范文一:抛物线的定义
1 抛物线的定义:平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F 叫做抛物线的焦点,定直线l 叫做抛物线的准线.
2 抛物线的图形和性质:
①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。
②焦准距:
③通径:过焦点垂直于轴的弦长为 。
④顶点平分焦点到准线的垂线段: 。
⑤焦半径为半径的圆:以P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样的圆过定点F 、准线是公切线。
⑥焦半径为直径的圆:以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。所有这样的圆过定点F 、过顶点垂直于轴的直线是公切线。
⑦焦点弦为直径的圆:以焦点弦PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的圆的公切线是准线。
3 抛物线标准方程的四种形式:
4 抛物线 的图像和性质:
①焦点坐标是: ,
②准线方程是: 。
③焦半径公式:若点 是抛物线 上一点,则该点到抛物线的焦点的距离(称为焦半径)是: , ④焦点弦长公式:过焦点弦长
⑤抛物线 上的动点可设为P 或 或P
5 一般情况归纳:
方程 图象 焦点 准线 定义特征
y2=kx k>0时开口向右 (k/4,0) x= ─k/4 到焦点(k/4,0)的距离等于到准线x= ─k/4的距离 k<>
x2=ky k>0时开口向上 (0,k/4) y= ─k/4 到焦点(0,k/4)的距离等于到准线y= ─k/4的距离 k<>
抛物线的定义:
例1:点M 与点F (-4,0) 的距离比它到直线l :x -6=0的距离4.2,求点M 的轨迹方程. 分析:点M 到点F 的距离与到直线x=4的距离恰好相等,符合抛物线定义.
答案:y2=-16x
例2:斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于点A 、B ,求线段A 、B 的长.
分析:这是灵活运用抛物线定义的题目.基本思路是:把求弦长AB 转化为求A 、B 两点到准线距离的和.
解:如图8-3-1,y2=4x的焦点为F (1,0) ,则l 的方程为y=x-1.
由 消去y 得x2-6x+1=0.
设A (x1,y1) ,B (x2,y2) 则x1+x2=6.
又A 、B 两点到准线的距离为 , ,则
点评:抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质,在解题中起到至关重要的作用。 例3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x,求它的焦点坐标和准线方程;
(2) 已知抛物线的焦点是F (0,3) 求它的标准方程;
(3) 已知抛物线方程为y=-mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程;
(4) 求经过P (-4,-2) 点的抛物线的标准方程;
分析:这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题,解题时首先分清属哪类标准型,再录求P 值(注意p>0).特别是(3)题,要先化为标准形式: ,则 .(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条,因此有两解.
答案:(1) , .(2) x2=12y (3) , ;(4) y2=-x 或x2=-8y .
例4 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x -2y -4=0上
分析:从方程形式看,求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p ;从实际分析,一般需确定p 和确定开口方向两个条件,否则,应展开相应的讨论
解:(1)设所求的抛物线方程为y2=-2px 或x2=2py(p >0),
∵过点(-3,2),
∴4=-2p (-3)或9=2p?2
∴p= 或p=
∴所求的抛物线方程为y2=- x 或x2= y,前者的准线方程是x= ,后者的准线方程是y=-
(2)令x=0得y=-2,令y=0得x=4,
∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)
当焦点为(4,0)时, =4,
∴p=8,此时抛物线方程y2=16x;
焦点为(0,-2)时, =2,
∴p=4,此时抛物线方程为x2=-8y
∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=-8y ,
对应的准线方程分别是x=-4,y=2
常用结论
① 过抛物线y2=2px 的焦点F 的弦AB 长的最小值为2p
② 设A(x1,y) , 1B(x2,y2) 是抛物线y2=2px 上的两点, 则AB 过F 的充要条件是y1y2=-p2
③ 设A , B 是抛物线y2=2px 上的两点,O 为原点, 则OA ⊥OB 的充要条件是直线AB 恒过定点(2p,0)
例5:过抛物线y2=2px (p>0)的顶点O 作弦OA ⊥OB ,与抛物线分别交于A(x1,y1) ,B(x2,y2) 两点,求证:y1y2=-4p2.
分析:由OA ⊥OB ,得到OA 、OB 斜率之积等于-1,从而得到x1、x2,y1、y2之间的关系.又
A 、B 是抛物线上的点,故(x1,y1) 、(x2,y2) 满足抛物线方程.从这几个关系式可以得到y1、y2的值.
证:由OA ⊥OB ,得 ,即y1y2=-x1x2,又 , ,所以: ,即 . 而y1y2≠0.所以y1y2=-4p2.
弦的问题
例1 A,B 是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,满足OA OB(O为坐标原点) 求证:(1)A,B两点的横坐标之积,纵坐标之积为定值;
(2)直线AB 经过一个定点
(3)作OM AB于M ,求点M 的轨迹方程
解:(1)设A(x1,y1), B(x2,y2), 则y12=2px1, y22=2px2,
∴y12y22=4p2x1x2,
∵OA OB, ∴x1x2+y1y2=0,
由此即可解得:x1x2=4p2, y1y2=─4p2 (定值)
(2)直线AB 的斜率k= = = ,
∴直线AB 的方程为y─y1= (x─ ),
即y(y1+y2)─y1y2=2px, 由(1)可得 y= (x─2p),
直线AB 过定点C(2p,0)
(3)解法1:设M(x,y), 由(2)知y= (x─2p) (i),
又AB OM, 故两直线的斜率之积为─1, 即 ? = ─1 (ii)
由(i),(ii)得x2─2px+y2=0 (x 0)
解法2: 由OM AB知点M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原点) 立即可求出 例2 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB 的中点为M ,求点M 到y 轴的最短距离,并求此时点M 的坐标
解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,
又设点A ,B ,M 在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y 轴的交点为N , 则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,
∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=
等号在直线AB 过焦点时成立,此时直线AB 的方程为y=k(x─ )
由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,
∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =
∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )
例3 设一动直线过定点A(2, 0) 且与抛物线 相交于B 、C 两点, 点B 、C 在 轴上的射影分别为 , P是线段BC 上的点, 且适合 , 求 的重心Q 的轨迹方程, 并说明该轨迹是什么图形 解析: 设 ,
,
由 得
①
又 代入①式得 ②
由 得 代入②式得:
由 得 或 , 又由①式知 关于 是减函数且
, 且
所以Q 点轨迹为一线段(抠去一点):
( 且 )
例4 已知抛物线 , 焦点为F, 一直线 与抛物线交于A 、B 两点, 且 , 且AB 的垂直平分线恒过定点S(6, 0)
①求抛物线方程; ②求 面积的最大值
解: ①设 , AB中点
由 得
又 得
所以 依题意 ,
抛物线方程为
②由 及 ,
令 得
又由 和 得:
例5 定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y2=x上移动,AB 的中点为M ,求点M 到y 轴的最短距离,并求此时点M 的坐标
解:如图,设A(x1,y1), B(x2,y2),M(x,y), 则x= , y= ,
又设点A ,B ,M 在准线 :x=─1/4上的射影分别为A/,B/,M/, MM/与y 轴的交点为N , 则|AF|=|AA/|=x1+ ,|BF|=|BB/|=x2+ ,
∴x= (x1+x2)= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )=
等号在直线AB 过焦点时成立,此时直线AB 的方程为y=k(x─ )
由 得16k2x2─8(k2+2)x+k2=0
依题意|AB|= |x1─x2|= × = =3,
∴k2=1/2, 此时x= (x1+x2)= =
∴y= ± 即M( , ), N( ,─ )
综合类(几何)
例1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P 、Q ,通过点P 和抛物线顶点的直线交准线于点M ,如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴?
解:思路一:求出M 、Q 的纵坐标并进行比较,如果相等,则MQ//x轴,为此,将方程 联立,解出
直线OP 的方程为 即
令 ,得M 点纵坐标 得证.
由此可见,按这一思路去证,运算较为繁琐.
思路二:利用命题“如果过抛物线 的焦点的一条直线和这条抛物线相交,两上交点的纵坐标为 、 ,那么 ”来证.
设 、 、 ,并从 及 中消去x ,得到 ,则有结论 ,即 .
又直线OP 的方程为 , ,得 .
因为 在抛物线上,所以 .
从而 .
这一证法运算较小.
思路三:直线MQ 的方程为 的充要条件是 .
将直线MO 的方程 和直线QF 的方程 联立,它的解(x ,y)就是点P 的坐标,消去 的充要条件是点P 在抛物线上,得证.这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维,运算量也较小. 说明:本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时(即斜率不存在),容易证明成立.
例2 已知过抛物线 的焦点且斜率为1的直线交抛物线于A 、B 两点,点R 是含抛物线顶点O 的弧AB 上一点,求△RAB 的最大面积.
分析:求RAB 的最大面积,因过焦点且斜率为1的弦长为定值,故可以 为三角形的底,只要确定高的最大值即可.
解:设AB 所在的直线方程为 .
将其代入抛物线方程 ,消去x 得
当过R 的直线l 平行于AB 且与抛物线相切时,△RAB 的面积有最大值.
设直线l 方程为 .代入抛物线方程得
由 得 ,这时 .它到AB 的距离为
∴△RAB 的最大面积为 .
例3 直线 过点 ,与抛物线 交于 、 两点,P 是线段 的中点,直线 过P 和抛物线的焦点F ,设直线 的斜率为k .
(1)将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k 的函数 ;
(2)求出 的定义域及单调区间.
分析: 过点P 及F ,利用两点的斜率公式,可将 的斜率用k 表示出来,从而写出 ,由函数 的特点求得其定义域及单调区间.
解:(1)设 的方程为: ,将它代入方程 ,得
设 ,则
将 代入 得: ,即P 点坐标为 .
由 ,知焦点 ,∴直线 的斜率
∴函数 .
(2)∵ 与抛物线有两上交点,∴ 且
解得 或
∴函数 的定义域为
当 时, 为增函数.
例4 如图所示:直线l 过抛物线 的焦点,并且与这抛物线相交于A 、B 两点,求证:对于这抛物线的任何给定的一条弦CD ,直线l 不是CD 的垂直平分线.
分析:本题所要证的命题结论是否定形式,一方面可根据垂直且平分列方程得矛盾结论;别一方面也可以根据l 上任一点到C 、D 距离相等来得矛盾结论.
证法一:假设直线l 是抛物线的弦CD 的垂直平方线,因为直线l 与抛物线交于A 、B 两点,所以直线l 的斜率存在,且不为零;直线CD 的斜率存在,且不为0.
设C 、D 的坐标分别为 与 .则
∴l 的方程为
∵直线l 平分弦CD
∴CD 的中点 在直线l 上,
即 ,化简得:
由 知 得到矛盾,所以直线l 不可能是抛物线的弦CD 的垂直平分线.
证法二:假设直线l 是弦CD 的垂直平分线
∵焦点F 在直线l 上,∴
由抛物线定义, 到抛物线的准线 的距离相等.
∵ ,
∴CD 的垂直平分线l : 与直线l 和抛物线有两上交点矛盾,下略.
例5 设过抛物线 的顶点O 的两弦OA 、OB 互相垂直,求抛物线顶点O 在AB 上射影N 的轨迹方程.
分析:求与抛物线有关的轨迹方程,可先把N 看成定点 ;待求得 的关系后再用动点坐标 来表示,也可结合几何知识,通过巧妙替换,简化运算.
解法一:设
, 即
, ①
把N 点看作定点,则AB 所在的直线方程为: 显然
代入 化简整理得:
, ②
由①、②得: ,化简得
用x 、y 分别表示 得:
解法二:点N 在以OA 、OB 为直径的两圆的交点(非原点)的轨迹上,设 ,则以OA 为直径的圆方程为:
①
设 ,OA ⊥OB ,则
在求以OB 为直径的圆方程时以 代 ,可得
②
由①+②得:
例6如图所示,直线 和 相交于点M , ⊥ ,点 ,以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到 的距离与到点N 的距离相等,若△AMN 为锐角三角形, , ,且 ,建立适当的坐标系,求曲线段C 的方程.
分析:因为曲线段C 上的任一点是以点N 为焦点,以 为准线的抛物线的一段,所以本题关键是建立适当坐标系,确定C 所满足的抛物线方程.
解:以 为x 轴,MN 的中点为坐标原点O ,建立直角坐标系.
由题意,曲线段C 是N 为焦点,以 为准线的抛物线的一段,其中A 、B 分别为曲线段的两端点.
∴设曲线段C 满足的抛物线方程为: 其中 、 为A 、B 的横坐标
令 则 ,
∴由两点间的距离公式,得方程组:
解得 或
∵△AMN 为锐角三角形,∴ ,则 ,
又B 在曲线段C 上,
则曲线段C 的方程为
例7如图所示,设抛物线 与圆 在x 轴上方的交点为A 、B ,与圆 在x 由上方的交点为C 、D ,P 为AB 中点,Q 为CD 的中点.(1)求 .(2)求△ABQ 面积的最大值.
分析:由于P 、Q 均为弦AB 、CD 的中点,故可用韦达定理表示出P 、Q 两点坐标,由两点距离公式即可求出 .
解:(1)设
由 得: ,
由 得 ,
则 ,
(2)
,∴当 时, 取最大值 .
例8 已知直线 过原点,抛物线 的顶点在原点,焦点在 轴的正半轴上,且点 和点 关于直线 的对称点都在 上,求直线 和抛物线 的方程.
分析:设出直线 和抛物线 的方程,由点 、 关于直线 对称,求出对称点的坐标,分别代入抛物线方程.或设 ,利用对称的几何性质和三角函数知识求解.
解法一:设抛物线 的方程为 ,直线 的方程为 ,
则有点 ,点 关于直线 的对称点为 、 ,
则有 解得
解得
如图, 、 在抛物线上
∴
两式相除,消去 ,整理,得 ,故 ,
由 , ,得 .把 代入,得 .
∴直线 的方程为 ,抛物线 的方程为 .
解法二:设点 、 关于 的对称点为 、 ,
又设 ,依题意,有 , .
故 , .
由 ,知 .
∴ , .
又 , ,故 为第一象限的角.
∴ 、 .
将 、 的坐标代入抛物线方程,得
∴ ,即 从而 , ,
∴ ,得抛物线 的方程为 .
又直线 平分 ,得 的倾斜角为 .
∴ .
∴直线 的方程为 .
说明:
(1)本题属于点关于直线的对称问题.解法一是解对称点问题的基本方法,它的思路明确,但运算量大,若不仔细、沉着,难于解得正确结果.解法二是利用对称图形的性质来解,它的技巧性较强,一时难于想到.
(2)本题是用待定系数法求直线的方程和抛物线方程.在已知曲线的类型求曲线方程时,这种方法是最常规方法,需要重点掌握.
例9 如图,正方形 的边 在直线 上, 、 两点在抛物线 上,求正方形 的面积.
分析:本题考查抛物线的概念及其位置关系,方程和方程组的解法和数形结合的思想方法,以及分析问题、解决问题的能力.
解:∵直线 , ,∴设 的方程为 ,且 、 .
由方程组 ,消去 ,得 ,于是
, ,∴ (其中 )
∴ .
由已知, 为正方形, ,
∴ 可视为平行直线 与 间的距离,则有
,于是得 .
两边平方后,整理得, ,∴ 或 .
当 时,正方形 的面积 .
当 时,正方形 的面积 .
∴正方形 的面积为18或50.
说明:运用方程(组)的思想和方法求某些几何量的值是解析几何中最基本的、贯穿始终的方法,本题应充分考虑正方形这一条件.
例10 设有一颗彗星围绕地球沿一抛物线轨道运行,地球恰好位于抛物线轨道的焦点处,当此彗星离地球为 时,经过地球与彗星的直线与抛物线的轴的夹角为 ,求这彗星与地球的最短距离.
分析:利用抛物线有关性质求解.
解:如图,设彗星轨道方程为 , ,焦点为 ,
彗星位于点 处.直线 的方程为 .
解方程组 得 ,
故 .
.
故 ,得 .
由于顶点为抛物线上到焦点距离最近的点,所以顶点是抛物线上到焦点距离最近的点.焦点到抛物线顶点的距离为 ,所以彗星与地球的最短距离为 或 ,( 点在 点的左边与右边时,所求距离取不同的值).
说明:
(1)此题结论有两个,不要漏解;
(2)本题用到抛物线一个重要结论:顶点为抛物线上的点到焦点距离最近的点,其证明如下:设 为抛物线 上一点,焦点为 ,准线方程为 ,依抛物线定义,有 ,当 时, 最小,故抛物线上到焦点距离最近的点是抛物线的顶点.
例11 如图,抛物线顶点在原点,圆 的圆心是抛物线的焦点,直线 过抛物线的焦点,且斜率为2,直线 交抛物线与圆依次为 、 、 、 四点,求 的值.
分析:本题考查抛物线的定义,圆的概念和性质,以及分析问题与解决问题的能力,本题的关键是把 转化为直线被圆锥曲线所截得的弦长问题.
解:由圆的方程 ,即 可知,圆心为 ,半径为2,又由抛物线焦点为已知圆的圆心,得到抛物线焦点为 ,设抛物线方程为 ,
∵ 为已知圆的直径,∴ ,则 .
设 、 ,∵ ,而 、 在抛物线上,
由已知可知,直线 方程为 ,于是,由方程组
消去 ,得 ,∴ .
∴ ,因此, .
说明:本题如果分别求 与 则很麻烦,因此把 转化成 是关键所在,在求 时,又巧妙地运用了抛物线的定义,从而避免了一些繁杂的运算.
11. 已知抛物线y2=2px(p>0),过焦点F 的弦的倾斜角为θ(θ≠0),且与抛物线相交于A 、B 两点.
(1)求证:|AB|= ;
(2)求|AB|的最小值.
(1)证明:如右图,焦点F 的坐标为F ( ,0).
设过焦点、倾斜角为θ的直线方程为y =tanθ?(x- ), 与抛物线方程联立,消去y 并整理,得 tan2θ?x2-(2p+ptan2θ)x+ =0.
此方程的两根应为交点A 、B 的横坐标,根据韦达定理,有x1+x2= .
设A 、B 到抛物线的准线x=- 的距离分别为|AQ|和|BN|,根据抛物线的定义,有|AB|=|AF|+|FB|=|AQ|+|BN|=x1+x2+p= .
(2)解析:因|AB|= 的定义域是0<><>
所以,当θ= 时,|AB|有最小值2p.
12. 已知抛物线y2=2px(p>0)的一条焦点弦AB 被焦点F 分成m 、n 两部分,求证: 为定值,本题若推广到椭圆、双曲线,你能得到什么结论?
解析:(1)当AB ⊥x 轴时,m=n=p,
∴ = .
(2)当AB 不垂直于x 轴时,设AB:y=k(x- ),
A(x1,y1),B(x2,y2),|AF|=m,|BF|=n,
∴m= +x1,n= +x2.
将AB 方程代入抛物线方程,得
k2x2-(k2p+2p)x+ =0,
∴
∴ =
= .
本题若推广到椭圆,则有 = (e 是椭圆的离心率);若推广到双曲线,则要求弦AB 与双曲线交于同一支,此时,同样有 = (e为双曲线的离心率).
13. 如右图,M 是抛物线y2=x上的一点,动弦 ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点,且 |MA|=|MB|.
(1)若M 为定点,证明:直线EF 的斜率为定值;
(2)若M 为动点,且∠EMF=90°,求△EMF 的重心G 的轨迹方程.
(1)证明:设M (y02,y0),直线ME 的斜率为 k(k>0),则直线MF 的斜率为-k ,
直线ME 的方程为y-y0=k(x-y02).
由 得
ky2-y+y0(1-ky0)=0.
解得y0?yE= ,
∴yE= ,∴xE= .
同理可得yF= ,∴xF= .
∴kEF= (定值).
(2)解析:当∠EMF=90°时,∠MAB=45°,所以k=1,由(1)得E ((1-y0)2, (1-y0) )F ((1+y0)2,-(1+y0)).
设重心G (x,y ),则有
消去参数y0, 得y2= (x>0).
14. 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点M (1,-3)、N (5,1),若点C 满足 = t +(1-t) (t∈R), 点C 的轨迹与抛物线y2=4x交于A 、B 两点.
(1)求证: ⊥ ;
(2)在x 轴上是否存在一点P (m,0),使得过点P 任作抛物线的一条弦,并以该弦为直径的圆都过原点. 若存在,请求出m 的值及圆心的轨迹方程;若不存在,请说明理由.
(1)证明:由 =t +(1-t) (t∈R) 知点C 的轨迹是M 、N 两点所在的直线,故点C 的轨迹方程是:y+3= ?(x-1), 即y=x-4.
由 (x-4)2=4x x2-12x+16=0.
∴x1x2=16,x1+x2=12,
∴y1y2=(x1-4)(x2-4)=x1x2-4(x1+x2)+16=-16.
∴x1x2+y1y2=0.故 ⊥ .
(2) 解析:存在点P (4,0),使得过点P 任作抛物线的一条弦,以该弦为直径的圆都过原点.
由题意知:弦所在的直线的斜率不为零,
故设弦所在的直线方程为:x=ky+4,代入y2=x,得y2-4ky-16=0,
∴y1+y2=4k,y1y2=-16.
kOA?kOB= =-1.
∴OA ⊥OB, 故以AB 为直径的圆都过原点.
设弦AB 的中点为M(x,y),
则x= (x1+x2),y= (y1+y2).
x1+x2=ky1+4+ky2+4=k(y1+y2)+8=k?(4k)+8=4k2+8.
∴弦AB 的中点M 的轨迹方程为: 消去k ,得y2=2x-8.
范文二:抛物线的定义
抛物线的定义
温宿二中 王蕊
一、教学目标
1.经历从具体情景中抽象出抛物线几何特征的过程;
2.掌握抛物线的几何图形,定义和标准方程;
3.进一步巩固圆锥曲线的研究方法,体会类比法,直接法,待定系数法和数形结合思想在数学中的应用;
4.感受抛物线的广泛应用和文化价值,体会学习数学的乐趣和数学美.
教学重点:
1.掌握抛物线的定义与相关概念;
2.掌握抛物线的标准方程;
教学难点:从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.
四、教学问题诊断
本节课的教学难点是从抛物线的画法中抽象概括出抛物线的定义.对教学难点的突破我采取的策略是:
1.类比学习椭圆的过程和方法去学习抛物线.
2.鉴于抛物线的画法比较复杂,用教具难以操作,因此我运用多媒体来演示画抛物线的过程.另外,画法中所隐含的抛物线的本质特征不是特别明显,对学生的抽象能力要求比较高,为此,我设置了两个问题,为学生发现抛物线的几何特征作铺垫.
3.学生在抽象概括抛物线定义时,容易忽略抛物线定义中“点不在直线上”这个条件.为了加深学生对这个条件的理解,教学中通过师生互动来引导学生逐步完善抛物线的定义,并以小组合作交流的方式讨论这个条件的必要性.
另外,在建系、推导抛物线标准方程的过程中,依据学生的认知习惯,同时激励学生主动学习,我采取了以下策略:
1.坐标系的建立——教师不作引导,由学生自己选择建系方式,再将学生的结果用投影仪展示出来,并进行归纳.
2.求抛物线的方程——全班学生分工,求出不同建系方式下的抛物线方程.通过比较,明确第2种建系方式所得的抛物线方程最简洁,并把这个方程叫做抛物线的标准方程.
3.明确抛物线标准方程的四种形式——给出问题4,先让学生独立思考,再组织学生以小组交流的方式进行讨论.以加深学生对抛物线标准方程的理解.
五、教学过程
教学过程
设计说明
一、课堂导入
1.生活中的抛物线:
(1)投篮时篮球的运行轨迹是抛物线;
2)南京秦淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线;
(3)卫星天线是根据抛物线的原理制造的.
2.数学中的抛物线:
一元二次函数的图像是一条抛物线.
提出问题:为什么一元二次函数的图像是一条抛物线?
通过生活中的抛物线使学生认识到学习抛物线的必要性.
通过问题引入引发学生的认知冲突,激发学生的学习欲望.
二、抛物线的定义
1.抛物线的画法
(1)介绍作图规则.
(2)动画展示作图过程.
提出问题:笔尖所对应的点满足的几何关系是什么?
(3)分析作图过程
提出问题:在作图过程中,直尺,三角板,笔尖,点F中,哪些没有动?哪些动了? 提出问题:在作图过程中,绳长,,,,中,哪些量没有变?哪些量变了?
(4)结论
点满足的几何关系是:动点到定点F的距离等于它到直尺的距离.
2.抛物线的定义
问题1:你能给抛物线下个定义吗?
抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线(不过)的距离相等的点的集合叫作抛物线. 问题2:为什么定点不能在定直线上?若点在直线上,则轨迹为过定点垂直于直线的直线.
3.抛物线的相关概念:
定点:抛物线的焦点.定直线:抛物线的准线.
设,焦点到准线的距离.
抛物线的对称轴与抛物线的交点:抛物线的顶点
抛物线的画法比较复杂,让学生自己画抛物线,操作起来很困难,学生很难完成.因此我运用多媒体信息技术来演示画抛物线的过程.
通过两个问题的设置,为学生从画法中发现抛物线的几何特征奠定基础.
加深学生对抛物线定义中的条件“不过”的理解.
这是教材的第一个思考交流,目的是对抛物线定义的应用,同时也给出了课堂导入时所给问题的一种解决方法.
三、抛物线的方程
.方程推导
1)建
请同学们将抛物线画在草稿纸上,自己建立平面直角坐标系.
(2)推导
问题3:以下三种建系方式,你认为哪种建系方式最好?请说明理由
提示:设,先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来,再来求抛物线的方程.
三种建系方式下的抛物线方程分别为:,,.不难得出,第二种建系方式下的抛物线方程最简洁,因此第二种建系方式最好.
:焦点到准线的距离.
3.思考交流
问题4:你能否分别写出开口向左、向上、向下,顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程?
具体要求:以顶点在原点,焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础,分别写出开口向左、向上、向下,顶点在原点,焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程,不要求写过程.学生先独立思考,再小组合作交流.
教材只给出了一种建系方式,但学生在建系时可能不只一种.为了体现学生的主体地位,这里先让学生建系,教师再汇总学生的结果,并用投影仪展示.
通过问题3,让学生分工求出三种建系下的方程,为标准方程的理解奠定基础.
部学生在推导方程时存在困难,故给出提示.
这是教材的第二个思考交流,目的是让学生认识到抛物线的标准方程一共有四种形式,加深学生对抛物线标准方程的理解.
大部分学生解决问题4所用的方法都是图像变换法.
图像
抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点,焦点放在坐标轴上的抛物线的方程,一共有四种形式.
4.例题分析
例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
(1);(2);
2.根据下列条件求抛物线的标准方程.
(1)焦点:;(2)准线:.
课本中的例题只涉及了抛物线标准方程的一种形式,无法达到巩固知识的目的.因此,我更换了教材的例题,例1是由方程求图像,例2是由图像求方程.并且两个例题中的4个小题正好包含了抛物线标准方程的四种形式.
四、课堂小结
问题5:这节课你学到了什么?请谈谈你的收获.
1.知识内容:(1)抛物线的定义:
(2)抛物线的标准方程:
①焦点在轴正半轴:;
②焦点在轴负半轴:;
③焦点在轴正半轴:;
④焦点在轴负半轴:.
2.学习方法与过程:类比椭圆的研究方法与过程.
3.学习中用到的数学思想和方法:(1)直接法;(2)待定系数法;(3)类比的思维方法;(4)数形结合思想.
培养学生梳理知识点,总结知识内容,建构知识体系的能力.
五、课后延伸
1.课后作业
书,P76,A组,2题,3题,4题.
2.课后思考
请你思考如何用抛物线的定义来证明一元二次函数的图像是一条抛物线?
3.课后延展
(1)抛物线型桥梁
通过图片展示南京秦淮河三山桥,湖北宜昌西陵长江大桥,宁波明州大桥这三座抛物线型桥梁.
提出问题:抛物线型拱桥有哪些特点?有哪些优点?在桥梁的设计上利用了抛物线的哪些特征?
(2)卫星.
提出问题:我们知道卫星天线是根据抛物线原理来制造的.在制造卫星时利用了抛物线的哪些性质?
对此感兴趣或者学有余力的学生,可以在课后收集相关资料进行学习,并作进一步的探讨. 是对这节课所学方法的巩固和对初中所学相关内容的同化,也是为下节课作好铺垫.
感受抛物线的广泛应用和文化价值,激发学生学习数学的兴趣和研究问题的热情.
范文三:抛物线的定义
1.抛物线的定义
平面内与一定点和一条定直线(定点不在定直线上)的 的点的轨迹叫抛物线.
3.(1)离心率:e=.(2)p的几何意义.(3)焦半径:|MF|= ,其中M(x0,y0)
自测题:1.抛物线y=2x2的准线方程为
2.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是3.若抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是________.
4.O为坐标原点,F为抛物线C:y2=42x的焦点,P为C上一点,若|PF|=42,则△POF的面积为( )
A.2 B.22 C.23 D.4
例1 (1)(2011·广东)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,与直线y=0相切,则C的圆心轨迹为( )
A.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆
(2)在抛物线y2=4x上找一点M,使|MA|+|MF|最小,其中A(3,2),F(1,0),求M点的坐标及此时的最小值. 思考题1 已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=
例2 (1)求顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,且经过点M(-2,-4)的抛物线的方程________.
(2)动直线l的倾斜角为60°,若直线l与抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若A,B两点的横坐标之和为3,则抛物线的方程为________.
思考题2 试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.
例3 已知P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到直线l:2x-y+3=0和y轴的距离之和的最小值是 思考题3 (1)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为
(2).焦点为(2,3),准线是x+6=0的抛物线方程为( )(理科)
A.(y-3)2=16(x-2) B.(y-3)2=8(x+2)
C.(y-3)2=16(x+2) D.(y-3)2=8(x-2)
练习题
1.抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是
2.过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是3.抛物线y2=ax(a≠0)的焦点到其准线的距离是( )
|a||a|aA.4 B2 C.|a| D.-24.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最
小值为( ) 179A.2 B.3 C.5 D.25.顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线上的一点P(m,-2)到焦点的距离为4,则m的值为( )
A.-2 B.2或-2 C.4 D.4或-4
6.已知动圆圆心在抛物线y2=4x上,且动圆恒与直线x=-1相切,则此动圆必过定点( )
A.(2,0) B.(1,0) C.(0,1) D.(0,-1)
7.在y=2x2上有一点P,它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点P的坐标是( )
A.(-2,1) B.(1,2) C.(2,1) D.(-1,2)
78.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A(2,
4),则|PA|+|PM|的最小值是( ) 9A.7 B.4 C. D.5 22
9.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为( )
A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x
10.已知倾斜角为60°的直线l通过抛物线x2=4y的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,则弦AB的长为________.
x2y2211点A是抛物线C1:y=2px(p>0)与双曲线C2a-b1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点,若点A到抛
物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于
12
如图,过抛物线y2=4x焦点的直线依次交抛物线和圆(x-1)2+y2=1于A、B、C、D四点,则
|AB|·|CD|= 22xy13抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,3-3=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________.
14.边长为1的等边三角形AOB,O为原点,AB⊥x轴,以O为顶点,且过A、B的抛物线方程是________.
15.一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax上,另一个顶点在坐标原点,若这个三角形的面积为363,则a=________.
16已知抛物线y=ax2-1的焦点是坐标原点,则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为________.
17.抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条直角边所在直线方程为y=2x,斜边长为513,求此抛物线方程.
18.已知抛物线C的顶点在原点,焦点F在x轴的正半轴上,设A、B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴),且|AF|+|BF|=8,线段AB的垂直平分线恒经过定点Q(6,0),求此抛物线的方程.
范文四:抛物线的定义教案
抛物线的定义、性质及标准方程 教学目的:
(1)理解抛物线的定义,掌握抛物线的四种标准方程及其对应的图形。
(2)使学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法,提高观察、分析、
对比、概括、转化等方面的能力(
(,)掌握抛物线的常用的几何性质
教学重点和难点
(1)重点:抛物线的定义和标准方程(
(2)难点:抛物线的标准方程定义、性质的简单应用
教学过程
1. 抛物线定义:
平面内与一个定点和一条直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点,直线叫做抛物线的准线,定点不在定直线上。它与椭圆、双曲线的第二定义相仿,仅比值(离心率e)不同,当e,1时为抛物线,当0<><1时为椭圆,当e>1时为双曲线。
2. 抛物线的标准方程有四种形式,参数的几何意义,是焦点到准线的距离,掌握不同形式方程的几何性质(如下表):
其中为抛物线上任一点。
3. 抛物线的焦点弦性质:设过抛物线的焦点的直线与抛物线交于
,直线与的斜率分别为,直线的倾斜角为,则有
,
,
,
,,
,
。
说明:
1. 求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线一般用待定系数法;若由已知条件可知曲线的动点的规律一般用轨迹法。
2. 凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算。
3. 解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,而且还应注意焦点弦的几何性质。
【解题方法指导】
例,.
2 (1)已知抛物线的标准方程是Y=6X ,求它的焦点坐标和准线方程; (2)已知抛物线的焦点是F(0,-2),求它的标准方程(
例2(求过点A(-3,2)的抛物线的标准方程.
例1. 已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,且与圆相交的公共弦长等于,求此抛物线的方程。
解析:设所求抛物线的方程为或
设交点(y>0) 1
则,?,代入得
?点在上,在上
?或,?
故所求抛物线方程为或。
评述:本题考查抛物线的概念和性质,直线的方程和性质,运算能力和逻辑推理能力。其中证法一和二为代数法,证法三为几何法,充分运用了抛物线的几何性质,数形结合,更为巧妙。
【考点突破】
【考点指要】
抛物线部分是每年高考必考内容,考点中要求掌握抛物线的定义、标准方程以及几何性质,多出现在选择题和填空题中,主要考查基础知识、基础技能、基本方法,分值大约是,分。
考查通常分为四个层次:
层次一:考查抛物线定义的应用;
层次二:考查抛物线标准方程的求法;
层次三:考查抛物线的几何性质的应用;
层次四:考查抛物线与平面向量等知识的综合问题。
解决问题的基本方法和途径:待定系数法、轨迹方程法、数形结合法、分类讨论法、等价转化法。
【链接高考】
,. (2006安徽)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )
A. ,2 B. 2 C. ,4 ,. 4
答案:D
解析:椭圆的右焦点为,所以抛物线的焦点为,则
。
评述:本题考查抛物线与椭圆的标准方程中的基本量的关系。
,. 已知点是抛物线上一点,设点到此抛物线准线的距离为,到直线
的距离为,则的最小值是( )
A. 5 B. 4 C. D.
,. (2005上海)过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线( )
A. 有且仅有一条 B. 有且仅有两条
C. 有无穷多条 D. 不存在
,. (2005江苏)抛物线上的一点到焦点的距离为1,则点的纵坐标是( )
A. B. C. D. 0 5. (2004全国)设抛物线的准线与轴交于点,若过点的直线与抛物线有公共点,则直线的斜率的取值范围是( )
A. B. C. D. 6. (2006山东)动点是抛物线上的点,为原点,当时取得最小值,则的最小值为( )
A. B. C. D.
范文五:抛物线定义的妙用
抛物线定义的妙用
对于抛物线有关问题的求解,若能巧妙地应用定义思考,常能化繁为简,优化解题思路,提高思维能力。现举例说明如下。 一、求轨迹(或方程)
例1. 已知动点M的坐标满足方程( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对
,则动点M的轨迹是
解:由题意得:即动点
到直线
的距离等于它到原点(0,0)的距离
由抛物线定义可知:动点M的轨迹是以原点(0,0)为焦点,
以直线为准线的抛物线。 故选C。 二、求参数的值
例2. 已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点点距离为5,求m的值。
到焦
解:设抛物线方程为,准线方程:
∵点M到焦点距离与到准线距离相等
解得:
∴抛物线方程为把三、求角
代入得:
1
例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在抛物线准线上的射影分别为
,则
__________。
A. 45° B. 60° C. 90° D. 120°
图1
解:如图1,由抛物线的定义知:
则由题意知:
即故选C。
四、求三角形面积
例4. 设O为抛物线的顶点,F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦,若
。求△OPQ的面积。
解析:如图2,不妨设抛物线方程为
,点
、点
,
2
图2
则由抛物线定义知:又
,则
由即
得:
又PQ为过焦点的弦,所以
则
所以,
点评:将焦点弦分成两段,利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示,结合抛物线方程,利用韦达定理是常见的基本技能。 五、求最值 例5. 设P是抛物线
上的一个动点。
的距离之和的最小值;
(1)求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线(2)若B(3,2),求
的最小值。
解:(1)如图3,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线是由抛物线的定义知:点P到直线
的距离等于点P到焦点F的距离。
3
于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小。
显然,连结AF交曲线于P点,则所求最小值为
,即为
。
图3
(2)如图4,自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点
,则有
即
的最小值为
4
,则
图4
点评:本题利用抛物线的定义,将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,从而构造出“两点间线段距离最短”,使问题获解。 六、证明
例6.
求证:以抛物线切。
过焦点的弦为直径的圆,必与此抛物线的准线相
证明:如图5,设抛物线的准线为,过A、B两点分别作AC、BD垂直于,垂足分别为C、D。取线段AB中点M,作MH垂直于H。
4
图5
由抛物线的定义有:
∵ABDC是直角梯形
即
为圆的半径,而准线过半径MH的外端且与半径垂直,故本题得证。
5
1时为椭圆,当e>