范文一:2013年高考全国卷(理科数学)
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理科)
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 . 1.设集合 {}{}{}1, 2, 3, 4, 5, |, , , A B M x x a b a A b B ====+∈∈则 M 中的元素个数为
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 5 (D ) 6 2
. ()3
=
(A ) 8- (B ) 8 (C ) 8i - (D ) 8i
3.已知向量 ()()1,1, 2, 2m n λλ=+=+ ,若 ()()
m n m n +⊥-
,则 =λ
(A ) 4- (B ) 3- (C ) 2- (D ) -1 4.已知函数 ()f x 的定义域为 ()1, 0-,则函数 ()21f x -的定义域为
(A ) ()1,1- (B ) 11,
2?
?- ??? (C ) ()-1, 0 (D ) 1,12??
???
5.函数 ()()21=log 10f x x x ?
?
+
> ??
?
的反函数 ()1
=f x -
(A )
()1021
x
x >- (B ) ()1021
x
x ≠- (C ) ()21x
x R -∈ (D ) ()210x
x -> 6.已知数列 {}n a 满足 12430, 3
n n a a a ++==-
,则 {}n a 的前 10项和等于
(A ) ()10
613
--- (B ) ()10
1
139
-- (C ) ()10
313-- (D ) ()10
31+3-
7. ()()8
411+x y +的展开式中 22
x y 的系数是
(A ) 56 (B ) 84 (C ) 112 (D ) 168 8.椭圆 2
2
:
14
3
x
y
C +
=的左、右顶点分别为 12, A A ,点 P 在 C 上且直线 2P A 的斜率的取值范围是 []2, 1--,
那么直线 1P A 斜率的取值范围是
(A ) 1324??
???
?
(B ) 3384??
???
?
(C ) 1
12??
??
?
?
,
(D ) 3
14??
???
?
, 9.若函数 ()2
1=f x x a x x
++
在 1
, +2??
∞
???
是增函数,则 a 的取值范围是 (A ) [-1, 0] (B ) [1, ) -+∞ (C ) [0,3] (D ) [3,) +∞
10.已知正四棱柱 1111A B C D A B C D -中 12A A A B =,则 C D 与平面 1B D C 所成角的正弦值等于
(A )
23
(B
3
(C
)
3
(D )
13
11.已知抛物线 2
:8C y x =与点 ()2, 2M -,过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 , A B 两点,若
0M A M B =
,则 k =
(A )
12
(B
)
2
(C
(D ) 2
12.已知函数 ()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是
(A ) ()y f x =的图像关于 (), 0π中心对称 (B ) ()y f x =的图像关于直线 2
x π=
对称
(C ) ()f x
2
(D ) ()f x 既奇函数,又是周期函数
二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分 . 13.已知 α是第三象限角, 1sin 3
a =-
,则 cot a = .
14. 6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种 . (用数字作答)。
15.记不等式组 0, 34, 34, x x y x y ≥??
+≥??+≤?
所表示的平面 区域为 D ,若直线 ()1y a x =+与 D 公共点,则 a 的取值范围
是 .
16.已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, 32
O K =,且圆 O 与圆 K 所在的
平面所成的一个二面角为 60
,则球 O 的表面积等于 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. (本小题满分 10分)等差数列 {}n a 的前 n 项和为 n S ,已知 2
32=S a ,且 124, , S S S 成等比数列,求 {}n a 的 通项式。 18. (本小题满分 12分)设 A B C ?的内角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c , ()() a b c a b c ac ++-+=。
(I )求 B
(II
)若 sin sin 4
A C =
,求 C 。
19. (本小题满分 12分)
如图, 四棱锥 P A B C D -中, 902, A B C B A D B C A D P A B ∠=∠==?
, 与 P A D ?都是等边三角形。 (I )证明:; P B C D ⊥ (II )求二面角 A P D C --的大小。
20. (本小题满分 12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束 时, 负的一方在下一局当裁判, 设各局中双方获胜的概率均为 1
, 2各局比赛的结果相互独立, 第 1局甲当裁判 .
(I )求第 4局 甲当裁判的概率;
(II ) X 表示前 4局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望 .
21. (本小题满分 12分)已知双曲线 ()222
2
:
10, 0x y C a b a
b
-
=>>的左、右焦点分别为 12F F , ,离心率为 3,
直线 2y =与 C
。
(I )求 , ; a b ;
(II ) 设 过 2F 的 直 线 l 与 C 的 左 、 右 两 支 分 别 相 交 于 , A B 两 点 , 且 11A F B F =, 证 明 :
22A F A B B F 成等比数列。
22. (本小题满分 12分)已知函数 ()()()1=ln 1. 1x x f x x x
λ++-
+
(I )若 0x ≥时, ()0f x ≤,求 λ的最小值; (II )设数列 {}211111, ln 2. 234n n n n a a a a n
n
=+
++???+
-+
>的 通 项 证 明 :
参考答案 一、选择题
1. B
2. A
3. B
4. B
5. A
6. C
7. D
8. B
9. D
10. A
11. D
12. C
13
.
14. 480
15.
1 [, 4] 2
16. 16 17.
18.
19.
20.
21.
22.
范文二:2013全国新课标 卷2 数学(理科)
2013年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅱ卷 )
数学 (理科 )
注意事项:
1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前考生将自己的姓名 \准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。
4. 考试结束,将试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷(选择题 共 50分)
一、 选择题:本大题共 10小题。每小题 5分,共 50只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合 M={x|(x+1)2 < 4,x∈="" r="" },="" n="{-1," 0,="" 1,="" 23n="">
( )
(A ) {0, 1, 2} (B ) {-1, 0}(C ) {-1, 0, 2, 3} (D ) {0, 12, 3}
(2)设复数 z 满足(1-i ) z=2 i,则 z= ( )
(A ) -1+i (B ) -1-i (C ) (D ) 1-i
(3)等比数列{a n }的前 n
项和为 S n 32 1 , a
5 = 9,则 a 1= ( )
(A ) (
(C ) -
(4)已知 m , n m 平面 α, n ⊥ 平面 β。直线 l 满足 l ⊥ m , l ⊥ n , l
β, 则( )
(A l α (B ) α⊥ β且 l ⊥ β
相交,且交线垂直于 l (D ) α与 β相交,且交线平行于 l
(51+ɑx ) (1+x)5的展开式中 x 2的系数为 5,则ɑ=
(A ) (B ) -3 (C
) -2 (D ) -1
(6)执行右面的程序框图,如果输入的 N=10,那么输出的 s=
(A ) 1+ + +… +
(B ) 1+ + +… +
(C ) 1+ + +… +
(D ) 1+ + +… +
(7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1) , (1
1, 1, 1) , (0, 0, 0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 以为
(A) (B) (D)
(8)设ɑ=log36,b=log510,c=log714, 则
(A ) c >b >a (B ) b >c >a
(C ) a >c >b (D)a>b >c
(9
)已知 a >0, x , y 满足约束条件 若 z=2x+y的最小值为 1,则 a=
(A)
(C)1 (D)2
(10αx2+bx+,下列结论中错误的是
(A αα (B 的图像是中心对称图形
x f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞ ,x α)单调递减
是 f (x )的极值点,则 f 1(xα)=0
(11)设抛物线 y2=3px(p≥ 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, |MF|=5若以 MF 为直径的园过点(0,
3) ,则 C 的方程为
(A ) y2=4x或 y2=8x (B ) y2=2x或 y2=8x
(C ) y2=4x或 y2=16x (D ) y2=2x或 y2=16x
(12)已知点 A (-1, 0) ; B (1, 0) ; C (0, 1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ ABC 分割为面积相等 的两部分,则 b 的取值范围是
x y ≥ .
(A ) (0, 1) (B)(1-, 1/2) ( C)(1-, 1/3) (D)[ 1/3, 1/2)
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题,每个试题考生都必修作答。第 22题 ~第 24
根据要求作答。
二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分。
(13)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则
(14)从 n 个正整数 1, 2,…, n 5的概率为 ,则 n=________.
(15)设 θ为第二象限角,若 tan (θ+) = ,则 sin θθ
(16)等差数列 {an }的前 n 项和为 S n ,已知 S 10=0nS n 的最小值为 ________.
(17) (本小题满分 12分)
△ ABC 在内角 A 、 B 、 C , b , c ,已知 a=bcosC+csinB。
(Ⅰ)求 B ;
(Ⅱ)若 b=2,求△ ABC
(18)如图,直棱柱 ABC-A 1B 1C 1中, D , E 分别是 AB , BB 1的中点, AA 1=AC=CB=/2AB。 (Ⅰ)证明:BC 1//平面 A 1CD 1
(Ⅱ)求二面角 D-A 1C-E 的正弦值
2013年高考试题专题
(19)(本小题满分 12分)
经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500元,未售出的 产品,没 1t 亏损 300元。根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如 有图所示。经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 x (单位:t , 100≤ x ≤ 150) 表示下一个销售季度内经销该农产品的利润。
(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数
(Ⅱ)根据直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表改组的各个值求量落入该区 间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x )则取 x=105,且 x=
105的概率等于需求量落入 [100, 110]的 T 的数学期望。
(20)(12分 )
平面直角坐标系 xOy 中, 过椭圆 M:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)右焦点 y-=0交 m,f ,A,B两点, P 为 Ab 的中点,
且 OP 的斜率为 1/2
(Ι) 求 M 的方程
(Ⅱ) C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ⊥ AB ,求四边形的最大值
(21) (本小题满分 12分)
已知函数 f(x)=ex-ln(x+m)
(Ι) 设 x=0是 f(x)的极值点,求 m, 并讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)当 m ≤ 2时,证明 f(x)>0
请考生在第 22、 23、 24题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一部分,做答时请写清题号。
(22) (本小题满分 10分)选修 4-1几何证明选讲
如图, CD 为△ ABC 外接圆的切线, AB 的延长线教直线 CD
于点 D , E 、 F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,
且 BC-AE=DC-AF,B、 E 、 F 、 C 四点共圆。
(1) 证明:CA 是△ ABC 外接圆的直径;
(2) 若 DB=BE=EA,求过 B 、 E 、 F 、 C 四点的圆
的面积与△ ABC 外接圆面积的比值。
(23) (本小题满分 10分)选修 4—— 4已知动点 p , Q 都在曲线 c
x=2cos(β=α
与 α=2πM 为(①<απ)>απ)>
(Ⅰ)求 M
(Ⅱ)将 M a 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点。
(24) 10分)选修 4—— 5;不等式选讲
设 a , b c 均为正数,且 a+b+c=Ⅱ,证明:
(Ⅰ) ab+bc+ac小于等于 1/3
(Ⅱ) a 2/a-b2/b-c/c2≥ 1
范文三:2013数学理科高考试卷全国Ⅱ卷
2013年理科数学高考卷
一、选择题(题型注释)
1.已知集合 M={x|(x-1)2
< 4,x∈="" r="" },="" n="{-1," 0,="" 1,="" 2,="" 3},则="" m="" ∩="" n="(" )="" (a="" )="" {0,="" 1,="" 2}="" (b="" )="" {-1,="" 0,="" 1,="" 2}="" (c="" )="" {-1,="" 0,="" 2,="" 3}="" (d="" )="" {0,="" 1,="" 2,="" 3}="" 2.设复数="" z="" 满足(1-i="" )="" z="2" i,则="" z="(">
(A ) -1+i (B ) -1-i (C ) 1+i (D ) 1-i
3.等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S 3 = a2 +10a1 , a 5 = 9,则 a 1=( ) (A
)
(B ) -
(C
) (D ) -
4.已知 m , n 为异面直线, m ⊥平面 α, n ⊥平面 β,直线 l 满足 l ⊥ m , l ⊥ n ,
, l α?l , l β?则
( )
(A ) α∥ β且 l ∥ α (B ) α⊥ β且 l ⊥ β
(C ) α与 β相交,且交线垂直于 l (D ) α与 β相交,且交线平行于 l
5.已知(1+a x ) (1+x)5的展开式中 x 2
的系数为 5,则 a = (A ) -4 (B ) -3 (C ) -2 (D ) -1 6.执行右面的程序框图,如果输入的 N=10
,那么输出的 s=
(A ) 1+ + +… + (B ) 1+ + +… +
(C ) 1+ + +… + (D ) 1+ + +… +
7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是 (1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (0, 1, 1) , (0, 0, 0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则 得到的正视图可以为
(A) (B) (C)
(D)
8.设 a =log36,b=log510,c=log714, 则
(A ) c >b >a (B ) b >c >a (C ) a >c >b (D)a>b >c
9.已知 a >0, x , y 满足约束条件 13(3) x x y y a x ≥??
+≤??≥-?
, 若 z=2x+y的最小值为 1,则 a=
(A)
(B)
(C)1
(D)2
10.已知函数 f(x)=32x ax bx c +++, 下列结论中错误的是 (A ) ?0x R ∈, f(0x )=0
(B )函数 y=f(x)的图像是中心对称图形
(C )若 0x 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞ , 0x )单调递减 (D )若 0x 是 f (x )的极值点,则 '
f (0x )=0
11.设抛物线 2
2(0) y px p =>的焦点为 F ,点 M 在 C 上, |MF|=5,若以 MF 为直径的圆 过点(0, 2) ,则 C 的方程为
(A ) 2
4y x =或 2
8y x = (B ) 2
2y x =或 2
8y x = (C ) 2
4y x =或 2
16y x = (D ) 2
2y x =或 2
16y x =
12.已知点 A (-1, 0) ; B (1, 0) , C (0, 1) ,直线 y=ax+b(a>0)将△ ABC 分割为面积 相等的两部分,则 b 的取值范围是 (A ) (0, 1) (B)(
1- ( C)(1-
二、填空题(题型注释)
13.已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点,则 AE BD ? =_______.
14.从 n 个正整数 1, 2,…, n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于
5的 n=________.
15.设 θ为第二象限角,若 tan (θ+)
sin θ+cosθ=_________. 16.等差数列 {an }的前 n 项和为 S n ,已知 S 10=0, S 15 =25,则 nS n 的最小值为 ________.
三、解答题(题型注释)
17.△ ABC 在内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b , c ,已知 a=bcosC+csinB. (Ⅰ)求 B ;
(Ⅱ)若 b=2,求△ ABC 面积的最大值 .
18.如图,直棱柱 ABC-111A B C 中, D , E 分别是 AB , BB1的中点, 1AA
(Ⅰ)证明:1BC //平面 1ACD ; (Ⅱ)求二面角 D-1AC -E 的正弦值 .
19.经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出 1t 该产品获利润 500元,未 售出的产品, 每 1t 亏损 300元 . 根据历史资料, 得到销售季度内市场需求量的频率分布 直方图,如右图所示 . 经销商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品 . 以 x (单位:t , 100≤ x ≤ 150)表示下一个销售季度内经销该农产品的数量, T 表示利润 .
(Ⅰ)将 T 表示为 x 的函数
(Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000元的概率 ;
(Ⅲ) 在直方图的需求量分组中, 以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该 区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 x [100,110)
∈, 则取 x=105, 且 x=105的概率等于需求量落入 [100, 110) ,求 T 的数学期望 .
20. 平面 直角 坐标系 xOy 中 ,过 椭圆 M
焦点 的
直线 M 于 A,B 两点, P 为 AB 的中点,且 OP
(Ι) 求 M 的方程;
(Ⅱ) C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD ⊥ AB ,求四边形面积的最大值
21.已知函数 f(x)=x e -ln(x+m).
(Ι) 设 x=0是 f(x)的极值点,求 m ,并讨论 f(x)的单调性;
(Ⅱ)当 m ≤ 2时,证明 f(x)>0.
22.如图, CD 为△ ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直线 CD 于点 D , E 、 F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,
且 BC ?AE=DC?AF,B 、 E 、 F 、 C 四点共圆 .
(Ⅰ)证明:CA 是△ ABC 外接圆的直径;
(Ⅱ)若 DB=BE=EA,求过 B 、 E 、 F 、 C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积的比值 .
23.设 a , b , c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (Ⅰ)
参考答案
1. A
【解析】因为集合 M={x|(x-1)2
< 4,x∈="" r="" }="{}|13x" x=""><, n="{-1," 0,="" 1,="" 2,="">,>
以 M ∩ N={0, 1, 2},故选 A.
【考点定位】本小题主要结合一元二次不等式,考查集合的运算(交集) ,属容易题,掌握 一元二次不等式的解法与集合的基本运算是解答好本类题目的关键 . 2. A
【解析】由(1-i ) z=2 i得 21i
z i
=
-=(1) 1i i i +=-+,故选 A. 【考点定位】本小题主要考查复数的四则运算 , 复数在高考中主要以小题形式出现,属容易 题,主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是等基础内容 . 3. C
【解析】由 S 3 = a2 +10a1得, 1a +a 2 +a3= a2 +10a1,即 a 3= 9a1,即 21a q = 9a1,解得 2
q = 9, 又因为 a 5 = 9,所以 41a q = 9,解得 11
9
a =
,故选 C. 【考点定位】本小题主要考查等比数列的通项公式与前 n 项和公式 , 考查数列中基本量的计 算,属容易题,掌握等比数列的基础知识是解决好本题的关键 . 4. D
【解析】 因为 m , n 为异面直线, 所以在空间到一点 P , 作 '
m
m , ' n n , 则 l ⊥ ' m , l ⊥
' n ,即 l 垂直于 ' m 与 ' n 确定的平面 γ,又 m ⊥平面 α, n ⊥平面 β,所以 ' m ⊥平面 α, ' n ⊥
平面 β, 所以平面 γ即垂直平面 α, 又垂直平面 β, 所以 α与 β相交, 且交线垂直于平面 γ, 故交线平行于 l ,选 D.
【考点定位】本小题考查空间中线线、线面、面面的位置关系的判断,考查同学们的空间想 象与逻辑推理能力等数学基本素养,解答的关键是空间想象力 . 5. D
【解析】由题意知:34
555C aC +=,解得 1a =-,故选 D.
【考点定位】 本小题主要考查二项展开式 , 二项式定理在高考中主要以小题的形式考查 , 属容 易题 , 熟练基础知识是解答好本类题目的关键 . 6. B
【解析】当 k=1时 , 计算出的 T=1, S=1;
当 k=2时 , 计算出的 T=
12, S=1+12; 当 k=3时 , 计算出的 T=123?, S=1+12+1
32
?;
当 k=10时 , 计算出的 T=
110! , S=1+12+1
32
?++
1
10!
,此时输出 S ,故选 B. 【考点定位】 本小题主要考查了程序框图的基础知识, 解答本类题目的关键是搞清楚是一个 什么样的算法、 最后算到哪一步结束, 程序框图经常与其它知识结合起来考查 (如数列求和
等) ,难度不大 . 7. A
【解析】由题意可知:该四面体为正四面体,其中一个顶点在坐标原点,另外三个顶点分别 在三个坐标平面内,所以以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为选项 A.
【考点定位】本小题主要考查立体几何中三视图的有关知识,考查同学们的空间想象能力, 属中档题 . 8. D
【解析】由题意知:
a =log3631log 2=+211log 3=+
,b=log51051log 2=+21
1log 5
=+,c=log71471log 2=+21
1log 7
=+
, 因为 2log 3<2log>2log><2log 7,所以="" a="">b >c ,故选 D. 【考点定位】本小题主要考查对数的运算、对数换底公式、对数函数的性质等基础知识,属 中低档题,熟练对数部分的基础知识是解答好本类题目的关键 . 9. B
【解析】画出不等式组表示的平面区域如右图所示:
当目标函数 z=2x+y表示的直线经过点 A 时, z 取得最小值, 而点 A 的坐标为(1, 2a -), 所以
221a -=,解得 1
2
a =
,故选 B. 【考点定位】 本小题考查线性规划的基础知识, 难度不大, 线性规划知识在高考中一般以小 题的形式出现,是高考的重点内容之一,几乎年年必考 . 10. C
【解析】由题意知:导函数 '
2
() 32f x x ax b =++的图象开口向上,若 0x 是 f(x)的极小值 点,则 0x 是方程 '
2() 32f x x ax b =++=0的较大根,所以选项 C 错误 .
【考点定位】 本小题考查函数与导数的关系, 利用导数求函数的极值点等问题是这部分的重 点知识 . 11. C
【解析】由题意知:(,0) 2p F ,准线方程为 2p x =-,则由抛物线的定义知, 52
M p x =-, 设以 MF 为直径的圆的圆心为 5(, ) 22M y ,所以圆方程为 2
2525() () 224
M y x y -+-=,又因为
点(0, 2) ,所以 4M y =,
又因为点 M 在 C 上,所以 162(5) 2
p
p =-
,解得 2p =或 8p =,所以抛物线 C 的方程为 24y x =或 216y x =,故选 C.
【考点定位】本小题主要考查抛物线的定义、方程、几何性质以及圆的基础知识,考查数形 结合、方程、转化与化归等数学思想,考查同学们分析问题与解决问题的能力 . 12. B
【解析】由题意知:(0,1)b ∈;当直线过点(-1, 0)时,要将△ ABC 分割为面积相等的两 部分,直线必须过点 11(, ) 22,此时有 0a b -+=且
1122
a b +=,解得 1
3b =;当 1a =时,
直线 y=ax+b平行于直线 AC ,要将△ ABC 分割为面积相等的两部分,可求此时的 b
1. 【考点定位】 本小题主要考查直线方程的基础知识以及数形结合等数学思想, 考查同学们分
析问题与解决问题的能力 . 13. 2
【解析】以点 B 为原点,直线 BC 为 x 轴,建立平面直角坐标系,则 A (0, 2) , E (2, 1) , D (2, 2) , B (0, 0) ,所以 (2,1), (2,2)AE BD =-=,所以 AE BD ?=2.
【考点定位】 本小题主要考查平面向量的数量积, 难度不大, 熟练平面向量的数量积的定义 以及平面向量的坐标运算是解答好本类题目的关键 . 14. 8
【解析】从 n 个正整数 1, 2,…, n 中任意取出两个不同的数,所有的取法有 2
n C 种取法,
而取出的两数之和等于 5的取法只有两种,即 (1,4) 、 (2,3),所以其概率为
2
21
14
n C =,解 得 2
560n n --=,解得 8n =.
【考点定位】 本小题结合组合知识主要考查古典概型, 属中档题, 熟练古典概型的求法以及 组合数公式是解答好本类题目的关键 . 15
. 【解析】因为 θ为第二象限角,若 tan (θ+) =1
2
>0,所以角 θ的终边落在直线 y x =-的 左侧 ,
sinθ+cosθ<0,由 tan="" (θ+)="12得" tan="" 11tan="" θθ+-="12,即" sin="" cos="" cos="" sin="" θθθθ+-="">0,由>
,所以设 sin θ+cosθ=x,则
cos θ- sinθ=2x,将这两个式子平方相加得:2
25x =
,即 sin θ+cosθ
=5
-. 【考点定位】 本小题主要考查两角和的正切公式、 同角三角函数的基本关系式、 三角函数在
各个象限的符号口诀等公式的灵活运用,属中档题 . 16. 49-
【 解 析 】 由 题 意 知 :11
1091002
15141525
2d a d a ??+=?????+=??, 解 得 23d =, 13a =-, 所 以
(1) 2
323
n n n S n -=-+
? =2103n n -, 即 nS n =32103n n -, 令 3210() 3n n f n -=, 则 有 ' 2
20() 3f n n n =-, 令 ' 220() 03f n n n =-
>得, 203n >,令 ' 2
20() 03f n n n =-<得,>得,>
n <,又因为>,又因为>
为正整数,所以当 7n =时, 32
10() 3
n n f n -=所以取得最小值,即 nS n 的最小值为 49-.
【考点定位】 本小题主要考查等差数列的前 n 项和公式的应用、 导数求数列这一特殊函数的 最值,要注意 n 取正整数这一条件,考查同学们分析问题、解决问题的能力 . 【答案】 (Ⅰ) B=
4
π
1 【解析】 (Ⅰ)因为 a=bcosC+csinB,所以由正弦定理得:sinA=sinBcosC+sinCsinB,所以 sin(B+C)=sinBcosC+sinCsinB,即 cosBsinC=sinCsinB,因为 sinC ≠0,所以 tan 1B =,解 得 B=
4
π; (Ⅱ)由余弦定理得:222
2cos
4
b a c ac π
=+-
,即 22
4a c =+,由不等式得:
222a c ac +≥,当且仅当 a c =
时,取等号,所以 4(2ac ≥
,解得 4ac ≤+,所
以△ ABC 的面积为
1sin 24ac
π(4≤+
1,所以△ ABC
1. 本题第(Ⅰ)问,已知边角混和式,即 a=bcosC+csinB,可以考虑边角互化,同时注意三角 形的内角和为 180,再应用两角和的正弦公式,即可求出结果;对第(Ⅱ)问,求三角形 的面积,必须应用面积公式,最后结合均值不等式,即可求出 . 对第(Ⅰ)问 , 一部分同学们 忽视 sin(B+C)= sinA这一关键而解答不出来;第(Ⅱ)问,往往一部分同学考虑不到应用 不等式来求出面积的最大值,综合应用能力需要加强 .
【考点定位】本小题主要考查正余弦定理的应用、三角形的面积公式、两角和的正弦定理、
已知三角函数值求解、均值不等式等基础知识,考查同学们分析问题、解决问题的能力 . 三 角函数是高考的热点内容之一, 高考中一般会出现一个解答题与一至两个小题, 主要考查三 角函数的图象与性质、三角变换、解三角形等基础知识,难度不大,所以熟练本部分的基础 知识是解答好本类题目的关键 .
【答案】
【解析】 (Ⅰ)连结 1AC ,交 1AC 于点 O ,连结 DO ,则 O 为 1AC 的中点,因为 D 为 AB 的中 点,所以
OD ∥ 1BC ,又因为 OD ?平面 1ACD , 1BC ?平面 1ACD ,所以 1BC //平面 1
ACD ; (Ⅱ)由 1AA
AB 可设:AB=2a ,则 1AA
,所以 AC ⊥ BC ,又因为直 棱柱,所以以点 C 为坐标原点,分别以直线 CA 、 CB 、 1CC 为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直 角坐标系如图,
则 (0,0,0)C
、 1) A
、 , ,0) 22D
、 , ) 2
E
, 1) CA
=
, , ,0) 22
CD
=,
) 2CE
=
,
1(, ) 2
A E =-, 设 平 面 1ACD 的 法 向 量 为 (, , ) n x y z =, 则 0n CD ?=且 10n CA ?=,可解得 y x z =-=,令 1x =,得平面 1ACD 的一个法向量为 (1, 1, 1) n =--, 同 理 可 得 平 面 1ACE 的 一 个 法 向 量 为 (2,1, 2) m =-, 则 c o
s , n m <>=, 所 以
sin , 3
n m <>=D-
1AC -E 的正弦值为 3 本题第(Ⅰ)问,证明直线与平面平行 , 主要应用线面平行的判定定理,一般情况下,遇到 中点想中位线的思想要用上,同时用上侧面为平行四边形的条件;第(Ⅱ)问,求二面角的 大小,若图形中容易建立空间直角坐标系,则就求两个半平面的法向量,从需得出结果 . 对 第(Ⅰ)问,证明线面平行时 , 容易漏掉条件;对第(Ⅱ)问,二面角的大小与两个法向量 夹角相等或互补的关系,一部分同学容易得出它们相等 .
【考点定位】 本小题考查空间中直线与平面平行等位置关系的证明、 二面角的求解, 考查同 学们的逻辑推理能力、空间想象能力,考查分析问题以及解决问题的能力 .
【答案】(Ⅰ) 50013065000T =?=(Ⅱ) 0.7(Ⅲ) 59400
【解析】(Ⅰ)当 [100,130)x ∈时, 500300(130) T x x =--=80039000x -,
当 [130,150)x ∈时, 50013065000T =?=,
所以 80039000,10013065000,130150
x x T x -≤<>
(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润 T 不少于 57000元,当且仅当 120150x ≤≤,
由直方图知需求量 [120,150)x ∈的频率为 0.7,所以下一个销售季度内的利润 T 不少于 57000元的概率的估计值为 0.7.
所以 =.
本题第(Ⅰ)问,注意讨论 ; 第(Ⅲ)问 , 求数学期望时 , 必须先写出 T 的分布列 , 然后由期望 公式求出所求 . 本题的易错点是第(Ⅰ)问忘记讨论,第(Ⅲ)问,找不到思路 .
【考点定位】本小题主要考查统计与概率、频率、平均数、频率分布直方图等基础知识,属 中档题目,考查同学们分析问题与解决问题的能力 .
【答案】 (Ι) 22163x y +=(Ⅱ) 1||||2AB CD ?=3
【解析】 (Ι) 设 11(, ), A x y 22(, ), B x y 则 2211221(1)x y a b +=2222221(2)x y a b
+=, (1) -(2) 得: 1212121222()() ()() 0x x x x y y y y a b -+-++=,因为 1212
1y y x x -=--,设 00(, ) P x y
,因为 P 为 AB 的中点, 且 OP 的斜率为 12, 所以 0012y x =, 即 12121() 2
y y x x +=+, 所以可以解得 222a b =, 即 222
2() a a c =-, 即 222a c =, 又因为 c =所以 26a =, 所以 M 的方程为 22
163x y +=.
(Ⅱ)因为 CD ⊥ AB ,直线 AB
方程为 x y +CD 方程为 y x m =+,
将 x y +22163x y +=
得:230x -=
,即 A
、 B , 所以可得
||AB =; 将 y x m =+代 入 22163x y +=得 :2234260x mx m ++-=, 设 33(, ), C x y 44(, ), D x y 则
||CD =
,又因为 221612(26) 0m m ?=-->, 即 33m -<,所以当 0m="时," |cd|取得最大值="" 4,所以四边形="" acbd="" 面积的最大值为="" 1||||2ab="" cd="">,所以当>
=3
. 本题第(Ⅰ)问,属于中点弦问题 , 运用设而不求的数学思想 ; 第(Ⅱ)问 , 运用弦长公式求 出弦长 , 然后由面积公式求出面积的最大值 . 对第 (Ⅰ) 问, 一部分同学想不到设而不求的思 想 , 容易联立方程组求解而走弯路;第(Ⅱ)问 , 容易出现计算失误 .
【考点定位】 本小题考查椭圆的方程的求解、 直线与椭圆的位置关系, 考查数学中的待定系 数法、 设而不求思想 , 考查同学们的计算能力以及分析问题、 解决问题的能力 . 圆锥曲线是 高考的热点问题 , 年年必考 , 熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键 .
【答案】 (Ι) () f x 在 (1,0) -上是减函数;在 (0,) +∞上是增函数(Ⅱ)见解析
【解析】 (Ι) 因为 ' 1() x f x e x m =-+, x=0是 f(x)的极值点,所以 ' 1(0)10f m
=-=, 解得 1m =,
所以函数 f(x)=x e -ln(x+1), 其定义域为 (1, ) -+∞, 因为 ' 1() 1x
f x e x =-+=(1) 11x e x x +-+, 设 () (1) 1x g x e x =+-,则 ' () (1) 0x x
g x e x e =++>,所以 () g x 在 (1, ) -+∞上是增函数,
又因为 (0)0g =, 所以当 0x >时, () 0g x >, 即 ' () 0f x >; 当 10x -<时, ()="" 0g="" x="">时,><, '="" ()="" 0f="" x="">,><>
() f x 在 (1,0) -上是减函数;在 (0,) +∞上是增函数 .
(Ⅱ) 当 m ≤ 2, (, ) x m ∈-+∞时, ln() ln(2) x m x +≤+,
故只需证明当 2m =时, () 0f x >. 当 2m =时,函数 ' 1() 2
x f x e x =-+在 (2, ) -+∞单调递增,
又 ' (1) 0, f -<' (0)0, f >故 ' () 0f x =在 (2, ) -+∞有唯一实根 0x ,且 0(1,0) x ∈-, 当 0(2, ) x x ∈-时, ' () 0f x <;当 0(,="" )="" x="" x="" ∈+∞时,="" '="" ()="" 0f="" x="">,从而当 0x x =时, () f x 取 得最小值,
由 ' () 0f x =得:0012
x e x =+,即 00ln(2) x x +=-, 故 0() () f x f x ≥=0012x x +=+200(1) 02
x x +>+, 综上,当 m ≤ 2时, () 0f x >.
本题第(Ⅰ)问,由极值点得出 , 在 x=0处的导数等于 0, 求出 m 值 ; 对单调性 , 而判断导数的 正负号, 从而需构造函数 () (1) 1x g x e x =+-, 通过判断函数 () (1) 1x g x e x =+-的单调性, 来得出 '
() f x 的正负,从而求得结果 ; 对第(Ⅱ)问 , 要证明 () 0f x >, 只需要证明 min () 0f x >即 可 . 对 第 (Ι) 问 , 函 数 单 调 性 的 讨 论 , 一 部 分 想 不 到 构 造 函 数 () (1) 1x g x e x =+-; 对第(Ⅱ)问 , 证明不等式 , 找不到思路 .
【考点定位】 本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、 极值、 最值、 证明不等式等知识, 综合性较强,考查函数与方程、分类讨论等数学思想,考查同学们分析问题、解决问题的能 力,熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键 .
【答案】 (Ⅰ)见解析(Ⅱ) 12
【解析】 (Ⅰ)因为 CD 为△ ABC 外接圆的切线,
所以 DCB A ∠=∠,由题设知 BC DC FA EA
=, 故 CDB ?∽ AEF ?, 所以 DBC EFA ∠=∠, 因为 B 、 E 、 F 、 C 四点共圆, 所以 DBC CFE ∠=∠, 故 90EFA CFE ∠=∠=,所以 90CBA ∠=,因此 CA 是△ ABC 外接圆的直径 .
(Ⅱ)设 DB=BE=EA=a ,则由切割线定理可得:
2DC DB DA =?,
解得 DC =, 由 (1) 知:CA 是△ ABC 外接圆的直径, 所以 CB DA ⊥, AC ⊥ CD ,解得
,
,所以过 B 、 E 、 F 、 C 四点的圆的面积与△ ABC 外接圆面积
2) π?12. 本题第(Ⅰ)问,由两个三角形相似可得出角相等 , 再由四点共圆 , 得出 90CBA ∠=, 从而
得证 ; 第(Ⅱ)问 , 由切割线定理以及 B 、 E 、 F 、 C 四点共圆 , 可以得出两圆的半径 , 从而得出 面积的比值 . 对第(Ⅰ)问,不容易找到这两个三角形相似 ; 第(Ⅱ)问中两个圆半径的求出 容易出错 .
【考点定位】本小题主要考查圆的切线、割线、圆内接四边形、勾股定理等平面几何知识, 考查数形结合思想,考查分析问题、解决问题的能力 .
【答案】解析
【解析】(Ⅰ)由 222a b ab +≥, 222c b bc +≥, 222a c ac +≥得:
222a b c ab bc ca ++≥++,由题设得 2() 1a b c ++=,即
2222221a b c ab bc ca +++++=,所以
3() 1ab bc ca ++≤,即 13
ab bc ca ++≤. (Ⅱ)因为 22a b a b +≥, 22b c b c +≥, 2
2c a c a
+≥, 所以 222() 2() a b c a b c a b c b c a
+++++≥++,即 222
a b c a b c b c a ++≥++, 所以 222
1a b c b c a
++≥. 本题第(Ⅰ)(Ⅱ)两问,都可以由均值不等式 , 相加即得到 . 在应用均值不等式时 , 注意等 号成立的条件 :一正二定三相等 .
【考点定位】本小题主要考查不等式的证明 , 熟练基础知识是解答好本类题目的关键 .
范文四:2013高考数学理科全国卷1
绝密 ★ 启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学(理科)
一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的 .
(1)设集合则个数为
(A ) 3 (B ) 4 (C ) 5 (D ) 6
(2)
(A ) 8
(B ) (C ) (D )
(3)已知向量
(A ) (B ) (C ) (D )
(4)已知函数
(A ) (B ) (C ) (D )
(5)函数的反函数
(A ) (B ) (C ) (D )
(6)已知数列 满足
(A ) (B ) (C ) (D )
(7)
(A ) (B ) (C ) (D )
(8)椭圆 斜率的取值范围是
(A ) (B ) (C ) (D )
(9)若函数
(A ) (B ) (C ) (D )
(10)已知正四棱锥 的正弦值等于
(A ) (B ) (C ) (D )
(11)已知抛物线
(A ) (B ) (C ) (D )
(12)已知函数
(A ) (B ) (C ) (D )
二、填空题:本大题共 4小题,每小题 5分 .
(13)已知
(14) 个人排成一行, 其中甲、 乙两人不相邻的不同排法共有 种 . (用数字作
答)
(15) 记不等式组 所表示的平面区域为 若直线 .
(16) 已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径,则球的表面积等于 . 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
17. (本小题满分 10分)
等差数列 的前项和为的通项式 .
18. (本小题满分 12分)
设
()() , , , , , . ABC A B C a b c a b c a b c ac ?++-+=的内角 的对边分别为
()求 ; B
()若
19. (本小题满分 12分)
如图,四棱锥 都是等边三角形 .
() 证明:
() 求二面角
20. (本小题满分 12分)
甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比 赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 各局比赛的结 果都相互独立,第局甲当裁判 .
() 求第局甲当裁判的概率;
() 表示前局中乙当裁判的次数,求的数学期望 .
21. (本小题满分 12分)
已知双曲线 离心率为直线
() 求;
()
证明:
22. (本小题满分 12分)
已知函数
() 若;
() 设数列
范文五:2013新课标全国卷2 理科数学
绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标Ⅱ卷 )
文科数学
第Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共 12小题。每小题 5分,在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。 (1)已知集合 M={x|-3<><1}, n="{-3," -2,="" -1,="" 0,="" 1},则="" m="" ∩="" n="(">1},>
(A ) {-2, -1, 0,1} (B ) {-3, -2, -1, 0} (C ) {-2, -1, 0} (D ) {-3, -2, (2) |
|=( )
(A ) 2 (B ) 2 (C ) D ) (3)设 x , y 满足约束条件 ,则 z=2x-3y
(A )
(B ) -6
(D
) -
(4)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为
C= ,则△ ABC 的面积为( )
(A )
(B (C (D
(5) 设椭圆 C : +
=1(a12, F F , P 是 C 上的点
2PF ⊥ 12F F , ∠ 12P F F =0
30,
则 C 的离心率为( )
(A )
(C ) (D )
(6cos2(α+)=(
)
(A (B ) (C ) (D ) (7)执行右面的程序框图,如果输入的 N=4,那么输出的 S= ( )
(A ) 1
(B ) 1+
(C ) 1++++ (D ) 1+++
+
(8)设 a=log32,b=log52,c=log23,则
(A ) a >c >b (B ) b>c >a (C ) c >b >a (D ) c >a >b (9)一个四面体的顶点在点间直角坐系 O-xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1) , (1, 1, 0) , (0, 1, 1) , (0, 0, 0) ,画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可为
(A ) (B ) (C ) (D
( 10)设抛物线 C: 24y x =的焦点为 F ,直线 L 过 F 且与 C 交于 A, B两点 . 若 L 的方程为
(A)y=x-1或 y= -x+1 (B ) )
(C ) y=(x-1)或 y= -(x-1) (D ) x-1)
(11)已知函数 () f x = 3
2
c x ax bx +++(A ) 00, () 0x R f x ?∈= (B ) x 的图像是中心对称图形 (C )若 0x 是 () f x 的极小值点,则 () f x -∞, 0x )单调递减 (D )若 0x 是 () f x 0(x (12)若存在正数 x 使 2x
x a 的取值范围是
(A ) (-∞ ) (C)(0, +∞ ) (D)(-1, +∞)
第Ⅱ卷
13题 -第 21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22题 -第 24题
4小题,每小题 5分。
(13)从 1, 3, 4, 5中任意取出两个不同的数,其和为 5的概率是 ________.
(14)已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的 中点,则 AE BD ?
=________.
(15)已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为
2
, 底面边长为 , 则以 O 为球心, OA 为半径的球的表面积为 ______.
(16)函数 cos(2)() y x ?π?π=+-≤≤的图像向右平移 2
π个单位后, 与函数 sin 3y π=+(2x ) 的图像重合,
则 ?=___________.
三 . 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17) (本小题满分 12分)
已知等差数列{n a }的公差不为零, 1a =25,且 1a , 11a , 13a 成等比数列。 (Ⅰ)求{n a }的通项公式; (Ⅱ)求 1a +4a +7a +… +32n a .
(
(
( (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程 ; (Ⅱ)若 P 点到直线 y=x的距离为 ,求圆 P 的方程 .
(21) (本小题满分 12分 )
己知函数 () f x = 2x
x e -
(I)求 () f x 的极小值和极大值;
(II)当曲线 y = () f x 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围 .
请从下面所给的 22,23,24三题中选定一题作答
. 并用 2 B 黑,按所涂题号进行评分 ; 不涂、多涂均按所答第一题评分 ; 多答按所答第一题评分。
(22) (本小题满分 10分 ) 选修 4-1:几何证明选讲
如图, CD 为△ ABC 外接圆的切线, AB 的延长线交直 线 CD 于点 D , E, F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC ·AE=DC·AF , B, E, F,C四点共圆。
(I) 证明:CA 是△ ABC 外接圆的直径 ;
(II) 若 DB=BE=EA.求过 B, E, F,C四点的圆的面积
与△ ABC 外接圆面积的比值 .
(23) (本小题满分 10分 ) 选修 4-4: 已知动点 P. Q 都在曲线 C:x y =??
=?
参数)上,对应参数分别为 t a =与 2t a =2a π<) ,="" m="" 为="" pq="">)>
(I)求 M (Ⅱ ) 将 M d α的 2函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点 . (24)(本小题满分 10分
设 , , a b c 1a b ++=。证明 :(Ⅰ) 13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)
222
1a b c b c a
++≥。
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