范文一:高中数学定理公式大全
抛物线:y = ax *+ bx + c
就是 y 等于 ax 的平方加上 bx 再加上 c
a > 0时开口向上
a <>
c = 0时抛物线经过原点
b = 0时抛物线对称轴为 y 轴
还有顶点式 y = a (x+h) * + k
就是 y 等于 a 乘以(x+h)的平方 +k
-h 是顶点坐标的 x
k 是顶点坐标的 y
一般用于求最大值与最小值
抛物线标准方程 :y^2=2px
它表示抛物线的焦点在 x 的正半轴上 , 焦点坐标为 (p/2,0) 准线方程为 x=-p/2
由于抛物线的焦点可在任意半轴 , 故共有标准方程 y^2=2px y^2=-2px x^2=2py x^2=-2py 圆:体积 =4/3(pi) (r^3)
面积 =(pi)(r^2)
周长 =2(pi)r
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b )是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
(一)椭圆周长计算公式
椭圆周长公式:L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭 圆长半轴长(a )与短半轴长(b )的差。
(二)椭圆面积计算公式
椭圆面积公式:S=πab
椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a )与短半轴长(b )的 乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率 T ,但这两个公式都是通过椭圆周率 T 推导演变而来。常数为体,公式为用。
椭圆形物体 体积计算公式椭圆 的 长半径 *短半径 *PAI*高
三角函数:
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota
cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0
cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及
sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2
tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式:
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)
tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式:
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式:
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))
cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式:
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))
cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式:
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))
cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tan A^8)
九倍角公式:
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))
tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*t anA^6+9*tanA^8)
十倍角公式:
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA ^4))
cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))
tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tan A^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
·万能公式:
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB
cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB -cotA+cotBsin(A+B)/sinAsinB
某些数列前 n 项和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+…n^3=(n(n+1)/2)^2 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3
正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注:其中 R 表示三角形的外接圆半径
余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注:角 B 是边 a 和边 c 的夹角
乘法与因式分 a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)
三角不等式 |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b
|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|
一元二次方程的解 -b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a
根与系数的关系 x1+x2=-b/a x1*x2=c/a 注:韦达定理
判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根
b2-4ac>0 注:方程有两个不相等的个实根
b2-4ac<0>0>
公式分类 公式表达式
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b )是圆心坐标
圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0
抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py
直棱柱侧面积 S=c*h 斜棱柱侧面积 S=c'*h
正棱锥侧面积 S=1/2c*h' 正棱台侧面积 S=1/2(c+c')h'
圆台侧面积 S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l 球的表面积 S=4pi*r2
圆柱侧面积 S=c*h=2pi*h 圆锥侧面积 S=1/2*c*l=pi*r*l
弧长公式 l=a*r a 是圆心角的弧度数 r >0 扇形面积公式 s=1/2*l*r
锥体体积公式 V=1/3*S*H 圆锥体体积公式 V=1/3*pi*r2h
斜棱柱体积 V=S'L 注:其中 ,S' 是直截面面积, L 是侧棱长
柱体体积公式 V=s*h 圆柱体 V=pi*r2h
图形周长 面积 体积公式
长方形的周长 =(长 +宽) ×2
正方形的周长 =边长 ×4
长方形的面积 =长 ×宽
正方形的面积 =边长 ×边长
三角形的面积
已知三角形底 a ,高 h ,则 S =ah/2
已知三角形三边 a,b,c, 半周长 p, 则 S =√[p(p - a)(p - b)(p - c)] (海伦公式) (p=(a+b+c) /2)
和:(a+b+c)*(a+b-c)*1/4
已知三角形两边 a,b, 这两边夹角 C ,则 S =absinC/2
设三角形三边分别为 a 、 b 、 c ,内切圆半径为 r
则三角形面积 =(a+b+c)r/2
设三角形三边分别为 a 、 b 、 c ,外接圆半径为 r
则三角形面积 =abc/4r
已知三角形三边 a 、 b 、 c, 则 S =√{1/4[c^2a^2-((c^2+a^2-b^2)/2)^2]} (“ 三斜求积 ” 南宋秦 九韶)
| a b 1 |
S △ =1/2 * | c d 1 |
| e f 1 |
【 | a b 1 |
| c d 1 | 为三阶行列式 , 此三角形 ABC 在平面直角坐标系内 A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里 AB C
| e f 1 |
选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取, 因为这样取得出的结果一般都为正值, 如果不 按这个规则取, 可能会得到负值,但不要紧, 只要取绝对值就可以了, 不会影响三角形面积 的大小!】
秦九韶三角形中线面积公式 :
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3
其中 Ma,Mb,Mc 为三角形的中线长 .
平行四边形的面积 =底 ×高
梯形的面积 =(上底 +下底) ×高 ÷2
直径 =半径 ×2 半径 =直径 ÷2
圆的周长 =圆周率 ×直径 =
圆周率 ×半径 ×2
圆的面积 =圆周率 ×半径 ×半径
长方体的表面积 =
(长 ×宽 +长 ×高+宽 ×高) ×2
长方体的体积 =长 ×宽 ×高
正方体的表面积 =棱长 ×棱长 ×6
正方体的体积 =棱长 ×棱长 ×棱长
圆柱的侧面积 =底面圆的周长 ×高
圆柱的表面积 =上下底面面积 +侧面积
圆柱的体积 =底面积 ×高
圆锥的体积 =底面积 ×高 ÷3
长方体(正方体、圆柱体)
的体积 =底面积 ×高
平面图形
名称 符号 周长 C 和面积 S
正方形 a — 边长 C =4a
S =a2
长方形 a 和 b -边长 C =2(a+b)
S =ab
三角形 a,b,c -三边长
h -a 边上的高
s -周长的一半
A,B,C -内角
其中 s =(a+b+c)/2 S =ah/2
=ab/2?sinC
=[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2
=a2sinBsinC/(2sinA)
1 过两点有且只有一条直线
2 两点之间线段最短
3 同角或等角的补角相等
4 同角或等角的余角相等
5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直
6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短
7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行
9 同位角相等,两直线平行
10 内错角相等,两直线平行
11 同旁内角互补,两直线平行
12两直线平行,同位角相等
13 两直线平行,内错角相等
14 两直线平行,同旁内角互补
15 定理 三角形两边的和大于第三边
16 推论 三角形两边的差小于第三边
17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180°
18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余
19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21 全等三角形的对应边、对应角相等
22边角边公理 (sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等
23 角边角公理 ( asa)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等
24 推论 (aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
25 边边边公理 (sss) 有三边对应相等的两个三角形全等
26 斜边、直角边公理 (hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上
29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角)
31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60°
34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等 (等角对等边)
35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形
36 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形
37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半
38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形
43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称, 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定 理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分, 那么这两个图形关于这条 直线对称
46勾股定理 直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系 a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角 形是直角三角形
48定理 四边形的内角和等于 360°
49四边形的外角和等于 360°
50多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2) ×180°
51推论 任意多边的外角和等于 360°
52平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等
53平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等
54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等
55平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分
56平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
57平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
58平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形
59平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形
60矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角
61矩形性质定理 2 矩形的对角线相等
62矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形
63矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形
64菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等
65菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
66菱形面积 =对角线乘积的一半,即 s=(a×b ) ÷2
67菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形
68菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
69正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等
70正方形性质定理 2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一 组对角
71定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的
72定理 2 关于中心对称的两个图形, 对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图 形关于这一点对称
74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等
75等腰梯形的两条对角线相等
76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形
77对角线相等的梯形是等腰梯形
78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线 上截得的线段也相等
79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边
81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 l=(a+b) ÷2 s=l×h
83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d
84 (2)合比性质 如果 a /b=c/d, 那么 (a±b) /b=(c±d) /d
85 (3)等比性质 如果 a /b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0), 那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)= a /b
86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线) , 所得的对应线段成比 例
88 定理 如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线) 所得的对应线段成比例, 那么 这条直线平行于三角形的第三边
89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例
90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线) 相交, 所构成的三角形 与原三角形相似
91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(asa )
92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas )
94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(sss )
95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直 角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
96 性质定理 1 相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比
98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等
于它的余角的正弦值
100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值, 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
101圆是定点的距离等于定长的点的集合
102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
104同圆或等圆的半径相等
105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线
107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。
110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
111推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
112推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等
113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形
114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦 心距相等
115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
117推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等 118推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所 对的弦是直径
119推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
121①直线 l 和⊙ o 相交 d <>
②直线 l 和⊙ o 相切 d=r
③直线 l 和⊙ o 相离 d >r
122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径
124推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
125推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角
127圆的外切四边形的两组对边的和相等
128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的
两条线段的比例中项
132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割
线与圆交点的两条线段长的比例中项
133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等
134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
135①两圆外离 d >r+r ②两圆外切 d=r+r
③两圆相交 r-r ④两圆内切 d=r-r(r>r) ⑤两圆内含 d 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139正 n 边形的每个内角都等于(n-2) ×180°/n 140定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141正 n 边形的面积 sn=pnrn/2 p表示正 n 边形的周长 142正三角形面积 √3a /4 a表示边长 143如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此 k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2) (k-2)=4 144弧长计算公式:l=nπr/180 145扇形面积公式:s 扇形 =nπr2/360=lr/2 146内公切线长 = d-(r-r) 外公切线长 = d-(r+r) 147等腰三角形的两个底脚相等 148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 149如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 150三条边都相等的三角形叫做等边三角形 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短 7 平行公理 经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行,这两条直线也互相平行 9 同位角相等,两直线平行 10 内错角相等,两直线平行 11 同旁内角互补,两直线平行 12两直线平行,同位角相等 13 两直线平行,内错角相等 14 两直线平行,同旁内角互补 15 定理 三角形两边的和大于第三边 16 推论 三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 18 推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 (sas) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理 ( asa) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论 (aas) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理 (sss) 有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 (hl) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点,在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角) 31 推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33 推论 3 等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于 60° 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等, 那么这两个角所对的边也相等 (等角对等边) 35 推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 推论 2 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中,如果一个锐角等于 30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 定理 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 定理 1 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 定理 2 如果两个图形关于某直线对称, 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44定 理 3 两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上 45逆定理 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分, 那么这两个图形关于这条 直线对称 46勾股定理 直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和、等于斜边 c 的平方,即 a^2+b^2=c^2 47勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长 a 、 b 、 c 有关系 a^2+b^2=c^2 ,那么这个三角 形是直角三角形 48定理 四边形的内角和等于 360° 49四边形的外角和等于 360° 50多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于(n-2) ×180° 51推论 任意多边的外角和等于 360° 52平行四边形性质定理 1 平行四边形的对角相等 53平行四边形性质定理 2 平行四边形的对边相等 54推论 夹在两条平行线间的平行线段相等 55平行四边形性质定理 3 平行四边形的对角线互相平分 56平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角 61矩形性质定理 2 矩形的对角线相等 62矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形 63矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形 64菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等 65菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角 66菱形面积 =对角线乘积的一半,即 s=(a×b ) ÷2 67菱形判定定理 1 四边都相等的四边形是菱形 68菱形判定定理 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69正方形性质定理 1 正方形的四个角都是直角,四条边都相等 70正方形性质定理 2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一 组对角 71定理 1 关于中心对称的两个图形是全等的 72定理 2 关于中心对称的两个图形, 对称点连线都经过对称中心, 并且被对称中心平分 73逆定理 如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图 形关于这一点对称 74等腰梯形性质定理 等腰梯形在同一底上的两个角相等 75等腰梯形的两条对角线相等 76等腰梯形判定定理 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77对角线相等的梯形是等腰梯形 78平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在其他直线 上截得的线段也相等 79 推论 1 经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰 80 推论 2 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边 81 三角形中位线定理 三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半 82 梯形中位线定理 梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半 l=(a+b) ÷2 s=l×h 83 (1)比例的基本性质 如果 a:b=c:d,那么 ad=bc 如果 ad=bc,那么 a:b=c:d 84 (2)合比性质 如果 a /b=c/d, 那么 (a±b) /b=(c±d) /d 85 (3)等比性质 如果 a /b=c/d=…=m/n (b+d+…+n≠0), 那么 (a+c+…+m)/(b+d+…+n)= a /b 86 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例 87 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边 (或两边的延长线) , 所得的对应线段成比 例 88 定理 如果一条直线截三角形的两边 (或两边的延长线) 所得的对应线段成比例, 那么 这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例 90 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线) 相交, 所构成的三角形与 原三角形相似 91 相似三角形判定定理 1 两角对应相等,两三角形相似(asa ) 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(sas ) 94 判定定理 3 三边对应成比例,两三角形相似(sss ) 95 定理 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直 角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 96 性质定理 1 相似三角形对应高的比, 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比 98 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等 于它的余角的正弦值 100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值, 任意锐角的余切值等于它的余角的正切值 101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是着条线段的垂直平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线 109定理 不在同一直线上的三点确定一个圆。 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论 1 ①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧 ②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧 ③平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧 112推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦 心距相等 115推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组 量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧也相等 118推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角 121①直线 l 和⊙ o 相交 d <> ②直线 l 和⊙ o 相切 d=r ③直线 l 和⊙ o 相离 d >r 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线 平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等 131推论 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积 相等 134如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上 135①两圆外离 d >r+r ②两圆外切 d=r+r ③两圆相交 r-r ④两圆内切 d=r-r(r>r) ⑤两圆内含 d 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成 n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 ⑵经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n 边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆 139正 n 边形的每个内角都等于(n-2) ×180°/n 140定理 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141正 n 边形的面积 sn=pnrn/2 p 表示正 n 边形的周长 142正三角形面积 √3a /4 a 表示边长 143如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角,由于这些角的和应为 360°,因此 k×(n-2)180°/n=360°化为(n-2) (k-2)=4 144弧长计算公式:l=nπr/180 145扇形面积公式:s 扇形 =nπr2/360=lr/2 146内公切线长 = d-(r-r) 外公切线长 = d-(r+r) 147等腰三角形的两个底脚相等 148等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 149如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等 150三条边都相等的三角形叫做等边三角形 韦达定理公式: 一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中 设两个根为x和y 则x+y=-b/a xy=c/a 韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个 n次方程?AiX^i=0 它的根记作X1,X2…,Xn 我们有 ?Xi=(-1)^1*A(n-1)/A(n) ?XiXj=(-1)^2*A(n-2)/A(n) … ?Xi=(-1)^n*A(0)/A(n) 其中?是求和,?是求积。 如果一元二次方程 在复数集中的根是,那么 法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。 由代数基本定理可推得:任何一元 n 次方程 在复数集中必有根。因此,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积: 其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。 定理的证明 设,是一元二次方程 的两个解,且不妨令。根据求根公式,有 , 所以 , 高中数学概念、公式、定理汇编 函数 一.函数的单调性与奇偶性 1. 如果函数y=f(x)的定义域是关于原点对称的, 则 奇函数<===> f(-x)= -f(x) <===> f(x)+f(-x)=0; 偶函数<===> f(-x)=f(x) <===> f(x) -f(-x)=0. 2. 在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数; 两个偶函数的乘积是偶函数; 一个奇函数与一个偶函数的乘积是奇函数; 3. 研究函数的单调性, 首先必须弄清它的定义域; 4. 判断函数单调性的基本方法是:1、定义法,2、导数法, 5. 用复合函数的单调性质判断函数的单调性, 首先必须弄清复合关系, 再用" 同增(或同减) 者增; 一增一减、一减一增者减". 二. 一次函数、二次函数 1. 一次函数的标准形式是:y=kx+b(k≠0), 图象是直线, 当k>0时, 单调递增; 当k<0时, 单调递减;="" 当b="0时," 直线过原点,="" 称之为正比例函数,="">0时,> 2. 二次函数的标准形式是:y=ax2+bx+c(a≠0), 其图象是开口向上(或下) 的抛物线, 对称 轴是x=- b 2a , 顶点坐标是O' (- b 2a , 4ac -b ). 4a 2 3. 求二次函数表达式的方法主要是待定系数法, ① 标准形式(一般形式):y=ax2 +bx+c(a≠0). ② 顶点式:y =a (x -h ) 2+k , 其中顶点坐标为(h , k ) . ③ 两点式: y=a(x-x 1 )(x-x 2), 其中x 1 ,x 2为图象与x 轴交点的横坐标. 三. 幂函数、指函数、对数函数 α 1. 幂函数的标准形式是:y =x (其中x 是自变量, α为常数), ①当α为正有理数时, 图象过(0,0)和(1,1)两个点, 在x >0时, 单调递增; 当α为负有理数时, 图象都过(1,1)一个点, 在x >0时单调递减; ②所有幂函数的图象都不经过第四象限; 2. 指数函数的标准形式是: y=ax (a>0且a ≠1), 定义域为R, 值域为(0, +∞); a> 1时, 单调递增;0 3. 对数函数的标准形式是: y=loga x (a>0且a ≠1), 定义域为(0, +∞), 值域为R; a>1时, 单调递增;0 4. 对数恒等式 a log a N =N 换底公式 log b N = log a N log a b 5.对数运算法则 l o g M (N =) a m l o g b =a n l a o g M +l o b g a g l o N g l o a a M N = l o M g -a l a N o g m n + 6.指数幂运算法则 a m a n =a m n (ab ) n =a n b n (a m ) n =a m n 四. 函数图象 1、函数作图的一般步骤: (1)确定函数定义域;化简函数,分析函数,确定作图方法。 (2)分析函数的性质,如奇偶性、对称性、单调性等。 (3)确定函数图象的关键点,如曲线的顶点、端点、与坐标轴的交点等;确定函数图 象的关键线,如对称轴、渐近线等。 2、函数作图的常用方法: (1)运用基本函数的图象作图; (2)视函数为方程作图; (3)变换作图; 平移变换:y =f (x ) 的图象向左平移a (a>0)个单位,向上平移b (b>0)个单位得 y =f (x +a ) +b 的图象;y =f (x ) 的图象向右平移a(a>0)个单位,向下平移b (b>0)个单位得y =f (x -a ) -b 的图象。 伸缩变换:y =f (x ) 的图象上各点纵坐标变为b (b>0)倍, 横坐标变为原来的k(k>0)倍,所 得图象的函数解析式为y 对称变换: (1).函数y=f(x)的图象与它的反函数y=f -1 =bf ( 1k x ) 。 (x ) 的图象关于y=x对称; (2).函数y=f(x)的图象分别与y=-f(x)、y=f(-x) 、y=-f(-x) 的图象关于x 轴、y 轴、坐标 原点对称, (3).函数y=|f(x)|的图象是保留y=f(x)的图象在x 轴上方(包括x 轴上的点) 的部分, 再加上 把y=f(x)的图象在x 轴下方的部分关于x 轴对称得到的图形. (4).y=f(|x |) 的图象是在x ≥0时的区间上y=f(x)的图象, 再加上在x<0的区间上将右边的 图形关于y="">0的区间上将右边的> (5)对于函数y=f(x): 若对定义域內的每个x 值,都有f(a+x)=f(a-x) 或f(2a-x)=f(x) , 则f(x)的图象关于直线x=a对称; 若对定义域內的每个x 值,都有 f(a+x)+f(a-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b ,则f(x)的图象关于点(a,b) 对称; 函数y=f(x-a) 与函y=f(a-x) 的图象关于直线x= a 对称; 函数y =f (a +x )与函数y =f (a -x )的图象关于直线x =0对称. 五. 函数的值域或最值 1.求函数的值域(最值), 必须重视函数的定义域, 解应用问题时, 在目标函数后必须写清定义域; 2.求函数的值域(或最值) 的常用方法主要是: (1)直接观察; (2)用二次函数的最值公式; (3)用实系数一元二次方程的根的判别式; (4)求反函数的定义域; (5)配方法; (6)利用已知基本初等函数的值域, 如:|sinx |≤1, a x >0(a>0且a ≠1) 等; (7)用均值不等式(注意:正, 定, 等三条缺一不可); (8)用已知函数的单调性求, 如:二次函数, 三角函数, 函数y=ax+ b x (a>0,b>0,x>0)在(0, b a ) 上单调递减, 在 ∞) 上单调递增,(需证); (9)换元法. 有代数换元和三角换元两 种, 前者要注意新元的范围, 后者要使变元(角) 的范围最小; (10)数形结合, 注意发现条件和目 标函数隐含的几何意义. 六、函数与方程 1.方程f (x ) =0有实数根?函数y =f (x ) 的图象与x 轴有交点?函数y =f (x ) 有零 点。 2.零点存在性定理:函数在区间[a , b ]上的图象是连续的,且f (a ) f (b ) <0,那么函数 在区间[a="" ,="" b="">0,那么函数> 三角函数 一、基础知识要点 1.角的概念 (1)角度与弧度的互化: 1°= π 180 弧度← →1弧度 = 12 180π (2)弧长公式:l = │α│r ;扇形面积公式: s = l r =│α│r 2 2 1 (3)所有与α终边相同的角β都可以写成β=α+ k ·360°(k ∈Z) 或β = α+ 2k π(k ∈Z) 的形式. 2.三角函数定义: 任意角α终边上的一点P(x,y)到原点的距离为r(r>0) , 则 sin α= y r cos α= x r tan α= y x sin αcos α 3.同角三角函数基本关系式: tan α= sin 2α+cos2α=1 4.诱导公式:sin(π+α)=-sin α cos(π+α)=-cos α tan(π+α)= tanα sin(π-α)= sinα cos(π-α)=-cos α tan(π-α)=-tan α sin(-α)=-sin α cos(-α)= cosα tan(-α)=-tan α sin(2π-α)=-sin α cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tan α sin( π 2 -α)=cosα cos( π 2 -α)=sinα sin( π 2 +α)=cosα cos( π 2 +α)=-sin α 5.两角和与差的三角函数: sin(α±β)=sinαcos β±cos αsin β cos(α±β)=cosαcos β sin αsin β tan α+tan β1-tan αtan β tan α-tan β1+tan αtan β tan(α+β)= tan(α-β)= 6.二倍角的三角函数: sin2α=2sinαcos α cos2α=costan2α= 2tan α1-tan α 2 2 α-sin 2 α=2cos 2 α-1=1-2si n 2 α 22 a +b sin(α+?) 8.化一个角的一个三角函数公式: a sin α+b cos α= 其中的辅助角?所哪个象限由点(a ,b) 的象限决定, ?的值由tan ?=b a 确定. Z,n ≠0) (2)周期: y = Asin(ωx+ψ)+m及y = Acos(ωx+ψ)+m的周期T = 2π |ω| y = Atan(ωx+ψ)+m的周期T = π|ω| (3)三角函数的变换作图. 主要掌握以下几种基本变换: ψ个单位 y = sinx?向左平移??→y = sin(ωx+ψ) (ω>0) ??????→ y = sin(x+ψ) ????????ω 纵不变横扩大为原来 1 倍 ω y = sinx????????ω??→ y = sin(ωx) ?????→ y = sin(ωx+ψ) (ω>0) 纵不变横变为原来的 1 倍向左平移 ψ 二、解三角形 1. 三角形内角和 A+B+C=π ; 2. 有关斜三角形的几个结论 (1)正弦定理: (2)余弦定理:c a sin A 2 = b sin B 2 = c sin C =2R . a 2 =a 2 +b -2ab cos C ?cos C = +b 2 -c 2 2ab >c 2 由此可知:当a 2 (3) 面积公式: S = +b 12 2 <> 2 时 C > 90° ; 当a 2 12 +b 2 时 C <> absinC = bcsinA = 12 acsinB= 不等式 一.不等式性质 1.对称性 a>b ? bb , b>c ? a>c 3.加法 a>b? a+c>b+c a>b , c>d ?a+c>b+d 4.乘法 a>b , c>0 ?ac>bc a>b , c<0>0> ?7.倒数 a>b , ab>0 ? 1a <> > 二.均值不等式(基本不等式) 1.a ,b ∈R ?a 2+b2≥2ab 2.a ,b ∈R +?a+b≥ (当且仅当 a = b 时 , 取等号) 3.a ,b ,c ∈R +? a 3+b3+c3≥3abc 4.a ,b ,c ∈R +?a+b+c≥ (当且仅当 a = b=c 时 , 取等号) 5.a ,b ∈R ?三. 绝对值不等式 1.x a ? x>a 或 x<-a (a="">0) + 2ab a +b ≤≤ a +b 2 ≤ (当且仅当 a = b 时 , 取等号) 七.不等式的解法 1.一元一次不等式 ,一元二次不等式 ax +bx +c >0(a >0) 解集为{x 2 2 ( 其中x 1 2.指数不等式的解法: 当a.>1时 , a 当0 f (x ) >a >a g (x ) ?f (x ) >g (x ) ; ?f (x ) f (x ) g (x ) 3.对数不等式的解法: f (x) >0 当a.>1时 ,log a f (x ) >log a g (x ) ? g (x) >0 f (x) > g (x) f (x) >0 当0log a g (x ) ? g (x) >0 f (x) < g=""> 6.注意换元法在解不等式中的运用:如解不等式 (loga x) 2+3 loga x -4 > 0 数列 一.等差数列、等比数列 1.定义和等价形式 等差数列:a n -a n -1=d (n≥2) , a n +1-a n =a n -a n -1 (n≥2) , a n =An +B 2 , S n =an +bn 等比数列: a n a n -1 =q (n ≥2) , a n +1a n = a n a n -1 (n ≥2) 2.通项与求和公式 a n =a 1+(n -1) d a n =a 1q n (n -1) 2 d n -1 n 等差数列: S n = n (a 1+a n ) 2 =na 1+ 等比数列:s n = a 1(1-q ) 1-q (q ≠1) s n =na 1(q =1) 3.等差中项A =4.性质 等差数列: a +b 2 等比中项G =(1)a n =a m +(n -m ) d (2)m + n = p + q ?a n +a m =a p +a q (3)s m , s 2m -s m , s 3m -s 2m 也成等差数列 (4)若{an } , {bn }是等差数列,S n ,T n 分别为{an } , {bn }的前n 项和, 则 等比数列: (1)a n =a m q n -m (2)m + n = p + q ?a n a m =a p a q (3)s m , s 2m -s m , s 3m -s 2m 也成等比数列 一. 一般数列的前n 项和与通项的关系式 ?S 1 (n=1) a n =? S n =a 1+a 2+a 3+ +a n ?S n -S n -1 (n≥2) a m b m =S 2m -1T 2m -1 二. 一般数列的前n 项和求法 (1)公式法 ①分解为等差数列或等比数列,分组求和 ②利用已知公式,如1+2+3+ +n = 2 2 2 2 16 n (n +1)(2n +1) 13+23+33+ +n 3=(1+2+3+ +n ) 2 (2)裂项法求和: 适用于通项是分式形式的数列; 如:a n = 1n (n +1) =1n - 1n +1 ; a n = n + 1n +1 =n +1-n ; a n = n (n +1)! = 1n ! - 1(n +1)! (3)错位相减法求和:适用于通项a n =bn ·c n , 其中{bn}是等差数列,{cn}是等比数列; 如:求数列? ?2n -1? ?n ?2? 的前n 项和 解析几何 一. 直线 1、 数轴上两点间距离公式:AB =x B -x A 2、 直角坐标平面内的两点间距离公式:P 1P 2=(x 1-x 2) +(y 1-y 2) 22 3、 若点P 1(x 1, y 1) ,P 2(x 2, y 2) ,P (x , y ) ,点P 分有向线段P 1P 2成定比λ,则: λ= x -x 1x 2-x = y -y 1y 2-y ; x = x 1+λx 21+λ y = y 1+λy 21+λ 4、直线斜率的定义式为k =tan α,两点式为k =5、直线方程的几种形式: y 2-y 1x 2-x 1 点斜式:y -y 0=k (x -x 0) , 斜截式:y =kx +b 两点式:截距式: x a y b =1 一般式:Ax +By +C =0 y -y 1y 2-y 1 = x -x 1x 2-x 1 + 7、点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0的距离: d = Ax 0+By 0+C A +B 2 2 C 1-C 2A +B 2 2 8、两条平行线l 1:Ax +By +C 1=0,l 2:Ax +By +C 2=0的距离是d =二.圆 圆的标准方程是:(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ( r >0 ) 圆的一般方程是:x +y +Dx +Ey +F =0(D +E -4F >0) D 2 2 2 2 2 其中,半径是r = 三.圆锥曲线 +E 2 2 -4F ,圆心坐标是 - ? ?D 2 ,- E ? ? 2? 1、椭圆的定义:(1)|M F 1|+|M F 2|=2a (2a >|F 1F 2|) (2) x a 22 |M F |d =e (0<><> 2、椭圆标准方程的两种形式是: 22 22 + y b 22 =1和 y a 22 + x b 22 =1 (a >b >0) 。 3、椭圆 c a x a + y b =1(a >b >0) 的焦点坐标是(±c ,0) ,准线方程是x =± 2 2 a 2 c ,离心率是 e = ,其中c =a -b 2 5、双曲线的定义:(1)||M F 1|-|M F 2||=2a (0<2a>2a><|f 1f="" 2|)="" (2x="">|f> 22 |M F |d =e (e>1) 6、双曲线标准方程的两种形式是:- y b 22 =1和 y a 22 - x b 22 =1 (a >0,b >0) 7、双曲线 x a 22 - y b 22 =1的焦点坐标是(±c ,0) ,准线方程是x =± b a 22 a 2 c ,离心率是e = c a , 渐近线方程是y =± x a 22 x ,其中c 2 =a +b 22 9、与双曲线- y b =1共渐近线的双曲线系方程是 |M F |d x a 22 - y b 22 =λ(λ≠0) 10、抛物线的定义:=1 ( 抛物线的离心率e = 1 ) 11、抛物线标准方程的四种形式是: (p>0 ) y =2px y =-2p x x =2p y x =-2p y 12、抛物线y 2=2px 的焦点坐标是: p ? ; ,0?,准线方程是:x =-2?2? 2 2 2 2 ?p 若点P (x 0, y 0) 是抛物线y 2=2px 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是:x 0+ p 2 ,过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦(称为通径)的长是:2p 13、若直线y =kx +b 与圆锥曲线交于两点A(x1,y 1) ,B(x2,y 2) ,则弦长为 A B = |1x -2x |x ;2 2 2 2 三. 极坐标互化公式:x =ρcos θ, y =ρs in . ρ=x +y , tan θ= y x (x ≠0) 2、圆心在点C (a ,b ) ,半径为r 的圆的参数方程是:? ?x =a +r cos α?y =b +r sin α (α是参数) 3、中心在原点焦点在x 轴上的椭圆参数方程是:?四. 求轨迹方程的常见类型及其解法 ?x =a cos θ?y =b sin θ (θ为参数) 1、 直接法:直接列方程,化简 ; 2、 定义法 :先判断轨迹是何种曲线,再求方程 ; 3、 代入法(坐标转移法):将所求轨迹上的点的坐标转移到已知曲线上; 4、 参数法:引入参数,建立参数方程 立体几何 1、 空间直线的位置关系有三种: (1) a ∥b (2)a b =A (3)a ,b 是异面直线 2、空间直线与平面的位置关系有三种: (1)a ?α (2)a α=A (3)a ∥α 3、空间两个平面的位置关系有两种:(1)α∥β (2)α β=l 七.面积与体积 1、面积公式:(c -底面周长,c '-直截面周长,h -高,h '-斜高,l -侧棱长或母线长, r -底面半径,R-球的半径) 直棱柱侧面积:S =c ?h 斜棱柱侧面积:S =c '?l 正棱锥侧面积:S =圆锥侧面积:S = 1212 c ?h ' 圆柱侧面积:S =c ?h =2πrh 12 c ?l =πrl 正棱台侧面积:S = (c 上+c 下)h / 球的表面积:S =4πR 2 圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角公式:θ= 2、体积公式: V 柱体=S ?h , V 锥体= 13 S ?h , V 台体= 13 2 r l ?2π (弧度) 13 (S 上+13 S 上S 下+S 下 2 2 )h 2 V 圆锥=V 圆柱=πr ?h 圆锥体: 特别地,: πr ?h ,V 圆台= π(r 上+r 上r 下+r 下)h V 球= 43 πr 3 复数 一. 复数的概念: 复数相等: a +bi =c +di (a , b , c , d ∈R ) ?? ?a =c ?b =d 复数的模: z =a +bi =平面向量与空间向量 1.坐标运算:设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则a ±b =(x 1±x 2, y 1±y 2) 设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1). → → → → 3.实数与向量的积的运算律: →→→→→→ ?→??→→? λ μa ?=(λμ)a , (λ+μ)a =λa +μa , λ a +b ?=λa +λb ???? 设a =(x , y ),则λa =λ(x , y )=(λx , λy ), 4.向量的数量积: 定义:a ?b =a ?b cos θ(0≤θ≤180 →→ → → →→ ) → → →→ 0?a =0. 坐标运算:设a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) , 则a ?b =x 1x 2+y 1y 2 向量b 在a 上的射影:|b |cosθ,其中θ为a 和b 的夹角 5.重要定理、公式: (1) 平面向量的基本定理 → → → →→ 如果e 1 和e 2 是同一平面内的两个不共线向量 , 那么对该平面内的任一向量a , → → → 有且只有一对实数 λ1, λ2 , 使a =λ1e 1+λ2e 2 → → → → (2) 两个向量平行(共线)的充要条件 a //b ?a =λb (λ∈R ) 设 a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则a //b ? x 1y 2-x 2y 1=0 → → →→ →→→→ (3) 两个非零向量垂直的充要条件 a ⊥b ?a ?b =0 设 a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2),则 a ⊥b ?x 1x 2+y 1y 2=0 (4) 线段的定比分点坐标公式 x 1+λx 2?x =? ?1+λ 设P (x ,y ) ,P 1(x 1,y 1) ,P 2(x 2,y 2) ,且P 1P =λPP 2 ,则? ?y =y 1+λy 2?1+λ? → → → → 概率与统计 1.等可能事件的概率 P (A )= m n (m 为A 中所含基本事件数,n 为基本事件总数) 2.若事件A 、B 为互斥事件, 则P (A+B)=P(A )+P(B ) 3.若事件A 、B 为相互独立事件, 则P (A ·B )=P(A )·P (B ) 4.若事件A 、B 为对立事件, 则P (A )+P(B )=1 一般地, p A =1-P (A ) () 导数与积分 1.定义: f ' (x )= L i ?x →0 ?y ?x =L i ?x →0 f (x +?x )-f (x ) ?x 2.函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义, 就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率. 4.几个重要函数的导数 ①C ' =0, (C 为常数) ②(x n )=nx n -1 ' ' ' (n ∈Q ) ③(sin x )=cos x ④(cos x )=-sin x ⑤(lnx )=⑦(e x ' 1x x ⑥(log a x )= x ' 1x log a e ) ' =e ⑧(a ) ' =a lna x 5.导数的四则运算法则 ①(μ±υ)=μ±υ ②(μυ ' ' ' ) ' =μυ+μυ ③( ' ' μυ ) = ' μυ-μυυ 2 ' ' 7. 导数的应用 ① 可导函数求单调区间或判断单调性的方法:使f .... f ' ' (x )>0的区间为单调增区间, 使 (x )<> ② 可导函数....f (x )求极值的步骤: ⅰ. 求导数f ⅱ. 求方程f ⅲ. 检验f ' ' (x ) (x )=0的根x 1, x 2, , x n ' (x )在方程的根的附近左右值的符号, 若左正右负, 则在这个根处取极大值, 若左负右正, 则在这个根处取极小值. 几何证明选讲 1. 平行线等分线段定理: 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。 2. 平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线,所得对应线段成比例。 3. 直角三角形射影定理: 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 4. 圆周角定理: 圆周角的度数等于它所对弧的度数一半 推论:(1)直径(或半圆)所对的圆周角是直角。 (2)同弧或等弧所对的圆周角相等。 (3)等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。 5.弦切角定理: 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 推论:弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 6.切割线定理: 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 7.相交弦定理: 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。 附:比例的几个性质 1、比例基本性质:2、反比定理:3、更比定理:4、合比定理;5、分比定理: a b a b a b a b ====a b a b a b c d c d c d c d ===c d ?ad =bc b a a c ==d c b d ????c d c d ==c +d d c -d a +b b a -b 6、合分比定理:7、分合比定理: ?? b a +b a -b a -b a +b == d c +d c -d c -d c +d 8、等比定理:若 a 1b 1 = a 2b 2 = a 3b 3 = = a n b n = ,b 1+b 2+b 3+ +b n ≠0, 则 a 1+a 2+a 3+ +a n b 1+b 2+b 3+ +b n a 1b 1 高中数学公式、定理 1. 集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2个/真子集有2–1个/非空子集有2–1个/非空的真子集有2–2个. 2. 常见结论的否定形式 n n n n 3. 偶函数 f(-x)=f(x) 奇函数f(-x)=-f(x),f(0)=0,二次项系数为0 4. 指数函数y=a (a>0,且a ≠1) 3. 对数函数y=lo g a x (a>0,且a ≠1) x 3 3 2 2 3 3 2 2 5. a +b =(a +b )(a -ab +b ) a -b =(a -b )(a +ab +b ) 6. 柱体、锥体、台体的体积公式: 1 V 柱体=S h (S 为底面积,h 为柱体高) V 锥体=Sh (S 为底面积,h 为柱体高) 3 1 V 台体=(S ’+S' S +S ) h (S ’, S 分别为上、下底面积,h 为台体高) 3 43 πR 2 球体:V 球体=R S 球体=4 3 22 7. 两点P 1(x1,y 1 ) ,P2(x2,y 2) 间的距离公式:| P1 P2|=(x 2-x 1) +(y 2-y 1) 点P 0(x0,y 0) 到直线L :Ax+By+C=0的距离:d =两平行线间的距离:d =|C 1-C 2| A 2+B 2 |Ax 0+By 0+C | A +B 2 2 222 空间两点P 1(x1,y 1, z1),P 2(x2,y 2, z2) 间的距离公式:| P1 P2|=(x 2-x 1) +(y 2-y 1) +(z 2-z 1) 8. P(x,y)关于点Q(a,b)对称,P `(2a-x,2b-y) P(x,y)关于原点O(0,0)对称,P `(-x, -y) P(x,y)关于点Q(a,y)对称,P `(2a-x, y) P(x,y)关于点Q(x,b)对称,P `(x,2b-y) 9. 向量平行的坐标表示 设a=(x 1, y 1) ,b=(x 2, y 2) ,且b ≠0,则a ∥b(b≠0) ?x 1y 2-x 2y 1=0. 10. 平面向量的坐标运算 (1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) . (2)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) . (3)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,则a ·b =(x 1x 2+y 1y 2) 11. 向量的平行与垂直 设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ,且b ≠0,则: b =0?x 1x 2+y 1y 2=0. a ∥b ?b =λa ?x 1y 2-x 2y 1=0. a ⊥b (a ≠0) ? a · 12. sin(π+α)=-sin α, cos(π+α)=-cos α, tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α, cos(π-α)=-cos α, tan(π-α)=-tan α ππππ sin(-α)=cos α, cos(-α)=sin α, sin(+α)=cos α, cos(+α)=-sin α 2222 13. cos(α-β)=cosαcos β+sinαsin β cos(α+β)=cosαcos β-sin αsin β Sin(α+β)=sinαcos β+cosαsin β Sin(α-β)=sinαcos β-cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan βtan α-tan β tan(α-β)= 1-tan αtan β1+tan αtan β 2tan α 2 1-tan α 2 sin2α=2sinαcos α cos2α=cos2α-sin 2α=2cos2α-1=1-2sin α tan2α= tan α+tanβ= tan(α+β)(1-tan αtan β) tan α-tan β= tan(α-β)(1+tan αtan β) sin 2 α1-cos αα1+cos αα1-cos α= cos 2= tan 2= 222221+cos α a a +b 2 14. 辅助角公式:asinx+bcosx=a 2+b 2( 22 sinx+ b a +b 2 2 cosx) 15. 余弦定理 c =a +b -2ab cos C a =b +c -2bc cos A b =c +a -2ac cos B 22222222 b 2+c 2-a 2c 2+a 2-b 2a 2+b 2-c 2 cos A = cos B = cos C = 2bc 2ca 2ab S = 111 ab sin C S =bc sin A S =ca sin B 222 16. 等差数列的通项公式:a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ; 等差数列的前n 项和:S n = n (a 1+a n ) n (n -1) d S n =na 1+ 22 n -1 17. 等比数列的通项公式:a n =a 1q = a 1n ?q (n ∈N *) q (q ≠1) a 1-a n q a 1(1-q n ) 等比数列的前n 项和:S n = S n = 1-q 1-q 18. 19. 21. 导数公式: 22. 推理与证明 1. 归纳推理:由部分到整体,由个别到一般 2. 类比推理:由特殊到特殊 3. 演绎推理:由一般到特殊的推理 23. 排列组合: C m n +1 =C +C m n m -1 n k n -k k 012n n T =C a b C +C +C +???+C =224. 二项式定理:k +1 二项式系数的和: n n n n n 25. 离散型随机变量的均值与方差:E (aX +b ) =aE (X ) +b D (a ξ+b D )=a ξ 2 若X 服从两点分布,则E (X ) =p ,D (X ) =p (1-p ) 若X ~B (n , p ) ,则E (X ) =np ,D (X ) =np (1-p ) -1 e 2πσ (x -μ) 22σ26. 正态分布:?μ, σ(x ) = ,X ∈(-∞, +∞) P (μ-σ 27. 统计案例:R 越大,意味着残差平方和越小拟合的效果越好;R 越接近于 1表示回归效果越好。 |r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小. 2 2 28. 极坐标和直角坐标的互化: x =ρcos θ ,y =ρsin θ ρ2=x 2+y 2,tan θ= y (x ≠0) x x =a +rcos θ, 29. 圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的参数方程可表示为?(θ为参数) . ? ?y =b +rsin θ. α, 经过点M O (x o , y o ) ,倾斜角为α的直线l 的参数方程可表示为?x =x o +t cos (t 为参数) ? ?y =y o +t sin α. 30. 基本不等式: 22 定理1:如果a , b ∈R ,那么a +b ≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立。 a +b ≥ab , 当且仅当a =b 时,等号成立。 2 a +b +c ≥abc ,当且仅当a =b =c 时,等号成立。 定理3:如果a , b , c ∈R +,那么 3 定理2:如果a , b >0,那么31. 绝对值不等式: 定理1:如果a , b ∈R ,则|a +b |≤|a |+|b |,当且仅当ab ≥0时,等号成立。 定理2:如果a , b , c ∈R ,那么|a -c |≤|a -b |+|b -c |,当且仅当(a -b )(b -c ) ≥0时,等号成立。 32. 二维式的柯西不等式: 22222 定理:若a , b , c , d ∈R ,则(a +b )(c +d ) ≥(ac +bd ) ,当且仅当ad =bc 时,等号成立。 一般形式的柯西不等式: 定理:设a 1, a 2, a 3, ?, a n ,b 1, b 2, b 3, ?, b n 是实数,则 2222 (a 12+a 2+?+a n ) (b 12+b 2+?+b n ) ≥(a 1b 1+a 2b 2+?+a n b n ) 2, 当且仅当。 高中数学常用公式定理(必修部分) 1、集合子集的个数:①n 个元素的子集有2个. ②n 个元素的真子集有2 -1个. ③n 个元素的非空真子集有2-2个. 2、集合运算:交、并、补. n n n ③指数函数y=ax (a>0且a ≠0) 交:A B ={x |x ∈A , 且x ∈B },并:A B ={x |x ∈A , 或x ∈B },补:CU A ={x |x ∈U , 且 x ?A } 5、常遇函数的图象及性质 ①一次函数y=kx+b(k≠0) ②二次函数y= ax+bx+c(a≠0) ④对数函数y=log x (a>0且a ≠0) ⑤幂函数y=x⑥三角函数正弦、余弦和正切 正弦函数y=sin x 余弦函数y=cos x 9、一元二次不等式ax 2 +bx +c (a >0)解的讨论. 正切函数y=tan x 10、三角函数的诱导公式 把 k π2 ±α的三角函数化为α的三角函数的口诀:奇变偶不变,符号 看象限。 11、三角恒等变换 (1)同角关系:①sin 2 6、单调性的判定法:①设x 1,x 2是所研究区间内任两个自变量,且x 1<x 2;②判定f(x1) 与f(x2) 的大小;③作差比较或作商比较. 7、奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:①f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;②f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;③f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)÷f(-x)=-1为奇函数. 8、指数、根式、对数的运算性质 α+cos 2α=1 = sin απ (α≠k π+, k ∈Z ) cos α2 ②tan α (2)两角和与差的正弦公式: ①sin(α②sin(α a r a s =a r +s ,(a r ) s =a rs ,(ab ) r =a r b r a =m n +β) =sin αcos β+cos αsin β(S α+β) -β) =sin αcos β-cos αsin β (S α-β) m,n 为整数且n>1) (3) 两角和与差的余弦公式: ①cos(α②cos(α a - m n = 1a m n = m,n 为整数且n>1) +β) =cos αcos β-cos αcos β(C α+β) -β) =cos αcos β+cos αcos β(C α-β) tan α+tan βtan α-tan β α-β) =②tan( 1-tan αtan β1+tan αtan β log a a =1,log a 1=0 (4) 两角和与差的正切公式: log a (M ?N ) =log a M +log a N (1) M =log a M -log a N N N α+β) =①tan( log a (5)二倍角公式: ①sin 2α=2sin αcos α ③tan 2α log a M n =n log a (±M )12) log a 1 M =log a M n =N log b N log b a = 2tan α1-tan 2α log a a 2222 ②cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α 换底公式:log a N = (6)降幂:①cos 2 α= 推论:log a b ?log b c ?log c a =1 ?log a 1a 2?log a 2a 3?... ?log a n -1a n =log a 1a n 1+cos 2α 2 ②sin 2 α= 1-cos 2α 2 (7)辅助角公式:a sin α+b cos αα+?) (ab ≠0,其中? 所在象限由a , b 的符号确定,tan ?= b a ) 12、解三角形 (1)正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R 变式: a +b +c sin A +sin B +sin C =2R , a :b :c =sin A :sin B :sin C ,a sin A b sin B b =sin B , c =sin C (2)余弦定理:①a 2 =b 2+c 2-2bc cos A ②b 2 =a 2+c 2-2ac cos B ③c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变式:cos A =b 2+c 2-a 2a 2+2bc ,cos B =c 2-b 2 2ac , cos C = a 2+b 2-c 2 2ab 。 (3)三角形的面积公式: S 1?ABC = 2ab sin C =11 2bc sin A =2 ac sin B 13、数列求和的常用方法 ①公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 ②裂项相消法:适用于??c ? ?其中{ a ?a n }是各项不为0的等 n a n +1? 差数列,c 为常数;部分无理数列、含阶乘的数列等。 ③错位相减法:适用于{a n b n }其中{a n }是等差数列,{b n }是各项不为0的等比数列。 ④倒序相加法: 类似于等差数列前n 项和公式的推导方法. 14、利用图象变换作三角函数图象. 由函数 y =s i n x 图象变换到 y =A sin(ωx +?) (其中 A >0, ω>0)的图象, 15、平面向量:非零向量:a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2) 加法:a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) ,减法:a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) 数乘向量:λa =(λx 1, λy 1) , b =|a ||b |cos 数量积:a >=x 1y 1+x 2y 2 (1) a b ⊥ ?a b =0?x 1x 2+y 1y 2=0 (2)a a =λb ∥b ??x 1y 2-x 2y 1=0 (3) a 2=|a |2即|a |= cos >=a b |a ||b | 16、几个重要不等式 (1)若a ∈R , 则 |a |≥0, a 2 ≥0 (2)a 2 +b 2≥2ab (a , b ∈R ,当仅当a=b时取等号) (3) a +b 2 . (a , b ∈R +,当仅当a=b时取等号) 极值定理:若x , y ∈R +, x +y =S , xy = P , 则: ①如果P 是定值, 那么当x=y时,S 的值最小; ②如果S 是定值, 那么当x =y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等. 17、直线的方程 ⑴两条直线平行: C :(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2. ①M 在圆C 内?(x 0-a ) +(y 0-b ) r ②M 在圆C 上?(x 0-a ) +(y 0-b ) =r ③M 在圆C 外?(x 0-a ) +(y 0-b ) r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 l 1∥l 2?k 1=k 2两条直线平行的条件是:①l 1和l 2是两条不 重合的直线. ②在l 1和l 2的斜率都存在的前提下得到的. 因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误. ⑵两条直线垂直: 两条直线垂直的条件:设两条直线l 1和l 2的斜率分别为k 1和 k 2,则有l 1⊥l 2?k 1k 2=-1这里的前提是l 1, l 2的斜率都存在; A 1B 2+A 2B 1=0是垂直的充要条件 (3)点到直线的距离公式:设点P (x 0, y 0) ,直线 l :Ax +By +C =0, P 到l 的距离为d ,则有 d = Ax 0+By 0+C A 2 +B 2 (4)两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 的距离公式: |P 21P 2|=(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) . (5)直线的倾斜角α(0°≤α<180°)、斜率: k =tan α (6)过两点P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2) 的直线的斜率公式: k =y 2-y 1x (x 1≠x 2) 2-x 1 (7)与直线:A x +By +C= 0平行的直线系方程是:A x +By +m =0.( m?R, C ≠m ). (8)与直线:A x +By +C= 0垂直的直线系方程是:B x -A y +m =0.( m?R) (9)过定点(x 1, y 1)的直线系方程是: A(x -x 1)+B(y -y 1)=0 (A,B不全为0) (10)过直线l 1、l 2交点的直线系方程:(A 1x +B1y +C1)+λ( A2x +B2y +C2)=0 (λ?R ) 注:该直线系不含l 2. 18、圆与方程 (1)圆的标准方程:以点C (a , b ) 为圆心,r 为半径的圆的标准方程是(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 . 特例:圆心在坐标原点,半径为r 的圆的方程是:x 2 +y 2 =r 2 . (2)圆的一般方程:x 2+y 2 +Dx +Ey +F =0 . 当D 2+E 2 -4F 0时,方程表示一个圆,其中圆心 C ? D D 2+E 2-4F ?-2 , -E ? 2??,半径r = 2 . 当D 2+E 2 -4F =0时,方程表示一个点?D E ? ? - 2 , -2??. 当D 2+E 2 -4F 0时,方程无图形(称虚圆). (3)点和圆的位置关系:给定点M (x 0, y 0) 及圆 (4)直线和圆的位置关系: 设圆圆C :(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 (r 0) ; 直线l : Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0) ; 圆心C (a , b ) 到直线l 的距离d =Aa +Bb +C . A 2 +B 2 ①d =r 时,l 与C 相切; 附:若两圆相切,则???x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ?? x 2+y 2+D 2x +E 2y +F ?相减为公 2=0切线方程. ②d r 时,l 与C 相交; 附:公共弦方程:设 C 1:x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 C 2:x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0有 两 个 交 点,则其公共弦方 程为 (D 1-D 2) x +(E 1-E 2) y +(F 1-F 2) =0. ③d r 时,l 与C 相离. 附:若两圆相离,则???x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0 ??x 2+y 2+D y +F ?相减为圆 2x +E 22=0 心O 1O 2的连线段的垂线方程. 由代数特征判断:方程组???(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2 ?? Ax +Bx +C =0用代入法, 得关于x (或y )的一元二次方程,其判别式为?,则: ?=0?l 与C 相切; ? 0?l 与C 相交; ? 0?l 与C 相离. 注:若两圆为同心圆则x 2 +y 2 +D 1x +E 1y +F 1=0, x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0相减,不表示直线. 转载请注明出处范文大全网 » 高中数学定理公式大全范文二:高中数学韦达定理公式
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