范文一:三角形的外角
三角形的外角
一、选择题:(每小题3分,共18分)
1.若一个三角形的一个外角小于与它相邻的内角,则这个三角形是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2.如果三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角的度数为( ) A.30° B.60° C.90° D.120°
3.已知三角形的三个外角的度数比为2:3:4,则它的最大内角的度数为( )
A.90° B.110° C.100° D.120° 4.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是( ) A.等腰直角三角形; B.一般的等腰三角形; C.等边三角形; D.等腰钝角三角形
5.如图1所示,若∠A=32°,∠B=45°,∠C=38°,则∠DFE等于( )
A.120° B.115° C.110° D.105°
A
AD
FE
5F
E
C
140?
(1) (2) (3)
6.如图2所示,在△ABC中,E,F分别在AB,AC上,则下列各式不能成立的是( )
A.∠BOC=∠2+∠6+∠A; B.∠2=∠5-∠A; C.∠5=∠1+∠4; D.∠1=∠ABC+∠4 二、填空题:(每小题3分,共18分)
1.三角形的三个外角中,最多有_______个锐角. 2.如图3所示,∠1=_______.
3.如果一个三角形的各内角与一个外角的和是225°,则与这个外角相邻的内角是____度.
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的底角为_____.
5.如图所示,∠ABC,∠ACB的内角平分线交于点O,∠ABC 的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D,∠ABC与∠ACB的相邻外角平分线交于点E,且∠A=60°, 则∠BOC=_______,∠D=_____,∠E=________.
A
D
A
(5题) (6题)
6.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°, 则∠BDC=________.
三、基础训练:(共20分)
如图所示,在△ABC中,∠A=70°,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,求∠BOC的度数.
AB
四、提高训练:(共20分)
如图所示,在△ABC中,D是BC边上一点,
∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=63°, 求∠DAC的度数.
A
4
BDC
五、中考题与竞赛题:(共4分)
(2004·吉林)如图所示,∠CAB的外角等于120°, ∠B等于40°,则∠C 的度数是_______.
C
?
120?BA
1
范文二:三角形的外角
试一试,你能行!
1.如图1,射线BA 、CA 交于点A ,连结BC ,已知AB=AC,∠B=40°,那么x 的值是( )
B
A .40° B.60° C.80° D.100°
40?
A
F
x ?
A
D
C
?
70?
a b
2 1
B
E
2.已知三角形一个外角与它的不相邻的两个内角的和为180°,那么与这个外角相邻的内角等于( ) A .30° B.60° C.90° D.120° 3.下列命题正确的是( )
A .三角形的一个外角等于该三角形的两个内角之和. B . 三角形的一个外角大于任何一个内角.
C . 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和 D .三角形的任两个外角都不可能相等.
A
4.已知,如图2,∠A =32, ∠B =45, ∠C =38, 则∠DFE 等于( ) B
A .120° B.115° C.110° D.105° 图4
5.如图3,a ∥b ,则∠A 的度数为( )
A .28° B.31° C.39° D.42° A6.如图4,已知△ABC 中,∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点P , 1
若∠A=70°,则∠P= . 2
B
图5
7.在△ABC 中,∠C 的外角是100°.其中∠A 比∠B 大25°,则∠B = . 8.如图5,△ABC 中,∠A =80°, 剪去∠A 后,得到四边形BCDE ,则∠1+∠2= . 9.等腰三角形的一个外角为110°,则它的底角为 .
10.一个三角形的两个内角分别是55°和65°,这个三角形的外角可能是 . 三、能力提升
11.如图,已知AB ∥CD, ∠1=∠F ,∠2=∠E ,试猜想AF 与DE 的位置关系, A
D
1
并证明你的结论.
12.已知,如图,∠B ,∠C 的外角平分线交于点D ,若∠A=40°,则∠D 是多 G少度?你能将它一般化吗?试证明你的结论. E
B
C
F
B
E
F
D
13.如图,在?ABC 中,AD 平分∠BAC,CD⊥AD于D. 求证:∠ACD>∠B. A
D
C
B
14.已知,如图,AD 是△ABD 和△ACD 的公共边. 求证:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C(用两种方法)
A
B
D
C
15.已知:如图,△ABC的三个内角平分线交于O 点,过O 作OE⊥BC于E .
A
求证:∠BOD=∠COE.
G
F
B
D E2
范文三:三角形的外角
开发区中学数学“自主尝试、合作互动”课堂模式 8.6三角形内角和定理(2) 新授案 学科:数学 主备人: 审核人: 时间:2014.3.11
【学习目标】:1. 认识三角形的外角,掌握三角形外角的两个性质定理和三角形外角和定理. 2.能利用三角形的外角性质解决问题。
【学习重点】:三角形外角的两个性质定理和三角形外角和定理 【学习难点】:三角形外角性质的探索过程与运用。
学习好似耕耘,汗水越多收获越多!
(3)外角与其中一个不相邻的内角之间的关系呢?定理:___________________________________ 5. 什么是推论?推论可以当定理用吗?三角形外角的两个性质定理是谁的推论?
三、巩固练习
1. 若三角形的外角中有一个是锐角,则这个三角形是________
三角形. 2.
一、知识回顾: 1. 三角形的内角和定理:
2. 证明定理时怎样添加辅助线?在右图中作出。 C
二、自主学习,合作探究: (自学课本55页第一段与议一议,完成学案1-5题)
知识点一:三角形外角的定义
1. 理解三角形的外角定义。任意画一个三角形,画出三角形的一个外角。像这样,三角形内角的一边与_______________组成的角,叫做三角形的外角。你能画出其他外角吗?在图中标注出来。 2. 三角形的外角特征:①顶点是
②一条边是_______________;另一条边是_______________ 。 知识点二:三角形外角与内角的关系:
3. 外角与相邻内角有什么关系?_______________ 。 4. 外角与不相邻的内角的关系:
(1) 如图,△ABC 中,∠A=70°,∠B=60°.∠ACD 是△ABC 的一个外角. 则∠ACD=_____.
∠ACD 与∠A ,∠B 有什么关系?
(1)题图 (2)题图
(2)如图,你能进一步说明任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角有什么关系吗?你
能用几种方法呢?相信你一定能行!
定理:________________________________________
证明:
5°
∠a=________. ∠1=________. ∠1=________.
四、知识应用
例2. 已知:如图, 在△ABC 中,AD 平分外角∠EAC, ∠B= ∠C. 求证:AD∥BC. (独立思考后,小组讨论,有几种解法?)
思考课本56页例3,俩人合作把解题思路互相说一遍。
从中你会发现什么结论?(注意:三角形的外角和是三个外角的和,一个顶点处只取一个外角)
结论: ________________________________________
如图,求证:∠BDC=∠A+∠B+∠C
五、课堂小结:本节课你有哪些收获?
知识: 能力:
本节课你还有什么困惑疑问?请写在下面,以便我们课后探讨。
范文四:三角形的外角
课题:三角形的外角
一、教材分析
教材从研究三角形的内角到研究三角形的外角,是对三角形认识的扩展和深化,推导三角形外角的性质,同前章一样,也是论证几何的启蒙,是演绎推理的演练。 二、学情分析
学生已有基础:学生已经掌握三角形内角和等于180°,平行线的性质和判定,并且初步可以用几何语言进行说理。
学生在本节课可能遇到的困难:1、外角分辨不清,2、外角性质的探究过程 3、外角和的概念是指从它相邻两个外角中取一个,这样取得的三个外角相加所得的和,所以三角形的外角和是360°,而不是720°。 三、教学目标
1. 了解三角形外角的概念,掌握三角形的外角的两个性质,能利用三角形的外角性质解决简单的实际问题。
2.使学生在操作活动中探索并了解三角形外角的两个性质,能进行合情推理,得出外角和的性质。
3. 体会在实践中探索数学知识,能面对数学活动的困难,有学好数学的信心。 四、教学重点、难点
理解并掌握三角形的外角的性质
三角形外角的性质论证过程及运用于简单的实际问题解决 理解外角和的性质 五、教学过程
范文五:三角形的外角
“三角形的外角”同题课对比研究
山西省教育科学研究院 薛红霞
活动背景:2007年3月30日至4月1日,由山西省教育科学研究院中学数学组申请的山西省“是一五”教育科学规划课题“基于问题设计的中学数学课堂教学策略研究”举行了开题会.4月10日在山西省阳泉市河底中学进行了课题组第一次分片活动,参加人员是课题组负责人、阳泉市及各区、县教研员和阳泉市所有课题组实验教师,共计30余人.
此次活动采取同题课对比的形式,由实验校河底中学的两位教师事先按照课题组对“教学设计”的要求,写出教学设计,再进行课堂实践,课后研讨,在研讨的基础上修改教学设计,并写出反思.参加活动的教师围绕本节课,根据自己的发言写出相关的文章,以期积累资料、引导教研,加深对本节课的理解.按照这一要求我将完成对这两节课的点评,与大家共飨.
课堂实录:(导入)
点评1:三角形的外角这一概念,约定的成分多,探究的成分少.两位老师分别运用了不同的方法导入,体现了教学是个性化的艺术.
史老师从小明跑步转弯这个实际问题引入,即体现了数学来源于实际,同时又开门见山的直接摆出了研究对象,对比上一节课学
习过的三角形的内角,给遇到的新对象起名字叫“外角”,并很形象的要求学生“认下它的样子,在这个图形中还有其它外角吗?”这种要求即符合学生的年龄特点,同时暗含了对所研究对象从直观认识上升到抽象认识的水平,否则只是“认下”,而没有抽象出它的特点,是不可能找到“这个图形中的其它外角的”.
陈老师的导入则不同,从事物的对立统一性引入,“三角形既然有内角,是不是应该也有外角呢?”然后饶有兴趣的让学生在自己的练习本上“画出你心目中三角形的外角.”这件事我说了算吗?学生画了起来.这一活动为进一步明确概念和下定义积累了丰富的素材,并且非常有效的设置了认知冲突,体现了课堂教学的生成性.
两种导入虽然不同,但是都体现了:①注重从学生的已有经验出发,丰富学生的感性认识,为后继进行抽象概括做好准备.②数学发展的两条必然途径:从实际中来,从数学自身发展而来.
课堂实录:(定义形成)
点评2∶在定义形成过程中两位老师都做到了四点,其一是从学生的语言到规范的数学语言的形成,培养了学生的数学表达能力和抽象概括能力.其二是注重多种语言的转换,从图形语言到文字语言到符号语言及其相互转换.其三是都注重引导学生看书,充分应用教学资源,这是非常可贵的.这里需要提出注意的一点是,运用任何一种教学方法都要给学生具体可操作的指导,否则就会造成课堂教学时间的浪费.在两节课中,都出现了这种现象.在史老师的课中,老师要求:“打开书80页,把三角形外角都画出来,数数有多少?”观察
学生的做法,由学生画的是对顶角,为什么会出现这种情况,是在前面老师对读书时获得定义,到底要获得哪几条强调指导的不够.在陈老师的课中也出现了这种现象.在学生画出心目中的角后,教师的滞后评价是非常有价值的,可以让学生带着困惑、期盼去读书,获得定义,但是由于在学生读书时没有有效的指导,所以学生读完书后,陈老师出了一道题目,让学生指出图中的外角,
BC
学生回答有“∠3”,“∠1和∠2”,“∠1、∠2和∠3”组成的大角”,出现的情况和当初画自己心目中的外角时的想法一样,可见看书这一过程并没有起到它应有的作用.再者,学生在回答“∠3为什么不是?”这个问题时,绕来绕去说不到点上,原因也是因为对定义如何理解不清楚.如果教师做如下的处理可能效果会好:“外角”虽然是新概念,但“角”的概念是学生早已学过的,那么角的组成是什么呢?在此基础上,“三角形的外角”中两条边又具有什么特殊性呢?三角形的外交与内角中的“外”、“内”两个字又如何理解呢?仅仅是位置上的内外吗?这样几个问题就揭示了新旧知识之间的关系,帮助学生建立了一个良好的认知结构.其四是在课堂上,遇到学生的回答与正确答案有距离时,两位教师都能耐心的引导、启发,而不是急于告知答案.
点评3∶如何使学生的活动能深入?如何使学生对研究对象
能有一个整体的认识?如何培养学生思维的灵活性?这是一个值得研究的问题.在这节课中,其实有一个很好的契机,那就是三角形外角的概念的形成.
在陈老师的课中,有一个很好的环节,就是“画出你心目中三角形的外角”,学生的解答情况有:
此时如果按照如下方式进行教学,将更能激发认知冲突,收到更好的教学效果:①教师收集、展示学生的解答,对比分析这些角的特点,即角的两边各有什么特点,按照这些特点进行分类,共分为3类:角的两边都是三角形的边,且位于三角形外部;角的两边都是三角形边的延长线;角的一边是三角形的边,另一边是三角形边的延长线.并在不同同意三角形不同的角、不同的三角形中分析是否还有其它类型?使学生对围绕一个顶点的角有全面认识,而且通过对比能对角的概念认识深刻.②分析每一类的特点,能否划归为以前学过的知识.经过分析,发现∠3是∠ACB的对顶角,∠1+∠2+∠3+∠ACB=360O,∠2与∠1是对顶角,而且都是∠ACB的补角(这样做也将为后继性质的获得做了铺垫).都是以前学过知识的应用.这样就使新旧知识有机的联系在一起,易于巩固旧知识,理解新知识,利于定义的得出和理解,不会出现上述现象,有助于学生良好认知结构的建立.③告知概念名称,明确定义.三角形的外角这个名字是不需
要探究的直接告知就可以,但是要形成定义,从感性语言到规范多数学语言,这一点两位老师做的都挺好!
课堂实录:(性质的探究)
点评4:性质的获得,两位老师用了不同的方法,这种方法的选择与她们的导入思路是一致的.史老师用了实验猜想的办法,陈老师用了逻辑推理的办法.两种方法都很好,都能帮助学生有效的获得关于三角形外角的性质,但是如果两种方法结合起来就更好了.
在史老师的课上,她先提出问题: “与∠1不相邻的两个角∠A、∠B之间有怎样的数量关系?”并给出几组数据,让学生经过计算进行观察、猜想,用自己的语言叙述形成结论.
在陈老师的课上,当学生同过活动获得猜想后,教师按捺不住,着急的开始讲了它的证明.课后交流时,陈老师自述,在这一阶段应该进行简单的逻辑推理,(这对人教版教材的把握是很到位的,)但是由于考虑到学生证明可能比较困难,所以就自己把证明讲了.那么遇到学生可能存在困难的教师该怎么呢?包办代替肯定不是最佳选择.在交流中反思其实学生并不一定不会,其实其中的推理依据学生都已经掌握,只是可能要比教师表述上复杂,而这也正是在这一阶段应该培养的,所以此处还是要多交给学生一些任务.
在探究过程中还要注意,交给学生真正具有挑战性的、有思维深度的问题,让学生自己制订计划、进行研究,而不仅仅是让学生进行一些模仿的、演算的等等机械的劳动.这样对学生的发展是有好处的.
课堂实录:(巩固应用)
点评5:本节课中两位教师都精心选择设计了习题,首先是紧密结合本节内容设计练习,接着设计综合性较高的题目,层层递进.在陈老师的课中还设计了一道思考题:如图,⑴写出一些等式;⑵求∠1+∠2+∠3.
将作业作为进一步对课堂研究的补充,而不是单纯的复习巩固,这个题目的设计将有助于开阔学生的视野,进一步研究三角形的外角.而且在题目的解答过程中注意收集学生的解法,并对不同的解法给以评价,注重对学生简约思维能力的培养.
课堂实录:(小结)
点评6:两节课中教师的设计都有始有终,在中间定义形成、性质获得后或者在最后都进行了小结,但是小结的内容比较单一,只是对知识的罗列.今后的小结是否应该注意从如下几个方面进行:①知识的归类条理,或者结构图,以使学生能比较系统的认识,更好的理解;②其中蕴含的数学思想方法的小结,比如本节课中化归思想、分类讨论思想等等;③获得知识的过程中,有哪些经验值得总结,将隐性的东西显化,便于以后更好的、有意识的应用;④其它学生的感想,有时候学生的收获是老师意料之外的.
提高课堂教学效率关键是在于问题的设计,而问题是否能设计好,关键是对教材的理解和把握,因此要上好一节课,功夫在课外.
回顾这节课有几个问题还要继续研究和实践:
1.怎样设计问题,能激活学生的思维,能让学生的活动更深刻.
2.课堂上生成的资源(学生的回答、疑问等等)怎样有效利用才能使学生的活动更完整,教师对学生的指导、方法提炼更有价值.
3.计算机的使用怎样才能和教学融为一体,真正能帮助揭示数学的本质,教师如何使用才能使它真正起到辅助教学的作用.我们的课堂中应该增加一些新鲜的东西,不要局限于一支粉笔,但是还要学会驾驭计算计,不要被它束缚.
4.什么是课堂教学的效率,从本节课看应该是从整体的角度,认识研究对象的本质.