范文一:集合与函数的性质课件
集合知识点总结
一.考点热点
重点:集合的概念,性质,表示方法,集合与集合之间的关系 难点:集合与集合之间的关系 (一)、集合有关概念
1. 集合与元素:集合与元素的关系有两种:属于和不属于,属于用符号“∈”表示,如a ∈A ,不属于用符号“?”表示 如a ?B
2. 集合中元素的三个特性:
(1)元素的确定性,如:世界上最高的山
(2)元素的互异性,如:由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性, 如:{a , b , c }和{a , c , b }是表示同一个集合 3. 集合的表示:{ ? } 如:{太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋} (1)用大写字母表示集合:A ={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法 (3)元素与集合的关系:a ∈A , b ?A ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集):N ;正整数集:N*或 N + ; 整数集:Z ;有理数集:Q ;实数集:R (1)列举法:{a , b , c ??},元素有限个
(2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。
如:{x | x -3>2},{x | x -3>2}
(3)语言描述法,如:不是直角三角形的三角形组成的集合 (4)Venn (韦恩)图:
A 1 2 3 4
4. 集合的分类:
(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合
(3)空集:不含任何元素的集合,记为Φ。如:{x |x 2= -5} 二、集合间的基本关系 1. “包含”关系—子集
注意:A ?B 有两种可能(1)A 是B 的一部分;(2)A 与B 是同一集合。
反之: 集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A ,记作A ?/B 或B ?/A 2. “相等”关系:A=B
实例:设A={x |x 2-1=0},B={-1,1},“元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集,A ?A
②真子集:如果A ?B ,且A ≠ B那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A)
或者说,如果A ?B ,且存在元素x ∈B ,且x ?A ③如果A ?B ,B ?C ,那么A ?C ④如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定:空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
◆有n 个元素的集合,含有2n 个子集,2n -1个真子集,2n -1个非空子集。
二.经典例题:
例1. 下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A. 某班所有高个子的学生 B. 著名的艺术家 C. 一切很大的书 D. 倒数等于它自身的实数
例2. 集合{a ,b ,c ,d}的真子集共有 个.
2
例3. 若已知A =x |x -2x +2-a =0,B =x |x -+a +2=0,A B =?,则实数a 的取
{}
{
2
}
值范围是 .
例4.. 集合P=(x , y )x +y =0 ,Q=(x , y )x -y =2 ,则A∩B=
例5.50名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确 得有40人,化学实验做得正确得有31人,两种实验都做错得 有4人,则这两种实验都做对的有 人。
例7. 已知集合A={x | x 2+2x -8=0}, B={x | x 2-5x +6=0}, C={x | x 2-mx +m 2-19=0}, 若B ∩C ≠Φ, A ∩C=Φ,求m 的值.
{}{}
三.习题
1、下列五个写法:①{0}∈{1, 2, 3};②φ?{0};③{0,1,2}?{1, 2, 0};④0∈φ;⑤0?φ=φ,其中错误..
写法的个数为( ) A. 1 B. 2 C . 3 D. 4
2 设集合M ={x |x =k 2+14, k ∈Z },N ={x |x =k 4+12, k ∈Z },则 ( )
A .M =N B .
M
N C .
N M D .M ?N =φ
3、设集合U ={1,2,3,4,5}, A ={1,2,3}, B ={2,3,4},则C U (A ?B )=( )
(A){2,3} (B){1,4,5} (C){4,5} (D){1,5}
7. (2012北京)已知集合A ={x ∈R |3x +2>0},B ={x ∈R |(x +1)(x -3) >0},则A ?B =( (A )(-∞, -1) (B )(-1, -2
) (C )(-
2
33
,3) (D )(3,+∞) 8:已知全集U ={1, 2, 3, 4, 5, 6},集合A ={1, 3, 5},B ={4, 5, 6},则结合C U (A B ) =( ) A .{2, 4, 6}
B .{2} C .{5} D .{1, 3, 4, 5, 6}
9. 设集合S ={x x <5}, t="{x" (x="" +7)(x="">5},><>
,则S ?T =( )
(A) {x∣-7f(x2) ,那么就说f(x)在这个区间上是减函数. 区间D 称为y=f(x)的单调减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (2) 图象的特点
如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的) 单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法:
○
1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1
○
2 作差f(x1) -f(x2) ; ○
3 变形(通常是因式分解和配方); ○
4 定号(即判断差f(x1) -f(x2) 的正负); ○
5 下结论(指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性
复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质) (1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数. (2).奇函数 一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x ,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤:
○
1首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○
2确定f(-x) 与f(x)的关系; ○
3作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x) -f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x) +f(x) = 0,则f(x)是奇函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数. 若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 9、函数的解析表达式
(1). 函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有: 1) 凑配法 2) 待定系数法 3) 换元法 4) 消参法
10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)
○
1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 ○
2 利用图象求函数的最大(小)值 ○
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b); 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b); 例题:
1. 求下列函数的定义域:
⑴y =
⑵y =2. 设函数f (x ) 的定义域为[0,1],则函数f (x 2) 的定义域为_ _
3. 若函数f (x +1) 的定义域为[-2,3],则函数f (2x -1) 的定义域是
4. 函数
?x +2(x ≤-1) ? ,若f (x ) =3,则x = f (x ) =?x 2(-1
?2x (x ≥2) ?
5. 求下列函数的值域:
⑴y =x 2+2x -3 (x ∈R ) ⑵y =x 2+2x -3 x ∈[1,2]
(3)y =x
y =
6. 已知函数f (x -1) =x 2-4x ,求函数f (x ) ,f (2x +1) 的解析式
7. 已知函数f (x ) 满足2f (x ) +f (-x ) =3x +4,则f (x ) = 。
8. 设f (x ) 是R 上的奇函数,且当x ∈[0,+∞) 时
, f (x ) =x (1, 则当x ∈(-∞,0) 时f (x ) f (x ) 在R 上的解析式为 9. 求下列函数的单调区间:
⑴ y =x 2+2x +3
⑵y =⑶ y =x 2-6x -1
10. 判断函数y =-x 3+1的单调性并证明你的结论.
11. 设函数f (x ) =1+x 判断它的奇偶性并且求证:f (1) =-f (x ) .
1-x 2x
12.已知f (x ) 是奇函数,它在(0,+∞) 上是增函数,且f (x ) <0, 试问f="" (x="" )="">0,>
13. 函数f (x ) =
2
1
在(-∞,0) 上是f (x )
ax +b 12
是定义在上的奇函数,且. (-1,1) f () =1+x 225
(1)确定函数f (x ) 的解析式;
(2)用定义证明f (x ) 在(-1,1) 上是增函数; (3)解不等式f (t -1) +f (t ) <>
ax 2-4x +3
14.f (x ) =? 1?已知函数
?3?
?
(1)若a =-1,求f (x ) 的单调区间; (2)若f (x ) 有最大值3,求a 的值.
(3)若f (x ) 的值域是(0,+∞) ,求a 的取值范围.
作业:
一、判断下列函数的奇偶性:
(1) (2)
1. 求y =x -3-x + 的值域
2. 判断函数
上的单调性,并证明.
3. 设a 为实数,函数f(x)=x2+|x-a|+1,x ∈R ,试讨论f(x)的奇偶性,并求f(x)的最小值.
范文二:集合和函数的概念
要辩证理解集合和元素这两个概念:(1)集合和元素是两个不同的概
念, 符号∈和是表示元素和集合之间关系的, 不能用来表示集合之间
的关系. 例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的, 而{1}∈
{{1},{2},{3}}的写法才是正确的.(2)一些对象一旦组成了集合, 那
么这个集合的元素就是这些对象的全体, 而非个别现象. 例如对于集
合{x∈R |x≥0},就是指所有不小于0的实数。(3)在集合中每个对
象都叫做集合的元素,集合元素具有确定性、互异性和无序性的特性。
(4)集合的表示方法有:列举法、描述法、图示法。
3. 子集的相关性质:
分析其中的书本概念和牢记子集的一些特殊符号。了解里面有子集、
真子集、空集和相等的一些符号牢记起来。
若集合A 有n 个元素, 则A 的子集个数为2n, 真子集个数为2n-1个,
非空子集的个数为2n-1, 非空真子集的个数为2n-2个
4. 集合的基本运算:
里面涉及有并集和交集和补给特别设计到里面的一些题目的问题
等等。
内容我会采取课本上面的例题进行分析。
5. 进行对本节集合进行总结。
6. 进行对函数概念来个简单了解:
了解函数里面的一些定义:包括:定义域、值域、闭区间、开区间、
以及半开半闭区间的一些知识点。
课后练习:
下列各组对象中不能构成集合的是?( )
A. 高一(1)班全体女生卫生 B.高一(1)班全体学生家长
C. 高一(1)班开设的所有课程 D.高一(1)班身高较高的男同学
判断下列说法是否正确, 如果不正确, 请加以改正
(1){ }表示空集; (2)空集是任何集合的真子集; (3){1,2,3}不是
{3,2,1}; (4){0,1}的所有子集是{0},{1},{0,1}; (5)如果AB 且A
≠B, 那么B 必是A 的真子集
(6)A B与B A不能同时成立.
范文三:集合和函数概念 (二)集合的基本运算
知识点归纳
知识点1.交集
(1)定义:一般地,对于两个给定集合A , B ,由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合,
叫做A , B 的交集。核心词汇:共有。 记作:A
B
读作“A 交B ”
A ={1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,8},A B =
{3,4,5}
交集为?
在画数轴时,要注意层次感和端点的虚实!
(2)交集的性质: A
B =B A
A A =A ;
A =?
A ?=?
如果A ?B ,则A 【例题】
B =A 。
1.已知集合A ={1,3,5,7,9},B ={0,3,6,9,12},则A ∩B =( )
A .{3,5} B .{3,6} C .{3,7} D .{3,9}
【解析】
A ={1,3,5,7,9},B ={0,3,6,9,12},A 和B 中有相同的元素3,9,∴A ∩B ={3,9}.故选D.
【答案】 D
2.已知集合A ={-4,2a -1,a 2},B ={a-5,1-a,9},若A ∩B ={9},求a 的值.
【解析】
∵A ∩B ={9},
∴9∈A ,∴2a -1=9或a 2=9,∴a =5或a =±3. 当a =5时,A ={-4,9,25},B ={0,-4,9}. 此时A ∩B ={-4,9}≠{9}.故a =5舍去.
当a =3时,B ={-2,-2,9},不符合要求,舍去. 经检验可知a =-3符合题意.
3. 设集合A={x|-1<><><><3},求a>3},求a>
【随堂练习】
1.设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A ∩B.
2.A ={等腰三角形},B ={直角三角形},则A ∩B = ;
3.A ={x|x>3},B ={x|x<6},则a ∩b="" =="">6},则a>
知识点2.并集
(1)定义:一般地,对于两个给定集合A , B ,由两个集合的所有元素构成的集合,叫做A , B
的并集。核心词汇:全部。
记作:A B 读作“A 并B ”
{1,3,5}{2,3,4,6}=
{2,3,4,5,6}
只要是线下面的部分都要!
(2)并集的性质: A B =B A
A A =A ; A ?=?A =A
如果A ?B ,则A B =B 【例题】
1.设集合A ={x|2≤x<4},B ={x|3x-7≥8-2x},则A∪B等于( )
A .{x|x≥3} B .{x|x≥2} C .{x|2≤x<3} D.{x|x≥4}
【解析】
B ={x|x≥3}.
画数轴(如下图所示) 可知选B.
【答案】 B
2.已知集合A ={x|x>0},B ={x|-1≤x≤2},则A∪B=( )
A .{x|x≥-1} B.{x|x≤2} C .{x|0
集合A 、B 用数轴表示如图, A∪B={x|x≥-1}.故选
A.
【答案】 A
【随堂练习】
1.设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A ∪B.
2. 设集合A={x|-1<><><><3},求a>3},求a>
知识点3.补集
(1)定义:如果给定的集合A 是全集U 的一个子集,由U 中不属于A 的所有元素构成的
集合,叫做A 在U 中的补集。核心词汇:剩余。 记作“C U A ”
读作:“A 在U 中的补集”
(2)补集的性质: A ?C U A =?,
A ?C U A =U , C U ?=U
C U (C U A ) =A
C U U =?,
【例题】
1.设U={x|x是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},求C U A,C U B .
【随堂练习】
1. 设集合U =(x , y ) y =x -1, A =?(x , y )
【提高练习】
1. 已知集合A ={1,3,5},B ={1,2,x 2-1},若A ∪B ={1,2,3,5},求x 及A ∩B.
2.已知A ={x|2a≤x ≤a +3},B ={x|x<-1或x>5},若A ∩B =?,求a 的取值范围.
{}
??y +1?
=1?,则C U A =x ?
3. 设集合A={x|-1<><2},求c u="" a="">2},求c>
课后作业
1.设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},则A ∩B = 。 2. 设A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},则A ∪B = 。 3. 已知集合M ={x|x-2<0},n={x|x+2>0},则M ∩N 等于 。
4.若集合A ={1,3,x },B={1,x },A ∪B ={1,3,x }, 则满足条件的实数x 的个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.满足条件M ∪{1}={1,2,3}的集合M 的个数是 。
6.U={2,3,4},A={4,3},B=φ,则C U A C U B ;
7.设U ={x|x<8,且x ∈n},a="" ={x|(x-2)(x-4)(x-5)=0},则c="" u="" a="">8,且x>
8.设U ={三角形},A ={锐角三角形},则C U A = 。
9.U={1,3,a +2a+1},A={1,3},C U A={5},则a= ;
10.已知A={0,2,4},C U A={-1,1},C U B={-1,0,2},求B={ };
2
2
范文四:高一数学集合和函数的概念
第一章集合和函数的概念
一 . 选择题 :(本大题 12小题,每小题5分,共 60分)
1. 下列六个关系式:① {}{}a b b a , , ? ② {}{}a b b a , , = ③ {0}=? ④ }0{0∈ ⑤ {0}?∈ ⑥ {0}?? 其中正确的个数为 ( )
A.6个 B.5个 C. 4个 D. 少于 4个 2. 已知 A={(x, y)|x+y=3}, B={(x,y)|x-y=1},则 A ∩ B=( )
A.{2, 1}
B.{x=2,y=1}
C.{(2,1)}
D.(2,1)
3. 如图, U 是全集, M.P.S 是 U 的三个子集,则阴影部分所表示的集合是 ( )
A. (M S P ??) B.(M S P ??) C. (M ?P ) ?(C U S ) D.(M ?P ) ?(C U S )
4. 设集合 {|12},{|}.A x x B x x a =<><若 ,="" a="" b="" ?则="" a="" 的范围是(="" )="" a.="" 2a="" ≥="" b.1a="" ≤="" c.1a="" ≥="" d.2a="" ≤="" 5.="" 下列图象中不能作为函数图象的是(="">若>
6. 设集合 A 和 B 都是自然数集合 N ,映射 f :A→B 把集合 A 中的元素 n 映射到集合 B 中的元素 2n +n ,则在映射 f 下,象 20的原象是 ( )
A.2
B.3
C.4 D.5
7. 函数 ) 2
3(, 3
2) (-
≠+=x x cx x f 满足 , )]([x x f f =则常数 c 等于( )
A. 3 B. 3- C. 33-或 D. 35-或
8. 设 =) (x f
, 则 5
(()) 2f f 的值为( )
A. 12
-
B.
32
C.
52
D.
92
9. 已知函数 y f x =+() 1定义域是 []-23, ,则 y f x =-() 21的定义域是( )
A. []052
,
B.[]-14, C.[]-55, D.[]-37,
10. 下列判断正确的是( )
x (1+≤ 1) x x (->1)
A. 函数 2
2) (2
--=
x x x x f 是奇函数 B.
函数 () (1f x x =-
C.
函数 () f x x =+ D. 函数 1) (=x f 既是奇函数又是偶函数
11. 已知函数 ) 127() 2() 1() (22+-+-+-=m m x m x m x f 为偶函数,则 m 的值是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12.
函数 2y =-
)
A. [2, 2]- B. [1,2] C.[0,2]
D.[ 二 . 填空题 : (本大题 4小题,每小题 4分,共 16分)
13. 设 {}{}34|, |, <>=≤≤==x x x A C b x a x A R U U 或 ,则 ___________,__________==b a 14. 已知 f (x )=x 5
+ax 3
+bx -8, f (-2)=10,则 f (2) =____.
15. 若函数 x x x f 2) 12(2-=+,则 ) 3(f 16. 若 f (x )是偶函数,其定义域为 R 且在 [0,+∞ ]上是减函数,则 f (-4
3)与 f (a 2-a +1)
的大小关系是 ____.
三 . 解答题 :(本大题共六小题,共 74分) 17. (本题满分 12分)已知 U={-3
1, 5, 3}, 13
-是 2{350}A x x px =+-=
与 2{3100}B x x x q =++=的公共元素,求 , U U C A C B 。
18. (本题满分 12分)设 222
{40},{2(1) 10}A x x x B x x a x a =+==+++-=, 其中 x R ∈, 如
果 A B B = ,求实数 a 的取值范围。
19. (本题满分 12分)已知函数 []1() , 3, 5, 2
x f x x x -=
∈+
⑴ 判断函数 () f x 的单调性,并证明; ⑵ 求函数 () f x 的最大值和最小值.
20. (本题满分 12分)如图,用长为 1的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框 架,若半圆 半径为 x ,求此框架围成的面积 y 与 x 的函数式 y =f (x ) ,并写出它的定义域 .
21. (本题满分 12分)已知函数 () (0), g x kx b k =+≠当 [1,1]x ∈-时, () g x 的最大值比最小值 大 2,又 () 23. f x x =+是否存在常数 , k b 使得 [()][()]f g x g f x =对任意的 x 恒成立,如果存 在,求出 , . k b 如果不存在,说明为什么?
22. (本 题 满 分 14分 ) 设 () f x 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 对 任 意 , x y R ∈, 恒 有
() () () f x y f x f y +
=
?
,当 0x >时,有 0() 1f x <>
⑴ 求证:(0)1f =,且当 0x <时, ()="" 1f="" x="">; ⑵ 证明:() f x 在 R 上单调递减.
上杭县 2007-2008学年第一学期高一数学单元卷 (一 )B 答案
(必修 1第一章集合和函数的概念 )
一 . 选择题 :(本大题 12小题,每小题5分,共 60分)
1、 答案:C
;
2、 答案:C ; 得
3. 答案:C ;有关交 . 并 . 补的概念。 4. 答案:A ;因为 B A ? ∴ a ≥ 2。 5. 答案:B ;考查函数的概念。
6. 答案:C ;映射的概念, 220n n +=,得 4n =。 7. 答案 :B;
() 3, () , 32() 3
223
cf x x cx x f x c f x c x
x ==
=
=-+-+得
8. 答案 :B;5
51() 32
2
2
f =-=, 1
13() 12
2
2
f =
+=;
9. 答案:A ; 523, 114, 1214, 02
x x x x -≤≤-≤+≤-≤-≤≤≤;
10. 答案:C ; 选项 A 中的 2, x ≠而 2x =-有意义,非关于原点对称,选项 B 中的 1, x ≠
而 1x =-有意义,非关于原点对称,选项 D 中的函数仅为偶函数;
11. 答案:B ; 奇次项系数为 0, 20, 2m m -== 12. 答案:C ; 224(2) 44, 02, 20x x x -+=--+≤≤
-≤≤
022, 02y ≤-
≤≤≤;
二 . 填空题 : (本大题 4小题,每小题 4分,共 16分)
13. 答案:4, 3==b a ; {}{}() |34|U U A C C A x x x a x b ==≤≤=≤≤ 14. 答案:-26 ; f (-2)=(-2) 5+a (-2) 3-2b -8=10,
∴(-2) 5+a (-2) 3-2b =18,
f (2)=25+23a +2b -8=-18-8=-26.
15. 答案: 1-; 令 2
213, 1, (3)(21) 21x x f f x x x +===+=-=-;
x+y=3
x-y=1 x=2
y=1
16. 答案: f (a 2
-a +1)≤ f (-
43) ;∵ f (x )在 [0,+∞ ]上是减函数, ∴ f (a 2-a +1)≤ f (4
3) .又 f (x )是偶函数, . f (-
4
3)=f (
4
3) .
∴ f (a 2-a +1)≤ f (-
4
3) .
三 . 解答题 :(本大题共六小题,共 74分) 17. 解:将 13
x =-代入 2350x px +-=
得 14p =-, =A 05143|2=--x x x , 3
1- 4分
将 13
x =-代入 23100x x q ++=得 3q =,
∴ 03103|2=++x x x , 3
1-
; 8分
∴ {}{}3, 5U U C A C B \=-=。 12分
18. 解:由 A B B B A =? 得 ,而 {}4, 0A =-, 224(1) 4(1) 88a a a ?=+--=+
当 880a ?=+<,即 1a="">,即><-时, b="" φ=",符合" b="" a="" ?;="" 3分="" 当="" 880a="" ?="+=,即" 1a="-时," {}0b=",符合" b="" a="" ?;="">-时,>
当 880a ?=+>,即 1a >-时, B 中有两个元素,而 B A ?{}4, 0=-; 10分 ∴ {}4, 0B =-得 1a =
∴ 11a a =≤-或 分
19. 解:⑴ 设任取 12, [3,5]x x ∈且 12x x
1212121212113() () () 2
2
(2)(2)
x x x x f x f x x x x x ----=
-=
++++ 5分
1235x x ≤<≤ 12120,="" (2)(2)="" 0x="" x="" x="" x="">≤><++> 12() () 0f x f x ∴-< 即="" 12()="" ()="" f="" x="" f="" x="">
() f x ∴在 [3,5]上为增函数 . 8分 ⑵ 由⑴知, () f x 在 [3,5]上为增函数,则
m ax 4() (5)7
f x f ==
m in 2() (3)5
f x f ==
12分
20. 解:AB=2x , CD =πx , 于是 AD=2
21x x π--, 4分
因此 , y =2x · 2
21x
x π--+
2
2
x π,
即 y =-
2
42
x x p ++. 8分
由 201202x x x p ì>???í--?>???
,得 0
2
1
+π) 12分
21. 解:[()]2() 3, [()](23) f g x kx b g f x k x b =++=++ [()][()],33f g x g f x b k =∴+= 6分
因为函数 () (0), g x kx b k =+≠当 [1,1]x ∈-时, () g x 的最大值比最小值大 2
010k >时, 1, 0. k b == 020k <时, 1,="" 6k="" b="-=" 10分="">时,>
, 06k k b b ==-???
?==??
12分 22. 解: ⑴ 令 0, 1y x ==得 (1)(1)(0)f f f =?
当 0x >时,有 0() 1f x <, (1)0f="" ∴=""> (0)1f ∴= 3分 当 0x <时,有 0x="" -="">, 0() 1f x ∴<>< ,又="" (0)()="" ()="" 1f="" f="" x="" f="" x="">
1() 1()
f x f x ∴=>- 6分
⑵ 设 12, x x R ∈且 12x x <>
0() 1x x f x x ->∴<><>
又 22121211() 1() () () () ()
()
f x f x x f x f x f x f x f x -=?-=?
=
12分
2121() 01
() () ()
f x f x f x f x ∴
<∴>
∴() f x 在 R 上单调递减 . 14分
范文五:高中集合和函数的学习窍门
集合的学习技巧:
一 . 集合的概念:记住两性:确定性和互异性
二 . 集合的分类:交 n ,并 u ,补 c
教大家一个记忆技巧:交集 n 像立交桥所以简称交集;
并集 u 像干杯要并在一起,所以记做并集; 补集 c 像半圆, 再补一半就圆满了所以叫补集。 三 . 集合的求法分类:一般涉及一元二次不等式的解法, 解不等式 之前先将二次项的系数化为正数,然后开始解不等式。
四 . 集合的几种简称:R (实数集) 英语单词 Really (真实的) 的首字母简称
Q(有理数集) 记忆技巧:鲁迅的《阿 Q 正传》都看过吧,阿 Q 这个人很有礼,谐音记忆。
Z(整数集) 整的汉语拼音(zheng ) N(自然数集) 英语单词 Natural (自然 的)的首字母
函数的学习技巧
一 . 函数的三要素:定义域,解析式,值域 要求两个函数 相等, 必须保证三要素相等, 但是我们一般判断出定义域和解析式相 等,函数就相等了。
二 . 定义域的常见求法:1. 分母不能为 0; 2. 根号里解析式要大于等 于 0; 3. 对数的真数大于 0; 4. 实际问题, 例如时间长度都要大于 0。
三 . 函数的表示法:1. 解析式; 2. 图像; 3. 列表
四 . 函数的单调性的证明:通常是作差法,百分之八十的题目都是作 差,作差之后与 0比较大小;作差法行不通就用作商,作商之后与 1比较大小。
五 . 函数的奇偶性的判断:1. 定义域关于原点对称;
2. 若 f (x ) =f(-x ) ,则函数是偶函数;偶函数关于 y 轴对称。 若 f (x ) =-f(-x ) ,则函数是奇函数;奇函数关于原点对称。
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∴>时,有>,>++>时,>0},n={x|x+2>-1或x>