,},{,,},{,,}abcabdacdbcd(4)含有三个元素的子集:;
{,,,}abcd(5)含有四个元素的子集:.
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Beijing XueDa Century Education Technology 反思领悟 本题的难点表现在分类讨论思想的运用上。第一次分类讨论是按集合A的子集含有的元素的
abcd,,,个数进行划分的~即集合A的子集含有的元素的个数依次是0,1~2,3~4,第二次分类讨论~是对四个元素实施合理地搭配上.
,,,yx,,,yx2,,Axy,(,)|典例2.设,,判断集合A是否是集合B的子Bxy,(,)|,,,,,,yx,,1yx,,,21,,,,,,
BA,集,成立吗,
yx,,1【研析】由于正比例函数与的图象都是直线,并且这两条直线互相平行,所以yx,
,,,yx,,Axy,(,)|,. ,,,yx,,1,,,
1,x,,,,,yx2yx,2,,11,4解得,所以集合 又Bxy,,(,)|{(,)},,,,,yx,,,21142yx,,,21,,,,,y,,,2
BA,从而知集合A是集合B的子集,但不成立.
推广引申 判断集合之间的关系之前~往往先将能化简的集合先化简~在考虑是否是子集或真子集时~通常考虑该集合所表述的意义.
【拓展?变式】
221. 若P={y|y=x,x?R},Q={y|y=x,1,x?R},试判断集合P与集合Q之间的包含关系.
题型二 集合相等概念的考查
2AB,?典例3(.1)设,问为何值时能使得 mAxmxxBxRx,,,,,,,,,{|213},{|10}
XxxnnZYyykkZ,,,,,,,,{|21,},{|41,}XY,.(2)已知,求证:
,,【研析】(1)显然,欲使,必须且只需即可. B,AB,A,
213mm,,,m,4Axmxx,,,,,{|213},由于可得,此时,.
m,4AB,.综上可知,当时,
xX,xnnZ,,,(21),.(2)设,即
nk,2xkxY,,,41,当时,有;
nk,,21xkxZ,,,41,当时,有
XY,从而;
YX,yY,ykkZ,,,(41),41k,yX,另一方面,设,即,因为是奇数,所以,即.
XY,.综上可知,
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XY,xn,,2141k,反思领悟 本题难点在于证明上~具体地说~难就难在论证具有的形式上. 【拓展?变式】
2. 设集合A={|=3n,2,n?Z},集合B={b|b=3k,1, k?Z},则集合A、B的关系是________( aa
,的作用 题型三 空集
2典例4.已知集合A={x|x,3x,10?0},集合B={x|p,1?x?2p,1}(若BA,则实数p的取值范围是________(
2【研析】由x,3x,10?0得,2?x?5(
,,,21p,欲使BA,只须? p的取值范围是,3?p?3( ,,,,33.p,215p,,,
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即B=时,符合题设( ,
应有:?当B?时,即p,1?2p,1p?2( ,
由BA得:,2?p,1且2p,1?5(由,3?p?3(? 2?p?3.
?当B=时,即p,1>2p,1p,2( ,
由?、?得:p?3(
探索发现 从以上解答应看到:解决有关A?B=、A?B=~AB等集合问题易忽视空集的情况而出,,
现漏解~这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题(
【拓展?变式】
223. 已知集合A={x|x-3x+2=0},B={x|x-mx+2=0},若BA,求实数m范围(
综合思维探究
题型一 学科内综合题
2}}典例5. 设集合P={m|,1,m?0,Q={m?R|mx+4mx,4,0对任意实数x恒成立,则下列关系中成立的是( )
A(PQ B(QP C(P=Q D(QP ,
2【研析】〖解法一〗Q={m?R|mx+4mx,4,0对任意实数x恒成立,对m分类:
?m=0时,,4,0恒成立;
2?m,0时,需Δ=(4m),4×m×(,4),0,解得m,0.
综合??知m?0,?Q={m?R|m?0}
从而PQ,选A.
2mxmx,,,440〖解法二〗显然,0时,恒成立,故0?Q,但0P,故可排除B、C;另一方面,m,
222mxmxxx,,,,,,44244m,,2当时,恒成立,故?Q,又P,,2,2,,,,,,2(1)20x
从而排除D,故只有A正确.
方法探究 该题以二次三项式恒成立为背景~综合考查集合间的包含关系、分类讨论的意识和简单推理与
Q计算能力~体现数学的思辨性、缜密性~深层次地考查集合思想的运用. 集合中含有参数m~需要对参
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【拓展?变式】
4. 已知集合A={x||x|?2,x?R},B={x|x?a},且AB,则实数a的取值范围是____
题型二 易错辨析题
22 典例6. 若P={y|y=x, x?R},Q={(x,y)|y=x , x?R},则必有( )
A( P Q B(P=Q C(P Q D.以上都不对
2 【错解】由于集合P与集合Q中的元素都满足性质y=x,x?R,从而知P,Q.从而选B.
2 【正解】错解的主要原因在于看到两集合中的y=x,x?R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不
2同的,集合P是变量的取值集合,而集合Q是y=x, x?R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物(从y
而应选D.
思维指南 由于在集合概念的理解上~仅注意了构成集合元素的共同属性~而忽视了集合的元素是什么(事实上P、Q的元素是数而不是点~因此P是数集而不是点集,Q是点集而不是数集(再说集合是由元
222素构成的~因此认识集合要从认识元素开始~要注意区分{x|y=x}、{y|y=x,x?R}、{(x,y)|y=x,x?R}~这三个集合是不同的(
【拓展?变式】
25. 已知集合M={y|y=x,1,x?R},N={y| y=x,1,x?R},试判断集合M与集合N之间的包含关系.
创新思维探究
题型一 开放探究题
22典例7. 已知,,求满足条件Axxx,,,,{|340}BxRxxx,,,,,,{|(1)(34)0}
PB,AP.的集合
【研析】由,此时即求满足条件的集合B的非空子集.P,PB,AP,知P是B的子集,又由知
22由于,,.由Axxx,,,,{|340}BxRxxx,,,,,,,,,{|(1)(34)0}{1,1,4}PB,A,知
{1,4},,{1,4},{1}{4},{1,1},PB,且其元素全属于B.因此满足条件的集合P为、、、、、{1,1,4}.,,
交流探讨 在写子集时~应有规律地进行书写~先写含有0个元素的集合~即空集~再写含有1个元素、,
含有两个元素~……~含有个元素的子集. n
【拓展?变式】
{2,3},A{2,3,4,5,6,7}6. 求满足 的集合A的个数.
题型二 课标创新题
S,{0,1,2,3,4,5}SxA,xA,,1xA,,1典例8. 集合,是的一个子集,当时,若有且,A
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S则称为集合的一个“孤立元素”.写出集合中所有无“孤立元素”的4元子集. Ax
【研析】依题意可得“孤立元素”是没有与相邻的,非“孤立元素”是指在集合中有与相邻的元xxx素.因此所求问题的集合可分为以下两类:
{0,1,2,3},{1,2,3,4},{2,3,4,5}(1)4个元素连续的有3个:;
{1,0,3,4},{0,1,4,5},{1,2,4,5}(3)4个元素分成两组,每组有两个相邻的,这样的集合也有3个:.
理念链接
【拓展?变式】
A,{2,4,6,8,9}B,{1,2,3,5,8}7.已知集合,,又知集合C是这样的一个集合:若各元素都加上2就变成集合A的一个子集;若各元素都减去2,就变成了集合B的一个子集这样的集合C存在吗,试写出你的判断.
题型3 奇思妙解题
2Aab,{1,,}ab,典例9. 设集合,集合,且,求实数的值. AB,Baaab,{,,}
23(1),,1,,,,,abaaababa(1)0,,【研析】〖解法一〗因为,所以,即 AB,,,2(2)1,,,,,abaaab(1)(1)0aab,,,,,,
aa,,0,1.b,0a,,1因为元素的互异性,则由(1)得,代入(2)式得.
a,,1b,0从而,.
2,1,ab1,a,〖解法二〗由集合相等的定义得 ? 或 ? ,,2ba,bab,,,
a,1a,,1a,1,,,12解?得或;解?得 ,,,b,0b,1bR,,,,
a,,1b,0由集合元素的互异性得,.
理念链接 由集合相等的概念不难得到若两个有限集相等~则一定会具有以下性质:1两个集合的元素?个数相等,2两个集合的元素之和相等,3两个集合的元素之积相等.解法一利用此种方法~实际上是一种??
对应的思想方法.另外~在考虑两个几何相等时~还应注意到集合中元素的互异性. 【拓展?变式】
M,{1,2,3,,1000}?8. 设集合,对于的任一非空子集Z,令表示Z集合Z中最大数与最小数M,Z
的和,那么所有这样的的算术平均数是多少, ,Z
? 高考思维探究
高考导航 集合是一个载体,它可以将许多问题联系在一起.子集问题又是集合中最常见的问题,几乎渗透过高中代数全程的内容中,一直以来都是高考的热点内容.
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BA,Am,,{1,3,}B,{3,4}典例10.(2007年上海卷)已知,集合,若,则实数. m,___
BA,Am,,{1,3,}B,{3,4}m,4【研析】已知,集合,若, 则实数.
品思感悟
【拓展〃变式】
(1)()xxa,,,xa,{|()0}xfx,9((2006年湖南卷改编)设函数,集合M=,P={|0}x,,fx(),2(1)x,x,1
若MP,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-?,1) B.(0,1) C.(1,+?) D. [1,+?)