范文一:圆相关的知识点
圆
一、 名词解释:
1. 弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。
2. 弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧。
3. 半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,第一条弧都叫做半圆。
4. 等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。
5. 等弧——在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧。
6. 圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。
7. 圆周角——顶点在圆上,且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
8. 圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
9. 外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心。
10. 内心——三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
11. 内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。
12. 割线——直线和圆有两个公共点(直线和圆相交),这条直线叫做圆的割线。
13. 切线——直线和圆只有一个公共点(直线和圆相切),这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点。
14. 切线长——经边圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。
15. 圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。
16. 中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
17. 中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
18. 边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
19. 扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形。
20. 母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线。
二、 定理
1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧。
2. 圆心角、弦、弧定理:(三者是一组等量关系)
① 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等。②在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等。
③在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等。
3. 圆周角定理:
? 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。
? 半圆(或直径)所对圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。 ? 圆内接四边形对角互补。
4. 切线定理:
? 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 ? 圆的切线垂直于过切点的半径。
5. 切线长定理:
从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点沁的连线平分两条切线的夹角。
三、 性质
1. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴。
2. 不在同一直线上的三个点确定一个圆。
3. 直角三角形三边为a、b、c,c为斜边,则外接圆的半径R?c; 2内切圆的半径r?a?b?c 2
四、 位置关系:
1. 点和圆的位置关系:
点P在圆外 d > r
点P在圆上 d = r
点P在圆内 d
2. 直线与圆的位置关系:
直线L和⊙O相交 d r
3. 圆与圆的位置关系:
外离 d > r1 + r2
内含 d < r1 - r2
外切 d = r1 + r2
内切 d = r1 - r2
相交 r1 - r2 < d < r1 + r2
五、 计算公式
1. 内公切线长公式: AB?d??R?r?22
2. 外公切线长公式: AB?d??R?r?22
3. 正多边形的面积公式:
S?1
2Lr (L—周长
l?r—边心距) n?R
4. 弧长公式:
5. 扇形面积: 1800 n?R
36020 S扇形?
6. 圆锥侧面积:S侧
S扇?12Lr??rl(l—母线长 r—圆锥底面圆半径) (L—弧长 r—扇形半径)
27. 圆锥全面积:S全
??rl??r(侧面积
+底面积)
范文二:圆的相关知识点
一、圆的相关概念及性质
一 知识梳理
1.圆的有关概念和性质
(1)圆的概念
?定义1:在同一平面内,到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,其中定点为圆心,定长为半径(
?定义2:在同一平面内,线段绕它固定的一个端点M旋转一周,另一个端点N所形成的图形叫做圆。(其中,端点M是圆心,线段MN的长度是半径)
?圆的表示:用圆心字母表示;例如:以点O为圆心的圆,记作“?O”,读作“圆O” 注:?圆的两要素:圆心和半径;其中圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小;
?圆是指满足定义的一条封闭的曲线,圆面是指圆及圆的内部构成的面; (2)圆的相关概念
?弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦
?弦心距:圆心到弦的距离叫做弦心距;
?弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧;
优弧:大于半圆的弧,用三个大写字母表示;, 弧,劣弧:小于半圆的弧,用两个大写字母表示;,
?半圆:圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆; ?直径:经过圆心的弦叫做直径;
注:直径是弦,但弦不一定是直径,直径是最长的弦;
?弓形:弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形;
?等圆:半径相等的两个圆是等圆;
?同心圆:圆心相同的两个圆是同心圆;
?等弧:在同圆或等圆中,长度相等的两条弧是等弧;
(3)圆的性质
?圆是轴对称图形,其对称轴是任意一条过圆心的直线或直径所在的直线; ?圆是中心对称图形,对称中心为圆心(
总之,圆具有对称性。
2. 垂径定理及其推论
(1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧( (2)推论:
?.平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; ?.弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
?.平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧( ?圆的两条平行弦所夹的弧相等(
(3)做题方法:应用垂径定理与推论进行计算时,往往要构造如右图所示的直角三
222m,d,r角形,根据垂径定理与勾股定理有:(其中r为圆的半径,d为弦心距,m为半弦),根据公式,在三个量中知道任何两个量就可以求出第三个量(
O_ rr d_ _ m A_ _B C_ _
3.圆周角与圆心角
(1)圆心角
?定义:把顶点在圆心的角叫做圆心角。
?定理:在同圆或等圆中,相等的同心圆所对的弧相等,所对的弦也相等; ?推论:a.在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等;
b.在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弧相等;
(2)圆心角
?定义:顶点在圆上,两边都与圆相交的角叫做圆周角。
?圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半。 ?推论1:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径。 ?推论2:三角形一边的中线等于这一边的一半时,这个三角形是直角三角形
二、和圆有关的位置关系
知识梳理:
d是所求点到圆心的距离) 1. 点和圆的位置关系(
点在圆外 点在圆上 点在圆内
d>r d=r d
注意:点和圆的位置关系是由点到圆心距离和半径的大小关系决定的。
2. 确定圆的条件:不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
注意:(1)三个点不能在一条直线上;经过一条直线上得三个点不能确定一个圆;
(2)有且只有一个圆;
(3)经过一个点可以做无数个圆;
(4)经过圆上两点可以做无数个圆,圆心在两点连线的中垂线上; 三点画圆的方法:三点确定的两条线段的垂直平分线的交点即为圆心,该点到任意一个点的距离为半径即可画圆。
3. 圆内接多边形、外接圆:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。
4. 三角形外接圆:经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆。 外心:外接圆的圆心是三角形三条边的处置平分线的交点,叫做三角形的外心。 注意:(1)三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等,等于外接圆的半径;
(2)三角形的外接圆只有一个;圆的内接三角形有无数个;
(3)三角形外心位置:
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
5. 四边形外接圆
注意:(1)四边形不一定有外接圆;
(2)圆内接四边形的对角互补。
6.直线与圆的位置关系:
相离 相切 相交
无交点 一个交点 两个交点
d>r d=r d
r r d r d
d
相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做切点。
相交:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线。 注意:(1)过圆上一点有一条切线;
(2)过圆外一点有两条切线;
(3)割线定理:从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等,OA?OC=OB?OD;
O B A
D
C
(4)相交线定理:圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等,OA?OB=OD?OC
A
D C O
B
推论:如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项:
OA?OB=OC?OD
6. 切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 注意:(1)已知圆的切线时,切点的位置一般是确定的,在写条件时应说明直线和圆相切于哪一点,辅助线是作出过切点的半径;
(2)切线的判定方法:?直线与圆只有一个交点;
?圆心到直线的距离等于半径;
?切线的判定定理;
(3)证明切线的辅助线:
?当已知直线与圆有交点,证明该直线为切线时,连接圆心和该交点,证明辅助线与直线垂直即可; ?当不知道直线与圆有交点,证明该直线为切线时,过圆心向该直线作垂线段,证明垂线段的长度等于圆的半径即可。
7. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。
注意:
(1)切线的性质定理和判定定理是逆定理;
(2)切线的性质:
?切线与圆只有一个交点;
?圆心到切线的距离等于半径;
?切线的性质定理;
(3)过圆心垂直于切线的直线必过切点;
(4)过切点垂直于切线的直线比过圆心;
(5)弦切角定理:弦切角等于所夹弧所对的圆周角;
推论:如果两个弦切角所加的弧相等,那么这两个弦切角也相等
8. 切线长:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长。 切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角;
注意:(1)切线与切线长是两个不同的概念;
(2)若已知两条切线是平行的,则两个切点的连线是直径;
9(三角形的内切圆:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
内心:内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点,叫做三角形的内心。
注意:(1)三角形的内心到三角形三边距离相等,等于圆的半径;
(2)一个三角形只有一个内切圆,而一个圆有无数个外切三角形; 10.圆与圆的位置关系:
外离 外切 相交 无交点 一个交点 两个交点 d>r+R d=r+R R-r<>
d
r R
内切 内含
无交点 一个交点
d=R 0<>
相离:如果两个圆没有公共点,那么就是说这两个圆相离。相离包括外离和内含。 相切:如果两个圆只有一个公共点,那么就是说这两个圆相切。相切包含外切和内切。 相交:如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交。
注意:
(1)切线个数:外离:4条切线;外切:3条切线;相交:2条切线;内切:1条切线;内含:0条切线;
(2)两圆相切的性质:如果两圆相切,那么两圆连心线经过切点; (3)两圆相交的性质:当两圆相交时,连心线垂直平分两圆的公共弦。
三、圆与多边形及与圆相关的计算
一 知识梳理
1.确定圆的条件:
确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定一个圆
注:
?过平面内的一个点有无数个圆;
?过平面内的两个点有无数个圆,圆心在这两点所连接的线段的垂直平分线上; ?同一直线上的三点不能确定圆.
2. 三角形的内切圆和外接圆
(1)内切圆
?定义:和三角形三边相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的外切三角形。
? 内心是三角形三内角的角平分线的交点,它到三角形的三边的距离相等。 ? 内心位置:锐角三角形,直角三角形,钝角三角形的内心位于三角形内部; (2)外接圆
?经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形。
? 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,它到三角形的三个顶点的距离相等。 ? 外心位置:
a.锐角三角形的外心位于三角形内.
b.直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点.
c.钝角三角形的外心位于三角形;
3.正多边形和圆
(1)通过n等分圆画正n多边形。
0(2)180n,,(2)正n边形的每个内角都等于 n
(3)定理3:正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形 (4)做题方法:
?内接正多边形和外切正多边形的证明:关键是要证明各分点是圆的n等份点即可 ?正多边形的计算:实质上就是解直角三角形,把正多边形的问题转化为解直角三角形的问题。
?圆中常作的辅助线:作半径、弦心距、直径所对的圆周角、经过切点作半径、过圆心作切线的垂 线、两圆相交时的公共弦、连心线等。
4.与圆相关的计算
(1)相关的弧长、面积计算公式:
?圆周长:C=2πR
1?弧长:L= nπR 180
112?扇形面积:S =nπR=LR 3602
?圆柱的侧面积 S =2πr?h (r是底面积,r是底面半径) 侧2S =S + 2S=2πr?h+ 2πr 表侧底
1?圆锥的侧面积 S =L?2πr=πrL(L是母线,r是底面半径) 侧22 S=S + S=πrL+πr 表侧底
(2)弓形面积的求法:
? 当弓形的弧是劣弧时 S=S,S 弓形扇形?
? 当弓形的弧是优弧时S=S+S 弓形扇形?
(3)阴影部分面积的计算:阴影部分的面积一般是不规则图形的面积,一般不能直接利用公式,常采用? 割补法 ? 拼凑法 ? 等积变形法
范文三:圆的相关知识点
圆的相关知识点
年份 题号 分值 相关知识点 2009 20 10 同弧所对的圆周角相等,解直角三角形.
14 3 弧长公式 2010 24 14 垂径定理,勾股定理,内切圆,切线长定理.
10 3 弧长的计算;切线的性质;特殊角的三角函数值. 2011 圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;25 14 三角形中位线定理;旋转的性质.
20.(2009年,满分10分)
如图10,在?O中,?ACB=?BDC=60?,AC=, 23cm
(1)求?BAC的度数;
(2)求?O的周长
涉及知识点:同弧所对的圆周角相等,解直角三角形.
解:(1)?BAC=?BDC=60?
(2)?ABC=180?,?BAC,?ACB=60?,所以ΔABC是等边三角形,作OE?AC,连接OA,
AE3,,2 OA=,所以?O的周长为4 ,COSOAECOS,:30
14((2010年,满分3分)
一个扇形的圆心角为90?(半径为2,则这个扇形的弧长为________( (结果保留) ,涉及知识点:弧长公式
,nr,l解答:扇形弧长可用公式:求得,由于本题n,90?,r,2,因此这个扇形的弧180
长为π(
24((2010年,满分14分)
APB如图,?O的半径为1,点P是?O上一点,弦AB垂直平分线段OP,点D是上任一点(与端点A、B不重合),DE?AB于点E,以点D为圆心、DE长为半径作?D,分别过
点A、B作?D的切线,两条切线相交于点C(
(1)求弦AB的长;
(2)判断?ACB是否为定值,若是,求出?ACB的大小;否则,请说明理由;
S3(3)记?ABC的面积为S,若,4,求?ABC的周长. 2DE
C 涉及知识点:垂径定理,勾股定理,内切圆,切线长定理.
解:(1)连接OA,取OP与AB的交点为F,则有OA,1( G
P H D
11?弦AB垂直平分线段OP,?OF,OP,,AF,BF( A B 22F E
132222在Rt?OAF中,?AF,,,,?1(),OAOF,O 22
3AB,2AF,(
(2)?ACB是定值.
理由:由(1)易知,?AOB,120?,
因为点D为?ABC的内心,所以,连结AD、BD,则?CAB,2?DAE,?CBA,2?DBA,
1因为?DAE,?DBA,?AOB,60?,所以?CAB,?CBA,120?,所以?ACB,60?; 2
(3)记?ABC的周长为l,取AC,BC与?D的切点分别为G,H,连接DG,DC,DH,则有DG,DH,DE,DG?AC,DH?BC.
? SSSS,,,,,,ABDACDBCD
11111,AB?DE,BC?DH,AC?DG,(AB,BC,AC) ?DE,l?DE( 22222
1lDES2333?,4,?,4,?l,8DE. 22DEDE
1?CG,CH是?D的切线,??GCD,?ACB,30?, 2
DGDE33?在Rt?CGD中,CG,,,DE,?CH,CG,DE( tan303
3
又由切线长定理可知AG,AE,BH,BE,
333?l,AB,BC,AC,2,2DE,8DE,解得DE,3,
3??ABC的周长为24(
10.(2011年,满分3分)
如图,AB切?O于点B,OA=2,AB=3,弦BC?OA,则劣弧BC的弧长为( )
B、 C、π D、 A、
涉及知识点:弧长的计算;切线的性质;特殊角的三角函数值. 解答:连OB,OC,如图,
?AB切?O于点B,
?OB?AB,
,AB=3, 在Rt?OBA中,OA=2
sin?BOA===,
??BOA=60?,
OA=, ?OB=
又?弦BC?OA,
??BOA=?CBO=60?,
??OBC为等边三角形,即?BOC=60?,
?劣弧BC的弧长==(
故选A(
25.(2011年,满分14分)
如图1,?O中AB是直径,C是?O上一点,?ABC=45?,等腰直角三角形DCE中?DCE是
直角,点D在线段AC上(
(1)证明:B、C、E三点共线;
(2)若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明:MN=OM; (3)将?DCE绕点C逆时针旋转α(0?,α,90?)后,记为?DCE(图2),若M是线111
段BE的中点,N是线段AD的中点,MN=OM是否成立,若是,请证明;若不是,说明111111
理由(
涉及知识点:圆周角定理;全等三角形的判定与性质;等腰直角三角形;三角形中位线定理;
旋转的性质.
解:(1)证明:?AB是直径,
??BCA=90?,
而等腰直角三角形DCE中?DCE是直角,
??BCA+?DCE=90?+90?=180?,
?B、C、E三点共线;
(2)连接BD,AE,ON,延长BD交AE于F,如图,
?CB=CA,CD=CE,
?Rt?BCD?Rt?ACE,
?BD=AE,?EBD=?CAE,
??CAE+?ADF=?CBD+?BDC=90?,即BD?AE,
又?M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,而O为AB的中点, ?ON=BD,OM=AE,ON?BD,AE?OM;
?ON=OM,ON?OM,即?ONM为等腰直角三角形,
?MN=OM;
(3)成立(理由如下:
和(2)一样,易证得Rt?BCD?Rt?ACE,同里可证BD?AE,?ONM为等腰直角三角形, 111111从而有MN=OM( 111
范文四:圆的相关知识点
圆的相关知识 最好配以简单的习题掌握 刘蕾老师整合
板块一:圆的有关概念
一、圆的定义:
1. 描述性定义:在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所形成
的图形叫做圆,其中固定端点O叫做圆心,OA叫做半径.
2. 集合性定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,顶点叫做圆心,定长叫做半径. 3. 圆的表示方法:通常用符号⊙表示圆,定义中以O为圆心,OA为半径的圆记作“⊙O”,读作“圆O”. 4. 同圆、同心圆、等圆:圆心相同且半径相等的圆叫同圆;圆心相同,半径不相等的两个圆叫做同心圆;能够重合的两个圆叫做等圆. 注意:同圆或等圆的半径相等.
二、弦和弧
1. 弦:连结圆上任意两点的线段叫做弦.
2. 直径:经过圆心的弦叫做圆的直径,直径等于半径的2倍. 3. 弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.
AB,读作弧AB. 4. 弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.以A、B为端点的圆弧记作?
5. 等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧.
6. 半圆:圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧,每一条弧都叫做半圆. 7. 优弧、劣弧:大于半圆的弧叫做优弧,小于半圆的弧叫做劣弧. 8. 弓形:由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.
三、圆心角和圆周角
1. 圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.将整个圆分为360等份,每一份的弧对应1?的圆心角,我们也称
这样的弧为1?的弧.圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 2. 圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 3. 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90?的圆周角所对的弦是直径.
推论3:如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相
等,所对的弦的弦心距相等.
推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它
们所对应的其余各组量分别相等.
板块二:圆的对称性与垂径定理
一、圆的对称性
1. 圆的轴对称性:圆是轴对称图形,对称轴是经过圆心的任意一条直线. 2. 圆的中心对称性:圆是中心对称图形,对称中心是圆心.
3. 圆的旋转对称性:圆是旋转对称图形,无论绕圆心旋转多少角度,都能与其自身重合.
二、垂径定理
1. 垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.
2. 推论1:⑴ 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; ⑵ 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
⑶ 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
3. 推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.
板块三:点与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有:点在圆上、点在圆内、点在圆外三种,这三种关系由这个点到圆心的距离与半径的大小关系决定.
设⊙O的半径为r,点P到圆心O的距离为d,则有:
点在圆外?d?r;点在圆上?d?r;点在圆内?d?r. 如下表所示:
二、确定圆的条件 1. 圆的确定
确定一个圆有两个基本条件:①圆心(定点),确定圆的位置;②半径(定长),确定圆的大小.只有当圆心和半径都确定时,远才能确定. 2. 过已知点作圆
⑴经过点A的圆:以点A以外的任意一点O为圆心,以OA的长为半径,即可作出过点A的圆,这样的圆有无数个.
⑵经过两点A、B的圆:以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心,以OA的长为半径,即可作出过点A、B的圆,这样的圆也有无数个.
⑶过三点的圆:若这三点A、B、C共线时,过三点的圆不存在;若A、B、C三点不共线时,圆心是线段AB与BC的中垂线的交点,而这个交点O是唯一存在的,这样的圆有唯一一个.
⑷过n?n?4?个点的圆:只可以作0个或1个,当只可作一个时,其圆心是其中不共线三点确定的圆的圆心.
3. 定理:不在同一直线上的三点确定一个圆.
注意:⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视,换句话说,在同一直线上的三点不能作圆; ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”,即“唯一存在”. 4. 三角形的外接圆
⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫
做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形. ⑵三角形外心的性质:
①三角形的外心是指外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相
等;
②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是唯一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部;直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆
半径等于斜边的一半);钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.
板块四:直线和圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定
设⊙O的半径为
,圆心O到直线l的距离为d,则直线和圆的位置关系如下表:
从另一个角度,直线和圆的位置关系还可以如下表示:
二、切线的性质及判定 1. 切线的性质:
定理:圆的切线垂直于过切点的半径.
推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 2. 切线的判定
定义法:和圆只有一个公共点的直线是圆的切线; 距离法:和圆心距离等于半径的直线是圆的切线;
定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3. 切线长和切线长定理:
⑴ 切线长:在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.
⑵ 切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
三、三角形内切圆
1. 定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫
做圆的外切三角形.
2. 多边形内切圆:和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆的外切多边形.
板块五:圆和圆的位置关系
一、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定
⊙O的半径分别为(其中) 设
⊙O、,两圆圆心距为d,则两圆位置关系如下表:
说明:圆和圆的位置关系,既考虑了他们公共点的个数,又注意到位置的不同,若以两圆的公共点的个数来分,又可分为三大类:相离、相切、相交,其中相离两圆没有公共点,它包括外离与内含两种情况;相切两圆只有一个公共点,它包括内切与外切两种情况.
二、两圆的连心线
1. 定义:通过两圆圆心的直线叫做连心线.
2. 性质:⑴ 如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上; ⑵ 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.
三、两圆的公切线
1. 定义:和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线.
外公切线:两个圆在公切线同侧时,这样的公切线叫做外公切线; 内公切线:两个圆在公切线两侧时,这样的公切线叫做内公切线. 2. 公切线条数与两圆的位置关系
⑴ 若两圆外离,则外公切线条数为2,内公切线条数为2,公切线总数为4; ⑵ 若两圆外切,则外公切线条数为2,内公切线条数为1,公切线总数为3; ⑶ 若两圆相交,则外公切线条数为2,内公切线条数为0,公切线总数为2; ⑷ 若两圆内切,则外公切线条数为1,内公切线条数为0,公切线总数为1; ⑸ 若两圆内含,则外公切线条数为0,内公切线条数为0,公切线总数为0;
3. 性质:⑴ 若两圆有两条外(内)公切线,并且相交,则两圆的连心线必经过交点且平分这两条公切线
的夹角;
⑵ 若两圆外切,则两圆的连心线垂直两圆的内公切线;若两圆内切,则两圆的连心线垂直两圆
的外公切线.
特别地,若两圆为等圆,则它的两条外公切线均与连心线平行. 4. 公切线的长:公切线上两个切点的距离叫做公切线的长.
5. 公切线长定理:两圆的两条外公切线的长相等,两条内公切线的长也相等.
板块六:与圆有关的计算
设⊙O的半径为R,n?圆心角所对弧长为l, 1. 弧长公式:l?
nπR
180
n1πR2?lR 3602
2. 扇形面积公式:S扇形?
3. 圆柱体表面积公式:S?2πR2?2πRh
4. 圆锥体表面积公式:S?πR2?πRl(l为母线) 常见组合图形的周长、面积的几种常见方法:
① 公式法;② 割补法;③ 拼凑法;④ 等积变换法
范文五:圆的相关知识点
圆的相关知识点
一、 圆的相关概念
圆心: 半径: 弦:
直径: 劣弧: 优弧:
,BOD圆心角: 所对的弦是: ,AOB所对的弧是: 弦AC所对的弧是:
弦AC所对的圆心角是: 所对的弦是: BD
所对的圆心角是: BD
B
D
O
A
C 二、 圆的有关性质
复习知识:什么是中心对称图形,常见的中心对称图形有哪些,
什么是轴对称图形,常见的轴对称图形有哪些,
1、圆是旋转对称图形,即 特别地,圆是中心对称图形,
2、圆是轴对称图形,任意一条 是它的对称轴,直径EF是对称轴吗,
直线AB,CD是对称轴吗,这个圆的对称轴有多少条,如图一
DCA
Oj
F
EB
CAB
图一 图二
三、弦、弧、圆心角三者之间的关系(图二)
1、若弦AB=弦CB,则:
2、若, 则: CBAB,
,,,AOBCOB3、若,则:
四、几个定理
1、 垂径定理:垂直于弦的直径(或 )平分这条弦
条件:在圆O中,直径AB 弦CD于E
结论:
2、垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧。
分析:找出弦AB所对的两条弧是:
条件:在圆O 中,直径CD 弦AB
结论: 与 被平分,即
3、圆的两条平行弦所夹得两条弧相等。
分析:AB与CD所夹的两条弧是:
条件:在圆O 中,AB CD
结论:
CA
OOO
C
EDj
ABBCD
DAB
( 第1题) (第2题) (第3题)
01,,,21,,,,,1(计算: 2(计算:(3)2。 92,,,,,2,,,
20103,:,272sin30()3、计算: 4、计算: 22(+-++- π2009)2sin45,51
1 005、计算:( 6、计算:2010,||,sin30?( 42tan45(,,,?π6)2
.
01,-1011骣3,,,,1??7、计算: 8、计算:. ,,,,,,22,,8122sin60tan60 ++--鞍?,,,,???桫232,,,,
1,,1111,,,,,039、计算:( 10、.计算:( 2tan60(1)12,5,,8,,,,,,,,,235,,,,
1 ,1201020100,:1011、计算:2,0.25×4,(,),sin30?(12、计算: ,23tan30(2010),,, ,3
122313、解方程:, 14 解分式方程:。 ,xx,1xx,3
351(1)x,,??,4x,15、解方程:,,1 15、解不等式组: ,1x,2x,23(2),,xx?,,2
16( 17
aby,3518、化简:化简: ,,,(2)y++1482yy,,abba-- 19、
,,yx1120、化简: 21、先化简再求值:, 其中x=2. 1,,-,,222yxyx,,xxx--1,,
2a1122、先化简,再求值:,其中. ,a,2a,42,a2
2a-1a,412,,aa,,023、先化简再求值:,其中满足。 a22a,2a,2a,1a,1
1a11 24、先化简,再求值:a(4,),,,其中a,(a2,aa,23
2aab,0,,,,abb?tan60,25、先化简,再求值:其中ab,,13,(,, ab,
x-44x26、先化简,再求值: +?,其中x=. 22x-2x-2xx-4+4
12227(先化简,再求值:,其中( ()()()2abababa,,,,,ab,,,3,3
2xx,,44x,528、先化简再求值:,其中( ()x,,xx,,33
2a,11,,,1,29(先化简,再求值:,其中a,,1 ,,aa,2,1,,
a,1330(先化简,再计算:(1,)?,其中a,2,3( 2a,2a,4