范文一:MATLAB计算方法和技巧 导数的计算
MATLAB求导数的方法
1.数值导数的计算
[问题]求正弦函数的一阶导数和二阶导数
y = sinx
[数学模型]
函数的一阶导数为
y' = cosx
函数的二阶导数为
y'' = -sinx
[算法]求差分函数为diff,对于数值向量,其功能是求后一元素与前一元素之差,如果
数值间隔取得足够小,就能表示导数的近似值。
对于符号函数,可用同样的函数diff计算符号导数。
[程序]zyq3_1diff.m如下。
%正弦函数的导数
clear %清除变量 a=0:5:360; %度数向量 x=a*pi/180; %弧度向量 dx=x(2); %间隔(第1个值为零) y=sin(x); %正弦曲线 dy=diff(y)/dx; %用差分求导数的近似值 dy=[dy(1),(dy(1:end-1)+dy(2:end))/2,dy(end)];%求平均值 figure %创建图形窗口 %plot(x,cos(x),x(1:end-1),dy,'.') %画导数曲线(数值导数偏左) %plot(x,cos(x),x(2:end),dy,'.') %画导数曲线(数值导数偏右) plot(x,cos(x),x,dy,'.') %画导数曲线(数值导数适中)
s=sym('sin(x)'); %定义符号函数 sdy=diff(s); %符号导数 ssdy=subs(sdy,'x',x); %替换数值 hold on %保持图像 plot(x,ssdy,'ro') %画导数曲线 legend('公式解','数值解','符号解',4) %加图例
title('正弦函数的一阶导数') %标题
d2y=diff(dy)/dx; %用差分求导数的近似值 d2y=[d2y(1),(d2y(1:end-1)+d2y(2:end))/2,d2y(end)];%求平均值 figure %创建图形窗口 plot(x,-sin(x),x,d2y,'.') %画导数曲线(数值导数适中) sd2y=diff(s,2); %符号二阶导数 ssd2y=subs(sd2y,'x',x); %替换数值 hold on %保持图像 plot(x,ssd2y,'ro') %画导数曲线
1
legend('公式解','数值解','符号解',4) %加图例 title('正弦函数的二阶导数') %标题 [图示]
2.函数极值的计算
[问题]求如下函数的极值
y = x32 – 3x + x (1)
[数学模型]
求导数
2y' = 3x – 6x + 1 (2) 令y' = 0,解得
1=1.8165,0.1835 (3) x,,(36)3
[算法]将自变量设计为向量,函数设计为内线函数,用max函数和min函数求极大值和
极小值。
用fminbnd函数也可求函数的极小值。将原函数定义为负的内线函数,用fminbnd函数
求极小值,就是原函数的极大值。
将原函数定义为符号函数,求原函数的导数,利用fzero函数可求导数的零点,从而求原函数的极值。
[程序]zqy3_2diff.m如下。
%函数的极值和导数
clear %清除变量 x=0:0.01:2.5; %自变量向量 f=inline('x.^3-3*x.^2+x'); %定义原函数的内线函数 figure %开创图形窗口 plot(x,f(x),'LineWidth',2) %画原函数曲线 grid on %加网格 xlabel('\itx','FontSize',16) %横坐标 title('函数曲线和极值','FontSize',16) %标题 [ym,im]=max(f(x)); %求极大值和下标 xm=x(im); %求极大值的横坐标 hold on %保持图像 plot(xm,ym,'*') %画极大值
2
text(xm,ym,[num2str(xm),',',num2str(ym)],'FontSize',16)%标记极大值 [ym,im]=min(f(x)); %求极小值和下标 xm=x(im); %求极小值的横坐标 plot(xm,ym,'*') %画极小值
text(xm,ym,[num2str(xm),',',num2str(ym)],'FontSize',16)%标记极小值 xm=fminbnd(f,0,3); %求最小值
plot(xm,f(xm),'o') %画极小值
text(xm,0,[num2str(xm),',',num2str(f(xm))],'FontSize',16)%显示极小值 ff=inline('-(x.^3-3*x.^2+x)'); %定义原函数的内线函数 xm=fminbnd(ff,0,3); %求最小值
plot(xm,f(xm),'o') %画极小值
text(xm,0,[num2str(xm),',',num2str(f(xm))],'FontSize',16)%显示极小值 %return
y=sym('x^3-3*x^2+x') %原函数的符号函数 dy=diff(y) %求导数
df=inline(char(dy)) %定义导数的内线函数 x1=fzero(df,0) %求零点
x2=fzero(df,2) %求零点
stem([x1,x2],[f(x1),f(x2)],'--o') %画杆线
text(x1,0,[num2str(x1),',',num2str(f(x1))],'FontSize',16)%标记极值 text(x2,0,[num2str(x2),',',num2str(f(x2))],'FontSize',16)%标记极值
[结果]
y =
x^3-3*x^2+x
dy =
3*x^2-6*x+1
df =
Inline function:
df(x) = 3*x^2-6*x+1
x1 =
0.1835
x2 =
1.8165
3
3.参数方程的导数
[问题]求下面参数方程的一阶导数和二阶导数
1 (1) x,t,1
ty, (2) 2(1)t,
[数学模型]
由(1)式得
1 (3) t,,1x上式代入(2)式得
2y = x – x (4) 这是开口向下的抛物线。其导数为
y' = 1 – 2x (5) 这是一条直线。由此可得二阶导数
y'' = – 2 (6)
将(1)式和(2)式对时间求导数
d1x,, (7) 2d(1)tt,
2d(1)2(1)1ytttt,,,,,,, (8) 43d(1)(1)ttt,,
y对x的一阶导数为
dd/d1yytt,, (9) y,,,dd/d1xxtt,将(3)式代入上式可得(7)式。上式再对时间求导数
,d2y, (10) 2d(1)tt,y对x的二阶导数为
,,dd/dyyt,, (11) y,,,,2dd/dxxt
[算法]将x和y定义为参数t的符号函数,依次求符号导数。
[程序]zqy3_3diff.m如下。
%参数方程导数的计算
clear %清除变量 x=sym('1/(t+1)'); %定义x符号函数 y=sym('t/(t+1)^2'); %定义y符号函数 t=-0.5:0.1:20; %参数向量 xx=subs(x,'t',t); %替换数值求横坐标 yy=subs(y,'t',t); %替换数值求纵坐标 figure %创建图形窗口
4
plot(xx,yy,'LineWidth',2) %画函数曲线 grid on %加网格 xlabel('\itx','FontSize',16) %横坐标 ylabel('\ity','FontSize',16) %纵坐标 title('函数曲线','FontSize',16) %标题
dx=diff(x) %求x符号导数 dy=diff(y) %求y符号导数 dy_dx=dy/dx %求y对x的导数 simplify(dy_dx) %化简 dy=subs(dy_dx,'t',t); %替换数值求导数 figure %创建图形窗口 plot(xx,dy,'LineWidth',2) %画导数曲线 grid on %加网格 xlabel('\itx','FontSize',16) %横坐标 ylabel('d\ity\rm/d\itx','FontSize',16) %纵坐标 title('函数的导数曲线','FontSize',16) %标题
d2y=diff(dy_dx) %求符号二阶导数 d2y_dx2=d2y/dx %求y对x的二阶导数 simplify(d2y_dx2) %化简
[结果]
dx =
-1/(t+1)^2
dy =
1/(t+1)^2-2*t/(t+1)^3
dy_dx =
-(1/(t+1)^2-2*t/(t+1)^3)*(t+1)^2
ans =
(t-1)/(t+1)
d2y =
-(-4/(t+1)^3+6*t/(t+1)^4)*(t+1)^2-2*(1/(t+1)^2-2*t/(t+1)^3)*(t+1)
d2y_dx2 =
-(-(-4/(t+1)^3+6*t/(t+1)^4)*(t+1)^2-2*(1/(t+1)^2-2*t/(t+1)^3)*(t+1))*(t+1)^2
5
ans =
-2
4.隐函数的导数
[问题]求下面参数方程的一阶导数和二阶导数
57y + 2y – x – 3x = 0 (1)
[数学模型]
(1)式对x求导数
465yy' + 2y' – 1 – 21x = 0 (2) 因此y对x的一阶导数为
6121,x,y, (3) 425,yy对x的二阶导数为
4563,(25)126(121)20,,,yxxyy,,y, (4) 42(25),y
将(3)式代入上式,可得
562312620(121)xxy,,,y,, (5) 44325(25),,yy
[算法]利用符号计算求一阶导数和二阶导数。
取横坐标和纵坐标向量,化为矩阵,计算表达式(1)之值,利用contour函数画零值线,
这就是函数曲线。取出零值线的横坐标和纵坐标,利用(3)式和(5)式画导数曲线。
[程序]zqy3_4diff.m如下。
%隐函数导数的计算
clear %清除变量 syms dy y %定义符号变量 z=sym('y(x)^5+2*y(x)-x-3*x^7'); %定义符号函数 dz=diff(z,'x') %求符号导数 s=subs(dz,{'diff(y(x),x)','y(x)'},{dy,y})%替换导数和变量符号 dy_dx=solve(s,dy) %求符号导数 d=subs(dy_dx,{'y'},{'y(x)'}) %替换y为函数y(x) d2z=diff(d) %求导数 d2y_dx2=subs(d2z,{'diff(y(x),x)','y(x)'},{dy_dx,y})%替换导数和变量符号
x=-2:0.01:2; %横坐标向量 y=-2:0.01:2; %纵坐标向量 [X,Y]=meshgrid(x,y); %坐标矩阵 Z=Y.^5+2*Y-X-3*X.^7; %二元函数值 figure %创建图形窗口 C=contour(x,y,Z,[0,0]); %画零值线 grid on %加网格 xlabel('\itx','FontSize',16) %横坐标
6
ylabel('\ity','FontSize',16) %纵坐标 title('函数曲线','FontSize',16) %标题 x=C(1,2:end); %取横坐标 y=C(2,2:end); %取纵坐标 hold on %保持图像 plot(x,y,'.') %再画函数曲线
dy=(1+21*x.^6)./(2+5*y.^4); %一阶导数 figure %创建图形窗口 plot(x,dy,'LineWidth',2) %画导数曲线 grid on %加网格 xlabel('\itx','FontSize',16) %横坐标 ylabel('d\ity\rm/d\itx','FontSize',16) %纵坐标 title('一阶导数曲线','FontSize',16) %标题
d2y=126*x.^5./(2+5*y.^4)-20*(1+21*x.^6).^2.*y.^3./(2+5*y.^4).^3;%二阶导数
figure %创建图形窗口 plot(x,d2y,'LineWidth',2) %画二阶导数曲线 grid on %加网格 xlabel('\itx','FontSize',16) %横坐标 ylabel('d^2\ity\rm/d\itx\rm^2','FontSize',16)%纵坐标 title('二阶导数曲线','FontSize',16) %标题 [结果]
dz =
5*y(x)^4*diff(y(x),x)+2*diff(y(x),x)-1-21*x^6
s =
5*y^4*dy+2*dy-1-21*x^6
dy_dx =
(1+21*x^6)/(5*y^4+2)
d =
(1+21*x^6)/(5*y(x)^4+2)
d2z =
126*x^5/(5*y(x)^4+2)-20*(1+21*x^6)/(5*y(x)^4+2)^2*y(x)^3*diff(y(x),x)
d2y_dx2 =
126*x^5/(5*y^4+2)-20*(1+21*x^6)^2/(5*y^4+2)^3*y^3
7
作业:(1)求余弦函数的一阶和二阶导数,通过曲线验证结果。 (2)求下面参数方程的一阶导数和二阶导数
x = t – ln(t + 1) (1)
32y = t + t (2)
湖南大学物电院 周群益MATLAB电子教案之三。
8
范文二:考研数学:高阶导数的不同计算方法分析
学海无涯 文都有路
考研数学:高阶导数的不同计算方法分析
在考研数学中,导数是一个很重要的基本概念,考研大纲除了要求理解导数的概念外,还要求能熟练地计算函数的导数。常见的导数计算问题包括:复合函数的求导,反函数的求导,以参数方程形式表示的函数的求导,函数的高阶导数的计算,一阶和二阶偏导数的计算。其中关于高阶导数的计算,有些同学由于没有掌握正确的计算方法,导致解题时无从下手。为了帮助这些考生能顺利地计算函数的高阶导数,文都考研数学辅导老师在这里把高阶导数的基本计算方法向大家做一个完整的介绍,供各位考生参考。
高阶导数的定义:高阶导数指二阶及二阶以上的的导数。二阶导数是指一阶导函数的导
n,1数,三阶导数是二阶导函数的导数,以此类推,阶导数是阶导函数的导数。 n
高阶导数的计算方法:共有3种:1)递推法(或称归纳法);2)莱布尼茨公式:
n()(nk)()nkk,k()nk,()uvCuv,nk,,其中uv,分别是的函数,表示对的阶导数,表xuxuv,nk,0
()n,fx()n(0)(0)0,,kfxxx()()示对的阶导数,而;3)泰勒公式:,将vxuuvv,,,fx(),0n!n,0
()n用直接展开法和间接展开法展开为无穷级数,然后对比两种展开式可以得到 fx()0
()n例1.设,求 fx()fxx()sin,
,,,,,,解析:(递推法),一(sin)cossin(),(sin)cos()sin(2)xxxxxx,,,,,,,,222
n,()n般地, ()sin(),,fxx2
3x()nfx(),n,2例2.设函数,,求 f(0)1,x
解析:法1:(泰勒公式)
3,,,,xnnnnnnnn3331,,,()(1)(1)(1)(1),,,,,,,,,fxxxxxx, ,,,,1,xnnnn,,,,0003
()n,f(0)()1nn,nn由泰勒公式,比较两式中项的系数可得 fn(0)(1)!,,x,fxx(),n!n,0
学海无涯 文都有路
333xxx(1)1111,,,2n法2:(递推法),当>2fxxx()1,,,,,,,,11111,,,,,xxxxx
n,11(1)!,n()()nn()1nn,fx()(),,,,于是 时,fn(0)(1)!,,n,11(1),,xx
2()n例3.设函数,求 f(0)fxxax()sin,
321n,()()axaxn,1,,,,,,??sin(1)axax,解析:法1:(泰勒公式),3!(21)!n
352121nn,,()n,axaxf(0)231n,n()sin(1),,,,,,,??fxxaxax,对比可得:,fxx(),3!(21)!,nn!n,0
n,1()n()2nn,212,,n当或n为偶数时,=0,当n为奇数且大于1时,fnna(0)(1)(1),,,f(0)
n2()(nk)()nkk,()uvCuv,vx,,n法2:(莱布尼茨公式)由,及的3阶及3阶以上导数为0,k,0
2nkk,()(nk)()()(2)k()uvCuv,kvv,,,1,(0)0,(0)2,n可得,又当,k,0
n,()2()2(2)(2)2nnnnn,,,()(sin)(sin)2(1)(sin)(1)sin(),,,,,,,,fxxaxCaxnnaxnnaaxn2
n,1()n()2nn,212,,n当或n为偶数时,=0,当n为奇数且大于1时,fnna(0)(1)(1),,, f(0)
上面就是考研数学中关于函数的高阶导数的几种基本计算方法的分析,供考生们参考借
鉴。在以后的时间里,文都考研数学辅导老师还会陆续向考生们介绍考研数学中其它知识点和
重要题型的分析,希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩。
范文三:幂指函数导数的计算方法探讨
2015 NO14 .
Science and Technology Innovaion Heald tr研 究 报 告
幂指函数导数的计算方法探讨
李宏杰 (嘉兴学院数理与信息工程学院 浙江嘉兴 314000)
摘 要:幂指函数具有特殊的结构,既不是幂函数也不是指数函数,但与幂函数与指数函数有一定的关系。对于幂指函数的求导问题,初学者
往往会套用幂函数或指数函数的求导公式,从而发生错误。我们知道,对函数大部分性态的研究,离不开其导数。因此,很有必要对幂指函数
导数的计算方法进行探讨。该文对幂指函数的结构进行剖析,给出了四种求幂指函数导数的方法:指数求导法、对数求导法、“叠加”求导法和偏
导数求导法,并揭示了幂指函数与幂函数及指数函数导数间的关系。最后,通过实例验证了我们给出求导方法的有效性。
关键词:幂指函数 导数 对数函数 偏导数
中图分类号:642 G文献标识码: A文章编号1674:-098X(2015)05(b)-0020-02
1 幂指函数相关的定义 x 定义 1形 如 的函 数 称 为 指 数 函 数 。y = a,a , 0, a , 1, x , R , 它 是一类重要的基本初等函数,在 定义域内单调且无上界。 ì 定义 2形 如 ( ì 为 常 数)的函数 称为幂函数 。幂 函数也 是 y = x = A + B 一类非常重要的基本初等函数。 其中 v ( x ) 定义 3形如 y = u( x)(u( x) > 0) 的函数称为幂指函数。
从 形 式 上看,幂 指函数既像幂函数,又 像 指 数函 数,二 者 特点
兼而有之。当 u( x) 为常 数, v( x) 为变量 时,幂 指函数就退化为具 有
指 数函数的形式;当 u(x) 为变 量, v( x) 为常数 时,幂 指函数 就 退化 为具 有幂函数的形式。从下 文可以看出,这三个函 数的导 数 之间有 从上面的式子可以看出, 即为把幂指函数看做幂函数时求解 B 一定关系。 的导 数,下面证明 为把幂指函数看作 指 数函数 时 求解 的导 数,令 A
2 幂指函数的求导方法 , , ,则有 1 2 2.1 指数求导法 利用对数恒等式 先将幂指函数化为指数函数形式,然后 利用复 合函数求导法 求导,具体过 程如下: ' v( x) ' v( x) ln u ( x) ' 由于 , , (x, x , ,x), ,因此 y=[u(x)]=[e]1 2 v( x ),,2 1 , u ( ) , u( ) ,, v( x x ) v( x , ,x), u( x) v( x) , 0 , u( x)' ,mli v(x)u (x) u( x) u( x) v ( x ) ln u ( x ) ' ,x,0 ,, ] = e[v(x) ln u(x) + u( x) 所以 ' v(x)u (x) v ( x )' = u(x)[v(x) ln u( x) + v ( x , ,x ) v ( x ) ] u( x) , u(x) A , u(x) lim ,x,x , , 2.2 对数求导法 命题得证。 v ( x ) 将 y = u( x)两边 取自然对 数,我们 有 ,然 后使ln y = v( x) ln u( x) 2.4 偏导数求导法 用隐函数求导法则,两边 同时对 求导,可得x v ( x ) vv = v(x) ' y = u( x) u = u( x) y = u 1 v( x)u ( x)' '将幂指函数 看作由 , , 复 y= v( x) ln u( x) + 合而成,利用二元函数 求全导数的方法,可得 y u(x)
从而有
' v(x)u ( x) ' v ( x ) ' y= u( x)[v( x) ln u( x) + ] u( x) 2.3 “叠加”求导 法 v ( x ) 利用 上面的 四 种 方 法,均 可 以求出幂 指 函数 的导 y = u( x) 将幂指函数的求导问题转化为指数函数与幂函数的求导问题。 数,而 且也可以利用幂 指函数的 求导方法或 结果,求出 指 数函数 或 v ( x ) 首先,将 幂指函数 看作 指 数函数,利 用指 数函数 求导公 y = u( x) 幂函数的导 数,即 指 数函数和幂函数的导数,是幂 指函数导 数的特v( x) 式 进行求导,可得 其 导 数 为 , ,;其 次,再 把 幂 y, u(x)ln u(x) , v(x) 例。 v( x) 指函数 看 作 幂函数,利 用幂函数 求导公 式 进行 求导,可 y = u( x) ' v ( x )- 1 ' 得 ;最 后,把 上面 得 到的两个 结 果 相 加 即 y= v( x)u( x)u( x) 3 应用举例 v ( x ) 可得到幂指函数 的导数y = u( x) sin x 求幂指函数 的导数。 y = x' v(x)u (x) ' v ( x )' 3.1 指数求导法 y= u(x)[v(x) ln u(x) + ]。 u(x) ' sin x ln x ' 解: y= (e)上面的结果,可以利 用导 数的定义证明,其证明 过程如下: 证明:sin x ' ' = x[(sin x)ln x +sin x(ln x)] 由导 数的定义,有 (下转23页)
科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald20
2015 NO.14
Science and Technology Innovaion Heald tr研 究 报 告
决了一系列技 术难 题,这是北 斗二代能 够成 功运行服务的一个重要 的应用研究][测绘通报2007(3)3436 J.,:.-保障。 [5] 陈福玉王闰成北斗导航通讯技术在海事监控中的应用与展望 ,.
[J]气象水文海洋仪器2009 (4):31-34 .,.
3 北斗未来的发展方向 [6] 刘海青,庞红梅.卫 星在地震救灾中的应用—— 以“北 斗一号”在
北 斗目前的用户使用量 还不如 GPS多,还 有巨大 的经济 效 益没汶川地震中的应 用为例 [J].广播与电视 技 术,20 08 (10 ):4 0,42- 有发挥出来,北 斗 导航系统 未 来的发展,我认为 有两个 需要 关注的 43.
方向。一是 一定要解 决 全 球建 立监测 站的问题;拥 有全球范围的监 [7] 吕伟,朱建军.北斗卫星导航系统 发展综述J][.地矿测绘,2007: 测站,就 能够为导航 卫星进行及 时高 效的维护和修正,使得卫 星导 29-32.
航系统一直工作在一个良 好的状 态中。这 些 都是一个卫 星导航系统 [8] 李加洪,武建军.全 球化背景下的中国空间信息产业发展J].遥感[ 得到全 球用户认可的必要条件。二 是需要进 一步提高卫星系统的智 00 6 (1)60 63 信息,2:.-
能程度;G PS已经开始发展卫星智能 运行,卫 星可以在地面 不干预 [9] 张雪冬,刘颖.基于卫星的定位 过程方法 研究J[].鞍山科 技大学 的情况下根据预设信息依然正常运行一段时间。这 种智能 运行模式 学报,20 07(4):441- 444.
不但极大降 低了卫星导航系统的运行成本,也 提高了系统的稳定程 [10] 何小 菁,胡杰,李 洪 兵.我国卫 星导航系统对管理信息系统 发 展 度和精确 程度。 的影响 [J].科技资讯,2007(32):217-218.
而在北斗未来的研制建 设和发展中,科 研创新体系也存在一系 [11] 过静,卢建刚,吴卫峰,等.欧洲伽利略导航系统的发展J].测绘[ 珺
列问题 。北斗 的快 速发展,是 建 立在众多国家部 委和众多军队机关 通报,20 02 (2):51-52. 的配合上的。但这 种多部门协作的方式也会带来三类问题 。在 众多 [12] 魏二虎,柴华,刘经南.关于 GPS现代化 进展及关键 技术探讨 [J]. 平 级部门之间、军 方地 方 之间,资源 的 分 配 不均和 利用率 不 高,创 测绘通报,2005(12):5-7,12. 新主体定位不清,政策 执行力度不够始终 是一个令人遗憾的问题。 [13] 沈忠祥.全 球定位系统 —— 一个上百亿美元的新市场 [J].全 球 科
技经济望1996(12)36 37,:-.瞭
参考文献 [14] 童铠我国卫 星移动通信、导 航 定位 及航天 测 控 技术发 展 趋向 .[1] 谢钢GPS原理与接收机设计M][北京电子工业出版社2011..:,. [J].测控技术,1991(1):4-5. Xie Gang,Principle s of GPS and Re cevier Desig n[M]. [15] 毛 华.当 前 世 界 各 国 卫 星 定 位 系 统的现状及 发展 [ C ] // 中 国 Be i j i n g:P ub l i sh i n g Hou s e of E le c tr on ic s I ndu s tr y, 航 海 学 会 航 标 专业 委员会 无 线电 导航学 组“ 2 0 0 3 年会 ”论 文 2011 .集.2003 .[2] 谢钢全 球导航卫星系统原理M][北京电子工业出版社2013..:,. [16] 孙宝忱中国“北 斗”会站 到世 界前 沿 —— 访北 斗卫星导航系统 .[3] E l l i o n D K l C i s o p e e .apan,hrthrJ.Hgarty,工程总设计师孙家栋院士[J].太空探索,2011(7):22-25. Under stand ing GPS Pr inciple s and Appl ications [M]. ] 王彦 玢定位 精 度“ 精 ”益 求“ 精 ”—— 访 北 斗卫 星 导 航系统 卫 [17.B e iji n g : P u b l i s h i n g H o u s e o f E l e c t r o n ic s 星系统总设计师谢军[J].太空探索,2011(7):26 -27. Industry,2010.
[4] 程 承 旗,常鹏飞,郭 仕德.北 斗系统 在 城市环 境实 时 稽 查系统中
(上接20页) sin x sin x = x[cos x ln x + ] x 3.2 对数求导法
解:将 等式两边同时取自然对数
ln y = sin x ln x 利用隐函数求导 法则,两边 同时对 x 求导 4 结语
1 幂指函数是高等 数学中一类非常重要的函数,对其性 态的研究 ' ' ' y= (sin x)ln x +sin x(ln x)离不开它的导 数,本 文 对幂指函数的求导方法进行了归纳和总结, y 整理得 有利于 学生多方位、多途 径去 分析和思考问题。
sin x ' y= y[cos x ln x + ] 参考文献 x sin x [1] 同 济 大 学 数 学 系 高 等 数 学 [ M ] 北 京 :高 等 教 育 出 版 ..sin x = x[cos x ln x + ] 社,200777125. :-x 3.3 “叠加”求导法 [2] 何 冬 梅 .幂指 函 数 的 一 种很 直接的 求 导 方 法 [ J ].保 山 师 专 学 sin x ,1 sin x 报,200 9,2 8(2):26 -27. 解:把 看做幂函数求导,其导 数为 y, , sin x , x;将 y = x
si ' sin x [3] 陈 海 峰 . 幂 指 函 数 的 求 导 方 法 [ J ] . 包 头 职 业 技 术 学 院 学 看作 指数函数求导,其导 数为 ,因此 幂指y = xy= x(ln x) cos x 报,2011,12 (3):42- 43. sin x 函数 的导数为 y = x
sin x ' sin x y= x[cos x ln x + ] x 3.4 偏导数求导法 v sin x 解:将 幂 指函 数 看作由 y = u, , 复 合而成,利用二元函y = xu = x v = sin x
数 求全导数的方法,可得
科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald 23
范文四:有地面干扰的动导数计算方法
第16卷 第3期 1998年9月
飞 行 力 学
FL IGH T D YNAM I CS
. 16 N o . 3V o l
Sep . 1998
有地面干扰的动导数计算方法
叶正寅 杨永年
(西北工业大学, 西安, )
(, 其基本思路是从非定常升力, 通过对振动频率的级数展开, 选用适当的, 得到所需的气动力导数。为了模拟地面的影响, 将传统的镜像法结合到非定常升力面理论方法中。计算结果表明, 地面干扰随距地面的高度变化而迅速变化, 而且某些动导数的符号都发生了变化, 说明地面干扰在飞行动力学的分析中是应该加以考虑的。 关键词 动导数 数值计算 地面效应
引言
动导数是飞行器飞行动力学分析中的重要气动参数, 长期以来, 国内的飞机设计厂、所大多应用工程估算方法或基于准定常理论的数值计算方法。由于动导数计算问题总是与实际型号飞机相联系, 国外关于动导数的报道很少。在所发表的一些应用非定常气动力理论方法的论文中, 一般只分析了纵向的两个动导数[1~4]。本文在应用非定常升力面理论基础上, 发展了一种计算全机纵、横向所有动导数的数值计算方法[5], 为动导数的数值计算提供了新的工具。
由于该方法是建立在非定常气动力理论基础上的, 数学模型比准定常方法更符合实际物理本质。从工程方面看, 有地面干扰情况下飞行器飞行品质的分析也是一项重要的工作。一方面飞机起飞、着陆是最容易发生飞行事故的阶段; 另一方面, 在现代军事应用中, 飞机、飞航式导弹正大量采用近地面或近水面的飞行, 这与在高空的飞行显然是不同的。为了保证飞行的安全, 考虑地面干扰是必要的, 这就需要有在地面干扰情况下的动导数计算方法。本文正是针对这一问题而开展的研究工作。
1 计算方法
偶极子网格法(Doub let L attice M ethod ) [6]是线性非定常气动力理论中使用最多的方法之一, 自从其问世以来, 在气动弹性的计算分析中得到了非常成功的应用。该方法
1998204202收到初稿, 19982
04227收到修改稿。
第3期叶正寅等. 有地面干扰的动导数计算方法69
能适用于复杂的几何形状, 数据准备简单, 计算效率高。其基本的思路是, 将飞行器离散成若干升力面, 再将每块升力面划分成沿流向平行的小四边形网格。在每一网格的四分之一弦线上布置一条压力偶极子和一条马蹄涡, 用非定常切向流边界条件确定出所布置基本解的大小, 继而求出非定常的压力分布, 通过积分便得到各种气动力参数。
偶极子网格法是在翼面作简谐运动条件下的数值方法, 在频域中进行计算, 所以需要分析简谐运动时的气动力与动导数之间的关系。对于薄翼来讲, 其气动力系数可以展开成下列级数形式:
2αβα2
βααΑΑΞz ΑΞz
C y =C y 0+C y Α+C y () +C y (+C (2) +C y ) v v ) v (1) 22αβαΑΑΞ
m z =m z 0+m z Α+m z () +m z z z 2z Ξz …
v
v
其中, b v , , m z Α和m z Ξz (Ξz =Η) 。
i Ξt
, 。对于Α=Α0e =Η的简谐输入, 偶:
C y =C y e
i Ξt i Ξt
α
?
m z =m z e
(2)
式中, C y 和m z 分别指升力和力矩系数的振幅, Ξ为振动频率。
由于零升力系数、零力矩系数与迎角无关, 在不考虑这部分时, 式(1) 在翼面只是作纯粹的俯仰运动和只保留二阶项的情况下可写成:
C y =Α0C y +C y
ΑΑ
αΑ
(v ) (v )
+C y
Ξz
(v ) (v )
β
+C y
βΑ
(
βΑ
22
v
2
) )
+C y
αΞz
(
αΞz
22
v
2
) )
e i Ξt
(3) e i Ξt
m z =Α0m z +m z
αΑ
Ξz
+m z
+m z
(
v
2
22
+m z
(
v
2
22
由于输入一样, 式(2) 和式(3) 的幅值应该相等, 即:
βααΑ2ΑΞΑΞ
k (C y +C y z ) +i k (C y +C y z ) C y =Α0C y -ΑΞΑΞk (m z +m z z ) +i k (m z +m z z ) m z =Α0m z -2
Α
αα
(4)
式中, k 为无因次振动频率。
由式(4) 可见, 对于俯仰简谐振动的输入, 用偶极子网格法中的气动力虚部进行积分,
ααΑΞz ΑΞz
) 和(m z ) 的升力及力矩组合动导数。在定常气动参数已知条件下, 可以得到(C y +C y +m z
通过偶极子网格法中气动力实部的积分, 可得到振动频率的二阶组合动导数。
为了进一步将上述组合动导数分开, 可以通过再输入一沉浮简谐振动h =h 0e i Ξt , 这
αi Ξt
里h 指沉浮振动的高度
。由于h v =Α是纯粹的迎角输入, 所以用Α=h 0i Ξe v 和Η=0代入式(1) , 同样只保留二阶项, 可以得到:
C y =
-b
k C y +i (kC y -k m z +i (km z -22
αΑ
Α
k C y k m z )
3
3
βΑ
m z =-b
αΑ
αΑ
αΑ
Α
βΑ
(5)
显然, 通过对偶极子网格法中气动力实部的积分, 得到关于振动频率的一阶动导数
C y 和m z ; 用偶极子网格法中气动力的虚部积分, 在定常气动参数已知的情况下, 可以得
70
β
飞 行 力 学
β
第16卷
Α
到关于振动频率的二阶动导数C y 和m z Α。再与俯仰振动得到的组合动导数运算, 即可得到各种所需的动导数。
与上述沉浮振动的输入类似, 用偏航角速度的简谐振动可计算出横向关于偏航角与偏航角速度的组合动导数, 它们同样可以通过横侧位置的简谐运动分开。同样, 通过滚
转的简谐振动可以得到滚转阻尼导数; 通过舵面偏角的简谐振动, 可以得到相应舵面关于角速度的动导数等。在上述不同的振动方式中, 只需对气动载荷以不同方式进行积分, 还可以得到不同的交叉动导数。
本文计算思路的优点在于各种动导数可以同时计算出来, 而文献[1某些定常手段将组合动导数分开。简谐振动的输入可同时列入, , 而, 。
另外, , 所以可通过改变振动频。在定常气动参数已知条件下, 还可以, 这在飞行器动作变化较快时有一定的应用意义。
为计入地面干扰的影响, 采用传统定常地面效应计算的镜像法。在给定离地高度下, 以地面为不能穿透的条件为基础, 在地面的另一侧, 布置完全相同的升力面且以地面为对称面。这样, 在假设地面的两侧流动是完全对称的的情况下, 模拟了地面的不能穿透条件, 在此基础上, 用上述动导数计算法便可以计算有地面干扰情况下的动导数。
2 算例和分析
先看某一导弹模型, 弹体是一旋成体, 有一套十字翼, 风洞实验得到的纵向俯仰组
α
合动导数(m z Α+m z Ξz ) 值为-151, 用本文方法计算的值为-144194, 相对误差为4%。表1为给定离地面不同高度时的上述动导数计算值(表中h 亦为无因次高度) , 表中还同时给
α
出了与无地面时的差值?m z Α和?m z Ξz 。
表1 导弹模型 的纵向动导数
h b
m z
αΑ
Α
?m z
α
Ξ
Ξz ?m z
m z z
无穷大501017101010 510 310
-31542-31626-31654-31622-31638-31784
α
01000
-01084-01112-01080-01096-01242
-1411397-1411373-1411187-1401761-1381787-1351000
01000010240121001636
2161061397
从表1可以看出, 动导数m z Α和m z Ξz 随地面高度不同的变化规律是不一样的, m z Ξz 随
α
地面高度的降低单调减小, 而m z Α随地面高度的变化则不是单调的。上述模型是一导弹模型, 翼面的面积相对较小。
计算的第二个模型是一个普通飞机的全机模型, 有机翼、平尾、立尾和机身, 机翼展弦比为816, 平尾和立尾的展长和弦长均为机翼的三分之一, 表2给出了各种动导数随
第3期叶正寅等. 有地面干扰的动导数计算方法71
地面高度不同的计算结果。从表2结果看, 纵向动导数显然比模型 对地面高度更敏感, 这可能是机翼面积更大的原因, 规律与模型 是一样的。但横向的各种动导数变化随地面高度的变化规律是不一样的, 有的导数随地面高度减小而阻尼减小, 有的则随地面高度减小而阻尼增加。
表2 全机模型的纵、横向动导数
h b
m z
αΑ
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
m z z m x y m y y m x x m y x
无穷大2010 7 2 1
-01956-11039-11088-11116-11158--21319-21310-21280-21247-21010--01012-01013-01013-0--01028-01-1028-01030
-01657-11-001543-01469 001
-01001-01007-01010
, 。风洞实验得到的滚转阻
x
-31-31498, 相对误差仅有1168%。表3
给出了导弹模型 的各种动导数随地面高度的变化。从表中的计算结果看, 这种布局的滚转阻尼导数随地面高度的变化没有全机模型的滚转阻尼导数那么大, 但有的横向动导数却由负变正, 说明阻尼的性质都发生了变化, 这是值得引起注意的。
表3 导弹模型 的纵、横向动导数
h b
m z
αΑ
Ξ
Ξ
Ξ
Ξ
m z z m x y m x x m y x
无穷大158432
-111473-111482-111464-111425-111401-111375
-1111814-1111794-1111738-1111459-1111153-1101298 01000-01001-01002 01009 01035 01183
-31498-
31498-31498-31498-31498-31499
010000100001000010000100101007
从上述三个算例的计算结果可以看出, 不同的飞行器外形布局, 其动导数随地面高度的变化规律是不一样的。所以, 在飞行器离地面较近飞行时, 应该计算并使用有地面效应时的动导数进行飞行动力学的分析。
需说明的是, 由于未找到有地面效应时的动导数实验数据, 所以计算结果无法与实验结果进行对比。但本文方法无地面效应时的计算结果曾与国内许多飞机和导弹的结果比较过[5], 证明是有精度保证的。
3 结论
计算结果表明, 该方法可计算飞行器动力学分析中所需的所有常规一阶纵、横向动导数, 而且通过不同的振动形式将组合动导数分开; 可通过改变振动频率的大小, 来计入飞行器动作快慢时动导数的变化。因为有些实验曾反映出飞行动作快慢不同时, 其动导数的值是不一样的; 还可计算二阶纵、横向动导数, 这在飞行器的飞行动作较快时, 有
72飞 行 力 学第16卷
一定的应用意义。
对不同的飞行器几何布局, 动导数随距地面高度的变化规律是不一样的。而且不同的动导数随距地面高度的变化规律也是不一样的。另外, 随着离地高度的变化, 某些横向动导数的符号发生了变化, 表明动导数的阻尼性质发生了改变, 这就说明地面干扰在飞行动力学的分析中是应该引起注意的。
参 考 文 献
1 Rodden W P , Giesing J P . A pp licati on of o scillato ry ic dy 2. Journal of A ircraft :~nam ic stability derivatives
2 刘千刚, 吴长霖, 简 政. . 航
空学报, 1981, (2)
3, . 空气动力学学报,
) :4 s H Kapp R . P redicti on of dynam ic derivatives . P roceedings of the Special Concern on M issile System , 1989
5 杨永年, 叶正寅, 于欣芝, et al . 亚、超音速纵、横向动导数计算研究. 见:国防科学技术预先
研究空气动力学项目管理办公室. 空气动力学研究文集(第五卷) . 1995. 53~56
6 A lbano E , Rodden W P . A doublet 2lattice m ethod fo r calculating lift distributi ons on o scillat 2
. A I ~285ing surfaces in subsonic flow s AA Journal , 1969, 7(2) :279
Nu m er ica l Ca lcula tion of D ynam ic Stab il ity
D er iva tives i n Ground Effect
Ye Zhengyin , Yang Yongn ian (N orthw estern P oly techn ica l U n iversity )
Chen Y ingchun
(X ian A ircraf t D esig n and R esea rch Institu te )
Abstract A num erical m ethod is p resen ted to calcu late the dynam ic stab ility derivatives of aircraft 2type configu rati on s w ith ground effect . T he th ree 2di m en si onal un 2steady lifting 2su rface theo ry is u sed to supp ly w ith the o scillato ry airloads , and the un 2steady airloads is w ritten asM aclau rin series . A fter the h igher o rder ter m s are om itted , the first and second o rder dynam ic stab ility derivatives are ob tained . To take accoun t of the ground effect , the conven ti onal i m age m ethod is u sed here . It is found that the ground effects on differen t dynam ic stab ility derivatives are differen t , and the ground ef
2fect m u st be taken in to accoun t in analyzing the fligh t characteristics .
Key words D ynam ic stab ility derivatives N um erical m ethod Ground ef 2fect
范文五:导数的计算方法技巧及应用
江西师范大学商学院学士论文
导数的计算方法技巧及其应用
The calculation method of derivative skills
and its application
导数的计算方法技巧及其应用
杨阳晟超
【摘要】 导数是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。
导数亦名纪数、微商(微分中的概念),是由速度变化问题和曲线的切线问题(矢量速度的方向)而抽象出来的数学概念,又称变化率。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如:导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度(就匀速直线加速度运动为例:位移关于时间的一阶导数是瞬时速度,二阶导数是加速度);可以表示曲线在一点的斜率(矢量速度的方向);还可以表示经济学中的边际和弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面(比如切向量场)的变化,导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络,人们就可以研究大范围的几何问题,这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。
【关键词】导数 微分 高阶导数 运算法则 导数的应用
The calculation method of derivative skills and its
application
Yang Yangshengchao
【Abstract 】 The derivative is the important basic concepts in calculus. When the independent variable increment tends to zero, the dependent variable and the increment of the independent variable increment business limit. In a function derivative, call this function can be mediated or differential. Differentiable function must be continuous. Discontinuous function must not guide. The derivative is essentially a demand limit, derivative of the four arithmetic operations from the limit of four arithmetic operations.
The derivative is also named counting, derivative ( differential concept), by the speed change and curve tangent problem ( vector velocity direction ) and the abstract mathematical concepts, also known as the rate of change. In geometry, physics, economics and other disciplines in some important concepts can be expressed by derivative. Such as : the derivative can be expressed in a moving object ( the instantaneous speed and acceleration on uniform linear acceleration motion for example: displacement on the time derivative is the instantaneous velocity, two derivative is acceleration ); can be expressed at a point of a curve slope ( vector velocity direction ); also can be expressed in the economics of the margin and elasticity. The above said
classic definition of derivative can be considered to reflect locally Euclidean space function change. In order to study more general manifolds vector bundle section (such as the tangent vector field ) changes, the concept of derivative being promoted as a so-called " contact ". A contact, people can study a wide range of problems in geometry, differential geometry and physics, which is one of the most important basic concepts.
【Key words】Derivative Differential Higher order derivative Rules of operation The application of derivative
目录
一、引言 . ....................................................................................... 5
二、导数概念 . ................................................................................ 5
(一)导数定义 . ....................................................................... 5
(二)导数几何意义 . ................................................................ 6
(三)左右导数 . ....................................................................... 6
(四)可导与连续的关系 . ......................................................... 7
三、导数的基本公式与运算法则 .................................................... 7
(一)基本求导法则与导数公式 ............................................... 7
(二)复合求导 . ....................................................................... 9
(三)反函数求导 .................................................................... 9
(四)隐函数求导 .................................................................. 10
四、高阶导数 . .............................................................................. 11
五、小结 . ......................................................... 错误!未定义书签。
参考文献 . ..................................................................................... 14
一、引言
数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学,研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学。微分学与积分学统称为微积分学。微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分,是现代数学许多分支的基础,是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。
从15世纪初文艺复兴时期起,欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展,形成了一个新的经济时代。而十六世纪的欧洲,正处在资本主义萌芽时期,生产力得到了很大的发展。生产实践的发展对自然科学提出了新的课题,迫切要求力学、天文学等基础科学的发展,而这些学科都是深刻依赖于数学的,因而也推动了数学的发展。在各类学科对数学提出的种种要求中,下列三类问题导致了微分学的产生:
(1) 求变速运动的瞬时速度;
(2) 求曲线上一点处的切线;
(3) 求最大值和最小值。 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度,即所谓函数的变化率问题。牛顿从第一个问题出发,莱布尼茨从第二个问题出发,分别给出了导数的概念。
二、导数概念
(一)导数定义
定义:设函数y=f(x ) 在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内) 时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0) ; 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y=f(x ) 在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x ) 在点x 0处的导数, 记为y '|x =x 0, 即:
f '(x 0) =lim f (x 0+?x ) -f (x 0) ?y =lim ?x →0?x ?x →0?x
dy df (x ) 或 dx x =x 0dx x =x 0也可记为:y '|x =x 0,
(二)导数的几何意义
函数y =f (x ) 在点x 0处的导数f '(x 0) 在几何上表示曲线y=f(x ) 在点M (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率, 即
f '(x 0)=tanα
其中α是切线的倾角.
如果y=f(x ) 在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x ) 的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x ) 在点M (x 0, f (x 0)) 处具有垂直于x 轴的切线x=x0. :
由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x ) 在点M (x 0, y 0) 处的切线方程为 y-y 0=f '(x 0) (x-x 0)
过切点M (x 0, y 0) 且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x ) 在点M 处的法线如果 f '(x 0) ≠0, 法线的斜率为-1, 从而法线方程为 f (x 0)
y -y 0=-1(x -x 0) . f '(x 0)
(三)左右导数
'(x 0) =lim f (x ) 在x 0的左导数:f --h →0f (x 0+h ) -f (x 0) h
f (x 0+h ) -f (x 0) h f (x ) 在x 0的右导数:f +'(x 0) =lim +h →0
如果极限lim
如果极限lim h →-0f (x +h ) -f (x ) 存在,则称此极限值为函数在x 0的左导数 h f (x +h ) -f (x ) 存在,则称此极限值为函数在x 0的右导数 h h →+0
(四)可导与连续的关系
设函数y=f(x ) 在点x 0 处可导, 即lim ?y =f '(x 0) 存在. 则 ?x →0?x
lim ?y =lim ?y ??x =lim ?y lim ?x =f '(x 0) ?0=0 ?x →0?x →0?x ?x →0?x ?x →0
这就是说, 函数y=f(x ) 在点x 0 处是连续的。所以, 如果函数y=f(x ) 在点x 处可导, 则函数在该点必连续。
另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。
三、导数的基本公式与运算法则
(一)基本求导法则与导数公式
1.基本初等函数的导数
(1) (C ) '=0
(2) (x μ) '=μ x μ-1
(3) (sin x ) '=cos x
(4) (cos x ) '=-sin x
(5) (tan x ) '=sec 2x
(6) (cot x ) '=-csc 2x
(7) (sec x ) '=sec x ?tan x
(8) (csc x ) '=-csc x ?cot x
(9) (a x ) '=a x ln a
(10) (e x ) '=e x (11) (loga x ) '=1 x ln a
(12) (lnx ) '=1 x
(13) (arcsinx ) '=1 -x 2
1 -x 2(14) (arccosx ) '=-
(15) (arctanx ) '=1
2 1+x
(16) (arc cot x ) '=-1
2 1+x
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u =u (x ) , v =v (x ) 都可导, 则
(1) (u ±v ) '=u '±v '
(2) (C u ) '=C u '
(3) (u v ) '=u '?v +u ?v '
'u v '(4) u '=u v - v v 2
例1.y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '
解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7) '= (2x 3) '-(5x 2) '+(3x ) '-(7) '= 2(x 3) '- 5(x 2) '+ 3
(x ) '
=2?3x 2-5?2x +3=6x 2-10x +3
例2. f (x ) =x 3+4cos x -sin π, 求f '(x ) 及f '( π. 22
解: f '(x ) =(x 3) '+(4cos x ) '-(sin π'=3x 2-4sin x 2
f '( π=32-4 24
(二)复合函数求导
设y =f (x ) , 而u =g (x ) 且f (u ) 及g (x ) 都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为 dy =dy ?du 或y '(x ) =f '(u ) ?g '(x ) dx du dx
例1 y =e x 3, 求dy . dx
解:函数y =e x 3可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此
dy =dy du =e u ?3x 2=3x 2e x 3 dx du dx
例2.y =-2x 2, 求dy . dx
1dy -2122 解: =[(1-2x ) 3]'=(1-2x ) 3?(1-2x 2) '=-4x dx 31-2x 2) 2
(三)反函数求导
设x =f (y ) 在区间I y 内单调、可导且f '(y ) ≠0, 则它的反函数y =f -1(x ) 在I x =f (I y ) 内也可导, 并且
dy [f -1(x ) ]'=1 或=1
f (y ) dx dy
例1.设x =tan y , y ∈(- π, π为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数22
x =tan y 在区间(- π, π内单调、可导, 且 22
(tan y ) '=sec 2 y ≠0
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞) 内有
(a r c t x a ) 'n =1=1=11 =2y 1+x 2(t a y n ) s e 2c y 1+t a n
类似地有: (arc cot x ) '=-1
2 1+x
例2.设x =a y (a >0, a ≠1) 为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞) 内单调、可导, 且
(a y ) '=a y ln a ≠0
因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞) 内有
1 (loga x ) '=1=y y =1 (a ) a ln a x ln a
(四)隐函数求导
显函数: 形如y =f (x ) 的函数称为显函数. 例如y sin x , y =ln x ++e x . 隐函数: 由方程F (x , y ) =0所确定的函数称为隐函数.
例如:方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 。 y =.
如果在方程F (x , y ) =0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y ) =0在该区间内确定了一个隐函数。
把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化。隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的。 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。
例1.求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.
解:把方程两边的每一项对x 求导数得
(e y ) '+(xy ) '-(e ) '=(0)'
即 e y ?y '+y+xy'=0
从而 y '=-y
y (x +e y ≠0) x +e
例2.求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x ) 在
x =0处的导数y '|x =0.
解:把方程两边分别对x 求导数得
5y ?y '+2y '-1-21x 6=0,
x . 由此得 y '=1+21
465y +2
因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以
x |=1. y '|x =0=1+21x =0465y +22
四、高阶导数
一般地, 函数y =f (x ) 的导数y '=f '(x ) 仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x ) 的导数
2y 叫做函数y =f (x ) 的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x ) 或d
2, dx
即 y ''=(y ') ', f ''(x ) =[f '(x )]' 2y dy d
2=d ( dx dx dx
相应地, 把y =f (x ) 的导数f '(x ) 叫做函数y =f (x ) 的一阶导数.
类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ? ? ?, 一般地, (n -1) 阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作
3d 4y d n y y ''', y (4), ? ? ? , y (n ) 或d y , , ? ? ? , 34n dx dx dx
函数f (x ) 具有n 阶导数, 也常说成函数f (x ) 为n 阶可导。如果函数f (x ) 在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x ) 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶
的导数.。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
y '称为一阶导数,y '',y ''',y (4)? ? ?y (n ) 都称为高阶导数。
例1.求函数y =e x 的n 阶导数.
解:y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x
一般地, 可得
y ( n ) =e x
即 (e x ) (n ) =e x
例2.求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.
解:y =sin x
y '=c o x s =s i n x (+ π 2
y ''=c o s x (+ π=s i n x (+ π+ π=s i n x (+2? π 2222
y '''=c o s x (+2? π=s i n x (+2? π+ π=s i n x (+3? π 2222
y (4) =c o s x (+3? π=s i n x (+4? π 22
一般地, 可得
y (n ) =s i n x (+n ? π, 即(sinx ) (n ) =sin(x +n ? π 22
用类似方法, 可得(cosx ) (n ) =cos(x +n ? π 2
五、小结
(1)导数和微分的概念;
(2)用导数定义和运算法则求导数
1)正确使用导数及微分公式和法则;
2)熟练掌握求导方法和技巧:求分段函数的导数,注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等;求绝对值函数的导数,首先去掉绝对值符号,将函数用分段函数表示后再求导;对复合函数,求导时要由表及里,逐层求导,不要漏层;
3) 幂指函数的导数要用对数求导法计算,而对数求导法还可以简化为由若干个函数连乘、连除、根式、乘幂形式所构成的函数的求导;
(3) 高阶导数的计算(求函数的n 阶导数的方法)
1)直接法:求出函数的前几阶导数,分析所得的结果,找出规律性,然后写出n 阶导数的表达式,再用数学归纳法证明;
2)间接法:将给定的函数通过化简(一般化积为和差)或变量替换转换为熟知的高阶导数的函数求导(也可以利用泰勒公式求在某点的各阶导数值) ;
3)利用莱布尼兹公式[u (x ) v (x )](n ) ;
参考文献
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